Đề tài Phát triển tư duy cho học sinh thông qua giải bài toán bằng nhiều cách

<span class='text_page_counter'>(1)</span>S¸ng kiÕn kinh nghiÖm. Lª Xu©n Th¾ng. Ph¸t triÓn t­ duy cho häc sinh th«ng qua gi¶i bµi to¸n b»ng nhiÒu c¸ch. I.Lý do chọn đề tài. Khi giải các bài toán đặc biệt là các bài toán về các bất đẳng thức tôi nhận thấy các em thường: +Lúng túng thụ động không biết từ đâu,phân tích bài toán như thế nào ? Không nắm vững các bất đẳng thức quan trọng cũng như các hệ quả của các bất đẳng thức như côsi, bunhiacopski ,v…v… +Khi gi¶i ®­îc bµi to¸n råi th× dõng l¹i, kh«ng tiÕp tôc t×m tßi khai th¸c, biến đổi thay đổi giả thuyết và giải bài toán bằng nhiều cách, từ đó nếu có thÓ suy ra bµi to¸n tæng qu¸t. Để khắc phục được hạn chế trên, định hướng các em tư duy lôgíc. Tôi mạnh dạn đưa ra mét vµi kinh nghiÖm nhá trong bµi viÕt nµy hy väng c¸c em häc tËp hiÖu qu¶ h¬n. II. BiÖn ph¸p thùc hiÖn. §Ó lµm ®­îc viÖc nµy cÇn cã nhiÒu viÖc ph¶i lµm. Thø nhÊt: yªu cÇu vµ rÌn luyÖn cho häc sinh n¾m v÷ng c¸c lý thuyÕt c¬ b¶n nh­ côsi,bunhiacopski,trêbưsep,v…,v…và các cách chứng minh thông thường. Thứ hai: Khi cho các em làm bài tập tôi đặc biệt hướng cho các em phân tích c¸c bµi to¸n b»ng c¸ch tr¶ lêi c©u hái: -Vai trò các số hạng nhân tử có bình đẳng không? -Bất đẳng thức có xảy ra dấu bằng không? Nếu xảy ra thì thì các số hạng phải thoả mãn điều kiện nào. Từ đó cho phép áp dụng bât đẳng thức hợp với giả thuyết của bµi to¸n. Thứ ba : Khuyến khích các em biến đổi các bất đẳng thức về bất đẳng thức quen thuéc. Thø t­: Sau khi khuyÕn khÝch c¸c em gi¶i bµi to¸n theo nhiÒu c¸ch, nhiÒu c«ng cô. C«ng viÖc nµy rÊt cã lîi cho t­ duy còng nh­ kh¶ n¨ng tæng hîp kiÕn thøc cña c¸c em. III. Ph¹m vi nghiªn cøu. Sáng kiến này được thực hiện ở các lớp khối tại trường THPT Triệu Sơn 4. IV. Néi dung. Thùc hiÖn néi dung b»ng gi¶i b»ng nhiÒu c¸ch qua bµi to¸n sau qua bµi to¸n sau. Cho 3 số dương a,b,c. Chứng ming rằng. a2 b2 c2 abc    (1) bc ca ab 2. Trường THPT Triệu Sơn 4. 1 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm. Lª Xu©n Th¾ng. V. Thùc hiÖn Cách 1(áp dụng bất đẳng thức côsi) x  b  c §Æt  y  c  a  x  y  z  2a  b  c   2 p z  a  b . víi p=a+b+c. Suy ra:a=p-x; b=p-y;c=p-z.Do đó. 1  p  x . 2. p  y 2  p  x 2. 1 1 1 p p  p 2      6 p  x  y  z  x y z 2 2 x y z 1 1 1 1 1 1  p 2      9  x  y  z      9 .áp dụng bất đẳng thức côsi cho bất đẳng x y z x y z . . thøc cuèi ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.. Cách 2(áp dụng bất đẳng thức côsi). áp dụng bât đẳng thức côsi cho hai số Tương tự ta có. a2 b  c ; bc 4. ta cã. a2 bc   2a bc 4. b2 ca c2 ab   b;  c ca 4 ab 4. Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta có a2 b  c b2 ca c2 ab      abc bc 4 ca 4 ab 4. ChuyÓn vÕ rót gän ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. a2 b2 c2 abc    bc ca ab 2. Cách 3(biến đổi tương đương). Cộng hai bất đẳng thức (1) với biểu thức a+b+c ta có a2 b2 c2 3(a  b  c)   abc  bc ca ab 2. . a b c 3    (2) bc ca ab 2. (2) là bất đẳng thức quen thuộc và là bất đẳng thức đúng tứ đó suy ra điều phải chứng minh. Cách 4:(áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski). áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski cho hai dãy số sau. Trường THPT Triệu Sơn 4. 2 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm. Lª Xu©n Th¾ng. a2 b2 c2 ; ; ; a  b ; b  c ; c  a  Ta cã bc ca ab  a  a2 b2 c2 b c (   )  b  c  c  a  a  b    bc  ca  a  b  bc ca ab ca ab  bc . 2.  a  b  c . 2. Từ đó suy ra đpcm. Cách 5:(Biến đổi tương đương) a2 b2 c2 abc    bc ca ab 2 2 2 a bc b ca c2 ab       0 bc 4 ca 4 ab 4 2 2 2 4a 2  b  c  4b 2  c  a  4c 2  a  b      0(3) 4b  c  4c  a  4a  b . Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö r»ng:. a  b  c  0  a  b  a  c  b  c;4a 2  b  c   0;4c 2  a  b   0 2. 2. Tõ ®©y ta cã. 4a 2  b  c  4a 2  b  c  .Tương tự ta có:  4b  c  4a  c  2. 2. 4c 2  a  b  4c 2  a  b  KÕt hîp víi (3) ta cã:  4a  b  4a  c  2. 2. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 VT1  4a  b  c   4b  c  a   4c  a  b   a  b   b  c   c  a   0. 4a  c . 4c  a . Tõ ®©y suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.. 4a  c . 4c  a . Cách 6: (áp dụng bất đẳng thức trêbứsép). Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö r»ng a  b  c ta cã. a b c   bc ca ab. áp dụng bất đẳng thức trêbưsep cho hai hãy số dương trên ta có:. a  b  c (.  a2 a b c b2 c2     )  3   bc ca ab bc ca ab. MÆt kh¸c theo chøng minh trªn ta cã a b c 3    Tõ ®©y suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh bc ca ab 2. Cách 7:(áp dụng bất đẳng thức trêbứsep) Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö r»ng: Trường THPT Triệu Sơn 4. 3 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm. Lª Xu©n Th¾ng. a  b  c  a2  b2  c2 ;. 1 1 1   áp dụng bất đẳng thức trêbưsep cho hai hãy bc ca ab. số dương cùng chiều trên ta có:. a. 2.  b 1 c  c 1 a  a 1 b )  3 ba c  cb a  ac b  2.  b2  c2 (. 2. . 2. . Mặt khác theo bất đẳng thức bunhiacopski ta có.. a. 2.  b 1 c  c 1 a  a 1 b )  13 a  b  c   b 1 c  a 1 b  c 1 a . . 1 a  b  c a  b  b  c  c  a  1  1  1  6 bc ca ab. 2.  b2  c2 (. . . áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:. a  b  b  c  c  a . 1 1 1    9 bc ca ab. Từ đó suy ra điều phải chứng minh Cách 8:(áp dụng bất đẳng thức côsi) áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 dãy số sau: a  b; b  c; c  a và a  b  b  c  c  a  33 a  b b  c c  a . 1 1 1 ; ; ta cã. ab bc ca. 1 1 1 1    33 a  b b  c c  a  ab bc ca. Nhân hai vế bất đẳng thức trên ta được: 1 1  abc abc abc 9  1 2a  b  c      9 ab bc ca 2 ab bc ca c a b 3 a b  3  c        a  b  c   a  b  c  ab bc ac 2 2 ab bc ac. Nh©n vµo rót gän ta cã ®pcm. C¸ch 9: Ta cã. 2a  b  c   0  4a 2. 2.  4a b  c   b  c   0  4a 2  4a b  c   b  c  2. 2. 4a 2  4a  b  c  bc 4b 2 4c 2  4b  c  a ;  4c  b  a  Tương tự ta có: ca ba . Céng vÕ víi vÕ ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Trường THPT Triệu Sơn 4. 4 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm. Lª Xu©n Th¾ng. VI. KÕt qu¶ thùc hiÖn Đây là một phần khó thực hiện trên đối tượng học sinh đa dạng nên gặp không ít khó khăn.Tuy nhiên qua khảo sát học sinh kết quả thu được tương đối khả quan KÕt qu¶ nh­ sau Giái Khèi 10 25% Khèi 11 27%. Kh¸ 31% 25%. TB 10% 11%. YÕu 26% 29%. KÐm 18% 8%. Trên đây là môt số kinh nghiệm có được trong quá trình dạy học, tìm tòi tự bồi dưỡng nghiệp vụ chuyên môn. Rất mong sự quan tâm đóng góp ý kiến của các đồng chí để bµi viÕt nµy ®­îc hoµn thiÖn h¬n.. TriÖu s¬n 10/5/2008. Lª Xu©n Th¾ng. Trường THPT Triệu Sơn 4. 5 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>