trong lĩnh vực tín dụng lãi tức là số tiền mà người sử dụng vốn người vay phải trả cho người chủ sở hữu vốn người cho vay để được sử dụng vốn trong một thời gian

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

1 | P a g e
CHƯƠNG 1.

ĐẠI CƯƠNG VỀ TỐN TÀI CHÍNH

1.1.Khái niệm, đối tượng và ứng dụng của Tốn tài chính
1.1.1 Khái niệm

Tốn tài chính là một mơn khoa học tính tốn về tài chính phục vụ cho các hoạt
động kinh doanh và đầu tư trong nền kinh tế. Môn học này cung cấp các phương pháp,
công cụ cho các nhà quản trị tài chính trong q trình quản trị doanh nghiệp cũng như cho
các nhà đầu tư trong kinh doanh trên thị trường chúng khốn, trong phân tích kinh doanh.
1.1.2 Đối tượng

Đối tượng của toán tài chính là tính tốn về lãi suất, tiền lãi, giá trị của tiền tệ theo
thời gian, giá trị của các cơng cụ tài chính … Do vậy, tốn tài chính là một mơn học ứng
dụng vào các nghiệp vụ kinh doanh cụ thể.

1.1.3 Ứng dụng của toán tài chính

Tốn tài chính được ứng dụng chủ yếu trong lĩnh vực tài chính, ngân hàng. Ngồi
ra tốn tài chính cịn ứng dụng trong các lĩnh vực: thẩm định dự án đầu tư, định giá tài
sản, mua bán trả góp …

1.2. Các yếu tố cơ bản của tốn tài chính
1.2.1 Thời gian

Thời gian dùng trong tốn tài chính là khoảng thời gian dùng để tính tốn tiền lãi
của việc sử dụng tiền và xác định giá trị của tiền tệ trên thang thời gian đầu tư.

Cần chú ý rằng để xác định thời gian trong tốn tài chính, người ta cịn quan tâm

đến các thời điểm. Thời gian đầu tư của một dự án thường bao gồm nhiều chu kỳ thời
gian nhỏ tương ứng với khoảng thời gian được dùng để tính lãi theo quy định.

Ví dụ 1.1. Nếu thời gian cho vay là 5 năm và mỗi năm tính lãi 2 lần thì khi đó thời gian
cho vay được phân thành 10 chu kỳ và mỗi chu kỳ có độ dài 6 tháng.

1.2.2 Lãi tức và lãi suất

1.2.2.1. Lãi tức (tiền lời) (Interest)

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2 | P a g e
nhất định. Trong hoạt động sản xuất kinh doanh, lãi tức là số tiền chênh lệch dương giữa
giá trị thu được và vốn đầu tư ban đầu.

Lãi tức chỉ xuất hiện sau một thời gian đầu tư nhất định. Nói cách khác, lãi tức là
kết quả tài chính cuối cùng của quá trình đầu tư. Số tiền lãi phụ thuộc vào: số vốn gốc;
thời gian đầu tư; lãi suất; rủi ro.

1.2.2.2. Lãi suất

Khi lãi tức biểu thị theo tỷ lệ phần trăm đối với số vốn ban đầu cho một đơn vị thời
gian thì được gọi là lãi suất.

Lãi suất thể hiện quan hệ tỷ lệ giữa lãi tức trong một đơn vị thời gian với vốn gốc
trong thời gian đó. Lãi suất là suất thu lợi của vốn trong một đơn vị thời gian.

Ví dụ 1.2. Đầu tư 100 triệu đồng sau một năm thu được 112 triệu đồng. Như vậy sau 1
năm nhà đầu tư lãi là 12 triệu đồng và lãi suất là 12%/năm.

12.000.000

12% .100%

100.000.000



1.2.2.3. Sự tương đương

Từ lãi suất chúng ta có thể thiết lập khái niệm tương đương. Đó là những số tiền
khác nhau ở các thời điểm khác nhau có thể bằng nhau về giá trị kinh tế.

Ví dụ 1.3. Nếu lãi suất là 12%/năm thì 1 triệu đồng hơm nay sẽ tương đương với 1,12
triệu đồng sau một năm.

1.3. Các phép tính cơ bản

Để tính tốn các phép tính trong tốn tài chính người ta lập sẵn các bảng tính giúp
cho việc tính tốn dễ dàng hơn. Có rất nhiều bảng tính nhưng trong tài liệu này ta chỉ xét
4 bảng tính căn bản sau đây:

1.3.1 Bảng tính tài chính số 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

3 | P a g e
Công thức là

 

 

1

1
1

n

n r

r



 


được gọi là thừa số hiện giá hay giá trị hiện tại
hay thừa số chiết khấu

1.3.3 Bảng tính tài chính số 3

Công thức là

 

1 1
n

r
r

 

được gọi là thừa số giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ cố
định phát sinh cuối kỳ.

1.3.4 Bảng tính tài chính số 4

Cơng thức là 1

 

1
n

r
r



 

được gọi là thừa số hiện giá của chuỗi tiền tệ cố định
phát sinh cuối kỳ.

1.4. Sử dụng Excel trong Tốn tài chính

Trong Excel có chứa rất nhiều hàm tốn tài chính; dùng các hàm này để giải các
phép toán tài chính rất hữu hiệu. Ở đây chúng ta chỉ nghiên cứu một số hàm thường được
sử dụng.

1.4.1 Hàm FV

Hàm FV sẽ cho kết quả là giá trị tương lai (giá trị cuối) của một chuỗi tiền tệ đều
với lãi suất cố định.

Cấu trúc hàm: FV(rate, nper, pmt, pv, type)

 rate:lãi suất của một chu kỳ

 nper: số chu kỳ

 pmt: số tiền thanh toán mỗi chu kỳ

 pv: giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ (không bắt buộc)

 type: phương thức phát sinh của chuỗi tiền tệ

o type=0 hoặc bỏ qua: chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ.
o type=1: chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ.

1.4.2 Hàm PV

Hàm PV sẽ cho kết quả là giá trị hiện tại (giá trị đầu) của một chuỗi tiền tệ đều với
lãi suất cố định.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

4 | P a g e

 rate:lãi suất của một chu kỳ

 nper: số chu kỳ

 pmt: số tiền thanh toán mỗi chu kỳ

 fv: giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ (không bắt buộc)

 type: phương thức phát sinh của chuỗi tiền tệ

o type=0 hoặc bỏ qua: chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ.
o type=1: chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ.

1.4.3 Hàm PMT

Hàm PMT sẽ cho kết quả là số tiền phải thanh toán định kỳ (kỳ khoản) của một
chuỗi tiền tệ đều với lãi suất cố định khi đã biết giá trị của PV hay FV

Cấu trúc hàm: PMT(rate, nper, pv, fv, type)

 rate:lãi suất của một chu kỳ

 nper: số chu kỳ

 pv: giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ

 fv: giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ (không bắt buộc)

 type: phương thức phát sinh của chuỗi tiền tệ

o type=0 hoặc bỏ qua: chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ.
o type=1: chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ.

1.4.3 Hàm NPV

Hàm NPV sẽ cho kết quả là giá trị hiện tại ròng (hiện giá ròng) của đầu tư với lãi
suất không đổi

Cấu trúc hàm: NPV(rate, value1, value2, …, …, …)

 rate:lãi suất của một chu kỳ

 value1, value 2, …: các khoản phát sinh (thu hoặc chi) ở cuối chu kỳ 1, 2, …
1.4.5 Hàm IRR

Cho kết quả là lợi suất (tỷ suất hoàn vốn nội bộ) của dự án đầu tư.
Cấu trúc hàm: IRR (value, guess)

 value: dòng tiền của dự án đầu tư

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

5 | P a g e
CHƯƠNG 2.

ĐẠI SỐ TUYỂN TÍNH DÙNG TRONG TÀI CHÍNH

2.1 Định thức và ma trận

2.1.1 Khái niệm cơ bản về ma trận
Ma trận cấp m n

Một ma trận A cấp m n là một bảng gồm m n. số a i_ij



1, ;m j1,n



được sắp thành

m hàng, n cột dạng :

11 12 1
21 22 2

1 2

n
n

m m mn

a a a

a a a

A

a a a

 

 

 



 

 

 




  



Số a_ij gọi là các phần tử của ma trận A. Cụ thể, a_ij là phần tử nằm trên dòng i và cột j của
ma trận A; i là chỉ số dòng, j là chỉ số cột của phần tử a_ij đó.

Phần tử nằm ở dòng i và cột j của ma trận A cịn được kí hiệu là ( )A _ij.

Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau, ký hiệu A B nếu chúng có cùng cấp m n

và ( )A ij ( )B ij



i1, ;m j1,n



. Khi ấy A và B có các phần tử hồn tồn như nhau ở mọi
vị trí.

 Khi m1, A gọi là ma trận dòng.

 Khi n1, A gọi là ma trận cột.
Ví dụ 2.1. 2 0 1

4 8 9

A   _

  là ma trận cấp 2 3, có ( )A13  1,( )A 22 8.

1 2 3

4 6 3

5 3 7

B



 

 

  

 

 

là ma trận cấp 3 3 có ( )B ₁₂ 2,( )B ₂₁4,( )B ₃₂ 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

6 | P a g e
Ma trận chuyển vị. Ma trận chuyển vị của A, kí hiệu _At_{là ma trận có được từ}_A

bằng cách chuyển các dòng của A thành các cột tương ứng của _At_.

Cho A( )a_ij m n là ma trận cấp m n . Khi đó

t

A là ma trận cấp n m .

Ví dụ 2.2.

2 4

2 0 1

, 0 8

4 8 9

1 9

1 2 6

1 3 5 2

3 4 7

, 2 4 2 3

5 2 9

6 7 9 10
2 3 10

 



  _ _

_ _ _ _

  __ _

 



 



 

 

 

 

 _  _

 

 

 _   

 

t

t

A A

B B

Chú ý: ( )_At t _ _A

Ma trận khơng. Ma trận khơng cấp m n , kí hiệu O_{m n}_ hoặc O khi cấp ma trận đã
được chỉ rõ là ma trận cấp m n mà tất cả các phần tử của nó đều bằng 0.

Ví dụ 2.3. _{2 3} _{3 4}

0 0 0 0
0 0 0

, 0 0 0 0 .

0 0 0

0 0 0 0

O_ O_

 

  _ _

_ _ _ _

  _ _

 

Ma trận vuông. Khi m n , ma trận A có số dịng và số cột bằng nhau bằng n gọi là
ma trận vng cấp n. Kí hiệu A( ) .a_ij n

Nếu A là ma trận vuông cấp n, đường chứa các phần tử a a₁₁, ₂₂, , ann gọi là đường

chéo chính của A, đường chứa các phần tử a a₁n, _2,n-1, , an₁ gọi là đường chéo phụ .

Ví dụ 2.4.

1 3 5 7
2 4 6 8
3 6 7 8
3 4 2 1

A

 

 

 



 

 

 

Ma trận tam giác. Ma trận A vuông cấp n gọi là ma trận tam giác trên (dưới) nếu
tất cả các phần tử nằm phía dưới (phía trên) đường chéo chính đều bằng 0.

Đường chéo phụ

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

7 | P a g e
Ví dụ 2.5.

1 4 6 7

1 4 5

0 1 8 5

0 2 6 ;

0 0 2 0

0 0 3

0 0 0 5

A B

 

  _ _



  _ _

_ _ 

 

  _ _

 

 

là các ma trận tam giác trên

3 0 0
3 0

; 0 6 0

1 7

2 4 7

C D

 



  _ _

_ _ _ _

  _ _

 

là các ma trận tam giác dưới.

Ma trận chéo. Ma trận A vuông cấp n gọi là ma trận chéo nếu tất cả các phần tử
nằm ngoài đường chéo chính đều bằng khơng.

Ví dụ 2.6.

1 0 0
2 0

, 0 3 0

0 7

0 0 5

A B

 

  _ _

_ _ _ _

  _ _

 

là các ma trận chéo.

Ma trận đơn vị. Ma trận đơn vị cấp n, kí hiệu I_n hoặc I là ma trận vng cấp n có
tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng 1, các phần tử còn lại đều bằng 0.

Ví dụ 2.7. ₂ ₃

1 0 0
1 0

, 0 1 0

0 1

0 0 1

I I

 

  _ _

_ _ _ _

  _ _

 

2.1.2 Các phép toán cơ bản của ma trận
2.1.2.1. Phép cộng hai ma trận

Cho hai ma trận cùng cấp m n A( )aij m n ,B( )bij m n .

Tổng của A và B, kí hiệu A B là ma trận có cấp m n xác định bởi :
ij ij ij ij ij

(A B ) ( )A ( )B a b với i1, , ; m j 1, , n.
Ví dụ 2.8. 1 2 3 7 8 9 1 7 2 8 3 9 8 10 12

4 5 6 10 11 12 4 10 5 11 6 12 14 16 18

  

       

  

     _ _ _   

       

Ví dụ 2.9. Cho

4 6 2 4

3 5 ; 11 13

7 1 8 6

A B

   

   

 _ _ _ _

    

   

. Tính A B

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

8 | P a g e

4 6 2 4 6 10

3 5 11 13 8 18 .

7 1 8 6 1 5

A B

     

     

  _ _{ } _{ } _

      

     

Chú ý: Hai ma trận chỉ cộng được với nhau khi chúng có cùng cấp.
2.1.2.2. Phép nhân một số thực với một ma trận

Cho A( )a_ij m n cấp m n và số thực . Tích của  và A, kí hiệu A là ma trận cấp

m n xác định bởi (A)_ij ( )A _ij a_ij với i1, , ; m j1, , n

Ví dụ 2.10.

3 4 6 8

2. 2 6 4 12 ;

1 5 2 10

   

  _ 

   

   

   

3 4 3 4

1 2 3 3 6 9

1. 2 6 2 6 ; 3.

4 5 6 12 15 18

1 5 1 5

 

   

  

   

   

 _ _{ }   _  _ _{ } _

  

   

    

   

Lưu ý: Khi  1 thay cho ( 1) A, ta sẽ viết A và gọi là ma trận đối của A.
Ta định nghĩa A B   A ( B) và gọi A B là A trừ B.

2.1.2.3. Phép nhân hai ma trận

Cho ma trận A cấp m n , ma trận B cấp n p . Khi đó tích của A với B, kí hiệu AB là
ma trận có cấp m p xác định bởi

ij
1

( ) ( ) ( ) , 1, , ; 1, ,

n

ik kj

k

AB A B i m j p







   

Ví dụ 2.11. Cho

1 3
1 2 1

, 2 1

3 1 2

3 1

A B

 



  _ _

_ _ _ _

  _ _ _

 

.

Ta có

1.1 2.2 ( 1).3 1.3 2.1 ( 1)( 1) 2 6

3.1 1.2 2.3 3.3 1.1 2.( 1) 11 8

AB_         _{ } _

    

   

Chú ý

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

9 | P a g e
- Phần tử (AB)_ij bằng tổng các tích từng phần tử trên dòng i của A với phần tử tương
ứng ở cột j của B.



 

  _ _



_{ } _ _ _

  _ _

  _ _

  _

 

- Nói chung, khi AB xác định có thể BA không xác định. Ngay cả khi AB, BA cùng
xác định thì nói chung AB BA .

Ví dụ 2.12. Cho hai ma trận A, B ở ví dụ 11 và ma trận 2 1
1 0

C _{ }  _

 

Ta có:

1.2 3.1 1.( 1) 3.0 5 1 10 5 5

2.2 1.1 2.( 1) 1.0 5 2 , 5 5 0

3.2 ( 1).1 3.( 1) ( 1).0 5 3 0 5 5

   

     

     

_    _{ }  _ _ _

            

     

BC BA

Nhận xét: AC và CB không xác định; AB BA

2.1.2.4. Lũy thừa của ma trận vuông

Với mỗi ma trận A vuông cấp n và mỗi số tụ nhiên p, ta định nghĩa:
0

1

. ( 1)

n

p p

A I

A A  A p



 

Ta cũng gọi p( )

A p_ là lũy thừa bậcpcủa A

Ví dụ 2.13. Cho ma trận 1 2
0 1

A_{ }  _

 .

Khi đó: 2 1 2 1 2 1 4

;

0 1 0 1 0 1

  

     

_ _{ } _{ } _

     

A

Tương tự: 3 _{. .} 2_. 1 4 1 2 1 6 _.

0 1 0 1 0 1

  

     

  _ _{ } _{ } _

     

A A A A A A

2.1.3 Định thức

2.1.3.1. Định thức của ma trận vng
Định thức cấp 1

Dịng i

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

10 | P a g e
Cho A

 

a₁₁ là ma trận vuông cấp 1. Định thức của ma trận A, kí hiệu A

haydetA, được gọi là định thức cấp 1, là một số xác định như sau detA a ₁₁.
Ví dụ 2.14. Cho A

 

4 ,B 

 

7 . Khi đó detA4 , detB 7

Định thức cấp 2

Cho 11 12
21 22

a a

A

a a

 

  

  là ma trận vuông cấp 2. Định thức của ma trận A, kí hiệu A

haydetAđược gọi là định thức cấp 2, là một số xác định như sau:
11 12

11 22 12 21
21 22

detA a a a a a a

a a

  

Ví dụ 2.15. 2 3 2.5 4.3 2; 4 7 4.3 7.( 3) 33
4 5     3 3    
Định thức cấp 3

Cho

11 12 13
21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

 

 

  

 

 

là ma trận vuông cấp 3. Định thức của ma trận A, kí hiệu

A haydetA được gọi là định thức cấp 3, là một số xác định như sau:
11 12 13

11 22 33 12 23 31 13 21 32
21 22 23

11 23 32 12 21 33 13 22 31
31 32 33

( )

det

( )

a a a

a a a a a a a a a

A a a a

a a a a a a a a a

a a a

  

 

  

Để nhớ công thức trên người ta thường dùng quy tắc Sarrus

Quy tắc Sarrus

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

11 | P a g e
2 4 8

1 1 3 2.( 1).7 4.3.5 1.4.8 (8.( 1).5 1.4.7 4.3.2) 66
5 4 7

         

6 2 8

1 2 3 6.2.5 ( 2).3.5 ( 1).4.8 (8.2.5 4.3.6 ( 1).( 2).5) 164.

5 4 5



            

Định thức cấp n
Phần bù đại số

Cho A là ma trận vuông cấp n.

11 12 1
21 22 2

1 2

n
n

n n nn

a a a

a a a

A

a a a

 

 

 



 

 

 




  



Gọi M_ijlà ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j.
Số ( 1) deti j _ij

M



 gọi là phần bù đại số của phần tử a_ij, kí hiệu là A_ij

Định thức của ma trận A được gọi là định thức cấp n, được tính bởi cơng thức

1 1 2 2

1

det _i _i _i _i _{in in} n _ij _ij (1)

j

A a A a A a A a A



   



Hoặc

1 1 2 2

1

det (2)

n

j j j j nj nj ij ij

i

A a A a A a A a A



   



Công thức (1) gọi là cơng thức khai triển định thức theo dịng i.
Cơng thức (2) gọi là công thức khai triển định thức theo cột j.

Ví dụ 2.17. Tính định thức của ma trận

2 4 8
1 1 3
5 4 7

M

 

 

_  _

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

12 | P a g e
2 1 4 8 2 2 2 8 2 3 2 4

det 1.( 1) ( 1).( 1) 3.( 1)

4 7 5 7 5 4

=(-1).(-4)+(-1).(-26)+3.(-1)(-12)=66

M          

Khai triển theo cột 3

1 3 1 1 2 3 2 4 3 3 2 4

det 8.( 1) 3.( 1) 7.( 1)

5 4 5 4 1 1

=8.9+(-1).3.(-12)+7.(-6)=66

M          



2.1.4. Các tính chất của định thức.
(1) det_A_det_At

(2) Định thức sẽ bằng 0 nếu thỏa một trong những điều kiện sau:
- Có một dịng (hoặc một cột) bằng 0

- Có hai dịng (hoặc hai cột) giống nhau hoặc tỷ lệ với nhau

Ví dụ 2.18.

1 4 7

13 5 9 0

2 8 14



  

(dòng 1 và dòng 3 tỷ lệ)

(3) Nếu ta đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột) của định thức cho nhau thì định thức đổi dấu.

Ví dụ 2.19.

3 6 7 1 5 2

1 5 2 3 6 7

4 8 10 4 8 10



  

 

(đổi chỗ dòng 1 và dòng 2 cho nhau)

(4) Nếu ta nhân một dịng (một cột) của định thức với số  thì định thức cũng nhân với

. det(__A) __ndet_A

Ví dụ 2.20.

3 6 7 3 6 7

3 1 5 2 3 15 6
4 8 10 4 8 10

 



 

(nhân dòng 2 với 3)

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

13 | P a g e
Ví dụ 2.21.

3 6 7 1 ( 2) 5 1 7 0 1 5 7 2 1 0

1 5 2 1 5 2 1 5 2 1 5 2

4 8 10 4 8 10 4 8 10 4 8 10

       

  

   

(6) Nếu ta nhân một dòng (hoặc một cột) của định thức với số  bất kì rồi cộng vào dịng
khác (cột khác) thì định thức khơng thay đổi.

Ví dụ 2.22.

3 6 7 1 16 11

1 5 2 1 5 2

4 8 10 4 8 10

 



 

(Nhân dòng 2 với 2 rồi cộng vào dòng 1)

(7) Nếu A, B là hai ma trận vng cấp n thì det(AB) det .det A B

Chú ý: det( n) (det )n

A  A

2.1.5. Một số phương pháp tính định thức

Phương pháp biến đổi đưa định thức về dạng tam giác.

Dùng các tính chất của định thức đưa định thức về dạng tam giác. Định thức sẽ bằng
tích các số trên đường chéo chính.

Ví dụ 2.23. Tính

2 4 8
1 1 3
5 4 7

M  

Giải

Biến đổi đưa M về dạng tam giác

2 2 1
3 3 1

2 4 8 1 2 4 1 2 4

1 1 3 2 1 1 3 2 0 3 1

5

5 4 7 5 4 7 0 6 13

d d d

M

d d d

 

     

 

 

3 3 2

1 2 4

2 2 0 3 1 2.1.( 3).( 11) 66
0 0 11

d d  d      



Ví dụ 2.24. Tính

1 0 2 0

2 1 3 1

3 1 0 2

2 1 0 3

N  

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

14 | P a g e
Giải

3 3 1
4 4 2

1 0 2 0 1 0 2 0

3

2 1 3 1 2 1 3 1

3 1 0 2 0 1 6 2

2 1 0 3 0 0 3 4

d d d

N

d d d

 

 





 



2 2 1 3 3 2

1 0 2 0 1 0 2 0

0 1 1 1 0 1 1 1

2

0 1 6 2 0 0 7 3

0 0 3 4 0 0 3 4

d d  d   d d d  

 

4 4 3

1 0 2 0

0 1 1 1

3 37

1.( 1).( 7). 37

0 0 7 3

7 7

37

0 0 0

7

d d d

 

  _    

Phương pháp khai triển định thức theo dịng hoặc cột

Ví dụ 2.25. Tính

1 0 2 0

2 1 3 1

3 1 0 2

2 1 0 3

N  



Giải

Khai triển theo dòng 1:

1 1 1 2 1 3

1 4

1 3 1 2 3 1 2 1 1

1.( 1) 1 0 2 0.( 1) 3 0 2 2.( 1) 3 1 2

1 0 3 2 0 3 2 1 3

2 1 3

0.( 1) 3 1 0

2 1 0

N   



 

      

 



  



Chú ý: Khai triển trên dịng hay cột nào có nhiều số 0.
Định thức của ma trận tích

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

15 | P a g e
Ví dụ 2.26. Tính định thức

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

1 1 1

1 1 1

,( 2)

1 1 1

n
n

n n n n

x y x y x y

x y x y x y

A n

x y x y x y

  
 
 _ _ _ 
 
 

 
 _ _ _ 
 


   

Giải
Ta có:
1
1 2
2

1 1 1

1 0 0

1 0 0

0 0 0

1 0 0

0 0 0

n

n

x

y y y

x
A
x
 
 _{ } _
 _{ } _
 _{ } _

 _{ } _
 _{ } _
 _{ } _
 





    
   


Do đó
1
1 2
2

2 1 2 1

1 1 1

1 0 0

1 0 0 0, , 2

det 0 0 0

( )( ) , 2

1 0 0

0 0 0

n

n

x

y y y

x n

A

x x y y n

x



 _{ }
  






    
   



2.1.6. Hạng của ma trận
2.1.6.1. Định nghĩa
Định thức con

Cho A là ma trận cấp m n . Chọn các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột
của A ta được một ma trận vuông cấp k. Định thức của ma trận vuông cấp k này ta gọi là

định thức con cấp k của A.

Ví dụ 2.27. Cho ma trận

1 0 1 2

0 1 2 1

1 1 3 3


 
 
_  _
  
 
A .

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

16 | P a g e
- Chọn các phần tử nằm trên dòng1, dòng 3, cột 1 và cột 3 ta được định thức 1 2

1 3



là một định thức con cấp 2 của ma trận A.

- Chọn các phần tử nằm trên dòng1, dòng 2, dòng 3, cột 1, cột 2 và cột 4 ta được định

thức

1 0 2

0 1 1

1 1 3






là một định thức con cấp 3 của ma trận A.

Hạng của ma trận

Cho A là ma trận cấp m n khác O. Hạng của ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A)
là cấp cao nhất trong các định thức con khác 0 của ma trận A.

Vậy hạng của A, rank(A)=r thỏa

(i) Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 của A .

(ii) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) thì phải bằng 0.
Quy ước : Nếu A=O thì r(A)=0

Ví dụ 2.28. Tìm hạng các của ma trận sau

1 0 3 2 2 0 1 2

0 1 2 1 , 0 1 2 3

2 0 6 4 5 0 6 4

A B

 

   

   

_  _ _ _

    

   

Giải

A có ít nhất một định thức con cấp 2 khác 0, đó là 1 0 1 0
0 1   .

Nhận thấy rằng A có dịng đầu và dịng cuối tỷ lệ, do đó mọi định thức con cấp 3 của A
đều bằng 0. Do A không có định thức con cấp lớn hơn 3 nữa nên ranh(A)=2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

17 | P a g e
2 0 1

0 1 2 2.1.6 0.2.5 0.0.1 5.1.1 0.0.6 2.0.2 7 0
5 0 6

       

Do đó rank (B)=3.

2.1.6.2. Một số tính chất của hạng ma trận

(1) Cho A là ma trận cấp m n . Khi đó 0rank A( ) min{ , } m n ;

( ) 0   ; ( ) 0   ;

rank A A O rank A A O

(2) Nếu A là ma trận cấp m n có (ít nhất) một định thức con khác 0 cấp r
(0 r min{ , })m n thì rank A( )r.

Đặc biệt, nếu A có một định thức con khác không cấp r min{ , }m n thì
( ) min{ , }.

rank A m n Lúc đó ta bảo A có hạng cực đại.

Trường hợp riêng, nếu ma trận A vng cấp n có định thức detA0 thì rank A=n, tức là
A có hạng cực đại; cịn nếu detA0 thì rank A<n,

(3) _{rank A}( )t __rankA.

2.1.6.3. Phương pháp tính hạng của ma trận
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Ba phép biến đổi sau đây gọi là ba phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận
1) Nhân một dịng với một số bất kì rồi cộng vào dòng khác

2) Nhân một dòng với một số khác 0 bất kì.
3) Đổi chỗ hai dòng cho nhau.

Ma trận bậc thang (theo dòng )

Cho A là ma trận khác không cấp m n . A gọi là ma trận bậc thang dòng nếu nó
thỏa mãn các điều kiện sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

18 | P a g e
(ii) Phần tử khác không đầu tiên kể từ trái qua phải ở dòng dưới bao giờ cũng nằm bên
phải cột chứa phần tử khác khơng đầu tiên của dịng trên.

Các phần tử khác không đầu tiên này gọi là các phần tử được đánh dấu của A.

Ví dụ 2.29. Cho

1 2 0 1 1 2 0 1 1 3 4

0 0 1 2 ; 0 0 1 2 ; 0 4 1

0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 2

 

     

     

 _  _  _ _  _ _

     

     

A B C

A, B, C là các ma trận bậc thang dòng.

Các số ( )A₁₁ 1,( )A ₂₃  1,( )A ₃₄ 5 gọi là các phần tử được đánh dấu của ma trận A.
Các số ( )B ₁₁ 1,( )B ₂₃ 1 gọi là các phần tử được đánh dấu của ma trận B

Các số ( )C ₁₁ 1,( )C ₂₂ 4,( )C ₃₃  2gọi là các phần tử được đánh dấu của ma trận C
* Phương pháp tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp

Định lý. Các phép biến đổi sơ cấp trên dịng khơng làm thay đổi hạng của ma trận.
Hạng của ma trận bậc thang dòng bằng số dòng khác 0 của nó

Do đó muốn tìm hạng A ta dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa về ma trận bậc
thang A’. Khi đó hạng của A bằng hạng của A’ bằng số dòng khác 0 của A’.

Ví dụ 2.30. Tìm hạng của ma trận

1 2 2 3 1

1 0 3 2

2 3 4 1 2

0 1 2 1 ,

3 2 1 2 3

2 0 6 4

1 1 3 3 5

A B



 



  _ _



  _ _

_  _ 

  

   _ _

  _ _ _

 

Giải

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

19 | P a g e

3 3 2 1

1 0 3 2 1 0 3 2

0 1 2 1 0 1 2 1

2 0 6 4 0 0 0 0

d d d

A  

 

   

   

_  _ _  _

    

   

Vậy r(A)=2

2 2 1

3 3 1

4 4 1

3 3 2 4 4 3

4 4 2

2
3

4
3

1 2 2 3 1 1 2 2 3 1

2 3 4 1 2 0 1 8 7 0

3 2 1 2 3 0 4 7 7 6

1 1 3 3 5 0 3 1 0 6

1 2 2 3 1 1 2 2 3 1

0 1 8 7 0 0 1

0 0 25 21 6

0 0 25 21 6

d d d
d d d
d d d

d d d d d d

d d d

B

 
 
 

   

 

 

   

 _   _ _ 

   

 

       

 _ _ _   _ _ _ 

   

 

 

 _ _  _

 

 

   

 _ _ 

 

8 7 0

0 0 25 21 6

0 0 0 0 0

 

 _ 

 

   

 

 

Vậy r(B)=3.

2.1.7. Ma trận nghịch đảo
2.1.7.1. Khái niệm

Cho A là một ma trận vuông cấp n. Ma trận B vuông cấp n gọi là ma trận nghịch
đảo của A nếu

.

n

AB BA I 

Ma trận nghịch đảo của A kí hiệu là _A1_.
Ví dụ 2.31. Cho ma trận 1 2 ; 3 2

1 3 1 1

A_ _ B_  _


   .

Khi đó ta có AB BA I  ₂ nên _B_ _A1_.
Tính chất

Nếu ma trận vng A và B có ma trận nghịch đảo thì

1 1 1 1 1 1 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

20 | P a g e
Định lý

Ma trận vng A có ma trận nghịch đảo khi và chỉ khi detA0.

Ma trận A có ma trận nghịch đảo ta gọi là ma trận khả nghịch (khả đảo)

Ma trận A có detA0 gọi là ma trận khơng suy biến.
Ví dụ 2.32. Ma trận 1 2

1 3

A_{ } _

  khả nghịch (theo ví dụ 1) và ta thấy detA 1 0

Ma trận nghịch đảo của A nếu có thì duy nhất.

Thật vậy : Giả sử B và Blà hai ma trận nghịch đảo của ma trận A, tức là
;

n n

AB BA I  ABB A I 

Ta có BB I n B AB( ) ( B A B I B B )  n  .

2.1.7.3. Một số phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
* Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dùng định thức

Định lý

Cho A( )a_ij n là ma trận vuông cấp n. Nếu A khả đảo thì

1 1
det A

A P

A

 _

Trong đó

11 21 1

12 22 2

1 2

n
n
A

n n nn

A A A

A A A

P

A A A

 

 

 



 

 

 




   



với A là phân bù đại số của_ij a ij.

PAgọi là ma trận phụ hợp của A.

Ví dụ 2.33. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận 1 3
2 5

A_{ } _

 .

Giải

Tính detA: det 1 3 1.5 3.2 1 0.
2 5

A      Do đó A khả đảo. Tìm P_A

1 1 1 2

11 12

1 2 2 2

21 22

( 1) det 5 5 ( 1) det 2 2

( 1) det 3 3 ( 1) det 1 1

5 3

2 1

A

A A

A A

P

 

 

      

       



 

 _ _ 

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

21 | P a g e

1 1 5 3 5 3

2 1 2 1

( 1)

A  _   _{ }  _

 

    

Ví dụ 2.34. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

1 2 3
2 5 3
1 0 8

A

 

 

  

 

 

Giải
Tính detA

detA1.5.8 2.3.1 2.0.3 (1.3.5 2.2.8 0.3.1)      1. Do đó A khả đảo.
TìmP_A

1 1 1 2 1 3

11 12 13

2 1 2 2 2 3

21 22 23

3 1 3 2 3 3

31 32 33

5 3 2 3 2 5

( 1) 40; ( 1) 13; ( 1) 5

0 8 1 8 1 0

2 3 1 3 1 2

( 1) 16; ( 1) 5; ( 1) 2

0 8 1 8 1 0

2 3 1 3 1 2

( 1) 9; ( 1) 3; ( 1) 1

5 3 2 3 2 5

40 16 9

13 5 3

5 2 1

A

A A A

A A A

A A A

P

  

  

  

          

         

         

 

 

 

 _ _

  

 

Do đó

1

40 16 9 40 16 9

1 1

. 13 5 3 13 5 3

det 1

5 2 1 5 2 1

A

A P

A



  

   

   

  _ _{ }   _



      

   

Ví dụ 2.35. Tìm ma trận nghịch đảo của

1 2 3
1 7 11

1 3 5

B

 

 

  

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

22 | P a g e
2 2 1

3 3 1

1 2 3 1 2 3

det 1 7 11 0 5 8 0

1 3 5 0 5 8

d d d

B

d d d

 

 

 



(định thức cuối có dịng 2 và dịng 3 giống

nhau). Vậy B khơng khả nghịch.

* Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dùng các phép biến đổi sơ cấp

Cho A là ma trận vuông cấp n. Để tìm ma trận nghịch đảo của A ta thực hiện các bước
như sau :

- Bước 1: Lập ma trận _A I_n_bằng cách ghép thêm vào bên phải A ma trân đơn vị In.
- Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa _A I_n_về dạng _I B_n _.

Nếu làm được như thế thì A khả nghịch và _A1 __B_.
Chú ý:

Trong quá trình biến đổi nếu ở khối bên trái xuất hiện một dịng 0 thì A khơng khả
nghịch.

Dùng phương pháp thứ hai không cần kiểm tra điều kiện khả đảo.
Ví dụ 2.36. Tìm ma tra trận nghịch đảo (nếu có) của

1 2 2 3

) )

3 7 4 6

a A_ _ b B_ _

   

Giải

a) Lập ma trận

2

1 2 1 0
3 7 0 1

A I  

 _{  } _

 

 

Biến đổi sơ cấp trên dòng của _A I₂_

2 2 3 1 1 1 2 2

2

1 2 1 0 1 0 7 2

0 1 3 1 0 1 3 1

d d d d d d

A I         

  _ __ _

  _ _

   

Ma trận sau cùng có dạng _I B₂ _, do đó A khả nghịc và 1 7 2
3 1

A _{ }  _


 

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

23 | P a g e
2

2 3 1 0
4 6 0 1

B I  

 _{  } _

 

 

Biến đổi sơ cấp trên dòng của _B I₂_

2 2 2 1

2

2 3 1 0
0 0 2 1

d d d

B I    

 _{   } _

  _

 

Do khối bên trái xuất hiện dòng khơng nên B khơng khả nghịch.

Ví dụ 2.37. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của

1 2 3
2 5 3
1 0 8

A

 

 

  

 

 

Giải

Lập ma trận _A I₃_. Ta có

3

1 2 3 1 0 0
2 5 3 0 1 0
1 0 8 0 0 1

A I

 

 

  

   

 

 

Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa _A I₃_về dạng _I B₃ _

2 2 1

3 3 1

2
3

1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0

2 5 3 0 1 0 0 1 3 2 1 0

1 0 8 0 0 1 0 2 5 1 0 1

d d d

d d d

A I  _{ }

   

   

     

     

   _ _ 

   

3 3 2 1 1 3

2 2 3

2 3

3

1 2 3 1 0 0 1 2 0 14 6 3

0 1 3 2 1 0 0 1 0 13 5 3

0 0 1 5 2 1 0 0 1 5 2 1

d d d d d d

d d d

   

 

    

   

_   __   _

       

   

3 3

1 1 2 2

1 0 0 40 16 9 1 0 0 40 16 9

0 1 0 13 5 3 0 1 0 13 5 3

0 0 1 5 2 1 0 0 1 5 2 1

d d

d d d 

     

   

_   _ _   _

       

   

Do đó A khả nghịch và 1

40 16 9

13 5 3

5 2 1

A


 

 

_   _

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

24 | P a g e
2.2 Hệ phương trình tuyến tính

2.2.1. Khái niệm cơ bản

Hệ phương trình tuyến tính tổng qt

Hệ phương trình tuyến tính (n ẩn, m phương trình) là hệ có dạng
11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

(1)

n n
n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

   

 _ _{ } _



 _ _{ } _




      


Trong đó a b i_ij, (_i 1,..., ;m j 1,..., )n là các số thực cho trước.
1, , ,2 n

x x  x gọi là các ẩn số.

ij( 1, , ; 1, , )

a i  m j   n gọi là các hệ số.
( 1, , )

i

b i  m gọi là các hệ số tự do.

Ma trận

11 12 1
21 22 2

1 2

n
n

m m mn

a a a

a a a

A

a a a

 
 
 

 
 
 


  


gọi là ma trận hệ số của hệ (1).

Ma trận
1
2
m
b
b
B

b
 
 
 

 
 
 

 gọi là ma trận hệ số tự do hay cột tự do của hệ (1).

Ma trận

11 12 1 1
21 22 2 2

1 2

n
n

m m mn m

a a a b

a a a b

A A B

a a a b

 
 
 
 
_ _{ }

 
 
 


    


gọi là ma trận hệ số bổ sung hay ma trận

mở rộng của hệ (1).

Ma trận
1
2
n
x
x
X
x
 
 
 


 
 
 

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

25 | P a g e
Hệ (1) có thể viết dưới dạng ma trận AXB.

Bộ n số ( , , , )x x1 ₂  xn gọi là nghiệm của hệ (1) nếu như khi ta thay chúng vào hệ (1) ta

được các đẳng thức đúng.

Ví dụ 2.38. Cho hệ phương trình tuyến tính

1 2 3 4
1 3 4

1 2 3

2 1

3 2

2 5 2 1

x x x x

x x x

x x x

   



    


 _ _ _{ }



Ta có

1
2
3
4
1

1 1 2 1

1 0 3 1 , 2 ,

2 5 2 0 1

x
x

A B X

x
x
 
 

  _{ }

 

  _{ }

_   _  _{ } _{ }

 

     

   

 

2.2.2. Điều kiện tồn tại nghiệm
Định lý Kronecker-Capelli

Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi rank A( )rank A( ).
Hơn nữa giả sử rank A( )rank A( )r (0 r min{ , }).m n Khi đó

- Nếu r n (n là số ẩn) thì hệ (1) có nghiệm duy nhất.

- Nếu r n thì hệ (1) có vơ số nghiệm phụ thuộc vào n r tham số
Ví dụ 2.39. Các hệ phương trình sau đây có nghiệm hay khơng

2 3 1 2 3 4

1 3 1 2 3 4

1 2 3 1 2 3 4

2 1 2 4 2

) 2 ) 2 1

2 2 2 1 7 4 11 5

x x x x x x

a x x b x x x x

x x x x x x x

     

 

 _ _{ }  _ _{ } _

 

 _ _ _{ }  _ _ _ _

 

Giải

Ta tìm hạng của các ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng tương ứng
a) Ta có

1 2

0 1 2 1 1 0 1 2

1 0 1 2 0 1 2 1

2 2 2 1 2 2 2 1

d d

A A B 

     

   

 

_ _{ }  _ _  _

 _{ }   _{ } 

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

26 | P a g e

3 3 2 1 3 3 2 2

1 0 1 2 1 0 1 2

0 1 2 1 0 1 2 1

0 2 4 3 0 0 0 1

d d d d d d

     

   

_  __  _

 _   

   

Vậy r A( ) 2 r A( ) 3 nên hệ đã cho vô nghiệm.
b)

3 3 2

2 2 1

3 3 1

2

1 2 1 4 2

2 1 1 1 1

1 7 4 11 5

1 2 1 4 2 1 2 1 4 2

0 5 3 7 3 0 5 3 7 3

0 5 3 7 3 0 0 0 0 0

d d d

d d d

d d d

A A B

 
 

 

  

 

 

_ _{ }  _

  

 

     

   

_   _ _   _

    

   

Vậy r A( )r A( ) 2 hệ đã cho có nghiệm.

2.2.3. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử
Phương pháp giải hệ tổng quát

Lập ma trận A . Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về dạng bậc thang
Nếu trong quá trình biến đổi xuất hiện một dòng bên trái bằng 0, bên phải khác 0. Hệ
vô nghiệm

Nếu đưa A về dạng bậc thang thì các ẩn ứng với các cột chứa phần tử đánh dấu giữ lại
làm ẩn, các ẩn ứng với các cột không chứa phần tử đánh dấu chuyển sang bên phải làm
tham số, sau đó giải phương trình ngược từ dịng dưới cùng đến dịng 1.

Ví dụ 2.40. Giải hệ

1 2 3 4
1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

1

2 3

3 2 2 2 4

1

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

   



 _ _{ } _



 _ _ _ _



   


Giải

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

27 | P a g e

1 1 1 1 1

2 1 1 1 3

3 2 2 2 4

0 1 1 1 1

A
  
 _ 

 
_ _

 
 
 
 

Biến đổi A

2 2 1

3 3 1

3 3 2
4 4 2

2
3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 3 0 1 1 11

3 2 2 2 4 0 1 1 11

0 1 1 1 1 0 1 1 11

1 1 1 1 1
0 1 1 1 1

0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

d d d

d d d

d d d

d d d

A  _{ }

 
 
     
 _   _ _ 
   
_ __ _
  
   
   
   
   
  
 _ _ 
 
_ _
 
 

 

Từ đây ta được hệ mới tương đương với hệ đã cho:
1 2 3 4
2 3 4

1

1

x x x x

x x x

   



    


1, 2

x x giữ lại làm ẩn chính,x x₃, ₄ chuyển qua phải làm tham số. Ta có

1 2 3 4

2 3 4

1

2 3 4

1

1

2
1

x x x x

x x x

x

x x x

   

    



  _{   }


Vậy nghiệm của hệ

1
2
3
4
2
1
( , )
x

x a b

a b R

x a
x b


    
 _
 

 


</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

28 | P a g e
1 2 3 4

1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4

0

3 2 5

5 4

7 3 10

x x x x

x x x x

x x x

x x x x

   



 _ _{ } _



 _ _ _



 _ _{ } _



Giải

Ma trận hệ số mở rộng

1 1 1 1 0

3 1 1 2 5

5 1 1 0 6

7 1 1 3 10

A

   

 _ 

 



  

 _ 

 

 

Biến đổi ma trận hệ số mở rộng A về ma trận bậc thang

2 2 1

3 3 1

4 4 1

3 3 2

4 4 2

3
5
7

2

1 1 1 1 0 1 1 1 1 0

3 1 1 2 5 0 4 4 5 5

5 1 1 0 6 0 4 4 5 6

7 1 1 3 10 0 8 8 10 10

1 1 1 1 0

0 4 4 5 5

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

d d d

d d d

d d d

d d d

d d d

A  

 
 

 
 

       

 _   _ 

   

 

     

   

 

   

   

   

 _ 

 



 

 

 

 

Suy ra rank A( ) 2 3  rank A( ). Do đó hệ vơ nghiệm.

2.3 Các mơ hình tuyến tính trong kinh tế

2.3.1. Mơ hình cân đối liên ngành (Mơ hình Input-Output Leontief)

Mơ hình này cịn được gọi là mơ hình I/O. Nó đề cập đến việc xác định mức tổng cầu
đối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế. Trong khn khổ
của mơ hình, khái niệm ngành được xem xét theo nghĩa thuần túy sản xuất. Các giả thiết
sau được đặt ra:

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

29 | P a g e
2. Các yếu tố đầu vào của sản xuất trong phạm vi một ngành được sử dụng theo một tỷ lệ
cố định.

Tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành bao gồm:

- Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho q trình sản xuất
- Cầu cuối cùng từ phía người sử dụng sử dụng loại sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất
khẩu, bao gồm các hộ gia đình, nhà nước, các hang xuất khẩu.

Giả sử một nền kinh tế ngành gồm n ngành: ngành 1, ngành 2, …, ngành n và ngồi
ra cịn có một phần khác của nền kinh tế (gọi là ngành kinh tế mở), nó khơng sản xuất
hàng hóa như n ngành trên mà chỉ tiêu dùng sản phẩm của n ngành kinh tế này. Để thuận
tiện cho việc tính chi phí cho các yếu tố sản xuất, ta biểu diễn lượng cầu của tất cả các
hàng hóa ở dạng giá trị, tức là đo bằng tiền (với giả thiết thị trường ổn định). Tổng cầu về
sản phẩm hàng hóa của ngành i được tính theo cơng thức:

1 2 (1); 1,2, ,

i i i in i

x  x x   x b i  n

Trong đó

i

x là tổng cầu hàng hóa của ngành i;

ik

x là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành k cần sử dụng cho việc sản xuất (cầu trung
gian);

i

b là giá trị hàng hóa của ngành i cần tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng);
Biến đổi (1)

1 2

1 2

1 2

; 1,2, ,

i i in

i n i

n

x x x

x x x x b i n

x x x

      

Đặt ik



, 1,2, ,



(2)

ik
k

x

a i k n

x

  

Ta được hệ phương trình (mơ hình Input-Output Liontief hay phương trình sản xuất):
1 11 1 12 2 1 1

2 21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n
n n

n n n nn n n

x a x a x a x b

x a x a x a x b

x a x a x a x b

    



     





     







</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

30 | P a g e

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2
(1 )

(1 )

(3)
(1 )

n n
n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

    



     



 


     









Dạng ma trận của chúng là X  AX B hay (I A X ) B(3 )

Với

1 1

11 12 1

21 22 2 2 2

1 2

; ;

n
n

n n nn n n

x x

a a a

a a a x x

A X B

a a a x x

   

 

   

 

   

 

  

   

 

   

 

     




     



A gọi là ma trận hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kĩ thuật

X là ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất)
B là ma trận cuối cùng

Từ công thức (2), phần tử a_ik của A là tỷ phần chi phí của ngành k trả cho việc mua hàng
hóa của ngành i tính trên một đơn vị giá trị hàng hóa của ngành k (chi phí yếu tố đầu vào
của sản xuất).

Ví dụ 2.42. aik 0,2 nghĩa là để sản xuất ra 1$ giá trị hàng hóa của mình (tính bình
qn), ngành k phải mua 0,2$ hàng hóa của ngành i.

Theo giả thiết 2 ta có a_ik không đổi. Ta gọi a_ik là hệ số chi phí cho các yếu tố sản xuất
hay hệ số kĩ thuật, do đó 0a_ik 1

Trong ma trận A, các phần tử của dòng i là hệ số giá trị hàng hóa của ngành i bán cho
tất cả các ngành làm hàng hóa trung gian (kể cả ngành i), cịn cột k là hệ số giá trị hàng

hóa của ngành k mua của các ngành để sử dụng cho mình sản xuất hàng hóa của mình (kể
cả ngành k). Tổng tất cả các phần tử của cột k là mức chi phí của ngành k phải trả cho
việc mua các yếu tố sản xuất trên 1$ giá trị hàng hóa của mình và ngồi ra ngành cịn sử
dụng giá trị hàng hóa để tiêu dùng, do đó:

1k 2k nk 1; 1,2, ,

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

31 | P a g e
Phương trình (3’) cho phép ta xác định được tổng cầu đối với hàng hóa của tất cả các
ngành sản xuất, điều này có ý nghĩa quan trọng đối với việc lập kế hoạch sản xuất đảm
bảo cho nền kinh tế vận hành trôi chảy, tránh dư thừa hoặc thiếu hụt hàng hóa

Định lý

Giả sử A là ma trận hệ số đầu vào của một nền kinh tế và B là cầu cuối cùng. Nếu các
phần tử của A và B không âm và tổng các phần tử trên mỗi cột của A nhỏ hơn 1 thì

1

(I _A) _{tồn tại và ma trận tổng cầu}_X _₍_{I A B}_ ₎1

Ma trậnI A gọi là ma trận Liontief hay ma trận hệ số cơng nghệ

Ví dụ 2.43. Giả sử trong 1 nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3.
Cho biết ma trận hệ số kĩ thuật

0,2 0,3 0,2
0,4 0,1 0,2
0,1 0,3 0,2

 

 

 

 

 

a) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A

b) Cho biết mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10; 5; 6
triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành

Giải

a) Số 0,4 ở dòng thứ 2 và cột thứ nhất của ma trận hệ số kĩ thuật có nghĩa là để sản xuất 1
$ hàng hóa của mình, ngành 1 cần sử dụng 0,4$ hàng hóa của ngành 2

b) Ta có

0,8 0,3 0,2
0,4 0,9 0,2
0,1 0,3 0,8

I A

 

 

 

  _  _

  

 





1

0,66 0,30 0,24
1

0,34 0,62 0,24
0,384

0,21 0,27 0,60

I A 

 

 

  _ _

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

32 | P a g e





1

10 24,84
0,66 0,30 0,24

1

0,34 0,62 0,24 5 20,68
0,384

0,21 0,27 0,60 6 18,36

X I A  B

   

 

   

 

   _ __{  } _

   

 

     

Như vậy tổng cầu đối với hàng hóa của ngành 1 là 24,84; đối với hàng hóa của ngành 2 là
20,68; đối với hàng hóa của ngành 3 là 18,36 (triệu USD)

2.3.2. Mơ hình cân bằng thu nhập quốc dân
Xét mơ hình cho dưới dạng

0 0

( )( 0,0 1) (1)
( 0,0 1)

Y C I G

C a b Y T a b

T d tY d t

  


      



     


trong đó

 Y là tổng thu nhập quốc dân

 C là tiêu dùng của dân cư

 T là thuế

 I₀ là mức đầu tư cố định theo kế hoạch

 G₀ là mức chi tiêu cố định của chính phủ.
Biến đổi (1) ta có hệ phương trình ba ẩn

0 0

(2)

Y C I G

bY C bT a
tY T d

  


   


  



Giải hệ (2) ta có mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

33 | P a g e

15 0,4( )

36 0,1

o o

Y C I G
C Y T

T Y

  

  

 

,

trong đó I_o 500 là mức đầu tư cố định; G_o 20 là mức chi tiêu cố định.
Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng.

Giải. Ta có

500 20 520

15 0,4( ) 0,1 36

36 0,1 520 15 0,4( 0,1 36)

Y C C Y

C Y T T Y

T Y Y Y Y

    

 

 _ _ _ _  _ _

 

 _ _  _ _ _ _ _

 

520 293,4375

0,1 36 117,34375

0,64 520,6 813,4375

C Y C

T Y T

Y Y

  

 

 

 _    _ 

 _  _

 

.

Vậy Y 813,4375 ; C 293,4375 ; T 117,34375.

2.3.3. Mơ hình cân bằng thị trường hàng hóa và tiền tệ (mơ hình IS – LM)

Mơ hình IS-LM được dùng để phân tích trạng thái cân bằng thị trường của nền
kinh tế trong cả hai thị trường: thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ.

Khi có mặt thị trường tiền tệ, mức đầu tư I phụ thuộc vào lãi suất r. Giả sử

1 1 ( ,1 1 0)

I a b r a b 

Xét mơ hình cân bằng thu nhập và tiêu dùng dạng

0

1 1 1 1
Y=c+I+G (1)

I=a ( , 0 (2)

( 0,0 1) (3)

b r a b

C a bY a b



 _ _



     

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

34 | P a g e
1 1 0

1 1 0

(1 ) (4)

Y a bY a b r G
b r a a G b Y

    

     

Phương trình (4) biểu diễn quan hệ giữa lãi suất và thu nhập khi thị trường hàng hóa cân
bằng, được gọi là phương trình IS.

Trong thị trường tiền tệ, lượng cầu tiền L phụ thuộc vào thu nhập Y và lãi suất r. Giả sử

2 2 ( ,2 2 0)

L a Y b r a b  

Giả sử lượng cung tiền cố định là M₀. Điều kiện cân bằng thị trường tiền tệ là

0 2 2 2 2 0 (5)

M a Y b r b r a Y M 

Phương trình (5) biểu diễn điều kiện cân bằng của thị trường tiền tệ được gọi là phương
trình LM.

Mơ hình IS-LM là mơ hình gộp IS và LM thành một hệ thống
IS

LM




Từ mơ hình mày xác định được mức thu nhập Y và lãi suất r đảm bảo cân bằng trong cả
hai thị trường hàng hóa và tiền tệ

Chẳng hạn, giải hệ: 1 1 0

2 2 0

(1 )

b r a a G b Y
b r a Y M

    



 _ _



Ta tìm được:

1 0 2 1 0

1 2 2

1 0 2 0

1 2 2

( )

(1 )

( ) (1 )

.
(1 )

a a G b b M
Y

b a b b

a a G a b M

r

b a b b

  



 

   



 
Ví dụ 2.45. Cho 0 250 ; 0 4500 ; 34 15

10 0,3 ; 22 200 .

G M I r

C Y L Y r

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

35 | P a g e
a) Lập phương trình IS.

b) Lập phương trình LM.

c) Tìm mức thu nhập và lãi suất cân bằng của hai thị trường hàng hóa và tiền tệ.

Giải. a) Ta có

0 (10 0,3 ) (34 15 ) 250

Y  C I G   Y   Y   r  .
Vậy phương trình IS là 15r  294 0,7 Y .

b) Phương trình LM có dạng

0 22 200 4500 200 22 4500

L  M  Y  r   r  Y  .
c) Mức thu nhập Y và lãi suất r cân bằng là nghiệm của hệ phương trình

15 294 0,7 15(0,11 22,5) 294 0,7

200 22 4500 0,11 22,5

r Y Y Y

r Y r Y

    

 



 _ _  _ _

 

2,35 631,5 268,72

0,11 22,5 7,06

Y Y

r Y r

 

 

 _  _

  

  .

</div>

<!--links-->