Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (227.68 KB, 17 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
Gv: PHẠM THU AN
Tìm giới hạn của các dãy số sau:
a)
b)
c)
d)
e)
ĐS: a) 2 ; b) 5 ; c) 3/4
d) Âm vô cực ; e) -1/2
6 1
lim
3 2
<i>n</i>
<i>n</i>
lim( <i>n</i> 5<i>n</i> 2)
2
lim( <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>)
2
3
3 2
1
2
K thay cho các khoảng
0
<i>x</i> <i>x</i>
Cho hàm số và là dãy số tùy ý thỏa
Tìm
<b>Ta có</b>: vì
<b>Vậy </b>
Ta gọi hàm số có giới hạn là 2 khi x dần tới 1
<b>Kí hiệu :</b>
<b>Nhận xét 1</b>: (với
c là hằng số)
1
<i>x</i>
<i>y</i> <i>f x</i>
<i>x</i>
( )<i>xn</i>
1
lim 1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
lim ( )<i>f x<sub>n</sub></i>
2 <sub>1 (</sub> <sub>1)(</sub> <sub>1)</sub>
( ) 1
1 1
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
(<i>xn</i> 1)
2 <sub>1</sub>
( )
1
<i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
0 0 0
<b>1.2 Định lí về giới hạn hữu hạn</b>
<i><b>Nhắc lại</b></i><b>: Định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số </b>
0
0
( )
lim (nÕu ).
( )
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i> <i>L</i>
<i>M</i>
<i>g x</i> <i>M</i>
0
lim ( ). ( ) . ;
<i>x</i> <i>x</i> <i>f x g x</i> <i>L M</i>
0
lim ( ) ( ) ;
<i>x</i> <i>x</i> <i>f x</i> <i>g x</i> <i>L</i> <i>M</i>
0
lim ( ) ( ) ;
<i>x</i> <i>x</i> <i>f x</i> <i>g x</i> <i>L</i> <i>M</i>
0 0
a) Giả sử lim ( ) và lim ( ) . Khi đó
<i>x</i> <i>x</i> <i>f x</i> <i>L</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>g x</i> <i>M</i>
0
0 vµ lim ( ) .
<i>x</i> <i>x</i>
<i>L</i> <i>f x</i> <i>L</i>
0
0
b) NÕu ( ) và lim ( ) , thì
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i> <i>f x</i> <i>L</i>
Định lí 1
a) Nếu lim u<sub>n</sub> = a và lim v<sub>n</sub> = b thì:
*lim(u<sub>n</sub>+ v<sub>n</sub>) = a + b
*lim(u<sub>n</sub>- v<sub>n</sub>) = a – b
*lim(u<sub>n</sub>.v<sub>n</sub>) = a.b
* ( nếu )
b) Nếu u<sub>n </sub> 0 với mọi n và lim u<sub>n</sub> = a thì
a 0 và
lim <i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i> <i>a</i>
<i>v</i> <i>b</i>
lim <i>u<sub>n</sub></i> <i>a</i>
0
0
( )
lim (nÕu ).
( )
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i> <i>L</i>
<i>M</i>
<i>g x</i> <i>M</i>
0
lim ( ). ( ) . ;
<i>x</i> <i>x</i> <i>f x g x</i> <i>L M</i>
0
lim ( ) ( ) ;
<i>x</i> <i>x</i> <i>f x</i> <i>g x</i> <i>L M</i>
0
lim ( ) ( ) ;
<i>x</i> <i>x</i> <i>f x</i> <i>g x</i> <i>L M</i>
0 0
a) Giả sử lim ( ) và lim ( ) . Khi đó
<i>x</i> <i>x</i> <i>f x</i> <i>L</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>g x</i> <i>M</i>
0
0 vµ lim ( ) .
<i>x</i> <i>x</i>
<i>L</i> <i>f x</i> <i>L</i>
0
0
b) NÕu ( ) vµ lim ( ) , thì
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i> <i>f x</i> <i>L</i>
<b>Bài giải</b>
2
3 4
2 3
Cho hàm số ( ) . T×m lim ( )
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>f x</i> <i>f x</i>
<i>x</i>
<i><b>VÝ dơ 1. </b></i>
2
2 2
2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
lim (nếu ).
( )
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i> <i>L</i>
<i>M</i>
<i>g x</i> <i>M</i>
0
lim ( ). ( ) . ;
<i>x</i> <i>x</i> <i>f x g x</i> <i>L M</i>
0
lim ( ) ( ) ;
<i>x</i> <i>x</i> <i>f x</i> <i>g x</i> <i>L M</i>
0
lim ( ) ( ) ;
<i>x</i> <i>x</i> <i>f x</i> <i>g x</i> <i>L M</i>
0 0
a) Giả sử lim ( ) và lim ( ) . Khi đó
<i>x</i> <i>x</i> <i>f x</i> <i>L</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>g x</i> <i>M</i>
0
0 vµ lim ( ) .
<i>x</i> <i>x</i>
<i>L</i> <i>f x</i> <i>L</i>
0
0
b) NÕu ( ) vµ lim ( ) , th×
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i> <i>f x</i> <i>L</i>
2
3
8
2
Cho hàm số ( ) . Tìm lim ( )
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i> <i>f x</i>
<i>x</i>
<i><b>VÝ dô 2. </b></i>
2
3 3
<b>Bài giải</b>
Ta có:
<b>Nhận xét 2</b>: Để tìm đó
P(x) và Q(x) là hai đa thức thỏa
Ta thường biến đởi như sau:
Và phân tích tiếp u(x) và v(x) như trên hoặc dùng
các định lý về giới hạn.
<i><b>Nhắc lại</b></i><b>:</b> Nếu tam thức bậc hai có hai nghiệm
2
1
5 4
1
TÝnh lim
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i><b>VÝ dô 3. </b></i>
2
1
<i>x</i>
2
2
1
1
TÝnh lim
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i><b>VÝ dô 4. </b></i>
0
( )
lim trong
( )
<i>x</i> <i>x</i>
<i>P x</i>
<i>Q x</i>
0 0
( ) 0 va` Q(x ) 0
<i>P x</i>
0 0 0
0
0
( ) ( )
( ) ( )
lim lim lim
( ) ( ) ( ) ( )
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x x u x</i>
<i>P x</i> <i>u x</i>
<i>Q x</i> <i>x x v x</i> <i>v x</i>
2
<b>Giải</b>
<i><b>Ghi chú: </b></i>
Có biểu thức liên hợp là (và ngược lại)
Có biểu thức liên hợp là (và ngược lại)
1
<i>x</i>
1 1
1
1
3 2 ( 3 2)( 3 2)
lim lim
1 <sub>(</sub> <sub>1)(</sub> <sub>3 2)</sub>
( 1)
lim
( 1)( 3 2)
1 1
lim
4
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub> </sub>
<b>Nhận xét 3: </b>Tìm đó U(x) và V(x) là hai hàm số có chứa căn
(hoặc một trong hai) và
Ta sẽ nhân cả tử và mẫu cho một biểu thức liên hợp
Sau đó làm xuất hiện và khử biểu thức chung của tử và mẫu.
0
( )
lim trong
( )
<i>x</i> <i>x</i>
<i>U x</i>
<i>V x</i>
0 0
( ) 0 va` V(x ) 0
<i>U x</i>
2 <sub>2</sub>
6
4 1 3
1
4
Cho hµm sè ( ) . T×m li )
:
m (
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
<i>D</i>
<i>f x</i>
<i>S</i>
<i><b>VÝ dô 6. </b></i>
Cho khoảng K chứa x<sub>0 </sub>và hàm số y= f(x) xác định trên K hoặc
trên K\ {x<sub>0</sub>} . Ta nói hàm số y =f(x) có giới hạn là số L khi x dần
tới x<sub>0</sub> nếu với dãy số (x<sub>n</sub>) bất kì, x<sub>n </sub>thuộc K\{x<sub>0</sub>}và x<sub>n</sub> <i>→</i> x<sub>0</sub>, ta có
f(x<sub>n</sub>) <i>→</i> L.
Kí hiệu: Hay khi
0
0
( )
lim (nÕu ).
( )
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i> <i>L</i>
<i>M</i>
<i>g x</i> <i>M</i>
0
lim ( ). ( ) . ;
<i>x</i> <i>x</i> <i>f x g x</i> <i>L M</i>
0
lim ( ) ( ) ;
<i>x</i> <i>x</i> <i>f x</i> <i>g x</i> <i>L M</i>
0
lim ( ) ( ) ;
<i>x</i> <i>x</i> <i>f x</i> <i>g x</i> <i>L</i> <i>M</i>
0 0
a) Giả sử lim ( ) và lim ( ) . Khi đó
<i>x</i> <i>x</i> <i>f x</i> <i>L</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>g x</i> <i>M</i>
0
0 vµ lim ( ) .
<i>x</i> <i>x</i>
<i>L</i> <i>f x</i> <i>L</i>
0
0
b) NÕu ( ) vµ lim ( ) , th×
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i> <i>f x</i> <i>L</i>
0
lim ( )
<b>Nhận xét 2: </b>Để tìm đó P(x) và Q(x) là hai đa thức thỏa
Ta thường biến đởi như sau:
Và phân tích tiếp u(x) và v(x) như trên hoặc dùng các định lý về giới hạn.
<b>Nhận xét 3: </b>Tìm đó U(x) và V(x) là hai hàm số có chứa căn
(hoặc một trong hai) và
Ta sẽ nhân cả tử và mẫu cho một biểu thức liên hợp
Sau đó làm xuất hiện và khử biểu thức chung của tử và mẫu.
<b>Nhận xét 1:</b> (với c là
hằng số)
0
( )
lim trong
( )
<i>x</i> <i>x</i>
<i>P x</i>
0 0
( ) 0 va` Q(x ) 0
<i>P x</i>
0 0 0
0
0
( ) ( )
( ) ( )
lim lim lim
( ) ( ) ( ) ( )
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x x u x</i>
<i>P x</i> <i>u x</i>
<i>Q x</i> <i>x x v x</i> <i>v x</i>
0
( )
lim trong
( )
<i>x</i> <i>x</i>
<i>U x</i>
<i>V x</i>
0 0
( ) 0 va` V(x ) 0
<i>U x</i>
0 0 0
lim ; lim
b) Tìm
Đáp án C
Đáp án C
3
lim( 1) ?
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
.10 .7 .13 .1
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> <i>D</i>
2
1
8 3
lim
2 3
1 3
.0 B.1 C. D.
24 2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>A</i>