Bài tập Đẳng thức lượng giác

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 1 Tính a/ sin150 và cos150 d/ tg. . b/ sin180 và cos180. c/ sin 360 và cos 360. e/ tg 37 030 '. 8 Bài 2 Tính cot g 440  tg 2260 cos 4060  a/  cot g 720.cot g180 0 cos 316 0 cos 288 cot g 720 b/  tg180 0 0 tg 162 sin108. 2sin 2550 .cos 188 1 c/  0 tg 368 2 cos 6380  cos 980 0. 0. . cos 2 197 0  cos 2 287 0 sin 2 3230  1  sin 2 217 0 cos 2 37 0 Bài 3 Tính giá trị các biểu thức sau. d/. d/ tg 2. a/ tg 200 tg 400 tg 600 tg 800 1  2sin 700 b/ 2sin100  3 5 7  sin 4  sin 4 c/ sin 4  sin 4 16 16 16 16 Bài 4 Rút gọn.  12.  tg 2. 3 5  tg 2 12 12. e/ tg 90  tg 27 0  tg 630  tg 810 f/ cos 6.  16.  cos 6. 3 5 7  cos 6  cos 6 16 16 16. 1  cos x  1  cos x  b/ 1  sin x  sin 2 x. 2. a/ sin 3 x sin x  cos 3 x cos x 3. 3. 2 cos 2 x  1 sin x  cos x Bài 5 a/ Cho sin x  cos x  a .Tính sin x.cos x sin x  cos x 3 3 sin x  cos x sin 4 x  cos 4 x  3  4 3 4 sin x  cos x sin x  cos x b/ Cho tgx  cot gx  a .Tính. c/. tgx  cot gx. tg 2 x  cot g 2 x  2 2 tg x  cot g x. d/.    . 1  sin x 1  sin x  1  sin x 1  sin x. sin 5 x  cos5 x  5 5 sin x  cos x. tg 3 x  cot g 3 x  3 3 tg x  cot g x. tg 6 x  cot g 6 x  6 6 tg x  cot g x. Bài 6 a/ Cho tgx  2 .Tính 3sin 4 x  5sin 3 x cos x  11sin 2 x cos 2 x  4sin x cos3 x  2 cos 4 x A 5sin 4 x  3sin 3 x cos x  2sin 2 x cos 2 x  10sin x cos3 x  3cos 4 x b/Cho tgx=4 .Tính 7 cos5 x  4 cos 4 x sin x  2 cos 2 x.sin 3 x  5cos x.sin 4 x  6sin 5 x B 8sin 4 x cos x  2sin 3 x cos 2 x. Trường THPT Nghèn. 1 Lop10.com. GV: Trần Nhân.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 7 Chứng minh các đẳng thức sau không phụ thuộc vào biến số a/ 2 sin 4 x  cos 4 x  sin 2 x cos 2 x   sin 8 x  cos8 x  2. b/ sin 4 x  4 cos 2 x  cos 4 x  4sin 2 x 2.  1  tg 2 x  sin 4 x  cos 4 x  1 2 2 c/ 6 d/    1  tg x 1  cot g x  6 sin x  cos x  1  tgx  Bài 8 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x      2   2   x   cos 2   x   2sin 2 x a/ f x   cos 2   x   cos 2   x   cos 2  3  3   3   3   2   2   x   cos 2   x b/ f x   cos 2 x  cos 2   3   3   2   2   x   sin 2   x c/ f x   sin 2 x  sin 2   3   3  2 2 d/ cos x  a   cos x  2 cos a cos x cos a  x  m cos3 x  cos 3 x m sin 3 x  sin 3 x  e/ f x   cos x sin x Bài 9. a/Cho a sin x.sin y  b cos x.cos y  0 .Tính S .    x  k  2  1 1  2 2 a sin x  b cos x a sin y  b cos 2 y 2. m 2tg 2 x  n 2tg 2 y  1  b/Cho hệ m 2 cos 2 x  n 2 cos 2  1 .Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n không phụ thuộc x,y. m sin x  n cos y  c/Tìm m để biểu thức sau không phụ thuộc x: S  sin 6 x  cos 6 x  m sin 4 x  cos 4 x . Bài 10 sin 4 x cos 4 x 1 sin10 x cos10 x 1     a/Cho .Chứng minh 4 4 4 m n mn m n m  n . b/Cho 2tg 2 x.tg 2 y.tg 2 z  tg 2 x.tg 2 y  tg 2 y.tg 2 z  tg 2 z.tg 2 x  1 .Chứng minh sin 2 x  sin 2 y  sin 2 z  1 3 2 a.cos x  3a cos x.sin x  m c/Cho  .Chứng minh 3 2 a.sin x  3a cos x sin x  n. 3. m  n . 2.  3 m  n   2 3 a 2 2. a1  sin 1  d/Cho a2  cos 1 sin  2 .Chứng minh a12  a22  a32  1 a  cos  cos  1 2  3 Bài 11 Gọi  ,  là các giá trị khác nhau của x thỏa mãn hệ thức a cos x  b sin x  c .Biết a 2  b 2  0;     k 2 . a/.Tính sin 2.  2. .sin 2.  2. Trường THPT Nghèn. 2 Lop10.com. GV: Trần Nhân.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC b/Chứng minh cos 2.  . . c2   b  và tg 2 2 a b 2 a. 2 Bài 12 Tính a/ A  cos 200  cos 409  ...  cos1600  cos1800 b/ B  tg 200  tg 400  ...  tg1600  tg1800. c/ C  sin 50  sin100  ...  sin 3600 Bài 13 Chứng minh a/ tg 6a  tg 4a  tg 2a  tg 6atg 4atg 2a b/ tg a  b   tga  tgb  tg a  b tgatgb c/ sin 2 a  b   sin 2 a  sin 2 b  2sin a sin b cos a  b  sin a  b  c   tga.tgb.tgc cos a cos b cos c e/ cos a sin b  c   cos b sin c  a   cos c sin a  b   0. d/ tga  tgb  tgc . f/ sin a sin b  c   sin b sin c  a   sin c sin a  b   0 sin a  b  sin b  c  sin c  a    0 cos a cos b cos b cos c cos c cos a Bài 14 cos x  cos y  cos z sin x  sin y  sin z   m .Chứng minh a/ Cho cos x  y  z  sin x  y  z . g/. cos x  y   cos  y  z   cos z  x   m b/Cho 0   ,   c/Cho 0   ,  . 3sin 2   2sin 2   1  và  .Chứng minh   2   . 2 2 3sin 2  2sin 2   0.  . và sin 2   sin 2   sin     .Chứng minh    . . . 2 2 a cos   b cos   0 d/ Cho    k .Chứng minh rằng với mọi x ta có a cos      b cos      0 a cos   x   b cos   x   0 e/ Cho m cos a  b   cos a  b  với a  b   k , k  A ; m  1 .Chứng minh 1 1 2   1  m sin 2a 1  m sin 2b 1  m 2 Bài 15 Chứng minh các đẳng thức sau 1  2sin 2 x a/ 1   2   2 cot g   x  cos   x  4  4  1  cos x  cos 2 x  cos 3 x  2 cos x b/ 2 cos 2 x  cos x  1 3 1 c/ sin 4 x  cos 4 x   cos 4 x 4 4. Trường THPT Nghèn. 3 Lop10.com. GV: Trần Nhân.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 5 3 d/ sin 6 x  cos 6 x   cos 4 x 8 8 7 1 e/ sin 8 x  cos8 x  cos8 x  cos 6 x 8 8  2    f/ tgx  tg  x    tg  x    3tg 3 x 3 3       2  2     g/ tgxtg  x    tg  x   tg  x    tg  x   tgx  3 3 3  3  3     Bài 16 Tính  4 5 cos a/ A  cos cos 7 7 7 0 0 b/ B  sin 5 sin15 ...sin 750 sin 850 c/ C  cos x cos 2 x cos 4 x...cos 2n x  2 3 n cos cos ...cos d/ D  cos 2n  1 2n  1 2n  1 2n  1 Bài 17 a/ Đặt S  cos x  2 cos 2 x  ...  n cos nx .Chứng minh n sin x sin 2n  1 .x  sin 2 nx 2 2 2 với x  k 2 S 2 x 2sin 2. . b/Chứng minh rằng sin 1. . .  2n 1.  2 2  2 ... 2  2  ...  2    n. 1 2  2  ...  2 ( n-1 dấu căn) 2 2  1 2  2  2  ...  2 ( n-1 dấu căn) d/CMR sin n  2 2   n 4i 1  4n 1 1    2 n  e/   i 2  sin 2  sin 2 1  i  0 1  cos 2  2 Bài 18 Chứng minh     a/ 4sin x.sin   x  .sin   x   sin 3 x 3  3      b/ 4 cos x cos   x  cos   x   cos 3 x 3  3      c/ 4tgxtg   x  tg   x   tg 3 x 3  3   2    d/ tgx  tg  x    tg  x    3tg 3 x 3 3        e/ tg 2 x  tg 2   x   tg 2   x   9tg 2 3 x  6 3  3 . c/CMR cos. n. . Trường THPT Nghèn. 4 Lop10.com. GV: Trần Nhân.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 19 (Áp dụng bài 18)Tính: a/ A  sin 200 sin 400 sin 800 b/ B  cos100 cos 200...cos800 c/ C  sin 20 sin180 sin 220 sin 380 sin 420 sin 580 sin 620 sin 780 sin 820 d/ D  tg 30 tg17 0 tg 230 tg 37 0 tg 430 tg 57 0 tg 630 tg 77 0 tg 830 tg 2430  2 4 5 7 8 10 11 13 tg tg tg tg tg tg tg e/ E  tg tg 27 27 27 27 27 27 27 27 27 0 0 0 0 f/ F  tg1  tg 5  tg 9  ...  tg177 g/ G  tg 2 50  tg 2100  ...  tg 2 800  tg 2 850 Bài 20 Giải hệ ( ẩn x,y,z) a/ Cho sin  sin  sin   0 và cos  , cos  , cos  đôi một khác nhau  x sin   y sin 2  z sin 3  sin 4   x sin   y sin 2   z sin 3  sin 4   x sin   y sin 2  z sin 3  sin 4 . b/Cho cos  cos  cos   0 và cos  , cos  , cos  đôi một khác nhau.  x cos   y cos 2  z cos 3  cos 4   x cos   y cos 2   z cos 3  cos 4   x cos   y cos 2  z cos 3  cos 4  Bài 21 Rút gọn các biểu thức sau sin 8 x  sin13 x  sin18 x a/ A  cos8 x  cos13 x  cos18 x b/ B  sin 2 a  2b   cos 2 a  cos 2 2b c/ C  sin 2 a  2b   sin 2 2a  sin 2 b. sin 2 a  b   sin 2 a  sin 2 b sin 2 a  b   cos 2 a  cos 2 b Bài 21 Chứng minh d/ D . a/ sin 4 x  4sin 3 x  6sin 2 x  4sin x  16sin 2 x sin 4. x 2. 1 1 b/ cos x  cos 3 x  cos 5 x  8sin 2 x cos3 x 2 2 6 2 c/ cos 27 0  cos 630  4 5 1 d/ sin 2 240  sin 2 60  8 8 3 cos 200 e/ tg 300  tg 400  tg 500  tg 600  3 0 0 0 0 f/ tg 9  tg15  tg 27  cot g 27  cot g150  cot g 90  8. g/ cos120  cos180  4 cos150 cos 210 cos 240 . Trường THPT Nghèn. .  3  1. 5 Lop10.com. 2. GV: Trần Nhân.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 22 a/ Cho n. sin x    a cos x    A aA  bB  cos      ;  Chứng minh aB  bA sin x    b cos x    B. b/  1 k 1. k 1. cos. k 1  2n  1 2. 8 12 18 1  7   cos  cos  cos  sin 35 35 35 2 5 2 5 Bài 23 Chứng minh a/ sin a  b sin a  b   sin b  c sin b  c   sin c  a sin c  a   0. c/ cos. b/ cos a  b sin a  b   cos b  c sin b  c   cos c  a sin c  a   0 c/ sin a sin b  c   sin b sin c  a   sin c sin a  b   0 Bài 24 Tính 2 4 6  cos  cos a/ A  cos 7 7 7  2 3  cos b/ B  cos  cos 7 7 7  5 7 11 sin sin c/ C  sin sin 24 24 24 24  7 13 19 25 sin sin sin d/ D  sin sin 30 30 30 30 30 Bài 25 Tính  A  sin a  sin 2a  ...  sin na a/  1  A2  cos a  cos 2a  ...  cos na.  B  cos 2 a  cos 2 2a  ...  cos 2 na b/  1 2 2 2  B2  sin a  sin 2a  ...  sin na c/ C  tga  2tg 2a  ...  2n tg 2n a  2n 1 cot g 2n 1 a a a a a a a d/ D  tg 2 tga  2tg 2 tg  ...  2n 1 tg 2 n tg n 1  2n tg n 2 4 2 2 2 2 1 a 1 a e/ E  tga  tg  ...  n tg n 2 2 2 2 1 1 1   ...  f/ F  a a a 4 cos 2 42 cos 2 4n cos 2 n 2 4 2 Bài 26 (sử dụng dãy tỉ số bằng nhau) r 2 1 1  2r cos y  r 2  a/Cho .Chứng minh 1  2r cos x  r 2 r 2 1. x y  r 1 tg tg 2    2 2  r 1 . 2. 2. Trường THPT Nghèn. 6 Lop10.com. GV: Trần Nhân.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC b/Cho a,b,c đôi một khác nhau và 4 góc  ,  ,  ,  thỏa a b c   .Chứng minh tg     tg     tg     ab 2 bc 2 ca 2 sin      sin      sin      0 a b bc ca Bài 27 cos x cos 2 x cos 3 x x 2a  a  a   a/Cho .Chứng minh sin 2  2 1 3 a1 a2 a3 2 4a2 a a a a sin x sin 3 x sin 5 x   b/Cho .Chứng minh 1 5  3 1 a1 a3 a5 a3 a1 Bài 28. a/Cho  ,  ,  . .  k ( k nguyên) .Giả sử sin 2  ,sin 2  ,sin 2  lập thành cấp số cộng,. 2 sin   0 và tg .tg  1 .Chứng minh rằng tg , tg  , tg lập thành một cấp số nhân.. b/Cho       0 và tg.  2. cấp số cộng khi và chỉ khi tg c/Cho  ,  ,  thỏa hệ. , tg.  2.  2. .tg. có nghĩa.Chứng minh rằng sin  ,sin  ,sin  lập thành. . 1  . 2 3. 0        2  cos   cos   cos   0 sin   sin   sin   0  Chứng mini rằng  ,  ,  lập thành cấp số cộng với công sai d  d/Cho       0 và  ,  ,  đều khác k.  2. 2 .. 3. , k  A .Chứng minh rằng ta có.     tg 2 , tg 2 , tg 2   cos  , cos  , cos    cot g  .cot g  , cot g    sin  ,sin  ,sin   2 2 2. Các bài toán có liên quan với định lí Vi-et Bài 1 Tính giá trị các biểu thức sau 1 1 1   a/ A   3 5 cos cos cos 7 7 7 1 1 1   b/ B  2  3  6 sin 2 sin 2 sin 2 7 7 7. Trường THPT Nghèn. 7 Lop10.com. GV: Trần Nhân.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC c/ C . 1. cos 4. 2 7. 1. . 3 7 7  9 9 17 17   cos cos  cos cos d/ D  cos cos 12 12 12 12 12 12  3  5  cos 4  cos 4  cos 4 14 14 14 e/ E   3  5  4 cos 2 cos 2 cos 2 14 14 14 2 3 4 3 8  cos  cos f/ F  3 cos 7 7 7 Bài 2 Tính  5 7  tg 2 a/ A  tg 2  tg 2 18 18 18  5  7   tg 6 b/ B  tg 6  tg 6 18 18 18 2 4 8  tg 6  tg 6 c/ C  tg 6 18 18 18  2 3 4 tg tg d/ D  tg tg 5 5 5 5 Bài 3 a/Giả sử tg1 , tg 2 , tg 3 là ba nghiệm của phương tình x 3  ax 2  bx  c  0 . cos 4. . 1. . cos 4. tg 1 , tg  2 , tg  3 là ba nghiệm của phương trình x 3  cx 2  bx  a  0 .Chứng minh 1   2   3  1   2  3  k b/Chứng minh tg 7 0  tg 410  tg 530  tg 790  tg 7 0 tg 410 tg 530 tg 790  tg 7 0 tg 410 tg 530  g 410 tg 530 tg 790 tg 530 tg 790 tg 7 0  tg 790 tg 7 0 tg 410 Sử dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số Trước tiên ta chứng minh một số bổ đề quan trọng sau. .  k , k  A . Chứng minh rằng 2 tgx  tgy  tgz  tgxtgytgz  x  y  z  n , n  A. 1/ Cho x,y,z đều khác. 2/ Cho x,y,z đều khác.  2.  k , k  A .Chứng minh rằng. tgx.tgy  tgy.tgz  tgz.tgx  1  x  y  z . .  2.  n , n  A.  k , k  A .Chứng minh 2 tgx  tgy  tgz  tgxtgytgz  1  tgztgy  tgytgz  tgztgx. 3/ Cho x,y,z đều khác. .  n , n  A 4 4/Chứng minh rằng  x yz . Trường THPT Nghèn. 8 Lop10.com. GV: Trần Nhân.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC cos 2 x  cos 2 y  cos 2 z  2 cos x cos y cos z  1  x yz x yz yzx zx y cos cos cos cos 0 2 2 2 2 Ứng dụng Bài 1 Cho ab  1, bc  1, ca  1 .Chứng minh a b bc c a a b bc c a    1  ab 1  bc 1  ca 1  ab 1  bc 1  ca  xyz  0 Bài 2 Cho  .Chứng minh  xy  yz  zx  1 x 2  1y 2  1 y 2  1z 2  1 z 2  1x 2  1  4 xy yz zx Bài 3 Giải hệ sau    1 1 1  3  x    4  y    5  z   x y z      xy  yz  zx  1  Bài 4Cho xyz  0 và x+y+z-xyz=1-xy-yz-zx .Chứng minh. 1  x2 1  y 2 1  z 2 1 1  x2 1  y 2 1  z 2    x y z 4 x y z Bài 5 Cho x+y+z=xyz. Chứng minh. a/  x y 2  1z 2  1 4 xyz b/. 3x  x3.  1  3x. . . 2. 3x  x3 3 y  y 3 3z  z 3 ( x, y , z   3 1  3x 2 1  3 y 2 1  3z 2. 1  x 1  y  2. 2. 1  x2  1  y 2. 0 xy Bài 6 Cho x,y,z>0 và x 2  y 2  z 2  2 xyz  1 .Chứng minh c/. 1  xyz   x 1  y 2 1  z 2 . Bài 7 Cho xy+yz+zx=1.Chứng minh x  y  z  3 xyz   x y 2  z 2 . Trường THPT Nghèn. 9 Lop10.com. GV: Trần Nhân.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>