Đề thi môn số học

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Trường ĐHSP Hà Nội
Khoa Toán - Tin

— *** —

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

——— ****———

<b>ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ VÀ SỐ HỌC II</b>
<b>Dành cho sinh viên học lại, thời gian: 90 phút</b>

<b>Câu 1.</b> a) Cho <i>a, m</i> là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và hai số
tự nhiên <i>α, β</i> thỏa mãn:

<i>α</i> <i>≡β</i> (mod <i>φ(m)).</i>
Chứng minh rằng <i>aα</i> <i>≡aβ</i> (mod <i>m).</i>

b) Giả sử <i>p</i> là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng:
<i>p</i>8 <i>≡</i> 1 (mod 240).

<b>Câu 2.</b> a) Chứng minh rằng ∑<i>n_k=1τ</i>(k) =∑<i>n_i=1</i>[<i>n_i</i>].

b) Tìm số nguyên dương <i>n</i> biết phân tích tiêu chuẩn của <i>n</i> có dạng
2<i>α</i>3<i>βp</i> và <i>τ</i>(n) = 24, σ(n) = 1170.

<b>Câu 3.</b> Giải hệ phương trình đồng dư sau:






2x <i>≡</i>19 (mod 9)
3x <i>≡</i>11 (mod 10)
18x <i>≡</i> 24 (mod 5).

<b>Câu 4.</b> Tìm tất cả các cặp nghiệm nguyên của phương trình:
<i>x</i>3 + 4x2 <i>−</i>27y<i>−</i>2 = 0.

<b>Câu 5.</b> Chứng minh rằng với <i>p</i> là số ngun tố, phương trình vơ định sau:
<i>x</i>2 + <i>py</i>+ 2a2 = 0

có nghiệm nguyên khi và chỉ khi <i>p</i> <i>≡</i>1 (mod 8) hoặc <i>p</i> <i>≡</i>3 (mod 8).

<b>—Hết—</b>

</div>

<!--links-->