Chuyên đề Phương trình lượng giác

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. PHAÀN 0:. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC. 1. Baûng giaù trò cuûa caùc goùc ñaëc bieät (0). 300     6. 450     4. 600     3. 900     2. . Sin. 0. 1 2. . 1. 3 2. 3 2 1 2. 1. Cos. 2 2 2 2. Góc GTLG. 00. 2 tan a 1 tan 2 a Công thức nhân ba:  sin3a = 3sina – 4sin3a  cos3a = 4cos3a – 3cosa Công thức hạ bậc: 1  cos 2a  cos2a = 2 1  cos 2a  sin2a = 2 1  cos 2a  tg2a = 1  cos 2a Công thức tính sinx, cosx, tanx, cotx theo x t  tan : 2 2t  sinx = 1 t2 1 t2  cosx = 1 t2 2t  tanx = 1 t2 1 t2  cotx = 2t Công thức biến đổi tổng thành tích:  ab  a b   cos a  cos b  2 cos   cos    2   2   a b   a b   cos a  cos b  2sin   sin    2   2   ab  a b   sin a  sin b  2sin   cos    2   2   a b   a b   sin a  sin b  2 cos   sin    2   2 .  tan2a =. 0. 2. Các hệ thức lượng giác cơ bản  sin 2   cos2   1  R      tan .cot   1    k , k  Z  2   1     1  tan 2      k, k  Z   2 cos  2   1  1  cotg2    k, k  Z   2 sin  Heä quaû:  sin 2   1  cos 2  , cos 2   1  sin 2  1 1 , tan    tan   cot  cot  3. Giaù trò caùc cung, goùc lieân quan ñaëc bieät “Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Tan Cot lệch ” 3. Công thức lượng giác  Công thức cộng:  cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb  cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb  sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb  sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb tan a  tan b  tan(a – b) = 1 tan a.tan b tan a  tan b  tan(a + b) = 1 tan a.tan b  Công thức nhân đôi: 1  sin2a = 2sina.cosa  sin a.cos a = sin2a 2 2 2 2  cos2a = cos a – sin a = 2cos a – 1 = 1 – 2 sin2a. . . sin(a  b)  ( a , b   k , k  Z ) cos a.cos b 2 sin(a  b) ( a , b  k , k  Z )  cot a  cot b  sin a.sin b  sin(a  b)  cot a  cot b  ( a , b  k , k  Z ) sin a.sin b.  tan a  tan b . Trang 1. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC    sin a  cos a  2 sin(a  )  2cos(a  ) 4 4    sin a  cos a  2 sin(a  )   2cos(a  ) 4 4    cos a  sin a  2cos (a  )   2 sin(a  ) 4 4  Công thức biến đổi tích thành tổng: 1  cos a.cos b  cos(a  b)  cos(a  b)  2. PHAÀN 1:.  sin a.sin b . 1 cos(a  b)  cos(a  b) 2.  sin a.cos b . 1 sin(a  b)  sin(a  b) 2.  sin b.cos a . 1 sin(a  b)  sin(a  b) 2. CÁC HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC. 1. Haøm soá y = sinx 1) Tập xác định D = ¡ . 2) Tập giá trị là [–1; 1]. 3) Là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = 2p .     4) Đồng biến trên mỗi khoảng    k 2 ; k 2  2  2  3    k 2  , k  A .   k 2 ; 2 2  5) Đồ thị là một đường hình sin, đối xứng qua gốc tọa độ O.. và. nghịch. biến. trên. mỗi. khoảng. 2. Haøm soá y = cosx 1) Tập xác định D = ¡ . 2) Tập giá trị là [–1; 1]. 3) Là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kỳ T = 2p . 4) Đồng biến trên mỗi khoảng   k 2 ; k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng k 2 ;   k 2 , k  A . 5) Đồ thị là một đường hình sin, đối xứng qua trục tung Oy.. Trang 2. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3. Haøm soá y = tanx 1) Tập xác định D = ¡ \. {p2 + kp, k Î ¢ }.. 2) Tập giá trị là ¡ . 3) Là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = p .     4) Đồng biến trên mỗi khoảng    k ;  k  , k  A . 2  2  5) Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O và nhận mỗi đường thẳng x .  2.  k k  A  làm một đường tiệm cận.. 4. Haøm soá y = cotx 1) Miền xác định D = ¡ \ { k p, k Î ¢ } . 2) Tập giá trị là ¡ . 3) Là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = p . 4) Nghịch biến trên mỗi khoảng k ;   k , k  A . 5) Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O và nhận mỗi đường thẳng x  k k  A  làm một đường tiệm cận.. Trang 3. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 5. Chu kì của hàm số lượng giác 5.1. Định nghĩa: Ta nói hàm số y = f(x) có chu kỳ T > 0 nếu T là số dương nhỏ nhất và thỏa f(x + T) = f(x). 2p Ví dụ 1: Hàm số y = sin5x có chu kỳ T = vì: 5 2p 2p là số nhỏ nhất do hàm số y = sint, t = 5x có chu sin 5 x + = sin(5x + 2p) = sin 5x . Hơn nữa, T = 5 5 kỳ 2p .. (. ). 5.2. Chú ý:  Hàm số y  sin ax  b  và y  cos ax  b  đều là những hàm số tuần hoàn với cùng chu kì T . 2 . a.  Hàm số y  tan ax  b  và y  cot ax  b  đều là những hàm số tuần hoàn với cùng chu kì T . . Ví dụ 2: o Hàm số y = cos7x có chu kỳ T =. a. .. 2p . 7. x có chu kỳ T = 6p . 3 p o Hàm số y = cotg6x có chu kỳ T = . 6 x o Hàm số y = t g có chu kỳ T = 3p . 3. o Hàm số y = sin. PHAÀN 2:. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. A. BIỂU DIỄN CUNG – GÓC LƯỢNG GIÁC TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC k2p k.360o 0 ¼ Nếu cung (hoặc góc) lượng giác AM có số đo là a + (hoặc a + ) với k Î ¢ , n Î ¥ + n n thì có n điểm M trên đường tròn lượng giác cách đều nhau.. ¼ = p + k2p thì có 1 điểm M tại vị trí p (ta chọn k = 0). Ví dụ 1. Nếu sđ AM 3 3 ¼ = p + k p thì có 2 điểm M tại các vị trí p và 7p (ta chọn k = 0, k = 1). Ví dụ 2. Nếu sđ AM 6 6 6 ¼ = p + k 2p thì có 3 điểm M tại các vị trí p , 11p và 19p (ta chọn k = 0, k = 1 và k = 2). Ví dụ 3. Nếu sđ AM 4 3 12 4 12. Ví dụ 4. Tổng hợp hai cung x = -. p p + k p và x = + k p . 6 3 Giải. Trang 4. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC p p Biểu diễn 2 cung x = - + k p và x = + k p trên đường 6 3 4p p p 5p tròn lượng giác ta được 4 điểm - , , và cách đều 3 6 3 6 nhau. Vậy cung tổng hợp là: x =. p p + k . 3 2. B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  Phương trình lượng giác cơ bản:. éx = a + k2p 1) cosx = m ( m £ 1, m = cosa ) Û cosx = cosa Û ê êx = - a + k2p , k Î Z ê ë éx = a + k2p 2) sin x = m ( m £ 1, m = sin a ) Û sin x = sin a Û ê êx = p - a + k2p , k Î Z ê ë 3) t an x = m ( m = t an x ) Û t an x = t an a Û x = a + k p, k Î Z 4) cot x = m ( m = cot a ) Û cot x = cot a Û x = a + k p, k Î Z Phương trình cơ bản đặc biệt cần nhớ: p + k p, k Î Z 2 2) cosx = 1 Û x = k2p, k Î Z 3) cosx = - 1 Û x = p + k2p, k Î Z 4) sin x = 0 Û x = k p, k Î Z p 5) sin x = 1 Û x = + k2p, k Î Z 2 p 6) sin x = - 1 Û x = - + k2p, k Î Z 2 2 7) sin x  1  cos x  0 8) cos 2 x  1  sin x  0 (cosx + 1)(2cosx - 1)(t gx - 3) Ví dụ. Giải phương trình: = 0 (2). 2cosx + 1 Giải 2p + k2p . Điều kiện: 2cosx + 1 ¹ 0 Û x ¹ ± 3 é écosx = - 1 êx = p + k2p ê ê ê 1 p ê Û êx = ± + k2p . Ta có: (2) Û êcosx = ê 2 3 ê ê ê p êt gx = 3 êx = + k p ë ê ë 3. 1) cosx = 0 Û x =. So với điều kiện và tổng hợp nghiệm (hình vẽ), phương trình (2) có họ nghiệm là: x = Chú ý: Các họ nghiệm x = -. p 2p + k , kÎ ¢. 3 3. p 2p 2p + k và x = p + k cũng là các họ nghiệm của (2). 3 3 3. Trang 5. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.  Một số dạng phương trình lượng giác: 1. Dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác: 1) acos2x + bcosx + c = 0 2) asin2x + bsinx + c = 0 3) atg2x + btgx + c = 0 4) acotg2x + bcotgx + c = 0 Phương pháp giải toán:  Bước 1. Đặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) và điều kiện của t (nếu có).  Bước 2. Đưa phương trình về dạng at2 + bt + c = 0. Ví dụ 1. Giải phương trình. 2 sin2 x + sinx -. 2 = 0 (1). Giải. Đặt t = sinx, - 1 £ t £ 1 ta có: 1 Ú t = - 2 (loại) 2 p 3p p + k2p . Û sin x = sin Û x = + k2p Ú x = 4 4 4 éx = p + k2p ê 4 Vậy (1) có các họ nghiệm ê , kÎ ¢. ê 3p êx = + k2p ë 4 Ví dụ 2. Giải phương trình cot 2 3 x  cot 3 x  2  0 (2) Giải Đặt t = cot3x, ta có phương trình :. (1) Û. 2t 2 + t -. 2= 0Û t =.  k  3 x    t   1 cot 3 x   1 3x   k   4 3 t2  t  2  0      4  t  2 cot 3 x  2  x  1 arc cot 2  k 3 x  arc cot 2  k  3 2  k 1 k Vậy (2) có các họ nghiệm là x   và x  arc cot 2  , k A . 4 3 3 2 3 + 2 3t gx - 6 = 0 (3). Ví dụ 3. Giải phương trình cos2x Giải p + k p , ta có: Điều kiện x ¹ 2 (3) Û 3(1 + t g2x) + 2 3t gx - 6 = 0 Û 3t g2x + 2t gx - 3 = 0 . Đặt t = tgx, ta được: ét gx = t g p éx = p + k p ê ê 1 6 6 Út = 3 Û ê Û ê 3t 2 + 2t - 3 = 0 Û t = (thỏa điều kiện). p p ê ê 3 êt gx = t g êx = - + k p ë 3 ë 3 Biểu diễn 2 họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta thu được 4 điểm cách đều nhau. p p Vậy (3) có họ nghiệm là x = + k , k Î ¢ . 6 2 2. Dạng bậc nhất theo sinx và cosx : asinx + bcosx + c = 0 (*) (a và b khác 0) Phương pháp giải toán: Cách 1:. ( ). Trang 6. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC b  Bước 1. Chia hai vế (*) cho a và đặt = t ga . a c c Û sin(x + a ) = cosa .  Bước 2. Biến đổi (*) Û sin x + t ga cosx = a a Cách 2: a b = cosa , = sin a .  Bước 1. Chia hai vế (*) cho a2 + b2 và đặt: 2 2 2 a + b a + b2 c c Û sin(x + a ) =  Bước 2. Biến đổi (*) Û sin x cosa + cosx sin a = . 2 2 2 a + b a + b2 Chú ý: Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a2 + b2 ³ c2 Ví dụ 1. Giải phương trình. 3 sin x - cosx = 2 (1).. Giải Cách 1. 1 2 p 2 cosx = Û sin x - t g cosx = 6 3 3 3 p 2 p p p p 2p Û sin x = cos Û sin x = 1 Û x= + k2p Û x = + k2p, k Î ¢ . 6 6 6 6 2 3 3 Cách 2 p p 2p 3 1 p = + k2p Û x = + k2p, k Î ¢ . (1) Û sin x - cosx = 1 Û sin x = 1Û x 6 2 3 2 2 6 2p + k2p, k Î ¢ . Vậy (1) có họ nghiệm x = 3 Ví dụ 2. Giải phương trình sin 5x + 3 cos5x = 2sin 7x (2). Cách 1 p p p (2) Û sin 5x + t g cos5x = 2sin 7x Û sin 5x + = 2cos sin 7x 3 3 3 é7x = 5x + p + k2p éx = p + k p ê ê p 3 6 ê Û Û sin 5x + = sin 7x Û ê p p, k Î ¢ . ê 2p ê 3 + k ê7x = - 5x + k2p êx = ë 18 6 ë 3 Cách 2 1 3 p (2) Û sin 5x + cos5x = sin 7x Û sin 7x = sin 5x + 2 2 3 p p é7x = 5x + + k2p éx = + k p éx = p + k p ê ê ê 3 6 6 ê ê Û , k Î ¢ . Vậy (2) có các họ nghiệm Û ê p p p p, k Î ¢ . ê 2p ê ê + k + k ê7x = - 5x + k2p êx = êx = ë 18 6 ë 18 6 ë 3 3. Dạng đẳng cấp (thuần nhất) theo sinx và cosx : 3.1. Đẳng cấp bậc hai: (1) Û sin x -. (. ). (. ). (. ). (. (. ). ). (. ). asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (*) Phương pháp giải toán: Cách 1:  Bước 1. Kiểm tra x =  Bước 2. Với x ¹. p + k p có là nghiệm của (*) không. 2. p + k p , chia hai vế của (*) cho cos2x ta được: (*) Û atg2x + btgx + c = 0. 2. Trang 7. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Cách 2: Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa (*) về phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x. Ví dụ 1. Giải phương trình: ( 3 + 1) sin2 x - ( 3 - 1) sin x cosx Giải. Nhận thấy x =. 3 = 0 (1).. p + k p không thỏa (1). 2. p + k p , chia hai vế của (1) cho cos2x ta được: 2 (1) Û ( 3 + 1)t g2x - ( 3 - 1)t gx - 3(1 + t g2x) = 0 Û t g2x - ( 3 - 1)t gx - 3 = 0 éx = - p + k p éx = - p + k p ét gx = - 1 ê ê 4 4 ê ê Û ê Û , kÎ ¢. . Vậy các họ nghiệm của (1) là êt gx = 3 p p ê ê ê t gx = + k p t gx = + k p ë ê ê ë 3 ë 3 2 2 Ví dụ 2. Giải phương trình sin x + 2 3 sinxcosx + 1 = cos x (2). Giải é2x - p = - p + k2p éx = k p ê ê p p 6 6 (2) Û 3 sin 2x - cos2x = - 1 Û sin 2x = sin Û ê Û ê ê p 7 p 6 6 êx = 2p + k p ê2x = + k2p ê ë 3 ë 6 6 Cách khác: éx = k p ésin x = 0 ésin x = 0 ê 2 ê ê Û ê Û ê (2) Û sin x + 3 sin x cosx = 0 Û ê . p t gx = - 3 sin x + 3 cosx = 0 x = + k p ê ê ê ë ë ë 3 éx = k p ê Vậy (2) có các họ nghiệm là ê , kÎ ¢. êx = 2p + k p ê ë 3 Chú ý: Đối với mỗi cách giải khác nhau, ta có thể thu được nghiệm ở các dạng khác nhau nhưng sau khi tổng hợp nghiệm thì chúng giống nhau.. Với x ¹. (. 3.2. Đẳng cấp bậc cao: Phương pháp giải toán: Cách 1:  Bước 1. Kiểm tra x =  Bước 2. Với x ¹. ). ( ). p + k p có là nghiệm của phương trình không. 2. p + k p , chia hai vế cho cosnx (n là bậc cao nhất của cosx) ta đưa về phương trình 2. bậc n theo tgx. Cách 2: Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa về phương trình bậc cao theo sin2x hoặc cos2x hoặc phương trình tích. Ví dụ 3. Giải phương trình 2(cos5x + sin5x) = cos3x + sin3x (3). Giải Cách 1 p Nhận thấy x = + k p không thỏa (3). 2 p + k p , chia hai vế của (3) cho cos5x ta được: Với x ¹ 2 Trang 8. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (3) Û 2 + 2t g5x = 1 + t g2x + t g3x(1 + t g2x) Û t g5x - t g3x - t g2x + 1 = 0 p p p Û (t gx - 1)2(t gx + 1)(t g2x + t gx + 1) = 0 Û t gx = ± 1 Û x = ± + k p Û + k . 4 4 2 Cách 2 (3) Û cos3 x(2cos2 x - 1) = sin 3 x(1 - 2sin2 x) éx = p + k p écos2x = 0 ê 4 2 Û x = p + kp ê Û Û cos3 x cos2x = sin 3 x cos2x Û ê . êt gx = 1 p ê 4 2 x = + k p ë ê ë 4 p p Vậy (3) có họ nghiệm là x = + k , k Î ¢ . 4 2 Chú ý: 2( cos5 x + sin5 x ) = cos3 x + sin 3 x Û 2( cos5 x + sin5 x ) = (cos3 x + sin 3 x)(cos2 x + sin2 x) Û cos5 x + sin5 x - cos3 x sin2 x - cos2 x sin 3 x = 0 (đẳng cấp).. 4. Dạng đối xứng đối với sinx và cosx: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*) Phương pháp giải toán:. p Þ - 2£ t £ 4  Bước 2. Thay vào (*) rồi ta giải phương trình bậc hai theo t.  Bước 1. Đặt t = sinx + cosx =. (. 2 sin x +. ). 2 và sin x cosx =. t2 - 1 . 2. Chú ý: Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng có cách giải tương tự bằng cách đặt t = sinx – cosx. Ví dụ 1. Giải phương trình: ( 2 + 1)(sinx + cosx) + sin2x + Giải. 2 + 1 = 0 (1).. Đặt t = sinx + cosx Þ - 2 £ t £ 2 và sin2x = t2 – 1. Thay vào (1) ta được: t 2 + ( 2 + 1)t + 2 = 0 Û t = - 1 Ú t = - 2 . é 2 sin x + p = - 1 ésin x + p = sin - p ê ê 4 4 4 (1) Û ê Û ê ê ê p p = - 2 = - 1 ê 2 sin x + êsin x + ë 4 ë 4 éx + p = - p + k2p é ê êx = - p + k2p 4 4 ê ê 2 ê p 5p ê . Û êx + = + k2p Û êx = p + k2p 4 4 ê ê ê ê 3p êx + p = - p + k2p êx = + k2p ê ê 4 2 ë 4 ë 3p p + k2p (k Î ¢ ) . Vậy (1) có các họ nghiệm: x = p + k2p , x = - + k2p , x = 4 2. ( (. ) ). ( (. ) ). ( ). Ví dụ 2. Giải phương trình sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) (2) Giải 1- t2 Đặt t = sinx – cosx Þ - 2 £ t £ 2 và sin x cosx = . 2 Trang 9. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. ét = 1- t2 = 6t - 6 Û t 2 + 12t - 13 = 0 Û ê êt = 2 ê ë éx + p = ê p p p 4 (2) Û 2 sin x + = - 1 Û sin x + = sin Û ê ê p 4 4 4 êx + = ë 4 p Vậy (2) có các họ nghiệm x = p + k2p , x = - + k2p (k Î ¢ ) . 2 Thay vào (2) ta được:. (. ). (. ). ( ). 1 13 (loại) p - + k2p éx = - p + k2p 4 ê 2 Û ê 5p ê x = p + k2p + k2p ë 4. 5. Dạng phương trình khác: Không có cách giải tổng quát, tùy từng bài toán cụ thể ta dùng công thức biến đổi để đưa về các dạng đã biết cách giải. Ví dụ 1. Giải phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1). Giải. éx = k p 6x = 2x + k2 p é ê 1 1 1 1 2 ê (1) Û cos8x + cos6x = cos8x + cos2x Û cos6x = cos2x Û ê Û . ê p ê 2 2 2 2 6x = - 2x + k2p ê x = k ë ê ë 4 p Vậy (1) có họ nghiệm là x = k , k Î ¢ . 4 Ví dụ 2. Giải phương trình sin2x + sin4x = sin6x (2). Giải (2) Û 2sin 3x cosx = 2sin 3x cos3x Û sin 3x(cos3x - cosx) = 0 éx = k p é3x = k p ésin 3x = 0 ê 3 ê ê Û ê êcos3x = cosx Û ê3x = ± x + k2p Û ê p. ê ë ë êx = k ë 2 p p Vậy (2) có họ nghiệm là x = k , x = k (k Î ¢ ) . 2 3 2 2 Ví dụ 3. Giải phương trình sin x  sin 3 x  2sin 2 2 x (3) Giải 1  cos 2 x 1  cos 6 x   1  cos 4 x  cos 2 x  cos 6 x  cos 4 x  2 cos 4 x cos 2 x  2 cos 4 x  0 3  2 2  k  x  cos 4 x  0   2 cos 4 x cos 2 x  1  0    8 4 , k A  cos 2 x  1  x  k. Trang 10. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. cáC DạNG PHƯƠNG TRìNH lượng giác  I. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: Bài 1. Giải các phương trình sau: 1 a) sin x  2  1  d) cot 2x    4 3      h) cos 2x    sin x    0 4 4  . b) tan x  3. c) sin 2x  cos 3 x.   1 e) sin  2x   3  3   1 i) cot  x   3 4 .     f) sin 2x    sin 3 x    0 4 3  . j) cos x  3 sin x. II. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: Bài 2. Giải các phương trình sau: a) cos 2x  sin 2 x  2 cos x  1  0 d). b) 4 sin 2 x  8 cos 2 x  9  0 e) 1  5 sin x  2 cos 2 x  0. 3 cot 2 x  4 cot x  3  0. c) sin 2 3 x  2 sin 3 x  3  0 5 f) cos 2 x  4 cos x   0 2. x  4 h) cos 2x  5 sin x  2  0 i) 2 sin 2 x  cos 2 x  4 sin x  2  0 2 k) 9 cos 2 x  5 sin 2 x  5 cos x  4  0 l) 5 sin xsin x  1 cos 2 x  3     m) cos 2  3 x    cos 2 3 x  3 cos  3 x   2  0 n) 3 cos 2x  2 1  2  sin x sin x  3  2  0 2  2 . g) 5  4 sin 2 x  8 cos 2. . p) tan2 x .  3  1tan x . 3 0. q). Bài 3. Giải các phương trình sau: 1 a) sin4 x  cos 4 x  sin 2x  2 1 2 2 5 d)  tan x   0 2 cos x 5. . . . 3  3 cot x  3 sin2 x. b) cos 2x  sin2 x  sin x  e) 2 cos 2x  2 tan2 x  5. 1 4. c) cos 2x  3 sin x  2. .  . . f) tan x  15 o . cot x  15 o . 1 3. III. Phương trình đẳng cấp bậc nhất đối với sinx và cosx: Bài 4. Giải các phương trình sau: a) 3 cos 3 x  sin 3 x  2 d) 3 cos x  sin x  1 g) cos 7 x  3 sin 7 x   2 i) cos2 x  3 sin 2x  1  sin2 x. b) sin x  cos x  2 c) cos x  3 sin x  2 e) 3 cos x  4 sin x  5 f) 3 sin 3 x  3 cos 9 x  1  4 sin3 3 x h) 4 sin3 3 x  1  3 sin x  3 cos 3 x j) 4 sin4 x  cos4 x  3 sin 4 x  2. . . k) cos 7 x. cos 5 x  3 sin 2x  1  sin 7 x. sin 5 x Bµi 5. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: 2  cos x sin x  2 cos x  1 a) y  b) y  sin x  cos x  2 sin x  cos x  2 Trang 11. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 6. Giải các phương trình sau: 2 c) 3 cos2 x  sin2 x  sin 2x d) sin x1  sin x  cos x1  cos x  5 IV. Phương trình đẳng cấp bậc Hai đối với sinx và cosx:. a) 3 sin 5 x  2 cos 5 x  3 b) 2 sin x  cos x . Bài 7. Giải các phương trình sau: a) sin2 x  2 sin x cos x  3 cos2 x  3  0 b) sin2 x  3 sin x cos x  1  0 c) cos2 x  3 sin x cos x  2 sin2 x  1  0 d) cos2 x  sin x cos x  2 sin2 x  1  0 e) 6 sin2 x  sin x cos x  cos2 x  2 f) 4 cos2 x  5 sin 2x  6 sin2 x  4 g) sin2 x  sin 2x  3 cos2 x  3  3    h) 2 sin x cos  x   3 sin  x cos x  sin  x  cos x  0  2  2 .    3  i) 4 sin x cos  x   4 sin  x cos x  2 sin  x  cos  x  1 2   2  V. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng đối với sinx và cosx: Bài 8. Giải các phương trình sau: a) 3sin x  cos x  2 sin x cos x  3  0. . . . b). . c) 1  2 sin x  cos x  2 sin x cos x  1  2  0 e) sin 2x  4sin x  cos x  3  0. 2 sin x  cos x  sin x cos x  1. d) 2 sin x cos x  sin x  cos x  1  0. f) sin 2x  sin x  cos x  1. . . g) 2 sin 2x  2  2 sin x  cos x  1 0. Bài 9. Giải các phương trình sau: a) sin x  cos x  sin x cos x  1  0 b) 6sin x  cos x  sin x cos x  6  0 d) 4  4sin x  cos x  sin 2x  0 3 f) sin 4 x  cos 4 x  4. e) 2 sin 2x .  6  2 cos x  sin x  2 . c) sin 3 x  cos 3 x . 2 2. 3. 1 g) sin3 x  cos3 x  1  sin 2x 2. Bài 10. Giải các phương trình sau: a) 1  sin x cos x sin x  cos x  c) 2 sin 2x  2sin x  cos x  1  0. 2 2. 3 b) 1  sin3 x  cos3 x  sin 2x 2 d) sin x cos x  2 sin x  2 cos x  2. e) 1  tan x  2 2 sin x. f) sin x  cos x  7 sin 2x  1 g) sin x  cos x   tan x  2 sin2 x 3 1 1 2 h) sin6 2x  cos6 2x  sin4 2x  cos4 2x  sin 2x  cos 2x  i) cos x  sin x   cos4 x  sin4 x  sin 2x 2 2 2 2. . . Phương trình lượng giác  Bài 1: Tìm các nghiệm x(0;2) của phương trình: Bài 2: Giải phương trình 2 cos x  sin x  1. sin 3 x  sin x  sin 2x  cos 2x 1  cos 2x. Trang 12. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. 5  7      ;3  của phương trình: sin 2x    3 cos x    1  2 sin x 2  2    2 . Bµi 3: T×m c¸c nghiÖm x   Bài 4: Giải các phương trình. 1 1 2   2     1  8 sin 2x. cos 2x b. cos x sin x sin 4 x 4  2 2 2 2 2 2 c. tg 2 x.tg 3 x.tg 5 x  tg 2 x  tg 3 x  tg 5 x 3cos 2x  cot gx   17   2 sin 2x  2 e. sin 2 2x  cos 2 8 x  sin  10x  d. cos 2x  cos x  2  2 3 cos x  cos x  1 2 Bài 5: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau: cos 2 x  tg x  cos 2 x a. 2 sin 3 x . x  1;70. Bài 6: Giải các phương trình. x x  cos 4 2 2  tg 2 x. sin x  1  sin x  tg 2 x a. 1  sin x 2 17 8 8 cos 2 x c. 2 cos 3 x  cos 2x  sin x  0 b. sin x  sin x  16 sin 4. 2 sin 4 x Bài 7: Tìm mọi nghiệm của phương trình: sin x.tg2 x  3 sin x  3tg2 x  3 3 thoả mãn bất phương tr×nh 2  log 1 x  0 d. 4 cos x  cos 2 x  cos 4 x  1. e. 3 tgx  cot gx  2tgx . . . 2. Bài 8: Giải các phương trình 2 3 a. cos 10x  2 cos 4 x  6 cos 3 x. cos x  cos x  8 cos x. cos 3 x.  1  4 4 x x x 2 2  c. 1  sin . sin x  cos . sin x  2 cos    2 2  4 2 3 d. cos 2 x  cos 6 x  4.3 sin x  4 sin x  1 0 e. tgx.tg3 x.tg5 x  tgx  tg3 x  tg5 x f. cos x  2 sin 2 x  cos 3 x  1  2 sin x  cos 2 x  . b. sin x  cos  x  4. 4. Bài 9: Giải các phương trình. sin x  sin 2x  sin 3 x 1  2 sin 2 x  3 2 sin x  sin 2x  3 a. b. 1 cos x  cos 2x  cos 3 x 2 sin x. cos x  1 1  cos 3 x 2 c. tg x  d. sin x  2 sin 2 x  sin 3 x  2 2 1  sin 3 x 2 e. 2 sin x  12 sin 2 x  1  3  4 cos x f. 3 sin x  2 cos x  2  3 tgx Bài 10: Giải các phương trình a. cot g2 x  cot g3 x . 1 0 sin x. sin 2x. sin 3 x Trang 13. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC b. cos 3 x. cos 3 x  sin 3 x. sin 3 x  3. 3. 2 4. sin 3 x  1 Bài 11: Tìm tổng các nghiệm x của phương trình: 2 cos x  cot g x  víi x  2;40 sin 2 x 2. 2. Bài 12: Giải các phương trình. cos 2x  1  sin 2x  2 sin x  cos x b. sin x  3 cos x  2  cos 2 x  3 sin 2 x 1  cos x  1  cos x c.  4 sin x cos x 1 3 1 d. 8 sin x  e. cot gx  tgx   sin x cos x sin x 4x  cos 2 x g. cos x  sin 3 x  0 h. 2 sin x  3 cos x  2 f. cos 3 i. 2 sin x  3 cos x  3 a.. Bài 13: Giải các phương trình. 1  cos x b. 6 tgx  tg2 x 1  sin x 3 c. 6 tgx  5 cot g3 x  tg2 x d. 6 sin x  2 cos x  5 sin 2 x. cos x a. tg x  2. Bài 14: Giải các phương trình. a. sin x.1  cot gx  cos x.1  tgx   2 sin x. cos x 3. 3. sin 3 x  cos 3 x b.  cos 2x 2 cos x  sin x o o o c. tg120  3 x  tg140  x  2 sin80  2 x  3 sin 2x  2 sin x  log 7  x 2 2 d. log 2 7 x sin 2x. cos x. Bài 15: Giải các phương trình sau. 1 1 10  sin x   cos x sin x 3 4x 2 3x  1  3 cos b. 2 cos 5 5 a. cos x .     2 2 sin x  1  4sin x  1 cos 2x    sin 2x   4 4   6 6 d. 3 cos x  4 sin x  3 cos x  4 sin x  1 e. sin x  cos x  4 sin 2 x  1 f. cot gx  tgx  sin x  cos x c.. Bài 16: Giải các phương trình sau. 5 sin x. cos x 1  cos 4 x sin 4 x  b. 2 cos 2x 2 sin 2x 1  cos 4 x 3 3 2 c. cos x  sin x  sin x  cos x d. sin x  2 sin x  2  2 sin x  1 a. 6 sin x  2 cos x  3. Trang 14. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. . . 1  cos x cos x. 2 sin x  3 2  2 cos 2 x  1 e.  1 f. tg 2 x  1  sin 2x 1  sin x Bài 17: Giải các phương trình sau a. 2tgx  sin x  3cot gx  cos x  5  0 b. tgx  tg x  tg x  cot gx  cot g x  cot g x  6 2. c. sin x . 3. 2. 3. 2  sin 2 x  sin x 2  sin 2 x  3 Phương trình lượng giác trong các đề thi đại học (Trích trong đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học từ 1996 tới nay).  Bài 1: Giải các phương trình sau.  1  cos x . . 1 sin 4 x 2 1 2 cos x  sin x   b. §HBK98: tgx  cot g2x cot gx  1 4 4 sin x  cos x 1 c. §HBK 2000:  tgx  cot gx  sin 2x 2 a. §HBK97:. cos x . cos 2x . Bài 2: Giải các phương trình sau 3.    x   2 sin x 4 . a. PVBC 98: sin . b. ĐHCS 99: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: 1  5 sin x  2 cos x  0 thoả mãn cos x  0 Bài 3: ĐHCS 2001 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: 2. 2.  sin x. cos 4 x  2 sin 2x  1  4 sin   4 2. x  x  3  3  thoả mãn hệ bất phương trình  2 2  x  3   x. Bài 4: Giải các phương trình.  . a. BCVT 98: sin 4 x  cos 4 x  1  4sin x  cos x  b.CVT 99: sin 3 x .      sin 2x. sin x   4 4 . c. BCVT 01: 4 sin x. cos 3 x  4 cos x. sin 3 x  3 3 cos 4 x  3 3. 3. 4x  cos2 x 3 0 d. Dược 98: 1  tg2 x 2 2 e. Dược 99: sin 4 x  cos 6 x  sin10,5   10x  2 2 2 2 f. Dược 01: tg x. cot g x. cot g3 x  tg x  cot g x  cot g3 x g. §µ N½ng 97: sin 3 x  2 cos 2 x  2  0 1  cos x 2 h. §H §µ N½ng 2001: tgx  tg2 x   sin 3 x. cos 2 x ; tg x  cos x cos. Bài 5: Giải các phương trình. Trang 15. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC a. §HGT 97: 3cot gx  cos x  5 tgx  sin x   2 ; 1  sin 2 x  cos 2 x  3. 3. b. §HGT 98: tgx  cot gx  2sin 2 x  cos 2 x . 3 sin 4 x 2. 7     cot g x  . cot g  x  8 3  6  d. §HGT 2000: 2 2 sin x  cos x cos x  3  cos 2 x   9 4 4 4 e. §HGT 2001: sin x  sin  x    sin  x    4 4 8   c. §HGT 99: sin x  cos x  4. 4. Bài 6: Giải các phương trình 2 2 a. HVHC 2001: tgx  2 cot gx  sin 2 x b. §H HuÕ 98: cos x  sin x  3 sin x. cos x  0 c. §H HuÕ 2000:. 3  cos x  cos x  1  2. Bài 7: ĐH Huế 2001 – Cho phương trình lượng giác sin x  cos x  m. sin 2 x  4. 4. 1 2. a. Giải phương trình khi m = 1. b. Chứng minh rằng với mọi tham số m thoả mãn điều kiện m  1 thì phương trình trên luôn có nghiệm. Bài 8: Giải các phương trình: a. §HKTQD 97: cos 7 x . 3 sin 7 x   2. 1 16 2 2 2 2 c. §HKTQD 99: sin x  sin 3 x  cos 2 x  cos 4 x   2 d.KTQ00: 2 sin 3 x    1  8 sin 2 x. cos 2 x 4  b. §HKTQD 98: cos x. cos 2 x. cos 4 x. cos 8 x . . . e. §HKTQD 2001: 3  4 6  16 3  8 2 cos x  4 cos x  3 Bài 9: Giải các phương trình: a. §HKT 97: sin 3 xcos x  2 sin 3 x  cos 3 x1  sin x  2 cos 3 x   0 b. §HKT 99: 3 tg x  tgx  3. 31  sin x  2   8 cos   cos2 x 4. x 0 2. c. §HKT 2000: sin x  cos x  sin x. cot gx  cos x.tgx  3. 3. 3. 3. 2 sin 2x. Bài 10: ĐHKT 97 – Cho phương trình cos x  sin x  k sin x cos x 3. 3. a. Giải phương trình với k  2 . b. Với giá trị nào của k thì phương trình có nghiệm? Bài 11: ĐHKT 2001-Giải và biện luận theo m phương trình: 2msin x  cos x   2m  cos x  sin x  2. Bài 12: Giải các phương trình:. 3 2. a. HVKTQS 98: cos 2 x . 3 sin 2x  3 sin x  cos x  4  0 3 b. HVKTQS 99: 2 sin x  sin x  2 cos x  cos x  cos 2 x 2 c. HVKTQS 2000: cos 2 x  mcos x  1  tgx 3. -. Giải phương trình với m = 1. Trang 16. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.     2 2 d. HVKTQS 2001: 3 cot g x  2 2 sin x  2  3 2 cos x -. Tìm m để phương trình có nghiệm trong đoạn 0;  3. Bài 13: Giải phương trình:. . . 1    cos x   b. §H LuËt 99: 4 sin 3 x  cos 2 x   5 sin x  1 2 2 Bài 14: ĐH Luật TPHCM 2001: Cho phương trình: 2 cos 2 x  sin x cos x  sin x cos x  msin x  cos x    - Giải phương trình khi m = 2. - Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc 0;  .  2 a. §H LuËt 98: tgx  sin 2 x  cos 2 x  2   2 cos x . Bµi 15: §H Má §C:. sin 5 x 1 5 sin x b.98: Cho phương trình sin x  m cos x  1 + Giải phương trình khi m   3 . +Tìm tất cả các giá trị của m để mọi nghiệm của phương trình trên đều là 2 nghiệm của phương trình m sin x  cos x  m . 2 2 c.99: Giải phương trình tgx. sin x  2 sin x  3cos 2 x  sin x. cos x  2 d.00: Giải phương trình sin 2 x.cot gx  tg2 x   4 cos x 1 2 e.01: e.1)Giải phương trình 48   2 1  cot g2x. cot gx   0 4 cos x sin x a.97: Giải phương trình:. e.2)Chứng minh rằng không tồn tại tam giác mà cả ba góc của nó đều là nghiệm của phương trình:. 2  cos2 3 x  21  sin2 2x  2 3 4 2 3 4 Bài 18: N.Thương a. 1998: GPT sin x  sin x  sin x  sin x  cos x  cos x  cos x  cos x 3 3 3 b. 1999: GPT sin x. cos 3 x  cos x. sin 3 x  sin 4 x 5 8 8 10 10 c. 2000: GPT sin x  cos x  2sin x  cos x  cos 2 x 4 2 2 Bài 19 ĐHNN a. 1997: Cho phương trình 2 sin x  sin x cos x  cos x  m . Xác định các giá trị của tham. Bài 17: HVNHTPHCM.Giải phương trình cos 3 x . số m để phương trình đã cho có nghiệm và tìm nghiệm của nó khi m=-1.. sin2 2x  cos4 2x  1 3 3 0 b. 1998: GPT c. 2000: 1  cos x  sin x  sin 2 x sin x cos x Bµi 20. §HNL©mHCM 2001: GPT 1  cos x  cos 2 x  cos 3 x  0 Bµi 21. HVQHQT a.97: GPT. sin x  sin x  sin2 x  cos x  1 b.98: cos2 x  cos2 2x  cos2 3 x  cos2 4 x . 1 2 sin 3 x  sin 5 x . Tính đạo hàm f'(x) và giải PT f'(x)=0 3 5 2 3 Bµi 22.HVQY2000 GPT cos x  sin x  cos x  0. 3 2. c. 00: Cho hµm sè f ( x )  sin x  Bµi 23.§HQG. Trang 17. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC a.97 GPT cos x sin x  cos x  sin x  1 b.98 GPT 2tgx  cot gx  2 sin 2 x .     cos 3 x d.00. 2 sin x  cot gx  2 sin 2x  1 3   e. 01: 2 sin 2 x  cos 2 x  7 sin x  2 cos x  4. 1 sin 2x. c.99: 8 cos  x  3. Bµi 24.§HQGHCM 5 5 2 a. 97: Cho PT 4 cos x sin x  4 sin x cos x  sin 4 x  m +Biết x   là một nghiệm của pt trên. Hãy giải phương trình trong trường hợp đó..  lµ mét nghiÖm cña pt trªn. H·y t×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña pt trªn tháa m·n: 8 x4  3x2  2  0 2 2 b.99: Cho f ( x )  cos 2 x  2sin x  cos x   3 sin 2 x  m +Cho biÕt x . +GPT f(x)=0 víi m=-3. 2 + Tính theo m giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x). Từ đó tìm m sao cho f ( x )  36. x. c.00: Cho pt cos x  sin x  m 3. + Gpt khi m=-1.. 3.    ; .  4 4. +Tìm m sao cho pt trên có đúng hai nghiệm x   . Bµi 25. §HSPHN.  x 7    tháa m·n x  1  3  4 2 2 3 cos4 x  4 sin2 x b.01: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña y  3 sin4 x  2 cos2 x x2 Bµi 26. §HSP2 a.99: Gpt 1   cos x 2   2 b.00. T×m x  Z cña pt cos 3 x  9 x  160x  800   1 8  x x 2 x 2  Bµi 27. SPHCM 00: Gpt sin sin x  cos sin x  1  2 cos    2 2  4 2  2 cos x  1  cos y 1  cos 2x Bµi 28. SPVinh a.97. Gi¶i hÖ  b.98. 1  cot g2 x  sin2 2x  2 sin x  sin y   2 c.99: sin 4 x  cos 4 x  1  4 2 sin x   d.00: 8 cos 4 x. cos 2 x  1  cos 3 x  1  0 4  a.00: T×m nghiÖm cña pt sin x cos 4 x  sin 2 x  4 sin  2. 2. . . Bµi 29.TCKT a.97. 1  tgx 1  sin 2 x   1  tgx b.99. . sin x.  cos x. c.00.. 3sin x  tgx   2 cos x  2 tgx  sin x.   cos2 x   1  cos sin 2x  2  b.00. +Gi¶i pt sin 3 x  cos 2 x  1  2 sin x cos 2 x Bµi 30. TNguyªn. 2. a.97. 2 cos . Trang 18. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC + Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình trên tương đương với phươn trình. sin 3 x  m sin x  4  2 m sin2 x 1 1 3x Bµi 31. §HT.M¹i. a.97: cos 2 x  cos  2  0 b.99. 2 sin 3 x   2 cos 3 x  4 sin x cos x 2 2 c.00. 3 sin 2 x  2 cos x  2 2  2 cos 2 x d.01.  2tg2 x  5 tgx  5 cot gx  4  0 2 sin x 6 6 Bµi 32. Thñy Lîi a.97. Cho f ( x )  sin x  cos x + TÝnh f ' ( .  24. ) + Giải phương trình f ( x)  1 + Tìm điều kiện để pt f ( x)  m có nghiệm.. b.98. 1  sin x   cos x 2. c.99. tg2 x  sin 2 x . sin 3 x sin 5 x 3  cot gx d.00. 2 3 5.  3  10 . x  1   3x    sin   2  2  10 2  sin4 2x  cos4 2x Bµi 33.X©y dùng a. 97.  cos4 4 x     tg  x  tg  x  4  4  2 2 cos x  sin x b.98. Gi¶i vµ BL m cot g2 x  c.99. log x cos x  sin x  log 1 cos x  cos 2 x   0 cos6 x  sin6 x x e.01. sin. Bµi 34: §Ò chung cña Bé GD-§T. cos 3 x  sin 3 x     cos 2x  3 1  2 sin 2x   2 2 2 2 b.2002B: Gpt sin 3 x  cos 4 x  sin 5 x  cos 6 x c.2002D: T×m nghiÖm x  0;14  cña pt: cos 3 x  4 cos 2 x  3 cos x  4  0 cos 2x 1  sin2 x  sin 2x d.2003A. Gpt cot gx  1  1  tgx 2  2 2 2 x 2 x e.2003B. Gpt cot gx  tgx  4 sin 2 x  f.2003D. Gpt sin    tg x  cos 0 sin 2x 2 2 4 2 g. 2004B. Gpt 5 sin x  2  31  sin x tg x h.2004D. Gpt 2 cos x  12 sin x  cos x   sin 2 x  sin x a.2002A: T×m nghiÖm thuéc kho¶ng 0;2  cña pt: 5 sin x . Trang 19. GV: Vũ Trường Sơn : 01254.503.873 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>