Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác

<span class='text_page_counter'>(1)</span>HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC T Trruunngg ttââm mV Vĩĩnnhh V Viiễễnn. hhttttpp::////llaaiissaacc..ppaaggee..ttll. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HỆ THỨ C LƯỢ N G TRONG TAM GIÁ C I. ÑÒNH LYÙ HAØ M SIN VAØ COSIN Cho ΔABC có a, b, c lầ n lượ t là ba cạ n h đố i diệ n củ a A, B, C, R là bá n kính đườ n g trò n ngoạ i tiế p ΔABC , S là diệ n tích ΔABC thì. a b c = = = 2R sin A sin B sin C a 2 = b2 + c2 − 2bc cos A = b2 + c2 − 4S.cotgA b2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B = a 2 + c 2 − 4S.cotgB c2 = a 2 + b2 − 2ab cos C = a 2 + b2 − 4S.cotgC. Bài 1. Cho ΔABC . Chứ n g minh: A = 2B ⇔ a 2 = b2 + bc. Ta coù : a 2 = b2 + bc ⇔ 4R2 sin2 A = 4R2 sin2 B + 4R2 sin B.sin C ⇔ sin 2 A − sin 2 B = sin B sin C 1 1 ⇔ (1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B ) = sin B sin C 2 2 ⇔ cos 2B − cos 2A = 2 sin B sin C ⇔ −2 sin ( B + A ) sin ( B − A ) = 2 sin B sin C ⇔ sin ( B + A ) sin ( A − B ) = sin B sin C ⇔ sin ( A − B ) = sin B. ( do. sin ( A + B ) = sin C > 0 ). ⇔ A − B = B ∨ A − B = π − B ( loại ) ⇔ A = 2B. Caù c h khaù c : sin 2 A − sin 2 B = sin B sin C ⇔ (s in A − sin B) (s in A + sin B) = sin B sin C A+B A−B A+B A−B ⇔ 2 cos sin .2 sin co s = sin B sin C 2 2 2 2 ⇔ sin ( B + A ) sin ( A − B ) = sin B sin C. ⇔ sin ( A − B ) = sin B. ( do. sin ( A + B ) = sin C > 0 ). ⇔ A − B = B ∨ A − B = π − B ( loại ) ⇔ A = 2B. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài 2. Cho ΔABC . Chứ n g minh:. sin ( A − B ) a 2 − b2 = sin C c2. a 2 − b2 4R 2 sin2 A − 4R 2 sin2 B = Ta coù c2 4R 2 sin2 C 1 1 1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B ) sin 2 A − sin 2 B 2 ( 2 = = sin 2 C sin 2 C cos 2B − cos 2A −2 sin ( A + B ) sin ( B − A ) = = 2 sin 2 C 2 sin 2 C sin ( A + B ) . sin ( A − B ) sin ( A − B ) = = sin C sin 2 C ( do sin ( A + B ) = sin C > 0) Bài 3. Cho ΔABC bieá t raè n g tg Chứ n g minh a + b = 2c. A B 1 ⋅ tg = ⋅ 2 2 3. A B 1 A B A B ⋅ tg = ⇔ 3sin sin = cos cos 2 2 2 3 2 2 2 A B ⎛ ⎞ ⎜ do cos > 0, cos > 0 ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ A B A B A B ⇔ 2 sin sin = cos cos − sin sin 2 2 2 2 2 2 A+B A − B⎤ A+B ⎡ ⇔ − ⎢cos − cos = cos ⎥ 2 2 ⎦ 2 ⎣ A−B A+B ⇔ cos = 2 cos ( *) 2 2 Maë t khaù c : a + b = 2R ( sin A + sin B ) A+B A−B = 4R sin cos 2 2 A+B A+B = 8R sin cos ( do ( *) ) 2 2 = 4R sin ( A + B ) Ta coù : tg. Caù c h khaù c : a + b = 2c. = 4R sin C = 2c. ⇔ 2R ( sin A + sin B ) = 4R sin C. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> A+B A−B C C cos = 4 sin cos 2 2 2 2 C ⎞ A−B C A+B ⎛ A+B ⇔ cos = 2 sin = 2 cos = cos ⎟ ⎜ do sin 2 2 2 ⎝ 2 2 ⎠ A B A B A B A B ⇔ cos cos + sin sin = 2 cos cos − 2 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 A B A B ⇔ 3 sin sin = cos cos 2 2 2 2 A B 1 ⇔ tg ⋅ tg = 2 2 3 Bài 4 Cho ΔABC , chứ n g minh nế u cotgA, cotgB, cotgC tạ o mộ t cấ p số cộ n g thì ⇔ 2 sin. a 2 , b2 , c2 cuõ n g laø caá p soá coä n g. Ta coù : cot gA, cot gB, cot gC laø caáp soá coäng ⇔ cot gA + cot gC = 2 cot gB ( * ) Caù c h 1:. Ta coù: ( *). sin ( A + C ) 2 cos B = ⇔ sin 2 B = 2 sin A sin C cos B sin A sin C sin B 2 ⇔ sin B = − ⎡⎣cos ( A + C ) − cos ( A − C ) ⎤⎦ ⎡⎣ − cos ( A + C ) ⎤⎦ ⇔. ⇔ sin 2 B = cos2 ( A + C ) − cos ( A − C ) cos ( A + C ) 1 [cos 2A + cos 2C] 2 1 ⇔ sin 2B = (1 − sin 2 B ) − ⎡⎣(1 − 2 sin 2 A ) + (1 − 2 sin 2 C ) ⎤⎦ 2 2 2 ⇔ 2 sin B = sin A + sin 2 C. ⇔ sin 2 B = cos2 B −. 2b2 a2 c2 = + 4R 2 4R 2 4R 2 ⇔ 2b2 = a 2 + c2 ⇔. ⇔ a 2 , b2 , c2 laø caâùp soá coäng • Caù c h 2: Ta coù: a 2 = b2 + c 2 − 2ab cos A ⎛1 ⎞ ⇔ a 2 = b2 + c 2 − 4 ⎜ bc sin A ⎟ .cotgA ⎝2 ⎠ 2 2 2 ⇔ a = b + c − 4S cot gA b2 + c 2 − a 2 4S a 2 + c 2 − b2 a 2 + b2 − c 2 Tương tự cotgB = , cotgC = 4S 4S 2 2 2 2 2 b +c −a a + b − c2 a 2 + c 2 − b2 + = 2⋅ Do đó: ( *) ⇔ 4S 4S 4S 2 2 2 ⇔ 2b = a + c Do đó cotgA =. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài 5. Cho ΔABC coù sin2 B + sin2 C = 2sin2 A Chứ n g minh BAC ≤ 600. Ta coù:. sin 2 B + sin 2 C = 2 sin 2 A b2 c2 2a 2 ⇔ + = 4R 2 4R 2 4R 2 ⇔ b2 + c 2 = 2a 2 ( *). Do ñònh lyù haø m cosin neâ n ta coù a 2 = b2 + c2 − 2bc cos A 2 ( b2 + c 2 ) − b2 − c 2 b2 + c 2 − a 2 ⇔ cos A = = ( do ( *)) 2bc 4bc b2 + c 2 2bc 1 = ≥ = ( do Cauchy ) 4bc 4bc 2. Vaïây : BAC ≤ 600. Caù c h khaù c: ñònh lyù haø m cosin cho a 2 = b2 + c2 − 2bc cos A ⇒ b2 + c2 = a 2 + 2bc cos A Do đó (*) ⇔ a 2 + 2bc cos A = 2a 2 ⇔ cos A =. a2 b 2 + c2 1 = ≥ ( do Cauchy) 2bc 4 bc 2. Cho ΔABC . Chứ n g minh : R ( a 2 + b2 + c 2 ) cotgA+cotgB+cotgC = abc 2 2 b + c − a2 cotgA = Ta coù: 4S 2 2 2 a +c −b a 2 + b2 − c 2 Tương tự: cot gB = , cot gC = 4S 4S 2 2 2 a +b +c a 2 + b2 + c 2 Do đó cot gA + cot gB + cot gC = = abc 4S 4 4R 2 2 2 a +b +c =R abc Bài 7 Cho ΔABC coù 3 goù c A, B, C taï o thaø n h moä t caá p soá nhaâ n coù coâ n g boä i q = 2. Giả sử A < B < C. 1 1 1 = + Chứ n g minh: a b c Bài 6. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Do A, B, C laø caá p soá nhaâ n coù q = 2 neâ n B = 2A, C = 2B = 4A π 2π 4π Maø A + B + C = π neân A = , B = ,C = 7 7 7 Caù c h 1: 1 1 1 1 + = + Ta coù: b c 2R sin B 2R sin C ⎛ ⎞ 1 ⎜ 1 1 ⎟ = + ⎜ ⎟ 2π 4π ⎟ 2R ⎜ sin ⎜ sin ⎟ 7 7 ⎠ ⎝ 4π 2π + sin sin 1 7 7 = 2π 4π 2R sin sin 7 7 3π π 2 sin . cos 1 7 7 ⎛ do sin 4 π = sin 3π ⎞ = ⋅ ⎟ 2π 3π ⎜⎝ 2R 7 7 ⎠ sin . sin 7 7 π cos 1 1 7 = ⋅ = π π 2R sin A R 2 sin . cos 7 7 1 = a Caù c h 2:. Bài 8. 1 1 1 1 1 1 = + ⇔ = + a b c sin A sin B sin C 1 1 1 sin 4A + sin 2A ⇔ = + = sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A 1 2 sin 3A. cos A 2 cos A 2 cos A ⇔ = = = sin A sin 2A sin 4A sin 2A 2 sin A cos A 3π 4π = sin = sin 4A • do : sin 3A = sin 7 7 Tính caù c goù c cuû a ΔABC neá u sin A sin B sin C = = 1 2 3. Do ñònh lyù haø m sin: neâ n :. a b c = = = 2R sin A sin B sin C sin A sin B sin C = = ( *) 1 2 3. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> a b c = = 2R 2R 3 4R. ⇔. ⇔a=. (. Ta coù: c 2 = 4a 2 = a 3. ). 2. b c ⎪⎧ b = a 3 = ⇔⎨ 3 2 ⎪⎩c = 2a. + a2. ⇔ c 2 = b2 + a 2 Vaïây ΔABC vuoâng taïi C Thay sin C = 1 vào ( *) ta được sin A sin B 1 = = 1 2 3 1 ⎧ ⎪⎪sin A = 2 ⇔⎨ ⎪sin B = 3 ⎪⎩ 2 0 ⎪⎧ A = 30 ⇔⎨ 0 ⎪⎩B = 60. Ghi chuù: Trong tam giaù c ABC ta coù a = b ⇔ A = B ⇔ sin A = sin B ⇔ cos A = cos B. II. ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜN G TRUNG TUYẾ N Cho UABC coù trung tuyeá n AM thì:. AB2 + AC2 = 2AM2 +. 2 2 2 hay : c + b = 2ma +. BC2 2 a2 2. Cho UABC coù AM trung tuyeá n , AMB = α , AC = b, AB = c, S laø dieä n tích UABC. Vớ i 0 < α < 900 b2 − c 2 a/ Chứ n g minh: cotgα = 4S 0 b/ Giả sử α = 45 , chứ n g minh: cotgC – cotgB = 2 Bài 9. HM MB − BH = AH AH a BH ⇒ cotgα = − (1 ) 2AH AH. a/ UAHM vuoâ n g ⇒ cotgα =. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 2 2 2 b2 − c 2 ( a + c − 2ac cos B ) − c Maë t khaù c : = 4S 2AH.a Ñaë t BC = a b2 − c 2 a c cos B a BH ⇒ = − = − (2) 4S 2AH AH 2AH AH b2 − c 2 Từ (1) và (2) ta đượ c : cotg α = 4S Caù c h khaù c: Gọ i S 1 , S 2 lầ n lượ t là diệ n tích tam giá c ABH và ACH Aù p duï n g ñònh lyù haø m cos trong tam giaù c ABH vaø ACH ta coù : AM2 + BM2 − c 2 cotg α = (3) 4S1. − cotg α =. AM2 + CM2 − b2 4S2. (4). Laá y (3) – (4) ta coù : b2 − c 2 S cotg α = ( vì S 1 =S 2 = ) 2 4S HC HB HC − HB − = b/Ta coù : cotgC – cotgB = AH AH AH ( MH + MC ) − ( MB − MH ) = AH 2MH = 2 cotg α = 2 cotg 450 = 2 = AH Caù c h khaù c: Aù p duï n g ñònh lyù haø m cos trong tam giaù c ABM vaø ACM ta coù : BM2 + c 2 − AM2 cotg B = (5) 4S1. cotg C =. CM2 + b2 − AM2 4S2. (6). Laá y (6) – (5) ta coù : b2 − c 2 S cotg C − cot gB = = 2 cot gα =2 ( vì S 1 =S 2 = vaø caâ u a ) 2 2S. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Cho UABC có trung tuyế n phá t xuấ t từ B và C là mb , mc thỏ a. Bài 10. c mb = ≠ 1 . Chứ n g minh: 2cotgA = cotgB + cotgC b mc. m2b c2 Ta coù : 2 = 2 b mc 1⎛ 2 b2 ⎞ 2 + − a c ⎜ ⎟ 2 2 ⎠ c2 ⇔ 2 = ⎝ b 1⎛ 2 c2 ⎞ 2 + − b a ⎜ ⎟ 2⎝ 2⎠ c4 b4 = a 2 b2 + b2 c 2 − 2 2 1 ⇔ a 2 c 2 − a 2 b2 = ( c 4 − b4 ) 2 1 ⇔ a 2 ( c 2 − b2 ) = ( c 2 − b2 )( c 2 + b2 ) 2 c ⎛ ⎞ ⇔ 2a 2 = c 2 + b2 (1) ⎜ do ≠ 1 ⎟ ⎝ b ⎠ 2 2 2 Thay b + c = a + 2bc cos A vaø o (1), ta coù (1) thaø n h a 2 = 2bc cos A a2 4R 2 sin 2 A ⇔ cos A = = 2bc 2 ( 2R sin B ) ( 2R sin C ) ⇔ b2 c 2 + a 2 c 2 −. sin ( B + C ) cos A sin A = = sin A sin B sin C sin B sin C sinBcosC+ sinCcosB ⇔ 2 cotgA = = cotgC+ cotgB sin B sin C ⇔2. Bà i 194: Chứ n g minh nế u UABC có trung tuyế n AA’ vuô n g gó c vớ i trung tuyế n BB’ thì cotgC = 2 (cotgA + cotgB) UGAB vuoâ n g taï i G coù GC’ trung tuyeá n neâ n AB = 2GC’ 2 Vaä y AB = CC′ 3 2 ⇔ 9c = 4m c2 ⎛ c2 ⎞ ⇔ 9c 2 = 2 ⎜ b2 + a 2 − ⎟ 2⎠ ⎝ ⇔ 5c 2 = a 2 + b2 ⇔ 5c2 = c2 + 2ab cos C (do ñònh lyù haø m cos) ⇔ 2c 2 = ab cos C 2. ⇔ 2 ( 2R sin C ) = ( 2R sin A )( 2R sin B ) cos C. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ⇔ 2 sin2 C = sin A sin B cos C 2 sin C cos C ⇔ = sin A sin B sin C 2 sin ( A + B ) ⇔ = cotgC sin A sin B 2 ( sin A cos B + sin B cos A ) ⇔ = cotgC sin A sin B ⇔ 2 ( cotg B + cotgA ) = cotgC. III. DIEÄN TÍCH TAM GIAÙC Goï i. thì. S: dieä n tích UABC R: bá n kính đườ ng trò n ngoạ i tiế p UABC r: bá n kính đườn g trò n nộ i tiế p UABC p: nử a chu vi củ a UABC. 1 1 1 a.h a = b.h b = c.hc 2 2 2 1 1 1 S = ab sin C = ac sin B = bc sin A 2 2 2 abc S= 4R S = pr S=. S = p ( p − a ) ( p − b )( p − c ) Cho UABC chứ n g minh:. Bài 11. sin 2A + sin 2B + sin 2C =. Ta coù : sin2A+ ( sin2B + sin2C ). = = = = =. sin2A + 2sin(B + C).cos(B - C) 2sinAcosA + 2sinAcos(B - C) 2sinA[cosA + cos(B - C)] 2sinA[- cos(B + C) + cos(B - C)] 2sinA.[2sinB.sinC] a b c 1 abc 1 4RS 2S = 4. . . = = = 2 2 R3 2R 2R 2R 2 R 3 R. Bài 12. Cho UABC. Chứ n g minh : S = Dieä n tích (UABC) =. 1 2 a sin 2B + b2 sin 2A ) ( 4. Lop10.com. 2S R2.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Ta coù : S = dt ( ΔABC ) =. 1 ab sin C 2. 1 ab sin ( A + B ) 2 1 = ab [sin A cos B + sinB cos A ] 2 1 ⎡⎛ a ⎤ ⎞ ⎛b ⎞ = ab ⎢⎜ sin B ⎟ cos B + ⎜ sin A ⎟ cos A ⎥ (do ñl haøm sin) 2 ⎠ ⎝a ⎠ ⎣⎝ b ⎦ 1 = ⎡⎣a 2 sin B cos B+ b2 sin A cos A ⎤⎦ 2 1 = ( a 2 sin 2B + b2 sin 2A ) 4 =. Bài 13. : Cho ΔABC coù troï n g taâ m G vaø GAB = α, GBC = β, GCA = γ. Chứ n g minh: cotgα + cotgβ +cotgγ =. 3 ( a 2 + b2 + c 2 ) 4S. Goï i M laø trung ñieå m BC, veõ MH ⊥ AB AH ΔAMH ⊥⇒ cos α = AM BH 2BH ΔBHM ⊥⇒ cos B = = MB a Ta coù : AB = HA + HB a ⇔ c = AM cos α + cos B 2 1 ⎛ a ⎞ ⇔ cos α = (1 ) ⎜ c − cos B ⎟ AM ⎝ 2 ⎠ Maë t khaù c do aù p duï n g ñònh lyù haø m sin vaø o ΔAMB ta coù :. MB AM 1 a = ⇔ sin α = MB sin B = sin B (2) sin α sin B AM 2AM Lấ y (1) chia cho (2) ta đượ c : a c − cos B 2c − a cos B 2 cotgα = = a b sin B a. 2 2R 2 R ( 4c − 2a cos B ) R ( 4c − 2ac cos B ) = = ab abc 2 2 2 2 2 3c + b − a 3c + b − a 2 = = abc 4S R. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chứ n g minh tương tự : 3a 2 + c 2 − b2 4S 2 3b + a 2 − c 2 cotgγ = 4S Do đó : cotgα + cotgβ + cotgγ cotgβ =. = =. 3c2 + b2 − a 2 3a 2 + c 2 − b2 3b2 + a 2 − c 2 + + 4S 4S 4S 2 2 2 3 (a + b + c ) 4S. Caù c h khaù c : Ta coù m2a + m2b + mc2 =. cotgα =. c2 + m2a − 4SΔABM. Tương tự cotgβ =. 3 2 a + b2 + c2 ) (*) ( 4. a2 2 2 2 4 = 4c + 4ma − a (a) 8S. 4a 2 + 4m2b − b2 4b2 + 4m2c − c2 (b), cotgγ = (c) 8S 8S. Cộ n g (a), (b), (c) và kế t hợ p (*) ta có : cotg α + cotg β + cotg γ =. 3 ( a 2 + b2 + c 2 ) 4S. IV. BÁN KÍNH ĐƯỜ N G TRÒ N. Gọ i R bá n kính đườ n g trò n ngoạ i tiế p ΔABC và r bá n kính đườ n g trò n nộ i tiế p ΔABC thì a abc = R= 2 sin A 4S S r= p A B C r = ( p − a ) tg = ( p − b ) tg = ( p − c ) tg 2 2 2. Bài 14. Gọ i I là tâ m đườ n g trò n nộ i tiế p ΔABC . Chứ n g minh:. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> A B C sin sin 2 2 2 2 b/ IA.IB.IC = 4Rr. a/ r = 4R sin. B BH = 2 IH B ⇒ BH = rcotg 2 C Tương tự HC = r cotg 2 a/ Ta coù :. ΔIBH ⊥⇒ cotg. Maø : BH + CH = BC neâ n B C⎞ ⎛ r ⎜ cotg + cotg ⎟ = a 2 2⎠ ⎝ ⎛B + C⎞ r sin ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠=a ⇔ B C sin sin 2 2 A B C ⇔ r cos = ( 2R sin A ) sin sin 2 2 2 A A A B C ⇔ r cos = 4R sin cos sin sin 2 2 2 2 2 A B C A ⇔ r = 4R sin sin sin . (do cos >0) 2 2 2 2 b/ Ta coù :. Tương tự. Do đó :. r Α IK = ⇒ IA = A 2 IA sin 2 r r IB = ; IC = B C sin sin 2 2 3 r IA.IB.IC = A B C sin sin sin 2 2 2. Δ ⊥ ΑΚΙ ⇒ sin. r3 = = 4Rr 2 (do keát quaû caâu a) r 4R : Cho ΔABC có đườ n g trò n nộ i tiế p tiế p xú c cá c cạ n h ΔABC tạ i A’, B’, C’. ΔA 'B 'C ' có cá c cạ n h là a’, b’, c’ và diệ n tích S’. Chứ n g minh: Bài 15. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> a' b ' C⎛ A B⎞ + = 2 sin ⎜ sin + sin ⎟ a b 2⎝ 2 2⎠ S' A B C b/ = 2 sin sin sin S 2 2 2. a/. 1 1 1 C 'IB ' = ( π − A ) = ( B + C ) 2 2 2 AÙ p duï n g ñònh lyù hình sin vaø o ΔA 'B 'C '. a/ Ta coù : C ' A 'B ' =. a' = 2r (r: bá n kính đườ ng trò n nộ i tiế p ΔABC ) sin A '. B+C (1) 2 ΔABC coù : a = BC = BA '+ A 'C. ⇒ a ' = 2r sin A ' = 2r sin. B C + r cot g 2 2 B+C sin 2 (2) ⇒a=r B C sin sin 2 2 ′ a B C (1) = 2 sin sin Laá y ta đượ c a 2 2 (2) ⇒ a = r cot g. Tương tự. b' A C = 2 sin .sin b 2 2. Vaä y. a ' b' C⎛ A B⎞ + = 2 sin ⎜ sin + sin ⎟ . a b 2⎝ 2 2⎠. b/ Ta coù :. A 'C 'B ' =. 1 1 1 .B 'IA ' = ( π − C ) = ( A + B ) 2 2 2. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Vaä y Ta coù :. A+B C = cos 2 2 1 a ' b 'sin C ' S ' dt ( ΔA 'B 'C ') 2 = = 1 S dt ( ΔABC ) ab sin C 2 S ' ⎛ a ' ⎞ ⎛ b ' ⎞ sin C ' ⇒ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ S ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ sin C sin C ' = sin. B C A = 4 sin sin 2 sin ⋅ 2 2 2 = 2 sin. cos 2 sin. B C A ⋅ sin ⋅ sin 2 2 2. C 2. C C cos 2 2. Cho ΔABC có trọ n g tâ m G và tâ m đườ n g trò n nộ i tiế p I. Biế t GI vuô n g. Bài 16. gó c vớ i đườ n g phâ n giá c trong củ a BCA . Chứ n g minh: a+b+c 2ab = 3 a+b Veõ GH ⊥ AC, GK ⊥ BC, ID ⊥ AC IG caé t AC taï i L vaø caé t BC taï i N Ta coù : Dt(ΔCLN) = 2Dt(ΔLIC) =ID.LC = r.LC (1) Maë t khaù c : Dt(ΔCLN) = Dt(ΔGLC) + Dt(ΔGCN). 1 ( GH.LC + GK.CN ) (2) 2 Do ΔCLN caâ n neâ n LC = CN =. Từ (1) và (2) ta đượ c :. 1 LC ( GH + GK ) 2 ⇔ 2r = GH + GK Gọ i h a , h b là hai đườ n g cao ΔABC phá t xuấ t từ A, B rLC =. Ta coù :. Do đó :. GK MG 1 GH 1 = = = vaø ha MA 3 hb 3. 2r =. 1 ( ha + h b ) 3. Lop10.com. (3).

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Maø :. S = Dt ( ΔABC ) = pr = ha =. Do đó :. 1 1 a.ha = b.h b 2 2. 2pr 2pr vaø h b = a b. 2 ⎛1 1⎞ pr ⎜ + ⎟ 3 ⎝a b⎠ 1 ⎛a + b⎞ ⇔ 1 = p⎜ ⎟ 3 ⎝ ab ⎠ a+b+c a+b ⇔3= ⋅ 2 ab 2ab a+b+c ⇔ = a+b 3. Từ (3) ta có : 2r =. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> BAØI TAÄP 1.. 2. 3.. 4.. 5.. Cho ΔABC có ba cạ n h là a, b, c. R và r lầ n lượ t là bá n kính đừ ơ ng trò n ngoạ i tiế p và nộ i tiế p ΔABC . Chứ n g minh: C A B a/ ( a − b ) cotg + ( b − c ) cotg + ( c − a ) cotg = 0 2 2 2 r b/ 1 + = cos A + cos B + cos C R A B C c/ Neá u cotg , cotg , cotg laø caá p soá coä n g thì a, b, c cuõ n g laø caá p soá coä n g. 2 2 2 d/ Dieä n tích ΔABC = R r ( sin A + sin B + sin C ) e/ Neá u : a 4 = b4 + c4 thì ΔABC coù 3 goù c nhoï n vaø 2sin2 A = tgB.tgC 8 Neá u dieä n tích ( ΔABC ) = (c + a -b)(c + b -a) thì tgC = 15 Cho ΔABC có ba gó c nhọ n . Gọ i A’, B’, C’ là châ n cá c đườ n g cao vẽ từ A, B, C. Gọ i S, R, r lầ n lượ t là diệ n tích, bá n kính đườ n g trò n ngoạ i tiế p , nộ i tiế p ΔABC . Gọ i S’, R’, r’ lầ n lượ t là diệ n tích, bá n kính đườ n g trò n ngoạ i tiế p , nộ i tiế p củ a ΔA 'B 'C ' . Chứ n g minh: a/ S’ = 2ScosA.cosB.cosC R b/ R ' = 2 c/ r’ = 2RcosA.cosB.cosC ΔABC có ba cạ n h a, b, c tạ o mộ t cấ p số cộ n g. Vớ i a < b < c Chứ n g minh : a/ ac = 6Rr A −C B = 2 sin b/ cos 2 2 3r ⎛ C A⎞ c/ Coâ n g sai d = ⎜ tg − tg ⎟ 2 ⎝ 2 2⎠ Cho ΔABC có ba gó c A, B, C theo thứ tự tạ o 1 cấ p số nhâ n có cô n g bộ i q = 2. Chứ n g minh: 1 1 1 a/ = + a b c 5 b/ cos2 A + cos2 B + cos2 C = 4. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(18)</span>