50 bài tập về bất ĐẲNG THỨC trần văn lập

50 BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1:
Cho a �3 , tìm giá trị nhỏ nhất của S  a 

1
a

Giải:
S a

1 8a a 1
24
a 1 10
 (  )� 2 . 
a 9
9 a
9
9 a 3

Bài 2:
1
a2
1 6a a a 1
12
a a 1 12 3 9
Giải: S  a  2   (   2 ) �  3 3 . . 2   
a
8
8 8 a
8
8 8 a

8 4 4

Cho a �2 , tìm giá trị nhỏ nhất của S  a 

Bài 3:
Cho a, b > 0 và a  b �1 , tìm giá trị nhỏ nhất của S  ab 
Giải:

S  ab 

1
1
15
1
 (ab 
)
�2 ab

ab
16ab 16ab
16ab

15

1
ab

17
�a  b � 4
16 �

�
�2 �
2



Bài 4:
3
2

Cho a, b, c> 0 và a  b  c �

Tìm giá trị nhỏ nhất của S  a 2 

1
1
1
 b2  2  c 2  2
2
b
c
a

Giải:
Cách 1:

Cách 2:
S  a2 

1

1
1
 b2  2  c 2  2
2
b
c
a

(12  42 )(a 2 

1
1
1
1
4
) �(1.a  4. )2� a 2  2 �
(a  )
2
b
b
b
b
17

Tương tự
1

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư

b2 

1
1
4
1
1
4
�
(b  ); c 2  2 �
(c  )
2
c
c
a
a
17
17

Do đó:
S�


1
4 4 4
1
36
(a  b  c    ) �
(a  b  c 
)

a b c
a bc
17
17

1
17

�
� 3 17
9
135
(a  b  c 
)
�
�
4(a  b  c) 4(a  b  c) �
�
� 2

Bài 5:
Cho x, y, z là ba số thực dương và x  y  z �1 . Chứng minh rằng:
x2 

1
1
1
 y 2  2  z 2  2 � 82
2
y

z
x

Giải:
1
1
1
1
9
(1.x  9. ) 2 �(12  92 )( x 2  2 ) � x 2  2 �
(x  )
y
y
y
y
82
1
1
9
1
1
9
�
( y  ); z 2  2 �
(z  )
2
z
z
x
x

82
82
1
9 9 9
1
81
S�
(x  y  z    ) �
(x  y  z 
)
x y z
x yz
82
82

TT : y 2 



1 �
1
80 �
(x  y  z 
)
� 82
�
x y z x y z�
82 �
�

Bài 6:
Cho a, b, c > 0 và a  2b  3c �20
3
a

Tìm giá trị nhỏ nhất của S  a  b  c  

9 4

2b c

Giải:
Dự đoán a =2, b = 3, c = 4
12 18 16
� 12 � � 18 � � 16 �
   a  2b  3c  �
3a  � �
2b  �
�
c  ��
a b c
a ��
b �� c �
�
20 3.2.2

2.2.3 2.4 52 S 13
4 S  4a  4b  4c 



Bài 7:

1

1

1

Cho x, y, z > 0 và x  y  z  4
1

1

1

Tìm giá trị lớn nhất của P  2x  y  z  x  2 y  z  x  y  2z
Giải:
Ta có

2

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


1 1
4 1 1
4
 ��
; ���

x y x y y z yz

1
x

1
y

1
y

1
z

4
x y

4
yz

16
x  2y  z

1
x  2y  z

1 �1
�
16 �x

2
y

1�
�
z�

TT :
1
1 �2 1 1 �
1
1 �1 1 2 �
� �  �
;
� �  �
2 x  y  z 16 �x y z �x  y  2 z 16 �x y z �
1 �4 4 4 �
S � �   � 1
16 �x y z �

Bài 8:
x

x

x

12 � �
15 � �20 �
�

Chứng minh rằng với mọi x �R , ta có � � � � � ��3x  4 x  5x
�5 � �4 � �3 �

Giải:
x

x

x

x

x

x

x

x

12 � �
15 �
12 � �
15 �
20 � �
15 �
20 � �
12 �
�
�

x �
x �
x
� � � ��2 � �. � �  2.3 ; � � � ��2.5 ; � � � ��2.4
�5 � �4 �
�5 � �4 �
�3 � �4 �
�3 � �5 �

Cộng các vế tương ứng => đpcm.
Bài 9:
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 6 . Chứng minh rằng 8x  8 y  8 z �4 x 1  4 y 1  4 z 1
Giải:
Dự đoán x=y=z = 2 và 3 8x.8x  3 64x  4 x nên:
8 x  8x  82 �3 3 8x.8x.82  12.4 x ;
8 y  8 y  82 �3 3 8 y.8 y.82  12.4 y ;
8 z  8z  82 �3 3 8z.8z.82  12.4 z
8 x  8 y  8z �3 3 8x.8 y.8z  3 3 82.82.82  192

Cộng các kết quả trên => đpcm.
Bài 10:
Cho x, y, z> 0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng
1  x3  y3
1  y3  z3
1  z 3  x3


�3 3
xy
yz

zx

Giải:

x 3  y 3 �xy  x  y  � 1  x3  y 3 �xyz  xy  x  y   xy  x  y  z  �3xy 3 xyz  3xy
1  x3  y 3
3xy


xy
xy

3 yz
3 1  y3  z3
;


xy
yz
yz

�1
1
1 �
S  3�


�3 3
�
� xy

�
yz
zx
�
�

1
x2 y2 z2

3 1  z3  x3
3 zx
;


yz
zx
zx

3
zx

3 3

Bài 11:
Cho x, y là hai số thực khơng âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P 
3

 x  y   1  xy 
2

2
 1 x  1 y 

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


Giải:
2

 x  y   1  xy 
P � � �
2
2
 1 x  1 y

�x  y  1  xy �
�
� 1
2
�
�
2
 x  y  1  xy  4

 x  y   1  xy 
2
2
 1 x  1 y 

1

4

1
4

P

Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4
KL: Khi dấu = xảy ra.
Bài 12:
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a 3 b3 c 3
  �ab  bc  ca
b c a

Giải:
3
3
3
4
4
4
2
2
2 2
ab  bc  ac 
Cách 1: a  b  c  a  b  c �(a  b  c ) �
 ab  bc  ac

b c a ab bc ca
ab  bc  ac
ab  bc  ac
3
3
a3
2 b
2 c

ab
�
2a
;

bc
�
2
b
;
 ca �2a 2
Cách 2:
b
c
a
3
3
3
a b c
  �2(a 2  b 2  c 2 )  ab  bc  ac �ab  bc  ac
b c a

2

Bài 13:
Cho x,y > 0 và x  y �4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A 

3x 2  4 2  y 3

4x
y2

Giải:
Dự đoán x = y = 2
3x 2  4 2  y 3 3x 1 2
�1 x � �2 y y � �x  y � 9
A


  2  y  �  � � 2   � �
��
2
4x
y
4 x y
4 4�� 2 � 2
�x 4 � �y

Bài 14:
1

1

Cho x, y > 0 và x+y = 1. Chứng minh rằng P  x3  y 3  xy �4  2 3
Giải: Ta có

 x  y

3

 x 3  y 3  3xy(x+y) � x 3  y 3  3xy=1

x 3  y 3  3xy x 3  y 3  3xy
3xy
x3  y 3
P=

 4 3

�4  2 3
x3  y 3
xy
x  y3
xy

Bài 15:
1

1

1

1

Cho x, y, z > 0 và 1  x  1  y  1  z  2 . Chứng minh rằng xyz �
8
Giải:
1
1
1
1
1
y
z
 2

 1
 1


�2
1 x
1 y 1 z
1 y
1 z 1 y 1 z
TT :

1
�2
1 y

xz

1
;
�2
 1 x  1 z  1 z

yz
 1 y   1 z 

xy
 1 x 1 y

Nhân các vế của 3 BĐT => đpcm
4

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


Bài 16:
x

y

z

Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của S  x  1  y  1  z  1
Giải:
S

�1
x

y
z
1
1 �
9
9 3


 3 �


 3 
��3 
x 1 y 1 z 1
x y  z 3
4 4
�x  1 y  1 z  1 �

Bài 17:
Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng:
Giải:

4a 2 5b 2 3c 2


�48
a 1 b 1 c 1

2
4a 2 4  a  1  4

4
4

 4  a  1 
 4  a  1 
 8 �8  8  16
a 1
a 1
a 1
a 1
5b 2
5
3c 2
3
 5  b  1 
 10 �20;
 3  c  1 
 6 �12� dpcm
b 1
b 1
c 1
c 1

Bài 18:
Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng:

1 1 1
1
1 �
� 1

  �3 �


�
a b c
�a  2b b  2c c  2a �

Giải:
1 1 1
9
1 1 1
9
1 1 1
9
  �
;   �
;   �
cộng ba bất đẳng thức =>đpcm
a b b a  2b b c c b  2c c a a c  2a

Bài 19:
Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:
1 4 9
36
  �
a b c a bc

Giải:

1 4 9  1  2  3

36
  �

a b c
abc
abc
2

Bài 20:
Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng:
1 1 4 16
64
   �
a b c d abcd

Giải:

1 1 4
16
16
16
64
  �
;
 �
a b c a b c a b c d a b c d

Cần nhớ:

a2 b2 c2  a  b  c 

  �
x
y z
x yz

2

Bài 21:
Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:

4 5 3
2
1 �
�3
  �4 �


�
a b c
�a  b b  c c  a �

Giải:
5

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


1 1
4
3 3

3 1 1
4
2 2
8 1 1
4
 �
�  �
;  �
�  �
;  �
a b ab
a b a b b c bc
b c bc c a ca

Bài 22:
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó.
Chứng minh rằng

1
1
1
�1 1 1 �


�2 �   �
pa pb pc
�a b c �

Giải:
1

1
1
2
2
2





p  a p  b p  c a  b  c a  b  c a  b  c


1
1
1
1
1
1
�1 1 1 �





�2 �   �
a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c
�a b c �

Bài 23:

Cho x, y, z> 0 và x  y  x �4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 

x2
y2
z2


yz zx x y

Giải:

 x  y  z   x  y  z  4  2.
x2
y2
z2
P



�
Cách1:
y  z z  x x  y 2 x  y  z 
2
2
2

Cách 2:



x2
yz
y2
zx
z2
x y

�x;

�y;

�z
yz
4
zx
4
x y
4
x yz x yz 4
 P x y x
2.
2
2
2

Bài 24:
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+2y+3z =18. Chứng minh rằng
2 y  3z  5 3z  x  5 x  2 y  5 51



�
1 x
1 2y
1  3z
7

Giải:

2 y  3z  5 3z  x  5 x  2 y  5


1 x
1 2 y
1  3z
2 y  3z  5
3z  x  5
x  2y  5

1
1
1 3
1 x
1 2 y
1  3z
�1
1
1 �
9
  x  2 y  3z  6  �



3
� 3 �24.
1  x 1  2 y 1  3z �
x  2 y  3z  3
�
 24.

9
51
3 
21
7

Bài 25:
Chứng minh bất đẳng thức: a 2  b 2  1 �ab  a  b
Giải:
Nhân hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bình phương.
Bài 26: Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu
vi thì p  a  p  b  p  c � 3 p
6

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


Giải:
Bu- nhi -a ta có:
p  a  p  b  p  c � (12  12  12 )( p  a  p  b  p  c )  3(3 p  2 p )  3 p

Bài 27:

1
a

Cho hai số a, b thỏa mãn: a �1; b �4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng A  a   b 

1
b

Giải:
1
1 15b �b
a  �
2; b �
�
a
b 16 �
16

1 � 15.4
1 17
2.
�
b � 16
4 4
4
4
3
Bài 28: Chứng minh rằng a  b �a b  ab3

A

21
4

Giải:

2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
4
4
3
3
�
 a 2    b2  �
�
�(1  1 ) � a  b    a  b   a  b  �2ab  a  b   a  b �a b  ab

Bài 29:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A

( x  y  1) 2 xy  y  x

(Với x; y là các số thực dương).
xy  y  x ( x  y  1) 2

Giải:
( x  y  1) 2
1
 a; a  0 � A  a  Có
Đặt
xy  y  x
a
1 8a a
A 
a �(
a 9
9

1
)
a

8
a 1
.3 2. .
9
9 a

8

3

2
3

10
3

A

10
3

Bài 30:
Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt. Chứng minh

a2
b2
c2


�2
(b  c) 2 (c  a) 2 (a  b) 2

Giải:
a
b
b
c
c

a
.

.

.
 1
(b  c) (c  a ) (c  a ) (a  b) (a  b) (b  c)
2

� a
b
c �
VT  �


��0
�(b  c) (c  a) (a  b) �

(Không cần chỉ ra dấu = xảy ra hoặ nếu cần cho a= 1,b=0 => c=-1 thì xảy ra dấu =)
Bài 31:
Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c �3 . Chứng ming rằng
1
2009

�670
2
2
a b c
ab  bc  ca

2

Giải:

7

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


1
2009

2
2
a  b  c ab  bc  ca
1
1
1
2007
9
2007
 2



�

�670
2
2

2
2
a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b  c 
 a  b  c
3
2

Bài 32:
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a  b  c  3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
ab  bc  ca
P  a 2  b2  c 2  2
a b  b 2c  c 2 a
Giải:

3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a 2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2
+ ca2
Mà a3 + ab2  2a2b ;b3 + bc2  2b2c;c3 + ca2  2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b +
b2c + c2a) > 0
ab  bc  ca
9  (a 2  b2  c2 )
2
2
2
2
2
2
 P a b c
Suy ra P �a  b c  2  2
a  b  c2

2(a 2  b 2  c 2 )
t = a2 + b2 + c2, với t  3.
9t t 9 t 1
3 1
    �3    4  P  4
Suy ra P �t 
a=b=c=1
2t
2 2t 2 2
2 2
Bài 33:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1

1

1

P = 16 x  4 y  z

Giải:
�1
1
1 1
1 1 � �y
x � �z
x � �z y � 21
P=

   x  y  z � 

 � � 
�  �

� �  �
16x 4 y z
16x 4 y z � �
16 x 4 y � �
16 x z � �4 y z � 16
�
y
x 1
z y
z
x 1

� có =khi y=2x;
 �1 khi z=2y
 � khi z=4x;
=>P �49/16
16 x 4 y 4
4y z
16 x z 2

Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7
Bài 34:
4 5
 �23
x y
6
7

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B  8x   18y 
x
y
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:

Giải:
B  8x 

8

6
7 �
2� �
2 � �4 5 �
 18y   �
8x  � �
18y  � �  ��8  12  23  43
x
y �
x��
y � �x y �
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


�1 1 �
�1 1 �
Dấu bằng xảy ra khi  x; y   � ; �
.Vậy Min B là 43 khi  x; y   � ; �
�2 3 �
�2 3 �

Bài 35
Cho x, y. z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng khơng vượt quá 5. Chứng minh
rằng x2 + y2 + z2  9
Giải:
1  x 2  x  1 0 và x  2 0  ( x  1)( x  2) 0
 x 2 3x  2
Tương tự y 2 3y  2 và z 2 3z  2
 x2 + y2 + z2  3( x + y +z) – 6  3. 5 – 6 = 9

Bài 36:
Cho a, b, c là các số thuộc  1; 2 thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 6. Chứng minh rằng
a  b  c �0 .
Giải:

 a  1  a  2  �0 � a 2  a  2 �0; b 2  b  2 �0; c 2  c  2 �0
� a  b  c �a 2  b 2  c 2  6  0

Bài 37:
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a  b  c �2 . Chứng minh rằng:
a2 

1
1
1
97
 b2  2  c 2  2 �
2
b
c
a

2

Giải:
2

9 1 � �2 81 �
1
4 � 9 �
�
�2 1 �
1.a  . ���
1  �
a  2 �� a 2  2 �
a �
;
�
�
�
4 b � � 16 �
b
97 � 4b �
�
� b �
1
4 � 9 � 2 1
4 � 9 �
b  2 �
b �
; c  2 �
c �

�
�
c
a
97 � 4c �
97 � 4a �

cộng các vế lại

2

Bài 38:
Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p. Chứng minh rằng
p
p
p


�9
p a p b p c

Giải:
p
p
p
1
1
1
9
9



�9 hay


�

p a p b p c
p a p b p c p a  p b  p c p

Bài 39:
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh rằng:
3(a 2  b 2  c 2 )  2abc �52

Giải:

9

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


abc �(
a b c)( a b۳
c )(a b c) (6 2a)  6 2b   6 2c 
۳2a
�bc�
48

16 �
36  (a 2  b 2  c 2 ) � 8 2

( a b 2 c 2 ) 2abc
�
�
3 �
2
� 3

abc

24

8
 ab bc ac 
3

48 (1)

a 2  b2  c 2
2  b 2  c 2
0
4 (2)
(1) and(2)
 a �۳�
3
Có chứng minh được 3(a 2  b2  c 2 )  2abc  18 hay không?
2

2

2

dpcm

Bài 40:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P  4(a3  b3  c3 )  15abc .
Giải:

Có a 2 �a 2  (b  c)2  (a  b  c)(a  b  c ) (1) , b 2 �b2  (c  a ) 2  (b  c  a)(b  c  a ) (2)
c 2 �c 2  (a  b)2  (c  a  b)(c  a  b) (3) . Dấu ‘=’ xảy ra � a  b  c
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế
với vế của (1), (2), (3) ta có: abc �(a  b  c)(b  c  a)(c  a  b) (*)
Từ a  b  c  2 nên (*) ۳ abc (2  2a )(2  2b)(2  2c)
� 8  8( a  b  c)  8( ab  bc  ca)  9 abc �0
� 8  9abc  8(ab  bc  ca) �0 � 9abc  8(ab  bc  ca) �8 (*)
Ta có a3  b3  c3  (a  b  c)3  3(a  b  c)(ab  bc  ca )  3abc  8  6(ab  bc  ca )  3abc
3
3
3
Từ đó 4(a  b  c )  15abc  27abc  24(ab  bc  ca)  32  3 9abc  8(ab  bc  ca)  32 (**)

Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a 3  b3  c3 )  15abc �3.(8)  32  8
2
3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  .
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi a  b  c 

2
3

Bài 41:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng
2
1
�a 3  b3  c3  3abc  .
9
4

Giải:

10

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư




*P  a3  b3  c 3  3abc
Ta có a 3  b3  c 3  3abc  (a  b  c)(a 2  b2  c 2  ab  bc  ac )
� a3  b3  c3  3abc  (a 2  b2  c 2  ab  bc  ac ) (1)
có abc �(a  b  c )(a  b  c)(a  b  c )  (1  2a)(1  2b)(1  2c) 
2 8
1  4(ab  bc  ca )  8abc ۳ 6abc
  ab  bc  ca  (2)
3 3
2 5
(1)and(2) � a 3  b3  c 3  3abc �a 2  b 2  c 2    ab  bc  ca 
3 3
mà ab bc ca

2



1  a 2  b2  c2



2
2

2

� 1� � 1� � 1�
a �
��
��
b 
c
�
� �
� 0
� 3� � 3� � 3�
*P  a 3  b3  c 3  3abc

P



1 2

a b2 c 2
6

a2 b2 c2

1
3


P

1
6
1 1 1
.
6 3 6

2
9

abc �( a  b  c )(a  b  c)( a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c)  1  4( ab  bc  ca )  8abc  0
1
� ab  bc  ca )  2abc 
(3)
4
P  a3  b3  c 3  3abc  ( a  b  c)( a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac)  6abc
 a 2  b2  c 2  ab  bc  ac  6abc   a  b  c   3  ab  bc  ca   6abc
2

1 1

 1  3  ab  bc  ca  2abc   1  3. 
4 4

Bài 42:
Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng:
x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  xyz �8
Giải:
Chứng minh được
xyz �  x  y  z   x  y  z   x  y  z 

 (6  2 x)(6  2 y )(6  2 z )  216  72( x  y  z )  24( xy  yz  zx)  8xyz
8
۳ xyz 24  ( xy  yz  zx) (1)
3
mà  x  y  z   9 � x 2  y 2  z 2  2xy  2 yz  2xz  9
2

� x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  36  3xy  3 yz  3xz
(2)
8
Nên xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  �24  ( xy  yz  zx)+ 36  3xy  3 yz  3xz
3
1
2
� xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  �12  ( xy  yz  zx) mà  x  y  z  �3( xy  yz  zx)
3
1  x  y  z
36
� xyz  x  y  z  xy  yz  xz �12  .
 12 

8
3
3
9
2

2

2

2

Bài 43:
11

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


2
2
Cho a �1342; b �1342 . Chứng minh rằng a  b  ab �2013  a  b  . Dấu đẳng thức xảy ra
khi nào?
Giải:
Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:

 a  1342 

2

  b  1342  �0;  a  1342   b  1342  �0; a  1342  b  1342 �0

2

Thật vậy:

(1)
 a  1342    b  1342  �0 � a 2  b 2  2.1342.  a  b   2.13422 �0
(2)
 a  1342   b  1342  �0 � ab  1342a  1342b  13422 �0
� a 2  b 2  2.1342.  a  b   2.13422  ab  1342a  1342b  1342 2 �0
� a 2  b 2  ab �3.1342.  a  b   3.13422  2.2013.  a  b   3.13422
 2013.  a  b   2013.  a  b   2.2013.1342  2013.  a  b   2013.  a  b  1342  1342  �2013.  a  b 
2

2

Bài 44:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A   x  1   x  3  6  x  1
4

4

2

 x  3

2

2

 x  3

2

Giải:
Cách 1:

Cách 2:

A   x  1   x  3  6  x  1
4

4

2

2
2
2
2
A�
 4 x  1  x  3
 x  1   x  3 �
�
� 
2
A�
2x 2  8x  10 �
�
� 4  x  4x  3 

2

2
A�
2( x  2) 2  2 �
�
� 4  ( x  2)  1
2

2

2

A  4( x  2) 4  8( x  2) 2  4  4( x  2) 4  8( x  2) 2  4
A  8( x  2) 4  8 �8

Bài 45:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
ab
bc
ca
1


�
c 1 a 1 b 1 4
12

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư

Giải:

Bài 46
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng:
1
1 x  y
3



3

1
1

�1
3
3
1  y  z 1  z 3  x3

Giải:

x 2  y 2 �2xy �  x  y   x 2  y 2  �2xy  x  y  � x 3  y 3 �xy  x  y 
1

1�
x 3 �y 3

xy  x

y z

1
���3
1  x  y3

z
1
;
x  y  z 1  y3  z 3

1 x  y
3

3

1
xy  x  y  z 

x
1
;
x  y  z 1  z 3  x3

y
x y z

dpcm

Bài 47
Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:

 a  b

2



ab
�2a b  2b a
2

2



ab
1�
�
�
�
� 1�� 1�
  a  b �
a  b  �  a  b  �
a  � �
b �
�
��2 ab  a  b   2a b  2b a
2

2�
�
� 4�� 4�
�
�

Giải:

 a  b

Bài 48
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện:
1
1  8a

3



1
1  8b

3



1
1  8c3

�1

Giải:

13

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


1

1
2
1
�
 2
 2
2
1  8a
 2a  1  4a  2a  1 2a  1  4a  2a  1 4a  2 2a  1
2
1
1
1
1
;
� 2 ;
� 2
3
3
2b  1 1  8c

2c  1
1  8b
1
1
1
9
�
VT
 2
1
2
2
2
2a  1 2b  1 2c  1 2a  1  2b 2  1  2c 2  1
3



1

2

Bài 49
Với a,b,c là ba số thực dương . Chứng minh rằng:

a 3 b3 c 3
  �a 2  b 2  c 2
b c a

Giải:

Cách 1:

2
2
2
a2  b2  c2   a2  b2  c2 

a 3 b3 c 3 a 4 b 4 c 4  a  b  c 
  
 
�

�a 2  b 2  c 2
b c a ab bc ca
ab  bc  ca
ab  bc  ca
2

Cách 2

a3
b3
c3
ab
�
2a 2 ; �bc
�2�
b 2;
b
c

a

ca

2c 2

VT

2  a 2 b 2 c 2  (ab bc ca ) a 2 b 2 c 2

Bài 50. Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
x2
y2
z2
3


�
y 1 z 1 x 1 2

Giải:
x2
y 1
y2
z 1
�x;���
y 1
4
z 1
4

14

y;

z2
x 1

x 1
4

z

VT

3
 x y z
4

3
4

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư

3
3
.3
4
4

3
2