Đề thi tuyển CLC K59- Đại số đại cương

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
ĐỘC LẬP-TỰ DO-HẠNH PHÚC

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
 Người thi không sử dụng tài liệu.

Câu I(3 điểm): Cho G là một nhóm cyclic. Chứng minh rằng:

(i) Nếu G có cấp vơ hạn thì G đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên Z.
(ii) Nếu G có cấp n2 thì G đẳng cấu với nhóm cộng Zn(các lớp thặng

dư modulo n).

(iii) Các nhóm con và nhóm thương của G cũng là các nhóm cyclic.

Câu II(3 điểm): Cho A là một vành giao hoán có đơn vị, I và J là hai 
ideal của A. Chứng minh rằng:

(i) Nếu I + J = A thì IJ  IJ.

(ii) Luôn tồn tại một ideal nguyên tố trong A.

(iii) Luôn tồn tại tồn cấu từ A đến một trường nào đó.

Câu III(2 điểm): Cho f1,...,fn là n (n 2) đa thức trong t p tất c các đa

thức A = Q[X trên trường các số h u t Q với iến X. hi đó với m i đa
thức f  A ta hi u ( f ) = { f.g| g  A }. Chứng minh rằng:

(i) f1,...,fn nguyên tố c ng nhau hi và ch hi tồn tại g1,...,gn A sao

cho f1g1... fngn 1.

(ii) Nếu f1,...,fnđôi một nguyên tố c ng nhau thì





 n
i
i
n
i
i f
f
1
1
)
(
)
(

Câu IV(3 điểm): Cho GLn(R)là t p các ma tr n vuông th c cấp n 2 và

hông suy iến. Chứng minh rằng với ph p nh n ma tr n ta có:

(i)GLn(R)là một nhóm, và nhóm này nh n t p con S tất c các ma tr n

của GLn(R)có định thức là số h u t làm một nhóm con chu n t c.

(ii) i số nguyên k (2kn) đ u tồn tại AGLn(R) đ Ak là ma

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2></div>