Bài giảng Đề thi HSG Huyện Nga Sơn

Phòng giáo dục nga sơn Đề thi học sinh giỏi môn toán - Lớp 9
Năm học 2002 - 2003
( Thời gian làm bài 150 phút )
Đề bài
Câu 1: (5.5 đ) a. Giải phơng trình :
( 1 1)( 1 1) 2x x x+ + =
b. Cho phơng trình bậc 2 có ẩn số là x :

2
2 2 1 0x mx m + =
- Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
- Đặt A =
2 2
1 2 1 2
2( ) 5x x x x+
. Chứng minh : A = 8m
2
- 18m + 9.
Câu 2: (6.5 đ) a. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :

1 1 1
1
x y z
+ + =
b. Cho ba số dơng a, b, c thoả mãn :
2 2 2
7

5
a b c+ + =
Chứng minh rằng
1 1 1 1
a b c abc
+ <
.
Câu 3: (2 đ) Giải hệ phơng trình :

2 2
7
12
x y xy
xy x y
+ + =


+ =

Câu 4: (3.5 đ) Cho hình bình hành ABCD và I là trung điểm của cạnh CD. Đờng thẳng
BI cắt tia AD tại E.
a. Chứng minh rằng các tam giác BIC, EID bằng nhau.
b. Tia EC cắt AB tại F. Chứng minh rằng EC song song với BD.
c. Xác định vị trí của điểm C đối với đoạn thẳng EF.
Câu 5: (2.5 đ) Từ một điểm S ở ngoài đờng tròn (O) kẻ hai cát tuyến SAB, SCD đến đ-
ờng tròn. Chứng minh rằng nếu AB = CD thì SA = SC.


Phòng giáo dục nga sơn Đề thi học sinh giỏi môn toán - Lớp 9
Năm học 2003 - 2004 ( Vòng 1 )

( Thời gian làm bài 150 phút )
Đề bài
Câu 1: (4 đ) a. Tìm số tự nhiên x biết rằng :

1 1 1 2 2002
1 .... 1
3 6 10 ( 1) 2004x x
+ + + + + =
+
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

6 6 6
3 3 3 3 3 3
x y z
Q
x y y z z x
= + +
+ + +
Trong đố x, y, z là các số dơng thoả mãn điều kiện:
1xy xy yz yz zx zx+ + =
.
Câu 2: (3.5 đ) a. Cho x - y = 4; x
2
+ y
2
= 36. Tính x
3
+ y
3

b. Cho các số thực a, b, x, y thoả mãn điều kiện :
a + b = 3 ; ax +by = 5 ; ax
2
+ by
2
= 12 ; ax
3
+ by
3
= 31.
Tính giá trị của : ax
4
+ by
4

Câu 3: (4 đ) a. Giải phơng trình sau :

3
3
1 1
78( )y y
y y
+ = +
với điều kiện
0y
b. GiảI hệ phơng trình sau :

2 2 2 2
2 2 2 2
( ) 85

( ) 65
x xy y x y
x xy y x y

+ + + =


+ + =


Câu 4: (4 đ) Giả sử x, y, z là các số nguyên không âm thoả mãn các điều kiện sau :

36
2 3 72
x by
x z
+


+

Trong đó b > 0 cho trớc.
Chứng minh rằng : a. Nếu
3b

thì x + y + z nhận giá trị lớn nhất là 36.
b. Nếu b < 3 thì x + y + z nhận giá trị lớn nhất là
36
24
b

+
.
Câu 5: (4.5 đ) Cho đờng tròn (O,R) và điểm A với OA = R
2
. Từ A kẻ hai tiếp tuyến
AM và AN.
a. Chứng minh rằng tứ giác AMON là hình vuông.
b. Gọi H là trung điểm của MN. Chứng minh rằng 3 điểm A, H, O thẳng hàng.
c. Một đờng thẳng (m) quay quanh A cắt đờng tròn (O) tại P và Q. Gọi S là trung
điểm của dây PQ. Tìm quỹ tích của điểm S.
d. Tìm vị trí của đờng thẳng (m) để AP + AQ lớn nhất.
e. Tính theo R độ dài đoạn HI . Trong đó I là giao điểm của AO với cung nhỏ MN.


Phòng giáo dục nga sơn Đề thi học sinh giỏi môn toán - Lớp 9
Năm học 2003 - 2004 ( Vòng 2 )
( Thời gian làm bài 150 phút )
Đề bài
Câu 1: (5 đ) a. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :

5 2.5 5 4500
x y z
+ + =
với x < y < z.

b. Cho a, b, c là ba số tuỳ ý thuộc đoạn
[ ]
0;1
Chứng minh rằng :

2
1 1 1
a b c
bc ca ab
+ +
+ + +
Câu 2: (5 đ)
a. Cho biết mỗi phơng trình : x
2
- mx + p = 0 và x
2
- nx + q = 0 đều có hai
nghiệm dơng.
Chứng minh rằng các bất đẳng thức : m < n ; mn < p + q và mq < np không
đồng thời xảy ra.
b. Chứng minh rằng :
2
( )
1
n n
x
f x x= + +
chia hết cho x
2
+ x + 1 khi và chỉ khi
n không chia hết cho 3.
Câu 3: (4 đ) Giải hệ phơng trình sau :
2

2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
x
y
x
y
z
y
z
x
z

=

+


=

+

=

+

Câu 4: (6 đ) Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và tia tiếp tuyến Ax. Từ M thuộc Ax kẻ
tiếp tuyến thứ hai MC với đờng tròn. Đờng vuông góc với AB tại O cắt BC ở N.
a. Có nhận xét gì về tứ giác OMNB ?
b. Tìm tập hợp điểm H là trực tâm của tam giác MAC khi M di động trên Ax.
Phòng giáo dục nga sơn Đề thi học sinh giỏi môn toán - Lớp 9
Năm học 2004 - 2005
( Thời gian làm bài 150 phút )
Đề bài
Câu 1: (3.5 đ) Giải các phơng trình sau:
a.
2 2
3 2 4 3 2
1 4 10 4 21
1 1 1 1
y y y
y y y y y y y y
+ +
=
+ + + + +
b.
3
3
1 1
78( )y y
y y

+ = +
Câu 2: (4.5 đ) Gọi d là đờng thẳng y = 2x + 2 cắt trục hoành tại M và trục tung tại N.
a. Viết phơng trình của đờng thẳng d
1
song song với d và qua điểm P ( 1; 0 ).
b. d
1
cắt trục tung tại Q, tứ giác MNPQ là hình gì ?
c. Viết phơng trình đờng thẳng d
2
qua N và vuông góc với d.
d. d
1
và d
2
cắt nhau tại A. Tìm toạ độ của A và tính khoảng cách AN.
Câu 3: (2 đ) Giải hệ phơng trình:
2
3
4
xy
x y
yz
y z
zx
z x

=

+

=

+


=

+

Câu 4: (2 đ) Tìm giá trị của x sao cho thơng của phép chia 2004x + 1503 cho x
2
+ 1 đạt
giá trị bé nhất có thể đợc.
Câu 5: (8 đ) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và M là một điểm nằm trên nửa đ-
ờng tròn đó. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax, By lầ lợt tại C và D.
a. Chứng minh rằng: CD = AC + BD và tam giác COD vuông.
b. OC và OD cắt AM và BM theo thứ tự tại E và F . Xác định tâm P của đờng tròn đi
qua bốn điểm O, E, M, F.
c. Chứng minh rằng tứ giác ACDB có diện tích nhỏ nhất khi nó là hình chữ nhật và tính
diện tích nhỏ nhất đó.
d. Khi M chạy trên nửa đờng tròn tâm O thì điểm P chạy trên đờng nào ?
Phòng giáo dục nga sơn Đề thi học sinh giỏi môn toán - Lớp 9
Năm học 2006 - 2007
( Thời gian làm bài 150 phút )
Đề bài
Câu 1: (4 đ) Trên hệ trục toạ độ xOy:
a. Viết phơng trình đờng thẳng đI qua hai điểm A(-2;3) và B(1;-3).
b. Đờng thẳng AB này cắt trục hoành tại C và trục tung tại D. Xác định toạ độ của

C và D . Tính diện tích tam giác OCD.
c. Tính khoảng cách CD.
Câu 2: (4 đ) GiảI hệ phơng trình :

4 1
1
2 2
20 3
1
2 2
x y x y
x y x y

=

+



+ =

+


Câu 3: (4 đ) Cho biểu thức:

3
1 1 (1 )
( 1)( ) :
1 1

x x x x x
B x
x x x x
+
= +
+ +
a. Rút gọn B.
b. Với giá trị nào của x thì
1
2
B =
.
Câu 4: (8 đ) Trong đờng tròn tâm O bán kính R , cho hai dây AB và AC vuông góc với
nhau.
( 3R
AB < 2R)
1.a/ Chứng minh rằng :
2 2 2
4AB AC R+ =
b/ Cho
3AB R=
Hãy tính AC và các khoảng cách từ tâm O đến hai dây AB và AC.
2. Kẻ hai dây song song AD và BE hợp với AB góc 45
0
. DE cắt AB tại P.
a/ Chứng minh DE vuông góc với AB.
b/ Gọi OF là khoảng cách từ O đến DE. Tính khoảng cách từ O đến DF và độ dài của
các đoạn thẳng PA, PB, PD, PE khi
3AB R=
.

3. Nối CE. Hỏi ADEC là tứ giác gì?
4. Trong trờng hợp tổng quát cho hai dây AB và DE vuông góc với nhau tại P.
Chứng minh rằng :
2 2 2 2 2
4PA PB PD PE R+ + + =