Đề cương Toán học 11

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11. GV: Nguyễn Ngọc Trọng Hình học CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Quan hệ vuông góc - Góc và khoảng cách. 1. Chứng minh a  b . + Cần khai thác các tính chất về quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng. 0 + Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 90 .    + a  b  u .v  0 ( u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).. a  ( ) ab b  (  )  2. Chứng minh a  ( ) . b  ( ), c  ( ) +. + b  c  I. a  b, a  c .  a  ( ) .. a //b  a  ( ) . b  (  )  ( )  (  ), ( )  (  )  b +  a  ( ) a  (  ), a  b  3. Chứng minh ( )  (  ) . a  ( )  ( )  (  )  a  (  ) +. 4. Tính góc giữa hai đường thẳng a và b. Tìm hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’ lần lượt song song với a và b  góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a’ và b’. 5. Tính góc giữa đường thẳng a và ( ) . Tìm đường thẳng a’ là hình chiếu vuông góc của a trên ( )  góc giữa đường thẳng a và ( ) bằng góc giữa hai đường thẳng a và a’. 6. Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ) và (  ) . Tìm đường thẳng a  ( ) , đường thẳng b  (  )  góc giữa hai mặt phẳng ( ) và (  ) bằng góc giữa hai đường thẳng a và b. 7. Tính d ( M , a ) . d ( M , a )  MH (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a) 8. Tính d ( M ,( )) . d ( M ,( ))  MH (với H là hình chiếu vuông góc của M trên ( ) ) 9. Tính d ( a, b) (a và b là hai đường thẳng chéo nhau). - B1. Xác định đường vuông góc chung  a và  b - B2: (nếu không thực hiện được B1) + Xác định ( )  b và ( )//a .. a a’. + Xác định a’  (), a’ // a, a’ b = N + Tìm điểm M trên a sao cho MN a ..  1 Lop11.com. M. N. b.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11. GV: Nguyễn Ngọc Trọng.  d (a, b)  d ( M ,( )) 1/ Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) .Tam giác ABC vuông tại B. a)Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b)Từ A kẻ AH  SB tại H, AK  SC tại K. Chứng minh rằng SC (AHK) và tam giác AHK là tam giác vuông. Bài giải: a) Vì SA  (ABC) nên SA  AB , SA  AC S và tam giác ABC vuông tại B nên CB  AB mà AB là hình chiếu của SB trên (ABC)  CB  SB H Vậy các tam giác SAB, SAC vuông tại A và tam giác SBC vuông K tại B. b) Vì CB  AB và CB  SB  CB  AH (1) A Và AH  SB  AH  SC (2) Mà ta có SC  AK (3) Từ (2) và (3)  SC (AHK) Từ (1) và (2)  AH (SBC)  AH  HK hay tam giác AHK B C vuông tại H. 2/ Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , AB = 2a , SA  (ABC) ,SA = 2a. Gọi I là trung điểm của AB a)Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông b)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) c)Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Tóm tắt lời giải: a) Xem lời giải câu a) của bài 1. S b) Ta có BC  AB và BC  SB A  (( SBC ), ( ABC ))  SBA Mà tam giác SAB vuông cân tại A  (( SBC ), ( ABC ))  450 N A c) Ta có BC AB và BC  SA  BC  (SAB)  (SBC)  (SAB) theo giao tuyến SB Hạ AN SB tại N là trung điểm của SB ta có khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng AN = a 2 C B 3/ Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên và cạnh đáy bằng a a)Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (ABC) b)Tính góc giữa cạnh bên và đáy c)Tính góc giữa mặt bên và đáy Tóm tắt lời giải: a) Hạ AH  (ABC) tại H là trọng tâm của tam giác ABC S Ta có khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (ABC) bằng. . 2 a 3 2 a 6 SH  SA2  AH 2  a 2  ( . )  3 2 3 b) Góc giữa cạnh bên SA và đáy ABC bằng góc SAH. A a 6 2 a 3 a 3 I Tam giác vuông SHA có SH = và AH = .  3 3 2 3 H SH A A B C  tan SAH   2  SAH  arctan 2 AH c) Gọi I là trung điểm của AC ta có góc giữa mặt bên (SAC) và mặt đáy (ABC) bằng góc SIH 2 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11. GV: Nguyễn Ngọc Trọng. a 6 1 a 3 a 3 và IH = .  3 3 2 6 A  SH  2 2  SIH A  arctan2 2  tan SIH IH 4/ Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Mặt bên (SBC) hợp với đáy một góc φ = 30o a) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) b) Tính diện tích tam giác SBC theo a Tóm tắt lời giải: a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC.Ta có a 3 3 a SA = AJ.tan 300 = .  2 3 2 S Góc giữa SC và mp(ABC) bằng góc SCA a A  SA  2  1  (ASC , ( ABC )  arctan 1 Mà tan SCA AC a 2 2 A 2. Tam giác vuông SHI có SH =. a. I B. J’’’. b) Ta có SA SBC . SA ABC  cos300. C. 3. 2 4 a 2 3 2. 5/ Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Cạnh bên hợp với đáy 1 góc φ = 60o a) Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy (ABC) b) Tính góc giữa mặt bên và đáy 2a 3 6/ Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a .SA = SB = SC = 2 a)Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) b)Tính góc  giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) c)Tính diện tích tam giác SBC a 3 7/ Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A , BC = a .SA = SB = SC = 2 a)Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) b)Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuông góc nhau c)Tính góc  giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) d)Tính diện tích tam giác SAC a 3 8/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc A = 60o . SA = SB = SD = 2 a)Tính hình chóp từ S đến mặt phẳng (ABCD) b)Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) vuông góc nhau c)Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) vuông góc nhau và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) d)Tính góc  giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) suy ra diện tích tam giác SBD 9/ Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của BC và BB’. a)Chứng minh rằng BC’  (AIJ) b)Tính góc  giữa hai mặt phẳng (AIJ) và (ABC) c)Tính diện tích tam giác AIJ 3 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11. GV: Nguyễn Ngọc Trọng. 10/Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’có đáy là hình thoi ABCD cạnh a,góc A = 60o,A’A=A’B =A’D =. a 3 2. a)Tính độ dài cạnh bên của lăng trụ b)Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ABC’D’) và (A’B’CD) vuông góc nhau c)Tính góc  giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD) d)Tính diện tích tam giác A’BD 11.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, góc A = 60o SA = SB = SD =. a 3 2. a)Tính hình chóp từ S đến mặt phẳng (ABCD) b)Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) vuông góc nhau c)Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) vuông góc nhau và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) 12. Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , AB = 2a , BC = a 3, SA  (ABC) ,SA = 2a. Gọi I là trung điểm AB a)Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông b)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SIC) và (ABC) c)Gọi N là trung điểm AC ,tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (SBC) 2a 3 13. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a .SA = SB = SC = 2 a)Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) b)Tính góc  giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) c)Tính diện tích tam giác SBC a 3 14. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A , BC = a .SA = SB = SC = 2 a)Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) b)Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuông góc nhau c)Tính góc  giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) d)Tính diện tích tam giác (SAC) Bài tập: 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a 3 , SA  (ABCD) a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b. Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO  (ABCD) c. Tính góc giữa SC và (ABCD). 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng 1 và các cạnh bên bằng nhau và bằng 2 . a. Chứng minh (SBD)  (SAC) b. Tính độ dài đường cao của hình chóp. c. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy. 3) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tâm tại A, SA = AB = AC = a SA  đáy a. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh BC  (SAI) b. Tính SI c. Tính góc giữa (SBC) và mặt đáy. 4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA  (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. a. Chứng minh BC  (SAB), BD  (SAC) b. Chứng minh SC  (AHK) c. Chứng minh HK  (SAC) 4 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD. a. Chứng minh SO  (ABCD) b. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IK  SD 6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a và SA  (ABCD) . a. Tính khoảng cách từ A đến (SBD). b. Chứng minh (SBC)  (SAB) c. Tính khoảng cách từ C đến (SBD).. GV: Nguyễn Ngọc Trọng. 7) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a, SA = a, SA vuông góc với cạnh BC, khoảng cách từ S đến cạnh BC là a.Gọi M trung điểm BC. a) CMR: BC vuông góc với (SAM) b) Tính chiều cao của hình chóp c) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của SA và BC. 8) Tứ diện S.ABC có góc ABC = 1v, AB = 2a, BC = a 3 , SA vuông góc với (ABC), SA = 2a.Gọi M là trung điểm của AB. a)Tính góc giữa (SBC) và (ABC). b)Tính đường cao AK của tam giác AMC c)Tính góc giữa (SMC) và (ABC). d)Tính khoảng cách từ A đến (SMC) Bài toán 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Bài tập 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau: 1. y  x 3  2 x  1. x 3 2 6. y  ( x 2  5) 3. 2. y  2 x 5 . 5. y  5 x 2 (3x  1) 9. y  ( x  1)( x  2) 2 ( x  3) 3. 2 x2 7. y  ( x 2  1)(5  3x 2 ). 3. y  10 x 4 . 4. y  ( x 3  2)( x  1) 8. y  x ( 2 x  1)(3x  2). 2x x 1 2 2x  6x  5 11. y  2x  4 5x  3 12. y  2 x  x 1. 10. y . 2. 13. y  x 2  6 x  7 17. y . 15. y  ( x  1) x 2  x  1. 14. y  x  1  x  2. 3x 2  2 x  1 2x  3. 3x - 2 x - x+ 2 a b 19) y   3 3 2 x x x. 18) y =. 2. 2 3. 20) y  3 a  bx3. 2 3 3 2. 21) y  (a  b ) 22) y  x 2 3 x 2. 5 Lop11.com. 16. y . x 2  2x  3 2x  1.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 23) y . GV: Nguyễn Ngọc Trọng. 2. (x  2) (x  1)3 (x  3)4. 24) y  (x 7  x)2 25) y  x 2  3x  2 1 x 26) y  1 x 1 27) y  x x 28/ y= x 1  x 2 29/ y= x (x2- x +1) 1 x 30/ y= 1 x 31/ y= (2x+3)10 32/ y= (x2+3x-2)20 Bài tập 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau: 1) y  3 sin 2 x. sin 3x 6) y . sin x  cos x sin x  cos x. 2) y  (1  cot x ) 2. 3) y  cos x. sin 2 x.  7) y  cot 3 (2x  ) 4. 8) y  2  tan 2 x 9) y  . cos x 4  cot x 3 3sin x 3. 10) y - 1  cos 2. x 2. 11) y . 1 (1  sin 2 2 x ) 2. 12) y = sin 4 p - 3x 13) y = cos ( x3 ) 14) y= 5sinx-3cosx 15) y = x.cotx 16) y  cot 3 1  x 2 17) y= sin(sinx) 18) y  sin 2 (cos3x) 19) y  x sin x. 1  tan x. 20) y  sin x  x x sin x. x 1 2 22) y  1  2 tan x. 21) y  tan. Bài tập 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau: ax 2  bx  c ax  b y y dx  e cx  d Áp dung:. 3x  4 y  2x  1. y. ax 2  bx  c mx 2  nx  p.  x2  x  2 y 2x  1. x 2  3x  4 y 2 2x  x  3. 6 Lop11.com. 4) y -. 1  sin x 2  sin x. 5) y  sin 4. x 2.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 Dạng toán 2. Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm: Bài tập: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra: a) y = x2 + x ; x0 = 2 1 b) y = ; x0 = 2 x x 1 c) y = ; x0 = 0 x 1. GV: Nguyễn Ngọc Trọng. d) y = x - x; x0 = 2 e) y = x3 - x + 2; x0 = -1 2x 1 f) y = ; x0 = 3 x 1 g) y = x.sinx; x0 =. π 3. h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x0 =. π 3. i) Cho f ( x)  3 x  1 , tính f ’’(1) k) Cho y = x cos2x . Tính f”(x) 6 m) Cho f x   x  10  . TÝnh f '' 2 .    2.    18 . l) f x   sin 3x . Tính f ''    ;f '' 0 f ''  Dạng toán 3: CMR hệ thức chứa đạo hàm:. Bài tập 1. CM các hàm số thỏa mãn các hệ thức a) y . x3 ; x4. c) Cho hàm số y = e) Cho y = . 2y '2  (y  1)y". b) y  2x  x2 ;. sin 3 x  cos 3 x ; y’' = - y 1  sin x. cos x. d) Cho y =. y3 y" 1  0. x3 ; 2(y’)2 =(y -1)y’’ x4. cos 2 x   f) Cho f(x) = ; f ( )  3f ' ( )  3 1  sin 2 x 4 4. 1 cot g 3 x  cot gx  x  3  7 ; y’ = cotg4x 3. g) Chứng tỏ hàm y = acosx+bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = 0 x2  2x  2 h) Cho hàm số: y  . Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2 2 i) Cho hàm số y = cos22x. a) Tính y”, y”’. b) Tính giá trị của biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – 8. Bài tập 2. Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng: a) f(x) = cos x +sin x + x. c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x. b) f(x) = 3 sin x  cos x  x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1. Bài tập 4. Cho y  x3  3x 2  2 . Tìm x để:. 1 3 2 x +x +  . 3 a) y’> 0. Bài tập 5. Cho hàm số f(x)  1  x. Tính :. f(3)  (x  3)f '(3). Bài tập 3. Giải bất phương trình f(x) < 0 với f(x) =. 7 Lop11.com. b) y’< 0.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11. GV: Nguyễn Ngọc Trọng. Dạng toán 4: Viết PTTT của đường cong (C): + Đi qua 1 điểm:biết hoành độ (hoặc tung độ) của tiếp điểm; + Biết hệ số góc của tiếp tuyến hoặc biết tiếp tuyến song song (hoặc vuông góc) với 1 đường thẳng Bài toán 1 :Viết PTTT với đồ thị ( C ) tại điểm M0(x0;y0) thuộc ( C ) - PTTT có dạng (d) : y = f’(x0) (x – x0) + y0 - Tìm x0 , y0 , f’(x0) theo sơ đồ : x0  y0  f’(x0) -Thế vào tìm (d). Bài toán 2 : Viết PTTT với đồ thị ( C ) có hệ số góc k Cách 1: Giải pt f’(x) = k tìm x0  y0  (d) Cách 2: - Pt dường thẳng (d) có hệ số góc k là : (d) : y = kx +b.  f ( x)  kx  b - (d) tiếp xúc với ( C )    f ' ( x)  k - Giải hệ tìm b  (d) Ví dụ: Viết PTTT của (C ): y  f ( x)  x3  2 x 2  x  1 1/ Tại điểm A(2;1) 2/ Song song với đường y = 5x + 1 Giải: Ta có: y ' = 3x2- 4x + 1 1/ Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là k = y ' (2) = 5  PTTT cần viết là: y = 5 (x-2) +1 = 5x - 9. 2/ Cách 1: Gọi tiếp điểm là M(x0;y0) Theo giả thuyết, ta có: y ' (x0) = 5  3x02- 4x0 + 1 = 5  x0 = 2 ; x0 =  + Với x0 = 2  y0=1  PTTT là: y = 5x - 9. 2 77 167 + Với x0 =   y0=   PTTT là: y=5x  27 27 3 Cách 2: - Pt dường thẳng (d) có hệ số góc k = 6 là : (d) : y = 5x +b  x 3  2 x 2  x  1  5 x  b - (d) là tiếp tuyến của ( C )   2 3 x  4 x  1  5 2 3 + Với x = 2  b = -9  PTTT là: y = 5x - 9. 2 167 167 + Với x =   b =   PTTT là: y=5x  27 27 3. - Giải hệ pt trên ta được: x = 2 ; x = . 8 Lop11.com. 2 3.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11. GV: Nguyễn Ngọc Trọng. Bài tập: 1/ Cho đường cong (C) có phương trình: y=x3 + 4x +1 a) Viết PTTT với đương cong (C) tai điểm có hoành độ x0 = 1; b) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 31; c) Song song với đường thẳng: y = 7x + 3; 1 d) Vuông góc với đường thẳng: y = - x  5 . 16 4 2 2/ Cho (C): f(x) = x + 2x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau: a) Biết tung độ của tiếp điểm bằng 2 ; b) Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành ; c) Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - 1/8 x + 3 ; d) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A (0;6). 3/ Viết PTTT của (C ): y=x3-3x+7 1/Tại điểm A(1;5) 2/Song song với đường y=6x+1 x2  2 4/ Cho (C): y  . Viết pttt của (C) biết nó song song với đường thẳng 3x – y – 1 = 0. x 5/ Cho đường cong (C): y =. x 1 . Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của (C) với trục ox. x3. Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y =-x+1 1 6/ Viết PTTT của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  2 . Biết tiếp tuyến vuông góc với đt y   x  2 . 9 3 7/ Viết PTTT của đồ thị hàm số y   x  3 x . Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng y  9 x  1 .. 2x 2  2x  1 8/ Cho hàm số y = f(x) = có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó song song với x 1 đường thẳng y = x. Dạng toán 5. Vi phân: df(x) = f ’(x)dx hay dy = y ’ dx Ví dụ: 1/ Cho y = f(x) = x2 + 3x – 5. Ta có dy = (2x+3)dx 2/ Cho y = f(x) = sin2x. Ta có: dy = 2cos2x dx Bài tập . Tìm vi phân của các hàm số: x 1. y  x 3  2 x  1 2. y  2 x 5   3 3. y  ( x 3  2)( x  1) 2 2x 2  6x  5 2x 4. y  2 5. y  2x  4 x 1 7/ y= (2x+3)10 8) y  3 sin 2 x. sin 3x 1  sin x x 11) y - 12) y  sin 4 y  cos x. sin 2 x 2  sin x 2 sin x  cos x  13) y  14) y  cot 3 (2x  ) 4 sin x  cos x 6. y  x 2  6 x  7. 9 Lop11.com. 9) y  (1  cot x ) 2. 10).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11. GV: Nguyễn Ngọc Trọng ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II. Đề 1 Câu 1. Tính các giới hạn sau :. Câu 2. Tính vi phân. Câu 3. Cho hàm số , viết phương trình tiếp tuyến của đố thị hàm số vuông góc với đường thẳng (d) : y + 4x - 1 = 0 Câu 4 . Chứng minh rằng phương trình : x5 + x3 + 2x + 3= 0 có nghiệm Câu 5 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O , cạnh a , SA = , SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) , gọi M là trung điểm của cạnh SC. a.Chứng minh các mặt bên là các tam giác vuông b.Chứng minh OM vuông góc với mp (ABCD ) c. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB . Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC) -------------------------------------------------Đề 2 Câu 1. Tính các giới hạn sau :. Câu 2. Tính đạo hàm của các hàm số. Câu 3. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 2. Câu 4. CMR pt : 4x4 + 2x2 - x - 3 có ít nhất hai nghiệm Câu 5 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O , cạnh a , SA = , SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) , gọi M là trung điểm của cạnh SC. gọi I , M theo thứ tự là trung điểm của cạnh SC , AB a .Chứng minh các mặt bên là các tam giác vuông b. Chứng minh OI vuông góc với mp (ABCD ) c. Tính khoảng cách từ I đến CM -------------------------------------------. 10 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11. GV: Nguyễn Ngọc Trọng. Đề 3 : Bài 1: Tính các giới hạn sau : 3. a) lim x2. 4x  2 x2. b) lim x. x  . Bài 2:. 2x  1 3x  x 2  2 3. Viết phương trình tiếp ,biết tiếp tuyến. vuông góc với đường thẳng Bài 3: Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 2. Bài 4: Cho hàm số . Tính y(5) ? Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt (SBC ) và (SBA ) cùng vuông góc với đáy (ABCD) ,cạnh SD tạo với đáy một góc là 600 a/ Chứng minh: các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b/ Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mp (ABCD) c/ Tính diện tích của tam giác SBD . d/ Tính góc giữa mp(SAD) với mp(ABCD) . ------------------------------------------Đề 4 : Bài 1: Tính các giới hạn sau : a). lim. x  . 2x  3. b). 2x 2  3. Bài 2:. lim. x2. 2 x x  3x  2 2. Viết phương trình tiếp ,biết tiếp tuyến Song song với đường thẳng. Bài 3: Cho hàm số. . Tính y(5) ?. Bài 4: Tính vi phân của hàm số Bài 5: Cho tứ diện S.ABC ,. vuông tại B SA  (ABC) ,biết AB = SA = a. BC =2a . Gọi AH là đường cao của , a. Chứng minh (SAB)  BC b. Chứng minh rằng AH  SC và tính độ dài AH c. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến cạnh SC. 11 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11. GV: Nguyễn Ngọc Trọng. Đề 5 : Bài 1: Tính các giới hạn sau x2. a) lim x 2 x  7  3. b). 2 x  2  3x. lim x . x2 c) lim x 2 x  7  3. 2x  1  x x2 khi x  2  Bµi 2: Cho hàm số f ( x)   . x2  m khi x = 2  a, XÐt tÝnh liªn tục của hàm số khi m = 3 b, Với gi¸ trị nào của m th× f(x) liªn tục tại x = 2 ? c, T×m m để hàm số liện tục trªn tập xác định của nã? 2. Bµi 3: Chứng minh phương trình ;x3- 3x + 1= 0 cã Ýt nhất một nghiệm trong (-2; 0) Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) y . x3  3x 2  2 x  1 3. b) y  x 3  2 x . 1 4 x. c) y  ( x 2  1)( x 3  2). Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. a) Chøng minh AB vu«ng gãc víi (SAD); AD vu«ng gãc víi (SAB) b) Cm: CD vu«ng gãc víi SD c) Tính góc giữa đờng thẳng SB và (SAD); SD và (SAB) ----------------------------------------------------Đề 6: Bài 1: Tính các giới hạn sau 2 3x  4 x  1 a) lim x 1 x 1. 2 x 9. b) lim x 3 x  3. c) lim. x1. 3. x  7  5  x2 x 1.  x2  4x  3 khi x > -3  Bài 2: Cho hàm số f ( x)   . x3  ax+ 2 khi x  3  a, Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó khi a = 3 b, Định a để f(x) liên tục trên R.. Bµi 3: Chứng minh phương trình. x3- 3x + 1= 0 có ít nhất một nghiệm trong (-2; 0). Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) y  2 sin x  cos x  tan x. b) y  cot 4 (2 x 2  5);.  2x  5  y   x 1 . 3. Bài 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a; SO vuông góc với a 6 (ABCD) vµ SO = . 2 a) Chøng minh AC vu«ng gãc víi (SBD); BD vu«ng gãc víi (SAC) b) Tính góc giữa đờng thẳng SC và (SBD). 12 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11. GV: Nguyễn Ngọc Trọng. Đề 7 : Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau a).  2x2  1  b) y   2   x 3 . 1 2 y x  3x  2 x. 4. Bài 2. Cho f ( x )  x 3  3 x 2  x a. Gi¶I pt : f’(x)+f’’(x)=0 b . Gi¶I bpt: f’(x) >0 c.Viết pt tiếp tuyến với đồ thị hs tại điểm có hoành độ là 1. d.Viết pt tiếp tuyến với đồ thị hs biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=x+2 Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau 2 x 2  3x  1 b ) 3  2x C©u 4: Cho f x   2 x 4  4 x 3  x 2  3 x  5. a). y. a) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh. f ,, x   0. C . .. b) CMR ph¬ng tr×nh f , x   0 cã nghiÖm c) Cho hµm sè f ( x )  2 x  2 x  3 (C) a) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0  1 3. b) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0  3 Bµi 5: TÝnh c¸c giíi h¹n sau 2x  5 2x  5 3 2 3 2 a) lim b) lim c) lim (  x  2 x  3) d) lim ( 5 x  2 x  3) x  6  2 x x  6  2 x x  x  A = 600 , AB = a, hai mÆt bªn (SAB) vµ (SBC) Bµi 6: H×nh chãp S.ABC. ABC vu«ng t¹i A, gãc B vuông góc với đáy; SB = a. Hạ BH  SA (H  SA); BK  SC (K  SC). a) CM: SB  (ABC) b) CM: mp(BHK)  SC. c) CM: BHK vu«ng . d) TÝnh cosin cña gãc t¹o bëi SA vµ (BHK) ----------------------------------------Đề 8 : Bài 1 . Tinh c¸c giới hạn sau: x 1 1 x 1 1 x  2  2x a.lim b.lim c.lim x 0 x 0 x 0 2x 3  2x  9 x 1  3  x 2  x 1 khi x  1  Bài 2. Cho hàm số: f ( x )   x  1  x  m khi x  1  a) Với m=2, h·y chỉ ra rằng f(x) gi¸n đoạn tại x =1! b) T×m m để hàm số liªn tục tại x=1?. 13 Lop11.com. d. lim x 2. 2x  2 x 1 e. lim x 2 x  2 x 2.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11. GV: Nguyễn Ngọc Trọng. Bài 3 : Chứng minh phương tr×nh. 2x3 +3x2 +10x +200 = 0 lu«n cã nghiệm. Bµi 4: Cho hµm sè f ( x )  2 x 3  2 x  3 (C) a) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0  1 b) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0  3 c) Viết phơng trình tiếp với (C ) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng y  24 x  2008. 1 x  2008 4 Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  ( ABCD) và SA = 2a. a) Chøng minh ( SAC )  ( SBD) ; ( SCD )  ( SAD ) b) TÝnh gãc gi÷a SD vµ (ABCD); SB vµ (SAD) ; SB vµ (SAC); c) TÝnh d(A, (SCD)); d(B,(SAC)); d(C,SBD)) d) xác định và tính đoạn vuông góc chung giữa các đờng thẳng SD và BC; AD và SB; SC và BD. e) Gäi ( ) lµ mÆt ph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi SD. ThiÕt diÖn cña ( ) víi h×nh chãp S.ABC lµ h×nh g× . ? Tính diện tích của thiết diện đó. ----------------------------------------------------Đề 9 : Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau d) Viết phơng trình tiếp với (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y  . a) y . x3  3x 2  2 x  1 3. d) y . b) y  x 3  2 x . 2x  3 3x  1. 1 4 x. f) y . c) y  ( x 2  1)( x 3  2) 1 x 1. Bài 2: Chứng minh phương tr×nh b, x5-3x4 + 5x-2= 0 cã Ýt nhất ba nghiệm ph©n biệt trong khoảng (-2 ;5 ) Bài 3: XÐt tÝnh liªn tục của hàm số sau trªn tập x¸c định của nã  x 2  3x  2 , khi x  2  f (x)   x  2 3 , khi x = -2  Bµi 4: Cho h×nh chãp đều S.ABCD cã cạnh đ¸y bằng a và cạnh bªn bằng 2a. gọi O là t©m của đ¸y (ABCD). a) CMR (SAC) (SBD), (SBD)(ABCD). b) TÝnh khoảng c¸ch từ điểm S đến mp(ABCD),từ điểm O đến mp(SBC). c) Dựng đường vu«ng gãc chung và tÝnh khoảng c¸ch giữa hai đường thẳng chÐo nhau BD và SD. d) Cho mp (P) đi qua điểm A và vu«ng gãc với đường thẳng SC. H·y x¸c định thiết diện của mp(P) cắt h×nh chãp S.ABCD. -------------------------------Đề 10 : Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau 1 c) y  cos(2 x  1) ( x  1)2 x  1 khi x  1  Bài 2: Cho hàm số f ( x)   2 . ax  2 khi x < 1. a) y  3 x  6 . 10. b) y . 2. 14 Lop11.com. d) y  1  2 tan 4 x.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11. GV: Nguyễn Ngọc Trọng. a, XÐt tÝnh liªn tục của hàm số trªn tập x¸c định của nã khi a = 3 b, Định a để f(x) liªn tục trªn R. Bài 3: T×m giíi h¹n sau : 2 n3  2 n  3 x 2  3x  4 x 3 2 a) lim b) lim c) lim d) lim ( x 3  2 x 2  4) 3 2 2 x  x  1 n  1 1  4n x x x 1 Bài 4: Cho hàm số y = f(x) = 2x3 – 6x +1 (1) a) TÝnh y (2 ) của hàm số (1) rồi suy ra f (5) b) Viết phương tr×nh tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm Mo(0; 1) c) Chứng minh phương tr×nh (fx) = 0 cã Ýt nhất một nghiệm nằm trong khoảng (-1; 1) Bài 5: Cho h×nh chãp S. ABCD cã đ¸y ABCD là h×nh thoi cạnh a cã gãc BAD = 600 và SA=SB = SD = a a) Chứng minh (SAC) vu«ng gãc với (ABCD) b) Chứng minh tam gi¸c SAC vu«ng c) TÝnh khoảng c¸ch từ S đến (ABCD) -----------------------------------------Đề 11 : C©u 1 : T×m c¸c giíi h¹n sau: a) lim x 3. x 8 3 x 2  3x. x 2  3x  2 x 1 3 x  6  2. b) lim. Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:.  x 1 ,khi x  2  x  4 f x     3  x  1 ,khi x<2  x  2 C©u 3: Cho f x   x 4  3 x 3  3 x 2  4 x  5. 1. a) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh f ,, x   0 b) CMR Ph¬ng tr×nh f , x   0 cã 3 nghiÖm Câu 4: Cho hình chóp SABCD có SA   ABCD  và SA  a đáy ABCD là hình thang vuông có đờng cao AB  a; BC  a; AD  2a.. a). Chøng minh r»ng: SD  AB. b). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ). c). Tính khoảng cách từ AB đến CD. d). TÝnh gãc gi÷a SAD  vµ SCD .. 15 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11. GV: Nguyễn Ngọc Trọng ---------------------------------------------------. Đề 12 . C©u 1 : TÝnh c¸c giíi h¹n sau lim. 3x  2 x 1. lim. 3x  2 x 1. 5x  2 ( x  2) 2 Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó  x+1  1 ,khi x>0   x f x    2  x 1 ,khi x  0   x2. a). x 1. b). x 1. c) lim x2. C©u 3: Chứng minh phương tr×nh x 4  (m 2  1) x 3  (3m  3) x 2  x  2  0 cã Ýt nhất một nghiệm trong khoảng (0; 1). C©u 4: Cho f(x)= cosx . CMR:. f '( x . π π π ). f '( x  )  f ( 2 x  )  f '( 0 ) ( x ) 3 6 6. Câu 5: Cho hình chóp SABCD có SA   ABCD  và SA  a 2 đáy ABCD là hình thang vuông có đờng cao AB  a; BC  a; AD  2a. a). Chøng minh r»ng: SCD vu«ng.. b). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC  .. c). Tính khoảng cách từ đờng thẳng AB đến đờng thẳng SD .. d). TÝnh gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng SAD  vµ SCD .. sin 3 x cos3 x  cos x  3(sin x  ). 3 3 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh f '( x )  0 b) TÝnh f ''(0). C©u 6: Cho f ( x ) . ----------------------------------Đề 13 Câu 1: Tính giới hạn 1/. lim x2. 4x 1  3 x2. 3x 3  2x 2  5x  6 x 2 x3  8. 2./ lim. 3/.. lim. n. 2.  x3  1  Câu 2: a/.T×m a để hàm số : f ( x)   x 5  1 , x  1 liên tục trên R 3ax  7, x  1 b/. Chứng minh các phương trình sau : x  19x  30  0 có đúng ba nghiệm 3. 16 Lop11.com.  5n  n. .

<span class='text_page_counter'>(17)</span> ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11. GV: Nguyễn Ngọc Trọng. Câu 4 : a/. y  x 2 . 1/. Tính đạo hàm các hàm số :. 2 x3. b/. y  (2 x  3)7 .(1  2 x)3. 2/. Viết PTTT với ( C) : y  x 2  4 x tại điểm có tung độ bằng -3. Câu 5 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a; mặt bên ( SAB ) là tam giác đều; mặt bên ( SCD ) là tam giác vuông cân tại S. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, SA. 1./ Tìm giao tuyến của 2 mp (CDK) và ( SAB). 2./ Chứng minh rằng : a. JK// mp ( SCD ) b. JK  SI 3./ Tìm góc của SB và CD 4./ Xác định thiết diện của hình chóp với mp (IJK) 2. GIỚI HẠN HAØM SỐ 1. Duøng ñònh nghóa, CMR: a) lim(2x  3)  7 x 2. x 2  3x  2  1 x 1 x 1. x 1 1 x 3 2(x  1). b) lim. c) lim. 2. Tìm các giới hạn sau. x 2  5x  6 2x 2  3x  1 a) lim(x  5x  10x) c) lim x  1 d) lim x 1 x 2  x 2  4x  2 x 0 x 3 x2 1 x  1 x x2 4 1   1 e) lim  f) g) lim lim   3 3 x 1 x  0 x  3x  2 x  1  1  x 1  2x  x sin x tgx 1 tan x  s in2x h) lim i) lim j) lim k) lim x  0 cos x x 0  x  cos x x x  x 3. b) lim. 2. 2. 4.  Daïng voâ ñònh. 0 0. 3. Tìm các giới hạn sau: a) lim. x2 4. b) lim. x 2 1. c) lim. x 2  5x. d) lim. x 2  2x. x  1 x 2  3x  2 x  5 x 2  25 x  2 2x 2  6x  4 x 2  3x  2 2x2  x  6 x 3  3x  2 x 3  x 2  x 1 lim e) lim 4 f) lim g) x  2 x  1 x  4x  3 x  1  x 2  3x  2 x3  8 x 4  x 2  72 x5  1 2x 4  8x 3  7x 2  4x  4 x 3  5x 2  3x  9 lim h) lim 2 i) lim 3 j) lim ,k) x 3 x  2 x  3 x 1 x  1 x 1 x3 3x 3  14x 2  20x  8 x 4  8x 2  9 x2. x 3  3x 2  9x  2 1   2 m) lim  2   3 x 1 x  1 x  2 x x6 x 1  . l) lim. 3   1 n) lim   x 1  1  x 1  x 3  . 17 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 o) lim. x  5x 5  4x 6 (1  x) 2. x 1. GV: Nguyễn Ngọc Trọng 2 (x  h) 3  x 3 x  (a  1)x  a ; q) lim ; 3 3 h0 x a h x a. , p) lim. x4  a4 x a x  a lim.  x2  2(x  h)3  2x 3 x1992  x  2 x4 lim t) lim  2 ; u)   h 0 x 1 x1990  x  2 x 1 x  5x  4 h 3(x 2  3x  2)   x n  nx  n  1 k) lim x 1 (x  1) 2. s) lim. 4. Tìm các giới hạn sau: 4 x 2  x  18 x 2  x  30 A = lim B = lim x 2 x  5 2x 2  9x  5 x3  8 x 2  4x  3 E = lim 2 x 1 x  2x  3. 2x 2  5x  2 F = lim 1 4x 2  1 x 2. x3 1 x2  x. I = lim x 1. x 2. D = lim 1 x. 2x 2  3x  1 G = lim x 1  x 2  4x  5. x 3  27 x 3 x 2  4 x  3. J = lim. x3  x 2  x 1 L = lim x 1  x 2  5x  6. O = lim. x 1 x 1 x 3  2x 2  x  2. C = lim. K = lim. x 2. 8x 3  64 M = lim 2 x  2 x  5x  6. 2. 4x 2  1 4x 3  2x 2  1. x 4  16 H = lim 2 x  2 x  2x.  x 3  6x 2  12x  8 x 2  4x  4. x 3  2x 2  6x  4 N = lim x 2 8  x3. x 3  x 2  5x  2 x 3  4x 2  6x  3 lim P = x 1 x 2  3x  2 x2  x  2. Q = lim x 1. x 3  3x  2 x 2  2x  1. R = lim x 1. x5 1 x3 1. 5. Tìm các giới hạn sau:. x 1  x2  x 1 a) lim x 0 x. 2x  7  3. e) lim. x 1x3. 2.  4x  3. b) lim x 7. f) lim. x4. q) lim. 3. x 2. v) lim. 3. x 1 4. 2x  12  x x 2  2x. x 1 x 1. x 2. 2 x 2 x 2  3x  2. x 1 3 x 1 x  x 2  2 4. n) lim. r) lim. 3. x 1. x7 2 x 1. x 2. 2  x2  3 x 1  x 2  3 x  2. g) lim. h) lim x 2. 3. x 1 3 x  1 4x  4  2. w) lim. x 2. 1 3 1 x x 0 2 x  x 2. x 0 3. x 1 1 x 1 1. x) lim. x 1. 6. Tính các giới hạn sau:. 18 Lop11.com. 3. x 1 x 1 2 x  5 x  3. p) lim t) lim x 1. x 2  23 x 1 (x  1) 2. x x2 x3  8. x x2 4x  1  3. l) lim. o) lim s) lim. 4x  1  3 x2  4. d) lim. j) lim. x2  2x  6  4x  1 x3  2x  1. x 1. x  5  2x  1 x4. c) lim. 3 5 x 3 8 x k) lim x  4 1 5  x x 1 2x  5  x. 3x  2  4x 2  x  2 x 1 x 2  3x  2. i) lim. m) lim. x 3 2 49  x 2. 3. 3. 2. x7 2 x 1.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11. GV: Nguyễn Ngọc Trọng. x 1  x  4  3 x. a. lim x 0. d. lim. x0. x  9  x  16  7 x. c. lim. e. lim. x  3  3 3x  5 x2 1. f. lim. x 0. x 1  3 x 1 x.  Daïng voâ ñònh. b. lim. x 1. 3. x0 3. x 1. x 1  x  4  3 x. 8x  11  x  7 2. x  3x  2.  . 7.Tìm các giới hạn sau:. x x 1 x 2 1 2x  1 a) lim ; b) lim ; c) lim 2 ; 2 x   x  x  1 x   1  3x  5x x   x  1. d) lim. x   (5x  1)(x 2. 3x 3  2 x  2 3x 3  2 x 2  1 x3  2x2  2 e) lim ; f) lim ; g) lim ; x  2 x 3  2 x 2  1 x  4 x 4  3 x  2 x  3 x 2  x  1. (x  1) 2 (7x  2) 2 (2x  3) 2 (4x  7)3 4x 2  1 lim lim ; j) ;k) ; x  x  (3x  4) 2 (5x 2  1) x  3x  1 (2x  1) 4 x 2  3x  2 x x 2  x  2  3x  1 ; n) lim x 3x  1 4x 2  1  1  x. x . p) lim. x 2  2x  3  4x  1. x  . s) lim. x . 3. 4x 2  1  2  x. ( x 3  2 x 2 )2  x 3 x 3  2 x 2  x 2 3x 2  2 x. x . x. x x 3 x  x 2  1. r) lim. x . 3. x 2  3x  2 x 3x  1. l) lim. 4x 2  2x  1  2  x. ; o) lim. q) lim.  2x). x 4  3x 2  1 h) lim x   x 3  2 x  2. i) lim. m) lim. 3x(2x 2  1). 9x 2  3x  2x. x3  2x2  x 2x  2. (x x  x  1)( x  1) x   (x  2)(x  1). t) lim.  Daïng voâ ñònh    8.Tính các giới hạn sau: a) lim (2 x 3  3 x). b) lim (2 x 3  3 x ) x . x  . e) lim ( x 2  x  x) x. x . d) lim ( x 2  x  x). x 2  3x  4. x. f) lim ( x 2  3 x  2  x) g) lim ( x 2  3 x  2  x) x  . i) lim ( x  2  x  2 ) x  . l) lim (2x  1  4x 2  4x  3) x. o) lim ( x 2  3 x  2  x  2) x  . c) lim. x  . j) lim ( x 2  4x  3  x 2  3x  2). x . m) lim (3x  2  9x 2  12x  3) x. x . 19 Lop11.com. x . k) lim x ( x 2  5  x ). x. p) lim ( x 2  3 x  2  x  1). h) lim ( x 2  2 x  4  x ). n) lim ( x 2  3 x  2  x  2) x  . q) lim ( x 2  3 x  1  x  3) x .

<span class='text_page_counter'>(20)</span> ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11. GV: Nguyễn Ngọc Trọng. r) lim ( 4 x 2  x  3  2 x  1) x . 3. v) lim ( x 2  1  x 3  1) x. 3. s) lim ( x 3  x 2  x) x  . w) lim ( 3 x 3  2 x  1  x 2  3 x ) x . 20 Lop11.com. 3. t) lim ( x 3  x 2  x  x) x  .

<span class='text_page_counter'>(21)</span>