Bài tập tổng hợp véc tơ

<span class='text_page_counter'>(1)</span>www.VNMATH.com BÀI TẬP TỔNG HỢP VÉC TƠ I. CÁC QUY TẮC CẦN NHỚ 1) Quy tắc ba điểm :    Với ba điểm A , B , C bất kỳ ta luôn có : AB  BC  AC.    AB  AC  CB    ABCD là hình bình hành  AB  AD  AC hoặc. 2) Quy tắc hình bình hành : 3) Quy tắc trung điểm :       M là trung điểm AB và I là điểm tùy ý  MA  MB  0 và IA  IB  2 IM 4) Quy tắc trọng tâm : G là trọng tâm của  ABC và M là điểm tùy ý , ta có : 5) Điều kiện thẳng hàng :.         GA  GB  GC  0 và MA  MB  MC  3MG   A , B , C thẳng hàng  AB  k . AC. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP A. - Chứng minh các đẳng thức véc tơ Bài 1 Cho 4 điểm A , B , C , D . Chứng minh :.  .  .       Bài 2 Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M tùy ý . Chứng minh : MA  MC  MB  MD  2 MO Bài 3 Cho  ABC . Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB. Chứng minh :              a) AN  CM  KB  0 b) AM  BN  CK  0 c) AK  BM  AN  BK  KC a) AB  CD  AD  CB. . . . b) AB  CD  AC  BD. Bài 4 Cho tứ giác ABCD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD. Chứng minh.  . .  . a) AC  BD  2 IJ. . b) AD  BC  2 IJ.  . . Bài 5 Cho tứ giác ABCD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm AC và BD. Chứng minh AB  CD  2 IJ Bài 6 Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N , I , J lần lượt là trung điểm AD , BC , AC , BD. Chứng minh :.  . .  . . b) AB  DC  2 IJ a) AB  DC  2 MN Bài 7 Cho tứ giác ABCD . Gọi E , F lần lượt là trung điểm AB và CD. K là trung điểm EF. Chứng minh :.   .       b) KA  KB  KC  KD  0      c) Với O là điểm tùy ý thì OA  OB  OC  OD  4OK. a) AB  AC  AD  4 AK. Bài 8 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O và M là điểm bất kỳ..   . .           Bài 9 Cho  ABC có trọng tâm G . Gọi H đối xứng với G qua B. Chứng minh : HA  5HB  HC  0 a) Tính MA  MC  ME theo MO. b) Chứng minh MA  MC  ME  MB  MD  MF. Bài 10 Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G’. Chứng minh :.   . .   .   . . a) AD  BE  CF  3GG ' b) AE  BF  CD  AF  BD  CE  3GG ' c) Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm Bài 11 Cho  ABC có trọng tâm G , trực tâm H và nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Chứng minh :.        c) OA  OB  OC  OH. a) HB  HC  HD.   . . b) HA  HB  HC  2 HO.   . . c) HA  HB  HC  2OA. d) Chứng minh O , G , H thẳng hàng Bài 12 Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB , CD..          b) Với I là điểm bất kỳ . Chứng minh IA  IB  IC  ID  4 IK. . a) Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh : KA  KB  KC  KD  0 c) Gọi E và F lần lượt là trung điểm AC và BD . Chứng minh EF đi qua điểm K. d) Gọi G1 là trọng tâm của  BCD. Chứng minh A , K , G1 thẳng hàng e) Gọi G2 , G3 ,G4 lần lượt là trọng tâm của các  CDA ,  DAB ,  ABC . Chứng minh các đường thẳng AG1 , BG2 , CG3 , DG4 đồng quy tại một điểm. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> www.VNMATH.com B. - Chứng minh ba điểm thẳng hàng Bài 13        Cho  ABC và điểm I , F sao cho IA  3IC  0 và FA  2 FB  3 FC  0 .Chứng minh I , F , B thẳng hàng Bài 14          Cho  ABC có các điểm M , N , K sao cho MB  2 MC  0 ; NA  2 NC  0 ; KA  KB  0. . .  . a) Biểu diễn các véc tơ KM , KN theo các véc tơ AB , AC b) Chứng minh M , N , K thẳng hàng Bài 15     Cho bốn điểm A , B , C , M thỏa mãn hệ thức MA  2 MB  3 MC  0 . Chứng minh A , B , C thẳng hàng Bài 16. .     2  BC . Gọi E là điểm thỏa mãn 4 AE  2 EB  3EC  0 .   5 a) Phân tích ED theo hai véc tơ EB và EC b) Chứng minh ba điểm A , E , D thẳng hàng. Cho  ABC . Trên Bc lấy điểm D sao cho BD . Bài 17      Cho  ABC , lấy M , N thỏa mãn : 3 MA  4 MB  NB  3 NC  0 . Gọi G là trọng tâm của  ABC. a) Chứng minh M , N , G thẳng hàng. .  . b) Phân tích AC theo hai véc tơ AG , AN . AC cắt GN tại K. Tính tỉ số. KA KB. Bài 18 Cho hình bình hành ABCD . M , N là 2 điểm lần lượt trên đoạn AB và CD sao cho AB = 3AM , CD = 2CN.. .  . a) Tính AN theo hai véc tơ AB , AC. .  . . . b) Gọi G là trọng tâm  BMN . Tính AG theo AB , AC. .  . c) Gọi I là điểm xác định bởi BI  k BC . Tính AI theo AB , AC và k. Tìm k để AI đi qua G Bài 19 Cho  ABC có G là trọng tâm . I là trung điểm của AG và K là điểm thuộc AB sao cho AB = 5AK.    .  . a) Phân tích các véc tơ AI , AK , CI , CK theo hai véc tơ CA , CB b) Chứng minh ba điểm C , I , K thẳng hàng Bài 20. . Cho  ABC và I là điểm thuộc AC sao cho CA = 4CI. Điểm J là điễm sao cho BJ . . a) Chứng minh BI . 3   AC  AB 4. 1  2  AC  AB 2 3. b) Chứng minh ba điểm B , I , J thẳng hàng. . . c) Dựng điểm J thỏa mãn đề bài d) Kéo dài AJ cắt BC tại K. Tính BK theo BC Bài 21     Cho  ABC , I là điểm thỏa mãn 5 IA  7 IB  IC  0 . Gọi G là trọng tâm  ABC.. . Chứng minh AM . 2  3  AB  AC 5 5. .      a) Phân tích véc tơ IJ theo hai véc tơ AB , AC b) Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của  ABC. . . Bài 22 Cho  ABC , lấy I và J sao cho IA  2 IB và 3JA  2 JC  0. . . c) Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Gọi K là điểm thỏa BK  mBA . Xác định m để K , G , D thẳng hàng. . . . Bài 23 Cho  ABC , gọi I là trung điểm BC . D và E là hai điểm sao cho BD  DE  EC ..           b) Phân tích AS  AB  AC  AD  AE theo AI. a) Chứng minh AB  AC  AD  AE. c) Chứng minh ba điểm A , I , S thẳng hàng Bài 24        Cho  ABC , lấy M , N , K sao cho : MB  2 MC  NA  2 NC  KA  KB  0.  .  . a) Phân tích KM , KN theo hai véc tơ AB , AC b) Chứng minh M , N , K thẳng hàng. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> www.VNMATH.com C. Xác định điểm thõa mãn hệ thức véc tơ cho trước Bài 25 Cho tam giác ABC . Xác định điểm M thỏa mãn điều kiện sau :.         d) MA  3 MB  2 MC  0     g) 4 MA  3 MB  MC  0.         e) 5 MA  2 MB  MC  0     h) MA  2 MB  4 MC  0. a) MA  MB  MC  0.         f) 3 MA  2 MB  2 MC  0     k) MA  2 MB  4 MC  3BC. b) MA  2 MB  MC  0. c) 2 MA  MB  MC  0. Bài 26 Cho tam giác ABC , M là điểm tùy ý. Chứng minh các véc tơ sau không phụ thuộc vào vị trí của M :.         c) b  5 MA  9 MB  4 MC.         d) d  3MA  5MB  2 MC. a) a  2 MA  MB  MC. b) b  3 MA  2 MB  MC. Bài 27      Cho tứ giác ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vecto v  3MA  7 MB  2 MC  2 MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M. Bài 28 Cho hình bình hành ABCD . Xác định điểm M thỏa mãn các hệ thức sau :.          c) 4 MA  3 MB  2 MC  MD  0.          d) 2 MA  2 MB  3 MC  MD. a) 4AM  AB  AC  AD. b) MA  MB  MC  4 MD  0. Bài 29 Cho tứ giác ABCD . Xác định điểm M thỏa mãn các hệ thức sau :          a) 2MA  MB  MC  DA b) 2 MA  MB  2 MC  MD  0. .   . . . .  . c) MA  2 MB  MC  MD  0 d) 2 MA  2 MB  3 MC  MD Bài 30 Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là điểm tùy ý . Tính độ dài các véc tơ sau theo a:. .    . . a) u  3 MA  MB  MC  MD Bài 31 Cho tứ giác ABCD.. .  . . b) u  4 MA  3 MB  MC  2 MD.            b) Tìm tập hợp điểm các điểm M sao cho u  MA  MB  MC  MD cùng phương với AB. a) Xác định điểm I sao cho AB  IB  IC  ID  0 Bài 32 Cho tam giác ABC , tìm tập hợp các điểm M sao cho :.  .  . a) MA  MB  MA  MB.  .  . b) 2 MA  MB  4 MB  MC. Bài 33. .  . .  . Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện: MA  3MB  MC  2 MA  3MB  MC Bài 34 Cho tam giác ABC và đường thẳng d cố định. Tìm điểm M trên d sao cho :. .   . . . . . a) u  2 MA  MB  MC có độ dài nhỏ nhất b) u  MA  3 MB  2 MC có độ dài nhỏ nhất Bài 35     Cho tam giác ABC . Hai điểm M và N thỏa mãn MN  2 MA  3 MB  MC .. .  . . a) Xác định điểm I sao cho : 2 IA  3IB  IC  0 b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định Bài 36     Cho tam giác ABC. Và hai điểm M, N thỏa MN  4 MA  MB  3MC a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M, N thay đổi.. . . b) Gọi E là điểm thỏa ME  2 BN chứng minh đường thẳng ME luôn đi qua một điểm cố định. Bài 37     Cho tam giác ABC, M và N lần lượt là hai điểm thay đổi thỏa điều kiện: MN  3MA  3MB  4 MC . a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.. . . . b) Gọi P là điểm thỏa MP  BN  2 MB chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định.. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> www.VNMATH.com Bài 38 Cho hình bình hành ABCD có các điểm M , I , N lần lượt thuộc các cạnh AB , BC , CD sao cho AB = 3AM , BI = kBC , CD = 2CN. Gọi G là trọng tâm của tam giác MNB . Định k để AI đi qua G. Bài 39 Cho tam giaùc ABC vaø M laø moät ñieåm tuøy yù.     a) Chứng minh rằng vector v  MA  2MB  3MC không phụ thuộc vào vị trí của M.. . . b) Hãy dựng điểm I sao cho CI  v .. . . .           d) Gọi D và E là hai điểm sao cho BD  DE  EC . Hãy dựng p  AB  AC  DA  EA .. c) Đường thẳng CI cắt AB tại N. Chứng minh rằng NA  2NB  0 và CI  3CN .. D. Tính độ dài các véc tơ Bài 40.  . Cho tam giác đều ABC cạnh là a. Tính AB  AC Bài 41.  . Cho tam giác vuông ABC vuông tại B. Biết AB = 6 ; BC = 10. Tính BA  BC. Bài 42 Cho hình vuông ABCD tâm O , cạnh a. Xác định các véc tơ sau và tính độ dài của chúng :. .    . .  . .  . a) v  OA  OB  OC  OD b) u  AD  AB c) w  AD  AC Bài 43       Cho tam giác ABC đều , cạnh 2a. Tính độ dài các véc tơ : u  BA  BC , v  CA  CB. Bài 44.  .  .   600 . Tính : | AB  AD | ; BA  BC ; Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh a , có BAD Bài 45.  .    . Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính : AC  BD và AB  BC  CD  DA. Lop10.com.   OB  DC ..

<span class='text_page_counter'>(5)</span>