Giáo trình giải tích đa trị – Nguyễn Đông Yên

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.48 MB, 224 trang )

(1)BỘ SÁCH TOÁN CAO CẤP - VIỆN TOÁN HỌC. NGUYỄN ĐÔNG YÊN. GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH ĐA TRỊ. nhà xuất bản khoa học tự nhiên và công nghệ.

(2) SÁCH ĐÃ IN TRONG BỘ NÀY: 2000: Phương trình vi phân ₫ạo hàm riêng (Tập 1) Trần Đức Vân 2001: Giáo trình Đại số tuyến tính Ngô Việt Trung Phương trình vi phân ₫ạo hàm riêng (Tập 2) Trần Đức Vân Nhập môn Lý thuyết ₫iều khiển Vũ Ngọc Phát 2002: Giải tích các hàm nhiều biến Đ.T. Lục, P.H. Điển,T.D. Phượng Lý thuyết Hệ ₫ộng lực Nguyễn Đình Công 2003: Lôgic toán và Cơ sở toán học Phan Đình Diệu Giáo trình Đại số hiện ₫ại Nguyễn Tự Cường Lý thuyết không gian Orlicz Hà Huy Bảng Đại số máy tính: Cơ sở Groebner Lê Tuấn Hoa Hàm thực và Giải tích hàm Hoàng Tụy Số học thuật toán H.H. Khoái, P.H. Điển 2004: Mã hóa thông tin: Cơ sở toán học và ứng dụng P.H. Điển, H.H. Khoái Lý thuyết Tổ hợp và Đồ thị Ngô Đắc Tân Xác suất và Thống kê Trần Mạnh Tuấn 2005: Giải tích Toán học: Hàm số một biến Đ.T. Lục, P.H. Điển, T.D. Phượng Lý thuyết Phương trình vi phân ₫ạo hàm riêng (Toàn tập) Trần Đức Vân Công thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho phương trình Hamilton-Jacobi Trần Đức Vân Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập Lê Tuấn Hoa Lý thuyết Galois Ngô Việt Trung 2007: Lý thuyết tối ưu không trơn N.X. Tấn, N.B. Minh Giáo trình Giải tích ₫a trị Nguyễn Đông Yên Có thể đặt mua sách trực tiếp tại Viện Toán học, 18 Hoàng Quốc Việt, Hà Nội Điện thoại 84-4-7563474/205 (Văn phòng); 84-4-7563474/302 (Thư viện) Fax: 84-4-7564303 E-mail: (VP), (TV).

(3) Lời giới thiệu. T. rong những năm gần đây, nhu cầu sách tham khảo tiếng Việt về toán của sinh viên các trường Ðại học, nghiên cứu sinh, cán bộ nghiên cứu và ứng dụng toán học tăng lên rõ rệt. Bộ sách "Toán cao cấp" của Viện Toán học ra đời nhằm góp phần đáp ứng yêu cầu đó, làm phong phú thêm nguồn sách tham khảo và giáo trình đại học vốn có. Bộ sách Toán cao cấp sẽ bao gồm nhiều tập, đề cập đến hầu hết các lĩnh vực khác nhau của toán học cao cấp, đặc biệt là các lĩnh vực liên quan đến các hướng đang phát triển mạnh của toán học hiện đại, có tầm quan trọng trong sự phát triển lý thuyết và ứng dụng thực tiễn. Các tác giả của bộ sách này là những người có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy đại học và sau đại học, đồng thời là những nhà toán học đang tích cực nghiên cứu. Vì thế, mục tiêu của các cuốn sách trong bộ sách này là, ngoài việc cung cấp cho người đọc những kiến thức cơ bản nhất, còn cố gắng hướng họ vào các vấn đề thời sự liên quan đến lĩnh vực mà cuốn sách đề cập đến. Bộ sách Toán cao cấp có được là nhờ sự ủng hộ quý báu của Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, đặc biệt là sự cổ vũ của Giáo sư Ðặng Vũ Minh và Giáo sư Nguyễn Khoa Sơn. Trong việc xuất bản Bộ sách, chúng tôi cũng nhận được sự giúp đỡ tận tình của Nhà xuất bản Ðại học quốc gia Hà Nội và của Nhà xuất bản Khoa học Tự nhiên và Công nghệ. Nhiều nhà toán học trong và ngoài Viện Toán học đã tham gia viết, thẩm định, góp ý cho bộ sách. Viện Toán học xin chân thành cám ơn các cơ quan và cá nhân kể trên. Do nhiều nguyên nhân khác nhau, Bộ sách Toán cao cấp chắc chắn còn rất nhiều thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được ý kiến đóng góp của độc giả để bộ sách được hoàn thiện hơn.. Chủ tịch Hội ₫ồng biên tập GS-TSKH Hà Huy Khoái.

(4) BỘ SÁCH TOÁN CAO CẤP - VIỆN TOÁN HỌC. HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP Hà Huy Khoái (Chủ tịch) Ngô Việt Trung Phạm Huy Ðiển (Thư ký).

(5) GIÁO TRÌNH. GIẢI TÍCH ĐA TRỊ Nguyễn Đông Yên Viện Toán học, Viện KH&CN Việt Nam. NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ.

(6)

(7) Môc lôc. Lêi nãi ®Çu. 3. C¸c ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t. 6. 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 1.1 ¸nh x¹ ®a trÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 TÝnh nöa liªn tôc trªn vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi cña ¸nh 1.3 §Þnh lý Kakutani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 C¸c qu¸ tr×nh låi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 C¸c tÝnh chÊt Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ . . . . . . . .. . . . . . x¹ ®a trÞ . . . . . . . . . . . . . . .. 9 9 18 27 37 45. 2. §¹o 2.1 2.2 2.3. hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ 47 Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Nãn tiÕp tuyÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 §¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71. 3. TÝch 3.1 3.2 3.3 3.4. ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, l¸t c¾t ®o ®−îc . . . . . . . TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ . . . . . . . . . . . . . L¸t c¾t liªn tôc vµ l¸t c¾t Lipschitz . . . . . . . . . TÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Clarke. 4. §èi 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7. . . . .. đạo hàm của ánh xạ đa trị Sự phát triển của lý thuyết đối đạo hàm . . . . . . . . Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đối đạo hàm . . . Vấn đề đánh giá d−ới vi phân của hàm giá trị tối −u . TÝnh comp¾c ph¸p tuyÕn theo d·y . . . . . . . . . . . D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u . . . . . D−íi vi ph©n Mordukhovich cña hµm gi¸ trÞ tèi −u . . D−íi vi ph©n Mordukhovich cña phiÕm hµm tÝch ph©n 1. . . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . .. 77 77 91 95 98. . . . . . . .. 103 104 106 116 118 120 136 148.

(8) 2 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng 5.1 Giíi thiÖu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Các định nghĩa và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . 5.3 Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Quy t¾c nh©n tö Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 TÝnh liªn tôc vµ tÝnh Lipschitz cña hµm gi¸ trÞ tèi −u . 5.6 Chứng minh Mệnh đề 5.2.1 . . . . . . . . . . . . . . 5.7 D−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n J-L . . . 5.8 Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 153 154 155 160 174 178 183 186 194. Phô lôc A. 201. Phô lôc B. 203. Tµi liÖu tham kh¶o. 205. Danh môc tõ khãa. 215.

(9) 3. Lêi nãi ®Çu Giải tích đa trị là một h−ớng nghiên cứu t−ơng đối mới trong Toán học, mặc dù từ những năm 30 của thế kỷ XX các nhà toán học đã thấy cần phải nghiên cứu ¸nh x¹ ®a trÞ, tøc lµ ¸nh x¹ nhËn gi¸ trÞ lµ c¸c tËp hîp con cña mét tËp hîp nµo đó. Sự ra đời của tạp chí quốc tế “Set-Valued Analysis” vào năm 1993 là một mèc lín trong qu¸ tr×nh ph¸t triÓn cña h−íng nghiªn cøu nµy. Vai trß cña gi¶i tích đa trị trong Toán học và các ứng dụng toán học đã đ−ợc công nhận rộng r·i. Gi¶i tÝch ®a trÞ cã nhiÒu øng dông trong lý thuyÕt ph−¬ng tr×nh vi ph©n, ph−ơng trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân và ph−ơng trình suy rộng, lý thuyÕt tèi −u, lý thuyÕt ®iÒu khiÓn, tèi −u ®a môc tiªu, khoa häc qu¶n lý, vµ toán kinh tế. Hiện nay hầu nh− tất cả các kết quả nghiên cứu về tính ổn định và độ nhạy nghiệm của các bài toán tối −u phụ thuộc tham số và của các bài toán bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số đều đ−ợc viết bằng ngôn ngữ giải tÝch ®a trÞ. Nh÷ng ng−êi ViÖt Nam ®Çu tiªn ®i s©u nghiªn cøu gi¶i tÝch ®a trÞ lµ Gi¸o s− Hoàng Tụy (với những công trình về điểm bất động của ánh xạ đa trị, tính ổn định của hệ bất đẳng thức suy rộng, ánh xạ đa trị lồi, ánh xạ tới hạn), Giáo s− Phạm Hữu Sách (với những công trình về ánh xạ đa trị lồi, đạo hàm của ¸nh x¹ ®a trÞ vµ øng dông trong lý thuyÕt tèi −u vµ ®iÒu khiÓn) vµ cè Gi¸o s− Phan V¨n Ch−¬ng (víi nh÷ng c«ng tr×nh vÒ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, lý thuyÕt bao hàm thức vi phân). Sau đây là danh sách không đầy đủ những ng−ời Việt Nam đã hoặc đang có công trình nghiên cứu về giải tích đa trị và các ứng dông: Th.S. Ph¹m Ngäc Anh, Th.S. L©m Quèc Anh, Th.S. Tr−¬ng Quang B¶o, Th.S. NguyÔn Huy Chiªu, TS. Lª V¨n Chãng, GS. TSKH. Phan V¨n Ch−¬ng, TS. TrÞnh C«ng DiÖu, TS. Ph¹m C¶nh D−¬ng, PGS. TSKH. Ph¹m Huy §iÓn, TS. NguyÔn H÷u §iÓn, PGS. TS. Tr−¬ng Xu©n §øc Hµ, Th.S. NguyÔn Xu©n H¶i, TS. TrÇn Ninh Hoa, PGS. TS. Lª V¨n Hèt, TS. NguyÔn §×nh Huy, TS. NguyÔn Quang Huy, GS. TSKH. Phan Quèc Kh¸nh, TS. Bïi Träng Kiªn, GS. TSKH. §inh ThÕ Lôc, TS. Lª Minh L−u, TS. NguyÔn B¸ Minh, GS. TSKH. Lª Dòng M−u, TS. NguyÔn MËu Nam, TS. Huúnh V¨n Ng·i, GS. TSKH. Van Hien Nguyen, PGS. TS. TrÇn HuÖ N−¬ng, GS. TSKH. Vò Ngäc Ph¸t, GS. TSKH. Hoµng Xu©n Phó, PGS. TS. Huúnh ThÕ Phïng, TS. T¹ Duy Ph−îng, GS. TSKH. Ph¹m H÷u S¸ch, GS. TSKH. NguyÔn Khoa S¬n, TS. NguyÔn N¨ng T©m, PGS. TSKH. §ç Hång T©n, PGS. TSKH. NguyÔn Xu©n TÊn, GS. TSKH. NguyÔn Hång Th¸i, TS. Hoµng D−¬ng TuÊn, TS. Lª Anh TuÊn, Th.S. NguyÔn §×nh TuÊn, GS. Hoµng Tôy, PGS. TSKH. NguyÔn §«ng Yªn. Gi¸o tr×nh nµy ®−îc so¹n trªn c¬ së c¸c bµi gi¶ng cña t¸c gi¶ vÒ gi¶i tÝch ®a trÞ cho häc viªn cao häc vµ nghiªn cøu sinh ë ViÖn To¸n häc, cho líp sinh viªn.

(10) 4 chän cña tr−êng §¹i häc S− ph¹m Thµnh phè Hå ChÝ Minh, vµ cho líp cao häc ë Khoa To¸n øng dông thuéc §¹i häc Quèc gia T«n Trung S¬n (The National Sun Yat-Sen University), Cao Hùng, Đài Loan. Mục đích chính của chúng tôi lµ giíi thiÖu víi c¸c b¹n sinh viªn, häc viªn cao häc vµ nghiªn cøu sinh mét sè kÕt qu¶ c¬ b¶n cña gi¶i tÝch ®a trÞ. Ngoµi ra, chóng t«i còng cè g¾ng tr×nh bµy một vài vấn đề đang đ−ợc quan tâm trong lý thuyết này. TËp s¸ch gåm 5 ch−¬ng: TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ, §¹o hµm cña ¸nh xạ đa trị, Tích phân của ánh xạ đa trị, Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị, và Hệ bất đẳng thức suy rộng. Ba ch−ơng đầu t−ơng ứng với 3 phần chính của giải tích đa trÞ. Ch−¬ng 4 giíi thiÖu mét vµi nÐt vÒ lý thuyÕt vi ph©n do B. S. Mordukhovich đề xuất - một lý thuyết hiện đang thu hút đ−ợc sự quan tâm đặc biệt của nhiều nhóm nghiên cứu trên thế giới. Ch−ơng 5 đ−ợc dành để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ bất đẳng thức suy rộng cho bởi hàm véctơ liên tục, và c¸c øng dông. C«ng cô chÝnh ë ®©y lµ kh¸i niÖm Jacobian xÊp xØ theo nghÜa V. Jeyakumar vµ §inh ThÕ Lôc. Jacobian suy réng theo nghÜa F. H. Clarke cho hàm véctơ Lipschitz địa ph−ơng là một tr−ờng hợp riêng của khái niệm này. (Chúng ta l−u ý là các khái niệm đối đạo hàm, Jacobian xấp xỉ, và Jacobian suy réng Clarke n»m ngoµi khu«n khæ cña lý thuyÕt vi ph©n tr×nh bµy trong Ch−¬ng 2.) Trong mỗi mục th−ờng có một số ví dụ minh họa và bài tập giúp bạn đọc củng cố kiến thức. ở cuối sách có hai phụ lục giới thiệu các đề thi hết môn giải tích đa trị ở hai lớp học. Các đề thi này giúp học viên củng cố kiến thức trong phạm vi hai ch−ơng đầu của giáo trình. Các định nghĩa, bổ đề, mệnh đề, định lý, nhận xét, ví dụ và bài tập đ−ợc đánh số bằng ba chỉ số. Ví dụ nh− Định lý 1.2.3 là định lý thứ 3 ở mục thứ 2 trong Ch−ơng 1. Các công thức đ−ợc đánh sè b»ng hai chØ sè. VÝ dô nh− (2.5) lµ c«ng thøc thø 5 ë môc thø 2 (trong mét ch−ơng nào đó). Để hiểu sâu hơn lý thuyết ánh xạ đa trị và các ứng dụng, bạn đọc có thể tự m×nh nghiªn cøu thªm c¸c cuèn s¸ch chuyªn kh¶o cña Aubin vµ Ekeland (1984), Aubin vµ Frankowska (1990) - mét trong nh÷ng tµi liÖu tham kh¶o chÝnh cña chóng t«i khi so¹n c¸c bµi gi¶ng vÒ gi¶i tÝch ®a trÞ, Rockafellar vµ Wets (1998), Borwein vµ Zhu (2005), Mordukhovich (2006a,b). Hy väng r»ng tËp s¸ch nhá này có thể giúp bạn đọc có cảm hứng bắt đầu việc tự học gian nan nh−ng thú vị đó. Bạn đọc quan tâm đến ứng dụng của giải tích đa trị trong tối −u véctơ cã thÓ tham kh¶o c¸c cuèn s¸ch chuyªn kh¶o cña GS. TSKH. §inh ThÕ Lôc (1989), cña PGS. TSKH. NguyÔn Xu©n TÊn vµ TS. NguyÔn B¸ Minh (2006). Xin ch©n thµnh c¸m ¬n GS. TSKH. Ph¹m H÷u S¸ch vµ PGS. TSKH. Ph¹m Huy Điển, những ng−ời thầy tận tụy đã truyền cho chúng tôi niềm say mê nghiên cøu gi¶i tÝch ®a trÞ, gi¶i tÝch kh«ng tr¬n, lý thuyÕt tèi −u vµ øng dông. Xin ch©n thành cám ơn GS. TSKH. Trần Đức Vân và GS. TSKH. Lê Tuấn Hoa đã luôn động viên, khích lệ chúng tôi v−ợt qua sự trì trệ trong quá trình viết lách kéo.

(11) 5 dài. Cảm ơn hai Giáo s− phản biện đã đọc kỹ bản thảo, góp nhiều ý kiến bổ Ých, vµ giíi thiÖu cho cuèn s¸ch ®−îc xuÊt b¶n. Xin đ−ợc bày tỏ lòng biết ơn các bậc đàn anh cùng các bạn đồng nghiệp ở Hội Toán học Việt Nam nói chung, và ở Viện Toán học nói riêng, đã chia sẻ với chóng t«i nh÷ng nçi vui buån cña ng−êi lµm to¸n. Cảm ơn các bạn sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh đã nhiệt tình tham dự các bài giảng đ−ợc lấy làm cơ sở để soạn giáo trình này. Cảm ơn Th.S. Nguyễn Huy Chiêu đã thông báo cho chúng tôi một số kết quả nghiên cứu để giới thiệu trong hai mục ở Ch−ơng 3 và Ch−ơng 4. Tập sách này đ−ợc dành để t−ởng nhớ Kỹ s− kinh tế Nguyễn Thị Minh Tâm (1963–2001), biªn tËp viªn T¹p chÝ Con sè vµ Sù kiÖn, ng−êi em g¸i th©n yªu cña t¸c gi¶. Mặc dù chúng tôi đã cố gắng, việc biên soạn chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót. Chúng tôi mong nhận đ−ợc ý kiến phê bình, góp ý của quý bạn đọc gửi về hộp th− email , hoặc gửi về địa chỉ Viện Toán học, ViÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam, 18 Hoµng Quèc ViÖt, Hµ Néi. Ch©n thµnh c¸m ¬n TS. T¹ Duy Ph−îng, TS. NguyÔn Quang Huy, TS. NguyÔn Mậu Nam và Th.S. Nguyễn Huy Chiêu đã dành thời gian đọc bản thảo của tập s¸ch nµy vµ gãp nhiÒu ý kiÕn bæ Ých. §Æc biÖt, xin c¸m ¬n TS. NguyÔn Quang Huy đã vẽ lại toàn bộ các hình vẽ bằng ch−ơng trình đồ họa trên máy tính.. Ngµy 25 th¸ng 4 n¨m 2007. T¸c gi¶.

(12) 6. C¸c ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t. TNTA F :X⇒Y dom F rge F gph F ker F F −1 : Y ⇒ X [x, y] IN Q IR C ∅ IR = IR ∪ {−∞, +∞} [0, 1] (0, 1) IRn n IR+ x x x, y A A IRm×n detA B(x, δ) B̄(x, δ) BX B̄X SX X∗ B̄X ∗ int Ω Ω ∂Ω co Ω co Ω. ThuËt ng÷ tiÕng Anh ¸nh x¹ ®a trÞ tõ X vµo Y miÒn h÷u hiÖu cña F miÒn ¶nh cña F đồ thị của F tËp c¸c kh«ng ®iÓm cña F ¸nh x¹ ng−îc cña F ®o¹n th¼ng {(1 − t)x + ty : 0 t 1} nèi hai ®iÓm x, y trong kh«ng gian vÐct¬ X tËp sè nguyªn d−¬ng tËp sè h÷u tØ tËp sè thùc tËp sè phøc tËp rçng tËp sè thùc suy réng tËp sè thùc {t ∈ IR : 0 t 1} tËp sè thùc {t ∈ IR : 0 < t < 1} kh«ng gian Euclide n chiÒu tập hợp véctơ với tọa độ không âm trong IRn vÐct¬ hµng lµ chuyÓn vÞ cña vÐct¬ cét x chuÈn cña vÐct¬ x tÝch v« h−íng cña c¸c vÐct¬ x vµ y ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn A chuÈn cña ma trËn A tËp hîp c¸c ma trËn thùc cÊp m × n định thức của ma trận vuông A h×nh cÇu më cã t©m x, b¸n kÝnh δ hình cầu đóng có tâm x, bán kính δ hình cầu đơn vị mở trong không gian X hình cầu đơn vị đóng trong X mặt cầu đơn vị trong X không gian đối ngẫu của không gian Banach X hình cầu đơn vị đóng trong X∗ phÇn trong cña Ω bao đóng của Ω biªn cña Ω bao låi cña Ω bao lồi đóng (=bao đóng của bao lồi) của Ω.

(13) 7 d(x, Ω) cone M ri D aff D extr D 0+ D TΩ (x) TΩb (x) CΩ (x) N̂Ω (x) NΩ (x). NΩCl (x) dom f f (x) f (x; v) f 0 (x; v) f ↑ (x; v) ∂ Cl f (x) ∂ ↑ f (x) ∂ JL f (x̄) ∂f (x) ∂ ∞ f (x) (x) ∂f DFz (·) D b Fz (·) CFz (·) D ∗ F (x̄, ȳ) ∗ F (x̄, ȳ) D ∗ F (x̄, ȳ) DC Cl J f (x̄) Jf (x̄) w xk → x w∗. x∗k → x∗ C 1 (X, Y ). khoảng cách từ điểm x đến tập Ω h×nh nãn sinh bëi tËp hîp M phần trong t−ơng đối của tập lồi D bao aphin cña D tËp c¸c ®iÓm cùc biªn cña D nãn lïi xa cña D nãn tiÕp tuyÕn Bouligand cña Ω t¹i x ∈ Ω, hoÆc nãn tiÕp tuyÕn cña tËp låi Ω t¹i x ∈ Ω nãn tiÕp tuyÕn trung gian (nãn kÒ) cña Ω t¹i x ∈ Ω nãn tiÕp tuyÕn Clarke cña Ω t¹i x ∈ Ω nãn ph¸p tuyÕn Bouligand cña Ω t¹i x ∈ Ω nãn ph¸p tuyÕn qua giíi h¹n (nãn ph¸p tuyÕn Mordukhovich) cña Ω t¹i x ∈ Ω, hoÆc nãn ph¸p tuyÕn cña tËp låi Ω t¹i x ∈ Ω nãn ph¸p tuyÕn Clarke cña Ω t¹i x ∈ Ω miÒn h÷u hiÖu cña hµm sè thùc f đạo hàm Fréchet của f tại x đạo hàm theo h−ớng của f tại x theo h−ớng v đạo hàm Clarke của f tại x theo h−ớng v đạo hàm Clarke-Rockafellar của f tại x theo h−ớng v d−íi vi ph©n Clarke cña f t¹i x d−íi vi ph©n Clarke-Rockafellar cña f t¹i x d−íi vi ph©n J-L (Jeyakumar-Luc) cña f t¹i x d−íi vi ph©n Mordukhovich cña f t¹i x, hoÆc d−íi vi ph©n cña hµm låi f t¹i x d−íi vi ph©n suy biÕn cña f t¹i x d−íi vi ph©n FrÐchet cña f t¹i x đạo hàm contingent của F tại z đạo hàm kề của F tại z đạo hàm Clarke của F tại z đối đạo hàm Mordukhovich của F tại (x̄, ȳ) đối đạo hàm Fréchet của F tại (x̄, ȳ) đối đạo hàm Clarke của F tại (x̄, ȳ) Jacobian Clarke cña hµm vÐct¬ f t¹i x̄, Jacobian xÊp xØ cña hµm vÐct¬ f t¹i x̄ dãy véctơ xk hội tụ đến véctơ x theo t«p« yÕu (®−îc ký hiÖu bëi w) dãy véctơ x∗k hội tụ đến véctơ x∗ theo t«p« yÕu∗ (®−îc ký hiÖu bëi w∗ ) tËp hîp c¸c hµm f : X → Y kh¶ vi FrÐchet liªn tôc ë trªn X.

(14) 8.

(15) Ch−¬ng 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ Với đời một thoáng say mê Còn hơn đi chán về chê suông đời (TrÇn HuyÒn Tr©n, “Uèng r−îu víi T¶n §µ”, 1938). Ch−ơng này giới thiệu các khái niệm cơ bản và một số định lý chính về tính liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ.. 1.1 ¸nh x¹ ®a trÞ Cho X, Y lµ hai tËp hîp bÊt kú. Cho F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ tõ X vµo tËp hîp gåm toµn bé c¸c tËp con cña Y (®−îc ký hiÖu lµ 2Y ). Ta nãi F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ 1 tõ X vµo Y . Nh− vËy, víi mçi x ∈ X, F (x) lµ mét tËp hîp con cña Y . Không loại trừ khả năng là với một số phần tử x ∈ X nào đó ta có F (x) là tập rçng. Ta sẽ th−ờng sử dụng ký hiệu F : X ⇒ Y để chỉ sự kiện X là ánh xạ đa trị tõ X vµo Y . Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của Y , thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Khi đó, thay cho ký hiệu F : X ⇒ Y ng−ời ta sö dông ký hiÖu quen thuéc F : X → Y . VÝ dô 1.1.1. XÐt ph−¬ng tr×nh ®a thøc (1.1). xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an = 0,. 1. TNTA (ThuËt ng÷ tiÕng Anh): multifunction, set-valued map, set-valued mapping, point-to-set mapping, correspondence, set-valued operator.. 9.

(16) 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 10. ở đó n ∈ IN là số nguyên d−ơng và ai ∈ IR (i = 1, . . . , n) là các hệ số thực. Quy t¾c cho t−¬ng øng mçi vÐct¬ a = (a1 , . . . , an ) ∈ IRn víi tËp nghiÖm, ký hiÖu bëi F (a), cña (1.1) cho ta mét ¸nh x¹ ®a trÞ F : IRn ⇒ C. (1.2). từ không gian Euclide IRn vào tập số phức C. Theo Định lý cơ bản của đại số, F (a) = ∅ víi mäi a ∈ IRn vµ |F (a)| n. ∀a ∈ IRn ,. ở đó |M | ký hiệu lực l−ợng của tập hợp M . Nếu ta đồng nhất mỗi số phức x = u + iv ∈ C víi cÆp sè thùc (u, v) ∈ IR2 th×, thay cho (1.2), ta cã ¸nh x¹ F : IRn ⇒ IR2 . §Þnh nghÜa 1.1.1. §å thÞ gph F , miÒn h÷u hiÖu dom F vµ miÒn ¶nh rge F cña ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y t−ơng ứng đ−ợc xác định bằng các công thức gph F = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)}, dom F = {x ∈ X : F (x) = ∅}, vµ rge F = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)}. (Các ký hiệu đó có nguồn gốc từ ba chữ tiếng Anh là “graph”, “domain” và “range”.) Víi F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ trong VÝ dô 1.1.1, ta cã gph F = {(a, x) ∈ IRn × C : xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an = 0}, dom F = IRn ,. rge F = C.. ánh xạ ng−ợc F −1 : Y ⇒ X của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y đ−ợc xác định bëi c«ng thøc F −1 (y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)}. (y ∈ Y ).. NÕu M ⊂ X lµ mét tËp con cho tr−íc th× h¹n chÕ cña F trªn M lµ ¸nh x¹ ®a trÞ F|M : M ⇒ Y ®−îc cho bëi F|M (x) = F (x) ∀x ∈ M. Bài tập 1.1.1. Chứng minh rằng gph F −1 = Φ(gph F ), ở đó Φ : X ìY → Y ì X là song ánh xác định bởi công thức Φ(x, y) = (y, x)..

(17) 1.1. ¸nh x¹ ®a trÞ. 11. §Þnh nghÜa 1.1.2. Cho F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ, X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian t«p«. 1. Nếu gph F là tập đóng trong không gian tôpô tích X ì Y , thì F đ−ợc gọi là ánh xạ đóng (hoặc ánh xạ có đồ thị đóng). 2. NÕu X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p« vµ nÕu gph F lµ tËp låi trong kh«ng gian tÝch X × Y , th× F ®−îc gäi lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi2 . 3. Nếu F (x) là tập đóng với mọi x ∈ X, thì F đ−ợc gọi là ánh xạ có giá trị đóng. 4. NÕu Y lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p« vµ nÕu F (x) lµ tËp låi víi mäi x ∈ X, th× F ®−îc gäi lµ ¸nh x¹ cã gi¸ trÞ låi. Bµi tËp 1.1.2. Cho F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ, X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p«. Chøng minh r»ng: (a) Nếu F là ánh xạ đóng, thì F là ánh xạ có giá trị đóng. (b) NÕu F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi, th× F lµ ¸nh x¹ cã gi¸ trÞ låi. (c) F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi khi vµ chØ khi (1 − t)F (x) + tF (x ) ⊂ F ((1 − t)x + tx ) ∀x, x ∈ X, ∀t ∈ (0, 1).. Chóng ta nh¾c l¹i r»ng tËp M ⊂ IRk ®−îc gäi lµ tËp låi ®a diÖn 3 nÕu M cã thể biểu diễn d−ới dạng giao của của một số hữu hạn các nửa không gian đóng cña IRk . C¸c tÝnh chÊt cña tËp låi ®a diÖn ®−îc tr×nh bµy chi tiÕt trong cuèn chuyên khảo của Rockafellar (1970). Ta có định lý biểu diễn sau đây: “Tập M ⊂ IRk lµ tËp låi ®a diÖn khi vµ chØ khi tån t¹i c¸c ®iÓm a1 , a2 , . . . , ap ∈ M vµ c¸c ph−¬ng v1 , v 2 , . . . , v q ∈ IRk sao cho q p p i j ti = 1, M= i=1 ti a + j=1 λj v : t1 0, . . . , tp 0, i=1 λ1 0, . . . , λq 0 .” (Xem Rockafellar (1970), §Þnh lý 19.1.) Hä c¸c ®iÓm vµ c¸c ph−¬ng {a1 , . . . , ap ; v 1 , . . . , v q } ®−îc gäi lµ c¸c phÇn tö sinh 4 cña M . L−u ý r»ng hä c¸c phÇn tö sinh cña mét tËp låi ®a diÖn nãi chung kh«ng lµ duy nhÊt. 2 Các khái niệm và kết quả liên quan đến tập lồi, hàm lồi, d−ới vi phân của hàm lồi có trong Rockafellar (1970) - tr−êng hîp kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu, Ioffe vµ Tihomirov (1979) - tr−êng hîp kh«ng gian v« h¹n chiÒu. 3 TNTA: polyhedral convex set. 4 TNTA: generators..

(18) 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 12. Bµi tËp 1.1.3. T×m c¸c phÇn tö sinh cña c¸c tËp låi ®a diÖn sau: M = x = (x1 , x2 ) : x1 0, x2 0, x1 + x2 1 vµ. M = x = (x1 , . . . , xn ) : xi −1 ∀i = 1, . . . , n}.. Bµi tËp 1.1.4. Cho A ∈ IR m×n lµ ma trËn thùc cÊp m × n, C ∈ IR s×n lµ ma trËn thùc cÊp s × n. §Æt (1.3) F (b, d) = {x ∈ IRn : Ax b, Cx = d}. ∀(b, d) ∈ IRm × IRs ,. ở đó bất đẳng thức y z giữa hai véctơ y = (y 1 , . . . , ym ) và z = (z1 , . . . , zm ) thuéc IR m cã nghÜa lµ xi zi víi mäi i = 1, 2, . . . , m.5 Chøng minh r»ng ¸nh x¹ ®a trÞ F : IR n × Rs ⇒ IRn cho bëi (1.3) cã c¸c tÝnh chÊt sau: 1. gph F lµ mét nãn låi ®a diÖn trong kh«ng gian tÝch IR m × IRs × IRn (do đó F là một ánh xạ đa trị lồi). 2. dom F lµ tËp låi ®a diÖn. 3. rge F = IR n . 4. Víi mçi (b, d) ∈ IR m × IRs , F (b, d) lµ tËp låi ®a diÖn trong IR n (cã thÓ lµ tËp rçng). Hãy lấy một ví dụ đơn giản để chứng tỏ rằng nói chung thì dom F = IRm × IRs .. NhËn xÐt r»ng tËp F (b, d) trong Bµi tËp 1.1.3 lµ tËp nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh vµ bÊt ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (1.4). Ax b,. Cx = d.. Liên quan đến ánh xạ đa trị F cho bởi (1.3), ta có định lý sau đây. §Þnh lý 1.1.1 (Walkup-Wets, 1969; xem Walkup vµ Wets (1969), Mangasarian vµ Shiau (1987), Lee, Tam vµ Yen (2005)). Víi mçi cÆp ma trËn (A, C) ∈ IRm×n × IRs×n tån t¹i mét h»ng sè > 0 sao cho (1.5). F (b , d ) ⊂ F (b, d) + (b , d ) − (b, d)B̄IRn. víi mäi (b, d) vµ (b , d ) thuéc tËp låi ®a diÖn dom F = {(b, d) : F (b, d) = ∅}, 5. Trong c«ng thøc (1.3) còng nh− trong c¸c phÐp tÝnh ma trËn sÏ gÆp vÒ sau, vÐct¬ thuéc c¸c không gian Euclide hữu hạn chiều đ−ợc biểu diễn nh− những cột số thực. Tuy thế, để cho đơn giản, trên các dòng văn bản thông th−ờng chúng ta sẽ biểu diễn các véctơ cột đó nh− những véctơ hµng..

(19) 1.1. ¸nh x¹ ®a trÞ. 13. ở đó (b , d ) − (b, d) = (b − b2 + d − d2 )1/2 1/2 s m 2 2 = i=1 (bi − bi ) + j=1 (dj − dj ) víi mäi b = (b1 , . . . , bm ), d = (d1 , . . . , ds ), vµ ⎧ ⎨ B̄IRn = x = (x1 , . . . , xn ) ∈ IRn : x = ⎩. 1/2. n. x2i i=1. ⎫ ⎬ 1 ⎭. là hình cầu đơn vị đóng trong IRn . TÝnh chÊt (1.5) cho thÊy r»ng F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ Lipschitz trªn dom F víi hằng số > 0. Hằng số này phụ thuộc vào cặp ma trận (A, C) đã cho. Các tính chÊt liªn tôc Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ sÏ ®−îc kh¶o s¸t chi tiÕt h¬n ë trong Môc 5. NÕu X, Y lµ hai kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p«, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ, thì ta dùng các ký hiệu F̄ và co F để chỉ các ánh xạ đa trị đ−ợc cho bởi các c«ng thøc F̄ (x) = F (x) ∀x ∈ X vµ (co F )(x) = co (F (x)). ∀x ∈ X,. ở đó M là bao đóng tôpô của M và co M là bao lồi của M . (Tức là co M là tËp låi nhá nhÊt chøa M .) Hiển nhiên F̄ là ánh xạ đa trị có giá trị đóng và co F là ánh xạ đa trị có giá trị lồi. Tuy thế, F̄ có thể không phải là ánh xạ đa trị đóng và co F có thể kh«ng lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi! VÝ dô 1.1.2. Cho F (x) = {sin x, cos x}. (∀x ∈ IR).. Ta cã (co F )(x) = co {sin x, cos x} là ánh xạ đa trị không lồi từ IR vào IR với đồ thị là tập có gạch sọc trong Hình 1. VÝ dô 1.1.3. Cho. F (x) =. (0, 1) nÕu x = 0 {0} nÕu x = 0..

(20) 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 14 Râ rµng. F̄ (x) =. [0, 1] {0}. nÕu x = 0 nÕu x = 0. không phải là ánh xạ đa trị đóng.. H×nh 1 Bao đóng và bao lồi của ánh xạ F : X ⇒ Y , ở đó X và Y là các không gian tuyÕn tÝnh t«p«, lµ c¸c ¸nh x¹ cl F vµ conv F ®−îc cho t−¬ng øng bëi c¸c c«ng thøc sau cl F (x) = {y ∈ Y : (x, y) ∈ gph F }. ∀x ∈ X. vµ conv F (x) = {y ∈ Y : (x, y) ∈ co (gph F )}. ∀x ∈ X.. DÔ thÊy r»ng nÕu F lµ ¸nh x¹ trong VÝ dô 1.1.2 th× (cl F )(x) = {sin x, cos x} vµ (conv F )(x) = [−1, 1]. (∀x ∈ IR).. Víi F lµ ¸nh x¹ trong VÝ dô 1.1.3 ta cã (cl F )(x) = [0, 1] . vµ (conv F )(x) =. (0, 1) [0, 1). (∀x ∈ IR) nÕu x = 0, nÕu x = 0.. §Þnh nghÜa 1.1.3. Cho F : X ⇒ Y vµ G : Y ⇒ Z lµ hai ¸nh x¹ ®a trÞ. ¸nh x¹ ®a trÞ G◦F :X ⇒Z.

(21) 1.1. ¸nh x¹ ®a trÞ. 15. cho bëi c«ng thøc (G ◦ F )(x) =. x∈X. G(F (x)) =. x∈X. ⎛ ⎝. . ⎞ G(y)⎠ ,. y∈F (x). víi mäi x ∈ X, ®−îc gäi lµ ¸nh x¹ hîp (hay tÝch) cña F vµ G. Bµi tËp 1.1.5. Cho X, Y , Z lµ c¸c kh«ng gian tuyÕn tÝnh, F : X ⇒ Y vµ G : Y ⇒ Z lµ hai ¸nh x¹ ®a trÞ låi. Chøng minh r»ng G ◦ F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi.. ứng với mỗi hàm số thực ϕ : X → IR, ở đó IR = [−∞, +∞] = IR ∪ {−∞} ∪ {+∞} lµ tËp sè thùc suy réng, ta cã hai ¸nh x¹ ®a trÞ sau ®©y: (1.6). epi ϕ : X ⇒ IR,. (epi ϕ)(x) = {µ ∈ IR : µ ϕ(x)}. ∀x ∈ X,. vµ (1.7). hypo ϕ : X ⇒ IR,. (hypo ϕ)(x) = {µ ∈ IR : µ ϕ(x)}. ∀x ∈ X.. Nh¾c l¹i r»ng ϕ ®−îc gäi lµ hµm låi nÕu nh− ϕ((1 − t)x1 + tx2 ) (1 − t)ϕ(x1 ) + tϕ(x2 ) víi mäi x1 , x2 ∈ dom ϕ := {x ∈ X : ϕ(x) < ∞}. Ta nãi ϕ lµ hµm lâm nÕu nh− −ϕ là hàm lồi. (Theo định nghĩa, (−ϕ)(x) = −ϕ(x) với mọi x ∈ X.) Bµi tËp 1.1.6. Cho X lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh. Chøng minh r»ng hµm sè ϕ : X → I¯R lµ låi khi vµ chØ khi epi ϕ : X ⇒ IR lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi, ϕ lµ hµm lâm khi vµ chØ khi hypo ϕ : X ⇒ IR lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi.. Chóng ta kÕt thóc môc nµy víi mét vµi vÝ dô vÒ c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ liªn quan đến các bài toán tối −u. Ví dụ 1.1.4. Cho X, Y, Z là các không gian định chuẩn. Cho f : X ì Z → IR ∪ {+∞} lµ hµm sè thùc, g : X × Z → Y lµ hµm vÐct¬, K ⊂ Y lµ h×nh nãn lồi, đóng; ∆ ⊂ X là tập hợp bất kỳ. Xét bài toán tối −u phụ thuộc tham số (Pz ). min{f (x, z) : x ∈ ∆, g(x, z) K 0},. ở đó y1 K y 2 ⇐⇒ y 2 − y 1 ∈ K..

(22) 16. 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. TËp hîp G(z) := {x ∈ X : x ∈ ∆, g(x, z) K 0} ®−îc gäi lµ tËp rµng buéc (hay tËp h¹n chÕ, tËp chÊp nhËn ®−îc) cña (Pz ). Hµm sè ϕ(z) := inf{f (x, z) : x ∈ G(z)} ®−îc gäi lµ hµm gi¸ trÞ tèi −u (hay hµm marginal) cña (Pz ). TËp F (z) := {x ∈ G(z) : f (x, z) = ϕ(z)} đ−ợc gọi là tập nghiệm của (Pz ). Tập hợp các nghiệm địa ph−ơng của (Pz ) ®−îc ký hiÖu lµ F0 (z). Nh− vËy, x̄ ∈ F0 (z) khi vµ chØ khi tån t¹i δ > 0 sao cho f (x, z) f (x̄, z) với mọi x ∈ G(z) ∩ B(x̄, δ), ở đó B(x̄, δ) := {x ∈ X : x − x̄ < δ} ký hiÖu h×nh cÇu më cã t©m t¹i x̄ vµ b¸n kÝnh δ. Hµm gi¸ trÞ tối −u ϕ(ã), ánh xạ G(ã), và các ánh xạ nghiệm F (ã), F0 (ã) là những đối t−ợng nghiên cứu chính trong lý thuyết ổn định trong tối −u hoá; xem Bonnans và Shapiro (2000) và những tài liệu dẫn trong đó. Trong lý thuyết đó ng−ời ta đ−a ra những điều kiện cần và đủ để ϕ, G, F và F0 liên tục (theo một nghĩa nào đó) hoặc khả vi (theo một nghĩa nào đó), tùy thuộc vào cấu trúc cụ thể của lớp bµi to¸n (Pz ) ®−îc xÐt. Trong c¸c ch−¬ng sau chóng ta sÏ kh¶o s¸t mét sè ®iÒu kiện kiểu đó. Mét tr−êng hîp riªng cña bµi to¸n tèi −u phô thuéc tham sè xÐt trong VÝ dô 1.1.4 lµ bµi to¸n quy ho¹ch toµn ph−¬ng phô thuéc tham sè. Ví dụ 1.1.5. Cho các ma trận A ∈ IRmìn , C ∈ IRsìn và ma trận đối xứng D ∈ IRn×n . XÐt bµi to¸n quy ho¹ch toµn ph−¬ng 1 x Dx + c x : x ∈ IRn , Ax b, Cx = d (1.8) min 2 phô thuéc vµo tham sè z = (c, b, d) ∈ IRn × IRm × IRs . ë ®©y ký hiÖu phÐp chuyÓn vÞ ma trËn vµ vÐct¬. Ký hiÖu hµm gi¸ trÞ tèi −u, tËp h¹n chÕ, tËp nghiÖm và tập nghiệm địa ph−ơng của (1.8) t−ơng ứng bởi ϕ(c, b, d), G(b, d), Sol(c, b, d) vµ loc(c, b, d). TÝnh chÊt cña hµm ϕ vµ c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ Sol(·), loc(·) phô thuéc khá nhiều vào tính chất của ma trận D. Ví dụ nh−, nếu D là ma trận xác định d−ơng (tức là v Dv > 0 với mọi v ∈ IRn \ {0}) thì Sol(ã) là ánh xạ đơn trị, liªn tôc trªn tËp dom G = {(b, d) ∈ IRm × IRs : G(b, d) = ∅}. Ngoµi ra, loc(c, b, d) = Sol(c, b, d) víi mäi (c, b, d) ∈ IRn × IRm × IRs . Chóng ta l−u ý rằng tính chất Lipschitz của ánh xạ G(ã) đã đ−ợc chỉ ra trong Định lý 1.1.1. Có thể đọc một cách có hệ thống các kết quả về tính ổn định nghiệm của bµi to¸n quy ho¹ch toµn ph−¬ng trong Lee, Tam vµ Yen (2005)..

(23) 1.1. ¸nh x¹ ®a trÞ. 17. Trong vÝ dô sau ®©y chóng ta xÐt bµi to¸n quy ho¹ch låi. VÝ dô 1.1.6. Cho ∆ ⊂ X lµ mét tËp låi vµ ϕ : X → IR ∪ {∞} lµ mét hµm låi, ở đó X là không gian định chuẩn. Xét bài toán quy hoạch lồi (P ). min{ϕ(x) : x ∈ ∆}.. Nón tiếp tuyến T∆ (x̄) của ∆ tại x̄ ∈ ∆ đ−ợc định nghĩa bởi công thức T∆ (x̄) = {t(x − x̄) : x ∈ ∆, t 0}. Nón pháp tuyến N∆ (x̄) của ∆ tại x̄ ∈ ∆ đ−ợc định nghĩa nh− sau N∆ (x̄) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v 0 ∀v ∈ T∆ (x̄)} = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x − x̄ 0 ∀x ∈ ∆}, ở đó X ∗ ký hiệu không gian đối ngẫu của X và x∗ , v ký hiệu giá trị của / ∆, thì ta đặt N∆ (x̄) = ∅. phiÕm hµm tuyÕn tÝnh x∗ ∈ X ∗ t¹i v ∈ X. NÕu x̄ ∈ Cã thÓ chøng minh r»ng x̄ ∈ ∆ lµ nghiÖm cña (P ) khi vµ chØ khi (1.9). 0 ∈ ∂ϕ(x̄) + N∆ (x̄),. ở đó ∂ϕ(x̄) := {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x − x̄ ϕ(x) − ϕ(x̄) ∀x ∈ X} lµ d−íi vi ph©n (subdifferential) cña ϕ t¹i x̄ ∈ dom ϕ = {x ∈ X : ϕ(x) ∈ IR}; xem Ioffe vµ Tihomirov (1979). §Æt (1.10). F (x) = ∂ϕ(x) + N∆ (x). ∀x ∈ dom ϕ,. vµ F (x) = ∅ víi mäi x ∈ / dom ϕ. Khi đó bao hàm thức (1.9) trở thành 0 ∈ F (x̄). VËy viÖc gi¶i bµi to¸n (P ) ®−îc quy vÒ viÖc t×m nh÷ng ®iÓm x̄ ∈ X tháa m·n bao hµm thøc 0 ∈ F (x̄), tøc lµ viÖc t×m c¸c ®iÓm c©n b»ng (c¸c kh«ng ®iÓm) cña ¸nh x¹ F cho bëi (1.10). HiÓn nhiªn (1.10) lµ ¸nh x¹ ®a trÞ cã gi¸ trÞ låi. Tuy thÕ, nã kh«ng nhÊt thiÕt lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi..

(24) 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 18. VÝ dô 1.1.7. Cho X = IR, ∆ = [−1, 1], ϕ(x) ≡ 0. Khi ⎧ ∅ ⎪ ⎪ ⎨ (−∞, 0] F (x) := ∂ϕ(x) + N∆ (x) = N∆ (x) = {0} ⎪ ⎪ ⎩ [0, ∞). đó ánh xạ đa trị nÕu x ∈ /∆ nÕu x = −1 nÕu x = (−1, 1) nÕu x = 1. có đồ thị là tập điểm tô đậm trong Hình 2. Hiển nhiên gph F không phải là tập låi.. H×nh 2. 1.2 TÝnh nöa liªn tôc trªn vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi cña ¸nh x¹ ®a trÞ Nh¾c l¹i r»ng mét hä c¸c tËp con τ ⊂ 2X cña tËp hîp X ®−îc gäi lµ mét t«p« trong X nÕu (i) ∅ ∈ τ , X ∈ τ ; (ii) giao cña mét hä h÷u h¹n tuú ý c¸c tËp thuéc τ l¹i lµ mét tËp thuéc τ ; (iii) hîp cña mét hä tuú ý c¸c tËp thuéc τ lµ mét tËp thuéc τ . C¸c tËp thuéc τ ®−îc gäi lµ c¸c tËp më. PhÇn bï trong X cña mét tËp më đ−ợc gọi là tập đóng. Tập X đ−ợc trang bị một tôpô τ đ−ợc gọi là một không gian tôpô, và đ−ợc ký hiệu bởi (X, τ ). Thay cho (X, τ ), để cho đơn giản, nhiều khi ta chỉ viết X, nếu tôpô τ đã đ−ợc xác định theo một cách nào đó. Nếu (X, d) lµ mét kh«ng gian mªtric th× ta ký hiÖu bëi B hä c¸c h×nh cÇu më B(x, ε) := {y ∈ X : d(y, x) < ε}. (x ∈ X, ε > 0)..

(25) 1.2. TÝnh nöa liªn tôc trªn vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi. 19. XÐt c¸c tËp lµ giao cña mét sè h÷u h¹n c¸c tËp thuéc B, vµ ký hiÖu bëi τ hä c¸c tËp cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng hîp cña mét hä tuú ý c¸c tËp giao nh− vËy. Ta có τ là một tôpô trên X; đó chính là tôpô t−ơng ứng với mêtric d đã cho trên X. NÕu (X, τ ) lµ mét kh«ng gian t«p« vµ M ⊂ X lµ mét tËp con tïy ý th× τM := {U ∩ M : U ∈ τ } lµ mét t«p« trªn M . T«p« τM ®−îc gäi lµ t«p« c¶m sinh cña M . TËp UM := U ∩ M ®−îc gäi lµ vÕt 6 cña U trªn M . Ta đã biết rằng nếu f : X → Y là ánh xạ đơn trị từ không gian tôpô X vào kh«ng gian t«p« Y , th× f ®−îc gäi lµ liªn tôc t¹i x̄ ∈ X nÕu víi mçi tËp më V chøa f (x̄) (V lµ l©n cËn më cña f (x̄) trong t«p« cña Y ) tån t¹i l©n cËn më U cña x̄ sao cho f (x) ∈ V ∀x ∈ U. Ta nãi f lµ liªn tôc ë trªn X nÕu nã lµ liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc X. DÔ thÊy r»ng f lµ liªn tôc ë trªn X nÕu, víi mçi tËp më V ⊂ Y , ¶nh ng−îc f −1 (V ) := {x ∈ X : f (x) ∈ V } cña V lµ tËp më trong X. Có thể mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị liên tục sang cho ánh xạ đa trị theo hai c¸ch kh¸c nhau. KÕt qu¶ lµ ta thu ®−îc hai kh¸i niÖm cã néi dung hoµn toµn kh¸c nhau: ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn vµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc d−íi. Theo Aubin và Frankowska (1990), hai khái niệm này đã đ−ợc B. Bouligand và K. Kuratowski ®−a ra n¨m 1932. Ngµy nay, nhiÒu khi ng−êi ta dïng c¸c côm tõ “¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn theo Berge” vµ “¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc d−íi theo Berge” để chỉ hai khái niệm này, vì chúng đ−ợc khảo sát khá kỹ trong một cuèn chuyªn kh¶o cña C. Berge (1959). Cho F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ tõ kh«ng gian t«p« X vµo kh«ng gian t«p« Y. §Þnh nghÜa 1.2.1. Ta nãi F lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x̄ ∈ dom F nÕu víi mäi tËp më V ⊂ Y tháa m·n F (x̄) ⊂ V tån t¹i l©n cËn më U cña x̄ sao cho F (x) ⊂ V. ∀x ∈ U.. NÕu F lµ nöa liªn tôc trªn t¹i mäi ®iÓm thuéc dom F , th× F ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn ë trong X. 6. TNTA: trace..

(26) 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 20. §Þnh nghÜa 1.2.2. Ta nãi F lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x̄ ∈ dom F nÕu víi mäi tËp më V ⊂ Y tháa m·n F (x̄) ∩ V = ∅ tån t¹i l©n cËn më U cña x̄ sao cho F (x) ∩ V = ∅ ∀x ∈ U ∩ dom F. NÕu F lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i mäi ®iÓm thuéc dom F , th× F ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong X. Định nghĩa 1.2.3. Ta nói F là liên tục tại x̄ ∈ dom F nếu F đồng thời là nửa liªn tôc trªn vµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x̄. NÕu F lµ liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc dom F , th× F ®−îc gäi lµ liªn tôc ë trªn X. VÝ dô 1.2.1. ¸nh x¹ ®a trÞ ⎧ ⎨ {0} F (x) = [−1, 1] ⎩ {1}. nÕu x < 0 nÕu x = 0 nÕu x > 0. tõ IR vµo IR lµ nöa liªn tôc trªn ë trong IR, nh−ng kh«ng lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x̄ = 0. Nh− vËy, F kh«ng ph¶i lµ ¸nh x¹ liªn tôc ë trªn IR.. H×nh 3 VÝ dô 1.2.2. ¸nh x¹ ®a trÞ F (x) =. [0, 1] {0}. nÕu x = 0 nÕu x = 0. kh«ng ph¶i lµ ¸nh x¹ liªn tôc ë trªn IR, v× F chØ lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x̄ = 0, chứ không là nửa liên tục trên tại điểm đó..

(27) 1.2. TÝnh nöa liªn tôc trªn vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi VÝ dô 1.2.3. ¸nh x¹ ®a trÞ F (x) =. . [0, 1] [−1, 0]. 21. nÕu x lµ sè h÷u tû nÕu x lµ sè v« tû. kh«ng ph¶i lµ ¸nh x¹ liªn tôc ë trªn IR; h¬n thÕ, F kh«ng lµ nöa liªn tôc trªn vµ còng kh«ng lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i bÊt cø ®iÓm x̄ ∈ IR nµo. Bài tập 1.2.1. Chứng minh rằng ánh xạ đơn trị f : X → Y từ không gian t«p« X vµo kh«ng gian t«p« Y lµ liªn tôc t¹i x̄ khi vµ chØ khi ¸nh x¹ F : X ⇒ Y cho bëi c«ng thøc F (x) = {f (x)} lµ nöa liªn tôc trªn (hoÆc nöa liªn tôc d−íi) t¹i x̄.. H×nh 4 Bài tập 1.2.2. Cho ánh xạ đa trị F : X → Y , ở đó X và Y là các không gian t«p«. Chøng minh r»ng: (a) F lµ nöa liªn tôc trªn ë trong X khi vµ chØ khi nh©n F − (V ) := {x ∈ dom F : F (x) ⊂ V } cña mét tËp më bÊt kú V ⊂ Y lµ tËp më trong t«p« c¶m sinh cña dom F . (b) F lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong X khi vµ chØ khi ¶nh ng−îc F −1 (V ) := {x ∈ dom F : F (x) ∩ V = ∅} cña mét tËp më bÊt kú V ⊂ Y lµ tËp më trong t«p« c¶m sinh cña dom F ; xem H×nh 4. Bµi tËp 1.2.3. H·y chøng tá r»ng ¸nh x¹ ®a trÞ F (x) = co {sin x, cos x} tõ IR vµo IR lµ liªn tôc ë trªn IR..

(28) 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 22. Nhắc lại rằng hàm số ϕ : X → IR ∪ {+∞} xác định trên không gian tôpô X đ−ợc gọi là nửa liên tục d−ới tại x̄ ∈ dom ϕ, ở đó dom ϕ = {x ∈ X : ϕ(x) < +∞}. (2.1). ký hiÖu miÒn h÷u hiÖu cña ϕ, nÕu víi mäi ε > 0 tån t¹i l©n cËn më U cña x̄ sao cho ϕ(x) ϕ(x̄) − ε ∀x ∈ U. Hµm ϕ ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x̄ ∈ dom ϕ nÕu víi mäi ε > 0 tån t¹i l©n cËn më U cña x̄ sao cho ϕ(x) ϕ(x̄) + ε ∀x ∈ U. NÕu X lµ kh«ng gian mªtric, th× ®iÒu kiÖn thø nhÊt cã thÓ viÕt d−íi d¹ng lim inf ϕ(x) ϕ(x̄), x→x̄. ở đó. lim inf ϕ(x) := inf γ ∈ IR : ∃xk → x̄, lim ϕ(xk ) = γ . x→x̄. k→∞. T−¬ng tù, ®iÒu kiÖn thø hai cã thÓ viÕt d−íi d¹ng lim sup ϕ(x) ϕ(x̄), x→x̄. ở đó. lim sup ϕ(x) := sup γ ∈ IR : ∃xk → x̄, lim ϕ(xk ) = γ . k→∞. x→x̄. Bài tập 1.2.4. Cho ϕ : X → IR ∪ {+∞} là hàm số thực xác định trên kh«ng gian t«p« X. Chøng minh r»ng: (a) ϕ lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x̄ ∈ dom ϕ (xem (2.1)) khi vµ chØ khi ¸nh x¹ đa trị epi ϕ (đã đ−ợc định nghĩa trong Mục 1.1) là nửa liên tục d−ới tại x̄. (b) ϕ lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x̄ ∈ dom ϕ khi vµ chØ khi ¸nh x¹ ®a trÞ hypo ϕ (đã đ−ợc định nghĩa trong Mục 1.1) là nửa liên tục trên tại x̄.. §Þnh lý c¬ b¶n vÒ sù tån t¹i nghiÖm cña c¸c bµi to¸n tèi −u ®−îc ph¸t biÓu nh− sau. §Þnh lý 1.2.1 (§Þnh lý Weierstrass). Cho X = ∅ lµ kh«ng gian t«p« comp¾c. NÕu ϕ : X → IR lµ hµm sè nöa liªn tôc d−íi ë trong X, th× bµi to¸n (2.2). min{ϕ(x) : x ∈ X}. cã nghiÖm. NÕu ϕ lµ hµm sè nöa liªn tôc trªn ë trong X, th× bµi to¸n (2.3). max{ϕ(x) : x ∈ X}.

(29) 1.2. TÝnh nöa liªn tôc trªn vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi. 23. cã nghiÖm. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh khẳng định thứ nhất, vì hàm ϕ là nửa liªn tôc trªn khi vµ chØ khi hµm (−ϕ)(x) := −ϕ(x) lµ nöa liªn tôc d−íi, vµ x̄ lµ nghiÖm cña (2.3) khi vµ chØ khi x̄ lµ nghiÖm cña bµi to¸n min{(−ϕ)(x) : x ∈ X}. Nh¾c l¹i r»ng kh«ng gian t«p« X ®−îc gäi lµ comp¾c nÕu tõ mçi phñ më {Uα }α∈A cña X cã thÓ trÝch ra mét phñ con h÷u h¹n, tøc lµ tån t¹i c¸c chØ sè {α1 , . . . , αs } ⊂ A sao cho s Uαi . X= i=1. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian comp¾c, X = ∅, ϕ : X → IR lµ hµm sè nöa liªn tôc d−íi ë trong X. Ta cÇn chøng minh r»ng (2.2) cã nghiÖm, tøc lµ tån t¹i x̄ sao cho ϕ(x̄) = min{ϕ(x) : x ∈ X}.. (2.4). Gi¶ sö ph¶n chøng: Kh«ng cã x̄ nµo tháa m·n (2.4). §Æt γ = inf{ϕ(x) : x ∈ X}. Nếu γ = −∞ thì ta đặt Ωk = {x ∈ X : ϕ(x) > −k} (k = 1, 2, 3, . . .). Do ϕ lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong X nªn, víi mäi k, Ωk lµ tËp më. DÔ thÊy r»ng ∞ Ωk . VËy {Ωk }k∈IN lµ phñ më cña X. Do X lµ kh«ng gian comp¾c vµ X= k=1. do {Ωk } là họ tập lồng nhau, nên tồn tại k̄ ∈ IN sao cho X = Ωk̄ . Khi đó ta ph¶i cã γ −k̄, tr¸i víi gi¶ thiÕt γ = −∞. B©y giê ta xÐt tr−êng hîp γ ∈ IR. Với mỗi k ∈ IN ta đặt 1 . Ωk = x ∈ X : ϕ(x) > γ + k DÔ thÊy r»ng {Ωk }k∈IN lµ phñ më cña X (do kh«ng cã x̄ ∈ X nµo tháa m·n (2.4)) mà từ đó ta không thể trích ra một phủ con hữu hạn nào. Vậy X không là không gian tôpô compắc, trái với giả thiết. Định lý đã đ−ợc chứng minh. 2 Nh¾c l¹i r»ng kh«ng gian t«p« X ®−îc gäi lµ liªn th«ng (hay liªn th«ng t«p«) nÕu kh«ng tån t¹i hai tËp më U, V kh¸c rçng nµo trong X sao cho U ∪ V = X, U ∩ V = ∅. Ta biết rằng ánh xạ đơn trị liên tục bảo tồn tính liên thông. Cụ thể hơn, ta có định lý sau. §Þnh lý 1.2.2. Cho f : X → Y lµ ¸nh x¹ liªn tôc tõ kh«ng gian t«p« liªn th«ng X vào không gian tôpô Y . Khi đó rge f = {f (x) : x ∈ X},.

(30) 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 24. xÐt víi t«p« c¶m sinh tõ t«p« cña Y , lµ kh«ng gian liªn th«ng. Chøng minh. LËp luËn b»ng ph−¬ng ph¸p ph¶n chøng, ta gi¶ sö r»ng M := rge f không phải là không gian liên thông. Khi đó tồn tại các tập mở U, V trong Y sao cho (2.5). UM ∪ VM = M,. UM ∩ VM = ∅,. UM = ∅,. VM = ∅,. ở đó UM := U ∩ M và VM := V ∩ M là các vết của các tập U và V trên M . §Æt X1 = f −1 (U ) = {x ∈ X : f (x) ∈ U }, X2 = f −1 (V ) = {x ∈ X : f (x) ∈ V }. Ta cã: (i) X1 , X2 lµ c¸c tËp më trong X; (ii) X1 = ∅, X2 = ∅; (iii) X1 ∪ X2 = X; (iv) X1 ∩ X2 = ∅. ThËt vËy, do f lµ liªn tôc, U vµ V lµ më, nªn X1 vµ X2 lµ më. V× UM = U ∩ rge f = U ∩ {f (x) : x ∈ X} kh¸c rçng, nªn tån t¹i x ∈ X sao cho f (x) ∈ U . VËy X1 = ∅. T−¬ng tù, X2 = ∅. LÊy tuú ý x ∈ X. Do f (x) ∈ rge f = M vµ do UM ∪ VM = M , ta cã f (x) ∈ UM hoÆc f (x) ∈ VM . Nếu f (x) ∈ UM thì f (x) ∈ U ; do đó x ∈ X1 . Nếu f (x) ∈ VM thì x ∈ X2 . Ta đã chứng minh rằng (iii) nghiệm đúng. Nếu tồn tại x ∈ X1 ∩ X2 thì ta có f (x) ∈ U và f (x) ∈ V . Hiển nhiên là f (x) ∈ M . Do đó f (x) ∈ UM và f (x) ∈ VM . Vậy ta có UM ∩ VM = ∅, mâu thuẫn với (2.5). Tính chất (iv) đã ®−îc chøng minh. Tõ (i)–(iv) suy ra r»ng X kh«ng liªn th«ng, tr¸i víi gi¶ thiÕt của định lý. Vậy rge f phải là không gian liên thông. 2 §Þnh lý sau ®©y chØ ra r»ng c¶ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn lÉn ¸nh x¹ ®a trị nửa liên tục d−ới đều bảo tồn tính liên thông. Một tập con của không gian t«p« ®−îc gäi lµ liªn th«ng nÕu, khi xÐt víi t«p« c¶m sinh, nã lµ kh«ng gian t«p« liªn th«ng. §Þnh lý 1.2.3 (xem Warburton (1983)). Cho F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ gi÷a c¸c kh«ng gian t«p« sao cho, víi mäi x ∈ X, F (x) lµ tËp liªn th«ng (cã thÓ rỗng). Khi đó: (a) NÕu F lµ ¸nh x¹ nöa liªn tôc trªn ë trªn X vµ nÕu dom F lµ tËp liªn th«ng, th× rge F lµ tËp liªn th«ng. (b) NÕu F lµ ¸nh x¹ nöa liªn tôc d−íi ë trong X vµ nÕu dom F lµ tËp liªn th«ng, th× rge F lµ tËp liªn th«ng..

(31) 1.2. TÝnh nöa liªn tôc trªn vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi. 25. Chøng minh. (a) Gi¶ sö r»ng F lµ nöa liªn tôc trªn ë trong X, dom F lµ liªn th«ng, vµ F (x) lµ liªn th«ng víi mäi x ∈ X. §Ó chøng minh b»ng ph¶n chøng, ta giả sử rằng M := rge F không là liên thông. Khi đó tồn tại các tập mở U, V của Y thỏa mãn (2.5), ở đó UM := U ∩ M và VM := V ∩ M . Đặt X1 = F − (U ) = {x ∈ dom F : F (x) ⊂ U }, X2 = F − (V ) = {x ∈ dom F : F (x) ⊂ V }. Các tính chất sau nghiệm đúng: (i) X1 , X2 lµ c¸c tËp më trong t«p« c¶m sinh cña dom F ; (ii) X1 = ∅, X2 = ∅; (iii) X1 ∪ X2 = dom F ; (iv) X1 ∩ X2 = ∅. Thật vậy, tính chất (i) đ−ợc suy ra từ khẳng định (a) trong Bài tập 1.2.2. Do UM = U ∩ rge F = U ∩ F (x) x∈X. kh¸c rçng, tån t¹i x ∈ X sao cho F (x) ∩ U = ∅. NÕu F (x) ∩ V = ∅ th× tõ (2.5) suy ra F (x), xÐt víi t«p« c¶nh sinh tõ t«p« cña Y , kh«ng lµ kh«ng gian liªn th«ng; tr¸i víi gi¶ thiÕt. VËy F (x) ∩ V = ∅ . Do F (x) ⊂ M vµ do UM ∪ VM = M , ta có F (x) ⊂ U ; tức là x ∈ X1 . Ta đã chứng tỏ rằng X1 = ∅. T−¬ng tù, X2 = ∅. LÊy tuú ý x ∈ dom F . Do F (x) = ∅ vµ F (x) ⊂ M , ta cã F (x) ∩ UM = ∅ hoÆc F (x) ∩ VM = ∅. NÕu tr−êng hîp thø nhÊt x¶y ra, th× do lý luận đã trình bày ở trên, ta có x ∈ X1 . Nếu tr−ờng hợp thứ hai xảy ra thì ta có x ∈ X2 . Vậy dom F ⊂ X1 ∪ X2 , tức là (iii) nghiệm đúng. Nếu tồn tại x ∈ X1 ∩ X2 th× ta cã F (x) = ∅,. F (x) ⊂ U,. F (x) ⊂ V.. Do F (x) ⊂ M , ta cã F (x) ⊂ UM vµ F (x) ⊂ VM . V× F (x) = ∅ nªn UM ∩VM = ∅, trái với (2.5). Vậy ta có X1 ∩ X2 = ∅. Các tính chất (i)–(iv) đã đ−ợc chứng minh. Từ đó suy ra dom F , xét với tôpô cảm sinh từ tôpô của X, không phải lµ kh«ng gian liªn th«ng; tr¸i víi gi¶ thiÕt. Tãm l¹i, rge F lµ kh«ng gian liªn th«ng. (b) Gi¶ sö r»ng F lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong X, dom F lµ liªn th«ng, vµ F (x) lµ liªn th«ng víi mäi x ∈ X. NÕu M := rge F kh«ng liªn th«ng, th× tån tại các tập mở U, V của Y thỏa mãn (2.5), ở đó UM := U ∩M và VM := V ∩M . §Æt X1 = F −1 (U ) = {x ∈ dom F : F (x) ∩ U = ∅}, X2 = F −1 (V ) = {x ∈ dom F : F (x) ∩ V = ∅}, ta cã thÓ chøng tá r»ng c¸c tÝnh chÊt (i)–(iv) liÖt kª trong phÇn chøng minh trªn nghiệm đúng. Từ đó suy ra rằng dom F không liên thông, trái với giả thiết. VËy rge F lµ tËp liªn th«ng. 2.

(32) 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 26. Bài tập 1.2.5. Trình bày chứng minh chi tiết khẳng định (b) của định lý trên. Xây dựng vài ví dụ đơn giản để chứng tỏ rằng mỗi một giả thiết (i) dom F lµ tËp liªn th«ng vµ (ii) F (x) lµ tËp liªn th«ng víi mäi x ∈ X trong khẳng định (b) của Định lý 1.2.3 là không thể bỏ đ−ợc (trong khi c¸c gi¶ thiÕt kh¸c vÉn ®−îc gi÷ nguyªn). Bµi tËp 1.2.6. Cho F : X ⇒ Y vµ G : Y ⇒ Z t−¬ng øng lµ c¸c ¸nh x¹ đa trị nửa liên tục d−ới ở trong X và ở trên Y , ở đó X, Y và Z là các kh«ng gian t«p«. Chøng minh r»ng ¸nh x¹ tÝch G ◦ F lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong X. Bµi tËp 1.2.7. Cho F : X ⇒ Y vµ G : X ⇒ Y lµ c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ gi÷a c¸c kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p«. Chøng minh r»ng nÕu F vµ G lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong X, th× ¸nh x¹ F + G : X ⇒ Y ®−îc cho bëi c«ng thøc (F + G)(x) = F (x) + G(x). (∀x ∈ X). còng lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong X. Bµi tËp 1.2.8 ∗. Kh¶o s¸t c¸c tÝnh chÊt t−¬ng tù nh− nh÷ng tÝnh chÊt nãi trong các Bài tập 1.2.6 và 1.2.7 đối với ánh xạ đa trị nửa liên tục trên. Bµi tËp 1.2.9. Cho X, Y lµ c¸c kh«ng gian t«p«, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn ë trong X. Chøng minh r»ng nÕu F cã gi¸ trÞ comp¾c (tøc lµ F (x) lµ comp¾c víi mäi x ∈ X) vµ dom F lµ tËp comp¾c, th× rge F lµ tËp comp¾c. Bµi tËp 1.2.10 ∗. Kh¶o s¸t tÝnh chÊt “b¶o toµn tÝnh comp¾c” nãi trong Bµi tập 1.2.9 đối với ánh xạ đa trị nửa liên tục d−ới.. Ngoµi kh¸i niÖm ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn nãi trong §Þnh nghÜa 1.2.1, ng−êi ta cßn xÐt kh¸i niÖm ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff. ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ Y tõ kh«ng gian t«p« X vµo kh«ng gian mªtric Y ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff t¹i x̄ ∈ dom F nÕu víi mäi ε > 0 tån t¹i l©n cËn më U cña x̄ sao cho F (x) ⊂ B(F (x̄), ε). ∀x ∈ U,. ở đó B(F (x̄), ε) := {y ∈ Y : d(y, F (x̄)) < ε} với d(y, F (x̄)) := inf d(y, z) ký hiệu khoảng cách từ y đến F (x̄). Nếu F là z∈F (x̄). nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff t¹i mäi ®iÓm thuéc dom F , th× F ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff ë trªn X. Râ rµng lµ tÝnh nöa liªn tôc trªn theo Berge (xem §Þnh nghÜa 1.2.1) kÐo theo tÝnh nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff. Điều ng−ợc lại không đúng..

(33) 1.3. §Þnh lý Kakutani. 27. 1 Bµi tËp 1.2.11. §Æt X = IR, Y = IR 2 , F (x) = {(x, |x| )} nÕu x = 0 vµ F (x) = {0} × [0, +∞) nÕu x = 0. H·y chøng tá r»ng F : X ⇒ Y lµ nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff ë trªn X, nh−ng kh«ng lµ nöa liªn tôc trªn (theo Berge) ë trªn X.. H×nh 5 TÝnh liªn th«ng cña miÒn h÷u hiÖu nãi chung kh«ng ®−îc b¶o toµn qua ¸nh xạ đa trị nửa liên tục trên theo Hausdorff. Ví dụ sau đây sẽ chứng tỏ điều đó. VÝ dô 1.2.4 7 . §Æt X = IR, Y = IR2 , F (x) = (x, x1 ) nÕu x = 0 vµ F (x) = {0} ì IR nếu x = 0. Khi đó, F : X ⇒ Y là nửa liên tục trên theo Hausdorf ë trªn X, dom F = IR lµ kh«ng gian liªn th«ng, F (x) lµ liªn th«ng víi mäi x, nh−ng 1 1 : x < 0 ∪ {0} × IR ∪ x, : x>0 rge F = x, x x kh«ng lµ tËp liªn th«ng (nã gåm 3 thµnh phÇn liªn th«ng).. 1.3 §Þnh lý Kakutani Định lý Kakutani (1941) là một định lý điểm bất động quan trọng đ−ợc thiết lËp cho ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn. Chóng ta t×m hiÓu chøng minh chi tiÕt của định lý này để hiểu sâu hơn ý nghĩa của các tính chất nửa liên tục trên và nöa liªn tôc d−íi cña ¸nh x¹ ®a trÞ ®−îc xÐt trong môc tr−íc. 7. Ví dụ này thuộc về Nguyễn Mậu Nam. Hiệu quả t−ơng tự cũng đạt đ−ợc với ánh xạ đa trị nãi trong Bµi tËp 1.2.11, mét d¹ng c¶i biªn cña ¸nh x¹ F ë ®©y..

(34) 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 28 Phân hoạch đơn vị:. Cho ψ : X → IR là hàm số thực xác định trên không gian tôpô X. Giá (support) của ψ đ−ợc ký hiệu bởi supp ψ, và đ−ợc xác định bởi công thức supp ψ = {x ∈ X : ψ(x) = ∅}, ở đó M ký hiệu bao đóng của tập M . §Þnh lý 1.3.1 (xem Rudin (1976), tr. 251). Cho K lµ kh«ng gian mªtric comp¾c, {Vα }α∈A là một phủ mở của K. Khi đó tồn tại các hàm liên tục ψi : K → IR (i = 1, 2, . . . , s) sao cho (a) 0 ψi (x) 1 ∀x ∈ K, ∀i ∈ {1, . . . , s}; s. ψi (x) = 1. (b). ∀x ∈ K;. i=1. (c) Víi mçi i ∈ {1, . . . , s} cã tån t¹i α ∈ A sao cho supp ψi ⊂ Vα . Hä hµm liªn tôc {ψi }i=1,...,s cã c¸c tÝnh chÊt (a)–(c) ®−îc gäi lµ mét ph©n hoạch đơn vị t−ơng thích với phủ mở {Vα }α∈A . Tõ §Þnh lý 1.3.1 ta rót ra hÖ qu¶ s©u ®©y. Hệ quả 1.3.1. Giả sử {ψi }i=1,...,s là một phân hoạch đơn vị t−ơng thích với phủ më {Vα }α∈A . Víi mäi hµm liªn tôc f : K → IR ta cã s. ψi (x)f (x),. f (x) = i=1. ở đó các hàm fi (x) := ψi (x)f (x). (i = 1, . . . , s). lµ liªn tôc trªn K vµ víi mçi i ∈ {1, . . . , s} tån t¹i α ∈ A sao cho gi¸ cña hµm fi n»m trong Vα . Chøng minh §Þnh lý 1.3.1: Víi mçi x ∈ K ta chän ®−îc chØ sè αx ∈ A sao cho x ∈ Vαx . Do Vαx lµ tËp më, tån t¹i ρx > 0 sao cho B̄(x, ρx ) ⊂ Vαx . Hä c¸c h×nh cÇu më B(x, ρ2x ) x∈K lµ mét phñ më cña K. Do K lµ kh«ng gian comp¾c, tån t¹i c¸c ®iÓm x1 , x2 , . . . , xs ∈ K sao cho (3.1). K ⊂ B(x1 ,. ρx1 ρxs ) ∪ . . . ∪ B(xs , ). 2 2.

(35) 1.3. §Þnh lý Kakutani. 29. Do B̄(xi ,. ρxi ) ⊂ B(xi , ρxi ) ⊂ B̄(xi , ρxi ), 2. tån t¹i hµm liªn tôc ϕi : K → [0, 1] sao cho ϕi (x) = 1. ∀x ∈ B̄(xi ,. ρxi ) 2. vµ ϕi (x) = 0 ∀x ∈ K \ B(xi , ρxi ). (Chúng ta nhắc lại rằng nếu M1 và M2 là hai tập đóng không giao nhau trong kh«ng gian mªtric comp¾c X th× tån t¹i hµm sè liªn tôc ϕ : X → [0, 1] sao cho ϕ(x) = 1 với mọi x ∈ M1 và ϕ(x) = 0 với mọi x ∈ M2 . Khẳng định đó suy ra từ Bổ đề Urysohn (xem Kelley (1957), Ch−ơng 4). Đặt ψ1 = ϕ1 và ψi+1 = (1 − ϕ1 ) . . . (1 − ϕi )ϕi+1. (∀i = 1, 2, . . . , s − 1).. Hiển nhiên các tính chất (a) và (c) nghiệm đúng với họ hàm {ψi }i=1,...,s vừa chọn. Rõ ràng đẳng thức (3.2). ψ1 + . . . + ψi = 1 − (1 − ϕ1 ) . . . (1 − ϕi ). đúng với i = 1. Nếu (3.2) đúng với chỉ số i < s, thì ta có ψ1 + . . . + ψi + ψi+1 = 1 − (1 − ϕ1 ) . . . (1 − ϕi ) + (1 − ϕ1 ) . . . (1 − ϕi )ϕi+1 = 1 − (1 − ϕ1 ) . . . (1 − ϕi )(1 − ϕi+1 ); tức là (3.2) đúng cả khi i đ−ợc thay bằng i + 1. Vậy ta có s. (3.3). s ψi (x) = 1 − (1 − ϕi (x)). i=1. i=1. víi mäi x ∈ K. Do (3.1), víi mçi x ∈ K tån t¹i chØ sè j ∈ {1, . . . , s} sao cho ρ j x ∈ B(xj , x ). Do đó ϕj (x) = 1. Từ (3.3) suy ra 2 s. ψi (x) = 1. i=1. Vậy tính chất (b) đã đ−ợc kiểm chứng.. 2.

(36) 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 30. ¸nh x¹ ®a trÞ hªmi liªn tôc trªn: Giả sử X là không gian mêtric, Y là không gian định chuẩn, F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị . Với mỗi p ∈ Y ∗ , ở đó Y ∗ là không gian đối ngẫu của Y , và với mỗi x ∈ X ta đặt CF (p, x) = sup{p, y : y ∈ F (x)}. (Theo quy −íc, sup ∅ = −∞, inf ∅ = +∞). Hµm sè hai biÕn CF (p, x) ®−îc gäi lµ hµm tùa cña cña F . Mệnh đề 1.3.1 (xem Aubin và Frankowska (1990), Hệ quả 2.6.1). Giả sử F : X ⇒ Y lµ nöa liªn tôc trªn ë trong X, cã gi¸ trÞ comp¾c yÕu, kh¸c rçng; Y đ−ợc xét với tôpô yếu. Khi đó, với mọi p ∈ Y ∗ , hàm số x → CF (p, x) lµ nöa liªn tôc trªn ë trong dom F . Chứng minh. Giả sử F có các tính chất nh− trong phát biểu của mệnh đề, và p ∈ Y ∗ lµ vÐct¬ cho tr−íc. Ta cÇn chøng tá r»ng víi mäi x̄ ∈ dom F vµ ε > 0 tån t¹i l©n cËn më U cña x̄ ∈ X sao cho CF (p, x) CF (p, x̄) + ε ∀x ∈ U. Do F (x̄) lµ comp¾c yÕu vµ kh¸c rçng, tån t¹i ȳ ∈ F (x̄) sao cho CF (p, x̄) = p, ȳ. §Æt V = {y ∈ Y : p, y < p, ȳ + ε}. Ta cã V lµ l©n cËn më yÕu chøa F (x̄). V× F lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x̄ (Y ®−îc xét với tôpô yếu), tồn tại lân cận mở U của x̄ sao cho F (U ) ⊂ V . Khi đó, với mçi x ∈ U ta cã CF (p, x) = sup{p, y : y ∈ F (x)} p, ȳ + ε (do F (x) ⊂ V ) = CF (p, x̄) + ε. Mệnh đề đã đ−ợc chứng minh.. 2. §Þnh nghÜa 1.3.1. ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ Y tõ kh«ng gian mªtric X vµo không gian định chuẩn Y đ−ợc gọi là hêmi liên tục trên tại x ∈ dom F nếu với mçi p ∈ Y ∗ hµm sè Cp (p, ·) lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x. Ta nãi F lµ hªmi liªn tôc trªn ë trong X nÕu nã lµ hªmi liªn tôc trªn t¹i mäi ®iÓm thuéc dom F . Mệnh đề 1.3.1 đã chỉ ra điều kiện đủ để một ánh xạ đa trị là hêmi liên tục trªn..

(37) 1.3. §Þnh lý Kakutani. 31. Bất đẳng thức Ky Fan: Nguyên lý biến phân Ekeland (1974) và định lý sau đây là những công cụ mạnh để nghiên cứu nhiều vấn đề trong giải tích phi tuyến và tối −u hoá. Định lý 1.3.2 (Bất đẳng thức Ky Fan, 1972). Cho K là tập lồi, compắc trong kh«ng gian Banach X, ϕ : K × K → IR lµ hµm sè tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn: (i) ∀y ∈ K, ϕ(·, y) lµ hµm sè nöa liªn tôc d−íi; (ii) ∀x ∈ K, ϕ(x, ·) lµ hµm lâm; (iii) ∀y ∈ K, ϕ(y, y) 0. Khi đó, tồn tại x̄ ∈ K sao cho ∀y ∈ K, ϕ(x̄, y) 0. NhËn xÐt 1.3.1 (xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr. 80). §Þnh lý 1.3.2 vÉn đúng nếu thay cho không gian Banach X ta xét một không gian tuyến tính tôpô, lồi địa ph−ơng, Hausdorff. (Ví dụ nh− X là một không gian Banach xét với t«p« yÕu.) Chøng minh §Þnh lý 1.3.2: Tr−ớc hết, chúng ta chứng minh định lý cho tr−ờng hợp X là không gian Banach h÷u h¹n chiÒu. Ta sÏ chøng minh b»ng ph−¬ng ph¸p ph¶n chøng. Gi¶ sử rằng kết luận của định lý không đúng, tức là (3.4). ∀x ∈ K ∃y ∈ K sao cho ϕ(x, y) > 0.. Với mỗi y ∈ K, đặt Uy = {x ∈ K : ϕ(x, y) > 0}. V× ϕ(·, y) lµ hµm sè nöa liªn tôc d−íi, nªn Uy lµ tËp më trong t«p« c¶m sinh cña K. Râ rµng tõ (3.4) suy ra r»ng {Uy }y∈K lµ mét phñ më cña K. Do K lµ comp¾c, tån t¹i y1 , y2 , . . . , yk ∈ K sao cho K⊂. k . Uyj .. j=1. Theo Định lý 1.3.1, tồn tại phân hoạch đơn vị {ψi }i=1,...,s của K t−ơng thích víi phñ më {Uyj }j=1,...,k . Tøc lµ ψ : K → [0, 1]. (i = 1, . . . , s).

(38) 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 32 s. ψi (x) = 1 víi mäi x ∈ K vµ víi mçi i ∈ {1, . . . , s}. lµ nh÷ng hµm liªn tôc, i=1. tån t¹i j(i) ∈ {1, . . . , k} sao cho supp ψi ⊂ Uyj(i) . XÐt ¸nh x¹ f : K → K cho bëi c«ng thøc s. ψi (x)yj(i). f (x) =. (∀x ∈ K).. i=1. (V× K lµ tËp låi, yj(i) ∈ K víi mäi i, ψi (x) 0 víi mäi i, vµ si=1 ψi (x) = 1, nªn f (x) ∈ K víi mäi x ∈ K.) Do ψi (·) (i = 1, . . . , s) lµ c¸c hµm liªn tôc, f (x) là ánh xạ liên tục. Theo Định lý điểm bất động Brouwer, tồn tại ȳ ∈ K sao cho ȳ = f (ȳ). Do gi¶ thiÕt (ii), ϕ(ȳ, ȳ) = ϕ(ȳ, (ȳ)) f = ϕ ȳ, si=1 ψi(ȳ)yj(i) si=1 ψi (ȳ)ϕ ȳ, yj(i) .. (3.5) §Æt. I(ȳ) = {i ∈ {1, . . . , s} : ψi (ȳ) > 0}. s. ψi (ȳ) = 1 nªn I(ȳ) = ∅. Ngoµi ra, ta cã. V× i=1. s. ψi (ȳ)ϕ(ȳ, yj(i) ) =. (3.6) i=1. ψi (ȳ)ϕ(ȳ, yj(i) ) > 0; i∈I(ȳ). bởi vì nếu i ∈ I(ȳ) thì ψi (ȳ) > 0, do đó ȳ ∈ supp ψi ⊂ Uyj(i) = {x ∈ K : ϕ(x, yj(i) ) > 0}. (Tõ tÝnh chÊt viÕt ë dßng trªn suy ra ϕ(ȳ, yj(i) ) > 0.) KÕt hîp (3.6) víi (3.5) ta ®−îc ϕ(ȳ, ȳ) > 0, m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt (iii). B©y giê ta xÐt tr−êng hîp X lµ kh«ng gian Banach bÊt kú vµ K lµ tËp con lồi, compắc, khác rỗng của X. Ta có Định lý điểm bất động Schauder (xem Holmes (1974), tr. 101) sau đây: “Cho A là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian định chuẩn X, f : A → K là ánh xạ liên tục từ A vào tập con compắc K ⊂ A. Khi đó f có điểm bất động trong K”. Lặp lại chứng minh trên và áp dụng Định lý điểm bất động Schauder thay cho Định lý điểm bất động Brouwer,.

(39) 1.3. §Þnh lý Kakutani. 33. ta sÏ chØ ra ®−îc sù tån t¹i cña ®iÓm x̄ ∈ K cã tÝnh chÊt ϕ(x̄, y) 0 víi mäi y ∈ K. 2 §Þnh lý vÒ sù tån t¹i ®iÓm c©n b»ng: Ta nh¾c l¹i r»ng nÕu K lµ mét tËp låi trong kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p« X th× nãn tiÕp tuyÕn TK (x) cña K t¹i x ∈ K ®−îc cho bëi c«ng thøc TK (x) = {t(y − x) : y ∈ K, t 0} = cone (K − x), ở đó cone M := {tz : z ∈ M } là hình nón sinh bởi M và M là bao đóng của M . Nón pháp tuyến NK (x) của K tại x là nón đối ngẫu âm của TK (x), tức là NK (x) = (TK (x))∗ = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v 0 ∀v ∈ TK (x)} . Định nghĩa 1.3.2. Cho F : X ⇒ X, ở đó X là không gian Banach, là ánh xạ có giá trị đóng (có thể rỗng). Tập lồi K ⊂ dom F đ−ợc gọi là một miền vững8 cña F nÕu F (x) ∩ TK (x) = ∅ ∀x ∈ K. §Þnh lý 1.3.3 (The Equilibrium Theorem - §Þnh lý vÒ sù tån t¹i ®iÓm c©n b»ng). Cho X lµ kh«ng gian Banach vµ F : X ⇒ X lµ ¸nh x¹ ®a trÞ hªmi liªn tôc trên ở trong X, có giá trị lồi đóng. Nếu tập lồi compắc khác rỗng K ⊂ dom F lµ mét miÒn v÷ng cña F th× K chøa Ýt nhÊt mét ®iÓm c©n b»ng cña F , tøc lµ ∃x̄ ∈ K sao cho 0 ∈ F (x̄). NhËn xÐt 1.3.2. NÕu ¸nh x¹ ®a trÞ G : K ⇒ X lµ hªmi liªn tôc trªn ë trong K và có giá trị lồi đóng, thì ánh xạ F : X ⇒ X cho bởi công thức F (x) nÕu x ∈ K F (x) = ∅ nÕu x ∈ /K cũng có những tính chất đó. Vì thế Định lý 1.3.3 áp dụng đ−ợc cả cho những ánh xạ đa trị chỉ xác định ở trên K. Chøng minh §Þnh lý 1.3.3: §Ó chøng minh b»ng ph−¬ng ph¸p ph¶n chøng, ta gi¶ sö r»ng F : X ⇒ X là ánh xạ đa trị thỏa mãn các giả thiết của định lý, K ⊂ dom F là một miền vững lồi, compắc, khác rỗng của F , nh−ng với mọi x ∈ K ta đều có 0 ∈ / F (x). 8. TNTA: viability domain..

(40) 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 34. Với mỗi x ∈ K, do F (x) là lồi đóng và 0 ∈ / F (x), sö dông §Þnh lý t¸ch c¸c tËp låi (xem Rudin (1991), §Þnh lý 3.4) ta t×m ®−îc p ∈ X∗ sao cho sup p, y < 0,. y∈F (x). hay CF (p, x) < 0. Với mỗi p ∈ X ∗ ta đặt Up = {x ∈ K : CF (p, x) < 0}. Do lËp luËn trªn, ∀x ∈ K ∃p ∈ X ∗ sao cho x ∈ Up . VËy hä {Up }p∈X ∗ lµ mét phñ më cña K. (Chóng ta nhËn xÐt r»ng v× F lµ hªmi liªn tôc trªn ë trong X nªn CF (p, ·) lµ hµm sè nöa liªn tôc trªn ë trong X. Do đó Up là tập mở trong tôpô cảm sinh cña K.) V× K lµ comp¾c, tån t¹i c¸c phÇn tö p1 , p2 , . . . , pk ∈ X ∗ sao cho Upj j=1,...,k lµ mét phñ më h÷u h¹n cña K. Theo Định lý 1.3.1, tồn tại phân hoạch đơn vị {ψi }i=1,...,s trên K t−ơng ứng với phủ mở ấy. Khi đó, với mỗi i ∈ {1, . . . , s} tồn tại j(i) ∈ {1, . . . , k} sao cho supp ψi ⊂ Upj(i) . XÐt hµm sè ϕ : K × K → IR cho bëi c«ng thøc s. ψi (x)pj(i) , x − y.. ϕ(x, y) = i=1. Râ rµng lµ: (i) ∀y ∈ K, ϕ(·, y) lµ hµm sè liªn tôc; (ii) ∀x ∈ K, ϕ(x, ã) là hàm số aphin (do đó là hàm lõm); (iii) ∀y ∈ K, ϕ(y, y) = 0. Vậy các giả thiết của Định lý 1.3.2 đ−ợc thỏa mãn. Do đó tồn tại x̄ ∈ K sao s. cho víi mäi y ∈ K ta cã ϕ(x̄, y) 0. §Æt p =. ψi (x̄)pj(i) và để ý rằng i=1. s. ψi (x̄)pj(i) , x̄ − y. 0 ϕ(x̄, y) = i=1. = p, x̄ − y.

(41) 1.3. §Þnh lý Kakutani víi mäi y ∈ K. V×. 35. p, y − x̄ 0 ∀y ∈ K. nªn ta cã −p ∈ (TK (x̄))∗ = NK (x̄).. (3.7). V× K lµ miÒn v÷ng cña F , nªn tån t¹i v ∈ F (x̄) ∩ TK (x̄). Do đó, l−u ý đến (3.7) ta có CF (p, x̄) p, v 0.. (3.8) §Æt. I(x̄) = {i ∈ {1, . . . , s} : ψi (x̄) > 0}. s. ψi (x̄) = 1 vµ ψi (x̄) 0 víi mäi i, nªn I(x̄) = ∅. Víi mçi i ∈ I(x̄), do. V× i=1. ψi (x̄) > 0 nªn Từ đó suy ra. x̄ ∈ supp ψi ⊂ Upj(i) .. sup si=1 ψi (x̄)pj(i) , y : y ∈ F (x̄) CF (p, x̄) = i∈I(x̄) ψi (x̄)CF (pj(i) , x̄) < 0.. Điều này mâu thuẫn với (3.8). Định lý đã đ−ợc chứng minh.. 2. NhËn xÐt 1.3.3 (xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr. 84). §Þnh lý 1.3.3 vÉn đúng khi X là một không gian tuyến tính tôpô, lồi địa ph−ơng, Hausdorff. Định lý điểm bất động Kakutani: Định lý sau là dạng mở rộng của định lý điểm bất động Kakutani (xem Định lý 1.3.5 d−íi ®©y) tõ tr−êng hîp c¸c kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu sang tr−êng hîp kh«ng gian v« h¹n chiÒu. Định lý 1.3.4 (Định lý điểm bất động Ky Fan, 1972). Cho K là tập lồi, compắc, kh¸c rçng trong kh«ng gian Banach X. Cho G : K ⇒ K lµ ¸nh x¹ ®a trÞ hªmi liên tục trên ở trong K, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó, tồn tại x̄ ∈ K sao cho x̄ ∈ G(x̄). Chứng minh. Đặt F (x) = G(x) − x. Từ các giả thiết đặt trên G suy ra rằng F : K ⇒ X là ánh xạ đa trị hêmi liên tục trên, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Ngoµi ra, ta cã (3.9). F (x) = G(x) − x ⊂ K − x ⊂ TK (x).

(42) 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 36. víi mäi x ∈ K. V× F (x) = ∅ víi mäi x ∈ K, nªn tõ (3.9) suy ra tËp låi K lµ miÒn v÷ng cña F . Theo §Þnh lý 1.3.3, tån t¹i x̄ ∈ K sao cho 0 ∈ F (x̄). Tøc lµ tån t¹i x̄ ∈ K sao cho x̄ ∈ G(x̄). 2 Kết quả sau đây suy ra trực tiếp từ Định lý 1.3.4 và Mệnh đề 1.3.1. Định lý 1.3.5 (Định lý điểm bất động Kakutani, 1941). Cho K ⊂ IRn là tập lồi, comp¾c, kh¸c rçng. Cho G : K ⇒ K lµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn ë trong K, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó, tồn tại x̄ ∈ K sao cho x̄ ∈ G(x̄). Bµi tËp 1.3.1. §Æt K = [0, 1] ⊂ IR. H·y x©y dùng c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ G : K ⇒ K thích hợp để chứng tỏ rằng nếu trong khi phát biểu Định lý 1.3.5 ta bá ®i mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau (nh−ng vÉn gi÷ nguyªn ba ®iÒu kiện còn lại), thì kết luận của định lý không còn đúng nữa: (i) G lµ ¸nh x¹ nöa liªn tôc trªn ë trong K; (ii) G cã gi¸ trÞ låi; (iii) G có giá trị đóng; (iv) G cã gi¸ trÞ kh¸c rçng. (Gîi ý: XÐt c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ {1} nÕu 0 x 12 G1 (x) = {0} nÕu 12 < x 1, ⎧ ⎨ {x + 12 } nÕu 0 x < 12 G2 (x) = {0, 1} nÕu x = 12 ⎩ 1 {x − 2 } nÕu 12 < x 1, (x, 1) nÕu 0 x < 1 G3 (x) = (0, 1) nÕu x = 1, ⎧ 1 ⎨ [ 2 , 1] nÕu x = 0 G4 (x) = ∅ nÕu 0 < x < 1 ⎩ [0, 12 ] nÕu x = 1, và để ý rằng ánh xạ đa trị G : K ⇒ K không có điểm bất động ở trong K khi vµ chØ khi gph G ∩ {(y, y) : y ∈ K} = ∅.) Bài tập 1.3.2. Vẽ đồ thị của các ánh xạ G 1 − G4 nói trong phần gợi ý cña bµi tËp trªn. Bµi tËp 1.3.3. Chøng minh r»ng ¸nh x¹ G 1 nãi trong phÇn gîi ý cña Bµi tËp 1.3.1 kh«ng lµ hªmi liªn tôc trªn ë trong K. Bµi tËp 1.3.4. §Æt K = [0, 1] ⊂ IR. H·y x©y dùng c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ G : K ⇒ K thích hợp để chứng tỏ rằng nếu trong khi phát biểu Định lý 1.3.4 ta bá ®i mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau (nh−ng vÉn gi÷ nguyªn ba ®iÒu kiện còn lại), thì kết luận của định lý không còn đúng nữa:.

(43) 1.4. C¸c qu¸ tr×nh låi. 37. (i) G lµ ¸nh x¹ hªmi liªn tôc trªn ë trong K; (ii) G cã gi¸ trÞ låi; (iii) G có giá trị đóng; (iv) G cã gi¸ trÞ kh¸c rçng. Bài tập 1.3.5. Cho K = B̄IR2 là hình tròn đơn vị trong IR 2 . Cho F : K ⇒ IR2 là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trong K, có giá trị lồi, đóng, kh¸c rçng. Chøng minh r»ng nÕu ∀x ∈ ∂K ∃y ∈ F (x) sao cho x, y = 0, ở đó ∂K := K \ int K ký hiệu biên của K, thì tồn tại x̄ ∈ K thỏa mãn 0 ∈ F (x̄).. 1.4 C¸c qu¸ tr×nh låi ánh xạ đa trị có đồ thị là một hình nón lồi có nhiều tính chất t−ơng tự nh− các tính chất của toán tử tuyến tính. Lớp các ánh xạ đa trị có đồ thị là một hình nón lồi đã đ−ợc S. M. Robinson nghiên cứu khá kỹ trong những năm 1972-1976. Định nghĩa 1.4.1. ánh xạ F : X ⇒ Y , ở đó X và Y là các không gian định chuÈn, ®−îc gäi lµ mét qu¸ tr×nh låi 9 nÕu gph F lµ mét h×nh nãn låi trong kh«ng gian tích X ì Y . Nếu gph F là một hình nón lồi đóng trong X ì Y thì F đ−ợc gọi là một quá trình lồi đóng 10 . Nh¾c l¹i r»ng tËp K trong mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh Z ®−îc gäi lµ mét h×nh nãn nÕu 0 ∈ K vµ λz ∈ K víi mäi z ∈ K vµ λ > 0. VÝ dô 1.4.1. C¸c tËp hîp sau ®©y lµ nh÷ng h×nh nãn trong IRn : n = {x = (x1 , . . . , xn ) ∈ IRn : xi 0 ∀i = 1, 2, . . . , n}, K1 := IR+. K2 := {x = (x1 , . . . , xn ) ∈ IRn : xi > 0 ∀i = 1, 2, . . . , n} ∪ {0}. C¸c tËp hîp sau ®©y lµ nh÷ng h×nh nãn trong C[a, b] (kh«ng gian gåm c¸c hµm sè f : [a, b] → IR liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] ⊂ IR): K3 = {f ∈ C[a, b] : f (t) 0 ∀t ∈ [a, b]}, K4 = {f ∈ C[a, b] : f (t) > 0 ∀t ∈ [a, b]} ∪ {0}. Bµi tËp 1.4.1. Chøng minh r»ng gph F lµ mét h×nh nãn khi vµ chØ khi 0 ∈ F (0) vµ F (λx) = λF (x) víi mäi x ∈ X vµ λ > 0. 9 10. TNTA: convex process. TNTA: closed convex process..

(44) 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 38. Định nghĩa 1.4.2. Cho F : X ⇒ Y là một quá trình lồi đóng. Chuẩn F của F lµ sè thùc suy réng ®−îc cho bëi c«ng thøc F =. (4.1). d(0, F (x)) , x x∈(dom F )\{0} sup. ở đó d(a, M ) := inf a − x là khoảng cách từ a đến M . x∈M. Trong phÇn cßn l¹i cña môc nµy, nÕu kh«ng nãi g× thªm th× X, Y ®−îc gi¶ thiÕt lµ c¸c kh«ng gian Banach. Từ Định nghĩa 1.4.1 suy ra rằng nếu F là quá trình lồi đóng thì F−1 cũng là một quá trình lồi đóng. Định lý sau đ−a ra điều kiện đủ để F−1 là một ánh x¹ ®a trÞ Lipschitz. §Þnh lý 1.4.1 (TÝnh Lipschitz cña qu¸ tr×nh ng−îc). Cho F : X ⇒ Y lµ qu¸ trình lồi đóng. Nếu rge F = Y thì F −1 là một ánh xạ đa trị Lipschitz, tức là tån t¹i > 0 sao cho F −1 (y 1 ) ⊂ F −1 (y 2 ) + y 1 − y 2 B̄Y. (4.2) víi mäi y1 , y 2 ∈ Y .. Để thiết lập (4.2) d−ới giả thiết quá trình lồi đóng F là ánh xạ đa trị tràn (tøc lµ rge F = X), chóng ta cÇn sö dông kÕt qu¶ sau. §Þnh lý 1.4.2 (§Þnh lý Robinson-Ursescu). Cho F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ lồi, đóng. Giả sử rằng ȳ ∈ F (x̄) và ȳ ∈ int(rge F ). Khi đó tồn tại > 0 và γ > 0 sao cho víi mçi y ∈ B̄(ȳ, γ) tån t¹i x ∈ F −1 (y) tháa m·n (4.3). x − x̄ y − ȳ.. Chứng minh. Chứng minh đầy đủ của định lý này khá phức tạp (xem Ursescu (1975), Robinson (1976a), Aubin vµ Ekeland (1984)). Chóng ta sÏ chØ xÐt tr−êng hîp X lµ kh«ng gian Banach ph¶n x¹. §Æt (4.4). ϕ(y) = d(x̄, F −1 (y)) (∀y ∈ Y ).. Khẳng định 1: ϕ là hàm lồi. ThËt vËy, do F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi nªn F −1 còng lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi. Do đó, với mọi y, y ∈ Y và với mọi t ∈ (0, 1) ta có F −1 ((1 − t)y + ty ) ⊃ (1 − t)F −1 (y) + tF −1 (y )..

(45) 1.4. C¸c qu¸ tr×nh låi. 39. V× vËy, nÕu y ∈ rge F vµ y ∈ rge F th× ϕ((1− t)y + ty ) = d x̄, F −1 ((1 − t)y + ty ) −1 −1 d x̄, (1 − t)F (y) + tF (y ) −1 = inf x̄ − [(1 − t)u + tv] : u ∈ F (y), v ∈ F −1 (y ) inf (1 − t)(x̄ − u) + t(x̄ − v) : u ∈ F −1 (y), v ∈ F −1 (y ) = (1 − t) inf x̄ − u + t inf x̄ − v u∈F −1 (y). = (1 − t)ϕ(y) + tϕ(y ).. v∈F −1 (y ). Dễ thấy rằng ϕ(y) < +∞ khi và chỉ khi y ∈ rge F . Ta đã chứng minh rằng với mäi y, y ∈ domϕ = {y : ϕ(y) < +∞} ta cã ϕ((1 − t)y + ty ) (1 − t)ϕ(y) + tϕ(y ) ∀t ∈ (0, 1). / domϕ thì bất đẳng thức cuối là hiển nhiên. Tóm lại, NÕu y ∈ / domϕ hoÆc y ∈ ϕ lµ hµm låi. Khẳng định 2: ϕ là nửa liên tục d−ới ở trong Y . Để chứng minh khẳng định này ta chỉ cần chứng tỏ rằng các tập mức levϕ (λ) (λ ∈ IR) là đóng (xem Bài tập 1.4.2 ở d−ới đây). Lấy λ ∈ IR. Giả sö {yk } ⊂ levϕ (λ), y k → y. Ta sÏ chøng tá r»ng y ∈ levϕ (λ). Do X lµ không gian Banach phản xạ, các hình cầu đóng trong X là compắc yếu (Định lý Banach-Alaoglu). Với mỗi k, F −1 (y k ) là tập lồi đóng khác rỗng. Theo Bổ đề Mazur (“Tập lồi đóng trong không gian định chuẩn là tập đóng yếu”), F−1 (y k ) là tập lồi đóng yếu, khác rỗng. Do đó tồn tại xk ∈ F −1 (y k ) sao cho (4.5). xk − x̄ =. inf. x∈F −1 (y k ). x − x̄.. vµ ThËt vËy, lÊy x ∈ M, ở đó M := F −1 (y k ). Đặt ρ = x̄ − x Mρ = {x ∈ M : x − x̄ ρ}. Ta cã Mρ lµ tËp comp¾c yÕu, kh¸c rçng. V× ψ(x) := x − x̄ lµ hµm låi, liªn tục, nên từ Bổ đề Mazur suy ra rằng ψ là nửa liên tục d−ới ở trong X theo tôpô yÕu. Theo §Þnh lý Weierstrass, tån t¹i xk ∈ Mρ tháa m·n (4.5). Ta cã xk − x̄ = d(x̄, F −1 (y k ) = ϕ(y k ) λ. ∀k ∈ IN.. VËy {xk } ⊂ B̄(x̄, λ). Suy ra {xk } cã d·y con héi tô theo t«p« yÕu. Gi¶ sö w w r»ng xk → x ∈ B̄(x̄, λ). Do (xk , y k ) ∈ gph F , (xk , y k ) → (x, y), vµ gph F lµ tập lồi đóng yếu, ta có (x, y) ∈ gph F . Do đó x ∈ F −1 (y). Vì xk − x̄ λ víi mäi k ∈ IN , ta cã x − x̄ λ. Suy ra ϕ(y) = d(x̄, F −1 (y)) x − x̄ λ..

(46) 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 40. VËy ta cã y ∈ levϕ (λ). Khẳng định 3: ϕ là liên tục ở trên int(rge F ). ThËt vËy, lÊy y0 ∈ int(rge F ) vµ ε > 0 sao cho B̄(y 0 , ε) ⊂ rge F. XÐt hä c¸c tËp møc cña hµm ϕ: levϕ (k) = {y : ϕ(y) k}. (k ∈ IN ).. Trong khi chứng minh Khẳng định 2 ta đã chỉ ra rằng levϕ (k) là đóng với mỗi k ∈ IN . Ta cã (4.6). ∞ levϕ (k) ∩ B̄(y 0 , ε) . B̄(y , ε) = 0. k=1. Thật vậy, lấy y ∈ B̄(y 0 , ε) ⊂ rge F . Do ϕ(y) ∈ IR, tồn tại k ∈ IN để ϕ(y) k. Khi đó, y ∈ levϕ (k). Để tiếp tục chứng minh, chúng ta cần sử dụng Định lý Baire: “Nếu M là một không gian mêtric đủ, thì M không thể biểu diễn đ−ợc d−ới dạng hợp của một số đếm đ−ợc các tập đóng có phần trong rỗng”. Do X là không gian Banach, B̄(y 0 , ε) là không gian mêtric đủ. Do định lý Baire và do (4.6), tån t¹i k̄ ∈ IN sao cho int levϕ (k̄) ∩ B̄(y 0 , ε) = ∅. V× vËy tån t¹i ŷ ∈ Y vµ ρ > 0 sao cho B̄(ŷ, ρ) ⊂ levϕ (k̄) ∩ B̄(y 0 , ε), tøc lµ 0 ϕ(y) k̄. ∀y ∈ B̄(ŷ, ρ).. Do ϕ lµ låi vµ bÞ chÆn ë trªn B̄(ŷ, ρ), nªn ϕ lµ liªn tôc ë trªn B(ŷ, ρ) ⊂ int(rge F ) (xem Ioffe và Tihomirov (1979)). Khi đó ϕ là liên tục trên int(rge F ). Vì ȳ ∈ int(rge F ) và hàm ϕ liên tục trên int(rge F ), ta có ϕ là Lipschitz địa ph−¬ng t¹i ȳ, tøc lµ tån t¹i γ > 0 vµ 0 > 0 sao cho |ϕ(y ) − ϕ(y)| 0 y − y ∀y, y ∈ B̄(ȳ, γ) (xem Ioffe vµ Tihomirov (1979)). Suy ra (4.7). |ϕ(y) − ϕ(ȳ)| 0 y − ȳ ∀y ∈ B̄(ȳ, γ).. §Æt = 20 vµ l−u ý r»ng ϕ(ȳ) = 0 v× ȳ ∈ F (x̄). Víi mçi y ∈ B̄(ȳ, γ), do (4.7) tồn tại x ∈ F −1 (y) sao cho (4.3) nghiệm đúng. Định lý đã đ−ợc chứng minh. 2.

(47) 1.4. C¸c qu¸ tr×nh låi. 41. Bài tập 1.4.2. Cho hàm số thực suy rộng ϕ : X → IR ∪ {+∞}, ở đó X là không gian định chuẩn. Chứng minh rằng ϕ là nửa liên tục d−ới ở trong X khi vµ chØ khi c¸c tËp møc lev ϕ (λ) := {x ∈ X : ϕ(x) λ} (λ ∈ IR) là đóng.. Chøng minh §Þnh lý 1.4.1: Đặt x̄ = 0, ȳ = 0. Do F là quá trình lồi đóng, ta có ȳ ∈ F (x̄). Từ giả thiÕt rge F = Y suy ra ȳ ∈ int(rge F ). Theo §Þnh lý 1.4.2, tån t¹i > 0 vµ γ > 0 sao cho víi mçi y ∈ B̄(ȳ, γ) tån t¹i x ∈ F −1 (y) tháa m·n (4.3). Víi mçi y ∈ Y tån t¹i t > 0 sao cho ty ∈ B̄(ȳ, γ) = B̄(0, γ). Do (4.3), tån t¹i x ∈ F −1 (ty ) sao cho x − 0 ty − 0. V× F −1 lµ qu¸ tr×nh låi, nªn ta cã x ∈ tF −1 (y ) vµ x ty . §Æt x = 1t x, ta cã x ∈ F −1 (y ) vµ x y . Cố định hai điểm y1 , y 2 ∈ Y . Lấy tùy ý x1 ∈ F −1 (y 1 ). Do tính chất đã chứng minh ở đoạn trên, ta chọn đ−ợc u ∈ F−1 (y 2 − y 1 ) sao cho u y 2 − y 1 . §Æt x2 = x1 + u, ta cã x2 − x1 = u y 2 − y 1 .. (4.8). Ta l¹i cã x2 ∈ F −1 (y 2 ). ThËt vËy, do u ∈ F −1 (y 2 − y 1 ), x1 ∈ F −1 (y 1 ), vµ do F −1 là quá trình lồi đóng, ta có 1 1 2x. + 12 u ∈ 12 F −1 (y 1 ) + 12 F −1 (y 2 − y 1 ) ⊂ F −1 ( 12 y 1 + 12 (y 2 − y 1 )) = F −1 ( 12 y 2 ) = 12 F −1 (y 2 ).. Từ đó suy ra x1 + u ∈ F −1 (y 2 ), hay x2 ∈ F −1 (y 2 ). Do (4.8), tồn tại v ∈ B̄X sao cho x1 − x2 = y 1 − y 2 v. VËy x1 ∈ F −1 (y 2 ) + y 1 − y 2 B̄Y . Ta đã chứng tỏ rằng (4.2) nghiệm đúng với mọi y1 , y 2 ∈ Y .. 2. Mệnh đề 1.4.1 (Định lý ánh xạ mở). Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị lồi, đóng. Nếu rge F = Y thì F là ánh xạ mở; nghĩa là với mọi tập mở U ⊂ X, tËp F (U ) = ∪x∈U F (x) lµ më trong Y . Chứng minh. Giả sử F thỏa mãn giả thiết của mệnh đề. Giả sử U ⊂ X là tập më. LÊy ȳ ∈ F (U ) vµ gi¶ sö x̄ ∈ U lµ ®iÓm tháa m·n bao hµm thøc ȳ ∈ F (x̄). Do rge F = Y , ta cã ȳ ∈ int(rge F ). Theo §Þnh lý 1.4.2, tån t¹i γ > 0 vµ > 0 để với mỗi y ∈ B̄(ȳ, γ) tồn tại x ∈ F −1 (y) sao cho (4.3) nghiệm đúng. Chọn γ ∈ (0, γ) đủ bé để có (4.9). B̄(x̄, γ ) ⊂ U..

(48) 42. 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. Khi đó, với mỗi y ∈ B̄(ȳ, γ ) tồn tại x ∈ F −1 (y) thỏa mãn x − x̄ y − ȳ γ . Vậy x ∈ B̄(x̄, γ ) ⊂ U . Do y ∈ F (x) và do (4.9), từ đó ta có y ∈ F (U ). Vì bao hàm thức cuối đúng với mọi y ∈ B̄(ȳ, γ ), nên B̄(ȳ, γ ) ⊂ F (U ). Ta đã chøng tá r»ng F (U ) lµ tËp më. 2 Nhận xét 1.4.1. Các định lý ánh xạ mở có vai trò quan trọng trong giải tích vµ gi¶i tÝch øng dông. VÝ dô nh− mét sè ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ (trong lý thuyÕt tối −u) hay điều kiện đủ cho tính điều khiển đ−ợc của các hệ động lực (trong lý thuyÕt ®iÒu khiÓn) cã thÓ ®−îc dÉn ra nh− nh÷ng hÖ qu¶ trùc tiÕp cña cña c¸c định lý ánh xạ mở. Định lý ánh xạ mở trong Mệnh đề 1.4.1 chỉ áp dụng đ−ợc cho các ánh xạ đa trị có đồ thị là tập lồi đóng. Đồng thời với các nghiên cứu cña c¸c t¸c gi¶ n−íc ngoµi, Gi¸o s− Ph¹m H÷u S¸ch, Gi¸o s− Phan Quèc Kh¸nh và Phó Giáo s− Phạm Huy Điển đã có nhiều đóng góp trong việc xây dựng các định lý ánh xạ mở và định lý hàm ng−ợc tổng quát; xem Sach (1988a,b), Khanh (1986, 1988, 1989), Dien và Sach (1991). Trong các công trình đó, các ánh xạ đa trị đ−ợc xét không nhất thiết phải có đồ thị lồi. Nói riêng ra, trong ba bài b¸o nãi trªn, b»ng c¸ch sö dông kh¸i niÖm kh«ng gian tùa mªtric (quasi-metric space) tác giả Phan Quốc Khánh đã thu đ−ợc các định lý ánh xạ mở tổng quát, mà từ đó ta có thể thu đ−ợc Định lý Ljusternik quen biết, Định lý quy nạp của V. Pták (Pták’s induction theorem, 1974), một kết quả tr−ớc đó của Phạm Hữu Sách, và nhiều kết quả khác. Các kết quả trong Khanh (1986, 1988, 1989) đã thu hót ®−îc sù chó ý cña nhiÒu chuyªn gia trong ngµnh. Nhận xét 1.4.2. Trong Ch−ơng 5 của giáo trình này có trình bày một định lý ánh xạ mở địa ph−ơng (xem Định lý 5.4.1) và định lý hàm ng−ợc (xem Định lý 5.4.2) cho ánh xạ đa trị có dạng đặc biệt: F (x) = f (x) + K, ở đó F : IRn → IRm là ánh xạ đơn trị và K ⊂ IRm là tập lồi. NhËn xÐt 1.4.3. C¸c t¸c gi¶ Huúnh ThÕ Phïng vµ Ph¹m Huy §iÓn (xem Phung và Dien (1991)) đã chỉ ra rằng điểm cân bằng (không điểm) của một ánh xạ đa trị lồi đóng, nếu tồn tại, có thể tính đ−ợc bằng một thuật toán gồm hữu hạn b−íc. Bµi tËp 1.4.3. Cho A : X → Y lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh. Chøng minh r»ng A lµ liªn tôc khi vµ chØ khi ¸nh x¹ F cho bëi c«ng thøc F (x) = {Ax} (x ∈ X) là ánh xạ đóng. Bµi tËp 1.4.4. Chøng minh r»ng §Þnh lý ¸nh x¹ më Banach “Cho A : X → Y lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc. NÕu A(X) = Y th× A lµ ¸nh x¹ më (tøc lµ víi mäi tËp më U ⊂ X, A(U ) lµ tËp më trong Y )” lµ hÖ qu¶ của Mệnh đề 1.4.1..

(49) 1.4. C¸c qu¸ tr×nh låi. 43. Ví dụ 1.4.1 (Quá trình lồi đóng). Cho K ⊂ Y là hình nón lồi đóng và cho f ∈ C 1 (X, Y ). Với mỗi x0 ∈ X ta đặt Fx0 (v) = f (x0 )v + K (v ∈ X). Khi đó, Fx0 (ã) là một quá trình lồi đóng phụ thuộc vào tham số x0 . Mệnh đề 1.4.2 (Điều kiện đủ để một quá trình lồi đóng có chuẩn hữu hạn). Cho F : X ⇒ Y là quá trình lồi đóng. Nếu dom F = X, thì số F đ−ợc định nghÜa bëi c«ng thøc (4.1) lµ h÷u h¹n. Chøng minh. XÐt qu¸ tr×nh ng−îc F −1 : Y ⇒ X, F −1 (y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)}. Vì F là quá trình lồi đóng, nên F −1 cũng là quá trình lồi đóng. Ta có rge F −1 = {x ∈ X : ∃y ∈ Y sao cho x ∈ F −1 (y)} = {x ∈ X : ∃y ∈ Y sao cho y ∈ F (x)} = {x ∈ X : F (x) = ∅} = dom F. Do gi¶ thiÕt dom F = X, ta cã rge F −1 = X. ¸p dông §Þnh lý 1.4.1 cho ¸nh x¹ F −1 , ta t×m ®−îc hÖ sè > 0 sao cho (4.10). (F −1 )−1 (x ) ⊂ (F −1 )−1 (x) + x − xB̄Y. (∀x, x ∈ X).. Víi mäi x ∈ X, (F −1 )−1 (x) = {y ∈ Y : x ∈ F −1 (y)} = {y ∈ Y : y ∈ F (x)} = F (x). Do đó (F −1 )−1 = F . Vậy từ (4.10) ta có (4.11). F (x ) ⊂ F (x) + x − xB̄Y. (∀x, x ∈ X).. (Điều đó chứng tỏ F là ánh xạ đa trị Lipschitz trên X.) áp dụng (4.11) cho x = 0 vµ l−u ý r»ng 0 ∈ F (0), ta cã 0 ∈ F (x) + xB̄Y. (∀x ∈ X).. Khi đó, với mọi x ∈ X \ {0}, tồn tại y ∈ F (x) và v ∈ B̄Y sao cho 0 = y + xv. Suy ra y xv x. VËy x d(0, F (x)) = ∀x ∈ X \ {0}. x x.

(50) 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 44 Từ đó ta có F = sup x=0. Mệnh đề đã đ−ợc chứng minh.. d(0, F (x)) . x. 2. VÝ dô 1.4.2. §Æt F (x) = {y ∈ IR : y x2 } víi mäi x ∈ IR. Ta cã F : IR ⇒ IR là ánh xạ đa trị lồi đóng, vì gph F = {(x, y) ∈ IR2 : y x2 } là tập lồi đóng. / int(rge F ). Do đó giả thiết a) LÊy x̄ = 0, ȳ = 0. V× rge F = IR+ , nªn ȳ ∈ của Định lý 1.4.2 không đ−ợc thỏa mãn với bộ ba {F, x̄, ȳ} đã chọn. Nhận xét rằng kết luận của định lý đó không còn đúng. Thật vậy, giả sử tồn tại γ > 0 và > 0 víi tÝnh chÊt (4.12). ∀y ∈ B̄(ȳ, γ) ∃x ∈ F −1 (y) sao cho x − x̄ y − ȳ.. Khi đó ∀y ∈ [−γ, γ] ∃x ∈ IR sao cho y x2 , |x| |y|. Chän y = −γ, ta thÊy ngay r»ng kh«ng tån t¹i x ∈ IR sao cho y x2 . VËy kh«ng tån t¹i γ > 0 vµ > 0 víi tÝnh chÊt (4.12). b) B©y giê ta lÊy x̄ = 0, ȳ = 1. HiÓn nhiªn ȳ ∈ int(rge F ). Do §Þnh lý 1.4.2, γ > 0 vµ > 0 víi tÝnh chÊt (4.12).. H×nh 6. Bµi tËp 1.4.5. Víi x̄, ȳ nh− trong phÇn b) cña VÝ dô 1.4.2, h·y chØ ra c¸c sè γ > 0 vµ > 0 tháa ®iÒu kiÖn (4.12)..

(51) 1.4. C¸c tÝnh chÊt Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 45. 1.5 C¸c tÝnh chÊt Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ Trong mục này, nếu không nói gì thêm thì X, Y là các không gian định chuẩn tïy ý vµ F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ tõ X vµo Y . Định nghĩa 1.5.1. Giả sử x̄ ∈ int(dom F ). Ta nói F là Lipschitz địa ph−ơng 11 t¹i (hoÆc ë gÇn) x̄, nÕu tån t¹i > 0 vµ δ > 0 sao cho (5.1). F (x2 ) ⊂ F (x1 ) + x2 − x1 B̄Y. với mọi x1 , x2 ∈ B̄(x̄, δ). Trong tr−ờng hợp F (x) = {f (x)} là ánh xạ đơn trị, bao hµm thøc (5.1) trë thµnh f (x2 ) ∈ f (x1 ) + x2 − x1 B̄Y . Nếu tồn tại > 0 và δ > 0 sao cho tính chất đó nghiệm đúng với mọi x ∈ B̄(x̄, δ), thì ta nói ánh xạ đơn trị f là Lipschitz địa ph−ơng tại x̄. Định nghĩa 1.5.2 (Robinson (1979)). Ta nói F là Lipschitz trên địa ph−ơng12 t¹i (hoÆc ë gÇn) x̄ ∈ dom F nÕu tån t¹i > 0 vµ δ > 0 sao cho (5.2). F (x) ⊂ F (x̄) + x − x̄B̄Y. với mọi x ∈ B̄(x̄, δ). Trong tr−ờng hợp F (x) = {f (x)} là ánh xạ đơn trị, bao hµm thøc (5.2) trë thµnh f (x) ∈ f (x̄) + x − x̄B̄Y . Nếu tồn tại > 0 và δ > 0 sao cho tính chất đó nghiệm đúng với mọi x ∈ B̄(x̄, δ), thì ta nói ánh xạ đơn trị f là Lipschitz trên địa ph−ơng tại x̄. §Þnh nghÜa 1.5.3 (Robinson (1981)). Cho X = IRn , Y = IRm . Ta nãi F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®a diÖn 13 nÕu tån t¹i mét sè h÷u h¹n c¸c tËp låi ®a diÖn ∆1 , ∆2 , . . . , ∆s trong kh«ng gian tÝch IRn × Rm sao cho gph F =. s . ∆i .. i=1. §Þnh lý 1.5.1 (Robinson (1981)). NÕu F : IRn ⇒ IRm lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®a diÖn thì, với mọi x̄ ∈ dom F , F là Lipschitz trên địa ph−ơng tại x̄. Định lý này đ−ợc chứng minh bằng cách áp dụng Định lý 1.1.2. Bạn đọc cã thÓ xem chøng minh chi tiÕt trong Ch−¬ng 7 cuèn chuyªn kh¶o cña G. M. Lee, NguyÔn N¨ng T©m vµ N. §. Yªn (Lee, Tam vµ Yen (2005)). 11. TNTA: locally Lipschitz at x̄, locally Lipschitz near x̄. TNTA: locally upper-Lipschitz. 13 TNTA: polyhedral multifunction. 12.

(52) 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 46. §Þnh nghÜa 1.5.4 (Aubin (1984)). Ta nãi F lµ gi¶-Lipschitz 14 ë gÇn ®iÓm (x̄, ȳ) ∈ gph F nÕu tån t¹i > 0, δ > 0 vµ µ > 0 sao cho F (x2 ) ∩ B(ȳ, µ) ⊂ F (x1 ) + x2 − x1 B̄Y víi mäi x1 , x2 ∈ B̄(x̄, δ). NhËn xÐt 1.5.1. NÕu F lµ gi¶-Lipschitz ë gÇn ®iÓm (x̄, ȳ) ∈ gph F , th× ta ph¶i cã x̄ ∈ int(dom F ). NhËn xÐt 1.5.2. TÝnh chÊt gi¶-Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ cã vai trß quan träng gi¶i tÝch phi tuyÕn vµ lý thuyÕt tèi −u (xem Rockafellar vµ Wets (1998), Mordukhovich (2006a,b)). Để ghi công của J.-P. Aubin trong việc đề xuất khái niệm này, Donchev và Rockafellar (1996) đề nghị gọi tính chất giả-Lipschitz lµ tÝnh liªn tôc Aubin (Aubin continuity). Trong Ch−¬ng 5 chóng ta sÏ ®−a ra những điều kiện đủ để ánh xạ nghiệm của một hệ bất đẳng thức phụ thuộc tham số là liên tục Aubin theo tham số. Sử dụng kết quả đó, cũng trong Ch−ơng 5, ta sẽ đ−a ra điều kiện đủ để hàm giá trị tối −u của một bài toán quy hoạch toán học phụ thuộc tham số là Lipschitz địa ph−ơng. Bµi tËp 1.4.5. Cho x̄ ∈ X. Chøng minh r»ng nÕu F : X ⇒ Y lµ gi¶Lipschitz ë gÇn mçi ®iÓm (x̄, ȳ) ∈ {x̄} × F (x̄) th× F lµ nöa liªn tôc d−íi tại x̄. Khẳng định ng−ợc lại có đúng không?. 14. TNTA: pseudo-Lipschitz..

(53) Ch−¬ng 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ Tay nµo cÇm ®−îc khãi s−¬ng Míi mong gi÷ næi yªu th−¬ng cho m×nh (TrÇn M¹nh H¶o, “Ru em Thóy KiÒu”). Ch−ơng này giới thiệu các khái niệm cơ bản và một số định lý chính về đạo hàm của ánh xạ đa trị. Cách xây dựng đạo hàm của ánh xạ đa trị thông qua nón tiếp tuyến Bouligand của đồ thị ở đây đ−ợc J.-P. Aubin (1981) đề xuất. ông đã sử dụng cách tiếp cận này để nghiên cứu các tính chất của nghiệm của bao hàm thøc vi ph©n.. 2.1 Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland Đ−ợc I. Ekeland đề xuất năm 1974, nguyên lý biến phân sau đây là một công cụ hiệu quả để thiết lập các định lý ánh xạ mở, hàm ẩn, hàm ng−ợc trong giải tích không trơn. Ngoài ra, ngay từ năm 1976, F. H. Clarke đã sử dụng nguyên lý này để thiết lập quy tắc nhân tử Lagrange cho các bài toán quy hoạch toán häc trong kh«ng gian Banach víi d÷ liÖu lµ c¸c hµm sè kh«ng tr¬n. Trong lý thuyết đối đạo hàm (xem Mordukhovich (2006a,b)), nguyên lý biến phân của Ekeland cũng đóng một vai trò hết sức quan trọng. Nguyên lý này là công cụ chính để thu đ−ợc các định lý ánh xạ mở, hàm ẩn, hàm ng−ợc cho ánh xạ đa trị trong ch−¬ng nµy vµ trong Ch−¬ng 5. §Þnh lý 2.1.1 (Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland). Cho (X, d) lµ kh«ng gian mªtric đủ, ϕ : X → IR ∪ {+∞} là hàm số nửa liên tục d−ới, bị chặn d−ới ở trong X. Khi đó, nếu x̄ ∈ X thỏa mãn (1.1). ϕ(x̄) inf ϕ(x) + ε x∈X. 47.

(54) 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 48. víi ε > 0 vµ nÕu λ > 0 lµ sè thùc cho tr−íc, th× tån t¹i x ∈ X sao cho (i) ϕ( x) ϕ(x̄); (ii) d( x, x̄) λ; (iii) Víi mäi x ∈ X \ { x}, ϕ( x) < ϕ(x) + λε d(x, x ). Chøng minh. Trong chøng minh nµy chóng ta sÏ sö dông kiÓu thø tù bé phËn do Bishop và Phelps đ−a ra năm 1963. Với mỗi α > 0, ta định nghĩa thứ tự “α ” trong tÝch X × IR nh− sau: (1.2). (x1 , y 1 ) α (x2 , y 2 ) ⇔ y 2 − y 1 + αd(x1 , x2 ) 0.. Thø tù “α ” lµ ph¶n x¹, ph¶n xøng vµ b¾c cÇu. • TÝnh ph¶n x¹: HiÓn nhiªn ta cã (x, y) α (x, y) víi mäi (x, y) ∈ X × IR. • TÝnh ph¶n xøng: Gi¶ sö r»ng (x1 , y 1 ) α (x2 , y 2 ) vµ (x2 , y 2 ) α (x1 , y 1 ). Ta cÇn chøng tá r»ng (x1 , y 1 ) = (x2 , y 2 ). Do (1.2), (x1 , y 1 ) α (x2 , y 2 ) ⇔ d(x1 , x2 ) . y1 − y2 . α. Theo gi¶ thiÕt, (1.3). d(x1 , x2 ) . y1 − y2 y2 − y1 vµ d(x2 , x1 ) . α α. Suy ra 2d(x1 , x2 ) 0. V× thÕ x1 = x2 . Tõ (1.3) ta cã y1 y 2 vµ y 2 y 1 . Do đó (x1 , y 1 ) = (x2 , y 2 ). • TÝnh b¾c cÇu: Gi¶ sö r»ng (x1 , y 1 ) α (x2 , y 2 ) vµ (x2 , y 2 ) α (x3 , y 3 ). Khi đó y1 − y2 y2 − y3 vµ d(x2 , x3 ) . d(x1 , x2 ) α α Suy ra y1 − y3 . d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) α Do d(x1 , x3 ) d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ), nªn ta cã d(x1 , x3 ) . y1 − y3 . α. Từ đó suy ra (x1 , y 1 ) α (x3 , y 3 ). Khẳng định 1: Nếu (x1 , y 1 ) ∈ X ì IR, thì Ω := {(x, y) ∈ X × IR : (x1 , y 1 ) α (x, y)}.

(55) 2.1. Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland. 49. là tập đóng. ThËt vËy, gi¶ sö d·y {(xk , y k } ⊂ X × IR tháa m·n (x1 , y 1 ) α (xk , y k ) (k = 2, 3, 4, . . .) vµ xk → x, y k → y. Do d(x1 , xk ) (y 1 − y k )/α víi mäi k ∈ IN , nªn ta cã d(x1 , x) (y 1 − y)/α; tức là (x1 , y 1 ) α (x, y). Vậy (x, y) ∈ Ω. Ta đã chứng minh rằng Ω là tập đóng. Khẳng định 2: Cho M ⊂ X ì IR là tập đóng sao cho tồn tại γ > 0 để y γ với mọi (x, y) ∈ M . Khi đó, với mỗi (x1 , y 1 ) ∈ M tồn tại (x̄, ȳ) ∈ M sao cho (x1 , y 1 ) α (x̄, ȳ) và (x̄, ȳ) là một phần tử cực đại trong M theo thứ tự “α ” (tøc lµ, nÕu (x, y) ∈ M vµ (x̄, ȳ) α (x, y) th× (x, y) = (x̄, ȳ)). B¾t ®Çu tõ (x1 , y 1 ) ∈ M ta x©y dùng d·y {(xk , y k )} nh− sau: Gi¶ sö (xk , y k ) đã đ−ợc xác định. Đặt M k = {(x, y) ∈ M : (xk , y k ) α (x, y)}. Theo Khẳng định 1, M k là tập đóng. Ngoài ra, vì (xk , y k ) ∈ M k nên M k = ∅. §Æt γk = inf{y : ∃x ∈ X, (x, y) ∈ M k }. HiÓn nhiªn γk γ vµ γk y k . Chän (xk+1 , y k+1 ) ∈ M k sao cho y k+1 . (1.4). γk + y k . 2. (Nếu γk = y k thì đặt (xk+1 , y k+1 ) = (xk , y k ). Giả sử γk < y k . Do γk < (γk + y k )/2, tån t¹i (x, y) ∈ M sao cho γk y < (γk + y k )/2. §Æt (xk+1 , y k+1 ) = (x, y), ta thấy rằng (1.4) nghiệm đúng.) Dãy {Mk } là các tập đóng lồng nhau: M k+1 ⊂ M k víi mäi k ∈ IN . (ThËt vËy, nÕu (x, y) ∈ M k+1 th× (xk , y k ) α (xk+1 , y k+1 ) α (x, y). Do đó (x, y) ∈ M k .) Đặt d((x, y), (x , y )) = d(x, x ) + |y − y |. Với mọi k, ta cã γk γk+1 y k+1 vµ |y k+1 − γk+1 | . 1 k |y − γk | 2−k |y 1 − γ|. 2. (ThËt vËy, do (1.4) ta cã 1 1 y k+1 − γk+1 y k+1 − γk (y k − γk ) = |y k − γk |. 2 2 Vì y k+1 − γk+1 0, từ đó suy ra |y k+1 − γk+1 | . . . 2−k |y 1 − γ1 | 2−k |y 1 − γ|)..

(56) 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 50 Víi mäi (x, y) ∈ M k+1 ta cã. |y k+1 − y| |y k+1 − γk+1 | 2−k |y 1 − γ|. V× (xk+1 , y k+1 ) α (x, y), nªn 0 d(xk+1 , x) Do đó 0 d(xk+1 , x) . y k+1 − y . α. 2−k 1 y k+1 − y |y − γ|. α α. Từ đó suy ra diam M k+1 := sup{d((x, y), (x , y )) : (x, y) ∈ M k+1 , (x , y ) ∈ M k+1 } → 0 khi k → ∞. Vậy {M k } là dãy tập đóng lồng nhau, có đ−ờng kính giảm tới 0. Vì X ì IR là không gian mêtric đủ, nên tồn tại duy nhất phần tử (x̄, ȳ) ∈ X ì IR tháa m·n ∞ M k = {(x̄, ȳ)}. k=1. Do (x̄, ȳ) ∈ tháa m·n (1.5). M 1,. ta cã (x̄, ȳ) ∈ M vµ (x1 , y 1 ) α (x̄, ȳ). Gi¶ sö (x, y) ∈ M (x̄, ȳ) α (x, y).. Do (1.5) vµ do (x̄, ȳ) ∈ M k víi mäi k ∈ IN , ta cã (xk , y k ) α (x̄, ȳ) α (x, y). Vậy (x, y) ∈ M k với mọi k ∈ IN . Từ đó suy ra (x, y) = (x̄, ȳ). Ta đã chứng minh rằng (x̄, ȳ) là phần tử cực đại trong M . Khẳng định 2 đã đ−ợc chứng minh. §Æt M = epi ϕ = {(x, y) ∈ X × IR : ϕ(x) y}. Do hàm số ϕ là nửa liên tục d−ới, M là tập đóng trong X ì IR. Thật vậy, ta sÏ chøng minh r»ng Ω := (X × IR) \ M lµ tËp më. Gi¶ sö (x̄, ȳ) ∈ Ω. Do ϕ(x̄)−ȳ . V× ϕ lµ nöa liªn tôc d−íi (x̄, ȳ) ∈ / M , ta cã ϕ(x̄) > ȳ. LÊy ε ∈ 0, 2 t¹i x̄, tån t¹i l©n cËn më U cña x̄ sao cho ϕ(x) ϕ(x̄) − ε ∀x ∈ U..

(57) 2.1. Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland. 51. §Æt V = (ȳ − ε, ȳ + ε), ta cã W := U × V lµ l©n cËn më cña (x̄, ȳ) vµ W ⊂ Ω. ThËt thÕ, víi mäi (x, y) ∈ W ta cã ϕ(x) ϕ(x̄) − ε. NÕu (x, y) ∈ M , th× y ϕ(x) ϕ(x̄) − ε. Do y ∈ V , y < ȳ + ε. V× thÕ, ȳ + ε > y ϕ(x̄) − ε. Suy ra ε > (ϕ(x̄) − ȳ)/2, m©u thuÉn víi c¸ch chän ε. VËy (x, y) ∈ / M . §iÒu đó chứng tỏ rằng W ⊂ Ω. Vậy Ω là tập mở, do dó M là tập đóng. Ta có (x̄, ϕ(x̄)) ∈ M . Đặt (x1 , y 1 ) = (x̄, ϕ(x̄)). Do Khẳng định 2, tồn tại ( x, y) sao cho (x1 , y 1 ) α ( x, y). (1.6). vµ ( x, y) là phần tử cực đại trong M theo thứ tự “α ”. ε §Æt α = . Do (1.6), λ ) 0, y − y 1 + αd(x̄, x hay y − ϕ(x̄) + αd(x̄, x ) 0.. (1.7). Ta cã y = ϕ( x). ThËt thÕ, gi¶ sö y > ϕ( x). Khi đó d( x, x ) < ( y − ϕ( x))/2. x, ϕ( x)) vµ ( x, y) = ( x, ϕ( x)). Điều đó chứng tỏ rằng ( x, y) Suy ra ( x, y) α ( không thể là phần tử cực đại; mâu thuẫn. Vậy y = ϕ( x).. (1.8) ThÕ (1.8) vµo (1.7), ta cã (1.9). ϕ( x) − ϕ(x̄) + αd(x̄, x ) 0.. Suy ra ϕ( x) − ϕ(x̄) 0, tức là tính chất (i) trong kết luận của định lý nghiệm đúng. Do đó x) + ε. ϕ(x̄) inf ϕ(x) + ε ϕ( x∈X. Tõ (1.9) ta cã αd(x̄, x ) ϕ(x̄) − ϕ( x) ε. Do đó. λ ε =ε . α ε Vậy tính chất (ii) nghiệm đúng. Để kiểm tra tính chất (iii), ta lấy tùy ý x ∈ X \ { x}. Nếu ϕ(x) = +∞ thì bất đẳng thức chặt trong (iii) là đúng. Giả sử ϕ(x) ∈ IR. V× (x, ϕ(x)) ∈ M , (x, ϕ(x)) = ( x, ϕ( x)) vµ ( x, ϕ( x)) lµ phÇn tö cực đại trong M , nên bất đẳng thức ( x, ϕ( x)) α (x, ϕ(x)) là sai. Do đó d(x̄, x ) . ϕ(x) − ϕ( x) + αd(x, x ) > 0,.

(58) 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 52 hay. ε d(x, x ) > 0. λ Vậy tính chất (iii) nghiệm đúng. Định lý đã đ−ợc chứng minh. ϕ(x) − ϕ( x) +. 2. Trong quá trình chứng minh ở trên, chúng ta đã thu đ−ợc cả dạng sau đây cña nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland. §Þnh lý 2.1.2 (xem Aubin vµ Frankowska (1990)). Cho (X, d) vµ ϕ nh− ë §Þnh lý 2.1.1. Khi đó, với mọi x̄ ∈ dom ϕ và với mọi α > 0, tồn tại x ∈ X sao cho (i) ϕ( x) − ϕ(x̄) + αd( x, x̄) 0; (ii) Víi mäi x ∈ X \ { x}, ϕ( x) < ϕ(x) + αd(x, x ). NhËn xÐt 2.1.1. Chøng minh nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland tr×nh bµy ë trªn ®−îc lÊy tõ cuèn chuyªn kh¶o cña Clarke (1983). Cã nh÷ng chøng minh ng¾n gän hơn cho định lý này; xem, ví dụ nh−, Ekeland (1974), Borwein và Zhu (2005), Mordukhovich (2006a; Theorem 2.26). NhËn xÐt 2.1.2. §iÓm x̄ ∈ X tháa ®iÒu kiÖn (1.1) ®−îc gäi lµ ®iÓm ε-cùc tiÓu1 cña hµm ϕ trªn tËp X. NhËn xÐt 2.1.3. NÕu X lµ kh«ng gian Banach th× tõ tÝnh chÊt (iii) trong kÕt luËn cña §Þnh lý 2.1.1 suy ra ϕ( x) +. ε ε x−x ϕ(x) + x − x ∀x ∈ X. λ λ. , ta cã f ( x) f (x) víi mäi x ∈ X; tøc lµ x lµ §Æt f (x) = ϕ(x) + λε x − x cùc tiÓu toµn côc cña hµm f (mét xÊp xØ cña ϕ). VËy, nãi mét c¸ch th« thiÓn, nguyên lý Ekeland khẳng định rằng với mỗi điểm ε-cực tiểu của hàm số thực nửa liên tục d−ới trên một không gian mêtric đủ, tồn tại điểm cực tiểu toàn cục của một hàm số xấp xỉ của hàm số thực đó, sao cho điểm mới này cách điểm đã cho “không xa lắm” và giá trị của hàm số thực ban đầu tại đó không lớn hơn giá trị của hàm số xấp xỉ tại điểm ε-cực tiểu đã cho. Bµi tËp 2.1.1. H·y chøng tá r»ng nÕu ϕ(x̄) = inf ϕ(x), th× phÇn tö x x∈X. trong kÕt luËn cña §Þnh lý 2.1.1 cã thÓ lÊy b»ng x̄. Bµi tËp 2.1.2. Cho X = [1, +∞) ⊂ IR, ϕ(x) =. 1 , x. x̄ = 100, ε =. 1 , 100. λ=. 1 . 10. H·y t×m tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm x̂ ∈ X tháa m·n kÕt luËn cña §Þnh lý 2.1.1. 1 (KÕt qu¶: x ∈ [x̄, x̄ + 10 ].) 1. TNTA: ε-minimum..

(59) 2.1. Nãn tiÕp tuyÕn. 53. 2.2 Nãn tiÕp tuyÕn Đạo hàm của hàm số thực có liên quan chặt chẽ đến tiếp tuyến của đồ thị. f (x) − f (x̄) x − x̄ (nếu giới hạn này tồn tại thì đó chính là hệ số góc của tiếp tuyến d với đồ thị {(x, f (x)) : x ∈ IR} tại điểm (x̄, f (x̄))) và đặt XÐt hµm sè f : IR → IR vµ ®iÓm x̄ ∈ IR. §Æt α = lim. x→x̄. f (x̄)(v) = αv. ∀v ∈ IR.. (Đối với các hàm số thực, ng−ời ta th−ờng đồng nhất ánh xạ tuyến tính f (x̄) : IR → IR với số α.) Đồ thị của ánh xạ đạo hàm trùng với đ−ờng thẳng d − (x̄, f (x̄)) đi qua gốc tọa độ.. H×nh 7 Năm 1981, J.-P. Aubin (xem Aubin (1981)) đề nghị xây dựng đạo hàm DFz (ã) của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y , ở đó X và Y là các không gian Banach, tại z = (x, y) ∈ gph F nh− ánh xạ đa trị từ X vào Y có đồ thị trùng với nón tiếp tuyến Bouligand 2 của đồ thị của F tại z. Để xây dựng khái niệm đạo hàm 2. Nãn tiÕp tuyÕn nµy cã vai trß quan träng trong h×nh häc vi ph©n, ph−¬ng tr×nh vi ph©n, vµ đặc biệt là trong lý thuyết tối −u. Nó th−ờng đ−ợc gọi là contingent cone hay Bouligand tangent cone, mặc dù khái niệm này đ−ợc G. Bouligand và F. Severi đ−a ra đồng thời trong hai bài báo c«ng bè trªn cïng mét sè t¹p chÝ; xem Mordukhovich (2006a; tr. 14, 133), Bouligand (1930), Severi (1930). Trong việc sử dụng các tên gọi đôi khi có thể xảy ra những sự “bất công” nh− vËy. Theo thãi quen chung, chóng ta sÏ tiÕp tôc gäi tiÕp tuyÕn Bouligand-Severi nµy lµ nãn tiÕp tuyÕn Bouligand..

(60) 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 54. cña ¸nh x¹ ®a trÞ, ngoµi nãn tiÕp tuyÕn Bouligand ng−êi ta cßn sö dông nãn tiÕp tuyÕn Clarke (do F. H. Clarke ®−a ra n¨m 1975) vµ nãn tiÕp tuyÕn trung gian (do H. Frankowska ®−a ra). Cho Γ ⊂ Z là một tập con của không gian định chuẩn Z, và z ∈ Γ. Ta nói véctơ v ∈ Z là một véctơ tiếp tuyến của Γ tại z̄ khi đại l−ợng d(z + tv, Γ) t. (2.1). hội tụ đến 0 khi t → 0+ . Tùy thuộc vào kiểu cách hội tụ của đại l−ợng (2.1) mµ ta cã c¸c kh¸i niÖm tiÕp tuyÕn kh¸c nhau.. H×nh 8 Tr−íc hÕt, chóng ta tr×nh bµy kh¸i niÖm nãn tiÕp tuyÕn Bouligand vµ mét sè tÝnh chÊt cña h×nh nãn tiÕp tuyÕn nµy. Nãn tiÕp tuyÕn Bouligand: Định nghĩa 2.2.1. Cho M là tập con trong không gian định chuẩn X, và x̄ là một điểm thuộc bao đóng M của M . Nón tiếp tuyến Bouligand của M tại x̄, ®−îc ký hiÖu bëi TM (x̄), lµ tËp hîp nh÷ng vÐct¬ v ∈ X tháa m·n ®iÒu kiÖn (2.2). lim inf t→0+. d(x̄ + tv, M ) = 0. t. Nh¾c l¹i r»ng d(x, M ) = inf x − y. y∈M. Vì d(x, M ) 0 với mọi x, đẳng thức (2.2) có nghĩa là k k } ⊂ IR \ {0} sao cho lim d(x̄ + t v, M ) = 0, ∃{t + (2.3) k→∞ tk k t → 0 khi k → ∞..

(61) 2.1. Nãn tiÕp tuyÕn. 55. NhËn xÐt 2.2.1. TM (x̄) lµ h×nh nãn chøa 0, tøc lµ 0 ∈ TM (x̄) vµ λv ∈ TM (x̄) ∀v ∈ TM (x̄), ∀λ > 0. Mệnh đề 2.2.1. Ta có: (i) (2.4) TM (x̄) = {v :. ∃{tk } ⊂ IR+ \ {0}, tk → 0, ∃{v k } ⊂ X, v k → v, x̄ + tk v k ∈ M ∀k ∈ IN };. (ii) TM (x̄) là nón đóng; (iii) TM (x̄) ⊂ cone(M − x̄).. (2.5). Chøng minh. (i) Ký hiÖu vÕ ph¶i cña (2.4) bëi V . LÊy v ∈ TM (x̄). Chän {tk } ⊂ IR+ \ {0}, tk → 0, sao cho giíi h¹n trong (2.3) b»ng 0. §Æt εk = d(x̄ + tk v, M ) , ta cã εk → 0+ . Víi mçi k, tk 1 d(x̄ + tk v, M ) = tk εk < tk εk + tk . k Do đó tồn tại xk ∈ M để 1 (x̄ + tk v) − xk < tk εk + tk . k §Æt vk =. xk − x̄ , ta cã k xk − x̄ < εk + 1 . v − v = v − k t k k. VËy vk → v khi k → ∞. V× x̄ + tk v k = xk ∈ M víi mäi k, nªn v ∈ V . Ng−îc l¹i, gi¶ sö v ∈ V . Chän {tk }, {v k }, tk → 0+ , v k → v, sao cho x̄ + tk v k ∈ M víi mäi k. Ta cã (x̄ + tk v) − (x̄ + tk v k ) d(x̄ + tk v, M ) = v − v k → 0. k t tk Do đó (2.3) nghiệm đúng. Suy ra v ∈ TM (x̄)..

(62) 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 56. (ii) Gi¶ sö !{wk } ⊂ TM (x̄), wk → w. Víi mçi k ∈ IN , do tÝnh chÊt (i), tån 1 vµ v k ∈ X sao cho t¹i tk ∈ 0, k v k − wk <. 1 , k. x̄ + tk v k ∈ M.. Ta cã tk → 0+ khi k → ∞, vµ v k − w v k − wk + wk − w <. 1 + wk − w → 0. k. Theo (i), từ đó ta có w ∈ TM (x̄). (iii) LÊy v ∈ TM (x̄). Chän {tk }, {v k }, tk → 0+ , v k → v, sao cho x̄ + tk v k ∈ M với mọi k. Khi đó, vk ∈. 1 (M − x̄) ⊂ cone(M − x̄) ⊂ cone(M − x̄). tk. V× v k → v, nªn ta cã v ∈ cone(M − x̄).. 2. Nãn tiÕp tuyÕn Bouligand kh«ng nhÊt thiÕt lµ nãn låi. VÝ dô 2.2.1. §Æt M = {x = (x1 , x2 ) : x2 = |x1 |} ⊂ IR2 . Víi x̄ := (0, 0), ta cã TM (0) = M = cone(M − 0). Nói chung, ta không có đẳng thức trong (2.5).. H×nh 9 VÝ dô 2.2.2. §Æt M = {x = (x1 , x2 ) : x2 = x21 } ⊂ IR2 . LÊy x̄ = (0, 0), ta cã cone(M − x̄) = {v = (v1 , v2 ) : v2 0}, TM (x̄) = {v = (v1 , 0) : v1 ∈ IR}..

(63) 2.1. Nãn tiÕp tuyÕn. 57. Dễ thấy rằng cone(M − x̄) = {v = (v1 , v2 ) : v2 > 0} ∪ {(0, 0)}. Do đó cone(M − x̄) không phải là nón đóng; xem Hình 9. Mệnh đề sau đây cho ta công thức tính nón tiếp tuyến Bouligand của tập nghiệm của hệ bất đẳng thức cho bởi các hàm khả vi Fréchet. Mệnh đề 2.2.2 (Công thức tính nón tiếp tuyến Bouligand). Giả sử gi : X → IR (i = 1, . . . , m) là các hàm số thực liên tục trên không gian định chuẩn X. §Æt M = {x ∈ X : gi (x) 0 ∀i = 1, . . . , m}. Giả sử x̄ ∈ M . Đặt I(x̄) = {i : gi (x̄) = 0} 3 . Khi đó, (i) NÕu I(x̄) = ∅, th× TM (x̄) = X; (ii) NÕu I(x̄) = ∅ vµ gi (·) (i = 1, . . . , m) lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i x̄, th× TM (x̄) ⊂ {v ∈ X : gi (x̄)(v) 0 ∀i ∈ I(x̄)}; (iii) NÕu I(x̄) = ∅, gi (·) (i = 1, . . . , m) kh¶ vi FrÐchet t¹i x̄, vµ ®iÒu kiÖn chÝnh quy 4 sau ®−îc tháa m·n (2.6). ∃v 0 ∈ X để gi (x̄)(v 0 ) < 0 ∀i ∈ I(x̄). th× (2.7). TM (x̄) = {v ∈ X : gi (x̄)(v) 0 ∀i ∈ I(x̄)}.. Chứng minh. (i) Giả sử rằng I(x̄) = ∅. Khi đó, gi (x̄) < 0 với mọi i = 1, . . . , m. Do c¸c hµm sè gi (·) lµ liªn tôc, tån t¹i δ > 0 sao cho gi (x) < 0. ∀i = 1, . . . , m, ∀x ∈ B̄(x̄, δ).. Từ đó suy ra B̄(x̄, δ) ⊂ M . Vì vậy, TM (x̄) = X. (ii) Gi¶ sö r»ng I(x̄) = ∅ vµ gi (·) (i = 1, . . . , m) lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i x̄. Lấy tùy ý v ∈ TM (x̄). Do Mệnh đề 2.2.1(i), ta chọn đ−ợc {tk }, tk → 0+ , {v k }, v k → v, sao cho x̄ + tk v k ∈ M víi mäi k ∈ IN . Víi mçi i ∈ I(x̄), ta cã 1 (gi (x̄ + tk v k ) − gi (x̄)) 0. tk Lấy giới hạn khi k → ∞, từ bất đẳng thức cuối ta thu đ−ợc gi (x̄)(v) 0. Đó lµ ®iÒu ph¶i chøng minh. I(x̄) ®−îc gäi lµ tËp chØ sè ho¹t (the active index set) øng víi ®iÓm x̄ ∈ M . §iÒu kiÖn chÝnh quy (regularity condition) kiÓu nµy cßn ®−îc gäi lµ ®iÒu kiÖn chuÈn hãa rµng buộc (constraint qualification), nếu nh− M đóng vai trò tập ràng buộc trong một bài toán tối −u. 3 4.

(64) 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 58. (iii) Gi¶ sö r»ng I(x̄) = ∅, gi (·) (i = 1, . . . , m) kh¶ vi FrÐchet t¹i x̄, vµ tån tại v0 ∈ X thỏa các bất đẳng thức chặt trong (2.6). Lấy tùy ý một phần tử v thuéc tËp hîp viÕt ë vÕ ph¶i cña (2.7). Ta ph¶i chøng minh r»ng v ∈ TM (x̄). Lấy à ∈ (0, 1) và đặt và = (1 − à)v + àv 0 . Khi đó, gi (x̄)(v) 0 ∀i ∈ I(x̄) vµ gi (x̄)(vµ ) = (1 − µ)gi (x̄)(v) + µgi (x̄)(v 0 ) < 0 ∀µ ∈ (0, 1).. (2.8). (Bất đẳng thức cuối nghiệm đúng bởi vì gi (x̄)(v) = 0 và gi (x̄)(v 0 ) < 0.) Ta có vµ ∈ TM (x̄) ∀µ ∈ (0, 1). ThËt vËy, víi mäi i ∈ I(x̄), v× gi (·) kh¶ vi FrÐchet t¹i x̄ nªn gi (x̄ + tvµ ) − gi (x̄) = tgi (x̄)(vµ ) + o(t), víi lim. t→0+. o(t) = 0. Từ đó suy ra t o(t) 1 (gi (x̄ + tvµ ) − gi (x̄)) = gi (x̄)(vµ ) + . t t. Do vậy, l−u ý đến (2.8), ta chọn đ−ợc δi > 0 sao cho gi (x̄ + tvµ ) − gi (x̄) 0. ∀t ∈ (0, δi ).. Do gi (x̄) = 0 víi mäi i ∈ I(x̄), nªn víi δ := min{δi : i ∈ I(x̄)} ta cã gi (x̄ + tvµ ) 0 ∀t ∈ (0, δ), ∀i ∈ I(x̄). / I(x̄), b»ng c¸ch lÊy δ > 0 bÐ h¬n (nÕu cÇn) ta sÏ cã V× gi (x̄) < 0 víi mäi i ∈ gi (x̄ + tvµ ) 0 ∀t ∈ (0, δ), ∀i = 1, . . . , m. Do vËy, x̄ + tvµ ∈ M. ∀t ∈ (0, δ).. Từ đó suy ra và ∈ TM (x̄). Cho à → 0+ và sử dụng tính đóng của hình nón TM (x̄), ta cã v ∈ TM (x̄). 2 Bài tập 2.2.1. Sử dụng Mệnh đề 2.2.1(iii) để tính nón T M (x̄) với M := {x = (x1 , x2 ) : x1 + x2 2, x2 x31 } ⊂ IR2 vµ x̄ = (1, 1). (KÕt qu¶: T M (x̄) = {v = (v1 , v2 ) : v1 + v2 0, v2 3v1 }; xem H×nh 10.).

(65) 2.1. Nãn tiÕp tuyÕn. 59. Bài tập 2.2.2. Hãy xây dựng một ví dụ đơn giản để chứng tỏ rằng đẳng thức (2.7) có thể không đúng nếu nh− I(x̄) = ∅, g i (ã) (i = 1, . . . , m) khả vi FrÐchet t¹i x̄, nh−ng ®iÒu kiÖn chÝnh quy (2.6) kh«ng ®−îc tháa m·n t¹i x̄. Bài tập 2.2.3. Chứng minh các khẳng định sau: (a) NÕu M1 ⊂ M2 vµ x̄ ∈ M1 , th× TM1 (x̄) ⊂ TM2 (x̄). (b) NÕu M1 ⊂ X, M2 ⊂ X, x̄ ∈ M1 ∩ M2 , th× TM1 ∩M2 (x̄) ⊂ TM1 (x̄) ∩ TM2 (x̄). Bµi tËp 2.2.4. B»ng mét vÝ dô thÝch hîp, h·y chøng tá r»ng chøng tá r»ng bao hàm thức trong khẳng định (b) ở bài tập trên có thể là một bao hàm thøc chÆt (tËp hîp bªn vÕ tr¸i lµ tËp con thùc sù cña tËp hîp bªn vÕ ph¶i).. H×nh 10 Nhận xét 2.2.2. Trên cơ sở Mệnh đề 2.2.2, ta có thể đặt vấn đề xây dựng công thức tính hình nón tiếp tuyến Bouligand cho một tập hợp có cấu trúc xác định, ví dụ nh− tập nghiệm của một hệ hỗn hợp các đẳng thức và bất đẳng thức, hoặc tập nghiệm của một bài toán nào đó. Nói chung, đó là một vấn đề nan giải5 . Chúng ta sẽ còn trở lại chủ đề này sau khi tìm hiểu các khái niệm nón tiếp tuyến trung gian vµ nãn tiÕp tuyÕn Clarke. 5. Mới đây, Nguyễn Huy Chiêu đã thu đ−ợc một kết quả thú vị về nón tiếp tuyến Bouligand cña c¸c tËp hîp trong IR2 cã thÓ biÓu diÔn ®−îc d−íi d¹ng tÝch cña hai tËp d·y (sequencial sets) trong IR; xem Chiªu (2006b)..

(66) 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 60. Nãn tiÕp tuyÕn trung gian vµ nãn tiÕp tuyÕn Clarke: Định nghĩa 2.2.2. Cho X là không gian định chuẩn. Nón tiếp tuyến trung b (x̄), lµ tËp gian 6 hay nãn kÒ 7 cña tËp M ⊂ X t¹i x̄ ∈ M , ®−îc ký hiÖu bëi TM hîp nh÷ng vÐct¬ v ∈ X tháa m·n ®iÒu kiÖn (2.9). lim. t→0+. d(x̄ + tv, M ) = 0. t. §iÒu kiÖn (2.9) cã nghÜa lµ ∀ε > 0 ∃δ > 0 sao cho. d(x̄ + tv, M ) ε ∀t ∈ (0, δ). t. Định nghĩa 2.2.3. Cho X là không gian định chuẩn. Nón tiếp tuyến Clarke8 hay nãn tiÕp tuyÕn lµm trßn 9 cña tËp M ⊂ X t¹i x̄ ∈ M , ®−îc ký hiÖu 10 bëi CM (x̄), lµ tËp hîp nh÷ng vÐct¬ v ∈ X tháa m·n ®iÒu kiÖn d(x + tv, M ) = 0. M t t→0+ ,x−→x̄. (2.10). lim. M. ë ®©y x −→ x̄ ký hiÖu giíi h¹n trong M ∪ {x̄}. §iÒu kiÖn (2.10) cã nghÜa lµ ∀ε > 0 ∃δ > 0 sao cho. d(x + tv, M ) ε t. ∀t ∈ (0, δ) ∀x ∈ M ∩ B(x̄, δ).. Mệnh đề 2.2.3. Ta có: b (x̄) ⊂ T (x̄) ⊂ cone(M − x̄); (i) CM (x̄) ⊂ TM M. (ii) b (x̄) = {v ∈ X TM. : ∀{tk } ⊂ IR+ \ {0}, tk → 0, ∃{v k }, v k → v, x̄ + tk v k ∈ M ∀k ∈ IN };. (iii) CM (x̄) = {v ∈ X : ∀{tk } ⊂ IR+ \ {0}, tk → 0, ∀{xk } ⊂ M, xk → x̄, ∃{v k }, v k → v, xk + tk v k ∈ M ∀k ∈ IN }; 6. TNTA: the intermediate tangent cone. TNTA: the adjacent cone. 8 TNTA: the Clarke tangent cone. 9 TNTA: the circatangent cone. 10 Chữ C trong ký hiệu CM (x̄) đ−ợc Aubin và Frankowska (1990) sử dụng để vinh danh F. H. Clarke, nhµ to¸n häc ng−êi Cana®a, mét trong sè nh÷ng ng−êi ®i tiªn phong trong viÖc x©y dùng gi¶i tÝch kh«ng tr¬n. Clarke sinh n¨m 1948 ë Montreal. ¤ng viÕt luËn ¸n TiÕn sÜ ë University of Washington d−íi sù h−íng dÉn cña R. T. Rockafellar, nhµ to¸n häc næi tiÕng ng−êi Mü. 7.

(67) 2.1. Nãn tiÕp tuyÕn. 61. b (x̄) là nón đóng; (iv) TM. (v) CM (x̄) là nón lồi, đóng; b (x̄) ⊂ T b (x̄); (vi) CM (x̄) + TM M. (vii) CM (x̄) + TM (x̄) ⊂ TM (x̄). Chøng minh. C¸c tÝnh chÊt (i)-(iv) cã thÓ chøng minh t−¬ng tù nh− c¸c tÝnh chất (i) và (ii) trong Mệnh đề 2.2.1. Đó là một bài tập không khó, nh−ng bổ ích, đ−ợc dành cho bạn đọc. (v) Ta cÇn chøng tá r»ng v1 + v 2 ∈ CM (x̄) víi mäi v1 , v 2 ∈ CM (x̄). Gi¶ sö r»ng v1 , v 2 ∈ CM (x̄). Gi¶ sö {tk } ⊂ IR+ \ {0} vµ {xk } ⊂ M lµ c¸c d·y tháa m·n tk → 0, xk → x̄. Do v1 ∈ CM (x̄) vµ do (iii), tån t¹i {v1,k }, v 1,k → v 1 , sao cho x "k := xk + tk v 1,k ∈ M ∀k. HiÓn nhiªn x "k → x̄. V× v 2 ∈ CM (x̄), tån t¹i {v2,k }, v 2,k → v 2 , x "k + tk v 2,k ∈ M Ta cã. ∀k.. "k + tk v 2,k ∈ M xk + tk (v 1,k + v 2,k ) = x. ∀k.. + → + ta kÕt luËn r»ng + ∈ CM (x̄). 1 b (x̄). Gi¶ sö r»ng {tk } ⊂ IR \ {0}, (vi) Cho tïy ý v ∈ CM (x̄) vµ v 2 ∈ TM + k 2 b t → 0. Do (ii) vµ do v ∈ TM (x̄), tån t¹i {v2,k }, v 2,k → v 2 , sao cho Do. v1,k. v 2,k. v1. v2 ,. v1. v2. x "k := x̄ + tk v 2,k ∈ M. ∀k.. M. Do x "k −→ x̄ vµ do v1 ∈ CM (x̄), tån t¹i {v1,k }, v 1,k → v 1 , sao cho x "k + tk v 1,k ∈ M Ta cã. ∀k.. "k + tk v 1,k ∈ M x̄ + tk (v 1,k + v 2,k ) = x. b (x̄). v 1,k → v 1 vµ v 2,k → v 2 . VËy v1 + v 2 ∈ TM (vii) Chøng minh t−¬ng tù nh− (vi). 2 b (x̄) = T (x̄)). §Æt VÝ dô 2.2.3 (TM M 1 : i = 1, 2, . . . ⊂ IR. M= 2i. Víi x̄ := 0 ∈ M , ta cã TM (x̄) = IR+ ,. b TM (x̄) = {0}.. ∀k,.

(68) 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 62. 1 Tr−íc hÕt, ta sÏ chøng tá r»ng v = 1 ∈ TM (x̄). §Æt tk = k , v k = v víi mäi 2 k ∈ IN . V× 1 x̄ + tk v k = k ∈ M ∀k, 2 nªn v ∈ TM (x̄). Suy ra IR+ ⊂ TM (x̄) ⊂ cone(M − x̄) = IR+ . b (x̄) ⊂ T (x̄) = IR . NÕu ta Vậy TM (x̄) = IR+ . Do Mệnh đề 2.2.3(i), TM M + b b chøng minh ®−îc r»ng v = 1 ∈ / TM (x̄), th× TM (x̄) = {0}. Gi¶ sö ph¶n chøng: b (x̄). Khi đó v = 1 ∈ TM. (2.11). lim. t→0+. d(x̄ + tv, M ) = 0. t. LÊy 1 t = 2 k. 1 1 + k+1 k 2 2. ! (k = 1, 2, . . .).. Do (2.11), (2.12). d(x̄ + tk v, M ) = 0. k→∞ tk lim. # #1 # #2. # ! 1 1 1 ## + k+1 − k+1 # d(tk , M ) d(x̄ + tk v, M ) 2k 2 2 ! = = k k 1 1 1 t t + k+1 k 2 2 2 1 1 2k+1 = , = 1 1 3 + k+1 2k 2 b (x̄). nªn (2.12) lµ sai. VËy ta ph¶i cã v = 1 ∈ / TM V×. b (x̄) = C (x̄)). LÊy x̄ = (0, 0) ∈ IR2 vµ VÝ dô 2.2.4 (TM M. M = {x = (x1 , x2 ) : x1 0, x2 = 0} ∪ {x = (x1 , x2 ) : x1 = 0, x2 0}. Ta cã. b (x̄) = TM (x̄) = M, TM. CM (x̄) = {0}.. b (x̄) = T (x̄) = M lµ hiÓn nhiªn. V× C (x̄) ⊂ Thật vậy, các đẳng thức TM M M b TM (x̄), nên để chứng minh rằng CM (x̄) = {0} ta chỉ cần chứng tỏ rằng v1 := / CM (x̄). NÕu v1 ∈ CM (x̄), th× (1, 0) ∈ / CM (x̄) vµ v 2 := (0, 1) ∈. (2.13). d(x + tv 1 , M ) = 0. M t t→0+ , x−→x̄ lim.

(69) 2.1. Nãn tiÕp tuyÕn. 63 M. LÊy tk = 1/k, xk = (0, 1/k) (k = 1, 2, . . .). V× tk → 0+ vµ xk −→ x̄, nªn tõ (2.13) ta suy ra d(xk + tk v 1 , M ) lim = 0. k→∞ tk §¼ng thøc nµy kh«ng thÓ x¶y ra, bëi v× d((0, k1 ) + k1 (1, 0), M ) d(xk + tk v 1 , M ) = 1 k k 1t 1 1 d k, k ,M k = = 1 1 =1 k. k. / CM (x̄). Do tính đối xứng, ta cũng có v2 ∈ / CM (x̄). víi mäi k ∈ IN . VËy v1 ∈ TËp m−ît, tËp cã tÝnh chÊt kh¶ vi, tËp chÝnh quy tiÕp tuyÕn: §Þnh nghÜa 2.2.4. 1. Ta nãi M lµ m−ît 11 t¹i x̄ ∈ M nÕu ¸nh x¹ ®a trÞ TM (·) : X ⇒ X, / M. x → TM (x), là nửa liên tục d−ới tại x̄. (Ta đặt TM (x) = ∅ với mọi x ∈ Khi đó, dom TM (ã) = M .) b (x̄) = T (x̄). 2. Ta nãi M lµ cã tÝnh chÊt kh¶ vi 12 t¹i x̄ ∈ M nÕu TM M 3. Ta nãi M lµ chÝnh quy tiÕp tuyÕn 13 t¹i x̄ ∈ M nÕu CM (x̄) = TM (x̄). 4. Ta nãi M lµ tËp m−ît (t−¬ng øng, tËp cã tÝnh chÊt kh¶ vi, tËp chÝnh quy tiÕp tuyÕn) nÕu M lµ m−ît (t−¬ng øng, cã tÝnh chÊt kh¶ vi, chÝnh quy tiÕp tuyÕn) t¹i mçi ®iÓm thuéc M . Ta sÏ quay l¹i víi c¸c kh¸i niÖm nãi trong §Þnh nghÜa 2.2.4 sau khi chøng tá r»ng nãn tiÕp tuyÕn Bouligand (nãn tiÕp tuyÕn trung gian, nãn tiÕp tuyÕn Clarke) cã thÓ biÓu diÔn nh− giíi h¹n PainlevÐ-Kuratowski cña mét hä tËp hîp. Nãn tiÕp tuyÕn vµ giíi h¹n PainlevÐ-Kuratowski cña hä tËp hîp: §Þnh nghÜa 2.2.5 (Giíi h¹n theo PainlevÐ-Kuratowski). Cho {Ωµ }µ∈M lµ hä tËp hîp phô thuéc vµo tham sè µ ∈ M , M lµ kh«ng gian mªtric, Ωµ ⊂ X víi mọi à, X là không gian định chuẩn. Giả sử à̄ ∈ M . Tập hợp (2.14). Lim sup Ωµ := {x ∈ X : lim inf d(x, Ωµ ) = 0} µ→µ̄. µ→µ̄. ®−îc gäi lµ giíi h¹n trªn theo PainlevÐ-Kuratowski cña hä {Ωµ }µ∈M khi µ → µ̄. TËp hîp (2.15) 11. Lim inf Ωµ := {x ∈ X : lim d(x, Ωµ ) = 0} µ→µ̄. TNTA: sleek. 12 TNTA: derivable. 13 TNTA: tangentially regular.. µ→µ̄.

(70) 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 64. ®−îc gäi lµ giíi h¹n d−íi theo PainlevÐ-Kuratowski cña hä {Ωµ }µ∈M khi µ → µ̄. Do (2.14), x ∈ Lim sup Ωµ ⇔ µ→µ̄. ! ∃{µk }k∈IN ⊂ M, µk → µ̄, lim d(x, Ωµk ) = 0 . k→∞. Do (2.15), x ∈ Lim inf Ωµ ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : d(x, Ωµ ) < ε ∀µ ∈ B̄(µ̄, δ) . µ→µ̄. Nãi c¸ch kh¸c, x ∈ Lim inf Ωµ ⇔ µ→µ̄. k. ∀{µ }k∈IN. ! ⊂ M, µ → µ̄, lim d(x, Ωµk ) = 0 . k. k→∞. Nhận xét 2.2.3. Từ định nghĩa suy ra Lim inf Ωà ⊂ Lim sup Ωà . µ→µ̄. µ→µ̄. Bµi tËp 2.2.5. Chøng minh r»ng Lim sup Ωµ vµ Lim inf Ωµ lµ nh÷ng tËp µ→µ̄. µ→µ̄. đóng trong X. (Chứng minh: Giả sử rằng {xj } ⊂ Lim sup Ωµ , µ→µ̄. xj → x̄.. Víi mçi k ∈ IN , lÊy j(k) ∈ IN sao cho xj(k) − x̄ <. 1 . k. V× xj(k) ∈ Lim sup Ωµ , nªn tån t¹i µk ∈ M sao cho µ→µ̄. d(µk , µ̄) <. 1 , k. d(xj(k) , Ωµk ) <. 1 . k. Do đó ta chọn đ−ợc y k ∈ Ωàk thỏa mãn điều kiện x j(k) − y k < k1 . Với các dãy {xj(k) }, {àk } và {y k } đó, ta có àk → à̄, xj(k) → x̄ (khi k → ∞), vµ víi mçi k: d(x̄, Ωµk ) x̄ − y k . x̄ − xj(k) + xj(k) − y k 1 2 1 < + = . k k k. Vậy lim d(x̄, Ωàk ) = 0. Do đó x̄ ∈ Lim sup Ωà . Để chứng minh k→∞. µ→µ̄. Lim inf Ωà là đóng, ta giả sử phản chứng rằng Lim inf Ωà không đóng. µ→µ̄. µ→µ̄. / Lim inf Ωµ . VËy tån t¹i Khi đó tồn tại {xj } ⊂ Lim inf Ωà , xj → x̄, x̄ ∈ µ→µ̄. ε > 0 vµ {µk }, µk → µ̄ sao cho (2.16) d x̄, Ωµk ε ∀k ∈ IN.. µ→µ̄.

(71) 2.1. Nãn tiÕp tuyÕn. 65. Do xj → x̄, tån t¹i j ∈ IN sao cho xj − x̄ < 4ε . Do lim d(xj , Ωµ ) = 0 vµ do µk → µ̄, tån t¹i k ∈ IN tháa ®iÒu kiÖn d(xj , Ωµk ) < Ta cã. µ→µ̄. ε . 4. d(x̄, Ωµk ) x̄ − xj + d(xj , Ωµk ) <. ε ε ε + = , 4 4 2. m©u thuÉn víi (2.16).) Bài tập 2.2.6. Cho M ⊂ X là tập con trong không gian định chuẩn, x̄ ∈ M . Chøng minh r»ng (a) TM (x̄) = Lim sup t→0+. M − x̄ , t. M − x̄ , t M −x . (c) CM (x̄) = Lim inf M t + t→0 , x−→x̄. b (b) TM (x̄) = Lim inf + t→0. (Chứng minh: (a) Theo định nghĩa, v ∈ T M (x̄) khi và chỉ khi lim inf t→0+. d(x̄ + tv, M ) = 0; t. tøc lµ tån t¹i {tk } ⊂ IR+ \ {0}, tk → 0, {v k } ⊂ X, v k → v sao cho x̄ + tk v k ∈ M víi mäi k ∈ IN . Râ rµng lµ x̄ + t k v k ∈ M khi vµ chØ M − x̄ . VËy v ∈ TM (x̄) khi vµ chØ khi tån t¹i {t k } ⊂ IR+ \ khi v k ∈ tk M − x̄ M − x̄ . {0}, tk → 0, sao cho lim d(v, ) = 0; tøc lµ v ∈ Lim sup k→∞ tk t t→0+ Các khẳng định (b) và (c) đ−ợc chứng minh hoàn toàn t−ơng tự.). Quan hÖ gi÷a tËp m−ît vµ tËp chÝnh quy tiÕp tuyÕn: §Þnh lý sau chøng tá r»ng, d−íi nh÷ng ®iÒu kiÖn kh¸ tæng qu¸t, mét tËp m−ît ph¶i lµ tËp chÝnh quy tiÕp tuyÕn. §Þnh lý 2.2.1 (xem Aubin vµ Frankowska (1990)). Cho X lµ kh«ng gian Banach, M ⊂ X là tập con đóng. Nếu M là m−ợt tại x̄ ∈ M (tức là ánh xạ đa trị x → TM (x) lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x̄) th× M lµ chÝnh quy tiÕp tuyÕn t¹i x̄ (tøc lµ CM (x̄) = TM (x̄)). Tập hợp M = 21i : i = 1, 2, . . . ⊂ IR xét trong Ví dụ 2.2.4 là tập đóng, kh«ng lµ chÝnh quy tiÕp tuyÕn t¹i x̄ = (0, 0). Theo §Þnh lý 2.2.1, M kh«ng thÓ lµ m−ît t¹i x̄..

(72) 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 66. Quan hÖ gi÷a hä nãn Bouligand {TM (x)}x∈M vµ nãn tiÕp tuyÕn Clarke CM (x̄): §Þnh lý sau cho thÊy r»ng giíi h¹n d−íi theo PainlevÐ-Kuratowski cña hä nãn tiÕp tuyÕn Bouligand {TM (x)}x∈M (khi x → x̄) lµ mét bé phËn cña nãn tiÕp tuyÕn Clarke CM (x̄). §Þnh lý 2.2.2 (B. Cornet 1981, J. S. Treiman 1983; xem Aubin vµ Frankowska (1990)). Cho X là không gian Banach, M ⊂ X là tập con đóng. Khi đó, với mäi x̄ ∈ M , Lim inf TM (x) ⊂ CM (x̄). M. x−→x̄. Khi X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, thì bao hàm thức cuối trở thành đẳng thức. Cụ thể hơn, ta có định lý sau. §Þnh lý 2.2.3 (B. Cornet 1981, J. S. Treiman 1983; xem Aubin vµ Frankowska (1990)). Cho X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, M ⊂ X là tập con đóng. Khi đó, với mọi x̄ ∈ M , Lim inf TM (x) = Lim inf co(TM (x)) = CM (x̄). M. x−→x̄. M. x−→x̄. Bạn đọc có thể tìm hiểu chứng minh của hai định lý trên trong cuốn chuyên kh¶o cña Aubin vµ Frankowska (1990), tr. 128-138. b (x̄) vµ C (x̄) lµ trïng nhau nÕu M lµ tËp låi hoÆc C¸c h×nh nãn TM (x̄), TM M M là tập nghiệm của hệ bất đẳng thức/đẳng thức cho bởi các hàm trơn thỏa mãn một điều kiện chính quy nào đó.. Mệnh đề 2.2.4. Nếu M là tập lồi trong gian định chuẩn X và x̄ ∈ M , thì (2.17). b (x̄) = TM (x̄) = cone(M − x̄). CM (x̄) = TM. Chứng minh. Ta đã chứng minh rằng b (x̄) ⊂ TM (x̄) ⊂ cone(M − x̄). CM (x̄) ⊂ TM. Vậy để thu đ−ợc (2.17) ta chỉ cần chứng tỏ rằng cone(M − x̄) ⊂ CM (x̄). Vì CM (x̄) là tập đóng, nên chỉ cần chứng minh rằng cone(M − x̄) ⊂ CM (x̄)..

(73) 2.1. Nãn tiÕp tuyÕn. 67. x − x̄ . t M Gi¶ sö xk −→ x̄, tk → 0+ . Chän k̄ ∈ IN sao cho tk ∈ (0, t) víi mäi k k̄. §Æt 0 nÕu k < k̄ v k = x − xk nÕu k k̄. t x − x̄ = v khi k → ∞. NÕu k < k̄, th× xk + tk v k = xk ∈ M . NÕu Ta cã vk → t k k k̄ th× tt ∈ (0, 1) vµ ta cã ! k tk tk k k k k kx − x = 1− xk + x ∈ M x +t v =x +t t t t Lấy tùy ý v ∈ cone(M − x̄), và lấy t > 0, x ∈ M để có biểu diễn v =. (do M là tập lồi). Theo Mệnh đề 2.2.3, điều đó chứng tỏ rằng v ∈ CM (x̄).. 2. Từ mệnh đề vừa đ−ợc chứng minh suy ra rằng tập lồi trong không gian định chuÈn lµ chÝnh quy tiÕp tuyÕn. Định lý 2.2.1 nói rằng nếu một tập con đóng trong không gian Banach là tËp m−ît, th× nã lµ tËp chÝnh quy tiÕp tuyÕn. Nh− vËy tÝnh m−ît (sleekness) nãi chung mạnh hơn tính chính quy tiếp tuyến (tangential regularity). Mệnh đề tiếp sau đây cho thấy rằng đối với các tập lồi đóng trong không gian Banach thì hai tính chất đó là t−ơng đ−ơng. Mệnh đề 2.2.5. Mọi tập con lồi đóng trong không gian Banach đều là tập m−ợt. Chứng minh. Ta có thể chứng minh mệnh đề này bằng cách sử dụng Định lý tách các tập lồi. Giả sử M là tập lồi đóng trong không gian Banach X. ánh x¹ ®a trÞ nãn ph¸p tuyÕn NM (·) : X ⇒ X ∗. (x → NM (x) ∀x ∈ X),. ở đó X đ−ợc xét với tôpô của chuẩn và X∗ đ−ợc xét với tôpô yếu∗ , là đóng. ThËt vËy, gi¶ sö {pα } vµ {xα } lµ c¸c d·y suy réng sao cho pα ∈ NM (xα ) víi w∗. mäi α, xα → x̄, vµ pα −→ p̄. Ta sÏ chØ ra r»ng p̄ ∈ NM (x̄). Do NM (x) = ∅ víi mäi x ∈ / M , nªn ta cã thÓ gi¶ sö r»ng xα ∈ M víi mäi α. Víi mäi y ∈ M vµ víi mäi α, ta cã 0 pα , y − xα = pα , y − x̄ + pα , x̄ − xα . w∗. LÊy giíi h¹n theo α (l−u ý r»ng v× pα −→ p̄, nªn {pα } lµ d·y giíi néi), ta ®−îc 0 p̄, y − x̄. Vì bất đẳng thức cuối đúng với mọi y ∈ M , nên p̄ ∈ NM (x̄). Tính đóng của ánh xạ nón pháp tuyến đã đ−ợc chứng minh..

(74) 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 68. Lấy x̄ ∈ M . Ta khẳng định rằng ánh xạ đa trị nón tiếp tuyến TM (·) : X ⇒ X là nửa liên tục d−ới tại x̄. (Ta có dom TM (ã) = M .) Nếu khẳng định đó là sai, M. th× tån t¹i v̄ ∈ TM (x̄), ε > 0 vµ d·y {xk } sao cho xk −→ x̄ sao cho víi mçi k ∈ IN ta cã TM (xk ) ∩ B̄(v̄, ε) = ∅. Do đó, với mỗi k, sử dụng Định lý tách các tập lồi (xem Rudin (1973), Định 3.4), ta t×m ®−îc pk ∈ X ∗ , pk = 1 sao cho sup v∈TM. (xk ). pk , v . inf. pk , v.. v∈B̄(v̄,ε). Vì TM (xk ) là hình nón, điều đó kéo theo sup. pk , v 0,. v∈TM (xk ). tøc lµ pk ∈ NM (xk ). V× 0 ∈ TM (xk ), nªn tõ nh÷ng ®iÒu nãi trªn ta cã 0. inf. pk , v = pk , v̄ − εpk . v∈B̄(v̄,ε). = pk , v̄ − ε.. Do hình cầu đơn vị trong X∗ là compắc yếu∗ (theo Định lý Banach-Alaoglu), d·y {pk } cã d·y con héi tô theo t«p« yÕu∗ . Kh«ng gi¶m tæng qu¸t, ta cã thÓ gi¶ w∗. sử rằng pα −→ p̄. Do pk ∈ NM (xk ) với mọi k và do xk → x̄, từ tính đóng của ¸nh x¹ NM (·) suy ra p̄ ∈ NK (x̄). V× vËy p, v̄ 0. MÆt kh¸c, cho k → ∞, từ các bất đẳng thức ε pk , v̄ (k ∈ IN ), ta thu đ−ợc ε p, v̄. Ta đã đi đến m©u thuÉn. VËy ¸nh x¹ ®a trÞ TM (·) lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x̄. V× x̄ ∈ M ®−îc lÊy tïy ý, ta kÕt luËn r»ng M lµ tËp m−ît. 2 Mệnh đề 2.2.2 đã thiết lập công thức tính nón tiếp tuyến Bouligand của tập nghiệm hệ bất đẳng thức cho bởi các hàm số khả vi Fréchet. Tiếp sau đây chúng ta sÏ t×m hiÓu c«ng thøc tÝnh nãn tiÕp tuyÕn Bouligand cña tËp nghiÖm hÖ hçn hợp các bất đẳng thức và đẳng thức và cho bởi các hàm trơn (tức là các hàm sè kh¶ vi FrÐchet liªn tôc). Cho X là không gian Banach, ∆ ⊂ X là tập con đóng, Ω ⊃ ∆ là tập mở, gi : Ω → IR (i = 1, . . . , m) vµ hj : Ω → IR (j = 1, . . . , s) lµ c¸c hµm kh¶ vi FrÐchet liªn tôc. §Æt (2.18). M = {x ∈ ∆ : gi (x) 0 ∀i = 1, m, hj (x) = 0 ∀j = 1, s}..

(75) 2.1. Nãn tiÕp tuyÕn. 69. Ta có M ⊂ X là tập đóng. Với mỗi x ∈ M , ta đặt I(x) = {i : gi (x) = 0} và gọi I(x) là tập chỉ số hoạt ứng với điểm x ∈ M . Để cho gọn, ta đặt h(x) = (h1 (x), . . . , hs (x)) , ở đó dấu. . chØ phÐp chuyÓn vÞ ma trËn. Nh− vËy, h lµ ¸nh x¹ tõ Ω vµo IR s .. Mệnh đề 2.2.6 (Công thức tính nón tiếp tuyến Bouligand; xem Aubin và Frankowska (1990)). Gi¶ sö M ®−îc cho bëi (2.18). Gi¶ sö x̄ ∈ M vµ ®iÒu kiÖn chÝnh quy sau ®−îc tháa m·n: (a) h (x̄)(C∆ (x̄)) = IRs (2.19) (b) ∃v0 ∈ X để h (x̄)(v 0 ) = 0, gi (x̄)(v 0 ) < 0 ∀i ∈ I(x̄). Khi đó, v ∈ TM (x̄) khi và chỉ khi v ∈ T∆ (x̄) và gi (x̄)(v) 0 ∀i ∈ I(x̄) (2.20) hj (x̄)(v) = 0 ∀j = 1, s. Nãi mét c¸ch h×nh ¶nh, ®iÒu kiÖn (a) trong (2.19) nãi r»ng phÇn h¹n chÕ của toán tử đạo hàm h (x̄) : X → IRs trên nón CM (x̄) là tràn. Ta sẽ còn trở lại víi kiÓu ®iÒu kiÖn nµy khi xÐt kh¸i niÖm to¸n tö trµn trªn nãn trong Ch−¬ng 5. Điều kiện (b) trong (2.19) nói rằng có tồn tại véctơ v 0 nào đó trong không gian tiÕp xóc 14 cña ®a t¹p {x ∈ X : h(x) = 0} t¹i ®iÓm x̄ h−íng vµo phÇn trong cña h×nh nãn tiÕp tuyÕn Bouligand cña tËp hîp {x ∈ X : g(x) 0 ∀i = 1, . . . , m}. Mệnh đề 2.2.7 (Công thức tính nón tiếp tuyến Clarke; xem Aubin và Frankowska (1990)). Gi¶ sö M ®−îc cho bëi (2.17) víi ∆ = X. Gi¶ sö x̄ ∈ M vµ ®iÒu kiÖn chính quy (2.19) đ−ợc thỏa mãn (với CM (x̄) đ−ợc thay bởi X). Khi đó, với mọi v ∈ X, v ∈ CM (x̄) khi vµ chØ khi ®iÒu kiÖn (2.20) ®−îc tháa m·n. b (x̄) ⊂ T (x̄), ta Từ các mệnh đề 2.2.6 và 2.2.7 và tính chất CM (x̄) ⊂ TM M rút ra điều kiện đủ sau đây cho tính chính quy tiếp tuyến của tập nghiệm của (2.18) t¹i mét ®iÓm cho tr−íc.. Hệ quả 2.2.1. D−ới các giả thiết của Mệnh đề 2.2.7, ta có b (x̄) CM (x̄) = TM = TM (x̄) = {v ∈ X : gi (x̄)(v) 0 ∀i ∈ I(x̄), hj (x̄)(v) = 0 ∀j = 1, s}.. 14. Lµ tËp hîp {v ∈ X : h (x̄)(v) = 0}..

(76) 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 70. Bµi tËp 2.2.7. Cho ∆ = X. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn (a) trong (2.19) t−ơng đ−ơng với đòi hỏi “hệ véctơ h 1 (x̄), . . . , hs (x̄)} [của không gian X ∗ ] là độc lập tuyến tính”.. NhËn xÐt 2.2.4. Trong tr−êng hîp ∆ = X = IRn , ®iÒu kiÖn chÝnh quy (2.19) trë thµnh ®iÒu kiÖn chuÈn hãa rµng buéc Mangasarian-Fromovitz 15 - nãi gän lµ ®iÒu kiÖn MFCQ 16 , v× nã ®−îc ®−a ra trong bµi b¸o cña Mangasarian vµ Fromovitz (1967). Nhận xét 2.2.5. Điều kiện MFCQ và các dạng mở rộng của nó đóng vai trò hết sức quan trọng trong các nghiên cứu về tính ổn định, ổn định vi phân, và độ nhạy nghiệm của các bài toán tối −u (xem, ví dụ nh−, Gauvin và Dubeau (1981), Mordukhovich (2006a,b), Ch−¬ng 4 vµ Ch−¬ng 5 gi¸o tr×nh nµy).. H×nh 11 Ví dụ đơn giản sau đây cho thấy rằng nếu điều kiện MFCQ bị vi phạm, thì kết luận của các mệnh đề 2.2.6, 2.2.7 và Hệ quả 2.2.1 nói chung không còn đúng nữa. VÝ dô 2.2.5. §Æt ∆ = X = IR2 , m = s = 1, g1 (x) = x2 + x21 , h(x) = x2 víi mäi x = (x1 , x2 ) ∈ IR2 , vµ x̄ = (0, 0). XÐt tËp M cho bëi (2.18). Ta cã M = {x̄} vµ b (x̄) = TM (x̄) = {(0, 0)}. CM (x̄) = TM Trong khi đó, {v ∈ X : gi (x̄)(v) 0 ∀i ∈ I(x̄), hj (x̄)(v) = 0 ∀j = 1, s} = IR × {0}. 15 16. TNTA: the Mangasarian-Fromovitz Constraint Qualification. TNTA: the MFCQ condition..

(77) 2.3. §¹o hµm. 71. L−u ý rằng, đối với ví dụ đang xét, ta không thể tìm đ−ợc véctơ v 0 ∈ X = IR2 nµo tháa m·n ®iÒu kiÖn (b) trong (2.19). Bµi tËp 2.2.8. Cho ∆ = X = IR 2 , x̄ = (1, 1), vµ M = x = (x1 , x2 ) : x21 + x22 2, x2 = x31 . b TÝnh c¸c h×nh nãn tiÕp tuyÕn T M (x̄), TM (x̄) vµ CM (x̄). (KÕt qu¶: b CM (x̄) = TM (x̄) = TM (x̄) = {v = (v1 , v2 ) : v1 0, v2 = 3v1 }; xem H×nh 11 ë trang tr−íc.). 2.3 §¹o hµm Cho X, Y là các không gian định chuẩn, F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị. Định nghĩa 2.3.1 (Đạo hàm contingent, đạo hàm Bouligand). Đạo hàm contingent17 , hay đạo hàm Bouligand, DFz̄ (ã) : X ⇒ Y của F tại điểm z̄ = (x̄, ȳ) ∈ gph F là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến Bouligand Tgph F (z̄), tức là DFz̄ (u) = v ∈ Y : (u, v) ∈ Tgph F (z̄). ∀u ∈ X.. Nếu F ≡ f là ánh xạ đơn trị, thì ta viết Dfx̄ (ã) thay cho DF(x̄,f (x̄)) (ã). §Þnh nghÜa 2.3.2 (§¹o hµm kÒ). §¹o hµm kÒ Db Fz̄ (·) : X ⇒ Y cña F t¹i ®iÓm z̄ = (x̄, ȳ) ∈ gph F là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến trung b (z̄), tøc lµ gian Tgph F b (z̄) D b Fz̄ (u) = v ∈ Y : (u, v) ∈ Tgph F. ∀u ∈ X.. Nếu F ≡ f là ánh xạ đơn trị, thì ta viết Db fx̄ (ã) thay cho Db F(x̄,f (x̄)) (ã). §Þnh nghÜa 2.3.3 (§¹o hµm Clarke). §¹o hµm Clarke18 CFz̄ (·) : X ⇒ Y cña F tại điểm z̄ = (x̄, ȳ) ∈ gph F là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyÕn Clarke Cgph F (z̄), tøc lµ CFz̄ (u) = v ∈ Y : (u, v) ∈ Cgph F (z̄) 17. ∀u ∈ X.. Chúng tôi ch−a tìm đ−ợc từ thích hợp để dịch thuật ngữ này ra tiếng Việt. Trong vai trò một tính từ, chữ “contingent” có nghĩa là bất định, tùy chọn, ngẫu nhiên... Có ng−ời đã dịch “contingent derivative” thành “đạo hàm tiếp liên”. Cách dịch này có lẽ không đạt, vì trong tiếng ViÖt d−êng nh− kh«ng cã ch÷ “tiÕp liªn” (kh«ng râ nghÜa, kh«ng cã trong Tõ ®iÓn tiÕng ViÖt cña Giáo s− Hoàng Phê và các đồng tác giả). 18 Đạo hàm Clarke CFz̄ (ã) còn đ−ợc gọi là đạo hàm tiếp tuyến làm tròn19 ..

(78) 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 72. Nếu F ≡ f là ánh xạ đơn trị, thì ta viết Cfx̄ (ã) thay cho CF(x̄,f (x̄)) (ã). Ba khái niệm đạo hàm nêu trên đ−ợc xây dựng nhờ các cấu trúc hình học đó là các nón tiếp tuyến của đồ thị của ánh xạ đa trị đ−ợc xét tại một điểm cho tr−íc. Trong Ch−¬ng 4 cña gi¸o tr×nh nµy, chóng ta sÏ nghiªn cøu kh¸i niÖm đối đạo hàm, là một ánh xạ đa trị từ không gian đối ngẫu Y ∗ vào không gian đối ngẫu X ∗ , l−u giữ các thông tin đã đ−ợc mã hóa trong ngôn ngữ của các không gian đối ngẫu về tốc độ thay đổi của ánh xạ đa trị trong các không gian nền. Đối đạo hàm đ−ợc xây dựng nhờ các nón pháp tuyến của đồ thị của ánh xạ đa trị tại một điểm cho tr−ớc. Ngoài hai cách xây dựng xấp xỉ bậc nhất đó, ng−êi ta cßn cã thÓ sö dông thñ thuËt v« h−íng hãa: thay viÖc xÐt ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ Y từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y bằng viÖc xÐt hµm tùa CF (y ∗ , x) := sup{y ∗ , y : y ∈ F (x)}. (x ∈ X, y ∗ ∈ Y ∗ ).. Nếu F là ánh xạ đa trị có giá trị lồi đóng, thì họ hàm số thực CF (y ∗ , ·) : X → IR. (y ∗ ∈ Y ∗ ). đ−ợc định nghĩa nh− vậy l−u giữ đầy đủ các thông tin về F . Thật vậy, khi đó dùa vµo hä hµm sè {CF (y ∗ , ·)}y∗∈Y ∗ ta cã thÓ t×m l¹i ®−îc F b»ng c«ng thøc F (x) = {y ∈ Y : y ∗ , y CF (y ∗ , x) víi mäi y ∗ ∈ Y ∗ }. Kh¶o s¸t c¸c tÝnh chÊt vi ph©n cña hä hµm sè thùc {CF (y ∗ , ·)}y∗ ∈Y ∗ , ta cã ®−îc các thông tin về tốc độ thay đổi của F . Ph−ơng pháp này đ−ợc gọi là ph−ơng ph¸p hµm tùa. Mét sè c«ng tr×nh cña Phã Gi¸o s− Ph¹m Huy §iÓn vµ c¸c t¸c gi¶ kh¸c (xem Dien (1982, 1985), Dien vµ Sach (1989), Dien vµ Yen (1991), Thibault (1991)) vÒ ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho bµi to¸n tèi −u víi rµng buéc ®a trÞ, tËp nghiÖm cña bao hµm thøc ®a trÞ phô thuéc tham sè, c¸c tÝnh chÊt vi ph©n của hàm giá trị tối −u..., đã cho thấy tính hiệu quả của cách tiếp cận này. Khái niệm sơ đạo hàm 20 của ánh xạ đa trị do Giáo s− Phạm Hữu Sách đề xuất cũng sử dụng hàm tựa, nh−ng đó là hàm tựa của ánh xạ đạo hàm. Cụ thể hơn, sơ đạo hµm cña F : X ⇒ Y t¹i z̄ = (x̄, ȳ) ∈ gph F lµ mét ¸nh x¹ ®a trÞ T : X ⇒ Y , Lipschitz địa ph−ơng tại 0 ∈ X, sao cho với mọi ε > 0 tồn tại lân cận U của x̄ tháa m·n: ∀x ∈ U ∃y ∈ F (x) víi tÝnh chÊt y ∗ , y − ȳ − [CT (y ∗ , x − x̄) − CT (y ∗ , 0)] εx − x̄, sup y ∗ ∈B̄Y ∗. ở đó CT (y ∗ , x) ký hiệu hàm tựa của T ; xem Sach (1988a), tr. 220. Xuất phát từ khái niệm này ta có thể đ−a ra các định lý ánh xạ mở, hàm ẩn, hàm ng−ợc, định 20. TNTA: prederivative..

(79) 2.3. §¹o hµm. 73. lý về đạo hàm của hàm hợp, định lý giá trị trung bình, quy tắc nhân tử Lagrange, nguyªn lý tùa d¹ng tæng qu¸t (xem, vÝ dô nh−, Sach (1988a,b), Dien vµ Sach (1989), Yen (1987)). Nghiên cứu mới nhất mà chúng tôi đ−ợc biết về đạo hàm cña ¸nh x¹ ®a trÞ dùa trªn kh¸i niÖm hµm tùa lµ c«ng tr×nh cña Gorokhovich vµ Zabreiko 21 (2005). Dựa trên các khái niệm đạo hàm contingent và đạo hàm Clarke trong các định nghĩa 2.3.1 và 2.3.3, ng−ời ta có thể đặc tr−ng tính lồi và tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y thông qua tính đơn điệu và tính đơn điệu theo nón của các họ ánh xạ đạo hàm {DFz (ã)}z∈gph F và {CFz (ã)}z∈gph F . Các kết qu¶ theo h−íng nµy cã thÓ xem trong Sach (1996), Sach vµ Yen (1997), vµ c¸c tài liệu đ−ợc dẫn trong các bài báo đó. ở đây chúng ta chỉ nhắc lại hai khái niệm chính là tính lồi theo nón và tính đơn điệu theo nón. Cho K ⊂ Y là nón låi. Ta nãi F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi theo nãn K, nãi gän lµ K-låi, nÕu víi mäi x1 , x2 ∈ X vµ t ∈ (0, 1) ta cã (1 − t)F (x1 ) + tF (x2 ) ⊂ F ((1 − t)x1 + tx2 ) + K. (Trong tr−ờng hợp đặc biệt, khi K = {0} và F là ánh xạ có giá trị đóng, khái niệm này trùng với khái niệm ánh xạ đa trị lồi đã xét trong Ch−ơng 1.) Ta nói họ ánh xạ đạo hàm contingent {DFz (ã)}z∈gph F là đơn điệu theo nón K, hay K-đơn điệu, nếu với mọi điểm z1 = (x1 , y 1 ) và z 2 = (x2 , y 2 ) thuộc gph F ta cã $ % 0 ∈ co DF̂z 1 (x2 − x1 ) + DF̂z 2 (x1 − x2 ) , ở đó F̂ (x) = F (x) + K là ánh xạ mở rộng của F theo nón K. Tính lồi theo nón K của họ ánh xạ đạo hàm Clarke {CFz (ã)}z∈gph F đ−ợc định nghĩa hoàn toµn t−¬ng tù. Có thể sử dụng đạo hàm contingent để xây dựng các điều kiện cần cực trị trong c¸c tèi −u vÐct¬ ®a trÞ (xem D. T. Luc (1989), D. T. Luc vµ C. Malivert (1992)). Bµi tËp 2.3.1. XÐt ¸nh x¹ ®a trÞ F : IR ⇒ IR cho bëi c«ng thøc F (x) = y ∈ IR : x2 + y 2 2, y = x3 . Tính các ánh xạ đạo hàm DF z̄ (ã), D b Fz̄ (ã) và CFz̄ (ã), ở đó z̄ = (1, 1). (Gîi ý: §Ó ý r»ng gph F trïng víi tËp M trong Bµi tËp 2.2.8 vµ sö dông kÕt qu¶ tÝnh c¸c h×nh nãn tiÕp tuyÕn cña M t¹i ®iÓm x̄ = (1, 1).) 21. Gi¸o s− Petr Petrovich Zabreiko (Belarus State University, Minsk, Belarus) lµ mét chuyªn gia næi tiÕng vÒ Gi¶i tÝch hµm. GS. TSKH. NguyÔn Hång Th¸i (University of Szczecin, Ba Lan) vµ PGS. TSKH. NguyÔn V¨n Minh (§¹i häc Quèc gia Hµ Néi; University of West Georgia, Mü) lµ c¸c häc trß ViÖt Nam cña «ng..

(80) 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 74. Trong giải tích cổ điển (xem Rudin (1976)), sử dụng khái niệm đạo hàm Fréchet ng−ời ta đã xây dựng các định lý ánh xạ mở, hàm ẩn, hàm ng−ợc những kết quả đ−ợc sử dụng rộng rãi trong hình học vi phân, tôpô vi phân, lý thuyÕt ph−¬ng tr×nh vi ph©n, lý thuyÕt bËc, vµ trong nhiÒu lý thuyÕt to¸n häc khác. Hoàn toàn t−ơng tự, dựa vào các khái niệm đạo hàm vừa đ−ợc trình bày ở trên, ng−ời ta đã đ−a ra các định lý ánh xạ mở, hàm ẩn, hàm ng−ợc cho ánh xạ đa trị. ở đây chúng ta sẽ xem xét hai định lý hàm ng−ợc tiêu biểu thuộc về Aubin và Frankowska (1984). Định lý thứ nhất sử dụng giả thiết về tính mở đều của họ đạo hàm contingent. Định lý thứ hai sử dụng giả thiết về tính tràn của đạo hàm Clarke. Các định lý này đều đ−ợc chứng minh bằng nguyên lý biến ph©n Ekeland. V× c¸c chøng minh lµ kh¸ cång kÒnh, phøc t¹p, nªn sÏ kh«ng ®−îc tr×nh bµy ë ®©y. Định lý 2.3.1 (Định lý hàm ng−ợc cho ánh xạ đa trị sử dụng đạo hàm contingent; xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr. 204-205). Gi¶ sö X, Y lµ c¸c kh«ng gian Banach, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ, z̄ = (x̄, ȳ) ∈ gph F . Gi¶ sö tån t¹i c¸c h»ng sè c > 0, δ > 0 vµ α ∈ [0, 1) sao cho ∀(x, y) ∈ (gph F ) ∩ B(z̄, δ), ∀v ∈ Y, ∃u ∈ X, ∃w ∈ Y để v ∈ DF(x,y) (u) + w, u cv, w αv. Khi đó ȳ ∈ int(rge F ) và ta có F −1 là ánh xạ đa trị giả-Lipschitz tại (x̄, ȳ). Định lý 2.3.2 (Định lý hàm ng−ợc cho ánh xạ đa trị sử dụng đạo hàm Clarke; xem Aubin vµ Frankowska (1984, 1990)). Gi¶ sö X lµ kh«ng gian Banach, Y là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị đóng, z̄ = (x̄, ȳ) ∈ gph F . NÕu rge (CFz̄ ) = Y , th× ȳ ∈ int(rge F ) vµ ta cã F −1 lµ ¸nh x¹ ®a trÞ gi¶-Lipschitz t¹i (x̄, ȳ).. Bµi tËp 2.3.2.. (a) Phát biểu Định lý 2.3.1 cho tr−ờng hợp F = f là ánh xạ đơn trị khả vi FrÐchet t¹i mäi ®iÓm trong mét l©n cËn cña ®iÓm x̄ ∈ X. (b) Cho X = Y = IR, F (x) = {f (x)}, f (x) = x3 . H·y t×m tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm x̄ ∈ IR sao cho §Þnh lý 2.3.1 ¸p dông ®−îc víi z̄ := (x̄, f (x̄))..

(81) 2.3. §¹o hµm. 75. Bµi tËp 2.3.3. (a) Phát biểu Định lý 2.3.2 cho tr−ờng hợp F = f là ánh xạ đơn trị khả vi FrÐchet liªn tôc trong mét l©n cËn cña ®iÓm x̄ ∈ X. (b) Cho X = Y = IR, F (x) = {f (x)}, f (x) = x4 . H·y t×m tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm x̄ ∈ IR sao cho §Þnh lý 2.3.2 ¸p dông ®−îc víi z̄ := (x̄, f (x̄)).. Những quy tắc tính (nói đúng hơn là các −ớc l−ợng) đạo hàm của hàm hợp sau đây cho thấy mỗi loại đạo hàm của ánh xạ đa trị xét trong mục này đều có vai trò riêng: đạo hàm Clarke tham gia trong điều kiện chính quy, đạo hàm kề tham gia trong công thức tính đạo hàm contingent của hàm hợp22 . §Þnh lý 2.3.3 (§¹o hµm cña hµm hîp; xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr. 198-199). Giả sử X, Z là các không gian Banach, Y là không gian định chuẩn h÷u h¹n chiÒu, F : X ⇒ Y, G : Y ⇒ Z, ȳ ∈ F (x̄), z̄ ∈ G(ȳ). Gi¶ sö F vµ G là các ánh xạ đóng. Nếu điều kiện sau thỏa mãn rge CF(x̄,ȳ) − dom CG(ȳ,z̄) = Y th× (i) Db G(ȳ,x̄) ◦ DF(x̄,ȳ) ⊂ D(G ◦ F )(x̄,z̄) ; b ⊂ Db (G ◦ F )(x̄,z̄) ; (ii) Db G(ȳ,x̄) ◦ DF(x̄,ȳ). (iii) CG(ȳ,x̄) ◦ CF(x̄,ȳ) ⊂ C(G ◦ F )(x̄,z̄) . Bµi tËp 2.3.4. & ¸p dông §Þnh lý 2.3.3 cho tr−êng hîp X = Y = Z = IR, F (x) = { |x|}, G(y) = {z : z y 3 }, vµ x̄ = ȳ = z̄ = 0. Trong tr−êng hợp này, các bao hàm thức trong các khẳng định (i)–(iii) có trở thành các đẳng thức hay không?. Không rõ là quy tắc (i) trong Định lý 2.3.3 có còn đúng không nếu nh− ánh xạ D b G(ȳ,x̄) ở vế trái của bao hàm thức đ−ợc thay bằng ánh xạ DG(ȳ,x̄) - là ánh xạ có đồ thị lớn hơn. 22.

(82) 76. 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ.

(83) Ch−¬ng 3. TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ Hái tªn, r»ng “BiÓn-D©u-Ngµn” Hỏi quê, rằng “Xứ Mơ Màng”, đã quên (Bïi Gi¸ng). Ch−¬ng nµy tr×nh bµy kh¸i niÖm tÝch ph©n Aumann (tÝch ph©n ®a trÞ). V× l¸t cắt đo đ−ợc là cơ sở để xây dựng tích phân Aumann, nên chúng ta sẽ tìm hiểu kỹ các định lý về sự tồn tại lát cắt đo đ−ợc của ánh xạ đa trị. Ngoài ra, trong ch−¬ng cã giíi thiÖu c¸c kÕt qu¶ cña NguyÔn Huy Chiªu (2004, 2006a) vÒ tÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Clarke. C¸c kÕt qu¶ trong Chieu (2006c) vÒ tÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n Mordukhovich cña phiÕm hµm tÝch ph©n sÏ ®−îc giíi thiÖu trong môc cuèi cña ch−¬ng sau. Các định lý về lát cắt đo đ−ợc và tích phân Aumann có vai trò quan trọng trong lý thuyết bao hàm thức vi phân (ph−ơng trình vi phân đa trị). Bạn đọc có quan tâm có thể đọc về bao hàm thức vi phân trong Aubin và Frankowska (1990), Aubin vµ Cellina (1984). øng dông cña bao hµm thøc vi ph©n trong c¸c vấn đề về điều khiển tối −u đ−ợc trình bày trong Clarke (1983).. 3.1 ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, l¸t c¾t ®o ®−îc Kh¸i niÖm ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc më réng mét c¸ch tù nhiªn kh¸i niÖm ¸nh x¹ (đơn trị) đo đ−ợc trong giải tích hàm. Một kết quả quan trọng ở đây là định lý cña von Neumann nãi r»ng ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc cã gi¸ rÞ kh¸c rçng cã l¸t c¾t ®o ®−îc. 77.

(84) 3. TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 78. Trong suốt mục này, giả sử Y là một không gian mêtric đầy đủ, khả li 1 , và A là một σ-đại số các tập con của tập hợp X. Các tập thuộc A đ−ợc gọi là các tập đo đ−ợc. Tập X xét với σ-đại số A (hay cặp (X, A)) đ−ợc gọi là không gian đo đ−ợc 2 . Ký hiệu σ-đại số Borel của không gian mêtric Y bởi B - tức là B là σ-đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của Y . Nhắc lại rằng họ A đ−ợc gọi là một σ-đại số nếu nó thỏa mãn ba tính chất sau: (i) X ∈ A, (ii) X \ A thuéc A víi mäi A ∈ A, (iii) hợp của một họ tùy ý gồm một số đếm đ−ợc các tập thuộc A là một tËp thuéc A. Từ (i)-(iii) suy ra rằng ∅ ∈ A và giao của một họ tùy ý gồm một số đếm ®−îc c¸c tËp thuéc A lµ mét tËp thuéc A. Trong định nghĩa sau và trong các khẳng định ở các bài tập 3.1.1–3.1.3 ta không cần giả thiết Y là không gian mêtric đủ, khả li, mà chỉ cần giả sử Y là không gian tôpô 3 . Khi đó, B vẫn ký hiệu σ-đại số sinh ra bởi các tập mở của Y . Hiển nhiên B chứa tất cả các tập đóng của Y . Định nghĩa 3.1.1 (ánh xạ đơn trị đo đ−ợc; xem Aubin và Frankowska (1990), tr. 307, và Rudin (1987), tr. 8). ánh xạ đơn trị f : X → Y đ−ợc gọi là đo ®−îc nÕu ta cã f −1 (V ) := {x ∈ X : f (x) ∈ V } lµ tËp thuéc A víi mçi tËp më V ⊂ Y . (¶nh ng−îc cña mçi tËp më lµ tËp ®o ®−îc.) DÔ thÊy r»ng hµm sè thùc ϕ : X → IR lµ ®o ®−îc khi vµ chØ khi víi mäi α ∈ IR tËp hîp ϕ−1 ((−∞, α)) := {x ∈ X : ϕ(x) < α} lµ ®o ®−îc. Bài tập 3.1.1. Chứng minh rằng ánh xạ đơn trị f : X → Y là đo đ−ợc khi và chỉ khi với mọi tập đóng C ⊂ Y ta có f −1 (C) ∈ A. (ảnh ng−ợc của mỗi tập đóng là tập đo đ−ợc.) Bài tập 3.1.2. Chứng minh rằng ánh xạ đơn trị f : X → Y là đo đ−ợc khi vµ chØ khi ∀B ∈ B(Y ), f −1 (B) ∈ A. (¶nh ng−îc cña mçi tËp Borel lµ mét tËp ®o ®−îc.) 1. Ta nói Y là không gian khả li nếu tồn tại tập con đếm đ−ợc trù mật trong Y . TNTA: measurable space; xem Rudin (1987), tr. 8. 3 Giả thiết Y là không gian mêtric đủ, khả li chỉ cần cho các định lý về sự tồn tại lát cắt đo đ−ợc (xem các định lý 3.1.1–3.1.3). 2.

(85) 3.1. ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, l¸t c¾t ®o ®−îc. 79. Bµi tËp 3.1.3. Cho f : X → Y lµ giíi h¹n theo ®iÓm cña mét d·y ¸nh x¹ ®o ®−îc fk : X → Y (k ∈ IN ), nghÜa lµ f (x) = lim fk (x) k→∞. ∀x ∈ X.. Chøng minh r»ng f lµ ¸nh x¹ ®o ®−îc. (Gîi ý: Do Y lµ kh¶ li, tån t¹i tËp điểm {yi : i ∈ N} trù mật trong Y . Khi đó, với mỗi tập mở V ⊂ Y ta có f −1 (V ) = {x ∈ X : f (x) ∈ V } 1 1 ⊂ V, f (x) ∈ B yi , x ∈ X : B yi , = j 2j j1 i1 1 1 1 = ⊂ V, f (x) ∈ B yi , − x ∈ X : B yi , j 2j j1 i1 1 1 1 1 = − x ∈ X : B yi , ⊂ V, fk (x) ∈ B yi , .) j 2j j1 i1 1 p1 kp. ánh xạ đơn trị đ−ợc gọi là đơn giản nếu nó chỉ có một số hữu hạn giá trị. Bài tập 3.1.4. Chứng minh rằng ánh xạ đơn giản f : X → Y là đo đ−ợc khi vµ chØ khi ¶nh ng−îc cña mçi ®iÓm thuéc Y lµ mét tËp ®o ®−îc (cã thÓ rçng) thuéc X.. Định nghĩa sau đây mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị đo đ−ợc trong Định nghÜa 3.1.1. §Þnh nghÜa 3.1.2 (¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc; xem Aubin vµ Frankowska (1990), Định nghĩa 8.1.1). Giả sử F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có giá trị đóng. Ta nói F lµ ®o ®−îc nÕu víi mçi tËp më V ⊂ Y , F −1 (V ) := {x ∈ X : F (x) ∩ V = ∅} lµ tËp thuéc A. (¶nh ng−îc cña mçi tËp më lµ tËp ®o ®−îc.) Ví dụ 3.1.1. Cho X = [−1, 2] ⊂ IR, A là σ-đại số các tập con đo đ−ợc theo Lebesgue 4 cña X, Y = IR, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®−îc cho bëi c«ng thøc F (x) = {−1} nÕu x < 0, F (x) = {1} nÕu x > 0, F (0) = [−1, 1]. Ta cã F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc; xem H×nh 12. Bµi tËp 3.1.5. Sö dông §Þnh nghÜa 3.1.2, h·y chøng tá r»ng ¸nh x¹ F nãi trong vÝ dô trªn lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc. Bµi tËp 3.1.6. Cho X, A vµ Y nh− trong VÝ dô 3.1.1. H·y x©y dùng vÝ dô mét ¸nh x¹ ®a trÞ kh«ng ®o ®−îc F : X ⇒ Y . (Gîi ý: LÊy K ⊂ (0, 1) lµ mét tËp kh«ng ®o ®−îc theo Lebesgue (xem Rudin (1987), tr. 53-54) và đặt F (x) = {1} với mọi x ∈ K, F (x) = {0} với mọi x ∈ [−1, 2] \ K.) 4. Xem Rudin (1987) vµ Hoµng Tôy (2003)..

(86) 3. TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 80 Bµi tËp 3.1.7. Chøng minh r»ng:. a) NÕu F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, th× dom F ∈ A; b) NÕu F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, th× víi mäi y ∈ Y ta cã F −1 ({y}) ∈ A. (Gîi ý: H·y biÓu diÔn {y} d−íi d¹ng giao cña mét sè đếm đ−ợc các hình cầu mở.) c) Nếu F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị (không nhất thiết có giá trị đóng) thỏa m·n tÝnh chÊt F −1 (V ) ∈ A víi mäi tËp më V ⊂ Y , th× F̄ : X ⇒ Y , ë đó F̄ (x) = F (x) với mọi x ∈ X, là ánh xạ đa trị đo đ−ợc.. H×nh 12 NhËn xÐt 3.1.1. TÝnh chÊt c) trong bµi tËp trªn cho thÊy r»ng viÖc x©y dùng khái niệm ánh xạ đa trị đo đ−ợc chỉ cho các ánh xạ nhận giá trị đóng không là qu¸ cùc ®oan. Cần l−u ý rằng đối với các ánh xạ đa trị, tính đo đ−ợc theo Định nghĩa 3.1.2 (gọi là tính đo đ−ợc yếu 5 ) ch−a chắc đã t−ơng đ−ơng với tính chất “ảnh ng−ợc của mỗi tập đóng là tập đo đ−ợc” (gọi là tính đo đ−ợc mạnh6 ). Do đó, ảnh ng−ợc của mỗi tập Borel qua ánh xạ đa trị đo đ−ợc yếu ch−a chắc đã là một tập đo đ−ợc. Định lý 3.1.3 d−ới đây đ−a ra một điều kiện đủ cho sự t−ơng đ−ơng cña tÝnh ®o ®−îc yÕu vµ tÝnh ®o ®−îc m¹nh. V× kh¸i niÖm tÝch ph©n Aumann sẽ đ−ợc xây dựng đối với các đối t−ợng thỏa mãn điều kiện đủ đó nên, để cho đơn giản, ta gọi các ánh xạ đa trị thỏa mãn điều kiện “ảnh ng−ợc của mỗi tập më lµ tËp ®o ®−îc” lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc; xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr. 307–308. 5 6. TNTA: weak measurability. TNTA: strong measurability..

(87) 3.1. ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, l¸t c¾t ®o ®−îc. 81. Bµi tËp 3.1.8. Cho V ⊂ Y lµ tËp më trong kh«ng gian mªtric kh¶ li. Chứng minh rằng V biểu diễn đ−ợc d−ới dạng hợp của một số đếm đ−ợc c¸c h×nh cÇu më trong Y . (Gîi ý: Gi¶ sö Y = {y i : i ∈ IN }. Hä c¸c hình cầu {B(y i , τi ) : i ∈ IN, τi ∈ Q, τi > 0} là đếm đ−ợc. Với mỗi y ∈ V , tån t¹i ρ = ρ(y) > 0 sao cho B(y, ρ) ⊂ X. Chän i ∈ IN sao cho yi ∈ B(y, ρ/4), sau đó chọn τ i ∈ Q, τi > 0, sao cho ρ/4 < τi < ρ/2. Khi đó y ∈ B(yi , τi ) ⊂ V .). H×nh 13 Bµi tËp 3.1.9. Cho V ⊂ Y lµ tËp më trong kh«ng gian mªtric kh¶ li. Chứng minh rằng V biểu diễn đ−ợc d−ới dạng hợp của một số đếm đ−ợc các hình cầu đóng trong Y . (Gợi ý: Để ý rằng, trong các ký hiệu ở bài tËp trªn, ta còng cã y ∈ B̄(yi , τi ) ⊂ V .) Bµi tËp 3.1.10. Cho (X, A) lµ kh«ng gian ®o ®−îc, Y lµ kh«ng gian mªtric kh¶ li, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ sao cho F −1 (C) ∈ A víi mäi tập đóng C ⊂ Y . Chứng minh rằng F là ánh xạ đa trị đo đ−ợc (theo Định nghĩa 3.1.2). (Gợi ý: Cho V ⊂ Y là tập mở. Do khẳng định ở bài tập 3.1.9, ta cã thÓ biÓu diÔn V d−íi d¹ng V =. ∞ . B̄(yj , τj ). (τj > 0 víi mäi j).. j=1. Khi đó, F −1 (V ) =. ∞ . F −1 B̄(yj , τj ) .). j=1. Định nghĩa 3.1.3 (Lát cắt). ánh xạ đơn trị f : X → Y thỏa mãn điều kiện f (x) ∈ F (x) víi mäi x ∈ X ®−îc gäi lµ mét l¸t c¾t cña F . NÕu f lµ ¸nh x¹.

(88) 3. TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 82. ®o ®−îc, th× ta nãi nã lµ mét l¸t c¾t ®o ®−îc cña F . NÕu X lµ tËp con trong không gian định chuẩn và nếu f là ánh xạ liên tục hoặc Lipschitz địa ph−ơng, thì ta nói nó là một lát cắt liên tục hoặc lát cắt Lipschitz địa ph−ơng của F . §Þnh lý 3.1.1 (von Neumann, 1949). Cho (X, A) lµ kh«ng gian ®o ®−îc, Y lµ không gian mêtric đủ, khả li, và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị đo đ−ợc, có giá trị đóng, khác rỗng. Khi đó, tồn tại lát cắt đo đ−ợc f : X → Y của F . Chøng minh. Gi¶ sö Y0 = {yi : i ∈ IN } là một tập con đếm đ−ợc trù mật trong Y . Ta sẽ xây dựng dãy ánh xạ đo đ−ợc fk : X → Y. (k = 0, 1, 2, . . .). nhận giá trị trong Y0 sao cho fk hội tụ theo điểm đến một lát cắt f của F khi k → ∞. Do kết quả ở Bài tập 3.1.3, từ đó suy ra rằng f là lát cắt đo đ−ợc cần t×m. Víi mçi x ∈ X, gi¶ sö i = i(x) lµ sè tù nhiªn nhá nhÊt sao cho (1.1). F (x) ∩ B(yi , 1) = ∅.. (V× Y0 lµ trï mËt trong Y , víi mäi y ∈ Y vµ víi mäi ε > 0 tån t¹i i ∈ IN sao cho y ∈ B(yi , ε). VËy tËp hîp c¸c chØ sè i ∈ IN tháa m·n (1.1) lµ kh¸c rçng. Hiển nhiên trong tập đó có phần tử nhỏ nhất.) Ta đặt (1.2). f0 (x) = yi. ∀x ∈ X,. ở đó i = i(x). ánh xạ f0 là đo đ−ợc. Thật vậy, với mọi i ∈ IN , f0−1 (yi ) = {x ' ∈ X : F (x) ∩ B(yi , 1) = ∅} {x ∈ X : F (x) ∩ B(yj , 1) = ∅ ∀j = 1, 2, . . . , i − 1} i−1 ' −1 X\ F −1 (B(yj , 1)) = F (B(yi , 1)) j=1. lµ tËp hîp thuéc A do F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc. Víi mäi tËp më V ⊂ Y , tõ đó ta suy ra rằng f0−1 (yi ) f0−1 (V ) = i∈{j : yj ∈V }. là tập hợp thuộc A. Điều đó chứng tỏ rằng f0 là ánh xạ đo đ−ợc. Đối với f0 , do (1.1) vµ (1.2) ta cßn cã (1.3). d(f0 (x), F (x)) < 1. ∀x ∈ X..

(89) 3.1. ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, l¸t c¾t ®o ®−îc. 83. Giả sử ta đã xây dựng đ−ợc dãy hữu hạn các ánh xạ fk : X → Y. (k = 0, 1, . . . , m). nhËn gi¸ trÞ trong Y0 sao cho (1.4). d(fk (x), F (x)) < 2−k. (∀x ∈ X, ∀k ∈ {0, 1, . . . , m}). vµ (1.5). d(fk (x), fk+1 (x)) < 2−(k−1). (∀x ∈ X, ∀k ∈ {0, 1, . . . , m − 1}). Đối với m = 0, vì (1.3) nghiệm đúng nên ta có (1.4). Tính chất (1.5) đ−ợc thỏa mãn vì lúc này tập chỉ số {0, 1, . . . , m − 1} là rỗng. Với mỗi i ∈ IN , ta đặt Si = {x ∈ X : fm (x) = yi }. ∞ . Các tập {Si }i∈IN là đôi một không giao nhau, và ta có X =. Si . Do (1.4),. i=1. (1.6). F (x) ∩ B(yi , 2−m ) = ∅ ∀x ∈ Si .. Cố định điểm x ∈ X và chọn i ∈ IN sao cho x ∈ Si . Ký hiệu bởi j = j(x) số tù nhiªn nhá nhÊt sao cho (1.7). [F (x) ∩ B(yi , 2−m )] ∩ B(yj , 2−(m+1 ) = ∅.. Do (1.6), sè tù nhiªn j = j(x) nh− vËy lµ tån t¹i vµ duy nhÊt. §Æt fm+1 (x) = yj . Khi đó, lấy y là một phần tử thuộc tập hợp ở vế trái của (1.7), ta có d(fm (x), fm+1 (x)) = d(yi , yj ) d(yi , y) + d(yj , y) 2−m + 2−(m+1) < 2−(m−1) . Ngoµi ra, tõ (1.7) suy ra r»ng d(fm+1 (x), F (x)) < 2−(m+1) . Vậy ta đã xây dựng đ−ợc ánh xạ đo đ−ợc (xem Bài tập 3.1.10) fm+1 : X → Y nhËn gi¸ trÞ trong Y0 sao cho (1.4) vµ (1.5), víi m ®−îc thay bëi m + 1, nghiÖm đúng. Tõ (1.5) suy ra r»ng, víi mäi x ∈ X, d·y {fk (x)}k∈IN lµ d·y Cauchy. ThËt vËy, theo (1.5) ta cã. (1.8). d(fk+p(x), fk (x)) d(fk+p(x), fk+p−1 (x)) + d(fk+p−1(x), fk+p−2 (x)) + . . . + d(fk+1 (x), fk (x)) 2−(k+p−2) + 2−(k+p−3) + . . . + 2−(k−1) 2−k+2.

(90) 3. TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 84. với mọi k ∈ IN và p ∈ IN . Vì Y là không gian mêtric đủ, nên tồn tại giới hạn lim fk (x) ∈ Y . Ký hiệu phần tử giới hạn đó là f (x). Từ (1.8) suy ra rằng dãy k→∞. {fk } hội tụ đều đến f . Cho k = m và lấy giới hạn trong bất đẳng thức ở (1.4) khi m → ∞, ta nhËn ®−îc ∀x ∈ X.. d(f (x), F (x)) = 0. Vì F (x) là tập đóng với mọi x ∈ X, từ đó suy ra f (x) ∈ F (x) VËy f lµ l¸t c¾t ®o ®−îc cña F .. ∀x ∈ X.. 2. Bµi tËp 3.1.11. Chøng minh r»ng ¸nh x¹ f m+1 ®−îc x©y dùng trong chøng minh trªn lµ ®o ®−îc. (Gîi ý: LËp luËn t−¬ng tù nh− khi chøng minh f 0 lµ ¸nh x¹ ®o ®−îc.) Bµi tËp 3.1.12. H·y chØ ra mét vµi l¸t c¾t ®o ®−îc kh¸c nhau cña a) ¸nh x¹ ®a trÞ F trong VÝ dô 3.1.1, b) ¸nh x¹ ®a trÞ F : IR n ⇒ IRn , n 2, ®−îc cho bëi c«ng thøc F (x) = ∂ϕ(x). (x ∈ IRn ),. ở đó ∂ϕ(x) ký hiệu d−ới vi phân của hàm lồi ϕ(u) = u tại điểm x. (Ký hiệu miền xác định của F bởi X và lấy A là họ các tập con đo đ−ợc theo Lebesgue cña X.). Trong chứng minh của Định lý 3.1.1, các giả thiết sau đã đ−ợc sử dụng triệt để: (i) X lµ kh«ng gian mªtric kh¶ li, (ii) X là không gian mêtric đủ, (iii) F lµ ¸nh x¹ ®o ®−îc, (iv) F là ánh xạ có giá trị đóng, khác rỗng. C. Castaing7 đã phát hiện ra rằng nếu các điều kiện (i)–(iv) đ−ợc thỏa mãn, thì chẳng những tồn tại một lát cắt đo đ−ợc nào đó của ánh xạ đa trị F , mà còn tồn tại một họ đếm đ−ợc các lát cắt đo đ−ợc {fk }k∈IN của F sao cho (1.9). F (x) = {fk (x) : k ∈ IN }. (∀x ∈ X).. Nh− vËy, víi mçi x ∈ X, tËp gi¸ trÞ {fk (x) : k ∈ IN } cña c¸c l¸t c¾t lµ trï mật trong tập F (x). Khi tính chất (1.9) nghiệm đúng, thì ng−ời ta nói {fk } là 7. Charles Castaing lµ nhµ to¸n häc Ph¸p gèc ViÖt, gi¸o s− to¸n häc ë UniversitÐ de Montpellier II (Montpellier, Ph¸p), thµnh viªn Ban cè vÊn cña t¹p chÝ Acta Mathematica Vietnamica..

(91) 3.1. ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, l¸t c¾t ®o ®−îc. 85. họ đếm đ−ợc các lát cắt đo đ−ợc trù mật 8 ; xem Aubin và Frankowska (1990), tr. 310. Định lý sau đây vừa chỉ ra sự tồn tại họ đếm đ−ợc các lát cắt đo đ−ợc trù mật của ánh xạ đa trị đo đ−ợc, vừa khẳng định rằng tính chất đó cũng đặc tr−ng cho tÝnh ®o ®−îc cña c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ. ë ®©y còng sÏ chøng tá r»ng ta cã thÓ đặc tr−ng tính đo đ−ợc của ánh xạ đa trị thông qua tính đo đ−ợc họ hàm khoảng c¸ch x → d(y, F (x)) (y ∈ Y ). §Þnh lý 3.1.2 (C. Castaing, 1967). Cho (X, A) lµ kh«ng gian ®o ®−îc, Y lµ không gian mêtric đủ, khả li, và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng. Khi đó, các khẳng định sau là t−ơng đ−ơng: (a) F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc; (b) Tồn tại một họ đếm đ−ợc các lát cắt đo đ−ợc trù mật {fk }k∈IN của F ; (c) Víi mçi y ∈ Y , hµm sè x → d(y, F (x)) lµ ®o ®−îc. Chứng minh. (a) ⇒ (b). Giả sử Y0 = {yi : i ∈ IN } là một tập con đếm đ−ợc trï mËt trong Y . Víi mçi k ∈ IN vµ i ∈ IN ta xÐt ¸nh x¹ ®a trÞ Fi,k : X ⇒ Y cho bëi c«ng thøc F (x) ∩ B(yi , k−1 ) nÕu F (x) ∩ B(yi , k−1 ) = ∅ Fi,k (x) = F (x) trong tr−êng hîp cßn l¹i. (Ta thÊy r»ng Fi,k lµ ¸nh x¹ c¾t gän cña F . §Ó ý thªm r»ng b¸n kÝnh cña c¸c hình cầu B(yi , k−1 ) càng nhỏ khi k càng lớn.) Rõ ràng F̄i,k : X ⇒ Y , ở đó F̄i,k (x) := Fi,k (x), là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng, và F̄i,k (x) ⊂ F (x). ∀x ∈ X.. Ngoµi ra, F̄i,k lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc. ThËt vËy, gi¶ sö V ⊂ Y lµ tËp më bÊt kú cho tr−íc. V× −1 (V ) = {x ∈ X : F̄i,k (x) ∩ V = ∅} F̄i,k = {x ∈ X : Fi,k (x) ∩ V = ∅} = {x∈ X : F (x) ∩ (B(yi , k−1 ) ∩ V ) = ∅} ( (X \ {x ∈ X : F (x) ∩ B(yi , k−1 ) = ∅}) ∩{x ∈ X : F (x) ∩ V = ∅} ( (X \ F −1 (B(yi , k−1 ))) ∩ F −1 (V ) = F −1 (B(yi , k−1 ) ∩ V ) 8. TNTA: dense countable family of measurable selections..

(92) 3. TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 86. −1 vµ F lµ ®o ®−îc, nªn F̄i,k (V ) ∈ A. Điều đó chứng tỏ rằng F̄i,k là ánh xạ đa trÞ ®o ®−îc. Theo §Þnh lý 3.1.1, F̄i,k cã l¸t c¾t ®o ®−îc fi,k : X → Y . Râ rµng {fi,k }(i,k)∈IN ìIN là một họ đếm đ−ợc các lát cắt đo đ−ợc của F . Ta sẽ chứng minh r»ng. (1.10). {fi,k (x) : (i, k) ∈ IN × IN } = F (x). ∀x ∈ X.. LÊy tïy ý x ∈ X, y ∈ F (x), vµ ε > 0. §Ó thu ®−îc (1.10), ta chØ cÇn chøng minh r»ng (1.11). ∃(i, k) ∈ IN × IN sao cho fi,k (x) ∈ B(y, ε).. Chän k ∈ IN sao cho k−1 < ε/2 vµ chän i ∈ IN sao cho d(y, yi ) < k−1 . Khi đó, vì y ∈ F (x) ∩ B(yi , k−1 ), nên F (x) ∩ B(yi , k−1 ) = ∅. Do vậy, Fi,k (x) = F (x) ∩ B(yi , k−1 ). Vì fi,k (x) ∈ F̄i,k (x), từ đó ta có fi,k (x) ∈ B̄(yi , k−1 ). Vậy d(fi,k (x), y) d(fi,k (x), yi ) + d(yi , y) < k−1 + k−1 < ε, vµ ta cã (1.11). (b) ⇒ (c). Giả sử {fk }k∈IN một họ đếm đ−ợc các lát cắt đo đ−ợc trù mật cña F . LÊy tïy ý y ∈ Y . Víi mçi k ∈ IN , xÐt hµm sè x → d(y, fk (x)). Víi mäi α ∈ IR, tËp hîp Xα := {x ∈ X : d(y, fk (x)) < α} = {x ∈ X : fk (x) ∈ B(y, α)} = fi−1 (B(y, α)) thuộc A. Điều đó chứng tỏ rằng, với mỗi k ∈ IN , d(y, fk (ã)) là hàm số thực đo ®−îc. V× vËy, theo §Þnh lý 1.14 trong Rudin (1987), hµm sè x → inf d(y, fk (x)) k∈IN. lµ ®o ®−îc. Do (1.9) ta cã inf d(y, fk (x)) = d(y, F (x)).. k∈IN. Suy ra hµm sè x → d(y, F (x)) lµ ®o ®−îc. (c) ⇒ (a). Gi¶ sö r»ng víi mçi y ∈ Y hµm sè x → d(y, fk (x)) lµ ®o ®−îc. Khi đó, với mỗi α ∈ IR ta có {x ∈ X : d(y, F (x)) < α} là tập đo đ−ợc. Vì {x ∈ X : d(y, F (x)) < α} = {x ∈ X : F (x) ∩ B(y, α) = ∅} = F −1 (B(y, α)),.

(93) 3.1. ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, l¸t c¾t ®o ®−îc. 87. nªn F −1 (B(y, α)) ∈ A. Cho tr−íc mét tËp më tïy ý V ⊂ Y , sö dông kÕt qu¶ ë Bµi tËp 3.1.8 ta cho thÓ biÓu diÔn V d−íi d¹ng V =. ∞ . B(yj , τj ). (τj > 0 víi mäi j).. j=1. Khi đó, F. −1. (V ) =. ∞ . F −1 (B(yj , τj ))). j=1. lµ tËp ®o ®−îc. VËy F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc.. 2. Bài tập 3.1.13. Hãy kiểm chứng khẳng định (a) ⇒ (b) của Định lý 3.1.2 đối với các ánh xạ đa trị trong Bài tập 3.1.12. Bµi tËp 3.1.14. XÐt ¸nh x¹ ®a trÞ F trong VÝ dô 3.1.1 vµ lÊy y = −3. VÏ đồ thị của hàm số x → d(y, F (x)). Giải thích tại sao hàm số đó là đo ®−îc. Bµi tËp 3.1.15. Kh«ng sö dông §Þnh lý von Neumann, h·y ®−a ra chøng minh trực tiếp cho khẳng định (a) ⇔ (c) của Định lý 3.1.5. Chứng minh đó có cần dựa vào các giả thiết (i) X lµ kh«ng gian mªtric kh¶ li, (ii) X là không gian mêtric đủ, hay kh«ng?. Nhận xét 3.1.2. Sự tồn tại chứng minh trực tiếp khá đơn giản cho khẳng định (a) ⇔ (c) cña §Þnh lý 3.1.2 cho thÊy r»ng viÖc sö dông hµm kho¶ng c¸ch9 lµ mét kü thuËt hiÖu qu¶ gióp chøng minh sù t−¬ng ®−¬ng gi÷a (a) vµ (b). Phần cuối của mục này đ−ợc dành để chứng minh Định lý đặc tr−ng cho ánh xạ đa trị đo đ−ợc. Ngoài sự t−ơng đ−ơng (a) ⇔ (b) ⇔ (c) đã thu đ−ợc ở trên, các đặc tr−ng khác sẽ đ−ợc chứng minh d−ới giả thiết phụ (khá rắc rối!) sau đây: A là σ-đại số t−ơng ứng với một độ đo d−ơng, σ-hữu hạn à của X, và A là à-đủ. (Trong Định lý von Neumann và Định lý Castaing, A là một σ-đại sè tïy ý cña X.) Định nghĩa 3.1.4 (Độ đo; không gian có độ đo; độ đo đủ; độ đo σ-hữu hạn). 9. Hàm khoảng cách chính là một dạng hàm giá trị tối −u (hàm marginal) đóng vai trò quan trọng trong một số chứng minh và cấu trúc toán học. Cho đến nay, các tính chất vi phân của hàm khoảng cách vẫn là đối t−ợng đ−ợc ng−ời ta quan tâm nghiên cứu; xem Mordukhovich và Nam (2005b, 2006) và các tài liệu đ−ợc trích dẫn trong đó..

(94) 3. TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 88. 1. ánh xạ à : A → [0, +∞] đ−ợc gọi là một độ đo d−ơng trên σ-đại số A nếu với mọi họ đếm đ−ợc các tập đôi một không giao nhau {Ak }k∈IN , ở đó Ak ∈ A víi mäi k ∈ IN , ta cã Ak = µ(Ak ). µ k∈IN. k∈IN. 2. Tập X với σ-đại số A và độ đo d−ơng à trên A (hay bộ ba (X, A, à)) đ−ợc gọi là không gian có độ đo 10 . 3. Ta nói à là σ−hữu hạn nếu X là hợp của một họ đếm đ−ợc các tập có độ đo hữu hạn. 4. NÕu víi mäi A ∈ A tháa m·n µ(A) = 0 vµ víi mäi A ⊂ A ta cã A ∈ A, thì ta nói rằng σ−đại số A là à−đủ (tức là đủ theo độ đo à). 5. Bộ ba (X, A, à) đ−ợc gọi là một không gian có độ đo đủ, σ-hữu hạn 11 nếu à là độ đo d−ơng σ−hữu hạn và A là à−đủ. Ví dụ 3.1.2. Cho X = IRn , A là σ−đại số các tập con đo đ−ợc theo Lebesgue của IRn , à là độ đo Lebesgue trên IRn . Ta có (X, A, à) là một không gian có độ đo đủ, σ-hữu hạn. Cho (X, A) là không gian đo đ−ợc, Y là không gian mêtric. Nh− đã quy −ớc từ đầu mục này, B ký hiệu σ−đại số Borel của Y . Ta xét σ−đại số sinh ra bëi hä tËp (1.12). {A × B ⊂ X × Y : A ∈ A, B ∈ B},. và ký hiệu nó bởi A ⊗ B. Nh− vậy, A ⊗ B là σ−đại số nhỏ nhất trong X ì Y chøa hä tËp (1.12). Để chứng minh Định lý đặc tr−ng, chúng ta phải dựa vào hai bổ đề sau. Bổ đề 3.1.1 (xem Castaing và Valadier (1977)). Cho (X, A, à) là không gian có độ đo đủ, σ-hữu hạn, Y là không gian mêtric đủ, khả li. Nếu M ∈ A ⊗ B, th× prX (M ) := {x ∈ X : ∃y ∈ Y, (x, y) ∈ M } lµ tËp thuéc A. (H×nh chiÕu lªn X cña mét tËp ®o ®−îc theo A ⊗ B lµ ®o ®−îc theo A.) Bổ đề 3.1.2. Giả sử (X, A) là không gian đo đ−ợc, Y và Z là hai không gian mêtric khả li, g : X ì Y → Z là ánh xạ Caratheodory (điều đó có nghĩa là với mäi y ∈ Y ¸nh x¹ g(·, y) lµ ®o ®−îc, vµ víi mäi x ∈ X ¸nh x¹ g(x, ·) lµ liªn tục). Khi đó g là đo đ−ợc theo A ⊗ B. 10 11. TNTA: measure space; xem Rudin (1987), tr. 16. TNTA: complete σ-finite measure space..

(95) 3.1. ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, l¸t c¾t ®o ®−îc. 89. Chøng minh. Ta chØ cÇn chøng minh r»ng tån t¹i d·y ¸nh x¹ gk : X × Y → Z. (k ∈ IN ). đo đ−ợc theo A ⊗ B và hội tụ theo điểm đến g (xem Bài tập 3.1.3). Giả sử {yi : i ∈ IN } là tập điểm đếm đ−ợc trù mật trong Y . Giả sử (x, y) ∈ XìY . Với mçi k ∈ IN , ký hiÖu i = i(k) ∈ IN lµ chØ sè nhá nhÊt sao cho y ∈ B(yi , k−1 ) hay, hoµn toµn t−¬ng ®−¬ng, yi ∈ B(y, k−1 ).. (1.13) Ta đặt. gk (x, y) = g(x, yi ). Do (1.13) vµ do tÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ g(x, ·) ta cã lim gk (x, y) = lim g(x, yi(k) ) = g(x, y). k→∞. k→∞. víi mäi (x, y) ∈ X × Y . Ta chØ cßn ph¶i chøng minh r»ng gk lµ ®o ®−îc theo A ⊗ B. §Æt i−1 −1 B(yj , k−1 ) . Yi,k := B(yi , k ) \ j=1. V× {yi : i ∈ IN } lµ trï mËt trong Y , nªn ta cã ∞ . (1.14). Yi,k = Y.. i=1. Râ rµng Yi,k ∈ B víi mäi (i, k) ∈ IN × IN . Ngoµi ra, gk (x, y) = g(x, yi ). ∀(x, y) ∈ X × Yi,k .. Điều đó chứng tỏ rằng gk là đo đ−ợc theo A ⊗ B. Thật vậy, giả sử W ⊂ Z là tËp më tïy ý. Ta cã gk−1 (W ) = {(x, y) ∈ X × Y : gk (x, y) ∈ W } ∞ {(x, y) ∈ X × Yi,k : g(x, yi ) ∈ W } = =. i=1 ∞ . (g(·, yi ))−1 (W ) × Yi,k. . i=1. lµ tËp thuéc A ⊗ B.. 2. Định lý 3.1.3 (Characterization Theorem - Định lý đặc tr−ng; xem Aubin và Frankowska (1990), tr. 310). Cho (X, A, à) là không gian có độ đo đủ, σ-hữu hạn, Y là không gian mêtric đủ, khả li. Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng. Khi đó, các khẳng định (a), (b), (c) trong Định lý 3.1.2 và các khẳng định sau là t−ơng đ−ơng:.

(96) 3. TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 90 (d) gph F ∈ A ⊗ B; (e) F −1 (C) ∈ A với mọi tập đóng C ⊂ Y ; (f) F −1 (B) ∈ A víi mäi tËp Borel B ∈ B.. Chứng minh. Do (a) ⇔ (b) ⇔ (c), định lý sẽ đ−ợc chứng minh nếu chúng ta chøng tá ®−îc r»ng (f) ⇒ (e), (e) ⇒ (a), (a) ⇒ (c), (c) ⇒ (d), (d) ⇒ (f). (Tất nhiên ta không cần chứng minh khẳng định (a) ⇒ (c) nữa.) (f) ⇒ (e). Hiển nhiên, vì mọi tập đóng là tập Borel. (e) ⇒ (a). Khẳng định này đã đ−ợc thiết lập trong Bài tập 3.1.10. (c) ⇒ (d). Gi¶ sö r»ng víi mäi y ∈ Y hµm sè d(y, F (·)) lµ ®o ®−îc. V× F có giá trị đóng, khác rỗng, nên ta có (1.14). gph F = {(x, y) ∈ X × Y : d(y, F (x)) = 0}.. Vì với mỗi x ∈ X hàm số d(ã, F (x)) là liên tục, nên áp dụng Bổ đề 3.1.2 cho tr−êng hîp g(x, y) := d(y, F (x)) ∀(x, y) ∈ X × Y ta suy ra r»ng g : X × Y → IR lµ ®o ®−îc theo A ⊗ B. Do (1.14), gph F = g−1 ({0}). Theo khẳng định b) ở Bài tập 3.1.7, ta có gph F ∈ A ⊗ B. (d) ⇒ (f). Gi¶ sö r»ng gph F ∈ A ⊗ B vµ gi¶ sö B ⊂ Y lµ tËp Borel bÊt kú. DÔ thÊy r»ng F −1 (B) = prX (gph F ∩ (X × B)). Vì gph F ∈ A ⊗ B và X ì B ∈ A ⊗ B, từ đó ta có F −1 (B) ∈ A theo Bổ đề 3.1.1. 2 Định lý đặc tr−ng cho ta hệ quả sau đây về sự t−ơng đ−ơng giữa tính đo ®−îc (cßn gäi lµ tÝnh ®o ®−îc yÕu) vµ tÝnh ®o ®−îc m¹nh cña ¸nh x¹ ®a trÞ. Hệ quả 3.1.1. Cho X = IRn , A là σ−đại số các tập đo đ−ợc theo Lebesgue của IRn , à là độ đo Lebesgue trên IRn . Cho Y là không gian mêtric đủ, khả li, và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng. Khi đó, F là đo đ−ợc khi và chỉ khi F −1 (C) ∈ A với mọi tập đóng C ⊂ Y . Bài tập 3.1.16. Cho X = IR n , A là σ−đại số các tập đo đ−ợc theo Lebesgue của IR n , à là độ đo Lebesgue trên IR n . Cho Y là không gian mêtric đủ, khả li, và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rçng. Chøng minh r»ng:.

(97) 3.2. TÝch ph©n Aumann. 91. a) NÕu F lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong X, th× F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc; b) NÕu F lµ nöa liªn tôc trªn ë trªn X, th× F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc. (Gîi ý: L−u ý r»ng F lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong X khi vµ chØ khi ¶nh ng−îc cña mçi tËp më trong Y lµ tËp më trong X, F lµ nöa liªn tôc trªn ở trong X khi và chỉ khi ảnh ng−ợc của mỗi tập đóng trong Y là tập đóng trong X. áp dụng Hệ quả 3.1.1 để chứng minh khẳng định b).). NhËn xÐt 3.1.3. Cã nh÷ng ¸nh x¹ ®a trÞ lµ ®o ®−îc nh−ng kh«ng lµ nöa liªn tôc trên hoặc nửa liên tục d−ới tại bất cứ điểm nào thuộc miền xác định của nó. Ví dô, F : IR ⇒ IR cho bëi c«ng thøc f (x) = {0} nÕu x ∈ Q vµ f (x) = {1} nÕu x∈ / Q. Kết hợp các khẳng định nói trong Bài tập 3.1.16 với Định lý 3.1.1 (t.−., với §Þnh lý 3.1.2) ta cã kÕt luËn vÒ sù tån t¹i l¸t c¾t ®o ®−îc (t.−., vÒ sù tån t¹i mét họ đếm đ−ợc trù mật các lát cắt đo đ−ợc) của ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, hoÆc nöa liªn tôc d−íi. Theo c¸c thuËt ng÷ cña môc tiÕp sau, nÕu Y lµ kh«ng gian Banach kh¶ li, th× ta cã thÓ lÊy tÝch ph©n ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn, hoÆc nöa liªn tôc d−íi trªn c¸c tËp ®o ®−îc trong X = IRn .. 3.2 TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ Trong suốt mục này, (X, A, à) là một không gian có độ đo đủ, σ−hữu hạn, và Y lµ kh«ng gian Banach kh¶ li 12 . Ta sử dụng ký hiệu L1 (X; Y, à) để chỉ tập hợp các ánh xạ đơn trị đo đ−ợc kh¶ tÝch tõ X vµo Y , tøc lµ ) 1 f (x)dµ < ∞ . L (X; Y, µ) = f : X → Y : f ®o ®−îc, X. Giả sử F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng. Ta ký hiệu tËp hîp c¸c l¸t c¾t kh¶ tÝch cña F bëi F: F = {f ∈ L1 (X; X, µ) : f (x) ∈ F (x) hÇu kh¾p trªn X}. Ta nãi F lµ giíi néi kh¶ tÝch 13 nÕu tån t¹i mét hµm γ ∈ L1 (X; IR, µ) sao cho F (x) ⊂ γ(x)B̄Y hÇu kh¾p trªn X. Nếu F có tính chất đó, thì mỗi lát cắt đo đ−ợc của F là một phần tử thuộc tập F. Tr−ờng hợp hay đ−ợc xét nhất và có nhiều ứng dụng nhất là X = IRn , A là σ-đại số gồm các tập con đo đ−ợc theo Lebesgue của IRn , à là độ đo Lebesgue trên IRn , còn Y = IRm là kh«ng gian Euclide h÷u h¹n chiÒu; xem Clarke (1983), tr. 111. 13 TNTA: intergrably bounded. 12.

(98) 3. TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 92. Tr−ớc khi định nghĩa tích phân của ánh xạ đa trị, chúng ta cần nhắc đến phÐp lÊy tÝch ph©n cña c¸c hµm nhËn gi¸ trÞ vÐct¬ 14 . §Þnh nghÜa 3.2.1 (xem Rudin (1991), tr. 77). Gi¶ sö f : X → Y lµ ¸nh x¹ ®o ®−îc sao cho víi mçi y∗ ∈ Y ∗ hµm sè y∗ ◦ f cho bëi c«ng thøc (y ∗ ◦ f )(x) = y ∗ , f (x). (2.1). ∀x ∈ X. lµ kh¶ tÝch 15 . NÕu tån t¹i vÐct¬ y ∈ Y sao cho ) ∗ (y ∗ ◦ f )(x)dµ y , y =. ∀y ∗ ∈ Y ∗. X. thì ta nói tích phân của f trên X theo độ đo à bằng y, và viết ) f dµ. (2.2) y= X. DÔ thÊy r»ng kh«ng thÓ cã nhiÒu h¬n mét phÇn tö y tháa m·n (2.2). VËy tÝnh duy nhÊt cña tÝch ph©n cña hµm nhËn gi¸ trÞ vÐct¬ lµ hiÓn nhiªn. NÕu X lµ không gian tôpô, A chứa σ−đại số Borel của X, f : X → Y là hàm liên tục, và f (X) ⊂ Y lµ tËp comp¾c, th× tån t¹i tÝch ph©n (2.2); xem Rudin (1991), tr. 77. Nếu Y = IRm và f = (f1 , . . . , fm ), thì từ định nghĩa trên suy ra rằng tích phân (2.2) tồn tại khi và chỉ khi mỗi hàm fi (i = 1, . . . , m) là khả tích. Khi đó ta có ). ). ). f dµ =. (2.3) X. X. f1 (x)dµ, . . . ,. X. ! fm (x)dµ .. §èi víi c¸c hµm vÐct¬ nhËn gi¸ trÞ trong kh«ng gian Banach* h÷u h¹n chiÒu, ng−ời ta th−ờng lấy công thức (2.3) làm định nghĩa tích phân X f dà. Để định nghĩa tích phân của ánh xạ đa trị, R. J. Aumann đề nghị gọi tập hîp c¸c tÝch ph©n cña c¸c l¸t c¾t ®o ®−îc kh¶ tÝch cña F lµ tÝch ph©n cña F . * §Þnh nghÜa 3.2.2 (R. J. Aumann, 1965). TÝch ph©n X F dµ cña ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc F : X ⇒ Y lµ tËp hîp c¸c tÝch ph©n cña c¸c l¸t c¾t ®o ®−îc kh¶ tÝch cña F : ) ) F dµ := f dµ : f ∈ F . (2.4) X. VËy 14 15. * X. X. F dµ lµ mét tËp con cña Y .. TNTA: vector-valued integration. Nếu f ∈ F, thì f có tính chất đó..

(99) 3.2. TÝch ph©n Aumann. 93. Bài tập 3.2.1. Cho X, A và F nh− trong Ví) dụ 3.1.1. Cho à là độ đo Lebesgue trªn ®o¹n [−1, 2]. TÝnh tÝch ph©n F dµ. (Gîi ý: Víi mçi X. f ∈ F ta có f (x) ∈ F (x) với mọi x, ngoại trừ x∈ X f , ở đó Xf là một tập có độ đo 0. Đặt f˜(x) = f (x) với mọi x ∈ X \ Xf và chọn tùy ý f˜(x) ∈ F (x)) víi x ∈ Xf . Do rge F lµ giíi néi, nªn f˜ ∈ F vµ ta cã ) f (x) dµ. V× vËy, trong c«ng thøc (2.4) chØ cÇn xÐt c¸c f˜(x) dµ = X. X. l¸t c¾t f ∈ F mµ f (x) ∈ F (x) víi mäi x ∈ X. Ký hiÖu tËp c¸c l¸t c¾t đó bởi F0 . Để ý rằng f ∈ F 0 khi và chỉ khi tồn tại α ∈ [−1, 1] sao cho f (x) = −1 nếu x < 0, f (0) = α, f (x) = 1 nếu x > 0. Từ đó suy ra ) X. F dµ = {1}.). Tích phân của ánh xạ đa trị có nhiều tính chất thú vị, trong đó có một số tÝnh chÊt t−¬ng tù nh− trong tr−êng hîp tÝch ph©n cña c¸c hµm sè thùc. Mệnh đề 3.2.1 (xem Aubin và Frankowska (1990), tr. 327). Giả sử Fi : X ⇒ Y (i = 1, 2) là các ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng. Đặt G(x) := F1 (x) + F2 (x). Khi đó, các tính chất sau nghiệm đúng: ) ) (λF ) dµ = λ F dµ; (i) Víi mäi λ ∈ IR, X. (ii). X. ). ) coF dµ = co X. F dµ; X. (iii) Víi mäi p ∈ Y ∗ , ) ) F dµ = CF (p, x) dµ, sup p, y : y ∈ X. X. ở đó CF (p, x) = sup{p, y : y ∈ F (x)} là hàm tựa của F ; ) ) ) G dµ = F1 dµ + F2 dµ. (iv) X. X. X. Định nghĩa 3.2.3. Tập A ∈ A đ−ợc gọi là một nguyên tử 16 của độ đo à nếu µ(A) > 0 vµ víi mäi A ⊂ A, µ(A ) hoÆc b»ng 0 hoÆc b»ng µ(A). §é ®o µ ®−îc gäi lµ kh«ng cã nguyªn tö 17 nÕu µ kh«ng chøa c¸c nguyªn tö. Ví dụ 3.2.1. Độ đo Lebesgue trên IRn là độ đo không có nguyên tử. 16 17. TNTA: atom. TNTA: nonatomic..

(100) 3. TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 94. Nh¾c l¹i r»ng ®iÓm w ∈ K ®−îc gäi lµ ®iÓm cùc biªn 18 cña tËp låi K trong một không gian định chuẩn nếu không tồn tại u, v ∈ K và λ ∈ (0, 1) sao cho w = (1 − λ)u + λv. TËp c¸c ®iÓm cùc biªn cña K ®−îc ký hiÖu lµ extr K. Sau ®©y lµ mét kÕt qu¶ vÒ tÝnh låi cña tÝch ph©n Aumann. §Þnh lý 3.2.1 (R. J. Aumann, G. Debreu vµ C. Olech; xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr. 329, 419). Cho F : X ⇒ IRm lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ) ®o ®−îc cã gi¸ trÞ đóng, khác rỗng. Nếu à là độ đo không có nguyên tử, thì !. ) extr. co. ) ⊂. F dµ X. X. F dµ lµ tËp låi vµ. F dµ. ). Ngoµi ra, nÕu F cßn lµ giíi néi kh¶ tÝch, th×. X. X. F dµ lµ tËp comp¾c.. Chứng minh của định lý này (xem Aubin và Frankowska (1990), tr. 333– 340) dựa vào định lý sau đây về tính lồi của tập hợp các tích phân của hàm vÐct¬ kh¶ tÝch theo c¸c tËp ®o ®−îc thuéc A. §Þnh lý 3.2.2 (Lyapunov’s Convexity Theorem - §Þnh lý cña Lyapunov vÒ tÝnh lồi). Giả sử rằng à là độ đo không có nguyên tử và f ∈ L1 (X; IRm , à). Khi đó, tập hợp ) f dµ. ν(A) := A. lµ tËp con låi, comp¾c trong. A∈A. IRm .. Trong §Þnh lý 3.2.1, nÕu thay )cho IRn ta xÐt mét kh«ng gian Banach v« h¹n chiÒu Y , th× ch−a ch¾c tÝch ph©n. X. F dà đã là tập lồi. Tuy thế, bao đóng của. nó là tập lồi. Cụ thể là ta có định lý sau. §Þnh lý 3.2.3 (J. J. Uhl, F. Hiai vµ H. Umegaki; xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr. 330, 419) Cho Y lµ kh«ng gian Banach kh¶ li, F : X ⇒ Y lµ ¸nh xạ đa trị đo đ−ợc có giá trị đóng, khác rỗng. Nếu à là độ đo không có nguyên tö, th× ) F dµ lµ tËp låi; (i) X. ). ) (ii). F dµ = co X. F dµ; X. (iii) NÕu y ∈ extr duy nhÊt; 18. TNTA: extreme point.. !. ) X. F dµ , th× phÇn tö f ∈ F tháa m·n. ) X. f dµ = y lµ.

(101) 3.3. L¸t c¾t liªn tôc vµ l¸t c¾t Lipschitz. 95. (iv) NÕu F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ giíi néi kh¶ tÝch, th× ). ) X. coF dµ =. F dµ. X. Chứng minh của định lý này có thể xem trong Aubin và Frankowska (1990), tr. 340-342. Bµi tËp 3.2.2. XÐt ¸nh x¹ ®a trÞ F : IR ⇒ IR cho bëi c«ng thøc F (x) = co{sin x, cos x}. a) Chøng minh F lµ ®o ®−îc, giíi néi kh¶ tÝch trªn [0, 2π]. ) 2π b) TÝnh tÝch ph©n F dµ. 0. (Gîi ý: F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ liªn tôc vµ giíi néi trªn [0, 2π]. Theo §Þnh lý ) 2π 3.2.1, F dµ lµ låi, comp¾c. VÏ tËp gph F tr−íc khi tiÕn hµnh tÝnh 0 ) 2π √ to¸n. KÕt qu¶: F dµ = 3 2.) 0. 3.3 L¸t c¾t liªn tôc vµ l¸t c¾t Lipschitz Định lý sau đây đ−a ra điều kiện đủ để ánh xạ đa trị nửa liên tục d−ới có lát cắt liªn tôc. §Þnh lý 3.3.1 (E. Michael, 1956). Cho X lµ kh«ng gian mªtric comp¾c, Y lµ kh«ng gian Banach, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc d−íi, cã gi¸ trÞ lồi đóng khác rỗng. Khi đó F có lát cắt liên tục. Chứng minh của định lý trên có thể xem trong Aubin và Frankowska (1990), tr. 357, hoÆc trong Chiªu (2004). Trong §Þnh lý 3.3.1, gi¶ thiÕt vÒ tÝnh comp¾c cña kh«ng gian mªtric X cã thÓ bá ®i ®−îc (xem Zeidler (1986), tr. 466).. ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, có giá trị lồi đóng khác rỗng, từ một không gian mêtric compắc vào một không gian Banach ch−a chắc đã có lát cắt liên tục. Bài tập 3.3.1. Cho một ví dụ cụ thể để chứng tỏ rằng ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, có giá trị lồi đóng khác rỗng, từ một không gian mêtric compắc vào một không gian Banach ch−a chắc đã có lát cắt liên tục. (Gợi ý: §Æt X = [−1, 1] vµ xÐt ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ IR cho bëi c«ng thøc F (x) = {−1} víi mäi x < 0, F (0) = [−1, 1] vµ F (x) = {1} víi mäi x > 0.).

(102) 3. TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 96. §Þnh nghÜa 3.3.1. Cho X lµ kh«ng gian mªtric, Y lµ kh«ng gian Banach. a) Ta nói ánh xạ đơn trị f : X → Y là Lipschitz địa ph−ơng nếu với mọi x̄ ∈ X tån t¹i δ > 0 vµ > 0 sao cho f (x ) − f (x) d(x , x) ∀x, x ∈ B(x̄, δ). NÕu tån t¹i > 0 sao cho f (x ) − f (x) d(x , x). ∀x, x ∈ X. th× F ®−îc gäi lµ ¸nh x¹ Lipschitz trªn X. b) Ta nói ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là Lipschitz địa ph−ơng nếu với mọi x̄ ∈ X tån t¹i δ > 0 vµ > 0 sao cho F (x ) ⊂ F (x) + d(x , x)B̄Y. ∀x , x ∈ B(x̄, δ).. NÕu tån t¹i > 0 sao cho F (x ) ⊂ F (x) + d(x , x)B̄Y. ∀x , x ∈ X,. th× F ®−îc gäi lµ ¸nh x¹ ®a trÞ Lipschitz trªn X. §Þnh lý sau ®©y bµn vÒ sù tån t¹i l¸t c¾t xÊp xØ cña ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn. §Þnh lý 3.3.2 (A. Cellina; xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr. 358–360). Cho X lµ kh«ng gian mªtric comp¾c, Y lµ kh«ng gian Banach, F : X ⇒ Y lµ ¸nh xạ đa trị nửa liên tục trên, có giá trị lồi khác rỗng. Khi đó, tồn tại ánh xạ đơn trị Lipschitz địa ph−ơng fε : X → Y sao cho gph fε ⊂ B(gph F, ε) vµ fε (x) ∈ co(rge F ), ở đó d((x, y), (x , y )) := max{d(x, x ), y − y } và B(gph F, ε) = {(x, y) ∈ X × Y : d((x, y), gph F ) < ε}. Trong §Þnh lý 3.3.2, gi¶ thiÕt vÒ tÝnh comp¾c cña X cã thÓ bá ®i ®−îc (xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr. 358). Nhiều tác giả đã sử dụng Định lý Michael về sự tồn tại lát cắt liên tục để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng và của các bµi to¸n c©n b»ng. §iÒu thó vÞ lµ ta cã thÓ sö dông §Þnh Cellina vÒ sù tån t¹i của lát cắt xấp xỉ Lipschitz địa ph−ơng để chứng minh định lý tồn tại nghiệm.

(103) 3.3. L¸t c¾t liªn tôc vµ l¸t c¾t Lipschitz. 97. cho bất đẳng thức biến phân suy rộng với toán tử đa trị nửa liên tục trên19 . Nếu để ý thêm rằng nói chung d−ới vi phân của các hàm lồi (ví dụ nh− ∂ϕ(ã) ở đó ϕ(x) := x, x ∈ IRn ) và d−ới vi phân Clarke của các hàm Lipschitz địa ph−¬ng 20 th−êng chØ lµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn, kh«ng lµ nöa liªn tôc d−íi, th× ta cµng thÊy sù cÇn thiÕt cña §Þnh lý Cellina. VÝ dô 3.3.1 (xem Chiªu (2004), tr. 23). §Æt X = IR vµ xÐt ¸nh x¹ ®a trÞ F : X → IR cho bëi c«ng thøc F (x) = {0} víi mäi x < 0, F (0) = [0, 1] vµ F (x) = {1} víi mäi x > 0. Ta cã F lµ nöa liªn tôc trªn ë trong X. Ngoµi ra, F cã gi¸ trÞ låi, comp¾c, kh¸c rçng. MÆc dï F kh«ng cã l¸t c¾t liªn tôc, nh−ng vẫn có lát cắt xấp xỉ Lipschitz địa ph−ơng với độ chính xác tùy ý. Thật vậy, với mỗi ε > 0, ánh xạ đơn trị Lipschitz ⎧ nÕu x − 12 ε ⎨0 fε (x) = 1ε x + 12 nÕu − 12 ε < x < 12 ε ⎩ 1 nÕu x 12 ε là một lát cắt xấp xỉ của F với độ chính xác ε, bởi vì gph fε ⊂ B(gph F, ε).. H×nh 14 Định lý sau đây đ−a ra điều kiện đủ cho sự tồn tại lát cắt Lipschitz. §Þnh lý 3.3.3 (xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr. 372). Cho X lµ kh«ng gian mêtric và F : X ⇒ IRn là ánh xạ đa trị Lipschitz có giá trị lồi đóng khác rỗng. Khi đó, F có lát cắt Lipschitz. Chứng minh của định lý này có thể xem trong Aubin và Frankowska (1990), hoÆc trong Chiªu (2004). 19 20. Xem Kien, Yao vµ Yen (2007). Xem c«ng thøc (4.3) vµ NhËn xÐt 3.4.1 d−íi ®©y..

(104) 3. TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 98. 3.4 TÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Clarke C¸c kÕt qu¶ tr×nh bµy trong môc nµy thuéc vÒ NguyÔn Huy Chiªu (xem Chiªu (2004, 2006a)). Bạn đọc có quan tâm xin đọc các chứng minh chi tiết trong luận văn và trong bài báo đó. Trong lý thuyết tích phân Lebesgue, ng−ời ta đã chứng minh rằng nếu f : [a, b] → IR là hàm số Lipschitz xác định trên đoạn [a, b] ⊂ IR, thì công thức Newton-Leibnitz ) b f (t) dµ = f (b) − f (a), (4.1) a. ở đó à ký hiệu độ đo Lebesgue trên [a, b], nghiệm đúng. (Ta l−u ý rằng, do f là Lipschitz trên [a, b], đạo hàm Fréchet f (x) tồn tại hầu khắp trên [a, b] theo định lý Rademacher; xem Clarke (1983).) Vấn đề đặt ra là vế phải của công thức này sẽ nh− thế nào nếu toán tử đạo hàm f (ã) và tích phân Lebesgue ở vế tr¸i ®−îc thay t−¬ng øng bëi ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Clarke ∂Cl f (·) vµ tÝch ph©n Aumann. Ngoài việc trình bày lời giải cho vấn đề đó, chúng ta cũng sẽ xét một øng dông cña kÕt qu¶ thu ®−îc vµ mét vÝ dô minh häa thó vÞ. Giả sử X là không gian Banach và f : X → IR là hàm số Lipschitz địa ph−¬ng. §Þnh nghÜa 3.4.1. §¹o hµm theo h−íng Clarke cña f t¹i x ∈ X theo h−íng v ∈ X đ−ợc xác định bởi công thức (4.2). f 0 (x; v) := lim sup. x →x, t→0+. f (x + tv) − f (x ) . t. D−íi vi ph©n Clarke cña f t¹i x lµ tËp hîp (4.3). ∂ Cl f (x) := {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v f 0 (x; v), ∀v ∈ X}.. NhËn xÐt 3.4.1 (xem Clarke (1983)). NÕu > 0 lµ hÖ sè Lipschitz cña f trong l©n cËn cña x, th× ∂Cl f (x) lµ tËp hîp kh¸c rçng, låi, comp¾c yÕu∗ trong X ∗ . Ngoµi ra, x∗ víi mäi x∗ ∈ ∂ Cl f (x), vµ víi mäi v ∈ X ta cã f 0 (x; v) = max{x∗ , v : x∗ ∈ ∂ Cl f (x)}. NÕu X lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu, th× ¸nh x¹ ®a trÞ ∂Cl f (·) lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x. Nhận xét 3.4.2. Nếu f : [a, b] → IR là hàm số Lipschitz và à là độ đo Lebesgue trên [a, b], thì ánh xạ đa trị ∂Cl f (ã) là giới nội khả tích. Khẳng định này đ−ợc chøng minh dÔ dµng nhê mét tÝnh chÊt nãi trong NhËn xÐt 3.4.1..

(105) 3.4. TÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Clarke. 99. NhËn xÐt 3.4.3 (xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr. 343). NÕu X = [a, b], Y = Rn , à là độ đo Lebesgue trên [a, b], F : X* ⇒ Y là ánh xạ đa trị giới nội khả tích, có giá trị đóng khác rỗng, thì tập hợp X F dà là lồi, compắc. §Þnh nghÜa 3.4.2 (xem Clarke (1983), tr. 39). Hµm sè f ®−îc gäi lµ chÝnh quy Clarke 21 tại x nếu, với mọi v ∈ X, đạo hàm theo h−ớng f (x; v) := lim. t→0+. f (x + tv) − f (x) t. tån t¹i vµ ta cã f (x; v) = f 0 (x; v). Bµi tËp 3.4.1. Cho f (x) = |x| vµ g(x) = −|x| víi mäi x ∈ IR. C¸c hµm số f : IR → IR và g : IR → IR đó có là chính quy Clarke tại (a) x̄ = 0, (b) x̄ = 0, hay kh«ng? T¹i sao?. KÕt qu¶ sau ®©y lµ cña NguyÔn Huy Chiªu. §Þnh lý 3.4.1 (xem Chiªu (2004, 2006a)). Gi¶ sö f : [a, b] → IR lµ hµm sè Lipschitz xác định trên đoạn [a, b] ⊂ R. Khi đó ta có ) (4.4) a. b. ) $ ) b ∂ Cl f (t) dµ = − f 0 (t; −1) dµ, a. b. % f 0 (t; 1) dµ ,. a. *b ở đó tích phân a ∂ Cl f (t) dà của ánh xạ đa trị ∂Cl f (ã) đ−ợc hiểu theo nghĩa tÝch ph©n Aumann. Định lý 3.4.1 cho ta công thức hiển để tính tích phân Aumann của ánh xạ d−íi vi ph©n Clarke cña hµm sè thùc Lipschitz trªn mét ®o¹n [a, b] ⊂ IR cho tr−ớc: để tính tích phân đó, ta chỉ cần tính tích phân Lebesgue của các hàm số thực f 0 (ã; −1) và f 0 (ã; 1) trên đoạn [a, b]. Từ đó kết quả đó ta có hệ quả sau. Hệ quả 3.4.1. Giả sử f : [a, b] → R là hàm số Lipschitz. Khi đó, ). b. (4.5) a. ∂ Cl f (t) dµ = {f (b) − f (a)}. khi vµ chØ khi ) b (4.6) a 21. TNTA: Clarke regular.. f 0 (t; 1) + f 0 (t; −1) dµ = 0..

(106) 3. TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 100. Nh− vậy (4.6), ở đó chỉ lấy tích phân Lebesgue của hàm số thực, là điều kiện cần *và đủ để có (4.5); tức là (4.6) là điều kiện cần và đủ để tích phân b Aumann a ∂ Cl f (t) dµ lµ tËp hîp cã mét phÇn tö. VÝ dô 3.4.1 d−íi ®©y 22 sÏ *b chøng tá r»ng kh«ng ph¶i lóc nµo tÝch ph©n a ∂ Cl f (t) dµ còng lµ tËp hîp cã mét phÇn tö. NhËn xÐt 3.4.4. Theo HÖ qu¶ 3.4.1, nÕu f 0 (t; 1) + f 0 (t; −1) = 0 hÇu kh¾p trªn *b [a, b], th× a ∂ Cl f (t)dt = {f (b) − f (a)}. HÖ qu¶ 3.4.2. Gi¶ sö f : [a, b] → IR lµ hµm Lipschitz, chÝnh quy Clarke hÇu khắp trên [a, b]. Khi đó, đẳng thức (4.5) nghiệm đúng. Bµi tËp 3.4.2. Cho f vµ g nh− trong Bµi tËp 3.4.1. H·y kiÓm chøng kÕt luận của Định lý 3.4.1 và các hệ quả 3.4.1, 3.4.2 đối với các hàm f và g khi lÊy [a, b] = [−2π, π].. H×nh 15 Định nghĩa 3.4.3 (xem Clarke (1983), tr. 30-31). Hàm véctơ f : X → Y , ở đó X, Y lµ c¸c kh«ng gian Banach, ®−îc gäi lµ kh¶ vi chÆt23 t¹i x̄ ∈ X nÕu tån t¹i to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc Ds f (x̄) : X → Y sao cho lim. x→x̄, 22. t→0+. f (x + tv) − f (x) = Ds f (x̄)(v) t. Sö dông mét kÕt qu¶ cña R. T. Rockafellar (xem Borwein vµ Zhu (2005), VÝ dô 5.2.12, tr. 191), N. H. Chiêu đã xây dựng đ−ợc một ví dụ có cùng hiệu ứng nh− Ví dụ 3.4.1. Ngoài ra, Chieu (2006c) đã thiết lập các công thức t−ơng tự nh− (4.4) cho d−ới vi phân Fréchet và d−ới vi ph©n Mordukhovich - chóng ta sÏ nghiªn cøu c¸c d−íi vi ph©n nµy trong Ch−¬ng 4. 23 TNTA: strictly differentiable..

(107) 3.4. TÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Clarke. 101. và sự hội tụ là đều theo v trong mỗi tập con compắc của X. NhËn xÐt 3.4.5 (xem Clarke (1983), tr. 32). NÕu f lµ kh¶ vi FrÐchet liªn tôc tại x̄, thì f là Lipschitz địa ph−ơng tại x̄ và khả vi chặt tại x̄. NhËn xÐt 3.4.6. Gi¶ sö f : [a, b] → IR lµ hµm sè Lipschitz. NÕu f lµ kh¶ vi chÆt hầu khắp trên [a, b] hoặc f là lồi trên [a, b], thì đẳng thức (4.5) nghiệm đúng. Khẳng định này suy ra từ Hệ quả 3.4.2 và các sự kiện nói rằng nếu f là khả vi chÆt t¹i x hoÆc f lµ hµm låi th× nã chÝnh quy Clarke t¹i x (xem Clarke (1983), tr. 40). Sau đây là một ứng dụng của Định lý 3.4.1 trong việc chỉ ra điều kiện đủ cho phép khôi phục một hàm số Lipschitz địa ph−ơng từ ánh xạ d−ới vi phân Clarke cña nã. N¨m 1982 R. T. Rockafellar chøng minh r»ng nÕu f, g : Rn → IR lµ c¸c hàm Lipschitz địa ph−ơng, f là chính quy Clarke, và ∂ Cl g(x) ⊂ ∂ Cl f (x) ∀x ∈ Rn , th× tån t¹i mét h»ng sè C ∈ IR sao cho g(x) = f (x) + C. ∀x ∈ Rn. (xem Wu and Ye(2000)). Kết quả của Rockafellar đã đ−ợc một số tác giả khác ph¸t triÓn theo c¸c h−íng kh¸c nhau; xem Thibault vµ Zagrodny (1995), Ngai, Luc vµ ThÐra (2000), Wu vµ Ye (2000). §Þnh lý 3.4.1 cho phÐp më réng kÕt qu¶ nãi trªn cña Rockafellar sang tr−êng hîp kh«ng gian v« h¹n chiÒu. §Þnh lý 3.4.2 (xem Chiªu (2004, 2006a)). Gi¶ sö r»ng X lµ kh«ng gian Banach, f, g : X → IR là các hàm số Lipschitz địa ph−ơng ở trên X. Nếu f là chính quy Clarke vµ ∂Cl g(x) ⊂ ∂ Cl f (x) víi mäi x ∈ X, th× tån t¹i h»ng sè C ∈ IR sao cho g(x) = f (x) + C víi mäi x ∈ X. B©y giê chóng ta xÐt mét vÝ dô minh häa cho §Þnh lý 3.4.1. VÝ dô nµy chøng tá r»ng ®o¹n th¼ng ë vÕ ph¶i cña (4.5) cã thÓ chøa v« h¹n phÇn tö. VÝ dô 3.4.1 (xem Chiªu (2006a)). Gi¶ sö {rk }k∈N lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c sè h÷u tỷ trên khoảng (a, b) ⊂ IR, a < b. Với mỗi k ∈ N, ta chọn δk > 0 đủ bé sao cho (rk −δk , rk +δk ) ⊂ (a, b) vµ δk < 2−(k+3) (b−a). §Æt A = ∪∞ k=0 (rk −δk , rk +δk ) vµ P = [a, b]\A. V× A lµ tËp më trong IR, ta cã thÓ biÓu diÔn A=. ∞ m=0. (am , bm ),.

(108) 3. TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ. 102. ở đó {(am , bm )}m∈N là dãy các khoảng mở rời nhau (đôi một không giao nhau). Định nghĩa hàm số f : [a, b] → IR bằng cách đặt ⎧ ⎪ ⎨ 0 nÕu x ∈ P 1 2 2 f (x) = (x − am ) (x − bm ) sin (bm − am )(x − am )(x − bm ) ⎪ ⎩ nÕu x ∈ (am , bm ). Khi đó, f là Lipschitz trên [a, b] và tập. *b a. ∂ Cl f (t) dµ chøa v« h¹n phÇn tö 24 .. Lập luận chứng minh khẳng định này khá phức tạp. ý t−ởng chính của Ví dụ 3.4.1 là khảo s¸t mét hµm sè Lipschitz trªn ®o¹n [a, b] ⊂ IR mµ tËp ®iÓm kh«ng chÝnh quy Clarke cña nã cã độ đo Lebesgue d−ơng. Xin xem chi tiết trong Chiêu (2006a). 24.

(109) Ch−¬ng 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị Yªu cµnh hoa bªn nh÷ng vùc s©u Yªu hoa mét phÇn nh−ng chÝnh lµ yªu sù h¸i BiÕt bao t×nh yªu cßn l¹i Nhê mét cµnh hoa kh«ng ®©u. (ChÕ Lan Viªn, “H¸i hoa”, 12-6-1980). Trong ch−ơng này, sau khi giới thiệu vắn tắt lý thuyết đối đạo hàm, chúng ta sẽ sử dụng công cụ đối đạo hàm để xây dựng các công thức tính toán hoặc −ớc l−îng c¸c d−íi vi ph©n (d−íi vi ph©n FrÐchet, d−íi vi ph©n Mordukhovich, vµ d−íi vi ph©n Clarke) cña hµm gi¸ trÞ tèi −u trong c¸c bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc phô thuéc tham sè. Ch−¬ng nµy ®−îc viÕt trªn c¬ së mét bµi gi¶ng cña chóng t«i vÒ lý thuyÕt đối đạo hàm, một bài báo chung của B. S. Mordukhovich, Nguyễn Mậu Nam và N. §. Yªn (Mordukhovich, Nam vµ Yen (2007)), vµ mét b¶n th¶o bµi b¸o cña NguyÔn Huy Chiªu (xem Chieu (2006c)). Mục 4.1 giới thiệu sự phát triển của lý thuyết đối đạo hàm của ánh xạ đa trÞ. Môc 4.2 ®iÓm qua mét sè kh¸i niÖm c¬ së cña lý thuyÕt nµy vµ ®−a ra c¸c ví dụ minh họa. Mục 4.3 giới thiệu bài toán tìm các công thức tính đánh giá d−íi vi ph©n (lµ tËp c¸c d−íi gradient) cña hµm gi¸ trÞ tèi −u trong bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc cã tham sè d−íi rµng buéc ®a trÞ. Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ cho viÖc nghiªn cøu bµi to¸n nµy ®−îc tr×nh bµy trong Môc 4.4. Môc 4.5 vµ Môc 4.6 giíi thiÖu c¸c c«ng thøc cho phÐp tÝnh to¸n/−íc l−îng c¸c d−íi vi ph©n FrÐchet hoÆc d−íi vi ph©n qua giíi h¹n 1 . Trong hai môc nµy cã tr×nh bµy mét 1. Cßn ®−îc gäi lµ d−íi vi ph©n Mordukhovich.. 103.

(110) 104. 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. sè vÝ dô minh häa cho c¸c kÕt qu¶ thu ®−îc 2 . Môc 4.7 th«ng b¸o mét vµi kÕt qu¶ míi cña NguyÔn Huy Chiªu vÒ tÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Mordukhovich vµ vÒ d−íi vi ph©n Mordukhovich cña phiÕm hµm tÝch ph©n.. 4.1 Sự phát triển của lý thuyết đối đạo hàm Ngay sau sự ra đời của lý thuyết vi phân của F. H. Clarke vào những năm 19731975, năm 1976 B. S. Mordukhovich 3 đã đề xuất những khái niệm cơ bản của lý thuyÕt vi ph©n cña «ng, bao gåm: a) Nãn ph¸p tuyÕn kh«ng låi ([nonconvex] normal cone) cña c¸c tËp hîp 4 ; b) Đối đạo hàm qua giới hạn 5 (limiting coderivative) của ánh xạ đa trị; c) D−íi vi ph©n kh«ng låi ([nonconvex] subdifferential) cña hµm sè nhËn gi¸ trÞ thùc suy réng. Lý thuyÕt cña Mordukhovich ®−îc ph¸t triÓn song song víi lý thuyÕt vi ph©n cña Clarke. C¸c kh¸i niÖm chÝnh cña lý thuyÕt cña Clarke bao gåm nãn tiÕp tuyến Clarke 6 , nón pháp tuyến Clarke 7 , đạo hàm theo h−ớng Clarke 8 , và d−ới vi ph©n Clarke 9 . N¨m 1988 10 B. S. Mordukhovich in cuèn s¸ch ®Çu tiªn cña «ng (xem Mordukhovich (1988)) ë nhµ xuÊt b¶n Nauka. Cuèn s¸ch tiÕng Nga nµy tr×nh bµy 2. Theo suy nghĩ chúng tôi, kết quả ở các mục 4.5 và 4.6 còn có thể đào sâu và phát triển đ−ợc thªm n÷a. 3 Khi đó ông Mordukhovich đang dạy học tại một tr−ờng đại học ở Minxcơ - thủ đô của n−ớc Céng hoµ B¹ch Nga (nay lµ Belarus). 4 Kh«ng cã nãn tiÕp tuyÕn nµo t−¬ng øng víi nãn ph¸p tuyÕn nµy! 5 Còn đ−ợc gọi là đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich. 6 Xem Môc 2.2, Ch−¬ng 2. 7 Nón pháp tuyến Clarke của tập M ⊂ X, ở đó X là một không gian Banach, tại x̄ ∈ M đ−ợc định nghĩa bởi công thức Cl (x̄) := {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v a 0, ∀v ∈ CM (x̄)}. NM Cl (x̄) = ∅ víi mäi x̄ ∈ / M. Ta quy −íc r»ng NM 8 Xem Môc 3.4, Ch−¬ng 3. 9 Xem Mục 3.4, Ch−ơng 3. Lúc đầu, d−ới vi phân Clarke chỉ đ−ợc định nghĩa cho các hàm số Lipschitz địa ph−ơng. Về sau, R. T. Rockafellar đề xuất một định nghĩa cho phép ta làm việc đ−ợc với các hàm bất kỳ nhận giá trị thực suy rộng, xác định trên không gian Banach; xem F. H. Clarke (1983). 10 Cũng trong năm đó, B. S. Mordukhovich cùng gia đình chuyển từ Minxcơ sang Mỹ. ông là gi¸o s−, gi¶ng d¹y t¹i Khoa To¸n, tr−êng §¹i häc Tæng hîp Quèc gia Wayne (The Wayne State University) ở thành phố Detroit, bang Michigan. Ông và gia đình sống tại thành phố Ann Arbor. Wayne là tên tr−ớc kia những ng−ời thổ dân đặt cho vùng đất có Detroit - thành phố đầu não của công nghiệp ôtô Mỹ. Ann Arbor, một thành phố đẹp mang dáng dấp kiến trúc Âu Châu, là thủ phủ của bang Michigan. Tạp chí Mathematical Reviews đặt trụ sở tại Ann Arbor. Một số hội thảo quốc tế về quy hoạch toán học cũng đã đ−ợc tổ chức ở thành phố này..

(111) 4.1. Sự phát triển của lý thuyết đối đạo hàm. 105. nh÷ng ý t−ëng vµ kÕt qu¶ chÝnh cña lý thuyÕt cña «ng, cïng víi c¸c øng dông quan träng trong quy ho¹ch to¸n häc vµ ®iÒu khiÓn tèi −u. Trong kho¶ng nh÷ng n¨m 1993-1996 B. S. Mordukhovich c«ng bè mét lo¹t bài báo quan trọng 11 ở đó ông đ−a ra nhiều ý t−ởng và kỹ thuật mới, phát triển một phiên bản vô hạn chiều sâu sắc và đẹp đẽ cho lý thuyết vi phân của ông, đồng thời chỉ ra rằng một số tính chất cơ bản của ánh xạ đa trị (nh− tính giả-Lipschitz theo nghĩa Aubin, tính chính quy mêtric, tính mở địa ph−ơng) có thể đặc tr−ng đ−ợc bằng cách sử dụng khái niệm đối đạo hàm qua giới hạn (đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich). Trong giai ®o¹n 2005-2006 B. S. Mordukhovich tiÕp tôc c«ng bè a) nhiÒu bµi b¸o tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu míi12 , b) mét bé s¸ch hai tËp 13 víi tæng sè h¬n 1200 trang in, ë Nhµ xuÊt b¶n Springer.14 Mordukhovich x©y dùng lý thuyÕt vi ph©n v« h¹n chiÒu cña «ng theo l−îc đồ sau 15 : B−íc 1. §Þnh nghÜa kh¸i niÖm d−íi vi ph©n 16 cña c¸c hµm sè nhËn gi¸ trÞ trong tËp sè thùc suy réng. B−ớc 2. Sử dụng d−ới vi phân để định nghĩa nón pháp tuyến (nói chung là kh«ng låi) cña c¸c tËp hîp. B−ớc 3. Sử dụng nón pháp tuyến (không lồi) để định nghĩa đối đạo hàm (coderivative) cña ¸nh x¹ ®a trÞ. B−íc 4. Ph¸t triÓn c¸c quy t¾c tÝnh to¸n (calculus rules) nh− c«ng thøc tÝnh đối đạo hàm của tổng hai ánh xạ đa trị, công thức tính đối đạo hàm của hàm hîp, c«ng thøc tÝnh nãn ph¸p tuyÕn cña giao cña mét hä tËp hîp... (trong c¸c kh«ng gian Banach, hoÆc trong c¸c kh«ng gian Asplund). 11. Một số bài đ−ợc viết chung với Y. Shao, một nghiên cứu sinh Trung Quốc của B. S. Mordukhovich trong thời gian đó. 12 Trong số đó có ba bài (Mordukhovich và Nam (2005a,b; 2006)) viết chung với Nguyễn Mậu Nam - mét nghiªn cøu sinh ViÖt Nam cña «ng - vµ hai bµi viÕt chung víi Nam vµ chóng t«i (Mordukhovich, Nam vµ Yen (2006, 2007)). Ngoµi NguyÔn MËu Nam (§¹i häc S− ph¹m HuÕ), B. S. Mordukhovich cßn h−íng dÉn c¸c nghiªn cøu sinh ViÖt Nam kh¸c, nh− Tr−¬ng Quang B¶o (§¹i häc Khoa häc Tù nhiªn, §¹i häc Quèc gia Tp. Hå ChÝ Minh), NguyÔn ThÞ YÕn Nhi (§¹i häc S− ph¹m HuÕ). 13 Xem B. S. Mordukhovich (2006a,b). 14 D−ới tựa đề “Lý thuyết cơ sở”, tập I có 4 ch−ơng sách: 1. Phép tính vi phân suy rộng trong các không gian Banach, 2. Nguyên lý cực trị trong giải tích biến phân, 3. Phép tính toán đầy đủ trong các không gian Asplund, 4. Các đặc tr−ng của tính đặt chỉnh và phép phân tích độ nhậy. Tập II đ−ợc công bố d−ới tựa đề “ứng dụng” với 4 ch−ơng sách: 5. Tối −u có ràng buộc và điểm c©n b»ng, 6. §iÒu khiÓn tèi −u c¸c hÖ tiÕn ho¸ trong c¸c kh«ng gian Banach, 7. §iÒu khiÓn tèi −u c¸c hÖ cã tham sè ph©n phèi [distributed systems], 8. C¸c øng dông trong kinh tÕ. 15 B−ớc 1 và B−ớc 2 có thể đổi chỗ cho nhau; xem Mordukhovich (2006a; Ch−ơng 1). 16 D−íi vi ph©n FrÐchet (FrÐchet subdifferential), d−íi vi ph©n qua giíi h¹n (limiting subdifferential), d−íi vi ph©n proximal (proximal subdifferential)..

(112) 106. 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. B−ớc 5. áp dụng các khái niệm và quy tắc tính toán nói trên để - chứng minh các định lý cơ bản (nh− các định lý ánh xạ mở, định lý hàm ẩn, định lý hàm ng−ợc, các điều kiện cực trị, ...) trong giải tích biến phân17 và trong lý thuyÕt tèi −u; - nghiên cứu hoặc đặc tr−ng các tính chất đáng quan tâm của các ánh xạ và hµm sè xuÊt hiÖn trong c¸c lý thuyÕt to¸n häc 18 ; - ®−a ra c¸c thuËt to¸n gi¶i c¸c líp bµi to¸n kh¸c nhau 19 . Chúng ta l−u ý rằng lý thuyết vi phân xây dựng theo l−ợc đồ trên vẫn đang tiếp tục đ−ợc phát triển và đ−a đến những thành quả mới. Cã thÓ nªu hai c©u hái: 1. Mối quan hệ giữa các kết quả thu đ−ợc bởi lý thuyết vi phân của Mordukhovich và những kết quả đã thu đ−ợc bằng các lý thuyết vi phân khác20 là nh− thÕ nµo? 2. LiÖu cã thÓ x©y dùng ®−îc mét lý thuyÕt tÝch ph©n t−¬ng øng víi lý thuyÕt vi ph©n cña Mordukhovich hay kh«ng? Cïng víi mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®iÒu kiÖn cùc trÞ thu ®−îc b»ng lý thuyÕt đối đạo hàm và các điều kiện cực trị thu đ−ợc bằng lý thuyết vi phân của Clarke đã đ−ợc chỉ ra trong Mordukhovich (2006a,b), các kết quả nghiên cứu trình bày trong c¸c môc 4.5 vµ 4.6 cho ta c©u tr¶ lêi kh¸ râ rµng cho c©u hái thø nhÊt. §èi víi c©u hái thø hai, chóng t«i hy väng r»ng sau kho¶ng 5-7 n¨m n÷a ng−êi ta còng sÏ t×m ra c©u tr¶ lêi chÊp nhËn ®−îc. Môc 4.7 giíi thiÖu mét vµi kÕt qu¶ b−íc ®Çu theo h−íng nµy.. 4.2 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đối đạo hàm Tại sao phải sử dụng đối đạo hàm?. Chóng ta cÇn l−u ý nh÷ng ®iÒu sau: - Cách tiếp cận bằng không gian đối ngẫu (dual-space approach) nhiều khi rÊt h÷u hiÖu; cã nh÷ng tr−êng hîp cßn h÷u hiÖu h¬n21 c¶ c¸ch tiÕp cËn b»ng kh«ng gian nÒn (primal-space approach). 17. TNTA: variational analysis. Các định lý về tính ổn định và độ nhậy nghiệm của các bài toán tối −u phụ thuộc tham số cũng thuộc loại này. Một số định lý nh− vậy sẽ đ−ợc chứng minh trong các mục 4.5 và 4.6 trong ch−¬ng nµy. 19 KÕt qu¶ theo h−íng nµy ch−a cã nhiÒu. 20 VÝ dô nh− mèi quan hÖ gi÷a c¸c kÕt qu¶ cña Mordukhovich vµ Shao, cña Mordukhovich vµ Nam về tính ổn định vi phân của các bài toán tối −u với ràng buộc đa trị và các kết quả thuộc về J. Gauvin, F. Dubeau, F. H. Clarke, R. T. Rockafellar, vµ c¸c t¸c gi¶ kh¸c. 21 Bổ đề Farkas về tính t−ơng thích của một hệ bất đẳng thức tuyến tính (xem Rockafellar (1970), tr. 200) lµ mét vÝ dô. 18.

(113) 4.2. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đối đạo hàm. 107. - Cả cách tiếp cận bằng không gian đối ngẫu lẫn cách tiếp cận bằng không gian nền đều hữu ích, đều áp dụng đ−ợc. - Đối đạo hàm của một ánh xạ t−ơng ứng với toán tử liên hợp của một ánh x¹ tuyÕn tÝnh. Ta h·y lµm râ thªm ®iÒu l−u ý thø ba. 1. Cho f : X → Y là ánh xạ đơn trị giữa các không gian Banach. Ký hiệu bởi f (x̄) đạo hàm Fréchet của f tại x̄ ∈ X (nếu nó tồn tại). Giả sử (f (x̄))∗ : Y ∗ → X ∗ lµ to¸n tö liªn hîp 22 cña to¸n tö tuyÕn tÝnh f (x̄) : X → Y . 2. Cho A : X → Y lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc víi to¸n tö liªn hîp A∗ : Y ∗ → X ∗ . Víi mäi y∗ ∈ Y ∗ , A∗ y ∗ , x = y ∗ , Ax. ∀x ∈ X.. V× vËy, A∗ y ∗ , x − y ∗ , Ax = 0. ∀x ∈ X,. hay (A∗ y ∗ , −y ∗ ), (x, Ax) = 0 ∀x ∈ X. 3. Ký hiÖu A = f (x̄) vµ A∗ = (f (x̄))∗ , ta cã. 23. (A∗ y ∗ , −y ∗ ) ∈ N̂gph f (x̄, f (x̄)); v× thÕ A∗ y ∗ = {x∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ N̂gph f (x̄, f (x̄))}. Công thức sau cùng gợi ý cho ta cách định nghĩa đối đạo hàm của ánh x¹ ®a trÞ. TiÕp theo, chóng ta sÏ xÐt c¸c kh¸i niÖm - d−íi vi ph©n, - nãn ph¸p tuyÕn, - đối đạo hàm vµ mét sè vÝ dô minh häa. 22. Nó đ−ợc gọi là đối đạo hàm Fréchet của f tại x̄.. 23. ë ®©y gph f := {(x, f (x)). : x ∈ X} là đồ thị của f và. N̂gph f (x̄, f (x̄)) = {(x∗ , y ∗ ) : (x∗ , y ∗ ), (x, f (x̄)(x)) = 0 ∀x ∈ X} là nón pháp tuyến Fréchet của đồ thị đó tại (x̄, f (x̄))..

(114) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 108. D−íi vi ph©n. XÐt ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ X∗ gi÷a kh«ng gian Banach X vµ kh«ng gian đối ngẫu X ∗ của nó. Ký hiệu w∗ Lim sup F (x) := x∗ ∈ X ∗ : ∃ xk → x̄, x∗k → x∗ , x→x̄ (2.1) x∗k ∈ F (xk ) ∀k = 1, 2, . . . đ−ợc dùng để chỉ giới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlevé-Kuratowski24 trong t«p« chuÈn cña X vµ t«p« yÕu∗ (®−îc ký hiÖu b»ng ch÷ w∗ ) cña X ∗ . ϕ. Ω. Các ký hiệu x → x̄ đối với một hàm ϕ: X → IR và x → x̄ đối với một tập Ω ⊂ X t−¬ng øng cã nghÜa lµ x → x̄ víi ϕ(x) → ϕ(x̄) vµ x → x̄ víi x ∈ Ω. D−íi vi ph©n FrÐchet Cho X lµ kh«ng gian Banach, ϕ: X → IR lµ hµm nhËn gi¸ trÞ trong tËp sè thực suy rộng, hữu hạn tại x̄. Với mỗi ε 0, đặt (2.2). ϕ(x) − ϕ(x̄) − x∗ , x − x̄ −ε . ∂ε ϕ(x̄) := x∗ ∈ X ∗ : lim inf x→x̄ x − x̄. C¸c phÇn tö cña tËp hîp ë vÕ tr¸i c«ng thøc nµy ®−îc gäi lµ c¸c ε-d−íi gradient Fréchet của ϕ tại x̄, còn bản thân tập hợp đó đ−ợc gọi là ε-d−ới vi phân Fréchet cña ϕ t¹i x̄. TËp hîp ∂ϕ(x̄) := ∂0 ϕ(x̄) ®−îc gäi lµ d−íi vi ph©n FrÐchet d−íi ⊂ ∂ε ϕ(x̄) hay nãi gän h¬n lµ d−íi vi ph©n FrÐchet 25 cña ϕ t¹i x̄. Râ rµng ∂ϕ(x̄) víi mäi ε 0. TËp hîp ∂+ ϕ(x̄) = −∂(−ϕ)(x̄). (2.3). ®−îc gäi lµ d−íi vi ph©n FrÐchet trªn 26 cña ϕ t¹i x̄. Để có thể hiểu rõ thêm các định nghĩa ε-d−ới gradient Fréchet và ε-d−ới vi phân Fréchet nêu trên, ta nhắc lại rằng phần tử x∗ ∈ X ∗ đ−ợc gọi là đạo hàm FrÐchet cña ϕ t¹i x̄ nÕu ϕ(x) − ϕ(x̄) − x∗ , x − x̄ = 0. x→x̄ x − x̄ lim. 24 Nếu X là không gian hữu hạn chiều, thì tập Lim supx→x̄ F (x) xác định bởi (2.1) trùng với giới hạn trên theo Painlevé-Kuratowski của họ tập {F (x)}x∈X (khi x → x̄) xác định bởi công thøc (2.14) trong Ch−¬ng 2. 25 TNTA: (lower) Fréchet subdifferential. 26 TNTA: upper Fréchet subdifferential..

(115) 4.2. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đối đạo hàm. 109. Thay dÊu lim b»ng dÊu lim inf, thay dÊu b»ng bëi dÊu vµ thay sè 0 bëi sè âm −ε, ta có điều kiện yếu hơn đặt lên phần tử x∗ nh− sau: lim inf x→x̄. ϕ(x) − ϕ(x̄) − x∗ , x − x̄ −ε. x − x̄. Đó chính là điều kiện để kiểm tra xem một phần tử x∗ ∈ X ∗ có phải là ε-d−ới gradient Fréchet của ϕ tại x̄ hay không. Việc thay tiêu chuẩn trong định nghĩa đạo hàm Fréchet bằng một tiêu chuẩn hoàn toàn t−ơng tự, cùng cấu trúc vµ ë d¹ng yÕu h¬n (nh−ng còng rÊt tù nhiªn!), cho phÐp x©y dùng phÐp tÝnh vi ph©n 27 cho c¸c hµm sè bÊt kú. Dễ thấy rằng nếu x∗ là đạo hàm Fréchet của ϕ tại x̄ thì ⊂ ∂ε ϕ(x̄) ∀ε 0. {x∗ } = ∂ϕ(x̄) D−íi vi ph©n proximal VÐct¬ x∗ ∈ X ∗ ®−îc gäi lµ d−íi gradient proximal (hay d−íi gradient gÇn kÒ) cña ϕ t¹i x̄ nÕu tån t¹i ε 0 sao cho (2.4). lim inf x→x̄. ϕ(x) − ϕ(x̄) − x∗ , x − x̄ −ε; x − x̄2. tøc lµ tån t¹i ε 0 vµ δ > 0 sao cho ϕ(x) − ϕ(x̄) x∗ , x − x̄ − εx − x̄2. ∀x ∈ B(x̄, δ).. TËp hîp ∂ P ϕ(x̄) gåm tÊt c¶ c¸c d−íi gradient gÇn kÒ cña ϕ t¹i x̄ ®−îc gäi lµ d−íi vi ph©n proximal (hay d−íi vi ph©n gÇn kÒ 28 ) cña ϕ t¹i x̄. So với công thức định nghĩa đạo hàm Fréchet của hàm số thực vừa đ−ợc nhắc lại ở trên, điều kiện đặt lên phần tử x∗ ∈ ∂ P ϕ(x̄) trong (2.4) vừa mạnh hơn (cấp độ xấp xỉ o(x − x̄) đ−ợc thay bởi o(x − x̄2 )), vừa yếu hơn (lim ®−îc thay b»ng lim inf, dÊu b»ng ®−îc thay bëi dÊu vµ sè 0 ®−îc thay bëi sè −ε). §¹o hµm FrÐchet cña hµm sè t¹i mét ®iÓm & ch−a chắc đã là một d−ới gradient gÇn kÒ. ThËt vËy, víi X = R, ϕ(x) = x |x|, x̄ = 0, ta cã ϕ (x̄) = 0 vµ ∂ P ϕ(x̄) = ∅. D−íi vi ph©n qua giíi h¹n TËp hîp (2.5). ∂ϕ(x̄) := Lim sup ∂ε ϕ(x) ϕ. x→x̄ ε↓0 27 28. Nói chính xác hơn, đó là phép tính vi phân suy rộng (generalized differentiation). TNTA: (lower) proximal subdifferential..

(116) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 110. ®−îc gäi lµ d−íi vi ph©n qua giíi h¹n 29 (hay d−íi vi ph©n Mordukhovich). ϕ Nh− vËy, x∗ ∈ ∂ϕ(x̄) khi vµ chØ khi tån t¹i c¸c d·y xk → x̄, εk → 0+ , vµ ε ϕ(xk ), sao cho x∗k ∈ ∂ϕ k w∗. x∗k −→ x∗ .. Từ đó ta thấy rằng d−ới vi phân Mordukhovich ∂ϕ(x̄) đ−ợc tính qua các d−ới ε (x) với ε > 0 đ−ợc lấy đủ bé và x đ−ợc lấy đủ gần x̄. vi ph©n FrÐchet ∂ϕ HiÓn nhiªn ta cã. ∂ϕ(x̄) ⊂ ∂ϕ(x̄).. NhËn xÐt 4.2.1 (xem Mordukhovich (2006a)). NÕu X lµ kh«ng gian Asplund (theo nghĩa là mọi hàm lồi, liên tục ϕ : U → IR xác định trên một tập lồi, mở U ⊂ X lµ kh¶ vi FrÐchet trªn mét tËp con trï mËt cña U hay, mét c¸ch t−¬ng đ−ơng, các không gian con đóng, khả li của X có không gian đối ngẫu khả li)30 vµ nÕu ϕ lµ nöa liªn tôc d−íi trong l©n cËn cña x̄, th× trong c«ng thøc (2.5) ta cã thÓ cho ε = 0; tøc lµ ∂ϕ(x̄) = Lim sup ∂ϕ(x). ϕ. x→x̄. Ngoài ra, ta có ∂ϕ(x̄) = ∅ với mọi hàm Lipschitz địa ph−ơng trên không gian Asplund. Chứng minh chi tiết của hai mệnh đề sau có trong Mordukhovich (2006a). Mệnh đề 4.2.1. Nếu ϕ là khả vi chặt 31 tại x̄ thì tập ∂ϕ(x̄) chỉ chứa một phần tử, đó là đạo hàm chặt của ϕ tại x̄. Mệnh đề 4.2.2. Nếu ϕ là hàm lồi, thì tập ∂ϕ(x̄) trùng với d−ới vi phân theo nghÜa gi¶i tÝch låi cña ϕ t¹i x̄, tøc lµ ∂ϕ(x̄) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x − x̄ ϕ(x) − ϕ(x̄) ∀x ∈ X}. 29. TNTA: limiting subdifferential. Mọi không gian Banach phản xạ đều là không gian Asplund. Mọi không gian Banach có hàm chuẩn khả vi Fréchet tại những điểm khác 0, đều là không gian Asplund. Nói riêng ra, mọi không gian Euclide hữu hạn chiều và mọi không gian Hilbert đều là không gian Asplund. (Xem Phelps (1993)). 31 Theo §Þnh nghÜa 1.13 trong Mordukhovich (2006a), hµm f : X → Y gi÷a c¸c kh«ng gian Banach ®−îc gäi lµ kh¶ vi chÆt t¹i x̄ ∈ X nÕu f kh¶ vi FrÐchet t¹i x̄ vµ 30. f (x) − f (u) − f (x̄)(x − u) = 0. x→x̄, u→x̄ x − u lim. Kh¸i niÖm nµy suy ra kh¸i niÖm nãi trong §Þnh nghÜa 3.4.3 trong Ch−¬ng 3. B»ng lËp luËn trùc tiÕp, ta cã thÓ chøng minh r»ng nÕu X lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu, th× hai kh¸i niÖm võa ®−îc nãi tíi lµ t−¬ng ®−¬ng. Mét hµm lµ kh¶ vi FrÐchet liªn tôc trong mét l©n cËn cña mét ®iÓm, th× nó cũng khả vi chặt tại điểm đó..

(117) 4.2. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đối đạo hàm. 111. = ∂ϕ(x̄). Hä c¸c hµm chÝnh Ta nãi ϕ lµ chÝnh quy d−íi 32 t¹i x̄ nÕu ∂ϕ(x̄) quy d−ới là đủ rộng. Ngoài các hàm khả vi chặt và hàm lồi, nó còn bao gồm nhiÒu líp hµm quan träng kh¸c trong gi¶i tÝch biÕn ph©n vµ lý thuyÕt tèi −u33 TËp hîp (2.6). ∂ ∞ ϕ(x̄) := Lim sup λ∂ε ϕ(x) ϕ. x→x̄ ε,λ↓0. đ−ợc gọi là d−ới vi phân qua giới hạn suy biến hay đơn giản là d−ới vi phân suy biÕn 34 cña ϕ t¹i x̄. TËp ∂∞ ϕ(x̄) chøa th«ng tin kh«ng tÇm th−êng vÒ hµm ϕ chỉ khi ϕ không phải là hàm số Lipschitz địa ph−ơng tại x̄, bởi vì nếu ϕ là Lipschitz địa ph−ơng tại x̄ thì ∂∞ ϕ(x̄) ⊂ {0} (xem Bài tập 4.2.2 d−ới đây). Nh− ϕ vËy, x∗ ∈ ∂ ∞ ϕ(x̄) khi vµ chØ khi tån t¹i c¸c d·y xk → x̄, εk → 0+ , λk → 0+ , vµ x∗k ∈ λk ∂εk ϕ(xk ), sao cho w∗. x∗k −→ x∗ . Bµi tËp 4.2.1. Chøng minh r»ng ∂ ∞ ϕ(x̄) lµ mét h×nh nãn trong X ∗ . Bài tập 4.2.2. Sử dụng công thức (2.6) để chứng minh rằng nếu ϕ là Lipschitz địa ph−ơng tại x̄, thì ∂ ∞ ϕ(x̄) ⊂ {0}. (Gợi ý: Để ý rằng nếu ϕ là Lipschitz địa ph−ơng tại x̄ thì tồn tại lân cận U của x̄ sao cho họ tập ∗ hîp {∂ϕ(x)} x∈U là giới nội đều; tức là tồn tại K > 0 sao cho x K ∗ víi mäi x ∈ U vµ víi mäi x ∈ ∂ϕ(x).) Nãn ph¸p tuyÕn. Cho tập hợp Ω ⊂ X, ở đó X là không gian Banach. Xét hàm chỉ 35 δΩ (ã) / Ω. của Ω. Theo định nghĩa, δΩ (x) = 0 nếu x ∈ Ω và δΩ (x) = +∞ nếu x ∈ Nãn ph¸p tuyÕn FrÐchet vµ nãn ph¸p tuyÕn qua giíi h¹n (cßn ®−îc gäi lµ nãn pháp tuyến Mordukhovich) của Ω tại x̄ ∈ Ω đ−ợc định nghĩa t−ơng ứng bởi các c«ng thøc (2.7). Ω (x̄) := ∂δ(x̄; Ω) N. vµ (2.8) 32. NΩ (x̄) := ∂δ(x̄; Ω). TNTA: lower regular. Xem Mordukhovich (2006a,b), Rockafellar vµ Wets (1998). 34 TNTA: singular (limiting) subdifferential. 35 TNTA: indicator function. 33.

(118) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 112. Ω (x̄) = ∅ vµ NΩ (x̄) = ∅ thông qua d−ới vi phân t−ơng ứng của hàm chỉ. Ta đặt N nÕu x̄ ∈ / Ω. Ω (x̄) khi vµ chØ khi Do (2.7) vµ do c«ng thøc cña hµm chØ, ta cã x∗ ∈ N lim inf Ω. x→x̄. −x∗ , x − x̄ 0, x − x̄. hay lim sup Ω. x→x̄. x∗ , x − x̄ 0. x − x̄. §iÒu kiÖn cuèi lµ kh¸ thuËn tiÖn cho viÖc tÝnh to¸n nãn ph¸p tuyÕn FrÐchet. Đặt N ε (x̄) = ∂ε δ(x̄; Ω) và gọi đó là tập các véctơ ε-pháp tuyến Fréchet của Ω. Ω tại x̄ ∈ Ω. Từ các định nghĩa suy ra rằng x∗ ∈ NΩε (x̄) khi và chỉ khi x∗ , x − x̄ ε. x − x̄. lim sup Ω. x→x̄. Do (2.8) vµ (2.5), nãn ph¸p tuyÕn Mordukhovich NΩ (x̄) cña Ω t¹i x̄ ∈ Ω ®−îc ε (x) với x ∈ Ω đ−ợc lấy đủ xác định qua các tập véctơ ε-pháp tuyến Fréchet N Ω gần x̄ và ε đ−ợc lấy đủ bé. Kết hợp (2.7) với (2.8), ta thấy rằng x∗ ∈ NΩ (x̄) w∗. Ω. khi vµ chØ khi tån t¹i c¸c d·y xk → x̄, εk → 0+ vµ x∗k → x∗ sao cho lim sup Ω. x→xk. x∗ , x − xk εk . x − xk . NhËn xÐt 4.2.2. Do NhËn xÐt 4.2.1, nÕu X lµ kh«ng gian Asplund vµ nÕu Ω lµ tập đóng địa ph−ơng trong lân cận điểm x̄ (tức là tồn tại hình cầu đóng tâm x̄ với bán kính d−ơng có giao với Ω là một tập đóng trong X), thì Ω (x). NΩ (x̄) = Lim sup N Ω. x→x̄ Ω. Điều đó cũng có nghĩa là x∗ ∈ NΩ (x̄) khi và chỉ khi tồn tại các dãy xk → x̄, w∗. x∗k → x∗ sao cho lim sup Ω. x→xk. x∗ , x − xk 0. x − xk . Ω (x̄) là hình nón đóng yếu ∗ trong X ∗ . Bµi tËp 4.2.3. Chøng minh r»ng N Bµi tËp 4.2.4. Chøng minh r»ng N Ω (x̄) lµ h×nh nãn 36 trong X ∗ . 36. Trong Mordukhovich (2006a; tr. 11) cã tr×nh bµy vÝ dô chøng tá r»ng nÕu X lµ kh«ng gian v« h¹n chiÒu (vÝ dô nh− X lµ kh«ng gian Hilbert v« h¹n chiÒu) th× h×nh nãn NΩ (x̄) cã thÓ kh«ng đóng trong tôpô w∗ ..

(119) 4.2. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đối đạo hàm. 113. Ω (x̄), Bµi tËp 4.2.5. TÝnh c¸c tËp N Ωε (x) (ε > 0) vµ c¸c nãn ph¸p tuyÕn N NΩ (x̄) trong c¸c tr−êng hîp sau: a) X = IR2 , Ω = {x = (x1 , x2 ) : x2 = 0}, x̄ = (0, 1); b) X = IR2 , Ω = {x = (x1 , x2 ) : x2 0}, x̄ = (0, 1). Đối đạo hàm. XÐt ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ Y gi÷a c¸c kh«ng gian Banach. Nh− ë c¸c ch−¬ng tr−ớc, ta đặt dom F := {x ∈ X : F (x) = ∅} vµ gph F := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)}. Đối đạo hàm Fréchet 37 của F tại (x̄, ȳ) ∈ gph F và đối đạo hàm qua giới hạn 38 (hay đối đạo hàm Mordukhovich) của F tại (x̄, ȳ) t−ơng ứng đ−ợc cho bởi các c«ng thøc ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) := x∗ ∈ X ∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ N (x̄, ȳ) , (2.9) D gph F. (2.10). D ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) := x∗ ∈ X ∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ Ngph F (x̄, ȳ) .. ∗ f (x̄, f (x̄)) ∗ f (x̄) thay cho D Nếu F (x) = {f (x)} là ánh xạ đơn trị, thì ta viết D ∗ ∗ vµ D f (x̄) thay cho D f (x̄, f (x̄)). NÕu f t−¬ng øng lµ kh¶ vi FrÐchet vµ kh¶ vi chặt 39 tại x̄, thì các đối đạo hàm trong (2.9) và (2.10) đ−ợc tính nh− sau: ∗ f (x̄)(y ∗ ) = (f (x̄))∗ (y ∗ ) ∀y ∗ ∈ Y ∗ D vµ. D∗ f (x̄)(y ∗ ) = (f (x̄))∗ (y ∗ ) ∀y ∗ ∈ Y ∗ .. ∗ f (x̄)(y ∗ ) vµ D ∗ f (x̄)(y ∗ ) lµ c¸c tËp cã mét phÇn Lóc nµy, víi mäi y∗ ∈ Y ∗ , D tö. NÕu f lµ kh¶ vi chÆt t¹i x̄, th× ∗ f (x̄)(y ∗ ) = (f (x̄))∗ (y ∗ ) ∀y ∗ ∈ Y ∗ . D ∗ f (x̄)(y ∗ ) = D (ánh xạ đối đạo hàm Mordukhovich trùng với ánh xạ đối đạo hàm Fréchet.) Ta đã thấy rằng các đối đạo hàm trong (2.9) và (2.10) là những mở rộng tự nhiên của toán tử đạo hàm liên hợp của ánh xạ đơn trị khả vi. 37. TNTA: FrÐchet coderivative. TNTA: limiting coderivative. 39 Xem khái niệm khả vi chặt trong chú thích ở Mệnh đề 4.2.1. 38.

(120) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 114. ¸nh x¹ F : X ⇒ Y ®−îc gäi lµ chÝnh quy ph¸p tuyÕn 40 t¹i (x̄, ȳ) nÕu ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = D∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) ∀y ∗ ∈ Y ∗ . D Ngoài các hàm khả vi chặt, tính chất này còn nghiệm đúng với các ánh xạ đa trị có đồ thị lồi. Tuy nhiên, tính chính quy pháp tuyến có thể không nghiệm đúng trong nhiều tr−ờng hợp quan trọng. Quan hệ giữa đối đạo hàm của ánh xạ đơn trị Lipschitz địa ph−ơng f : X → Y vµ d−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm v« h−íng ho¸ (y ∗ ◦ f )(x) := y ∗ , f (x) (y ∗ ∈ Y ∗ ) cña nã ®−îc m« t¶ bëi c«ng thøc 41 sau: ∗ ◦ f )(x̄) ∀y ∗ ∈ Y ∗ . ∗ f (x̄)(y ∗ ) = ∂(y D. (2.11). Chøng minh cña c«ng thøc nµy cã trong Mordukhovich (2006a). C¸c vÝ dô. Chóng ta xÐt mét sè vÝ dô minh häa cho nh÷ng kh¸i niÖm trõu t−îng võa ®−îc tr×nh bµy ë trªn. VÝ dô 4.2.1 42 . NÕu Ω = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x2 0, x1 0} vµ x̄ = (0, 0), th× Ω (x̄) NΩ (x̄) = N = {x = (x1 , x2 ) : x1 0, x2 0}. VÝ dô 4.2.2 43 . NÕu Ω = {x = (x1 , 0) ∈ R2 : x1 0} ∪{x = (0, x2 ) ∈ R2 : x2 0} vµ x̄ = (0, 0), th× Ω (x̄) = {x = (x1 , x2 ) : x1 0, x2 0} N vµ NΩ (x̄) Ω (x̄) ∪ [0, +∞) × {0} ∪ {0} × [0, +∞) . =N 40. TNTA: normally regular. §−îc gäi lµ c«ng thøc v« h−íng ho¸. 42 V× tËp Ω nµy lµ låi, nãn ph¸p tuyÕn qua giíi h¹n trïng víi nãn ph¸p tuyÕn theo nghÜa gi¶i tÝch låi. 43 Tập Ω này là không lồi. Cấu trúc của hình nón pháp tuyến qua giới hạn phản ánh đầy đủ cấu trúc địa ph−ơng của Ω tại x̄. 41.

(121) 4.2. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đối đạo hàm. 115. VÝ dô 4.2.3 44 . NÕu Ω = {x = (x1 , 0) ∈ R2 : 0 x1 1} ∪{x = (0, & x2 ) ∈ R2 : 0 x1 1, x2 = x1 − x21 } vµ x̄ = (0, 0), th× Ω (x̄) = {x = (x1 , x2 ) : x1 0, x2 0} N vµ NΩ (x̄) Ω (x̄) ∪ [0, +∞) × {0} ∪ {0} × [0, +∞) . =N. H×nh 16 VÝ dô 4.2.4 45 . NÕu f (x) = |x| víi mäi x ∈ R vµ x̄ = 0, th× (x̄) = ∂f (x̄) = [−1, 1]. ∂ P f (x̄) = ∂f VÝ dô 4.2.5 46 . NÕu f (x) = −|x| víi mäi x ∈ IR vµ x̄ = 0, th× (x̄) = ∅, ∂ P f (x̄) = ∂f. ∂f (x̄) = {−1, 1}.. Cấu trúc địa ph−ơng của tập Ω này tại (0, 0) t−ơng tự nh− cấu trúc của tập hợp xét ở Ví dụ 4.2.2 trong l©n cËn cña ®iÓm (0, 0). 45 V× hµm sè f nµy lµ låi, nªn d−íi vi ph©n qua giíi h¹n trïng víi d−íi vi ph©n theo nghÜa gi¶i tÝch låi. 46 Hµm f nµy kh«ng låi vµ d−íi vi ph©n qua giíi h¹n còng lµ tËp kh«ng låi. D−íi vi ph©n Clarke cña f t¹i x̄ lµ ®o¹n [−1, 1], mét tËp hîp låi comp¾c. 44.

(122) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 116. VÝ dô 4.2.6 47 . §Æt f (x) = |x1 | − |x2 | víi mäi x = (x1 , x2 ) ∈ R2 vµ lÊy x̄ = (0, 0). Hµm sè f kh«ng låi, còng kh«ng lâm. Ta cã Ngphf ((x̄, 0)) = Lim sup N gphf (z) z→(x̄,0). = cone{(1, −1, −1), (1, 1, −1), (−1, 1, −1), (−1, −1, −1)} ∪{(−µ, µ − λ, µ) : 2µ λ 0} ∪{(µ, λ − µ, µ) : 2µ λ 0} ∪{(−λ − µ, µ, µ) : −2µ λ 0} ∪{(−λ − µ, −µ, µ) : −2µ λ ≥ 0}. Suy ra. f (x̄)(y ∗ ) D ∗⎧ {(y ∗ , −y ∗ ), (y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , −y ∗ )} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(−λ∗ + y ∗ , −y ∗ ) : 2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(−λ∗ + y ∗ , y ∗ ) : 2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ nÕu y∗ > 0, ⎨ ∗ ∗ ∗ = {(y , −y ), (y , y ∗ ), (−y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , −y ∗ )} ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(y ∗ , −y ∗ − λ∗ ) : −2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(−y , y + λ ) : −2y λ 0} ⎪ ⎪ ∗ ⎪ nÕu y < 0, ⎪ ⎩ {(0, 0)} nÕu y∗ = 0.. V× thÕ, víi mçi y∗ , D ∗ f (0)(y ∗ ) lµ tËp comp¾c kh¸c rçng. L−u ý thªm r»ng, víi hÇu hÕt c¸c y∗ ∈ IR, D ∗ f (0)(y ∗ ) lµ tËp kh«ng låi. Bài tập 4.2.6. Sử dụng các định nghĩa và công thức trong mục này để kiểm tra các khẳng định nói trong các ví dụ 4.2.1-4.2.5.. 4.3 Vấn đề đánh giá d−ới vi phân của hàm giá trị tối −u C¸c hµm gi¸ trÞ tèi −u ®−îc hiÓu lµ c¸c hµm sè nhËn gi¸ trÞ trong tËp sè thùc suy réng cã d¹ng sau: (3.1). µ(x) := inf {ϕ(x, y) : y ∈ G(x)},. ở đó ϕ: X ì Y → IR là hàm giá 48 hay hàm mục tiêu 49 nhận giá trị trong tập số thùc suy réng IR, G: X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ m« t¶ rµng buéc 50 gi÷a c¸c kh«ng 47. Các tính toán chi tiết liên quan đến ví dụ này đ−ợc trình bày ở Mục 5.8 trong Ch−ơng 5. TNTA: cost function. 49 TNTA: objective function. 50 TNTA: constraint set-valued mapping. 48.

(123) 4.3. Vấn đề đánh giá d−ới vi phân của hàm giá trị tối −u. 117. gian Banach. ThuËt ng÷ gi¸/rµng buéc cã nguån gèc tõ tèi −u cã rµng buéc, ë đó hàm số (3.1) th−ờng đ−ợc gọi là hàm giá trị tối −u 51 (hay hàm marginal) cña bµi to¸n tèi −u cã tham sè (3.2). T×m cùc tiÓu ϕ(x, y) víi rµng buéc y ∈ G(x). với ánh xạ nghiệm M (ã) xác định bởi công thức (3.3). M (x) := {y ∈ G(x) : µ(x) = ϕ(x, y)}.. Các hàm số dạng (3.1) đóng vai trò quan trọng trong giải tích biến phân, tối −u cã rµng buéc, lý thuyÕt ®iÒu khiÓn, vµ nhiÒu øng dông kh¸c nhau cña c¸c lý thuyết đó. Song song với việc đ−a ra những điều kiện đủ để hàm giá trị tối −u là liên tục hoặc Lipschitz địa ph−ơng tại một tham số cho tr−ớc (xem, ví dụ nh−, Môc 5.5 trong Ch−¬ng 5), trong kho¶ng thêi gian 30 n¨m trë l¹i ®©y, ng−êi ta đã quan tâm nghiên cứu các tính chất khả vi và khả vi theo h−ớng của hàm gi¸ trÞ tèi −u. C¸c kÕt qu¶ theo h−íng nµy th−êng ®−îc gäi lµ c¸c kÕt qu¶ vÒ tính ổn định vi phân của các bài toán tối −u. Các bài báo của Gauvin và Tolle (1977), Gauvin (1979), Auslender (1979) thuéc trong sè nh÷ng nghiªn cøu ®Çu tiªn vÒ c¸c tÝnh chÊt vi ph©n hµm gi¸ trÞ tèi −u trong c¸c bµi to¸n quy ho¹ch phi tuyÕn cho bëi c¸c hµm tr¬n, kh«ng låi. Th«ng tin thªm vÒ lý thuyÕt vµ øng dông cña c¸c hµm gi¸ trÞ tèi −u cã thÓ xem trong Auslender vµ Teboulle (2003), Bonnans vµ Shapiro (2000), Borwein vµ Zhu (2005), Clarke (1983), Dien vµ Yen (1991), Gauvin vµ Dubeau (1982, 1984), Gollan (1984), Ha (2005), Lucet vµ Ye (2001, 2002), Mordukhovich (1992, 2006a, 2006b), Mordukhovich vµ Nam (2005a), Mordukhovich vµ Shao (1996a), Rockafellar (1982, 1985), Rockafellar và Wets (1998), Thibault (1991), và các tài liệu đ−ợc trích dẫn trong đó. Tất nhiên chúng ta có thể đặt vấn đề tính dạo hàm và đối đạo hàm của ánh xạ nghiệm M (ã). Đây là một vấn đề khó, đang đ−ợc nhiều ng−ời quan tâm nghiªn cøu. Một trong những tính chất đặc tr−ng của các hàm giá trị tối −u dạng (3.1) lµ chóng lµ nh÷ng hµm kh«ng tr¬n vÒ b¶n chÊt, cho dï c¸c hµm gi¸ lµ tr¬n vµ tập ràng buộc là tập nghiệm của hệ bất đẳng thức và đẳng thức mô tả bởi các hµm tr¬n. V× vËy, ta cÇn nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt vi ph©n theo nghÜa suy réng của hàm giá trị tối −u để có đ−ợc các thông tin cốt yếu về độ nhạy và tính ổn định của các bài toán tối −u và điều khiển có nhiễu, về điều kiện cực trị, về tính điều khiển đ−ợc địa ph−ơng, v.v... Một b−ớc căn bản để thu đ−ợc các thông tin nh− thế là tiến hành đánh giá các đạo hàm suy rộng của hàm giá trị tối −u à cho bëi c«ng thøc (3.1) t¹i mét tham sè x̄ cho tr−íc th«ng qua c¸c cÊu tróc vi ph©n suy réng cña ϕ vµ G. 51. TNTA: optimal value function..

(124) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 118. Đạo hàm suy rộng có thể có hai loại chính: đạo hàm theo h−ớng/các xấp xỉ tiÕp tuyÕn trong kh«ng gian nÒn vµ d−íi vi ph©n (tËp hîp c¸c d−íi gradient)/c¸c xấp xỉ pháp tuyến trong không gian đối ngẫu. Trong một số tr−ờng hợp (bao gåm c¸c tr−êng hîp bµi to¸n víi d÷ liÖu tr¬n vµ bµi to¸n víi d÷ liÖu låi) ph−¬ng ph¸p tiÕp cËn b»ng kh«ng gian nÒn vµ ph−¬ng ph¸p tiÕp cËn b»ng kh«ng gian đối ngẫu là t−ơng đ−ơng. Nh−ng cũng có nhiều tình huống ở đó các cấu trúc trong không gian đối ngẫu không thể thu đ−ợc từ bất cứ xấp xỉ nào trong không gian nền bằng các quan hệ đối ngẫu, trong khi các cấu trúc đối ngẫu đó vẫn cho nh÷ng th«ng tin cã gi¸ trÞ vÒ d¸ng ®iÖu cña hµm gi¸ trÞ tèi −u vµ c¸c øng dông quan trọng của nó, đặc biệt là trong việc phân tích độ nhạy và trong việc thiết lËp c¸c ®iÒu kiÖn tèi −u. Trong các mục 4.5 và 4.6 chúng ta sẽ đ−a ra các quy tắc để tính toán hoặc đánh giá d−ới vi phân Fréchet và d−ới vi phân Mordukhovich của hàm à(ã) trong (3.1) thông qua d−ới vi phân t−ơng ứng của hàm giá ϕ và đối đạo hàm của ánh x¹ m« t¶ rµng buéc G. C¸c quy t¾c nµy ®−îc thiÕt lËp cho tr−êng hîp kh«ng gian v« h¹n chiÒu, trong khi hÇu hÕt c¸c quy t¾c thu ®−îc nhê c¸ch tiÕp cËn b»ng kh«ng gian nÒn cÇn tíi gi¶ thiÕt c¸c kh«ng gian X vµ Y ®−îc xÐt lµ h÷u h¹n chiÒu. Chóng ta còng sÏ minh häa c¸c kÕt qu¶ thu ®−îc b»ng mét sè vÝ dô cô thÓ.. 4.4 TÝnh comp¾c ph¸p tuyÕn theo d·y Mét trong nh÷ng ®iÓm kh¸c biÖt c¬ b¶n gi÷a gi¶i tÝch biÕn ph©n h÷u h¹n chiÒu và giải tích biến phân vô hạn chiều là sự cần thiết phải đặt ra các yêu cầu về tÝnh comp¾c ph¸p tuyÕn (normal compactness) khi ta xÐt c¸c ¸nh x¹ vµ tËp hîp trong không gian vô hạn chiều. Nếu những yêu cầu đó đ−ợc thỏa mãn thì khi lÊy giíi h¹n d·y theo t«p« yÕu∗ ta míi cã ®−îc c¸c kÕt luËn kh«ng tÇm th−êng. Mục này cung cấp một và khái niệm liên quan đến tính compắc pháp tuyến theo d·y cña c¸c tËp hîp trong kh«ng gian Banach v« h¹n hiÒu. Nh÷ng kh¸i niÖm nµy lµ cÇn thiÕt cho viÖc tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ vµ chøng minh trong Môc 4.6. Để hiểu sâu thêm, bạn đọc có thể tham khảo bộ sách của B. S. Mordukhovich (2006a,b). Nếu không nói gì thêm, thì tất cả các không gian đ−ợc xét đề là các kh«ng gian Banach. Các tính chất compắc pháp tuyến đ−ợc đ−a ra sau đây tự động thỏa mãn trong không gian hữu hạn chiều. Ngoài ra, chúng cũng nghiệm đúng với các tập hợp và ánh xạ ‘tốt’, và đ−ợc bảo tồn d−ới các phép biến đổi khá đa dạng. §Þnh nghÜa 4.4.1. TËp hîp Ω trong kh«ng gian Banach X ®−îc gäi lµ comp¾c Ω ph¸p tuyÕn theo d·y 52 (SNC) t¹i x̄ nÕu víi mäi d·y εk ↓ 0, xk → x̄, vµ 52. TNTA: sequentially normally compact (SNC)..

(125) 4.4. TÝnh comp¾c ph¸p tuyÕn theo d·y. 119. ε (xk ; Ω) ta cã x∗k ∈ N k % $ % $ w∗ x∗k → 0 =⇒ x∗k → 0 khi k → ∞. NhËn xÐt 4.4.1 (xem Mordukhovich (2006a)). NÕu X lµ kh«ng gian Asplund và nếu Ω là tập đóng địa ph−ơng trong lân cận điểm x̄, thì trong định nghĩa trên ta có thể bỏ ký hiệu εk (mà vẫn không thay đổi tính chất đ−ợc xét). Trong Định nghĩa 4.4.1 có đòi hỏi, đối với những dãy véctơ nào đó trong nÕu d·y héi tô vÒ 0 theo t«p« yÕu∗ th× d·y c¸c chuÈn t−¬ng øng ph¶i héi tô vÒ 0 (tøc lµ tõ sù héi tô cña d·y vÒ 0 theo t«p« yÕu∗ suy ra sù héi tô cña nã về 0 theo chuẩn của X∗ ). Để có thể hiểu rõ hơn ý nghĩa của đòi hỏi đó, ta xét vÝ dô sau. X ∗,. lµ kh«ng gian Hilbert cña c¸c d·y sè thùc x = VÝ dô 4.4.1. LÊy X = 2 2 (x1 , x2 , . . .) tháa ®iÒu kiÖn ∞ i=1 xi < +∞ víi chuÈn vµ tÝch v« h−íng ®−îc cho bëi ∞ 1/2 ∞ x2i , x, y = xi yi . x = i=1. i=1. X∗. víi X vµ t«p« w∗ cña X ∗ víi Nhờ Định lý Riesz, ta có thể đồng nhất (k) tôpô yếu (ký hiệu là w) của X. Lấy x = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .), ở đó số 1 w đứng ở vị trí thứ k. Ta có x(k) → 0, vì với mọi v = (v1 , v2 , . . .) ∈ X tính chất lim x(k) , v = 0 hiển nhiên nghiệm đúng. Tuy thế, x(k) = 1 0 khi k→∞. k → ∞.. §Þnh nghÜa 4.4.2. ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ Y ®−îc gäi lµ comp¾c ph¸p tuyÕn theo dãy tại (x̄, ȳ) ∈ gph F nếu đồ thị của nó có tính chất đó. Đối với tr−ờng hợp các ánh xạ, ta có thể định nghĩa một tính chất yếu hơn tÝnh comp¾c ph¸p tuyÕn theo d·y. §Þnh nghÜa 4.4.3. Ta nãi ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ Y lµ comp¾c ph¸p tuyÕn riªng rÏ theo d·y 53 (PSNC) t¹i (x̄, ȳ) nÕu víi mäi d·y εk ↓ 0, (xk , yk ) → (x̄, ȳ) mµ ε ((xk , yk ); gph F ) ta cã (xk , yk ) ∈ gph F , vµ (x∗k , yk∗ ) ∈ N k w∗. [x∗k → 0, yk∗ → 0] =⇒ [x∗k → 0] khi k → ∞. NhËn xÐt 4.4.2 (xem Mordukhovich (2006a)). NÕu X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian Asplund và F là ánh xạ đa trị có đồ thị đóng, thì trong định nghĩa trên ta có thÓ bá ký hiÖu εk (nãi c¸ch kh¸c, ta cã thÓ lÊy εk = 0). NhËn xÐt 4.4.3 (xem Mordukhovich (2006a)). TÝnh chÊt comp¾c ph¸p tuyÕn riêng rẽ theo dãy luôn nghiệm đúng khi F là giả-Lipschitz (liên tục Aubin) tại 53. TNTA: partial sequentially normally compact (PSNC)..

(126) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 120. (x̄, ȳ), tøc lµ khi tån t¹i c¸c l©n cËn U cña x̄ vµ V cña ȳ cïng víi h»ng sè 0 sao cho F (u) ∩ V ⊂ F (v) + u − vB̄Y víi mäi u, v ∈ U. §Þnh nghÜa 4.4.4. Hµm sè ϕ : X → IR ®−îc gäi lµ epi-comp¾c ph¸p tuyÕn theo dãy 54 (SNEC) tại x̄ nếu tập trên đồ thị (epigraph) epi ϕ := {(x, α) ∈ X × IR : ϕ(x) α} cña nã lµ SNC t¹i (x̄, ϕ(x̄)). Nếu ϕ là Lipschitz địa ph−ơng tại x̄, thì nó là SNEC tại x̄. Trong Mục 4.6 chúng ta sẽ cần đến các khái niệm đ−a ra trong các định nghÜa 4.4.1–4.4.4. Do khu«n khæ cã h¹n cña gi¸o tr×nh nµy, ta sÏ kh«ng ®i s©u phân tích các khái niệm đó. Bạn đọc có quan tâm có thể đọc thêm cuốn chuyên kh¶o Mordukhovich (2006a).. 4.5 D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u Mục này đ−ợc dành để trình bày các công thức tính toán d−ới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối −u tổng quát (ở đó ta không giả thiết ánh xạ đa trị G tham gia trong công thức (3.1) có một cấu trúc đặc thù nào). áp dụng các công thức thu đ−ợc cho tr−ờng hợp G(x) là tập nghiệm của hệ đẳng thức và bất đẳng thức phụ thuộc tham số 55 hoặc G(x) là tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số 56 , ta sẽ có các đánh giá d−ới vi phân Fréchet của à(ã) thông qua tËp nh©n tö Lagrange cña bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc ®−îc xÐt. Tr−ớc hết chúng ta sẽ chứng tỏ rằng có thể đặc tr−ng các d−ới gradient FrÐchet cña hµm sè thùc qua c¸c hµm sè xÊp xØ d−íi, kh¶ vi FrÐchet t¹i ®iÓm ®−îc xÐt. Bổ đề 4.5.1 (xem Mordukhovich (2006a), Định lý 1.88). Cho Z là không gian Banach. Giả sử hàm số ϕ: Z → IR là hữu hạn tại z̄ ∈ Z. Khi đó z∗ ∈ ∂ϕ(z̄) khi vµ chØ khi tån t¹i hµm sè s: Z → IR h÷u h¹n trong l©n cËn cña z̄, kh¶ vi FrÐchet t¹i z̄, vµ tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau (5.1). 54. s(z̄) = ϕ(z̄),. s (z̄) = z ∗ , vµ s(z) ϕ(z) víi mäi z ∈ Z.. TNTA: sequentially normally epi-compact (SNEC). Khi đó (3.2) là bài toán quy hoạch toán học phụ thuộc tham số. 56 Khi đó (3.2) là bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng phụ thuộc tham số. 55.

(127) 4.5. D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u. 121. Chøng minh. Gi¶ sö z ∗ ∈ ∂ϕ(z̄). Từ định nghĩa d−ới gradient Fréchet suy ra r»ng tån t¹i mét l©n cËn U cña z̄ sao cho ϕ(z) > −∞ víi mäi z ∈ U . Hµm sè s(z) := min {ϕ(z), ϕ(z̄) + z ∗ , z − z̄}. (∀z ∈ Z). tháa m·n tÊt c¶ c¸c tÝnh chÊt cÇn cã. ThËt vËy, ta cã s h÷u h¹n trªn U v× r»ng s(z) > −∞ víi mäi z ∈ U vµ s(z) ϕ(z̄) + z ∗ , z − z̄ < ∞ víi mäi z ∈ Z. Từ công thức định nghĩa s ta suy ra rằng s(z̄) = ϕ(z̄) và s(z) ϕ(z) với mọi z ∈ Z. Ngoµi ra, lim sup z→z̄. s(z) − s(z̄) − z ∗ , z − z̄ 0. z − z̄. sử dụng định nghĩa d−ới gradient Fréchet và công Do ®iÒu kiÖn z∗ ∈ ∂ϕ(z̄), thøc cña hµm s ta thu ®−îc lim inf z→z̄. s(z) − s(z̄) − z ∗ , z − z̄ 0. z − z̄. Từ đó suy ra s hữu hạn trong lân cận của z̄, khả vi Fréchet tại z̄ và s (z̄) = z ∗ . Ng−îc l¹i, gi¶ sö r»ng z∗ ∈ Z ∗ vµ tån t¹i hµm sè s: Z → IR tháa m·n c¸c tính chất trong (5.1). Khi đó ta có lim inf z→z̄. ϕ(z) − ϕ(z̄) − z ∗ , z − z̄ s(z) − s(z̄) − z ∗ , z − z̄ lim inf = 0. z→z̄ z − z̄ z − z̄. Chøng minh kÕt thóc.. 2. Bài tập 4.5.1. Kiểm tra kết luận của của Bổ đề 4.5.1 cho các tr−ờng hợp Z = IR2 , ϕ(z) = z, z̄ = 0 vµ Z = IR2 , ϕ(z) = −z, z̄ = 0. VÏ h×nh để minh họa cho kết quả nói rằng ∂ϕ(z̄) = [−1, 1] trong tr−êng hîp thø nhÊt vµ ∂ϕ(z̄) = ∅ trong tr−êng hîp thø hai.. Định lý sau đây cho ta một đánh giá trên (upper estimate) cho d−ới vi phân FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u tæng qu¸t trong c«ng thøc (3.1) t¹i tham sè x̄ cho tr−ớc. Đánh giá này đ−ợc thiết lập thông qua đối đạo hàm Fréchet của ánh xạ m« t¶ rµng buéc G vµ c¸c tËp d−íi vi ph©n FrÐchet trªn cña hµm gi¸ ϕ. Gi¶ thiết cơ bản ở đây là ∂+ ϕ(x̄, ȳ) khác rỗng đối với một phần tử ȳ ∈ M (x̄) nào đó. Đòi hỏi này đ−ợc thỏa mãn trong nhiều lớp bài toán tối −u57 . §Þnh lý 4.5.1. Gi¶ sö hµm gi¸ trÞ tèi −u µ(·) trong (3.1) lµ h÷u h¹n t¹i x̄ ∈ dom M , và giả sử ȳ ∈ M (x̄) là véctơ thỏa mãn ∂+ ϕ(x̄, ȳ) = ∅. Khi đó % $ ∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ) . x∗ + D (5.2) ∂µ(x̄) ⊂ 57. (x∗ ,y ∗ )∈∂0+ ϕ(x̄,ȳ). Một vài kết quả t−ơng tự nh− các định lý 4.5.1 và 4.5.2 đã đ−ợc thiết lập cho hàm giá trị tối −u trong bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc cã tham sè víi d÷ liÖu lµ c¸c hµm tr¬n; xem Gollan (1984), Maurer vµ Zowe (1979)..

(128) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 122. vµ víi mçi ε > 0 Chøng minh. §Ó kiÓm chøng (5.2), ta lÊy tïy ý u∗ ∈ ∂µ(x̄) ta chän η > 0 sao cho −εx − x̄ µ(x) − µ(x̄) − u∗ , x − x̄ ∀x ∈ B(x̄, η). V× ȳ ∈ M (x̄), ta cã (5.3). u∗ , x − x̄ µ(x) − ϕ(x̄, ȳ) + εx − x̄. ∀x ∈ B(x̄, η).. Lấy cố định một véctơ tùy ý (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂+ ϕ(x̄, ȳ). Do (2.3), áp dụng Bổ đề ȳ) ta t×m ®−îc hµm sè s: X × Y → IR 4.5.1 cho vÐct¬ (−x∗ , −y ∗ ) ∈ ∂(−ϕ)(x̄, kh¶ vi FrÐchet t¹i (x̄, ȳ) sao cho s(x̄, ȳ) = ϕ(x̄, ȳ), s (x̄, ȳ) = (x∗ , y ∗ ), (5.4) s(x, y) ϕ(x, y) ∀(x, y) ∈ X × Y. §Ó ý r»ng µ(x) ϕ(x, y) s(x, y) víi mäi y ∈ G(x). Tõ (5.3) vµ (5.4) ta suy ra u∗ , x − x̄ ϕ(x, y) − ϕ(x̄, ȳ) + εx − x̄ s(x, y) − s(x̄, ȳ) + εx − x̄ = sx (x̄, ȳ), x − x̄ + sy (x̄, ȳ), y − ȳ +o(x − x̄ + y − ȳ) + εx − x̄ = x∗ , x − x̄ + y ∗ , y − ȳ + o(x − x̄ + y − ȳ) + εx − x̄ với mọi (x, y) mà x ∈ B(x̄, η) và y ∈ G(x). Vì ε > 0 đ−ợc chọn tùy ý, từ đó suy ra u∗ − x∗ , x − x̄ − y ∗ , y − ȳ 0. lim sup x − x̄ + y − ȳ gph G (x,y) −→ (x̄,ȳ). ȳ); gph G), ở đó δ(ã; gph G) là Điều đó chứng tỏ rằng (u∗ − x∗ , −y ∗ ) ∈ ∂δ((x̄, hàm chỉ của tập gph G. L−u ý đến (2.7) ta thu đ−ợc (u∗ − x∗ , −y ∗ ) ∈ N gph G (x̄, ȳ). Do (2.9), từ đó ta có. ∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ). u∗ − x∗ ∈ D. VËy ta cã bao hµm thøc ∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ), u∗ ∈ x∗ + D tức là (5.2) nghiệm đúng.. 2.

(129) 4.5. D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u. 123. §Þnh nghÜa 4.5.1 (xem Robinson (1979)). ¸nh x¹ h: D → Y ®−îc gäi lµ Lipschitz trên địa ph−ơng 58 tại x̄ ∈ D, ở đó D là một tập con của X, nếu tồn t¹i η > 0 vµ 0 sao cho h(x) − h(x̄) x − x̄ ∀x ∈ B(x̄, η) ∩ D. Định nghĩa 4.5.2. Ta nói rằng ánh xạ đa trị F : D ⇒ Y , ở đó D ⊂ X, có lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng 59 tại (x̄, ȳ) ∈ gph F nếu tồn tại ánh xạ đơn trị h: D → Y Lipschitz trên địa ph−ơng tại x̄ sao cho h(x̄) = ȳ và h(x) ∈ F (x) víi mäi x ∈ D trong mét l©n cËn cña x̄. Định lý sau đ−a ra điều kiện đủ để bao hàm thức (5.2) nghiệm đúng d−ới dạng một đẳng thức. §Þnh lý 4.5.2. Ngoµi c¸c gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 4.5.1, ta gi¶ sö thªm r»ng ϕ lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i (x̄, ȳ) vµ ¸nh x¹ nghiÖm M : dom G ⇒ Y cã l¸t c¾t Lipschitz trên địa ph−ơng tại (x̄, ȳ). Khi đó ∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ), ∂µ(x̄) = x∗ + D. (5.5) víi ∗. ∗. . (x , y ) := ϕ (x̄, ȳ) =. ∂ϕ(x̄, ȳ) ∂ϕ(x̄, ȳ) , ∂x ∂y. !. lµ vÐct¬ gradient cña ϕ t¹i (x̄, ȳ). ∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ). §Ó Chøng minh. Theo §Þnh lý 4.5.1 ta cã ∂µ(x̄) ⊂ x∗ + D chøng minh r»ng bao hµm thøc ng−îc l¹i ∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ) ⊂ ∂µ(x̄) x∗ + D nghiệm đúng d−ới các điều kiện phụ nói trong định lý, ta cố định một phần tử / ∂µ(x̄). Ta cÇn chøng tá r»ng bÊt kú u∗ ∈ ∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ). / x∗ + D u∗ ∈. (5.6). / ∂µ(x̄) kÐo theo Do định nghĩa d−ới gradient Fréchet, điều kiện u∗ ∈ lim inf x→x̄. µ(x) − µ(x̄) − u∗ , x − x̄ < 0. x − x̄. V× vËy tån t¹i ε > 0 vµ d·y xk → x̄, xk = x̄ víi mäi k ∈ IN , sao cho (5.7) 58 59. µ(xk ) − µ(x̄) − u∗ , xk − x̄ −ε. xk − x̄. TNTA: locally upper Lipschitzian. TNTA: admits a local upper Lipschitzian selection..

(130) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 124. NÕu xk ∈ / dom G thì G(xk ) = ∅. Khi đó ta có µ(xk ) = inf{ϕ(xk , y) : y ∈ G(xk )} = +∞, m©u thuÉn víi (5.7). VËy ta ph¶i cã xk ∈ dom G víi mäi k ∈ IN . LÊy l¸t c¾t h(ã) Lipschitz trên địa ph−ơng tại (x̄, ȳ) của ánh xạ nghiệm M : dom G ⇒ Y nh− trong giả thiết của định lý. Đặt yk := h(xk ) và để ý rằng à(x̄) = ϕ(x̄, ȳ), µ(xk ) = ϕ(xk , yk ). Tõ (5.7) suy ra u∗ , xk − x̄ ϕ(xk , yk ) − ϕ(x̄, ȳ) + εxk − x̄ = ϕ (x̄, ȳ), (xk − x̄, yk − ȳ) + o(xk − x̄ + yk − ȳ) +εxk − x̄ = x∗ , xk − x̄ + y ∗ , yk − ȳ + o(xk − x̄ + yk − ȳ) +εxk − x̄. Sử dụng tính chất Lipschitz trên địa ph−ơng của h(ã) tại x̄, ta có 1 xk − x̄ yk − ȳ với k ∈ IN đủ lớn. Điều đó kéo theo các đánh giá u∗ − x∗ , xk − x̄ − y ∗ , yk − ȳ ε yk − ȳ + o(xk − x̄ + yk − ȳ) 2ε xk − x̄ + 2 ε(xk − x̄ + yk − ȳ) + o(xk − x̄ + yk − ȳ), ở đó ε := min{ε/2, ε/(2)}. Vì vậy, lim sup gph G. (x,y) −→ (x̄,ȳ). u∗ − x∗ , x − x̄ − y ∗ , y − ȳ ε; x − x̄ + y − ȳ. / N cã nghÜa lµ (u∗ − x∗ , −y ∗ ) ∈ gph G (x̄, ȳ). Tính chất đó chứng tỏ rằng (5.6) nghiệm đúng. Chứng minh kết thúc. 2 Bây giờ chúng ta xét một số ví dụ để thấy những nét đặc tr−ng của hai định lý võa thu ®−îc vµ cña c¸c gi¶ thiÕt cña chóng. Chóng ta b¾t ®Çu víi c¸c vÝ dụ chứng tỏ rằng bao hàm thức (5.2) trong Định lý 4.5.1 có thể trở thành đẳng thøc ngay c¶ hµm gi¸ ϕ kh«ng kh¶ vi FrÐchet. §Ó cho tiÖn, chóng ta ký hiÖu c¸c biÓu thøc ë vÕ tr¸i vµ vÕ ph¶i cña (5.2) t−¬ng øng bëi LHS (left-hand side) vµ RHS (right-hand side). VÝ dô 4.5.1. LÊy X = Y = IR. §Æt ϕ(x, y) = −|y| vµ √ √ nÕu x 0, [− x, x] G(x) = ∅ nÕu x < 0..

(131) 4.5. D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u. 125. DÔ thÊy r»ng gph G = {(x, y) ∈ IR2 : y 2 − x 0}. TÝnh hµm gi¸ trÞ tèi −u theo c«ng thøc (3.1), ta cã √ nÕu x 0, − x µ(x) = ∞ nÕu x < 0. Do đó ⎧ ⎨ ∅ √ LHS = RHS = { − 1/(2 x̄)} ⎩. nÕu x̄ = ȳ = 0, √ nÕu x̄ > 0 √ vµ hoÆc lµ ȳ = x̄ hoÆc ȳ = − x̄.. Vậy (5.2) nghiệm đúng d−ới dạng đẳng thức với mọi (x̄, ȳ) ∈ gph M .. H×nh 17 VÝ dô 4.5.2. LÊy X = Y = IR. §Æt ϕ(x, y) = −|x| + 2y vµ G(x) = {y ∈ IR : y |x|}. Ta cã µ(x) = |x| vµ 0 ∈ M (0). DÔ thÊy r»ng ∂µ(0) = [−1, 1],. ∂+ ϕ(0, 0) = [−1, 1] × {2},. ∗ G(0, 0)(2) = [−2, 2]. D. Do đó, (x∗ ,y ∗ )∈∂0+ ϕ(0,0). {x∗ + D∗ G(0, 0)(y ∗ )} =. x∗ ∈[−1,1]. nghĩa là (5.2) nghiệm đúng d−ới dạng đẳng thức.. {x∗ + [−2, 2]} = [−1, 1],.

(132) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 126. Trong hai vÝ dô trªn, hµm môc tiªu ϕ(x, y) lµ hµm lâm vµ ¸nh x¹ ®a trÞ m« tả ràng buộc G là lồi. Vậy đánh giá (5.2) vẫn có thể nghiệm đúng d−ới dạng đẳng thức đối với những bài toán tối −u không lồi. Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng giả thiết về sự tồn tại lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng trong Định lý 4.5.2 là thiÕt yÕu, kh«ng thÓ bá ®i ®−îc. VÝ dô 4.5.3. LÊy X = Y = IR vµ x̄ = ȳ = 0. XÐt hµm gi¸ trÞ tèi −u µ(x) x¸c định bởi (3.1) với & ϕ(x, y) = 0 vµ G(x) := [ |x|, ∞). Khi đó ta có µ(x) = 0 vµ ∂+ ϕ(x, y) = {0} víi mäi (x, y) ∈ IR2 . Ngoµi ra, N gph G ((0, 0)) = IR×(−∞, 0]. V× vËy LHS = {0}, trong khi RHS=IR, nghÜa lµ bao hµm thøc (5.2) lµ chÆt. NhËn xÐt r»ng ¸nh x¹ nghiÖm (3.3) kh«ng có lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng tại (x̄, ȳ).. H×nh 18 VÝ dô sau ®©y chøng tá r»ng tuy gi¶ thiÕt vÒ sù tån t¹i l¸t c¾t Lipschitz trªn địa ph−ơng trong Định lý 4.5.2 là không thể bỏ đ−ợc, nh−ng nó cũng không phải là điều kiện cần để có dấu bằng trong bao hàm thức (5.2). VÝ dô 4.5.4. LÊy X = Y = IR vµ x̄ = ȳ = 0. XÐt hµm sè µ(x) trong (3.1) víi ϕ(x, y) := (x − y 2 )2 vµ G(x) := IR. Sö dông (3.1) vµ (3.3) ta t×m ®−îc 2 x µ(x) = 0. nÕu x 0 nÕu x > 0.

(133) 4.5. D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u . vµ M (x) =. {0} √ √ {− x, x}. 127. nÕu x 0 nÕu x > 0.. Trong khi ánh xạ nghiệm M (ã) không có lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng, đẳng thøc vÉn x¶y ra trong (5.2) v× r»ng ∂µ(0) = {0},. ∗ G(0, 0)(0) = {0}. ϕ (0, 0) = {(0, 0)}, vµ D. Vậy giả thiết về sự tồn tại lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng là điều kiện đủ, nh−ng nói chung không phải là điều kiện cần để có dấu đẳng thức trong (5.2). Bµi tËp 4.5.2. B»ng c¸c tÝnh to¸n cô thÓ, h·y kiÓm tra c¸c kÕt qu¶ nãi trong c¸c vÝ dô 4.5.1-4.5.4.. Từ các định lý 4.5.1 và 4.5.2 chúng ta có thể rút ra quy tắc tính d−ới vi ph©n FrÐchet cña tæng hai hµm sè vµ quy t¾c hµm hîp cho d−íi vi ph©n FrÐchet. C¸c quy t¾c kh¸c (ë cïng d¹ng) cã thÓ xem trong Mordukhovich, Nam vµ Yen (2006). NhËn xÐt r»ng c¸c quy t¾c tÝnh to¸n chÝnh x¸c60 c¸c phÇn tö d−íi gradient FrÐchet (kh¸c víi c¸c quy t¾c tÝnh to¸n mê 61 trong Borwein vµ Zhu (2005), Mordukhovich (2006a)) thu ®−îc ë ®©y lµ kh¸ thó vÞ. HÖ qu¶ 4.5.1 (Quy t¾c tÝnh d−íi vi ph©n FrÐchet cña tæng). Cho ϕi : X → IR (i = 1, 2) lµ c¸c hµm sè thùc, h÷u h¹n t¹i x̄. Gi¶ sö r»ng ∂+ ϕ1 (x̄) = ∅. Khi đó 2 (x̄)] ⊂ ∂+ ϕ1 (x̄) + ∂ϕ 2 (x̄). 1 + ϕ2 )(x̄) ⊂ [x∗ + ∂ϕ (5.8) ∂(ϕ x∗ ∈∂0+ ϕ1 (x̄). Chøng minh. §Æt. ϕ(x, y) = ϕ1 (x) + y,. G(x) = [ϕ2 (x), ∞). và để ý rằng gph G = epi ϕ2 , trong khi µ(x) := inf ϕ(x, y) = ϕ1 (x) + ϕ2 (x). y∈G(x). Ngoài ra, ȳ := ϕ2 (x̄) ∈ M (x̄), ở đó M đ−ợc xác định bởi (3.3). Lấy tùy ý x∗ ∈ ∂+ ϕ1 (x̄), ta cã (x∗ , 1) ∈ ∂+ ϕ(x̄, ȳ). Do §Þnh lý 4.5.1, 2 (x̄). 1 + ϕ2 )(x̄) ⊂ x∗ + D ∗ G(x̄, ϕ2 (x̄))(1) = x∗ + ∂ϕ ∂µ(x̄) = ∂(ϕ Quy tắc (5.8) đã đ−ợc chứng minh. 60 61. TNTA: exact calculus rules. TNTA: fuzzy calculus rules.. 2.

(134) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 128. HÖ qu¶ 4.5.2 (Quy t¾c tÝnh d−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm hîp). Gi¶ sö ¸nh x¹ f : X → Y là Lipschitz địa ph−ơng tại x̄ và giả sử hàm số ϕ: Y → IR là hữu h¹n t¹i ȳ := f (x̄). NÕu ∂+ ϕ(ȳ) = ∅, th× bao hµm thøc ∗ , f (x̄) ◦ f )(x̄) ⊂ ∂y (5.9) ∂(ϕ y ∗ ∈∂0+ ϕ(ȳ). nghiệm đúng. Chøng minh. §Æt ϕ(x, y) := ϕ(y) vµ G(x) := {f (x)}. ¸p dông §Þnh lý 4.5.1 vµ c«ng thøc (2.11) ta thu ®−îc (5.9). 2 B©y giê chóng ta dÉn ra nguyªn lý biÕn ph©n cho d−íi vi ph©n trªn62 . MÖnh đề này đ−ợc chứng minh nhờ nguyên lý biến phân Ekeland (xem Định lý 2.1.1 trong Ch−¬ng 2) vµ HÖ qu¶ 4.5.1. §Þnh lý 4.5.3. Gi¶ sö ϕ: X → (−∞, ∞] lµ hµm sè nöa liªn tôc d−íi, bÞ chÆn d−ới ở trong không gian Banach X. Khi đó, với mọi ε > 0, λ > 0, và x0 ∈ X tháa m·n ϕ(x0 ) < inf ϕ(x) + ε, x∈X. tån t¹i x̄ ∈ X sao cho (a) x̄ − x0 < λ, (b) ϕ(x̄) < inf ϕ(x) + ε, x∈X. (c) x∗ ε/λ víi mäi x∗ ∈ ∂+ ϕ(x̄). Chứng minh. Theo nguyên lý biến phân Ekeland, từ các giả thiết của định lý suy ra r»ng tån t¹i x̄ ∈ X tháa m·n x0 − x̄ < λ,. ϕ(x̄) < inf ϕ(x) + ε, x∈X. và ϕ(x̄) ϕ(x) + (ε/λ)x − x̄ với mọi x ∈ X. Điều đó chứng tỏ rằng hàm sè ψ(x) := ϕ(x) + (ε/λ)x − x̄,. (5.10). x ∈ X,. đạt cực tiểu toàn cục tại x̄. Do định nghĩa d−ới gradient Fréchet, từ đó ta có 0 ∈ ∂ψ(x̄). Để ý rằng khẳng định (c) là tầm th−ờng nếu ∂+ ϕ(x̄) = ∅. Vậy chỉ phải chứng minh (c) d−ới giả thiết ∂+ ϕ(x̄) = ∅. Trong tr−ờng hợp đó, áp dụng HÖ qu¶ 4.5.1 cho hµm tæng trong (5.10), tõ bao hµm thøc 0 ∈ ∂ψ(x̄) ta nhËn ®−îc % $ $ % · −x̄(x̄) ⊂ x∗ + (ε/λ)∂ x∗ + (ε/λ)B̄X ∗ , 0∈ 62. x∗ ∈∂0+ ϕ(x̄). TNTA: uper subdifferential variational principle.. x∗ ∈∂0+ ϕ(x̄).

(135) 4.5. D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u. 129. ở đó B̄X ∗ ký hiệu hình cầu đơn vị đóng trong X∗ . Vì vậy x∗ ε/λ với mọi x∗ ∈ ∂+ ϕ(x̄). 2 Tiếp theo chúng ta sẽ áp dụng các định lý 4.5.1 và 4.5.2 cho các bài toán quy hoạch toán học ở đó ánh xạ mô tả ràng buộc là ánh xạ nghiệm của hệ đẳng thức/bất đẳng thức phụ thuộc tham số, hoặc là ánh xạ nghiệm của bài toán cân b»ng phô thuéc tham sè. Tr−íc hÕt ta xÐt bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc trong kh«ng gian Banach víi các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức. Đó là một dạng đặt biệt của bài toán (3.2) víi ¸nh x¹ G: X ⇒ Y ®−îc cho bëi c«ng thøc G(x) := y ∈ Y : ϕi (x, y) 0, i = 1, . . . , m, (5.11) ϕi (x, y) = 0, i = m + 1, . . . , m + r , ở đó ϕi : X ì Y → IR (i = 1, . . . , m + r) là các hàm số thực cho tr−ớc. Định lý đầu tiên của chúng ta liên quan đến các bài toán quy hoạch với dữ liệu là các hµm sè kh¶ vi FrÐchet (chóng kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i lµ tr¬n hay kh¶ vi chÆt t¹i c¸c ®iÓm ®−îc xÐt). §¸nh gi¸ trªn cho d−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u µ(·) sÏ ®−îc thiÕt lËp b»ng c¸ch sö dông c¸c nh©n tö Lagrange 63 cæ ®iÓn. Để phát biểu định lý này, chúng ta nhắc lại khái niệm hàm Lagrange 64 (5.12). L(x, y, λ) = ϕ(x, y) + λ1 ϕ1 (x, y) + . . . + λm+r ϕm+r (x, y),. của bài toán quy phi tuyến (3.2) với ràng buộc (5.11), ở đó λ := (λ1 , . . . , λm+r ) ∈ IRm+r lµ mét bé c¸c nh©n tö Lagrange. (Ng−êi ta còng th−êng gäi vÐct¬ λ lµ nh©n tö Lagrange.) Cho tr−ớc một điểm (x̄, ȳ) ∈ gph M trên đồ thị của ánh xạ nghiệm (3.3) vµ vÐct¬ y∗ ∈ Y ∗ , ta xÐt c¸c tËp nh©n tö Lagrange sau ®©y: (5.13) m+r λi (ϕi )y (x̄, ȳ) = 0, Λ(x̄, ȳ) := λ ∈ IRm+r : ϕy (x̄, ȳ) + i=1 λi 0, λi ϕi (x̄, ȳ) = 0 víi i = 1, . . . , m , vµ (5.14). Λ(x̄, ȳ, y ∗ ) := λ ∈ IRm+r :. y∗ +. m+r. λi (ϕi )y (x̄, ȳ) = 0,. i=1 λi 0, λi ϕi (x̄, ȳ) = 0 víi i = 1, . . . , m . 63 64. TNTA: Lagrange multiplier. TNTA: Lagrangian..

(136) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 130. ∂ϕ(x̄, ȳ) ∂ϕi (x̄, ȳ) , (ϕi )y (x̄, ȳ) = là các đạo hàm riêng của ∂y ∂y ϕ và ϕi theo biến y tại điểm (x̄, ȳ). Ta có thể viết lại đẳng thức đầu tiên trong (5.13) thông qua đạo hàm riêng của hàm Lagrange (5.12) theo biến y nh− sau:. ë ®©y ϕy (x̄, ȳ) =. Ly (x̄, ȳ, λ) = 0. Đối với các tập nhân tử Lagrange (5.13) và (5.14), ta để ý rằng Λ(x̄, ȳ, ϕy (x̄, ȳ)) = Λ(x̄, ȳ). §Þnh lý 4.5.4 (D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u cña c¸c bµi to¸n quy hoạch toán học khả vi trong không gian Banach). Giả sử à(ã) đ−ợc xác định bëi (3.1) víi G(·) ®−îc cho bëi (5.11) vµ ¸nh x¹ M (·) t−¬ng øng ®−îc cho bëi (3.3), vµ dom M = ∅. LÊy x̄ ∈ dom M vµ ȳ ∈ M (x̄) tháa m·n ∂+ ϕ(x̄, ȳ) = ∅ vµ gi¶ sö r»ng c¸c hµm ϕi , i = 1, . . . , m + r, lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i (x̄, ȳ) vµ liên tục trong lân cận của điểm đó, và (5.15). ϕ1 (x̄, ȳ), . . . , ϕm+r (x̄, ȳ) là độc lập tuyến tính.. Khi đó bao hàm thức sau nghiệm đúng: (5.16). ∂µ(x̄) ⊂. +. . . (x∗ ,y ∗ )∈∂0+ ϕ(x̄,ȳ). λ∈Λ(x̄,ȳ,y ∗ ). x∗ +. m+r i=1. , λi (ϕi )x (x̄, ȳ. .. Ngoµi ra, nÕu hµm ϕ còng kh¶ vi FrÐchet t¹i (x̄, ȳ) vµ ¸nh x¹ nghiÖm M : dom G ⇒ Y có lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng tại (x̄, ȳ), thì (5.16) trở thành đẳng thức: , + m+r λi (ϕi ) (x̄, ȳ) . ϕ (x̄, ȳ) + (5.17) ∂µ(x̄) = x. λ∈Λ(x̄,ȳ). x. i=1. Chøng minh. Tr−íc hÕt, chóng ta thiÕt lËp c«ng thøc (5.18) m+r ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ λi ϕi (x̄, ȳ) D G(x̄, ȳ)(v ) = u ∈ X : (u , −v ) = i=1. víi mét λ ∈ IRm+r tháa m·n λi 0, λi ϕi (x̄, ȳ) = 0 ở đó i = 1, . . . , m cho đối đạo hàm của ánh xạ G(ã) trong (5.11) d−ới giả thiết rằng các hàm ϕi (i = 1, . . . , m + r) lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i (x̄, ȳ) vµ ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ rµng buéc (5.15) ®−îc tháa m·n..

(137) 4.5. D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u. 131. Để chứng minh (5.18), chúng ta nhận xét rằng đồ thị của ánh xạ G(ã) đ−ợc xÐt cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng ¶nh ng−îc (5.19). gph G = f −1 (K) := {(x, y) ∈ X × Y : f (x, y) ∈ K}. của hình nón lồi đóng K ⊂ IRm+r xác định bởi (5.20) K := (α1 , . . . , αm+r ) ∈ IRm+r : αi 0 víi i = 1, . . . , m,. . αi = 0 víi i = m + 1, . . . , m + r qua ¸nh x¹ f : X × Y → IRm+r ®−îc cho bëi (5.21). f (x, y) := (ϕ1 (x, y), . . . ϕm+r (x, y)).. Do (5.21), f lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i (x̄, ȳ) khi vµ chØ khi tÊt c¶ c¸c hµm ϕi (i = 1, . . . , m + r) là khả vi Fréchet tại (x̄, ȳ). Ngoài ra, toán tử đạo hàm f (x̄, ȳ): X × Y → IRm+r lµ trµn khi vµ chØ khi ®iÒu kiÖn (5.15) ®−îc tháa m·n. Sö dông quy t¾c tÝnh toán trong Mordukhovich (2006a), Hệ quả 1.15, để tính nón pháp tuyến Fréchet cña ¶nh ng−îc cña c¸c tËp hîp trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu qua ¸nh x¹ kh¶ vi Fréchet với đạo hàm tràn, ta có (f (x̄, ȳ); K) . ((x̄, ȳ); f −1 (K)) = (f (x̄))∗ N (5.22) N Từ đó, do định nghĩa đối đạo hàm, do biểu diễn (5.19), do các cấu trúc đặc biệt cña K trong (5.20) vµ f trong (5.21), ta thu ®−îc (5.18). vµ lÊy tïy ý mét Để chứng minh (5.16), ta cố định một phần tử x ∗ ∈ ∂µ(x̄) ∗ ∗ + phÇn tö (x , y ) ∈ ∂ ϕ(x̄, ȳ). Theo §Þnh lý 4.5.1, ∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ). x ∗ − x∗ ∈ D Do (5.18), tån t¹i (λ1 , . . . , λm+r ) ∈ IRm+r víi λi ≥ 0 vµ λi ϕi (x̄, ȳ) = 0 víi mäi i = 1, . . . , m sao cho ∗. ∗. ∗. m+r. ( x − x , −y ) = i=1. λi ϕi (x̄, ȳ).. L−u ý đến (5.14), ta có x ∗ − x∗ ∈. λ∈Λ(x̄,ȳ,y ∗ ). +m+r i=1. , λi (ϕi )x (x̄, ȳ). ..

(138) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 132 Điều đó chứng tỏ rằng (5.16) nghiệm đúng.. B©y giê ta gi¶ sö r»ng hµm ϕ lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i (x̄, ȳ) vµ ¸nh x¹ nghiÖm M (ã) có lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng tại (x̄, ȳ). Khi đó, theo Định lý 4.5.2, (5.5) nghiệm đúng. Sử dụng (5.18), từ đó ta thu đ−ợc (5.17). 2 Sau ®©y chóng ta xÐt tr−êng hîp c¸c hµm rµng buéc trong (5.11) kh«ng nhÊt thiÕt lµ kh¶ vi t¹i (x̄, ȳ). §Þnh lý 4.5.5 (D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u cña c¸c bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc kh«ng kh¶ vi trong kh«ng gian Asplund). Gi¶ sö µ(·) ®−îc x¸c định bởi (3.1) với G: X ⇒ Y đ−ợc cho bởi (4.11), ở đó X và Y là các không gian Asplund. Gi¶ sö r»ng dom M = ∅ vµ tån t¹i x̄ ∈ dom M , ȳ ∈ M (x̄), sao cho ∂+ ϕ(x̄, ȳ) = ∅, víi M (·) lµ ¸nh x¹ ®−îc cho bëi (3.3). Gi¶ thiÕt thªm r»ng các hàm số ϕi (i = 1, . . . , m + r) là Lipschitz địa ph−ơng tại (x̄, ȳ) và điều kiÖn chuÈn ho¸ rµng buéc (®iÒu kiÖn chÝnh quy) sau ®−îc tháa m·n: ChØ cã (λ1 , . . . , λm+r ) = 0 ∈ IRm+r lµ vÐct¬ tháa m·n c¸c tÝnh chÊt m. (5.23). 0∈. m+r. λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)),. λi ∂ϕi (x̄, ȳ) + i=1. i=m+1. m+r , λi ϕi (x̄, ȳ) = 0 víi i = 1, . . . , m. (λ1 , . . . , λm+r ) ∈ IR+. Khi đó, (5.24) ∂µ(x̄) ⊂. (x∗ ,y ∗ )∈∂0+ ϕ(x̄,ȳ). $. u∗. ∈. X∗. :. (u∗ , 0). ∈. (x∗ , y ∗ ) +. m. λi ∂ϕi (x̄, ȳ) i=1. m+r. λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)). + i=m+1. m+r víi (λ1 , . . . , λm+r ) ∈ IR+. % tháa m·n λi ϕi (x̄, ȳ) = 0, i = 1, . . . , m .. Ngoài ra, (5.24) trở thành đẳng thức nếu ta giả sử thêm rằng hàm ϕ là khả vi Fréchet tại (x̄, ȳ), tất cả các hàm ràng buộc ϕi là khả vi chặt tại điểm đó, và ánh xạ nghiệm M : dom G ⇒ Y có lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng tại (x̄, ȳ). Chứng minh. Để thu đ−ợc (5.24), ta sử dụng bao hàm thức (5.2) và để ý rằng (5.25). ∗ G(x̄, ȳ)(v ∗ ) ⊂ D∗ G(x̄, ȳ)(v ∗ ), D. v∗ ∈ Y ∗.

(139) 4.5. D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u. 133. áp dụng Hệ quả 4.36 trong Mordukhovich (2006a), ta có đánh giá trên D∗ G(x̄, ȳ)(v ∗ ). ⊂. . u∗. ∈. X∗. :. (u∗ , −v ∗ ). ∈. λi ∂ϕi (x̄, ȳ) i=1. m+r. (5.26). m. λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)). + i=m+1. m+r víi (λ1 , . . . , λm+r ) ∈ IR+. . tháa m·n λi ϕi (x̄, ȳ) = 0, i = 1, . . . , m cho đối đạo hàm D∗ G(x̄, ȳ) của ánh xạ G(ã) cho bởi (5.11) d−ới điều kiện các hàm ϕi (i = 1, . . . , m + r) là Lipschitz địa ph−ơng tại (x̄, ȳ) và điều kiện chuẩn ho¸ rµng buéc: (5.27). (5.23) =⇒ (λ1 , . . . , λm+r ) = (0, . . . , 0).. Lập luận t−ơng tự nh− trong chứng minh Định lý 4.5.4, ta thu đ−ợc đánh giá (5.24). Để thiết lập đẳng thức trong (5.24) d−ới các điều kiện nói ở khẳng định thứ hai của định lý, ta sử dụng Định lý 4.5.2. Chỉ còn phải chứng tỏ rằng đánh gi¸ (5.26) cã dÊu b»ng d−íi ®iÒu kiÖn chÝnh quy (5.27) vµ gi¶ thiÕt vÒ tÝnh kh¶ vi chặt tại (x̄, ȳ) của các hàm ϕi . Điều đó suy ra từ chứng minh của Hệ quả 4.36 trong Mordukhovich (2006a) bằng cách áp dụng khẳng định (iii) của Định lý 3.13 (Quy tắc hàm hợp cho đối đạo hàm) trong Mordukhovich (2006a). 2 Dựa trên Định lý 4.5.5 chúng ta có thể đ−a ra đánh giá trên cho d−ới vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u trong bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc phô thuéc tham số với dữ liệu khả vi, ở đó thay cho (5.15) ta sử dụng điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz - mét ®iÒu kiÖn yÕu h¬n (5.15). Tuy thÕ, ta ph¶i gi¶ thiÕt r»ng X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian Asplund vµ c¸c hµm rµng buéc trong (5.11) lµ kh¶ vi chÆt (x̄, ȳ). Hệ quả 4.5.3. D−ới các giả thiết nói trong khẳng định thứ nhất của Định lý 4.5.5, gi¶ sö r»ng X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian Asplund, c¸c hµm rµng buéc ϕi lµ kh¶ vi chÆt 65 t¹i (x̄, ȳ), vµ ®iÒu kiÖn (5.15) ®−îc thay b»ng ®iÒu kiÖn sau: (5.28) ϕm+1 (x̄, ȳ), . . . , ϕm+r (x̄, ȳ) là độc lập tuyến tính; tån t¹i w ∈ X × Y sao cho ϕi (x̄, ȳ), w = 0 nÕu i = m + 1, . . . , m + r, ϕi (x̄, ȳ), w < 0 nÕu i = 1, . . . , m víi ϕi (x̄, ȳ) = 0. Khi đó ta có (5.16), và bao hàm thức đó trở thành đẳng thức (5.17) khi ϕ và M (ã) thỏa mãn các giả thiết nói trong khẳng định thứ hai của Định lý 4.5.5. Chứng minh. Các khẳng định trong hệ quả này suy ra từ các khẳng định t−ơng øng trong §Þnh lý 4.5.5. 2 65. Xem định nghĩa trong chú thích ở Mệnh đề 4.2.1..

(140) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 134. Bµi tËp 4.5.3. Cho X = Y = IR, ϕ(x, y) = x|y| vµ G(x) = {y : x + |y| 0, x − y = 1}. áp dụng Định lý 4.5.5 để tính (hoặc đánh giá) d−ới vi phân ∂à(x̄) cña hàm à xác định bởi (3.1) tại x̄ = 0.. Mục đích của hai bài tập sau là tìm hiểu mối liên hệ giữa Định lý 4.5.5 và §Þnh lý 4.5.4. Bµi tËp 4.5.4. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ rµng buéc trong khẳng định thứ nhất của Định lý 4.5.5 trở thành điều kiện (5.28) khi các hµm ϕi lµ kh¶ vi chÆt t¹i (x̄, ȳ). Bµi tËp 4.5.5. Chøng minh r»ng nÕu c¸c hµm ϕ vµ ϕ i (i = 1, . . . , m + r) là khả vi chặt tại (x̄, ȳ), thì (5.17) nghiệm đúng nếu nh− bao hàm thức (5.24) cã dÊu b»ng.. B©y giê ta xÐt bµi to¸n (3.2) trong tr−êng hîp G(x) lµ tËp nghiÖm cña hÖ biÕn ph©n cã tham sè 66 (cßn ®−îc gäi lµ rµng buéc c©n b»ng cã tham sè 67 , hay ph−¬ng tr×nh suy réng phô thuéc tham sè 68 ): (5.29). G(x) := {y ∈ Y : 0 ∈ f (x, y) + Q(x, y)},. ở đó f : X ì Y → Z là ánh xạ đơn trị, Q: X ì Y ⇒ Z là ánh xạ đa trị giữa các kh«ng gian Banach. Quan hÖ 0 ∈ f (x, y) + Q(x, y) lµ mét ph−¬ng tr×nh suy réng (phô thuéc tham sè) theo nghÜa Robinson (1979). ë ®©y, y lµ Èn sè, cßn x lµ tham sè cña ph−¬ng tr×nh suy réng. Bµi to¸n tèi −u (3.2) víi G(x) ®−îc cho bëi (5.29) th−êng ®−îc gäi lµ bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc cã rµng buéc c©n b»ng 69 phô thuéc tham sè. §©y lµ mét m« h×nh cã nhiÒu øng dông (xem Luo, Pang vµ Ralph (1996), Outrata, Kocvara vµ Zowe (1998)). Định lý sau đây đ−a ra các đánh giá trên cho d−ới vi phân Fréchet của hàm gi¸ trÞ tèi −u trong bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc cã rµng buéc c©n b»ng phô thuéc tham sè trong kh«ng gian v« h¹n chiÒu. §Þnh lý 4.5.6 (D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u cña c¸c bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc cã rµng buéc c©n b»ng). XÐt hµm gi¸ trÞ tèi −u µ(·) ®−îc cho bëi (3.1) với G(ã) đ−ợc xác định bởi (5.29). Lấy x̄ ∈ dom M và cố định một phần 66. TNTA: TNTA: 68 TNTA: 69 TNTA: 67. parametric variational system. parametric equilibrium constraint. parametric generalized equation. mathematical programming problem with an equilibrium constraint..

(141) 4.5. D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u. 135. tử ȳ ∈ M (x̄), ở đó M (ã) đ−ợc xác định bởi (3.3). Giả sử rằng ∂+ ϕ(x̄, ȳ) = ∅. Đặt z̄ := −f (x̄, ȳ) ∈ Q(x̄, ȳ). Các khẳng định sau nghiệm đúng: (i) Nếu f : X ì Y → X = Z là khả vi chặt tại (x̄, ȳ) với đạo hàm f (x̄, ȳ) : X × Y → Z lµ ¸nh x¹ trµn vµ nÕu Q(x, y) = Q(y) lµ ¸nh x¹ kh«ng phô thuéc vµo biÕn x, th× (5.30) ∂µ(x̄) ⊂ x∗ + (fx (x̄, ȳ))∗ (z ∗ ) : ∃z ∗ ∈ Z ∗ tháa m·n (x∗ ,y ∗ )∈∂0+ ϕ(x̄,ȳ). −y ∗. ∈. (fy (x̄, ȳ))∗ (z ∗ ) +. . D∗ Q(ȳ, z̄)(z ∗ ). .. ở đây fx (x̄, ȳ) và fy (x̄, ȳ) ký hiệu các đạo hàm riêng của f tại (x̄, ȳ) t−ơng øng theo c¸c biÕn x vµ y. (ii) Gi¶ sö r»ng X, Y, Z lµ c¸c kh«ng gian Asplund, f : X × Y → Z lµ liên tục trong lân cận của (x̄, ȳ), và nếu Q: X ì Y ⇒ Z có đồ thị đóng trong lân cận của (x̄, ȳ, z̄) (tức là tồn tại một lân cận đóng của (x̄, ȳ, z̄) có giao với gph Q là một tập đóng). Khi đó u∗ ∈ X ∗ : ∃z ∗ ∈ Z ∗ víi ∂µ(x̄) ⊂ (5.31). (x∗ ,y ∗ )∈∂0+ ϕ(x̄,ȳ). (u∗ , 0) ∈ (x∗ , y ∗ ) +D∗ f (x̄, ȳ)(z ∗ ). +D ∗ Q(x̄, ȳ, z̄)(z ∗ ) ,. nÕu nh− (x∗ , y ∗ , z ∗ ) = (0, 0, 0) lµ bé ba duy nhÊt tháa m·n (x∗ , y ∗ ) ∈ D∗ f (x̄, ȳ)(z ∗ ) ∩ ( − D∗ Q(x̄, ȳ, z̄)(z ∗ )) và hoặc Q là SNC tại (x̄, ȳ, z̄), hoặc f là Lipschitz địa ph−ơng tại (x̄, ȳ) và Z lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu. Chứng minh. Để chứng minh cả hai khẳng định của định lý, ta sẽ áp dụng Định lý 4.5.1 và bao hàm thức (5.25). Để đánh giá tập hợp ở vế phải của (5.25) ta cã thÓ sö dông c¸c c«ng thøc tÝnh to¸n trong Mordukhovich (2006a; tiÓu môc 4.4.1). D−ới các giả thiết đ−a ra trong khẳng định (i), theo Định lý 4.4.4(i) trong Mordukhovich (2006a) ta cã D ∗ G(x̄, ȳ)(v ∗ ) = u∗ ∈ X ∗ : ∃z ∗ ∈ Z ∗ víi u∗ = (fx (x̄, ȳ))∗ (z ∗ ) −v ∗ ∈ (fy (x̄, ȳ))∗ (z ∗ ) + D∗ Q(ȳ, z̄)(z ∗ ) , Kết hợp đẳng thức này với (5.25) và (5.2) ta thu đ−ợc (5.30)..

(142) 136. 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. T−ơng tự, đánh giá (5.31) đ−ợc suy ra từ (5.2) và bao hàm thức D∗ G(x̄, ȳ)(v ∗ ) ⊂ u∗ ∈ X ∗ : ∃z ∗ ∈ Z ∗ víi. (u∗ , −v ∗ ) ∈ D∗ f (x̄, ȳ)(z ∗ ) + D∗ Q(x̄, ȳ, z̄)(z ∗ ) .. L−u ý rằng bao hàm thức cuối nghiệm đúng do Định lý 4.46 trong Mordukhovich (2006a) và các giả thiết đã nêu trong khẳng định (ii). 2 Các công thức tính toán hoặc −ớc l−ợng các tập giá trị của ánh xạ đối đạo hàm D∗ G(x̄, ȳ) của ánh xạ nghiệm của hệ biến phân trong (5.29) đã thu đ−ợc trong Mordukhovich (2006a, tiểu mục 4.4.1) cho phép ta đ−a ra nhiều đánh giá kh¸c cho d−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u trong c¸c bµi to¸n tèi −u có ràng buộc cân bằng ở dạng tổng quát hoặc ở các dạng đặc biệt (khi ràng buộc cân bằng có dạng một bất đẳng thức biến phân, một bài toán bù, v.v...). D−íi c¸c gi¶ thiÕt phô hîp lý, ta cã thÓ ®−a ra c¸c c«ng thøc tÝnh chÝnh x¸c d−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u trong c¸c bµi to¸n cã rµng buéc c©n bằng. Các công thức nh− thế th−ờng nghiệm đúng khi đối đạo hàm Fréchet của G trùng với đối đạo hàm Mordukhovich của nó (điều đó xảy ra, chẳng hạn nh−, khi Q lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi vµ f tháa m·n mét vµi ®iÒu kiÖn phô). Bµi tËp 4.5.6. Cho X = Y = Z = IR, ϕ(x, y) = |y|, f (x, y) = xy, Q(x, y) = NK(x) (y), ở đó K(x) = {y : y 2 x} vµ NK(x) (y) lµ nãn ph¸p tuyÕn cña tËp låi K(x) t¹i y. Sö dông §Þnh lý 4.5.6 để tính (hoặc đánh giá) d−ới vi phân ∂à(x̄) của hàm à xác định bởi (3.1), ở đó G(x) đ−ợc cho bởi (5.29), tại điểm x̄ = 0.. 4.6 D−íi vi ph©n Mordukhovich cña hµm gi¸ trÞ tèi −u Trong mục này chúng ta sẽ đ−a ra các công thức đánh giá d−ới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối −u (3.1). Vì d−ới vi phân Mordukhovich là d−ới vi phân qua giới hạn (nói chính xác, đó là giới hạn trên theo dãy theo nghĩa PainlevÐ-Kuratowski cña mét hä ε−d−íi vi ph©n FrÐchet; xem c«ng thøc (2.5)), nªn c¸c kÕt qu¶ ë môc nµy phøc t¹p h¬n c¸c kÕt qu¶ t−¬ng øng ë Môc 4.5. Sù phức tạp đó thể hiện ở chỗ - giả thiết của các định lý sẽ cồng kềnh hơn, - điều kiện để các đánh giá dạng bao hàm thức đạt đ−ợc dấu bằng sẽ ngặt nghÌo h¬n. Các d−ới vi phân suy biến đ−a ra trong Mục 4.2 sẽ đóng vai trò quan trọng trong môc nµy. §iÒu kiÖn chÝnh quy (®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ rµng buéc) trong c¸c định lý th−ờng đ−ợc phát biểu thông qua d−ới vi phân suy biến..

(143) 4.6. D−íi vi ph©n Mordukhovich cña hµm gi¸ trÞ tèi −u. 137. NÕu kh«ng nãi g× thªm, th× c¸c kh«ng gian X vµ Y xÐt trong môc nµy ®−îc gi¶ thiÕt lµ c¸c kh«ng gian Asplund. Chóng ta còng gi¶ sö r»ng hµm gi¸ ϕ trong (3.1) là nửa liên tục d−ới và ánh xạ đa trị mô tả ràng buộc G là ánh xạ có đồ thị đóng trong lân cận của điểm đ−ợc xét (tức là giao của tập gph G với một hình cầu đóng, có bán kính d−ơng, chứa điểm đ−ợc xét là tập đóng trong X ì Y ). Cấu trúc của các công thức đánh giá d−ới vi phân Mordukhovich ∂à(x̄) và d−íi vi ph©n suy biÕn ∂∞ µ(x̄) cña hµm gi¸ trÞ tèi −u (3.1) lµ kh¸c víi c¸c c«ng thức đã đ−a ra trong Mục 4.5 (mặc dù vẫn có nhiều điểm t−ơng đồng). Cái khác c¬ b¶n lµ ta sÏ kh«ng gi¶ thiÕt ∂+ ϕ(x̄, ȳ) = ∅ vµ, thay v× sö dông giao cña mét hä tËp theo tham sè (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂+ ϕ(x̄, ȳ) nh− trong §Þnh lý 4.5.1, ta sÏ sö dông hîp cña hä tËp theo c¸c tham sè (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂ϕ(x̄, ȳ) hoÆc (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂ ∞ ϕ(x̄, ȳ) để đánh giá các d−ới vi phân ∂à(x̄) và ∂∞ à(x̄). Mặt khác, chúng ta sẽ cần tới nh÷ng gi¶ thiÕt phô vÒ tÝnh comp¾c ph¸p tuyÕn theo d·y cña ¸nh x¹ G vµ tÝnh epi-comp¾c ph¸p tuyÕn theo d·y cña hµm sè ϕ. Nhận xét rằng các đánh giá trên cho ∂à(x̄) và ∂∞ à(x̄), trái ng−ợc với các đánh giá cho ∂à(x̄), có quan hệ chặt chẽ với các điều kiện đủ cho tính Lipschitz địa ph−ơng của à(ã) và với điều kiện cần cực trị của bài toán tối −u t−ơng ứng. Chúng ta sẽ so sánh các kết quả thu đ−ợc ở đây với các kết quả đã thu đ−ợc b»ng nh÷ng c¸ch tiÕp cËn kh¸c. Giả sử x̄ ∈ dom M và ȳ ∈ M (x̄), ở đó M (ã) đ−ợc cho bởi (3.3). §Þnh nghÜa 4.6.1. Ta nãi r»ng ¸nh x¹ nghiÖm M (·) lµ µ-nöa liªn tôc d−íi néi µ bé 70 t¹i (x̄, ȳ) nÕu víi mçi d·y xk → x̄ tån t¹i d·y yk ∈ M (xk ) sao cho {yk } có một dãy con hội tụ đến ȳ. §Þnh nghÜa 4.6.2. ¸nh x¹ nghiÖm M (·) ®−îc gäi lµ µ-b¸n-comp¾c néi bé 71 µ t¹i x̄ nÕu víi mçi d·y xk → x̄ tån t¹i d·y yk ∈ M (xk ) sao cho {yk } cã mét d·y con héi tô. Các tính chất nói trong hai định nghĩa trên là sự mở rộng của các tính chất nửa liên tục d−ới nội bộ và bán-compắc nội bộ - đ−ợc định nghĩa cho các ánh x¹ ®a trÞ tæng qu¸t; xem Mordukhovich (2006a), §Þnh nghÜa 1.63. §iÒu kh¸c biÖt lµ ë chç ®iÒu kiÖn xk → x̄ trong Mordukhovich (2006a) b©y giê ®−îc thay µ bằng một điều kiện yếu hơn: xk → x̄. L−u ý là hai định nghĩa vừa nêu chỉ áp dông ®−îc cho ¸nh x¹ nghiÖm cã d¹ng (3.3). Có thể tìm thấy các điều kiện đủ cho tính chất à-nửa liên tục d−ới nội bộ và tÝnh chÊt µ-b¸n-comp¾c néi bé cña ¸nh x¹ nghiÖm trong Clarke (1983), Gauvin vµ Dubeau (1982), Gollan (1984), Mordukhovich (1992), Mordukhovich vµ Shao (1996a), Rockafellar (1982). Nãi riªng ra, tÝnh chÊt µ-b¸n-comp¾c néi bé cña 70 71. TNTA: µ-inner semicontinuous. TNTA: inner semicompact..

(144) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 138. M (·) t¹i x̄ lµ hÖ qu¶ cña tÝnh thuÇn 72 cña M (·) t¹i x̄ – mét tÝnh chÊt ®−îc Rockafellar (1982) ®−a ra cho tr−êng hîp kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu vµ ®−îc Gollan (1984) më réng sang tr−êng hîp kh«ng gian v« h¹n chiÒu. VÝ dô 4.6.1. §Æt X = Y = IR, ϕ(x, y) = xy, G(x) = [−1, 1] víi mäi x ∈ X, x̄ = 0. Xét hàm à(ã) cho bởi (3.1) và ánh xạ đa trị M (ã) cho bởi (3.3). Khi đó, ⎧ nÕu x = 0, ⎨ 0 −x nÕu x > 0 µ(x) = ⎩ x nÕu x < 0 ⎧ ⎨ [−1, 1] M (x) = {−1} ⎩ {1}. vµ. nÕu x = 0 nÕu x > 0 nÕu x < 0.. µ. Vì vậy, xk → 0 khi và chỉ khi xk → 0. Từ các công thức xác định à và M ë trªn, ta suy ra r»ng M lµ µ-b¸n-comp¾c néi bé (vµ còng lµ b¸n-comp¾c néi bé) t¹i x̄, nh−ng kh«ng lµ µ-nöa liªn tôc d−íi néi bé t¹i (x̄, ȳ), víi bÊt cø ®iÓm ȳ ∈ M (x̄) = [−1, 1] nµo. VÝ dô 4.6.2. §Æt X = Y = IR, ϕ(x, y) = y, G(x) = {y ∈ [−1, 1] : xy 0}. Ta cã. ⎧ ⎨ [−1, 1] G(x) = [−1, 0] ⎩ [0, 1]. Từ đó ta tính đ−ợc. µ(x) = . vµ M (x) =. −1 0 {−1} {0}. nÕu x = 0 nÕu x > 0, nÕu x < 0. nÕu x 0, nÕu x < 0 nÕu x 0, nÕu x < 0.. LÊy (x̄, ȳ) = (0, −1) ∈ gph M . Do c«ng thøc cña µ, ta thÊy r»ng ®iÒu kiÖn µ xk → x̄ có nghĩa là xk → 0 và xk 0 với k đủ lớn. Từ đó suy ra M là à-nửa liªn tôc d−íi néi bé t¹i (x̄, ȳ). Tuy thÕ, M kh«ng lµ nöa liªn tôc d−íi néi bé tại (x̄, ȳ). Thật vậy, đối với dãy xk := − k1 → 0 = x̄ ta không thể tìm đ−ợc dãy yk ∈ M (xk ) nào để có yk → ȳ = −1. Đối với tính chất bán-compắc nội bộ, dễ thấy rằng M là bán-compắc nội bộ tại x̄ (do đó nó là à-bán-compắc nội bộ tại x̄). 72. TNTA: tameness..

(145) 4.6. D−íi vi ph©n Mordukhovich cña hµm gi¸ trÞ tèi −u. 139. KÕt qu¶ ®Çu tiªn cña chóng ta trong môc nµy lµ §Þnh lý 4.6.1 d−íi ®©y. Hai khẳng định đầu tiên của định lý (chúng có quan hệ t−ơng hỗ, nh−ng là độc lập với nhau) đ−ợc lấy từ Mordukhovich (2006a), Định lý 3.38, ở đó tính chất à-nửa liªn tôc d−íi néi bé vµ tÝnh chÊt µ-b¸n-comp¾c néi bé cña M (·) ®−îc thay t−¬ng øng bëi nöa liªn tôc d−íi néi bé vµ b¸n-comp¾c néi bé. Cã thÓ thÊy r»ng c¸c chøng minh trong Mordukhovich (1992), Mordukhovich vµ Shao (1996a) kh«ng phải thay đổi gì khi chúng ta sử dụng các tính chất yếu hơn nh− vừa trình bày. TÝnh chÊt thø ba míi ®−îc thiÕt lËp trong Mordukhovich, Nam vµ Yen (2007); nã ®−îc chøng minh nhê tÝnh chÊt (i) vµ §Þnh lý 4.5.2. §Þnh lý 4.6.1. Gi¶ sö M (·) lµ ¸nh x¹ nghiÖm ®−îc cho bëi c«ng thøc (3.3) vµ giả sử x̄ ∈ dom M . Các khẳng định sau nghiệm đúng: (i) Gi¶ sö r»ng M lµ µ-nöa liªn tôc d−íi néi bé t¹i (x̄, ȳ) ∈ gph M , ϕ lµ SNEC t¹i (x̄, ȳ) hoÆc G lµ SNC t¹i (x̄, ȳ), vµ ®iÒu kiÖn chÝnh quy (6.1). ∂ ∞ ϕ(x̄, ȳ) ∩ ( − Ngph G (x̄, ȳ)) = {0}. đ−ợc thỏa mãn (các điều kiện đó tự động thỏa mãn nếu ϕ là Lipschitz địa ph−ơng tại (x̄, ȳ)). Khi đó ta có các bao hàm thức (6.2) ∂µ(x̄) ⊂ x∗ + D∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ) : (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂ϕ(x̄, ȳ) ,. (6.3). ∂ ∞ µ(x̄) ⊂. . x∗ + D∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ) : (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂ ∞ ϕ(x̄, ȳ) .. (ii) Gi¶ sö r»ng M lµ µ-b¸n-comp¾c néi bé t¹i x̄ vµ c¸c gi¶ thiÕt kh¸c cña (i) đ−ợc thỏa mãn tại mọi điểm (x̄, ȳ) ∈ gph M . Khi đó ta có các bao hàm thức (6.4) ∂µ(x̄) ⊂ x∗ + D∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ) : (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂ϕ(x̄, ȳ), ȳ ∈ M (x̄) , (6.5) x∗ + D∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ) : (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂ ∞ ϕ(x̄, ȳ), ȳ ∈ M (x̄) . ∂ ∞ µ(x̄) ⊂ (iii) Ngoµi c¸c gi¶ thiÕt cña (i), gi¶ sö thªm r»ng ϕ lµ kh¶ vi chÆt t¹i (x̄, ȳ), ánh xạ đa trị M : dom G ⇒ Y có lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng tại (x̄, ȳ), và G là chính quy pháp tuyến tại (x̄, ȳ). Khi đó, hàm giá trị tối −u à là chính quy d−ới tại x̄ và (6.2) nghiệm đúng d−ới dạng đẳng thức, nghĩa là (6.6). ∂µ(x̄) = ϕx (x̄, ȳ) + D∗ G(x̄, ȳ)(ϕy (x̄, ȳ)).. Chøng minh. ChØ cÇn kiÓm tra (iii). Do ®iÒu kiÖn ϕ lµ kh¶ vi chÆt t¹i (x̄, ȳ), (6.3) trë thµnh bao hµm thøc ∂µ(x̄) ⊂ ϕx (x̄, ȳ) + D∗ G(x̄, ȳ)(ϕy (x̄, ȳ))..

(146) 140. 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. MÆt kh¸c, §Þnh lý 4.5.2 vµ tÝnh chÝnh quy ph¸p tuyÕn cña G t¹i (x̄, ȳ), cïng với các giả thiết khác của (iii), đảm bảo rằng đẳng thức ∂µ(x̄) = ϕx (x̄, ȳ) + D∗ G(x̄, ȳ)(ϕy (x̄, ȳ)) nghiệm đúng đối với d−ới vi phân Fréchet của à. Vì rằng ta luôn có ∂à(x̄) ⊂ ∂à(x̄), từ đó suy ra (6.6) và tính chính quy d−ới của à tại x̄. 2 Bài tập 4.6.1. Sử dụng Định lý 4.6.1 để tính (hoặc đánh giá) các d−ới vi ph©n ∂µ(x̄) vµ ∂ ∞ µ(x̄) cña hµm µ trong VÝ dô 4.6.1 t¹i ®iÓm x̄ = 1. Ngoµi ra, h·y tÝnh ∂µ(x̄) b»ng c¸ch sö dông c¸c kÕt qu¶ ë Môc 4.5. Bài tập 4.6.2. Sử dụng Định lý 4.6.1 để tính (hoặc đánh giá) các d−ới vi ph©n ∂µ(x̄) vµ ∂ ∞ µ(x̄) cña hµm µ trong VÝ dô 4.6.2 t¹i x̄ = 0. Ngoµi ra, b»ng c¸ch sö dông c¸c kÕt qu¶ ë Môc 4.5. h·y tÝnh ∂µ(x̄). Tõ §Þnh lý 4.6.1 vµ mét vµi tÝnh chÊt c¬ së cña d−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n suy biÕn cña c¸c hµm sè nhËn gi¸ trÞ trong tËp sè thùc suy réng, chóng ta rót ra c¸c ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho c¸c bµi to¸n tèi −u víi rµng buéc đa trị và cả các điều kiện để có tính ổn định Lipschitz của các bài toán đó. Hệ quả 4.6.1. Giả sử x̄ ∈ dom M , ở đó M đ−ợc cho bởi (3.3), và giả sử ȳ là mét nghiÖm cña bµi to¸n tèi −u phô thuéc tham sè: T×m cùc tiÓu hµm sè ϕ(x̄, y) víi rµng buéc y ∈ G(x̄). Gi¶ sö r»ng ¸nh x¹ nghiÖm M (·) lµ µ-nöa liªn tôc d−íi néi bé t¹i (x̄, ȳ) ∈ gph M , hµm gi¸ trÞ tèi −u (3.1) lµ nöa liªn tôc d−íi trong mét l©n cËn cña x̄, hàm mục tiêu ϕ là Lipschitz địa ph−ơng, và ánh xạ mô tả ràng buộc G là giả-Lipschitz (liên tục Aubin) tại (x̄, ȳ). Khi đó, tồn tại u∗ ∈ X ∗ sao cho (6.7). (u∗ , 0) ∈ ∂ϕ(x̄, ȳ) + Ngph G (x̄, ȳ).. Chøng minh. Do c¸c gi¶ thiÕt, ta cã ȳ ∈ M (x̄), ®iÒu kiÖn chÝnh quy (6.1) tháa m·n, vµ ϕ lµ SNEC t¹i (x̄, ȳ) (do tÝnh chÊt Lipschitz cña ϕ). V× thÕ (6.2) và (6.3) nghiệm đúng. Theo Định lý 5.2 trong bài báo của Mordukhovich và Nam (2005a), hàm giá trị tối −u (3.1) là Lipschitz địa ph−ơng tại x̄. Sử dụng HÖ qu¶ 2.25 trong cuèn s¸ch Mordukhovich (2006a), chóng ta kÕt luËn r»ng ∂à(x̄) = ∅, nghĩa là vế phải của (6.2) cũng khác rỗng. Từ đó suy ra điều kiện cÇn cùc trÞ (6.7). 2 L−u ý rằng ta có thể đặc tr−ng trọn vẹn tính chất giả-Lipschitz (liên tục Aubin) của ánh xạ đa trị dạng tổng quát G: X ⇒ Y bằng công cụ đối đạo hàm; xem Ch−¬ng 4 trong Mordukhovich (2006a). Trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu các đặc tr−ng đó trở thành D ∗ G(x̄, ȳ)(0) = {0}..

(147) 4.6. D−íi vi ph©n Mordukhovich cña hµm gi¸ trÞ tèi −u. 141. Do (6.3), từ đó ta có ∂∞ à(x̄) = {0} khi ϕ là Lipschitz địa ph−ơng tại (x̄, ȳ). Vì vậy, hàm giá trị tối −u trong (3.1) là Lipschitz địa ph−ơng và điều kiện cần cực trị (6.7) trong Hệ quả 4.6.1 nghiệm đúng. B©y giê ta xÐt mét sè øng dông cña c¸c kÕt qu¶ nãi trong §Þnh lý 4.6.1 vµ Hệ quả 4.6.1 cho bài toán quy hoạch toán học ở đó các dữ liệu có thể là các hµm kh«ng kh¶ vi. Gi¶ sö r»ng ¸nh x¹ ®a trÞ G(·) trong (3.2) lµ ¸nh x¹ nghiÖm của hệ đẳng thức và bất đẳng thức. (6.8). G(x) := y ∈ Y :. ϕi (x, y) 0, ϕi (x, y) = 0,. i = 1, . . . , m,. i = m + 1, . . . , m + r .. §Ó cho gän, chóng ta sÏ chØ ph¸t biÓu c¸c kÕt qu¶ t−¬ng øng víi c¸c kh¼ng định (i) và (ii) trong Định lý 4.6.1, ở đó ta giả sử M là à-nửa liên tục d−ới nội bé t¹i (x̄, ȳ) ∈ gph M . Tr−êng hîp M lµ µ-b¸n-comp¾c néi bé t¹i x̄ ®−îc xÐt t−ơng tự. Khẳng định thứ nhất của định lý sau cho ta các đánh giá cho d−ới vi phân Mordukhovich và d−ới vi phân suy biến của hàm à(ã), còn khẳng định thø hai lµ quy t¾c nh©n tö Lagrange cho bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc cã tham số. Ta l−u ý là trong khẳng định thứ hai d−ới vi phân của các hàm ϕ và ϕi (i = 1, . . . , m + r) đ−ợc lấy theo cặp biến (x, y), ở đó y là biến quy hoạch của bµi to¸n, cßn x lµ tham sè. Định lý 4.6.2. Giả sử M (ã) là ánh xạ nghiệm (1.3), ở đó ánh xạ G đ−ợc cho bëi c«ng thøc (6.8). Gi¶ sö r»ng M lµ µ-nöa liªn tôc d−íi néi bé t¹i (x̄, ȳ) ∈ gph M , ϕ và tất cả các hàm ϕi là Lipschitz địa ph−ơng tại (x̄, ȳ), và (λ1 , . . . , λm+r ) = 0 ∈ IRm+r lµ vÐc t¬ duy nhÊt tháa hÖ ®iÒu kiÖn m. (6.9). 0∈. m+r. λi ∂ϕi (x̄, ȳ) + i=1. (λ1 , . . . , λm+r ) ∈. λi (∂ϕi (x̄, ȳ) i=m+1 m+r IR+ , λi ϕi (x̄, ȳ) = 0. ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)), víi i = 1, . . . , m. (đ−ợc gọi là điều kiện chính quy, hay điều kiện chuẩn hoá ràng buộc). Khi đó ta cã c¸c bao hµm thøc (6.10) m λi ∂ϕi (x̄, ȳ) ∂µ(x̄) ⊂ u∗ ∈ X ∗ : (u∗ , 0) ∈ ∂ϕ(x̄, ȳ) + m+r. +. i=1. λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)) víi. i=m+1 m+r vµ λi ϕi (x̄, ȳ) = 0, i = 1, . . . , m , (λ1 , . . . , λm+r ) ∈ IR+.

(148) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 142 (6.11) ∂ ∞ µ(x̄) ⊂. u∗ ∈ X ∗ : (u∗ , 0) ∈. m. λi ∂ϕi (x̄, ȳ) i=1. m+r. λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)) víi. +. m+r vµ λi ϕi (x̄, ȳ) = 0, i = 1, . . . , m . (λ1 , . . . , λm+r ) ∈ IR+ i=m+1. Ngoài ra, (6.10) trở thành đẳng thức và à là chính quy d−ới tại x̄ nếu nh− tất c¶ c¸c hµm sè ϕ vµ ϕi lµ kh¶ vi chÆt t¹i (x̄, ȳ) vµ M : dom G ⇒ Y cã l¸t c¾t Lipschitz trên địa ph−ơng tại (x̄, ȳ). (ii) Ngoài các giả thiết chung của định lý, giả sử thêm rằng quan hệ (x∗ , 0) ∈. m. m+r. λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)). λi ∂ϕi (x̄, ȳ) + i=1. i=m+1. m+r tháa m·n λi ϕi (x̄, ȳ) = 0, i = 1, . . . , m, chØ x¶y ra víi (λ1 , . . . , λm+r ) ∈ IR+ m+r ∗ đối với x = 0. Khi đó tồn tại u∗ ∈ X ∗ và các nhân tử (λ1 , . . . , λm+r ) ∈ IR+ sao cho λi ϕi (x̄, ȳ) = 0 víi i = 1, . . . , m vµ (6.12) m. (u∗ , 0) ∈ ∂ϕ(x̄, ȳ) +. m+r. λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)).. λi ∂ϕi (x̄, ȳ) + i=1. i=m+1. Chøng minh. (i) §Ó thu ®−îc c¸c bao hµm thøc (6.10) vµ (6.11), ta sö dông c¸c bao hàm thức (6.2) và (6.3) trong Định lý 4.6.1, ở đó đối đạo hàm D∗ G(x̄, ȳ) ®−îc tÝnh cho ¸nh x¹ G cho bëi c«ng thøc (6.8). Ta nhËn xÐt r»ng ®iÒu kiÖn chính quy (6.1) và tính chất SNEC của hàm giá ϕ tự động nghiệm đúng, vì ϕ đ−ợc giả thiết là Lipschitz địa ph−ơng. Do cã gi¶ thiÕt chÝnh quy (6.9) vµ do c¸c hµm ϕi (i = 1, . . . , m + r) là Lipschitz địa ph−ơng tại (x̄, ȳ), áp dụng Hệ quả 4.36 trong Mordukhovich (2006a) ta có đánh giá D ∗ G(x̄, ȳ)(v ∗ ) ⊂ u∗ ∈ X ∗ : (u∗ , −v ∗ ) ∈ m+r. (6.13). m. λi ∂ϕi (x̄, ȳ) i=1. λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)) víi. + i=m+1. m+r vµ λi ϕi (x̄, ȳ) = 0, i = 1, . . . , m (λ1 , . . . , λm+r ) ∈ IR+. . cho đối đạo hàm D∗ G(x̄, ȳ) của ánh xạ đa trị G cho bởi hệ ràng buộc (6.8)..

(149) 4.6. D−íi vi ph©n Mordukhovich cña hµm gi¸ trÞ tèi −u. 143. LÊy tïy ý u∗ ∈ ∂µ(x̄). Do (6.2), tån t¹i (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂ϕ(x̄, ȳ) sao cho u∗ − x∗ ∈ D∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ). Theo (6.13), tån t¹i (λ1 , . . . , λm+r ) ∈ IRm+r víi λi 0 vµ λi ϕi (x̄, ȳ) = 0 víi mäi i = 1, . . . , m sao cho m. (u∗ − x∗ , −y ∗ ) ∈. λi ∂ϕi (x̄, ȳ) i=1 m+r. λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)).. + i=m+1. Từ đó suy ra (u∗ , 0) ∈ (x∗ , y ∗ ) + m+r. m. λi ∂ϕi (x̄, ȳ) i=1. λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)),. + i=m+1. và ta đi đến kết luận u∗ là một phần tử thuộc tập hợp ở vế phải của bao hàm thức (6.10). Ta đã chứng minh rằng ∂à(x̄) là tập con của tập hợp đó. Vì ϕ là Lipschitz địa ph−ơng tại (x̄, ȳ), nên ∂∞ ϕ(x̄, ȳ) = {0}. Do đó, kết hîp (6.3) víi (6.13) theo c¸ch võa råi, ta thu ®−îc (6.11). Đẳng thức trong (6.10) suy ra từ khẳng định (iii) trong Định lý 4.6.1 và sự kiÖn nãi r»ng ¸nh x¹ ®a trÞ G cho bëi (6.8) lµ chÝnh quy tiÕp tuyÕn t¹i (x̄, ȳ) d−íi gi¶ thiÕt c¸c hµm ϕi lµ kh¶ vi chÆt (xem Mordukhovich (2006a), HÖ qu¶ 4.35). (ii) §Ó thu ®−îc ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ (6.12), ta sÏ ¸p dông HÖ qu¶ 4.6.1 vµ công thức (6.13). Ta l−u ý rằng, do định nghĩa, x∗ ∈ D∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ) khi và chỉ khi (x∗ , −y ∗ ) ∈ Ngph G (x̄, ȳ). Nh− vậy, công thức (6.13) cho ta một đánh giá trên (đánh giá ngoài) cho hình nón pháp tuyến Ngph G (x̄, ȳ). Với những l−u ý đơn giản đó, từ (6.7) và (6.13) ta sẽ thu đ−ợc (6.12). Ta còn phải kiểm tra tÝnh gi¶-Lipschitz (tÝnh liªn tôc Aubin) cña G - mét gi¶ thiÕt cña HÖ qu¶ 4.6.1. Để làm việc đó, ta chỉ cần để ý rằng Hệ quả 4.43 trong Mordukhovich (2006a) khẳng định rằng ánh xạ G cho bởi (6.8) là giả-Lipschitz tại (x̄, ȳ) d−ới giả thiết chính quy nói trong khẳng định thứ hai của định lý. 2 C¸c kÕt qu¶ trong §Þnh lý 4.6.2 më réng c¸c kÕt qu¶ cña Rockafellar (1985), ở đó tác giả đ−a ra các đánh giá cho d−ới vi phân Clarke của hàm giá trị tối −u.

(150) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 144. vµ sö dông c¸c d−íi vi ph©n Clarke cho c¸c biÓu thøc bªn vÕ ph¶i cña (6.10)– (6.12). L−u ý r»ng c«ng thøc m« t¶ quan hÖ gi÷a d−íi vi ph©n Clarke víi d−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n suy biÕn ∂ Cl µ(x̄) = cl∗ co [∂µ(x̄) + ∂ ∞ µ(x̄)],. (6.14). ở đó cl∗ ký hiệu phép lấy bao đóng trong tôpô yếu∗ của X ∗ , nghiệm đúng cho tr−êng hîp kh«ng gian Asplund (xem Mordukhovich (2006a), §Þnh lý 3.57). Sö dụng (6.14), từ Định lý 4.6.2 ta rút ra các đánh giá trên cho d−ới vi phân Clarke cña hµm gi¸ trÞ tèi −u trong bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc kh«ng tr¬n phô thuéc tham số; xem Clarke (1983) và Rockafellar (1982). Nhận xét rằng, đối với d−ới vi phân Clarke ta có đẳng thức ∂ Cl (−ϕ)(x̄) = −∂ Cl ϕ(x̄) (xem Clarke (1983)). Do đó, các biểu thức t−ơng tự trong tr−ờng hợp d−ới vi ph©n Clarke cña c¸c biÓu thøc λi ∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ) víi λi 0, i = m + 1, . . . , m + r, trong §Þnh lý 4.6.2 sÏ lµ λi ∂ Cl ϕi (x̄, ȳ) víi λi ∈ IR; hoµn toµn gièng nh− trong các đánh giá vi phân đã đ−ợc thiết lập bởi Clarke (1983) và Rockafellar (1982, 1985). Tõ §Þnh lý 4.6.2 ta cã thÓ rót ra c¸c kÕt qu¶ t−¬ng øng cho c¸c bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc víi hµm môc tiªu vµ c¸c hµm rµng buéc lµ kh¶ vi chÆt. Tr−íc khi làm việc đó, chúng ta đ−a ra một vài định nghĩa và ký hiệu. §Þnh nghÜa 4.6.3. Hµm sè L(x, y, λ) = ϕ(x, y) + λ1 ϕ1 (x, y) + . . . + λm+r ϕm+r (x, y) ®−îc gäi lµ hµm Lagrange cña bµi to¸n (3.2) víi G(x) ®−îc cho bëi (6.8). Bé sè λ := (λ1 , . . . , λm+r ) ∈ IRm+r ®−îc gäi lµ c¸c nh©n tö Lagrange. Víi mçi cÆp (x̄, ȳ) ∈ gph M , ta xÐt tËp nh©n tö Lagrange (6.15) m+r λi (ϕi )y (x̄, ȳ) = 0, Λ(x̄, ȳ) := λ ∈ IRm+r : ϕy (x̄, ȳ) + i=1 λi 0, λi ϕi (x̄, ȳ) = 0 víi mäi i = 1, . . . , m vµ “tËp nh©n tö Lagrange suy biÕn”. (6.16). Λ∞ (x̄, ȳ). := λ ∈ IRm+r :. m+r. λi (ϕi )y (x̄, ȳ) = 0, λi 0,. i=1 λi ϕi (x̄, ȳ) = 0 víi i = 1, . . . , m ..

(151) 4.6. D−íi vi ph©n Mordukhovich cña hµm gi¸ trÞ tèi −u. 145. Gièng nh− trong Ch−¬ng 2, ta nãi ®iÒu kiÖn chÝnh quy Mangasarian-Fromovitz (hay ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ rµng buéc Mangasarian-Fromovitz) tháa m·n t¹i (x̄, ȳ) ∈ gph M nÕu c¸c gradient ϕm+1 (x̄, ȳ), . . . , ϕm+r (x̄, ȳ) là độc lập tuyến tính và tồn tại w ∈ X ì Y sao cho ϕi (x̄, ȳ), w = 0 với mäi i = m + 1, . . . , m + r vµ ϕi (x̄, ȳ), w < 0 víi mäi i = 1, . . . , m mµ ϕi (x̄, ȳ) = 0. HÖ qu¶ 4.6.2. Trong ký hiÖu cña §Þnh lý 4.6.2, gi¶ sö r»ng c¸c hµm ϕ vµ ϕi lµ kh¶ vi chÆt t¹i (x̄, ȳ), vµ gi¶ sö r»ng ®iÒu kiÖn chÝnh quy Mangasarian-Fromovitz thỏa mãn tại (x̄, ȳ). Khi đó ta có các bao hàm thức (6.18). ∂µ(x̄) ⊂. $. . ϕx (x̄, ȳ) +. m+r. λ∈Λ(x̄,ȳ). (6.19). ∞. ∂ µ(x̄) ⊂. λ∈Λ∞ (x̄,ȳ). $ m+r i=1. i=1. % λi (ϕi )x (x̄, ȳ) ,. %. λi (ϕi )x (x̄, ȳ). ,. ở đó tập các nhân tử Lagrange Λ(x̄, ȳ) và Λ∞ (x̄, ȳ) t−ơng ứng đ−ợc cho bởi (6.15) và (6.16). Ngoài ra, (6.18) nghiệm đúng d−ới dạng đẳng thức nếu ánh xạ nghiệm M : dom G ⇒ Y có lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng tại (x̄, ȳ). Chøng minh. C¸c kÕt luËn cña hÖ qu¶ nµy suy ra trùc tiÕp tõ §Þnh lý 4.6.2(i) v× r»ng ∂φ(x̄) = {φ (x̄)} víi mäi hµm φ kh¶ vi chÆt t¹i x̄. 2 Do (6.19), ∂∞ à(x̄) = {0} nếu ϕi thỏa mãn điều kiện chính quy MangasarianFromovitz chỉ đối với y, tức là khi các gradient ϕi (x̄, ȳ) trong Định nghĩa 4.6.4 ®−îc thay bëi (ϕi )y (x̄, ȳ). Do biÓu diÔn (6.14), tõ c¸c kÕt qu¶ thu ®−îc trong Hệ quả 4.6.2 ta suy ra ngay các đánh giá trên t−ơng ứng cho d−ới vi phân Clarke cña hµm gi¸ trÞ tèi −u trong quy ho¹ch tr¬n. KÕt qu¶ nµy më réng mét kÕt qu¶ quen biết, đó là Định lý 5.3 trong Gauvin và Dubeau (1982). L−u ý rằng kết qu¶ cña Gauvin vµ Dubeau ®−îc chøng minh cho tr−êng hîp kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu. Chóng ta nhËn xÐt r»ng c¸c kÕt qu¶ cña §Þnh lý 4.6.2 vµ HÖ qu¶ 4.6.2, ë đó đ−a ra các đánh giá cho d−ới vi phân của hàm giá trị tối −u trong quy hoạch toán học thông qua tập nhân tử Lagrange, đòi hỏi những điều kiện chính quy kiÓu Mangasarian-Fromovitz trªn hÖ rµng buéc. §èi víi §Þnh lý 4.6.1 vµ HÖ quả 4.6.1 của nó, ở đó đ−a ra các đánh giá cho d−ới vi phân của hàm giá trị tối −u tổng quát thông qua đối đạo hàm của ánh xạ đa trị mô tả ràng buộc, ta không cần đến những điều kiện chính quy mạnh nh− thế. Thay vào đó, ta chỉ.

(152) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 146. cần sử dụng một điều kiện chính quy khá nhẹ, đó là điều kiện (6.1). Nh− đã nói ở trên, điều kiện (6.1) luôn thỏa mãn khi hàm giá là Lipschitz địa ph−ơng. Bây giờ chúng ta sẽ trình bày một ví dụ cụ thể để chứng tỏ rằng Định lý 4.6.1 cho phÐp chóng ta tÝnh to¸n trän vÑn d−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n suy biÕn cña hµm gi¸ trÞ tèi −u (víi dÊu b»ng x¶y ra trong tÊt c¶ c¸c đánh giá dạng bao hàm thức trong Định lý 4.6.1) đối với bài toán quy hoạch trơn vµ kh«ng låi, trong khi ®iÒu kiÖn chÝnh quy nãi trong HÖ qu¶ 4.6.2 kh«ng ®−îc thỏa mãn (do đó Hệ quả 4.6.2 không áp dụng đ−ợc). Những quan sát t−ơng tự cũng đúng với hầu hết ‘các ví dụ bệnh tật’ (pathological examples) trong Gauvin vµ Dubeau (1984). VÝ dô 4.6.3. XÐt bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc kh«ng låi (3.2) víi c¸c d÷ liÖu tr¬n ®−îc cho bëi ϕ(x, y) := −y 2 x vµ G(x) := {y ∈ IR : y 2 − x 0},. x ∈ IR.. DÔ thÊy r»ng M (x) = G(x) = µ(x) =. [− ∅ −x2 ∞. √. √ x, x]. nÕu x 0, nÕu x < 0;. nÕu x 0, nÕu x < 0.. VËy ¸nh x¹ nghiÖm M võa lµ µ-nöa liªn tôc d−íi néi bé t¹i (x̄, ȳ) = (0, 0), võa lµ µ-b¸n-comp¾c néi bé t¹i x̄ = 0. Ngoµi ra, c¸c gi¶ thiÕt kh¸c cña §Þnh lý 4.6.1 cũng đ−ợc thỏa mãn. Từ định nghĩa suy ra rằng {0} nÕu x̄ > 0, {−2x̄} nÕu x̄ > 0, ∞ ∂µ(x̄) = ∂ µ(x̄) = (−∞, 0] nÕu x̄ = 0. (−∞, 0] nÕu x̄ = 0; Hơn nữa, chúng ta tính đ−ợc nón pháp tuyến của đồ thị của ánh xạ đa trị G tại những điểm đáng quan tâm nh− sau: Ngph G ((0, 0)) = (−∞, 0] × {0}, √ √ Ngph G ((x̄, x̄)) = { − λ(1, −2 x̄) : λ ≥ 0}, √ √ Ngph G ((x̄, − x̄)) = { − λ(1, 2 x̄) : λ 0}. Kết hợp tất cả những điều đó, chúng ta kết luận rằng các bao hàm thức (6.2) và (6.3) nghiệm đúng d−ới dạng các đẳng thức tại mọi điểm (x̄, ȳ) ∈ gph M và các bao hàm thức (6.4) và (6.5) nghiệm đúng d−ới dạng các đẳng thức tại mọi ®iÓm x̄ ∈ dom M . NhËn xÐt r»ng ®iÒu kiÖn chÝnh quy Mangasarian-Fromovitz cã tham sè (xem §Þnh nghÜa 4.6.4) kh«ng tháa m·n t¹i (x̄, ȳ) = (0, 0), nghÜa lµ HÖ qu¶ 4.6.2 kh«ng ¸p dông ®−îc cho vÝ dô nµy..

(153) 4.6. D−íi vi ph©n Mordukhovich cña hµm gi¸ trÞ tèi −u. 147. Chúng ta sẽ kết thúc mục này bằng một vài công thức đánh giá d−ới vi phân cña hµm gi¸ trÞ tèi −u trong bµi to¸n tèi −u hai cÊp víi rµng buéc c©n b»ng. §Ó cho đơn giản, chúng ta sẽ chỉ phát biểu kết quả d−ới giả thiết nói rằng ánh xạ nghiệm là à-nửa liên tục d−ới nội bộ. Một số kết quả theo h−ớng này đã đ−ợc Lucet vµ Ye (2001) thiÕt lËp cho tr−êng hîp kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu. XÐt líp bµi to¸n (3.2) d−íi d¹ng bµi to¸n tèi −u cã rµng buéc c©n b»ng, víi G(x) lµ tËp nghiÖm cña hÖ biÕn ph©n cã tham sè (cßn gäi lµ rµng buéc c©n b»ng cã tham sè, hay ph−¬ng tr×nh suy réng phô thuéc tham sè) d¹ng (5.29). §Þnh lý 4.6.3. XÐt hµm gi¸ trÞ tèi −u µ(·) cho bëi (3.1) víi ¸nh x¹ m« t¶ rµng buộc cho bởi (5.29), ở đó X và Y là các không gian Asplund, Z là một không gian Banach bÊt kú. Gi¶ sö r»ng ¸nh x¹ nghiÖm M : dom G ⇒ Y lµ µ-nöa liªn tục d−ới nội bộ tại một điểm (x̄, ȳ) ∈ gph M và hàm giá ϕ là Lipschitz địa ph−ơng tại (x̄, ȳ). Ký hiệu z̄ := −f (x̄, ȳ) ∈ Q(x̄, ȳ). Khi đó, các khẳng định sau nghiệm đúng: (i) Giả sử f : X ì Y → X = Z là khả vi chặt tại (x̄, ȳ) với đạo hàm f (x̄, ȳ) : X × Y → Z là ánh xạ tràn, và giả sử trong (5.29) ta có Q = Q(y). Khi đó ∗ x∗ + fx (x̄, ȳ) (z ∗ ) : ∂µ(x̄) ⊂ (x∗ ,y ∗ )∈∂ϕ(x̄,ȳ) z ∗ ∈Z ∗. ∂ ∞ µ(x̄) ⊂. z ∗ ∈Z ∗. ∗ −y ∗ ∈ fy (x̄, ȳ) (z ∗ ) + D∗ Q(ȳ, z̄)(z ∗ ) ,. (fx (x̄, ȳ))∗ (z ∗ ) : −y ∗ ∈ (fy (x̄, ȳ))∗ (z ∗ ) + D∗ Q(ȳ, z̄)(z ∗ ) .. (ii) Gi¶ sö Z còng lµ kh«ng gian Asplund, f : X × Y → Z lµ liªn tôc trong một lân cận của (x̄, ȳ), và Q: X ì Y ⇒ Z có đồ thị đóng trong lân cận của (x̄, ȳ, z̄). Khi đó ∂µ(x̄) ⊂ u∗ ∈ X ∗ : ∃z ∗ ∈ Z ∗ víi ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ (u , 0) ∈ ∂ϕ(x̄, ȳ) + D f (x̄, ȳ)(z ) + D Q(x̄, ȳ, z̄)(z ) , ∂ ∞ µ(x̄) ⊂ u∗ ∈ X ∗ : ∃z ∗ ∈ Z ∗ víi (u∗ , 0) ∈ D∗ f (x̄, ȳ)(z ∗ ) +D ∗ Q(x̄, ȳ, z̄)(z ∗ ) , nÕu nh− (x∗ , y ∗ , z ∗ ) = (0, 0, 0) lµ bé ba duy nhÊt tháa m·n ®iÒu kiÖn (x∗ , y ∗ ) ∈ D∗ f (x̄, ȳ)(z ∗ ) ∩ ( − D∗ Q(x̄, ȳ, z̄)(z ∗ )).

(154) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 148. và hoặc là Q là SNC tại (x̄, ȳ, z̄), hoặc là f là Lipschitz địa ph−ơng tại (x̄, ȳ) vµ kh«ng gian Z lµ h÷u h¹n chiÒu. Chứng minh. Dựa vào khẳng định (i) của Định lý 4.6.2 ta có các kết luận của định lý này bằng cách sử dụng các đánh giá trên cho đối đạo hàm D∗ G(x̄, ȳ) cho t−¬ng øng bëi §Þnh lý 4.44(i) vµ §Þnh lý 4.46 trong Mordukhovich (2006a), với l−u ý rằng các đánh giá đó nghiệm đúng d−ới các giả thiết phát biểu trong các khẳng định (i) và (ii). 2 Bạn đọc có thể xem thêm tiểu mục 4.4.1 trong Mordukhovich (2006a) để biết các đánh giá chi tiết cho đối đạo hàm của ánh xạ đa trị G mô tả ràng buộc cân bằng trong các dạng cụ thể. Các đánh giá chi tiết này cho phép chúng ta đặc biệt hoá các kết luận của Định lý 4.6.3 cho bài toán tối −u có ràng buộc cân bằng với cấu trúc đặc thù. Trong Ch−ơng 5 của cuốn sách Mordukhovich (2006b) bạn đọc có thể tìm thấy các điều kiện cần cực trị cho bài toán tối −u có ràng buộc cân bằng và các vấn đề có liên quan đến bài toán tối −u phân cấp (hierarchical) trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu vµ v« h¹n chiÒu. Bµi tËp 4.6.3. Cho X, Y, Z, ϕ, f, Q, G, µ vµ x̄ nh− ë Bµi tËp 4.5.6. áp dụng Định lý 4.6.3 để tính (hoặc đánh giá) các d−ới vi phân ∂à(x̄) ∂ ∞ µ(x̄) cña hµm µ t¹i ®iÓm x̄.. 4.7 D−íi vi ph©n Mordukhovich cña phiÕm hµm tÝch ph©n C¸c kÕt qu¶ trong môc nµy thuéc vÒ NguyÔn Huy Chiªu (xem Chieu (2006c)). 1. Định lý sau đây cho ta công thức để tính tích phân Aumann của ánh xạ d−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm sè thùc Lipschitz. Định lý 4.7.1. Giả sử f : [a, b] → R là hàm số Lipschitz. Khi đó, ). b a. (t)dt = {f (b) − f (a)} . ∂f. C«ng thøc tÝnh tÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Mordukhovich hoµn toµn t−¬ng tù nh− tr−êng hîp ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Clarke. §Þnh lý sau ®©y ®−îc chøng minh nhê vµo §Þnh lý 3.2.1, c«ng thøc (6.14), vµ §Þnh lý 3.4.1. Định lý 4.7.2. Giả sử f : [a, b] → R là hàm số Lipschitz. Khi đó, ) a. b. $. ∂f (t)dt = −. ) a. b. ) f (t; −1)dt,. b. 0. a. % f 0 (t; 1)dt ..

(155) 4.7. D−íi vi ph©n Mordukhovich cña phiÕm hµm tÝch ph©n. 149. 2. Sau ®©y lµ c¸c c«ng thøc tÝnh d−íi vi ph©n FrÐchet vµ d−íi vi ph©n Mordukhovich của phiếm hàm tích phân, ở đó hàm số d−ới dấu tích phân liên tôc t¹i mäi ®iÓm trong mét l©n cËn thñng cña ®iÓm ®−îc xÐt (nh−ng cã thÓ gi¸n đoạn tại chính điểm đó) 73 . §Þnh lý 4.7.4. Cho f : [a, b] → IR lµ hµm sè thùc kh¶ tÝch Lebesgue trªn [a, b]. )x Xét phiếm hàm tích phân F (x) := f (t) dà, ở đó x ∈ [a, b]. Giả sử rằng f a. liªn tôc t¹i mäi ®iÓm trong mét l©n cËn thñng cña ®iÓm x̄ ∈ (a, b) vµ tån t¹i các giới hạn hữu hạn α := lim f (t), β := lim f (t). Khi đó, x→x̄−0. (7.1). (x̄) = ∂F. vµ. ⎧ ⎨ [α, β ] ⎩. ∅. ∂F (x̄) =. ⎩. nÕu α β nÕu β < α,. ⎧ ⎨ [α, β]. (7.2). x→x̄+0. nÕu α β. { α, β }. nÕu β < α.. Bµi tËp 4.7.1. XÐt hµm sè f (t) =. −1 1. nÕu t ∈ [−1, 0) nÕu t ∈ [0, 1] )x. vµ phiÕm hµm tÝch ph©n F (x) := (0) vµ ∂F (0) theo hai c¸ch: ∂F. f (t) dµ. H·y tÝnh c¸c d−íi vi ph©n −1. a) B»ng c¸c c«ng thøc (7.1) vµ (7.2); b) Bằng định nghĩa (sau khi xác định đ−ợc công thức hiển của hàm F ). Bµi tËp 4.7.2. XÐt hµm sè f (t) =. nÕu t ∈ [−1, 0) nÕu t ∈ [0, 1]. 1 −1 )x. vµ phiÕm hµm tÝch ph©n F (x) := (0) vµ ∂F (0) theo hai c¸ch: ∂F 73. f (t) dµ. H·y tÝnh c¸c d−íi vi ph©n −1. L−u ý r»ng c«ng thøc tÝnh d−íi vi ph©n Clarke cña phiÕm tÝch ph©n d¹ng F (x) =. x a. đã có trong Clarke (1983), tr. 34.. f (t) dµ.

(156) 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị. 150 a) B»ng c¸c c«ng thøc (7.1) vµ (7.2);. b) Bằng định nghĩa (sau khi xác định đ−ợc công thức hiển của hàm F ). Bài tập 4.7.3 ∗. Sử dụng các định nghĩa trong Mục 4.2 và Định lý giá trị trung bình đối với tích phân Riemann, hãy đ−a ra chứng minh cho Định lý 4.7.4.. Câu hỏi đặt ra là: Liệu có thể đ−a ra các công thức t−ơng tự nh− (7.1) và (7.2) cho tr−êng hîp f cã v« sè ®iÓm gi¸n ®o¹n trong mét l©n cËn thñng tïy ý cña ®iÓm x̄ ∈ (a, b) hay kh«ng. NÕu f lµ hµm h»ng ë kho¶ng gi÷a bÊt kú hai ®iÓm gi¸n ®o¹n kÕ tiÕp nhau nµo, th× ta cã kÕt qu¶ sau. §Þnh lý 4.7.5. Gi¶ sö {tk }, {τk }, {αk }, vµ {βk } lµ c¸c d·y sè thùc sao cho a = t0 < t1 < ... < tk < tk+1 < ... < x̄ < ... < τk+1 < τk < ... < τ1 < τ0 = b, ∞ ∞ αk (tk −tk−1 ) vµ βk (τk−1 −τk ) lim tk = lim τk = x̄. Gi¶ sö hai chuçi k→∞. k→∞. k=1. f (t)dt, ở đó. là hội tụ tuyệt đối. Xét phiếm hàm tích phân F (x) := ⎧ ⎨ αi α0 f (t) = ⎩ βj. k=1. )x a. nÕu ti−1 t < ti , i = 1, 2, ... nÕu t = x̄ nÕu τj t < τj−1 , j = 1, 2, .... §Æt ∞ . α := − lim inf k→∞. i=k+1. ∞ . αi (ti − ti−1 ) tk − x̄. , β := lim inf. i=k+1. βi (τi−1 − τi ) τk − x̄. k→∞. ,. vµ Ω := { lim αik } ∪ { lim βjk } ∪ lim sup[αi , αi+1 ] ∪ lim sup[βj+1 , βj ], ik →∞. jk →∞. N. i →1 ∞. N. j →2 ∞. ở đó N1 := {i ∈ IN : αi αi+1 }, N2 := {j ∈ IN : βj+1 βj }, { lim αik } ik →∞. vµ { lim βjk } t−¬ng øng lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm tô cña c¸c d·y {αk } vµ jk →∞. {βk }. Khi đó các khẳng định sau nghiệm đúng: (x̄) = [α, β] vµ ∂F (x̄) = Ω ∪ [α, β]. (i) NÕu α, β ∈ R, th× ∂F (x̄) = ∅ vµ ∂F (x̄) = Ω. (ii) NÕu α = +∞ hoÆc β = −∞, th× ∂F (x̄) = ∂F (x̄) = R. (iii) NÕu α = −∞ vµ β = +∞, th× ∂F (x̄) = (−∞, β] vµ ∂F (x̄) = Ω ∪ (−∞, β]. (iv) NÕu α = −∞ vµ β ∈ R, th× ∂F.

(157) 4.7. D−íi vi ph©n Mordukhovich cña phiÕm hµm tÝch ph©n. 151. (x̄) = [α, +∞) vµ ∂F (x̄) = Ω ∪ [α, +∞). (v) NÕu α ∈ R vµ β = +∞, th× ∂F Sau đây là 5 ví dụ ứng với 5 khả năng đ−ợc mô tả trong định lý nói trên. Trong c¸c vÝ dô nµy ta lu«n lÊy a = 0, b = 1, x̄ = 12 . VÝ dô 4.7.1. §Æt tk =. 1 2. −. 1 ,τ 2k k. αk =. =. 3+ 4+. 1 2. +. 1 2k 1 2k. 1 , βk 2k. = 7 víi mäi k ∈ IN , vµ. nÕu k = 2i nÕu k = 2i + 1. ở đó i = 0, 1, .... Bằng tính toán trực tiếp, ta có Ω = [3, 4] ∪ {7}, α = 11 3 , 11 11 ∂F (x̄) = [ 3 , 7] vµ ∂F (x̄) = [3, 4] ∪ [ 3 , 7]. k VÝ dô 4.7.2. §Æt tk = 12 − 21k , τk = 12 + 21k , βk = β ∈ R, vµ αk = 32 víi mäi (x̄) = ∅ vµ k ∈ N. Ta tÝnh ®−îc Ω = {β} vµ α = +∞. Theo §Þnh lý 4.7.5, ∂F. ∂F (x̄) = {β}.. k k vµ αk = − 32 víi VÝ dô 4.7.3. §Æt tk = 12 − 21k , τk = 12 + 21k , βk = 32 mäi k ∈ IN . Ta cã Ω = ∅, α = −∞, vµ β = +∞. V× vËy, theo §Þnh lý 4.7.5, (x̄) = ∂F (x̄) = R. ∂F k VÝ dô 4.7.4. §Æt tk = 12 − 21k , τk = 12 + 21k , βk = β ∈ R, vµ αk = − 32 víi mäi (x̄) = (−∞, β] k ∈ IN . Ta thÊy ngay r»ng Ω = {β} vµ α = −∞. V× vËy, ∂F vµ ∂F (x̄) = (−∞, β]. VÝ dô 4.7.5. §Æt tk =. 1 2. −. 1 ,τ 2k k. =. 1 2. +. 1 , βk 2k. =. k 3 2. vµ αk = α ∈ R. víi mäi k ∈ IN . Ta cã Ω = {α} vµ β = +∞. Tõ §Þnh lý 4.7.5 suy ra r»ng (x̄) = [α, +∞) vµ ∂F (x̄) = [α, +∞). ∂F.

(158) 152. 4. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị.

(159) Ch−¬ng 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng M−a vÉn hay m−a trªn hµng l¸ nhá Buæi chiÒu ngåi ngãng nh÷ng chuyÕn m−a qua... (TrÞnh C«ng S¬n, “DiÔm x−a”). Trong ch−¬ng nµy chóng ta sÏ kh¶o s¸t mét sè tÝnh chÊt cña mét lo¹i ¸nh x¹ đa trị đặc biệt, đó là ánh xạ nghiệm của hệ bất đẳng thức suy rộng cho bởi hàm véctơ liên tục. Kết quả thu đ−ợc là các định lý hàm ẩn cho ánh xạ đa trị. Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland tr×nh bµy trong Ch−¬ng 2 lµ c«ng cô kh«ng thÓ thiếu đ−ợc cho các chứng minh ở đây. áp dụng các định lý về tính nửa liên tục d−ới và tính giả-Lipschitz của ánh xạ nghiệm của hệ bất đẳng thức cho bài toán quy hoạch toán học phụ thuộc tham số, chúng ta sẽ thu đ−ợc các điều kiện đủ cho tính liên tục hoặc tính Lipschitz địa ph−ơng của hàm giá trị tối −u. Ngoài ra, chóng ta còng sÏ so s¸nh d−íi vi ph©n Mordukhovich (d−íi vi ph©n qua giíi h¹n) vµ d−íi vi ph©n theo nghÜa V. Jeyakumar vµ §inh ThÕ Lôc 1 (th−êng ®−îc gọi tắt là d−ới vi phân J-L), đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich và Jacobian xÊp xØ theo nghÜa V. Jeyakumar vµ §. T. Lôc. ViÖc so s¸nh nµy cho thÊy mèi liên hệ giữa các khái niệm vi phân đ−ợc xét ở đây và những khái niệm đã đ−ợc xÐt trong Ch−¬ng 4. Ch−¬ng nµy ®−îc viÕt trªn c¬ së c¸c bµi b¸o cña Jeyakumar vµ Yen (2004), Nam vµ Yen (2007), Yen (1997). 1. Giáo s− Đinh Thế Lục đồng thời là cán bộ nghiên cứu thuộc Viện Toán học (Hà Nội) và gi¸o s− gi¶ng d¹y t¹i Khoa To¸n, §¹i häc Tæng hîp Avignon (Ph¸p). «ng lµ mét trong nh÷ng chuyªn gia hµng ®Çu cña ViÖt Nam vÒ tèi −u vÐct¬, gi¶i tÝch kh«ng tr¬n, vµ gi¶i tÝch ®a trÞ.. 153.

(160) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 154. 5.1 Giíi thiÖu chung Xét hệ bất đẳng thức suy rộng 0 ∈ f (x) + K,. (1.1). x ∈ C,. ở đó C ⊂ IRn và K ⊂ IRm là các tập lồi đóng, khác rỗng, và f : IRn → IRm là hàm véctơ liên tục. Nhiễu 2 của (1.1) là một hệ bất đẳng thức suy rộng có tham sè d¹ng 0 ∈ f (x, p) + K,. (1.2). x ∈ C,. ở đó p là tham số biến thiên trong tập P ⊂ IRr , f : IRn ì P → IRm là hàm vÐct¬ cho tr−íc. Chóng ta gi¶ sö r»ng víi mçi p ∈ P hµm sè f (·, p) lµ liªn tôc vµ tån t¹i p0 ∈ P sao cho f (x, p0 ) = f (x) ∀x ∈ IRn .. (1.3). Nhiễu (1.2) đ−ợc ký hiệu bởi {f (x, p), P, p0 }. Với mỗi p ∈ P , đặt G(p) = {x ∈ C : 0 ∈ f (x, p) + K}. Ta có G(p) là tập nghiệm của (1.2). Vậy G(ã) là hàm ẩn xác định bởi hệ bất đẳng thức có tham số (1.2). Nhận xét rằng nếu s × {0} K = IR+ m−s := {y = (y1 , . . . , ym ) ∈ IRm : y1 0, . . . , ys 0, ys+1 = . . . = ym = 0}. th× (1.1) (t−¬ng øng, (1.2)) lµ mét hÖ thèng gåm s bÊt ph−¬ng tr×nh vµ m − s ph−ơng trình với tập ràng buộc C. Ta nói (1.1) là hệ bất đẳng thức trơn (t.−., Lipschitz địa ph−ơng, liên tục) nếu f hàm thuộc lớp C1 (IRn , IRm ) (t.−., một hàm Lipschitz địa ph−ơng, một hàm liên tục). Robinson (1976b) đã thiết lập một định lý cơ bản về tính ổn định nghiệm của hệ bất đẳng thức trơn. Định lý đó nói rằng nếu hệ bất đẳng thức đã cho là chính quy tại một nghiệm nào đó thì nghiệm đó là ổn định khi hệ biến động d−ới tác động của nhiễu nhỏ. Kết quả của Robinson đã đ−ợc mở rộng sang cho c¸c hÖ bao gåm nh÷ng hµm kh«ng tr¬n (xem, vÝ dô nh−, Borwein (1986), Dien vµ Yen (1991), Yen (1987, 1997)) vµ cho c¸c hÖ bao gåm c¸c to¸n tö nãn ph¸p tuyÕn (xem Mordukhovich (1994c,d), Rockafellar vµ Wets (1998)). §Ých chÝnh cña chóng ta trong ch−¬ng nµy lµ thiÕt lËp c¸c ®iÒu kiÖn tæng quát cho tính ổn định nghiệm của các bất đẳng thức suy rộng liên tục, không 2. TNTA: perturbation..

(161) 5.2. Các định nghĩa và kết quả bổ trợ. 155. trơn (và cũng không nhất thiết là Lipschitz địa ph−ơng) có dạng (1.1) và áp dụng các kết quả đó để thu đ−ợc các định lý hàm ng−ợc, định lý ánh xạ mở, quy tắc nhân tử Lagrange cho bài toán tối −u có hệ ràng buộc là hệ bất đẳng thức suy réng (gäi t¾t lµ bµi to¸n tèi −u cã rµng buéc nãn3 , nÕu K lµ h×nh nãn). Chóng ta đạt đ−ợc đích đó nhờ sử dụng lý thuyết Jacobian xấp xỉ đề xuất bởi các tác giả V. Jeyakumar vµ §inh ThÕ Lôc (xem Jeyakumar vµ Luc (1998, 1999, 2002a,b)) vµ sö dông mét d¹ng më réng míi cña ®iÒu kiÖn chÝnh quy Robinson cho c¸c hµm vÐct¬ liªn tôc. Chóng ta sÏ thÊy r»ng Jacobian xÊp xØ theo nghÜa Jeyakumar-Luc lµ mét công cụ hữu hiệu để xử lý các vấn đề liên quan đến các hàm liên tục, không nhất thiết Lipschitz địa ph−ơng. Jacobian xấp xỉ tuân theo một hệ thống khá đầy đủ các quy tắc tính toán. Các quy tắc này th−ờng uyển chuyển hơn, sắc nét hơn c¸c quy t¾c tÝnh to¸n cho Jacobian suy réng Clarke (xem Clarke (1983)). §ã lµ v× Jacobian suy réng Clarke lu«n lµ tËp låi, vµ phÐp lÊy bao låi lµ kh«ng thÓ tránh khỏi khi ta tiến hành tính toán với đối t−ợng này. Chẳng những Jacobian suy rộng Clarke là một kiểu Jacobian xấp xỉ, mà nhiều loại đạo hàm của hàm véctơ (nh− tiền đạo hàm theo nghĩa Ioffe 4 , ‘thùng đạo hàm’ không giới nội theo nghÜa Warga 5 ) còng lµ nh÷ng vÝ dô vÒ Jacobian xÊp xØ. Trong Mục 5.8 ở cuối ch−ơng này, chúng ta sẽ chứng tỏ rằng đối đạo hàm theo nghÜa Mordukhovich (xem Mordukhovich (1994b), Rockafellar vµ Wets (1998), vµ Môc 4.2 trong Ch−¬ng 4) vµ Jacobian xÊp xØ lµ nh÷ng kh¸i niÖm rÊt khác nhau. Đó là lý do chính giải thích tại sao từ các định lý hàm ẩn sử dụng đối đạo hàm trong Mordukhovich (1994a,c), Rockafellar và Wets (1998),..., ta kh«ng thÓ rót ra c¸c kÕt qu¶ t−¬ng øng trong ch−¬ng nµy. Trong Môc 5.3 chóng ta sẽ so sánh chi tiết hơn sự khác biệt giữa các định lý hàm ẩn thu đ−ợc ở đây vµ c¸c kÕt qu¶ cña Mordukhovich (1994a,c). Các định lý hàm ẩn, các điều kiện đủ cho tính liên tục và tính Lipschitz địa ph−ơng của hàm giá trị tối −u trong ch−ơng này mở rộng các định lý t−ơng ứng trong Yen (1997), nếu nh− tập ràng buộc cố định C là khác rỗng, đóng và lồi. (Trong Yen (1997) chỉ cần giả sử C là khác rỗng và đóng.). 5.2 Các định nghĩa và kết quả bổ trợ Mục này trình bày một vài sự kiện cơ bản về Jacobian xấp xỉ và các định nghĩa tính chính quy, nhiễu chấp nhận đ−ợc, và tính ổn định của hệ bất đẳng thức suy réng liªn tôc d¹ng (1.1). 3. TNTA: cone-constrained optimization problem. TNTA: Ioffe prederivative. 5 TNTA: Warga unbounded derivative container. 4.

(162) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 156. Đối với một không gian Euclide Z, ký hiệu SZ đ−ợc dùng để chỉ mặt cầu đơn vị trong Z. Bao đóng của hình nón sinh ra bởi tập M ⊂ Z sẽ đ−ợc ký hiệu bởi coneM . Nón đối ngẫu âm của tập M đ−ợc ký hiệu bởi M∗ , nghĩa là M ∗ = {w ∈ Z : w, z 0 ∀z ∈ M }. Nãn lïi xa 6 (xem Jeyakumar vµ Luc (2002a,b), Rockafellar vµ Wets (1998)) M∞ cña tËp M ⊂ Z lµ tËp hîp tÊt c¶ nh÷ng vÐct¬ w ∈ Z sao cho tån t¹i d·y {tk } các số d−ơng hội tụ đến 0 và dãy {zk } ⊂ M để w = lim tk zk . Đối với k→∞. mét h×nh nãn M ⊂ Z vµ mét sè ε ∈ (0, 1), l©n cËn ε−nãn Mε cña M (xem Jeyakumar và Luc (2002a,b)) đ−ợc xác định bởi công thức M ε = {z + εzB̄Z : z ∈ M }. ε thay cho (M )ε . Để cho đơn giản, ta sẽ viết M∞ ∞. Sau đây là một vài khái niệm và kết quả về Jacobian xấp xỉ đã đ−ợc đ−a ra trong Jeyakumar vµ Luc (1998, 1999, 2002a,b). §Þnh nghÜa 5.2.1 (Jacobian xÊp xØ). Cho f : IRn → IRm lµ ¸nh x¹ liªn tôc. Tập con đóng Jf (x) của không gian L(IRn , IRm ) các toán tử tuyến tính từ IRn vào IRm (đ−ợc đồng nhất với tập các ma trận cấp m ì n) đ−ợc gọi là một Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x̄ ∈ IRn nÕu, víi mäi u = (u1 , . . . , un ) ∈ IRn vµ v = (v1 , . . . , vm ) ∈ IRm , ta cã (2.1). (v ◦ f )+ (x̄; u) . sup v, Au,. A∈Jf (x̄). ở đó (v ◦ f )(x) = v1 f1 (x) + ã ã ã + vm fm (x) là hàm hợp của v và f , và (2.2). (v ◦ f )+ (x̄; u) = lim sup t↓0. (v ◦ f )(x̄ + tu) − (v ◦ f )(x̄) t. là đạo hàm theo h−ớng Dini trên 7 của v ◦ f tại x̄ theo h−ớng u. Nếu m = 1 th× ta th−êng viÕt ∂JL f (x̄) thay cho Jf (x̄) vµ gäi ∂JL f (x̄) lµ d−íi vi ph©n J-L cña f t¹i x̄. Bài tập 5.2.1. Chứng minh rằng nếu f là khả vi Fréchet tại x̄ với đạo hµm FrÐchet f (x̄), th× Jf (x̄) = {f (x̄)} lµ mét Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x̄. Bài tập 5.2.2. Chứng minh rằng nếu (2.1) nghiệm đúng với mọi u ∈ IRn \ {0} vµ v ∈ SIRn , th× Jf (x̄) lµ Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x̄. 6 7. TNTA: recession cone. TNTA: upper Dini directional derivative..

(163) 5.2. Các định nghĩa và kết quả bổ trợ. 157. Nếu f là hàm véctơ Lipschitz địa ph−ơng tại x̄, nghĩa là tồn tại > 0 sao cho f (x ) − f (x) x − x víi mäi x, x trong mét l©n cËn cña x̄, th× Jacobian suy réng theo nghÜa Clarke (1983) Cl (2.3) J f (x̄) := co lim f (xk ) : {xk } ⊂ Ωf , xk → x̄ k→∞. lµ mét Jacobian xÊp xØ låi, comp¾c cña f t¹i x̄. ë ®©y Ωf = {x ∈ IRn : ∃ đạo hàm Fréchet f (x) của f tại x}. Sù kiÖn nµy lµ hÖ qu¶ cña c¸c tÝnh chÊt cña Jacobian suy réng Clarke (xem Clarke (1983)) và Định nghĩa 5.2.1. Nếu f là Lipschitz địa ph−ơng tại x̄ và m = 1, th× tËp hîp J Cl f (x̄) trïng víi d−íi vi ph©n suy réng Clarke ∂Cl f (x̄) cña f t¹i x̄ (xem Clarke (1983) vµ Môc 3.4 trong Ch−¬ng 3). Bµi tËp 5.2.3. Cho ϕ(x) = |x|, x ∈ IR. H·y chøng tá r»ng tËp hîp ∂ JL ϕ(0) := {−1, 1} ⊂ ∂ Cl ϕ(0) lµ mét d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i 0. Bµi tËp 5.2.4. XÐt ¸nh x¹ f : IR → IR 2 ®−îc cho bëi c«ng thøc f (x) = (|x|, −x) víi mäi x ∈ IR. H·y chøng minh r»ng Jf (0) := [−1, 1] × {−1} vµ Jf (0) := {−1, 1} × {−1} lµ c¸c Jacobian xÊp xØ 8 cña f t¹i 0. H·y sử dụng (2.3) để chứng tỏ rằng tập hợp thứ nhất ∂f (0) := [−1, 1] ì {−1} chÝnh lµ Jacobian suy réng Clarke cña f t¹i 0.. Chúng ta hãy xét ví dụ minh họa đơn giản sau 9 về Jacobian xấp xỉ của một hàm liên tục, nh−ng không là Lipschitz địa ph−ơng ở điểm đ−ợc xét. Nhiều ví dô kh¸c n÷a cã trong Jeyakumar vµ Luc (1998, 2002a). VÝ dô 5.2.1. Gi¶ sö f (x) = x1/3 , x ∈ IR. Víi x̄ = 0, dÔ thÊy r»ng Jf (x̄) = [α, +∞), ở đó α ∈ IR là một số thực tùy ý, là một Jacobian xấp xỉ của f tại x̄. Víi x̄ = 0, tËp Jf (x̄) = { 13 x̄−2/3 } lµ mét Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x̄. Râ rµng ¸nh x¹ Jacobian xÊp xØ x → Jf (x) lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x̄ = 0. Bµi tËp 5.2.5. Cho f (x) = −x 1/3 + x, x ∈ IR. H·y chøng tá r»ng + f (0; u) = −∞ nÕu u > 0 nÕu u < 0. f + (0; u) = +∞ vµ. . (−f )+ (0; u) = ∞ (−f )+ (0; u) = −∞. nÕu u > 0 nÕu u < 0.. Từ đó hãy suy ra rằng Jf (0) := (−∞, α] với α < 0 đ−ợc chọn tùy ý là Jacobian xÊp xØ cña f t¹i 0. TÝnh nãn lïi xa Jf (0) ∞ . 8 9. ở đây, với mọi A = (α, β) ∈ Jf (0) và với mọi u ∈ IR, ta đặt Au = (αu, βu). Xem Jeyakumar vµ Luc (2002a)..

(164) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 158. & Bµi tËp 5.2.6 ∗. Cho ϕ(x) = |x|, x ∈ IR. Tån t¹i hay kh«ng mét d−íi vi ph©n J-L kh«ng chøa 0 cña ϕ t¹i 0? NÕu tån t¹i, h·y viÕt c«ng thøc của một d−ới vi phân nh− vậy và tính nón lùi xa của tập hợp đó.. Quy tắc hàm hợp sau đây đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh c¸c kÕt qu¶ ë môc sau. §Ó viÖc tr×nh bµy ®−îc trän vÑn, trong Môc 5.6 ta sÏ đ−a ra chứng minh chi tiết cho mệnh đề này. Mệnh đề 5.2.1 (Quy tắc hàm hợp; xem Jeyakumar và Luc (2002a), Hệ quả 4.2). Cho f : IRn → IRm lµ ¸nh x¹ liªn tôc, g : IRm → IR lµ hµm sè thùc liªn tôc. Gi¶ sö r»ng (i) f cã mét ¸nh x¹ Jacobian xÊp xØ Jf nöa liªn tôc trªn t¹i x̄ ∈ IRn ; (ii) g lµ kh¶ vi FrÐchet trong l©n cËn cña f (x̄) vµ ¸nh x¹ gradient g (·) lµ liªn tôc t¹i f (x̄) víi g (f (x̄)) = 0. Khi đó, với mỗi ε > 0, bao đóng của tập hợp g (f (x̄)) ◦ [Jf (x̄) + (Jf (x̄))ε∞ ] lµ mét Jacobian xÊp xØ cña g ◦ f t¹i x̄. §Þnh nghÜa 5.2.2 (TÝnh trµn). To¸n tö A ∈ L(IRn , IRm ) ®−îc gäi lµ trµn trªn tËp lồi đóng khác rỗng C ⊂ IRn tại x0 ∈ C đối với tập đóng khác rỗng K0 ⊂ IRm víi 0 ∈ K0 nÕu (2.4). 0 ∈ int(A[TC (x0 )] + K0 ),. ở đó TC (x0 ) = cone(C − x0 )) là nón tiếp tuyến của C tại x0 theo nghĩa giải tÝch låi. Trong tr−êng hîp K0 = {0}, dÔ chøng tá r»ng (2.1) lµ t−¬ng ®−¬ng víi ®iÒu kiện 0 ∈ int(A[C − x0 ]). Vì thế, Định nghĩa 5.2.2 mở rộng khái niệm đã đ−a ra trong Jeyakumar vµ Luc (2002b) 10 . Điều kiện cần cực trị sau đây suy ra ngay từ định nghĩa d−ới vi phân J-L. Mệnh đề 5.2.2 (xem Jeyakumar và Luc (2002b), Mệnh đề 2.1). Giả sử C ⊂ IRn lµ tËp låi vµ gi¶ sö ϕ : IRn → IR lµ hµm sè liªn tôc. NÕu x̄ ∈ C lµ ®iÓm cùc tiểu địa ph−ơng của ϕ trên C và nếu ∂JL f (x̄) là d−ới vi phân J-L của ϕ tại x̄, th× sup η, u 0 ∀u ∈ TC (x̄). η∈∂ JL f (x̄). Bây giờ chúng ta quay lại xét hệ bất đẳng thức suy rộng (1.1). Giả sử x0 là một nghiệm của hệ đó. Ta l−u ý rằng trong Jeyakumar và Luc (2002b) tập C có thể không đóng, và thay cho x0 ∈ C c¸c t¸c gi¶ sö dông ®iÒu kiÖn x0 ∈ C. 10.

(165) 5.2. Các định nghĩa và kết quả bổ trợ. 159. D−íi ®©y lµ d¹ng më réng cña kh¸i niÖm chÝnh quy theo Robinson (1976b) cho hÖ nµy. §Þnh nghÜa 5.2.3 (§iÒu kiÖn chÝnh quy). §èi víi hÖ (1.1), gi¶ thiÕt r»ng f cã ánh xạ Jacobian xấp xỉ Jf . Khi đó, hệ đ−ợc gọi là chính quy tại x0 nếu (2.5) 0 ∈ int (A[TC (x0 )] + f (x0 ) + K) ∀A ∈ coJf (x0 ) ∪ co((Jf (x0 ))∞ \ {0}). Trong mục sau ta sẽ chứng minh (xem Bổ đề 5.3.1) rằng điều kiện chính quy đó kéo theo tính mở đều của các toán tử A ∈ Jf (x), ở đó x thuộc một lân cËn cña x0 . So s¸nh (2.5) víi (2.4) ta thÊy r»ng (1.1) lµ chÝnh quy t¹i x0 khi vµ chØ khi mçi to¸n tö A cña tËp coJf (x0 ) ∪ co((Jf (x0 ))∞ \ {0}) lµ trµn trªn C t¹i x0 đối với K0 := f (x0 ) + K. Ví dụ 5.2.2. Hệ (1.1) ở đó n = m = 1, C = IR, K = {0} và f (x) = x1/3 , là chính quy tại nghiệm x0 = 0. L−u ý rằng ánh xạ Jacobian xấp xỉ Jf đã đ−ợc xác định trong Ví dụ 5.2.1. §Þnh nghÜa 5.2.4 (NhiÔu chÊp nhËn ®−îc). NhiÔu {f (x, p), P, p0 } cña (1.1) ®−îc gäi lµ nhiÔu chÊp nhËn ®−îc cña hÖ t¹i x0 nÕu (i) hµm f (x, p) lµ liªn tôc t¹i (x0 , p0 ), (ii) víi mçi x ∈ IRn hµm sè f (x, ·) lµ liªn tôc trªn P , (iii) víi mçi p ∈ P hµm sè f (·, p) cã mét ¸nh x¹ Jacobian xÊp xØ ®−îc ký hiÖu bëi J1 f (·, p), (iv) tån t¹i l©n cËn U∗ cña p0 ∈ P vµ mét sè δ∗ > 0 sao cho, víi mçi p ∈ U∗ , J1 f (·, p) lµ nöa liªn tôc trªn ë trong B̄(x0 , δ∗ ), (v) ¸nh x¹ ®a trÞ (x, p) → J1 f (x, p) lµ nöa liªn tôc trªn t¹i (x0 , p0 ). Định nghĩa 5.2.5 (Tính ổn định nghiệm). Ta nói rằng nghiệm x0 của (1.1) là ổn định d−ới nhiễu chấp nhận đ−ợc nếu với mỗi ε > 0 và với mỗi nhiễu chấp nhËn ®−îc {f (x, p), P, p0 } cña (1.1) t¹i x0 , tån t¹i l©n cËn U cña p0 sao cho G(p) ∩ B̄(x0 , ε) = ∅. ∀p ∈ U,. ở đó G(p) là nghiệm của (1.2). Trong ví dụ sau, chúng ta xét một dạng đặc biệt của nhiễu chấp nhận đ−ợc của hệ bất đẳng thức liên tục. VÝ dô 5.2.3. Gi¶ sö r»ng f : IRn → IRm lµ hµm liªn tôc, C ⊂ IRn lµ tËp låi đóng. Ta đặt P = IRm , p0 = 0, và xét hàm véctơ f : IRn ì P → IRm đ−ợc cho bëi c«ng thøc f (x, p) = f (x) − p víi mäi (x, p) ∈ IRn × IRm . Râ rµng r»ng {f (x, p), P, p0 } là một nhiễu của (1.1). Nếu, thêm vào đó, hàm f : IRn → IRm cã mét ¸nh x¹ Jacobian xÊp xØ Jf lµ nöa liªn tôc trªn t¹i mäi x ∈ IRn , th× {f (x, p), P, p0 } là một nhiễu chấp nhận đ−ợc của (1.1). Thật vậy, để kiểm tra.

(166) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 160. điều đó ta chỉ cần l−u ý rằng, với mỗi p ∈ P , công thức J1 f (x, p) = Jf (x) (x ∈ IRn ) xác định một ánh xạ Jacobian xấp xỉ của hàm f (ã, p). Dễ thấy rằng ¸nh x¹ ®a trÞ (x, p) → J1 f (x, p) lµ nöa liªn tôc trªn t¹i (x0 , p0 ). §Ó cã mét vÝ dô 2/3 cụ thể, ta xác định ánh xạ f : IR2 → IR2 bằng cách đặt f (x1 , x2 ) = (x1 , x2 ) với mọi (x1 , x2 ) ∈ IR2 . Khi đó các công thức 1 −2/3 ! ! α 0 0 3x , (∀x = 0) vµ J1 f (0, p) = J1 f (x, p) = 0 1 0 1 ở đó α > 0, xác định một Jacobian xấp xỉ của f (ã, p), ở đó f (x, p) = f (x) − p (p ∈ IR2 ).. 5.3 Tính ổn định Mục này đ−a ra các điều kiện đủ cho ánh xạ đa trị p → G(p) ∩ V , ở đó G(p) lµ nghiÖm cña (1.2) vµ V lµ mét l©n cËn cña x0 , lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong mét l©n cËn cña p0 , cho tÝnh chÝnh quy mªtric cña G(·) t¹i (p0 , x0 ), vµ tÝnh chÊt gi¶-Lipschitz cña G(·) t¹i (p0 , x0 ). Chóng ta còng sÏ xÐt hai vÝ dô chøng tá rằng, không giống nh− trong tr−ờng hợp hàm ng−ợc đa trị, đối với hàm ẩn đa trị th× tÝnh chÝnh quy mªtric vµ cho tÝnh gi¶-Lipschitz lµ hai kh¸i niÖm kh¸c nhau. Trong mục này có ba định lý chính: - Định lý 5.3.1 đ−a ra điều kiện đủ để ánh xạ đa trị ‘bị cắt gọn’ (truncated) p → G(p) ∩ V , ở đó V là một lân cận của x0 , là nửa liên tục d−ới ở trong một l©n cËn cña p0 ; - §Þnh lý 5.3.2 bµn vÒ tÝnh chÝnh quy mªtric cña G(·) t¹i (p0 , x0 ); - Định lý 5.3.3 đề cập đến tính giả-Lipschitz của hàm ẩn G(ã) tại (p0 , x0 ). Trong suèt môc nµy chóng ta gi¶ thiÕt r»ng x0 ∈ C lµ mét nghiÖm cña (1.1) vµ {f (x, p), P, p0 } lµ mét nhiÔu chÊp nhËn ®−îc cña (1.1) t¹i x0 . Bổ đề sau đây về tính mở đều của một họ toán tử tuyến tính là một kết quả bổ trợ then chốt để thu đ−ợc các kết quả trong mục này. Nó là dạng mở rộng của Bổ đề 3.1 trong Jeyakumar và Luc (2002b) ở đó, trong các ký hiệu của chóng ta, c¸c t¸c gi¶ xÐt tr−êng hîp K = {0} vµ P = {p0 }. Bổ đề 5.3.1. Nếu (1.1) là chính quy tại x0 , thì tồn tại γ > 0 và δ > 0 sao cho . . (3.1) B̄IRm ⊂ γ A TC (x) ∩ B̄IRn + cone(K + f (x, p)) ∩ B̄IRm víi mäi x ∈ B̄(x0 , δ) ∩ C, p ∈ B(p0 , δ) ∩ P , vµ co J1 f (x , p ) + (J1 f (x , p ))δ∞ . (3.2) A∈ x ∈B̄(x0 ,δ), p ∈B(p0 ,δ)∩P.

(167) 5.3. Tính ổn định. 161. Chứng minh. Chúng ta sẽ đi theo l−ợc đồ chứng minh Bổ đề 3.1 trong Jeyakumar và Luc (2002b). Giả sử rằng kết luận của bổ đề là sai. Khi đó, với mçi k 1 vµ δ = k−1 ta t×m ®−îc vk ∈ B̄IRm , xk , xk ∈ B̄(x0 , k−1 ) ∩ C, pk , pk ∈ B(p0 , k−1 ) ∩ P vµ Ak ∈ co J1 f (xk , pk ) + (J1 f (xk , pk ))1/k ∞ sao cho (3.3). . . vk ∈ / k Ak TC (xk ) ∩ B̄IRn + cone(f (xk , pk ) + K) ∩ B̄IRm .. Kh«ng gi¶m tæng qu¸t, ta cã thÓ gi¶ sö r»ng lim vk = v0 ∈ B̄IRm .. k→∞. Chúng ta khẳng định rằng, bằng cách lấy dãy con (nếu cần thiết), hoặc lim Ak = A0 ∈ coJ1 f (x0 , p0 ). (3.4). k→∞. hoÆc (3.5). lim tk Ak = A∗ ∈ co ((J1 f (x0 , p0 ))∞ \ {0}). k→∞. ở đó {tk } là một dãy số d−ơng hội tụ đến 0. Tr−ớc tiên chúng ta hãy chứng tỏ rằng (3.4) và (3.5) dẫn đến điều mâu thuẫn. Nếu (3.4) nghiệm đúng, thì do (1.3) và điều kiện chính quy (2.5) ta có 0 ∈ int (A0 [TC (x0 )] + f (x0 , p0 ) + K) . V× f (x0 , p0 ) + K ⊂ cone(f (x0 , p0 ) + K)), tõ bao hµm thøc cuèi ta suy ra r»ng (3.6). IRm = A0 [TC (x0 )] + cone(f (x0 , p0 ) + K).. Râ rµng Ω := A0 [TC (x0 ) ∩ B̄IRn ] + [cone(f (x0 , p0 ) + K) ∩ B̄IRm ] lµ tËp låi comp¾c, vµ 0 ∈ Ω. NÕu 0 ∈ / int Ω thì, theo định lý tách các tập lồi (xem Rudin (1991), §Þnh lý 3.4), tån t¹i η ∈ SIRm sao cho Ω ⊂ {y ∈ IRm : η, y 0}. Víi mçi v ∈ IRm , do (3.6) tån t¹i u ∈ TC (x0 ) vµ v ∈ cone(f (x0 , p0 ) + K) sao cho v = A0 u + w. Nếu ta chọn t > 0 đủ nhỏ sao cho tu ∈ B̄IRn và tw ∈ B̄IRm , th× tv = A0 (tu) + tw ∈ Ω. Suy ra η, tv 0, vµ do vËy η, v 0. V× bÊt.

(168) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 162. đẳng cuối đúng với mọi v ∈ IRm , ta có điều mâu thuẫn. Vậy 0 ∈ int Ω. Từ đó suy ra r»ng cã thÓ t×m ®−îc ε > 0 vµ k0 > 1 sao cho (3.7) . . B̄(v0 , ε) ⊂ k0 A0 TC (x0 ) ∩ B̄IRn + cone(f (x0 , p0 ) + K) ∩ B̄IRm . Do Ak → A0 , tån t¹i k1 k0 sao cho Ak − A0 < ε/4. (3.8). víi mäi k k1 .. B©y giê ta sÏ chØ ra r»ng tån t¹i k2 k1 sao cho . . ε (3.9) B̄(v0 , ) ⊂ k0 A0 TC (xk ) ∩ B̄IRn + cone(f (xk , pk ) + K) ∩ B̄IRm 2 với mọi k k2 . Thật vậy, nếu điều đó không đúng, thì ta có thể giả sử rằng víi mçi k tån t¹i phÇn tö uk ∈ B̄(v0 , ε/2) tháa m·n . / k0 A0 TC (xk ) ∩ B̄IRn + cone(f (xk , pk ) + K) ∩ B̄IRm . uk ∈ Theo định lý tách các tập lồi, tồn tại ξk ∈ SIRm sao cho ξk , uk ξk , k0 (A0 z + w). (3.10). víi mçi z ∈ TC (xk ) ∩ B̄IRn and w ∈ cone(f (xk , pk ) + K) ∩ B̄IRm . B»ng c¸ch sö dông c¸c d·y con (nÕu cÇn), ta cã thÓ gi¶ sö r»ng ε lim uk = u0 ∈ B̄(v0 , ), k→∞ 2. lim ξk = ξ0 ở đó ξ0 = 1.. k→∞. Tõ (3.10) suy ra (3.11). ξ0 , u0 ξ0 , k0 (A0 z + w). với mọi z ∈ TC (x0 ) ∩ B̄IRn và w ∈ cone(f (x0 , p0 ) + K) ∩ B̄IRm . Thật vậy,để chứng minh khẳng định đó ta chỉ cần chứng tỏ rằng (3.11) nghiệm đúng với mọi z ∈ cone(C − x0 ) ∩ B̄IRn vµ w ∈ cone(f (x0 , p0 ) + K) ∩ B̄IRm . Gi¶ sö (z, w) lµ mét cÆp tháa m·n hai bao hµm thøc sau cïng. Gi¶ sö r»ng z = t(c − x0 ),. w = τ (f (x0 , p0 ) + v). với c ∈ C, t, τ ∈ [0, +∞) và v ∈ K. Với mỗi k, ta đặt zk = t(c − xk ),. wk = τ (f (xk , pk ) + v).. Khi đó zk ∈ TC (xk ), wk ∈ cone(f (xk , pk ) + K), zk → z và wk → w khi / B̄IRn thì ta đặt k → ∞. Nếu zk ∈ B̄IRn thì ta đặt zk = zk . Nếu zk ∈ zk = (z/zk )zk . T−ơng tự, nếu wk ∈ B̄IRm thì ta đặt wk = wk . Nếu.

(169) 5.3. Tính ổn định. 163. wk ∈ / B̄IRm thì ta đặt wk = (w/wk )wk . Rõ ràng rằng zk ∈ TC (xk ) ∩ B̄IRn vµ wk ∈ cone(f (xk , pk ) + K) ∩ B̄IRm víi mçi k. §Ó ý r»ng zk → z vµ wk → w khi k → ∞. Do (3.10), ta cã ξk , uk ξk , k0 (A0 zk + wk ) víi mäi k. Cho k → ∞ ta thu ®−îc (3.11). V× u0 ∈ B(v0 , ε/2), kÕt hîp (3.11) víi (3.7) ta đi đến ξ0 , v0 +. ε 2. ξ0 , u0 sup {ξ0 , k0 (A0 z + w) : z ∈ TC (x0 ) ∩ B̄IRn , w ∈ cone(f (x0 , p0 ) + K) ∩ B̄IRm } sup{ξ0 , v : v ∈ B(v0 , ε)} = ξ0 , v0 + ε;. đó là điều mâu thuẫn. Ta đã chứng tỏ rằng tồn tại k2 k1 sao cho (3.9) đúng víi mäi k k2 . Sö dông (3.8) vµ (3.9) ta cã . . m B(v0 , 2ε ) ⊂ k0 A0- TC (xk ) ∩ B̄IRn. + cone(f (xk-, pk ) + K) ∩ B̄IR . ⊂ k0 (Ak -TC (xk ) ∩ B̄IRn + (A0 − Ak ). TC (xk ) ∩ B̄IRm +- cone(f (xk , pk ).+ K) ∩ B̄IRm ) ⊂ k0 (Ak -TC (xk ) ∩ B̄IRn + B(0, 4ε ) . + cone(f (xk , pk ) + K) ∩ B̄IRm ). Điều đó kéo theo (3.12) . . ε B̄(v0 , ) ⊂ k0 Ak TC (xk ) ∩ B̄IRn + cone(f (xk , pk ) + K) ∩ B̄IRm . 4 Chọn k k2 đủ lớn, ta có vk ∈ B̄(v0 , ε/4). Khi đó (3.12) kéo theo (3.13). . . vk ∈ k Ak TC (xk ) ∩ B̄IRn + cone(f (xk , pk ) + K) ∩ B̄IRm ,. m©u thuÉn víi (3.3). Bây giờ ta giả sử rằng (3.5) nghiệm đúng. Do điều kiện chính quy, ta có (3.6) ở đó A0 đ−ợc thay bởi A∗ . Vì vậy tồn tại ε > 0 và k0 > 1 sao cho (3.7), ở đó A0 đ−ợc thay bởi A∗ , nghiệm đúng. Các tính chất (3.8)–(3.10) vẫn đúng nếu nh− A0 đ−ợc thay bởi A∗ , và Ak đ−ợc thay bởi tk Ak . Khi đó tính chất (3.12) cã d¹ng . . ε B̄(v0 , ) ⊂ k0 tk Ak TC (xk ) ∩ B̄IRn + cone(f (xk , pk ) + K) ∩ B̄IRm 2 với mọi k k2 . Bằng cách chọn k k2 đủ lớn sao cho vk ∈ B̄(v0 , ε/4) và 0 < tk 1 ta nhËn ®−îc (3.13), ®iÒu m©u thuÉn víi (3.3)..

(170) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 164. Chứng minh của bổ đề sẽ kết thúc nếu ta có thể chỉ ra rằng hoặc (3.4) hoặc là (3.5) nghiệm đúng11 . V× J1 f (·) lµ nöa liªn tôc trªn t¹i (x0 , p0 ), tån t¹i k0 1 sao cho (J1 f (xk , pk ))∞ ⊂ (J1 f (x0 , p0 ))∞. ∀k k0 .. Ta có thể giả sử rằng kết luận đó là đúng với mọi k 1. Vì vậy, với mỗi k 1, tån t¹i Mkj ∈ J1 f (xk , pk ), Nkj ∈ (J1 f (x0 , p0 ))∞ , Pkj vµ Pk víi Pk 1, Pkj 1, sao cho nm+1 j=1 λkj = 1 vµ nm+1. Ak = j=1. λkj ∈ [0, 1],. j = 1, . . . , nm + 1. 1 1 λkj (Mkj + Nkj + Nkj Pkj ) + Pk . k k. Nếu các dãy {λkj Mkj }k 1 , {λkj Nkj }k 1 , j = 1, . . . , nm + 1, đều giới nội, th× d·y {Ak } còng giíi néi. B»ng c¸ch chuyÓn sang xÐt c¸c d·y con, ta cã thÓ gi¶ sö r»ng lim Ak = A0 ,. k→∞. lim λkj = λ0j ,. k→∞. lim λkj Nkj = N0j ,. lim λkj Mkj = M0j. k→∞. k→∞. với mỗi j = 1, . . . , nm + 1. Vì (J1 f (x0 , p0 ))∞ là hình nón đóng, ta có nm+1. N0j ∈ (J1 f (x0 , p0 ))∞ ,. j=1. N0j ∈ co(J1 f (x0 , p0 ))∞ .. Ngoµi ra, ta còng cã j=1 λ0j = 1. Chóng ta ph©n chia tæng nm+1 j=1 λkj Mkj thµnh hai tæng: Tæng thø nhÊt 1 bao gåm nh÷ng sè h¹ng víi d·y {Mkj }k 1 giíi néi, vµ tæng 2 bao gåm nh÷ng sè h¹ng víi d·y {Mkj }k 1 kh«ng giíi nội. Khi đó, các giới hạn λ0j với j lấy trong tập chỉ số của tổng thứ hai đều b»ng 0 vµ c¸c giíi h¹n M0j t−¬ng øng lµ c¸c h−íng lïi xa cña tËp J1 f (x0 , p0 ). V× vËy, 1 λ0j = 1 vµ, do tÝnh nöa liªn tôc trªn cña J1 f t¹i (x0 , p0 ), nm+1. 1. 1. M0j ∈ co (J1 f (x0 , p0 ))∞ .. λkj Mkj =. lim. k→∞. M0j ∈ co J1 f (x0 , p0 ),. λkj Mkj =. lim. k→∞. 2. 2. 11 Phần chứng minh này lặp lại hoàn toàn phần hai của chứng minh Bổ đề 3.1 trong Jeyakumar và Luc (2002b) ở đó Mk đ−ợc thay bởi Ak , yk bởi (xk , pk ), F (yk ) bởi J1 f (xk , pk ), và F (0) bëi J1 f (x0 , p0 ). TÝnh nöa liªn tôc trªn cña F (·) t¹i 0 giê ®©y ®−îc thay bëi tÝnh nöa liªn tôc trên của J1 f tại (x0 , p0 ). Để tiện cho sự tra cứu của bạn đọc, khác với cách trình bày rút gọn trong Jeyakumar vµ Yen (2004), ë ®©y chóng t«i tr×nh bµy toµn bé c¸c lËp luËn chi tiÕt..

(171) 5.3. Tính ổn định. 165. Do đó A0 ∈ co J1 f (x0 , p0 ) + co (J1 f (x0 , p0 ))∞ ⊂ co (J1 f (x0 , p0 )), tức là (3.4) nghiệm đúng. NÕu trong sè c¸c d·y {λkj Mkj }k 1 , {λkj Nkj }k 1 , j = 1, . . . , nm + 1, cã nh÷ng d·y kh«ng giíi néi th×, l¹i b»ng c¸ch lÊy c¸c d·y con, ta cã thÓ gi¶ sö r»ng một trong các dãy đó, chẳng hạn nh− {λkj0 Mkj0 }k 1 với j0 ∈ {1, . . . , nm + 1}, có phần tử λkj0 Mkj0 (k 1) là véctơ đạt chuẩn lớn nhất trong số các véctơ λk1 Mk1 , . . . , λk,nm+1 Mk,nm+1 , λk1 Nk1 , . . . , λk,nm+1 Nk,nm+1 . (NÕu d·y ®−îc chän lµ {λkj0 Nkj0 }k 1 , th× ta còng lËp luËn t−¬ng tù.) XÐt d·y {Ak /λkj0 Mkj0 }k 1 . Hiển nhiên dãy này là giới nội, và do đó ta có thể giả sử nó hội tụ đến đến một ma trận A∗ nào đó. Khi đó ta có A∗ ∈ co (J1 f (x0 , p0 ))∞ . NhËn xÐt r»ng co (J1 f (x0 , p0 ))∞ lµ nãn nhän, v× nÕu kh«ng ph¶i nh− vËy th× co [(J1 f (x0 , p0 ))∞ \ {0}] chøa ma trËn 0 - hiÓn nhiªn kh«ng t−¬ng øng víi to¸n tö trµn, tr¸i víi gi¶ thiÕt. V× Ak = λkj0 Mkj0 . nm+1 /. λkj (Mkj + Nkj j=1. 0 1 1 N P + kj Pkj ) + k /λkj0 Mkj0 k k. vµ v× ta cã thÓ gi¶ sö r»ng mçi sè h¹ng ë tæng bªn ph¶i lµ mét d·y giíi néi, A∗ lµ tæng h÷u h¹n cña c¸c phÇn tö thuéc co (J1 f (x0 , p0 ))∞ . V× cã Ýt nhÊt mét trong các số hạng của tổng đó là khác 0 (có một số hạng t−ơng ứng với chỉ số j0 cã chuÈn b»ng 1), vµ co (J1 f (x0 , p0 ))∞ lµ nãn nhän, ta suy ra A∗ lµ ma trËn khác 0; vậy (3.5) nghiệm đúng. Bổ đề đã đ−ợc chứng minh. 2 Định lý sau sẽ đ−ợc chứng minh bằng l−ợc đồ chứng minh Định lý 3.1 trong Yen (1997). Kh«ng gièng nh− Jacobian suy réng Clarke, Jacobian xÊp xØ cã thÓ lµ nh÷ng tËp kh«ng låi, kh«ng comp¾c cña c¸c ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. V× thÕ chóng ta ph¶i ®−a vµo mét sè c¶i tiÕn trong kü thuËt chøng minh. §Þnh lý minimax ‘lÖch c¹nh’ (the lopsided minimax theorem) sÏ lµ mét trong nh÷ng c«ng cô chÝnh cña chóng ta. Định lý 5.3.1 (Tính ổn định nghiệm). Nếu (1.1) là chính quy tại x0 và {f (x, p), P, p0 } lµ mét nhiÔu chÊp nhËn ®−îc cña hÖ t¹i x0 , th× tån t¹i c¸c l©n cËn U cña p0 vµ V cña x0 sao cho G(p) ∩ V kh¸c rçng víi mäi p ∈ U , vµ " := G(·) ∩ V lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong U . ¸nh x¹ ®a trÞ G(·) Chøng minh. V× (1.1) lµ chÝnh quy t¹i x0 vµ {f (x, p), P, p0 } lµ mét nhiÔu chÊp nhận đ−ợc của (1.1) tại x0 , theo Bổ đề 5.3.1, tồn tại γ > 0 và δ ∈ (0, δ∗ ) sao cho (3.1) đúng với mọi x ∈ B̄(x0 , δ) ∩ C, p ∈ B(p0 , δ) ∩ P , và A thỏa (3.2). ở đây vµ c¶ vÒ sau n÷a, δ∗ > 0 vµ U∗ lµ sè thùc vµ l©n cËn ®−îc m« t¶ trong yªu cÇu.

(172) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 166. (iv) của Định nghĩa 5.2.3.Cố định một số λ ∈ (0, γ−1 ). Vì 0 ∈ f (x0 , p0 )+ K và v× ¸nh x¹ ®a trÞ p → f (x0 , p) + K lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i p0 , tån t¹i δ1 ∈ (0, δ) sao cho ∀p ∈ B(p0 , δ1 ) ∩ P ∃yp ∈ f (x0 , p) + K tháa m·n yp < λδ. §Æt U = B(p0 , δ1 ) ∩ U∗ . Víi mçi p ∈ U ta xÐt phÇn h¹n chÕ cña hµm sè νp (x) := d(0, f (x, p) + K) = inf{f (x, p) + v : v ∈ K} trªn tËp comp¾c B̄(x0 , δ) ∩ C. DÔ thÊy r»ng vp (·) lµ hµm sè liªn tôc. Ta cã νp (x0 ) = d(0, f (x0 , p)) yp λδ với một số δ ∈ (0, δ) nào đó. Theo nguyên lý biến phân Ekeland (xem Ekeland (1974), hoÆc §Þnh lý 2.1.1 trong Ch−¬ng 2), tån t¹i x̄ ∈ B̄(x0 , δ) ∩ C sao cho (3.14) (3.15). νp (x̄) νp (x0 ),. x̄ − x0 δ ,. νp (x̄) νp (x) + λx − x̄. ∀x ∈ B̄(x0 , δ) ∩ C.. Tõ (3.14) suy ra r»ng x̄ ∈ B̄(x0 , δ). Ta cã 0 ∈ f (x̄, p) + K, nghÜa lµ νp (x̄) = 0. Thật vậy, giả sử phản chứng rằng νp (x̄) = 0. Vì f (x̄, p) + K là tập lồi đóng kh¸c rçng, tån t¹i duy nhÊt mét phÇn tö y ∈ f (x̄, p) + K sao cho y = d(0, f (x̄, p) + K) = inf{f (x, p) + v : v ∈ K},. y = 0.. Sö dông ®iÒu kiÖn tèi −u trong quy ho¹ch låi (xem VÝ dô 1.1.6 trong Ch−¬ng 1) ta cã y−1 y ∈ −(f (x̄, p) + K)∗ . §Æt η = y−1 y vµ w = y − f (x̄, p). V× w ∈ K, nªn νp (x) f (x, p) + w víi mäi x ∈ IRn . §Æt ψ(x) = f (x, p) + w vµ. ϕ(x) = ψ(x) + λx − x̄. víi mäi x ∈ IRn . Tõ (3.15) suy ra r»ng ϕ(x̄) ϕ(x). ∀x ∈ B̄(x0 , δ) ∩ C.. Do x̄ ∈ B(x0 , δ), tính chất cuối chứng tỏ rằng x̄ là nghiệm địa ph−ơng của ϕ ở trên C. Theo Mệnh đề 5.2.2, (3.16). sup. η, u 0 ∀u ∈ TC (x̄),. η∈∂ JL f (x̄).

(173) 5.3. Tính ổn định. 167. ở đó ∂ JL ϕ(x̄) là d−ới vi phân J-L của ϕ tại x̄. Theo quy tắc hàm hợp phát biểu trong Mệnh đề 5.2.1, với mọi ε ∈ (0, δ), bao đóng của tập hợp η ◦ [J1 f (x̄, p) + (J1 f (x̄, p))ε∞ ] lµ d−íi vi ph©n J-L cña ψ t¹i x̄. Sö dông c«ng thøc tÝnh d−íi vi ph©n J-L cña tổng hai hàm số (xem Jeyakumar và Wang (1999), Mệnh đề 2.2) ta suy ra rằng bao đóng của tập hợp η ◦ A + λξ : A ∈ J1 f (x̄, p) + (J1 f (x̄, p))ε∞ , ξ ∈ B̄IRn là d−ới vi phân J-L của ϕ tại x̄. Khi đó tập hợp lớn hơn (3.17) ∂ JL ϕ(x̄) := η ◦ A + λξ : A ∈ co (J1 f (x̄, p) + (J1 f (x̄, p))ε∞ ) , ξ ∈ B̄IRn , một tập lồi đóng, cũng là d−ới vi phân J-L của ϕ tại x̄. Đặt Q = co (J1 f (x̄, p) + (J1 f (x̄, p))ε∞ ) ,. D = TC (x̄) ∩ B̄IRn .. Ta cã (3.18). −γ −1 sup inf η, Av. A∈Q v∈D. Thật vậy, với mỗi A ∈ Q ta để ý rằng A thỏa (3.2) bởi vì (J1 f (x̄, p))ε∞ ⊂ (J1 f (x̄, p))δ∞ , x̄ ∈ B(x0 , δ) vµ p ∈ B(p0 , δ) ∩ P . Do (3.1), tån t¹i v ∈ TC (x̄) ∩ B̄IRn vµ w ∈ cone(f (x̄, p) + K) ∩ B̄IRm sao cho −η = γ(Av + w). Khi đó −1 = −η, η = γη, Av + w. Vì η, w 0, ta suy ra rằng −γ−1 η, Av. Vậy ta đã chứng tỏ rằng −γ −1 inf v∈D η, Av. Vì bất đẳng thức cuối nghiệm đúng với mỗi A ∈ Q, ta kết luận rằng (3.18) nghiệm đúng. Tiếp theo, ta có (3.19). inf sup η, Av −λ.. v∈D A∈Q. ThËt vËy, gi¶ sö v ∈ D ®−îc cho tïy ý. Víi mäi ε1 > 0, do (3.16) vµ (3.17) tån t¹i A ∈ Q vµ ξ ∈ B̄IRn sao cho (η ◦ A)(v) + λξ, v −ε1 . V× thÕ η, Av −λξ, v − ε1 −λ − ε1 ..

(174) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 168. Do đó supA∈Q η, Av ≥ −λ − ε1 . Vì ε1 > 0 có thể lấy bé tùy ý, ta kết luận rằng supA∈Q η, Av ≥ −λ; vậy (3.19) nghiệm đúng. Theo định lý minimax ‘lÖch c¹nh’ (the lopsided minimax theorem; xem Aubin vµ Ekeland (1984), tr. 319), ta cã sup inf η, −Av = inf sup η, −Av. v∈D A∈Q. A∈Q v∈D. V× vËy inf sup η, Av = sup inf η, Av.. v∈D A∈Q. A∈Q v∈D. Kết hợp điều đó với (3.18) và (3.19) ta thu đ−ợc bất đẳng thức −γ−1 −λ, mâu thuẫn với bao hàm thức λ ∈ (0, γ−1 ). Nh− vậy ta đã chứng minh rằng 0 ∈ f (x̄, p) + K. Do đó x̄ ∈ G(p). " = G(p) ∩ V . Từ những điều đã đ−ợc chứng Ta đặt V = B(x0 , δ) và G(p) minh ta cã thÓ kÕt luËn r»ng " G(p) = ∅ ∀p ∈ U. " lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong U . B©y giê ta ®i chøng minh r»ng ¸nh x¹ ®a trÞ G(·) " Gi¶ sö p ∈ U vµ x ∈ G(p) ®−îc cho tïy ý. Víi mçi ε > 0 ta chän τ ∈ (0, ε) sao cho B̄(x, τ ) ⊂ V . LÆp l¹i phÇn chøng minh trªn víi (x, p) thay chç cho (x0 , p0 ), ta t×m ®−îc l©n cËn U cña p trong P sao cho ∀p ∈ U ∃x ∈ B̄(x, τ ). tháa 0 ∈ f (x , p ) + K.. Bao hµm thøc sau cïng chøng tá r»ng x ∈ G(p ). V× B̄(x, τ ) ⊂ V ∩ B̄(x, ε), " ) ∩ B̄(x, ε). Từ đó suy ra rằng G(ã) " lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i p. ta cã x ∈ G(p 2 Nhận xét rằng Định lý 5.3.1 chứng tỏ rằng nếu hệ bất đẳng thức là chính quy tại một nghiệm nào đó thì nghiệm đó ổn định d−ới tác động của nhiễu chấp nhận đ−ợc. Kết luận kiểu đó là quen thuộc trong hầu hết các nghiên cứu về tính ổn định và độ nhậy nghiệm của các bài toán tối −u và các bất đẳng thức biến ph©n. Tõ c¸c kÕt luËn cña §Þnh lý 5.3.2 vµ §Þnh lý 5.3.3 d−íi ®©y còng suy ra rằng nghiệm x0 là ổn định d−ới tác động của nhiễu chấp nhận đ−ợc. Bổ đề 5.3.1 và thủ tục chứng minh rằng điểm x̄ tìm đ−ợc bằng nguyên lý biÕn ph©n Ekeland tháa m·n bao hµm thøc 0 ∈ f (x̄, p) + K trong chøng minh trªn cßn cho phÐp chóng ta thu ®−îc tÝnh chÝnh quy mªtric vµ tÝnh gi¶-Lipschitz cña G(·). C¸c ph−¬ng ph¸p chøng minh ë ®©y còng gièng nh− c¸c ph−¬ng ph¸p chøng minh §Þnh lý 3.2 vµ §Þnh lý 3.3 trong Yen (1997). Kü thuËt lÊy giíi h¹n trong biểu thức thu đ−ợc bởi khẳng định thứ nhất trong nguyên lý biến phân Ekeland b¾t nguån tõ c«ng tr×nh cña Aubin vµ Frankowska (1987). Dien vµ Yen (1991), Yen (1987, 1997) đã chứng tỏ rằng kỹ thuật đó chẳng những có thể giúp.

(175) 5.3. Tính ổn định. 169. thiÕt lËp tÝnh gi¶-Lipschitz, mµ cßn h÷u Ých cho viÖc chøng minh tÝnh chÝnh quy mªtric cña hµm Èn ®a trÞ. Định nghĩa 5.3.2 (xem Borwein (1986)). Hàm ẩn đa trị G(ã) xác định bởi hệ bất đẳng thức suy rộng có tham số (1.2) đ−ợc gọi là chính quy mêtric tại (p0 , x0 ) nÕu tån t¹i h»ng sè µ > 0 vµ c¸c l©n cËn U1 cña p0 vµ V1 cña x0 sao cho (3.20). d(x, G(p)) µd(0, f (x, p) + K) ∀p ∈ U1 , ∀x ∈ V1 ∩ C.. TÝnh chÝnh quy mªtric cña hµm ng−îc ®a trÞ (xem Môc 5.4 d−íi ®©y) lµ mét tr−êng hîp riªng cña kh¸i niÖm võa nªu trong §Þnh nghÜa 5.3.2. §Þnh lý 5.3.2 (TÝnh chÝnh quy mªtric). NÕu (1.1) lµ chÝnh quy t¹i x0 vµ {f (x, p), P, p0 } lµ mét nhiÔu chÊp nhËn ®−îc cña hÖ t¹i x0 , th× G(·) lµ chÝnh quy mªtric t¹i (p0 , x0 ). Chứng minh. Xác định các hằng số γ, δ và các lân cận U của p0 , V của x0 nh− trong chøng minh cña §Þnh lý 5.3.1. V× ¸nh x¹ ®a trÞ (x, p) → f (x, p) + K lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i (x0 , p0 ) vµ v× 0 ∈ f (x0 , p0 ) + K, tån t¹i c¸c l©n cËn U1 cña p0 vµ V1 cña x0 sao cho U1 ⊂ U,. δ V1 ⊂ B̄(x0 , ) 2. vµ (3.21). d(0, f (x, p) + K) <. δ 2γ. ∀p ∈ U1 , ∀x ∈ V1 .. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức trong (3.20) cho à := γ. Lấy tùy ý x ∈ V1 ∩ C và p ∈ U1 . Ta đặt α = d(0, f (x, p) + K). Do (3.21), α < 2−1 γ −1 δ. V× vËy kho¶ng sè (2δ−1 α, γ −1 ) lµ kh¸c rçng. LÊy τ ∈ (2δ−1 α, γ −1 ). XÐt hµm sè νp (z) = d(0, f (z, p) + K) (z ∈ IRn ). Lấy cố định một giá trị τ ∈ (τ, γ −1 ). Ta có νp (x) = α < τ −1 ατ . Theo nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland, tån t¹i x̄ ∈ B̄(x0 , δ) ∩ C sao cho x̄ − x τ −1 α, νp (x̄) νp (z) + τ z − x̄ ∀z ∈ B̄(x0 , δ) ∩ C..

(176) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 170 Khi đó,. x̄ − x0 x̄ − x + x − x0 < τ −1 α + 2−1 δ < δ. V× 0 < τ < γ −1 , c¸c lËp luËn trong phÇn thø nhÊt cña chøng minh §Þnh lý 5.3.1 chøng tá r»ng 0 ∈ f (x̄, p) + K. Do vËy, x̄ ∈ G(p). Ta cã d(x, G(p)) x − x̄ τ −1 α. Cho τ → γ −1 ta thu đ−ợc đánh giá d(x, G(p) γα, tức là d(x, G(p)) γd(0, f (x, p) + K). Chøng minh kÕt thóc.. 2. §Þnh lý 5.3.3 (TÝnh gi¶-Lipschitz). Thªm vµo c¸c gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 5.3.1, gi¶ sö r»ng tån t¹i k > 0 vµ c¸c l©n cËn U0 cña p0 trong P vµ V0 cña x0 sao cho (3.22). f (x, p ) − f (x, p) kp − p ∀p, p ∈ U0 , ∀x ∈ V0 .. Khi đó ánh xạ đa trị G(ã) là giả-Lipschitz tại (p0 , x0 ). Chứng minh. Xác định γ, δ, U và V nh− trong chứng minh Định lý 5.5.1. Ta chọn θ > 0 đủ nhỏ sao cho B̄(x0 , θk) ⊂ V ∩ V0 , §Æt = 2γk,. B(p0 , γ −1 θ) ∩ P ⊂ U ∩ U0 .. " = B(p0 , 8−1 γ −1 θ) ∩ P, U. V" = B(x0 , 2−1 θk).. Ta khẳng định rằng G(p) ∩ V" ⊂ G(p ) + p − p B̄IRn. " ∀p, p ∈ U.. " vµ x ∈ G(p)∩ V" Để chứng minh điều đó, chỉ cần chứng tỏ rằng với mọi p, p ∈ U ta cã (3.23). d(x, G(p )) p − p .. V× p − p < 4−1 γ −1 θ, tån t¹i ε tháa ®iÒu kiÖn (3.24) §Æt. 2θ −1 p − p < ε < 2−1 γ −1 . ϕ(z) = νp (z) + εz − x ∀z ∈ IRn ,.

(177) 5.3. Tính ổn định. 171. ở đó νp (z) = d(0, f (z, p ) + K). Do (3.22), f (x, p ) − f (x, p) kp − p. V× vËy, nÕu w ∈ K tháa ®iÒu kiÖn νp (x) = f (x, p) + w = 0 th× ϕ(x) = νp (x) = νp (x) − νp (x) f (x, p ) + w − f (x, p) + w kp − p . Kết hợp điều đó với (3.24) ta có ϕ(x) 2−1 kεθ.. ¸p dông nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland ta t×m ®−îc x̄ ∈ B̄(x0 , θk) ∩ C sao cho ϕ(x̄) ϕ(x),. x̄ − x 2−1 θk. vµ ϕ(x̄) ϕ(z) + εz − x̄. ∀z ∈ B̄(x0 , θk) ∩ C.. V× thÕ, (3.25). νp (x̄) + εx̄ − x νp (x),. (3.26). x̄ − x 2−1 θk,. (3.27). νp (x̄) νp (z) + 2εz − x̄. ∀z ∈ B̄(x0 , θk) ∩ C.. Do x ∈ B(x0 , 2−1 θk), (3.26) kÐo theo x̄ ∈ B(x0 , θk). V× 0 < ε < 2−1 γ −1 , ta cã 2ε ∈ (0, γ −1 ). B»ng mét thñ tôc t−¬ng tù nh− trong chøng minh §Þnh lý 5.3.1, từ (3.27) ta nhận đ−ợc 0 ∈ f (x̄, p ) + K; vì vậy x̄ ∈ G(p ). Bất đẳng thức (3.25) chøng tá r»ng x̄ − x ε−1 νp (x) ε−1 kp − p . V× thÕ,. d(x, G(p )) ε−1 kp − p .. Do (3.24), cho ε → 2−1 γ −1 , từ bất đẳng thức cuối ta thu đ−ợc (3.23). Chứng minh kÕt thóc. 2 Nếu f và f (ã, p) (p ∈ P ) là hàm Lipschitz địa ph−ơng, thì ta chọn Jacobian theo nghÜa Clarke J Cl f (x) vµ J1Cl f (x, p), t−¬ng øng, lµm Jacobian xÊp xØ cña f (ã)và f (ã, p) tại x. Vì vậy, các định lý 3.1–3.3 trong Yen (1997) suy ra từ các định lý hàm ẩn nói trên, nếu nh− chúng ta giả thiết rằng C là tập lồi đóng12 . Trong Yen (1997) chỉ giả sử rằng C là tập con đóng của IRn . Trong tr−ờng hợp đó, TC (x) ký hiÖu nãn tiÕp tuyÕn Clarke. 12.

(178) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 172. Ví dụ đơn giản sau đây chứng tỏ rằng, nói chung, từ tính chính quy mêtric cña hµm Èn ®a trÞ kh«ng suy ra tÝnh gi¶-Lipschitz. VÝ dô 5.3.1. LÊy n = m = r = 1, C = IR, K = {0}, f (x, p) = x(p + 1) − p1/3 với mọi x, p ∈ IR, p0 = 0, x0 = 0. Khi đó ánh xạ p → G(p), ở đó G(p) = {x ∈ C : 0 ∈ f (x, p) + K}, lµ chÝnh quy mªtric t¹i (p0 , x0 ), nh−ng nã kh«ng lµ gi¶-Lipschitz t¹i (p0 , x0 ). DÔ thÊy r»ng c¸c gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 5.3.2 tháa m·n trong khi c¸c gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 5.3.3 kh«ng ®−îc tháa m·n. D−ới đây là một ví dụ đơn giản nữa. Nó chứng tỏ rằng, đối với hàm ẩn ®a trÞ, tÝnh gi¶-Lipschitz (tÝnh liªn tôc Aubin) kh«ng kÐo theo tÝnh chÝnh quy mªtric. VÝ dô 5.3.2. LÊy n = m = r = 1, C = R, K = {0}, f (x, p) = x3 − p3 , p0 = 0, x0 = 0. V× G(p) = {x ∈ C : 0 ∈ f (x, p) + K} = {p} víi mäi p, G(·) là giả-Lipschitz tại (p0 , x0 ). Mặc dù thế, không tồn tại à > 0 nào để d(x, G(p)) µd(0, f (x, p) + K) víi mäi (x, p) thuéc mét l©n cËn cña (x0 , p0 ). ThËt vËy, v× d(x, G(p)) = |x − p| vµ d(0, f (x, p) + K) = |x3 − p3 |, nªn h»ng sè µ nh− vËy kh«ng thÓ tån t¹i. Nh− vậy, đối với hàm ẩn đa trị, cả hai khẳng định “tính chính quy mêtric kéo theo tÝnh gi¶-Lipschitz” vµ “tÝnh gi¶-Lipschitz kÐo theo tÝnh chÝnh quy mªtric” nói chung đều không đúng. Mặc dù thế, đối với hàm ng−ợc đa trị, đã từ lâu ng−êi ta biÕt r»ng tÝnh Lipschitz chÝnh quy t−¬ng ®−¬ng víi tÝnh gi¶-Lipschitz (xem Borwein vµ Zhuang (1988), Mordukhovich (1993), Penot (1989)). Những điều kiện đủ cho tính giả-Lipschitz của hàm ẩn đa trị trong ngôn ngữ đối đạo hàm đã đ−ợc đ−a ra trong Mordukhovich (1994a, Định lý 4.1 và Định lý 5.1) và Mordukhovich (1994c; các định lý 5.1, 5.8 và 6.1). Nhận xét nêu trên chứng tỏ rằng các điều kiện đó có thể không đảm bảo tính chính quy mªtric cña hµm Èn ®a trÞ. D−íi nh÷ng ®iÒu kiÖn kh¸ ngÆt (xem Mordukhovich (1994a, §Þnh lý 4.9)), tÝnh chÝnh quy mªtric cña hµm Èn ®a trÞ t−¬ng ®−¬ng víi tÝnh gi¶-Lipschitz. Quan hệ giữa các khái niệm Jacobian xấp xỉ và đối đạo hàm đã đ−ợc khảo sát trong Nam vµ Yen (2007); xem c¸c môc 5.7 vµ 5.8 trong ch−¬ng nµy. Nãi riªng ra, cã thÓ chøng minh r»ng nÕu f : IRn → IRm lµ hµm vÐct¬ liªn tôc vµ Jf (x̄) lµ một đại diện (representative) của ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (x̄)(ã) : IRn ⇒ IRm , nghĩa là Jf (x̄) là một tập đóng khác rỗng của L(IRn , IRm ) và sup. x∗ ∈D ∗ f (x̄)(y ∗ ). x∗ , u =. sup A∗ y ∗ , u. A∈Jf (x̄). ∀u ∈ IRn , ∀y ∗ ∈ IRm ,.

(179) 5.3. Tính ổn định. 173. thì f là Lipschitz địa ph−ơng tại x̄ và Jf (x̄) là Jacobian xấp xỉ của f tại x̄. Ví dụ 3.5 trong Nam và Yen (2007) chứng tỏ rằng, đối với các hàm số thực liên tôc, d−íi vi ph©n Mordukhovich, ngay c¶ khi nã kh¸c rçng, cã thÓ kh«ng ph¶i lµ Jacobian xÊp xØ. Ng−îc l¹i, tån t¹i nhiÒu vÝ dô chøng tá r»ng tån t¹i c¸c d−íi vi ph©n J-L kh«ng tÇm th−êng, nh−ng d−íi vi ph©n Mordukhovich lµ tËp rçng. Vì thế, ta có thể kết luận rằng, đối với các hàm véctơ liên tục, đối đạo hàm và Jacobian xÊp xØ lµ nh÷ng kh¸i niÖm kh«ng so s¸nh ®−îc. Sau đây là một ví dụ đơn giản ở đó, theo hiểu biết của chúng tôi, các định lý võa ®−îc nh¾c tíi cña Mordukhovich (1994a,c) kh«ng ¸p dông ®−îc, trong khi các định lý 5.3.1–5.3.3 lại áp dụng đ−ợc. VÝ dô 5.3.3. LÊy f (x) = x1/3 víi mäi x ∈ IR vµ f (x, p) = (p + 1)x1/3 − p víi mäi (x, p) ∈ IR × IR. Gi¶ sö P = IR, C = IR, K = {0}, p0 = 0, vµ x0 = 0. Víi mçi p ∈ (−1, 1), tËp nghiÖm G(p) cña (1.2) ®−îc cho bëi c«ng thøc G(p) = {p3 /(p + 1)3 }. Râ rµng r»ng [α, +∞) nÕu x = 0 J1 f (x, p) = nÕu x = 0, { 13 (p + 1)x̄−2/3 } ở đó α > 0 đ−ợc chọn tùy ý, là Jacobian xấp xỉ của f (ã, p). Ta có {f (x, p), P, p0 } lµ mét nhiÔu chÊp nhËn ®−îc cña hÖ (1.1) t¹i x0 theo §Þnh nghÜa 5.2.4. NhËn xÐt r»ng (1.1) lµ chÝnh quy t¹i x0 theo §Þnh nghÜa 5.2.3. V× c¸c gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 5.3.1 ®−îc tháa m·n, tån t¹i c¸c l©n cËn U cña p0 vµ V cña p0 sao " := G(·) ∩ V lµ cho G(p) ∩ V kh¸c rçng víi mäi p ∈ U , vµ ¸nh x¹ ®a trÞ G(·) nöa liªn tôc d−íi ë trong U . Theo §Þnh lý 5.3.2, G(·) lµ chÝnh quy mªtric t¹i (p0 , x0 ), nghÜa lµ tån t¹i h»ng sè µ > 0 vµ c¸c l©n cËn U1 cña p0 vµ V1 cña x0 sao cho (3.20) tháa m·n. V× (3.22) ®−îc tháa m·n víi k = 2, U0 = IR, vµ V0 = (−1, 1), Định lý 5.3.3 khẳng định rằng ánh xạ đa trị G(ã) là giả-Lipschitz t¹i (p0 , x0 ). Bài tập 5.3.1. Kiểm tra chi tiết tính đúng đắn của những kết luận đã nêu trong c¸c vÝ dô 5.3.1-5.3.3. Bài tập 5.3.2. Xét hệ bất đẳng thức suy rộng x21 + x22 2,. x2 = x31 ,. x = (x1 , x2 ) ∈ IR2. và hệ bất đẳng thức suy rộng phụ thuộc tham số x21 + px22 2p2 ,. x2 = px31 ,. x = (x1 , x2 ) ∈ IR2 ,. ở đó p ∈ IR là tham số. Ký hiệu tập nghiệm của hệ bất đẳng thức thứ hai bởi G(p). Cho p0 = 1. Hãy chứng tỏ rằng hệ bất đẳng thứ hai là nhiÔu chÊp nhËn ®−îc cña hÖ thø nhÊt t¹i nghiÖm x 0 := (1, 1). Kh¶o s¸t tÝnh chÝnh quy mªtric vµ tÝnh gi¶-Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ G(·) t¹i (p0 , x0 ). (Gîi ý: §Æt f (x) = (x21 +px22 −2, x2 −x31 ), K = (−IR+ )×{0}, f (x, p) = (x21 + px22 − 2p2 , x2 = px31 ), rồi áp dụng các định lý 5.3.2 và 5.3.3.).

(180) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 174. 5.4 Quy t¾c nh©n tö Lagrange Từ các định lý hàm ẩn đã thu đ−ợc trong mục tr−ớc, chúng ta sẽ dẫn ra định lý ánh xạ mở, định lý hàm ng−ợc, quy tắc nhân tử Lagrange cho bài toán quy hoạch toán học ở đó tập ràng buộc là tập nghiệm của một hệ bất đẳng thức suy réng. §Þnh lý 5.4.1 (§Þnh lý ¸nh x¹ më ®a trÞ). Cho C ⊂ IRn vµ K ⊂ IRm lµ nh÷ng tập lồi đóng khác rỗng, f : IRn → IRm là hàm véctơ liên tục. Cho x0 ∈ C. Gi¶ sö r»ng f cã ¸nh x¹ Jacobian xÊp xØ Jf nöa liªn tôc trªn ë trong mét l©n cËn cña x0 , vµ mçi to¸n tö A ∈ coJf (x0 ) ∪ co((Jf (x0 ))∞ \ {0}) lµ trµn trªn C tại x0 đối với f (x0 ) + K. Khi đó (4.1). 0 ∈ int(f (C) + K).. Chøng minh. §Æt P = IR m , p0 = 0, f (x, p) = f (x) − p (x ∈ IRn ). Râ rµng x0 là nghiệm của hệ bất đẳng thức suy rộng (4.2). 0 ∈ f (x) + K,. x ∈ C,. vµ {f (x, p), P, p0 } lµ mét nhiÔu cña (4.2) t¹i x0 . V× Jf (·, p) := Jf (·) lµ ¸nh xạ Jacobian xấp xỉ của f (ã, p) với mỗi p ∈ P , từ giả thiết của định lý suy ra r»ng {f (x, p), P, p0 } lµ nhiÔu chÊp nhËn ®−îc cña (4.2) t¹i x0 vµ (4.2) lµ chÝnh quy t¹i x0 . Râ rµng r»ng, víi mçi x ∈ IRn , f (x, ·) lµ hµm liªn tôc trªn P . H¬n thÕ, f (x, p ) − f (x, p) p − p ∀p, p ∈ P.. ¸p dông §Þnh lý 5.3.1 cho hÖ (4.2) ta t×m ®−îc l©n cËn U cña p0 = 0 vµ l©n. cËn V cña x0 sao cho G(p) := {x ∈ C : p ∈ f (x) + K} ∩ V kh¸c rçng víi mäi p ∈ U . Điều đó kéo theo U ⊂ f (C ∩ V ) + K, vì thế (4.1) nghiệm đúng. 2 §Þnh lý 5.4.2 (§Þnh lý hµm ng−îc ®a trÞ). D−íi c¸c gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 5.4.1, ánh xạ đa trị p → G(p), ở đó G(p) := {x ∈ C : p ∈ f (x)+K}, là giả-Lipschitz t¹i (0, x0 ), vµ tån t¹i µ > 0 cïng víi c¸c l©n cËn U cña 0 ∈ IRm vµ V cña x0 sao cho d(x, G(p)) µd(p, f (x) + K) víi mäi p ∈ U vµ x ∈ V, nghÜa lµ hµm ng−îc ®a trÞ G(·) lµ chÝnh quy mªtric t¹i (0, x0 ). Chøng minh. LÊy P = IR m , p0 , f (x, p) nh− trong chøng minh trªn. ¸p dông §Þnh lý 5.3.2 vµ §Þnh lý 5.3.3 cho hÖ (4.2) víi nhiÔu chÊp nhËn ®−îc {f (x, p), P, p0 } ta nhËn ®−îc c¸c kÕt luËn mong muèn. 2.

(181) 5.4. Quy t¾c nh©n tö Lagrange. 175. Nếu K = {0}, thì Định lý 5.4.1 là trùng với định lý ánh xạ mở trong Jeyakumar và Luc (2002b). ở đây ta phải giả thiết thêm rằng C là đóng. Nhận xÐt r»ng trong ph¸t biÓu cña §Þnh lý 3.3 trong Jeyakumar vµ Luc (2002b) ph¶i gi¶ thiÕt r»ng ¸nh x¹ Jacobian xÊp xØ Jf (·) lµ nöa liªn tôc trªn ë trong mét l©n cận của x0 , vì trong chứng minh của định lý đó có sử dụng quy tắc hàm hợp cho một điểm bất kỳ trong một lân cận của x0 . Jeyakumar và Luc (2002a) đã thu đ−ợc một định lý ánh xạ mở d−ới các giả thiết C = IRn , K = {0}, và mỗi phÇn tö A ∈ coJf (x0 ) ∪ co((Jf (x0 ))∞ \ {0}) lµ mét to¸n tö kh¶ nghÞch. Định lý 5.4.2 mô tả một vài tính chất địa ph−ơng của hàm ng−ợc đa trị của ánh xạ x → f (x) + K đối với tập ràng buộc C. Trong tr−ờng hợp K = {0}, d−íi gi¶ thiÕt nãi r»ng mçi phÇn tö A ∈ coJf (x0 ) ∪ co((Jf (x0 ))∞ \ {0}) lµ trµn trªn C t¹i x0 , hµm ng−îc ®a trÞ lµ chÝnh quy mªtric t¹i (0, x0 ) vµ gi¶-Lipschitz tại (f (x0 ), x0 ). Nh− đã nói ở cuối mục tr−ớc, đối với hàm ng−ợc đa trị, hai tính chất đó là t−ơng đ−ơng. Tính chính quy mêtric của hàm ng−ợc đa trị đã đ−ợc xét bëi Borwein and Zhuang (1988), Ioffe (2000), Journani (2000), Mordukhovich (1993, 1994d), Penot (1989), vµ nhiÒu t¸c gi¶ kh¸c (xem c¸c tµi liÖu ®−îc trÝch dÉn trong Journani (2000) vµ Mordukhovich (1994d)). Sử dụng Định lý 5.3.1 và định lý tách các tập lồi chúng ta dễ dàng thu đ−ợc c¸c ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho bµi to¸n tèi −u (4.3). T×m cùc tiÓu ϕ(x). víi rµng buéc x ∈ C, 0 ∈ f (x) + K,. ở đó ϕ : IRn → IR và f : IRn → IRm là các hàm liên tục, C ⊂ IRn và K ⊂ IRm là các tập lồi đóng khác rỗng. Giả sử rằng ϕ có ánh xạ d−ới vi phân J-L ∂JL ϕ(ã), f cã ¸nh x¹ Jacobian xÊp xØ Jf (·). Trong tr−êng hîp K = IRm , nÕu x0 ∈ C lµ nghiệm địa ph−ơng của (4.3) thì từ Mệnh đề 5.2.2 và định lý tách (xem Rudin (1991), §Þnh lý 3.4) suy ra r»ng 0 ∈ co∂ JL ϕ(x0 ) + NC (x0 ). Bay giê ta xÐt tr−êng hîp K = IRm . Định lý 5.4.3 (Điều kiện Fritz-John suy rộng). Giả sử x0 ∈ C là nghiệm địa ph−¬ng cña (4.3). Gi¶ sö c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ ∂JL ϕ(·) vµ Jf (·) lµ nöa liªn tôc trên ở trong một lân cận của x0 . Khi đó tồn tại véctơ khác không (λ0 , λ) ∈ IR+ × (−(f (x0 ) + K)∗ ), vÐct¬ x∗ ∈ co∂ JL ϕ(x0 ) ∪ co((∂ JL ϕ(x0 ))∞ \ {0}), vµ to¸n tö A ∈ coJf (x0 ) ∪ co((Jf (x0 ))∞ \ {0}) sao cho (4.4). 0 ∈ λ0 x∗ + A∗ (λ) + NC (x0 ).. NÕu K lµ h×nh nãn, th× λ ∈ −K∗ vµ λ, f (x0 ) = 0. Chứng minh. Giả sử x0 ∈ C là một nghiệm địa ph−ơng của (4.3). Đặt f"(x) = (ϕ(x) − ϕ(x0 ), f (x)) víi mäi x ∈ IRn . DÔ thÊy r»ng c«ng thøc.

(182) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 176. J f"(x) = ∂ JL ϕ(x) ì Jf (x) (x ∈ IRn ) xác định một ánh xạ Jacobian xấp xỉ của " ∈ coJ f"(x0 ) ∪ co((J f"(x0 ))∞ \ {0}) sao f". Chúng ta khẳng định rằng tồn tại A cho " , " C (x0 )) + f"(x0 ) + K (4.5) 0∈ / int A(T " := R+ × K. ThËt vËy, ta cã ở đó K " 0 ∈ f"(x0 ) + K,. x0 ∈ C.. Vì x0 là nghiệm địa ph−ơng của (4.3), nên không tồn tại dãy {xk } ⊂ C nào tháa m·n ®iÒu kiÖn " (∀k), 0 ∈ f"(xk ) − qk + K ở đó qk := (−1/k, 0) ∈ IR ì IRm . Từ đó suy ra rằng, với mọi lân cận V của " ∩ V ở đó x0 , ¸nh x¹ ®a trÞ q → G(q) " G(q) = {x ∈ C : 0 ∈ f"(x) − q + K} (∀q = (α, p) ∈ IR × IRm ), không là nửa liên tục d−ới tại q0 := (0, 0). Theo Định lý 5.3.1, hệ bất đẳng thức " 0 ∈ f"(x) + K,. x∈C. kh«ng thÓ chÝnh quy t¹i x0 . V× thÕ ph¶i tån t¹i " ∈ coJ f"(x0 ) ∪ co((J f"(x0 ))∞ \ {0}) A thỏa (4.5). Do định lý tách các tập lồi, từ (4.5) suy ra sự tồn tại véctơ khác kh«ng (λ0 , λ) ∈ IR × IRm tháa (4.6). (λ0 , λ), w 0. " C (x0 )) + f"(x0 ) + K. " ∀w ∈ A(T. " = (x∗ , A), ở đó x∗ ∈ co∂ JL ϕ(x0 ) ∪ co((∂ JL ϕ(x0 ))∞ \ {0}), và A ∈ §Æt A coJf (x0 ) ∪ co((Jf (x0 ))∞ \ {0}). Tõ (4.6) suy ra r»ng λ0 α 0 víi mäi α 0 và λ, w 0 với mọi w ∈ f (x0 )+K. Do đó (λ0 , λ) ∈ IR+ ì(−(f (x0 )+K)∗ ). " (4.6) còng kÐo theo V× 0 ∈ f"(x0 ) + K, " C (x0 )), (λ0 , λ), w 0 ∀w ∈ A(T vậy (4.4) nghiệm đúng. Nếu K là hình nón, thì bao hàm thức λ ∈ −(f (x0 )+K)∗ kéo theo λ ∈ −K ∗ và λ, f (x0 ) = 0. Định lý đã đ−ợc chứng minh. 2 s × {0} NÕu C = IRn vµ K = IR+ m−s , ở đó 0 s m, thì Định lý 5.4.3 m« t¶ quy t¾c nh©n tö trong Jeyakumar vµ Luc (2002b; §Þnh lý 5.1). C¸c quy tắc nhân tử Lagrange khác, có sử dụng khái niệm Jacobian suy rộng, đã đ−ợc thiÕt lËp bëi Luc (2003), Wang vµ Jeyakumar (2000)..

(183) 5.4. Quy t¾c nh©n tö Lagrange. 177. Định lý 5.4.4 (Điều kiện Kuhn-Tucker suy rộng). Giả sử x0 ∈ C là nghiệm địa ph−¬ng cña (4.3). Gi¶ sö r»ng c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ ∂JL ϕ(·) vµ Jf (·) lµ nöa liªn tôc trªn ë trong mét l©n cËn cña x0 . NÕu ®iÒu kiÖn chÝnh quy (2.5) ®−îc tháa m·n, th× tån t¹i λ ∈ −(f (x0 )+K)∗ , x∗ ∈ co∂ JL ϕ(x0 )∪co((∂ JL ϕ(x0 ))∞ \{0}), vµ A ∈ coJf (x0 ) ∪ co((Jf (x0 ))∞ \ {0}) sao cho (4.7). 0 ∈ x∗ + A∗ (λ) + NC (x0 ).. NÕu K lµ h×nh nãn, th× λ ∈ −K∗ vµ λ, f (x0 ) = 0. Chứng minh. Giả sử x0 ∈ C là nghiệm địa ph−ơng của (4.3). Theo Định lý 5.4.3, tån t¹i vÐct¬ kh¸c kh«ng (λ0 , λ) ∈ IR+ × (−(f (x0 ) + K)∗ ), x∗ ∈ co∂ϕ(x0 ) ∪ co((∂ϕ(x0 ))∞ \ {0}), vµ A ∈ coJf (x0 ) ∪ co((Jf (x0 ))∞ \ {0}) sao cho (4.4) nghiệm đúng. Nếu λ0 = 0 thì (4.4) và bao hàm thức λ ∈ −(f (x0 ) + K)∗ kÐo theo λ, Au + v 0 ∀(u, v) ∈ TC (x0 ) × (f (x0 ) + K). Khi đó (2.5) không thể nghiệm đúng, vì rằng λ = 0. Vậy λ0 > 0. Chia cả hai vÕ cña (4.4) cho λ0 vµ thay λ bëi λ−1 0 λ nếu cần thiết, ta đi đến kết luận rằng (4.7) nghiệm đúng với λ ∈ −(f (x0 ) + K)∗ nào đó. 2 Nếu ϕ và f là các hàm Lipschitz địa ph−ơng, thì ta có thể chọn d−ới vi phân suy réng Clarke ∂Cl ϕ(x) cña ϕ t¹i x vµ Jacobian suy réng Clarke JCl f (x) cña f tại x t−ơng ứng làm các tập ∂JL ϕ(x) và Jf (x). Trong tr−ờng hợp đó, quy t¾c nh©n tö Lagrange nãi trªn ®−îc ph¸t biÓu l¹i nh− sau. Hệ quả 5.4.1. Giả sử x0 ∈ C là nghiệm địa ph−ơng của (4.3). Giả sử ϕ và f là các hàm Lipschitz địa ph−ơng. Nếu điều kiện chính quy 0 ∈ int (A[TC (x0 )] + f (x0 ) + K). ∀A ∈ ∂ Cl f (x0 ). ®−îc tháa m·n, th× tån t¹i λ ∈ −(f (x0 ) + K)∗ , x∗ ∈ ∂ Cl ϕ(x) vµ A ∈ ∂ Cl f (x0 ) sao cho (4.7) nghiệm đúng. Nếu K là nón, thì λ ∈ −K∗ và λ, f (x0 ) = 0. Chóng ta l−u ý r»ng ph−¬ng ph¸p chøng minh ®iÒu kiÖn Kuhn-Tucker cho bài toán tối −u trơn có ràng buộc nón nhờ vào định lý về tính ổn định dựa trên khái niệm chính quy của Robinson đã đ−ợc đề xuất bởi Craven (Craven (1978), tr. 60). Bài tập 5.4.1. Hãy xây dựng một vài ví đơn giản minh họa cho các định lý 5.4.1-5.4.4 vµ HÖ qu¶ 5.4.1. (Gîi ý: Cã thÓ xÐt c¸c bµi to¸n tèi −u cã tập ràng buộc là tập nghiệm của hệ đẳng thức/bất đẳng thức ở các mục 4.5 và 4.6; cho x đóng vai trò tham số p và y đóng vai trò biến x.).

(184) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 178. 5.5 TÝnh liªn tôc vµ tÝnh Lipschitz cña hµm gi¸ trÞ tèi −u Từ các Định lý 5.3.1 và 5.3.3 chúng ta có thể dẫn ra các điều kiện đủ cho tính liên tục và tính Lipschitz địa ph−ơng của hàm giá trị tối −u trong bài toán tối −u cã tham sè. Gi¶ sö C, K, P ®−îc cho nh− ë Môc 5.4. Gi¶ sö f : IRn × P → IRm vµ ϕ : IRn × P → IR lµ c¸c hµm liªn tôc. Gi¶ sö r»ng víi mçi p ∈ P , hµm f (·, p) cã ¸nh x¹ Jacobian xÊp xØ J1 f (·, p) nöa liªn tôc trªn ë trong IRn . XÐt bµi to¸n tèi −u phô thuéc tham sè p ∈ P : (5.1). T×m cùc tiÓu ϕ(x, p). víi rµng buéc x ∈ C, 0 ∈ f (x, p) + K.. Ký hiÖu tËp rµng buéc, gi¸ trÞ tèi −u, vµ tËp nghiÖm cña (5.1) t−¬ng øng bëi G(p), ν(p), vµ Q(p). §Þnh lý 5.5.1 (TÝnh liªn tôc cña hµm gi¸ trÞ tèi −u). Gi¶ sö r»ng (a) tån t¹i tËp comp¾c Σ ⊂ IRn sao cho Q(p) ∩ Σ = ∅ víi mäi p trong mét l©n cËn cña p0 ; (b) tån t¹i x0 ∈ Q(p0 ) ∩ Σ sao cho ¸nh x¹ (x, p) → J1 f (x, p) lµ nöa liªn tôc trªn t¹i (x0 , p0 ) vµ. (5.2). 0 ∈ int{A[TC (x0 )] + f (x0 , p0 ) + K} ∀A ∈ coJ1 f (x0 , p0 ) ∪ co((J1 (f (x0 , p0 ))∞ \ {0})).. Khi đó, ν là liên tục tại p0 . Chøng minh. §Çu tiªn ta chøng minh r»ng ν lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i p0 . Gi¶ sö ph¶n chøng r»ng tån t¹i ε > 0 vµ d·y pi → p0 sao cho (5.3). ν(pi ) ν(p0 ) − ε.. Do điều kiện (a), với i đủ lớn ta chọn đ−ợc xi ∈ Q(pi ) ∩ Σ. Vì Σ là compắc và ánh xạ G(ã) là đóng, ta có thể giả sử rằng xi → x̄ ∈ G(p0 ) ∩ Σ. Tõ (5.3) suy ra r»ng ϕ(xi , pi ) = ν(pi ) ν(p0 ) − ε..

(185) 5.5. TÝnh liªn tôc vµ tÝnh Lipschitz cña hµm gi¸ trÞ tèi −u. 179. Cho i → ∞, từ đó ta có ϕ(x̄, p0 ) ν(p0 ) − ε, m©u thuÉn víi viÖc ν(p0 ) lµ gi¸ trÞ tèi −u cña (5.1) øng víi gi¸ trÞ tham sè p = p0 . B©y giê ta ®i chøng minh r»ng ν lµ nöa liªn tôc trªn t¹i p0 . Do tÝnh liªn tôc cña ϕ, tån t¹i l©n cËn Vε cña x0 vµ l©n cËn Uε cña p0 sao cho |ϕ(x, p) − ϕ(x0 , p0 )| ε,. (5.4). với mọi (x, p) ∈ Vε ì Uε . Sử dụng (b) ta có thể áp dụng Định lý 5.3.1 để chỉ ra mét l©n cËn U cña p0 sao cho U ⊂ Uε vµ, víi mçi p ∈ U , tån t¹i vÐct¬ x(p) ∈ G(p) ∩ Vε . Để ý đến (5.4), ta có ν(p) ϕ(x(p), p) ϕ(x0 , p0 ) + ε,. ∀p ∈ U.. V× vËy, lim sup ν(p) ϕ(x0 , p0 ) + ε. p→p0. V× ε > 0 cã thÓ chän nhá tïy ý, ta cã lim sup ν(p) ϕ(x0 , p0 ) = ν(p0 ). p→p0. Chøng minh kÕt thóc.. 2. Định lý 5.5.2 (Tính Lipschitz địa ph−ơng của hàm giá trị tối −u). Giả sử ϕ là Lipschitz địa ph−ơng ở trên IRn ì P . Giả sử rằng điều kiện (a) và điều kiện sau ®−îc tháa m·n: (c) víi mçi x0 ∈ Q(p0 ) ∩ Σ, ¸nh x¹ ®a trÞ (x, p) → J1 f (x, p) lµ nöa liªn tôc trªn t¹i (x0 , p0 ), tån t¹i k > 0 vµ c¸c l©n cËn U0 cña p0 vµ V0 cña x0 sao cho (3.22) nghiệm đúng. Khi đó, ν là Lipschitz địa ph−ơng tại p0 . Chøng minh. §Æt Σ1 := (Q(p0 ) ∩ Σ) × {p0 }. Vì Q(p) là đóng với mọi p, nên Σ1 là tập compắc. Ta đi chứng minh rằng tồn t¹i > 0 vµ tËp më Ω chøa Σ1 sao cho (5.5). |ϕ(x , p ) − ϕ(x, p)| (x − x + p − p). víi mäi (x, p) vµ (x , p ) thuéc Ω. NhËn xÐt r»ng tËp E := co (Q(p0 ) ∩ Σ).

(186) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 180. lµ låi, comp¾c. Víi mçi x̄ ∈ E, tån t¹i x̄ > 0, l©n cËn Vx̄ cña x̄ vµ l©n cËn Ux̄ tháa m·n (5.6) |ϕ(x , p )−ϕ(x, p)| x̄ (x −x+p −p),. ∀x, x ∈ Vx̄ , p, p ∈ Ux̄ .. V× E lµ comp¾c, tån t¹i x1 , . . . , xq ∈ E sao cho E⊂. . {Vxi : i = 1, . . . , q} .. Chän ρ > 0 sao cho Ṽ := E + B(0, ρ) ⊂ §Æt. . {Vxi : i = 1, . . . , q} .. ' Ũ := {Uxi : i = 1, . . . , q} , := max {xi i = 1, . . . , q} .. Ω := Ṽ × Ũ ,. Râ rµng Ω lµ tËp më chøa Σ1 . Gi¶ sö (x, p), (x , p ) ∈ Ω. V× Ṽ lµ låi, nªn [x, x ] ⊂ Ṽ . Do đó, {Vxi : i = 1, . . . , q} [x, x ] ⊂ vµ tån t¹i d·y ®iÓm a0 := x, a1 , a2 , . . . , as := x thuéc ®o¹n th¼ng [x, x ] sao cho víi mçi j ∈ {0, 1, . . . , s − 1} tån t¹i i ∈ {1, . . . , q} tháa m·n ®iÒu kiÖn [aj , aj+1 ] ⊂ Vxi . Tõ (5.6) ta suy ra r»ng |ϕ(x, p) − ϕ(x , p )| |ϕ(a0 , p) − ϕ(a1 , p)| +|ϕ(a1 , p) − ϕ(a2 , p)| + · · · + |ϕ(as−1 , p) − ϕ(as , p )| (a0 − a1 + a1 − a2 + · · · + as−1 − as + p − p ) = (x − x + p − p ). Nh− vậy, ta đã thu đ−ợc (5.5). Tiếp theo, để ý rằng ánh xạ đa trị p → Q(p) ∩ Σ lµ nöa liªn tôc trªn t¹i p0 . ThËt vËy, tr−íc hÕt ta chøng minh r»ng pi → p0 , xi → x̄ vµ xi ∈ Q(pi ) ∩ Σ, ∀i ∈ IN, th× x̄ ∈ Q(p0 ) ∩ Σ. V× ν(pi ) = ϕ(xi , pi ) vµ ν liªn tôc t¹i p0 theo §Þnh lý 5.5.1, nên v(p0 ) = ϕ(x̄, p0 ). Ngoài ra, tính đóng của G(ã) kéo theo x̄ ∈ G(p0 ). Vì vËy, x̄ ∈ Q(p0 ) ∩ Σ. Tõ tÝnh chÊt võa ®−îc chøng minh suy ra r»ng ¸nh x¹ p → Q(p) ∩ Σ lµ nöa liªn tôc trªn t¹i p0 . ThËt vËy, gi¶ sö ph¶n chøng: tån t¹i tËp më W ⊂ IRn , Q(p0 ) ∩ Σ ⊂ W , vµ tån t¹i d·y pi → p0 sao cho (G(pi ) ∩ Σ) ∩ (IRn \ W ) = ∅..

(187) 5.5. TÝnh liªn tôc vµ tÝnh Lipschitz cña hµm gi¸ trÞ tèi −u. 181. Khi đó, với mỗi i ∈ IN lấy một điểm xi ∈ (G(pi ) ∩ Σ) ∩ (IRn \ W ). Do Σ là compắc và IRn \ W là tập đóng, bằng cách xét dãy con (nếu cần), ta có thể / W . Điều đó mâu thuẫn với tính chất gi¶ sö r»ng xi → x̄ ∈ IRn \ W . VËy x̄ ∈ x̄ ∈ Q(p0 ) ∩ Σ đã đ−ợc chứng minh ở trên. Víi mçi z ∈ Q(p0 ) ∩ Σ, do gi¶ thiÕt (c) vµ do §Þnh lý 5.3.3, tån t¹i kz > 0, δz > 0, c¸c l©n cËn Vz cña z vµ Uz cña p0 sao cho (Vz +δz B)×Uz ⊂ Ω vµ (5.7). G(p) ∩ Vz ⊂ G(p ) + kz p − p B̄IRn ,. ∀p, p ∈ Uz .. Do Q(p0 ) ∩ Σ lµ comp¾c, tån t¹i z1 , . . . , zq ∈ Q(p0 ) ∩ Σ sao cho Q(p0 ) ∩ Σ ⊂ §Æt. . {Vzi : i = 1, . . . , q} .. k̄ := max k , . . . , k , δ := {δzi : i = 1, . . . , q} , z z q 1 ( V := ' {Vzi : i = 1, . . . , q} , U := {Uzi : i = 1, . . . , q} .. Do (a), ta cã thÓ gi¶ sö r»ng Q(p) ∩ Σ = ∅,. ∀p ∈ U.. Râ rµng V × U ⊂ Ω. Nh− ta đã chỉ ra ở trên, ánh xạ p → Q(p) ∩ Σ là nửa liên tục trên tại p0 ; vì vËy tån t¹i l©n cËn U1 ⊂ U cña p0 sao cho Q(p) ∩ Σ ⊂ V,. (5.8). ∀p ∈ U1 .. H¬n thÕ, ta cã thÓ gi¶ sö r»ng (5.9). k̄p − p δ,. ∀p, p ∈ U1 .. B©y giê lÊy tïy ý p, p ∈ U1 . NÕu x̄ ∈ Q(p) ∩ Σ, th× ta cã ν(p) = ϕ(x̄, p). Tõ (5.8) suy ra r»ng cã thÓ chän ®−îc i ∈ {1, . . . , q} sao cho x̄ ∈ (Q(p) ∩ Σ) ∩ Vzi . V× thÕ, do (5.7), tån t¹i x ∈ G(p ) sao cho x̄ − x k̄p − p .. (5.10) Sö dông (5.9) ta thu ®−îc. x ∈ x̄ + δB̄IRn ⊂ Vzi + δzi B̄IRn ..

(188) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 182 Do đó (x , p ) ∈ Ω. Sử dụng (5.5) và (5.10) ta có. ν(p ) − ν(p) ϕ(x , p ) − ϕ(x̄, p) (x − x̄ + p − p) (k̄p − p + p − p) = (k̄ + 1)p − p. T−¬ng tù,. ν(p) − ν(p ) (k̄ + 1)p − p.. Vậy ν(ã) là Lipschitz địa ph−ơng tại p0 .. 2. Mệnh đề sau mô tả một tình huống th−ờng gặp, ở đó điều kiện (a) đ−ợc thỏa m·n. Mệnh đề 5.5.1. Giả sử rằng (d) tån t¹i x0 ∈ Q(p0 ) sao cho ¸nh x¹ ®a trÞ (x, p) → J1 f (x, p) lµ nöa liªn tục trên tại (x0 , p0 ) và điều kiện (5.2) nghiệm đúng. NÕu (5.11). lim inf. x →+∞; p→p0. ϕ(x, p) > ϕ(x0 , p0 ),. hoÆc lµ (5.12). lim. x →+∞; p→p0. ϕ(x, p) = +∞,. th× ®iÒu kiÖn (a) ®−îc tháa m·n. Chøng minh. Râ rµng (5.12) kÐo theo (5.11). NÕu (5.11) tháa m·n, th× tån t¹i ρ > 0, λ > 0 vµ l©n cËn U0 cña p0 sao cho (5.13). ϕ(x, p) ϕ(x0 , p0 ) + ρ. víi mäi (x, p) tháa m·n x > λ, p ∈ U0 . Do ®iÒu kiÖn (d), §Þnh lý 5.3.1 ¸p dông ®−îc. V× thÕ, víi mçi l©n cËn V cña x0 , tån t¹i l©n cËn U ⊂ U0 cña p0 sao cho G(p) ∩ V = ∅ ∀p ∈ U. Ngoµi ra, cã thÓ chän V vµ U sao cho (5.14) §Æt. ϕ(x, p) < ϕ(x0 , p0 ) + ρ. ∀(x, p) ∈ V × U.. Σ := {x ∈ Rn : x λ}..

(189) 5.6. Chứng minh Mệnh đề 5.2.1. 183. V× víi mçi p ∈ U tån t¹i x(p) ∈ G(p) ∩ V , nªn (5.14) kÐo theo ϕ(x(p), p) < ϕ(x0 , p0 ) + ρ. KÕt hîp ®iÒu nµy víi (5.13), ta thu ®−îc Q(p) ⊂ Σ ∀p ∈ U. Thêm vào đó, vì G(p) là đóng và ϕ là liên tục, nên giá trị tối −u ν(p) := inf{ϕ(x, p) : x ∈ G(p) ∩ Σ} đạt đ−ợc tại một điểm x ∈ G(p) ∩ Σ nào đó. Điều đó chứng tỏ rằng Q(p) khác rỗng với mọi p ∈ U . Tính chất (a) đã đ−ợc thiết lập. 2 Nhận xét 5.5.1. Điều kiện (5.11) có thể đ−ợc xem là dấu hiệu ổn định cơ bản của hàm mục tiêu. Nếu nó nghiệm đúng, thì hầu nh− ta có thể tin rằng hàm giá trÞ tèi −u ν(p) lµ liªn tôc t¹i p0 . NÕu nã bÞ vi ph¹m, th× ta ph¶i t×m mét dÊu hiệu ổn định khác ở tập ràng buộc. Cụ thể là, nếu tồn tại tập compắc Σ ⊂ Rn sao cho G(p) ⊂ Σ víi mäi p trong mét l©n cËn cña p0 vµ nÕu ®iÒu kiÖn (b) ®−îc tháa m·n, th× ν lµ liªn tôc t¹i p0 theo §Þnh lý 5.5.1. §Æc biÖt, ta cã thÓ lÊy Σ = C, nÕu C lµ tËp låi comp¾c. Nhận xét 5.5.2. Bằng cách sử dụng các l−ợc đồ đề xuất bởi Borwein (1986), từ các định lý 5.3.1–5.3.3 ta có thể dẫn ra các công thức tính nón tiếp tuyến của các tập đóng và tính đạo hàm theo h−ớng của hàm giá trị tối −u. Bài tập 5.5.1. Hãy xây dựng một vài ví dụ đơn giản minh họa cho Định lý 5.5.1, Định lý 5.5.2 và Mệnh đề 5.5.1. (Gợi ý: Có thể xét các bài toán tối −u có tập ràng buộc là tập nghiệm của hệ đẳng thức/bất đẳng thức ở các mục 4.5 và 4.6; cho x đóng vai trò tham số p và y đóng vai trò biến x.). 5.6 Chứng minh Mệnh đề 5.2.1 Mục này trình bày chứng minh Mệnh đề 5.2.1. Chúng ta sẽ sử dụng bổ đề sau. Bổ đề 5.6.1 (xem Jeyakumar và Luc (2002a)). Cho F : IRn ⇒ IRs là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên tại x0 ∈ IRn . Giả sử ti > 0 hội tụ đến 0, qi ∈ coF (x0 + ti B̄IRn ) víi limi→∞ qi = ∞ vµ limi→∞ qi /qi = q∗ víi q∗ ∈ IRs . Khi đó q∗ ∈ (co F (x0 ))∞ . Ngoài ra, nếu co(F (x0 ))∞ là nón nhọn 13 , thì q∗ ∈ co(F (x0 ))∞ = (coF (x0 ))∞ . 13. H×nh nãn M ®−îc gäi lµ nãn nhän nÕu M ∩ (−M ) = {0}..

(190) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 184. Chøng minh. Do tÝnh nöa liªn tôc trªn cña F t¹i x0 , víi mçi ε > 0, tån t¹i i0 đủ lớn sao cho F (x0 + ti B̄IRn ) ⊂ F (x0 ) + εB̄IRs. víi mäi i i0 .. V× vËy, qi ∈ co(F (x0 ) + εB̄IRs ) ⊂ co(F (x0 ) + εB̄IRs ) + εB̄IRs. víi mäi i i0 .. Suy ra q∗ ∈ [co(F (x0 ) + εB̄IRs ) + εB(0, 1)]∞ ⊂ [co(F (x0 ) + εB̄IRs )]∞ ⊂ (coF (x0 ))∞ . Bao hàm thức co(F (x0 ))∞ ⊂ (coF (x0 ))∞ luôn nghiệm đúng vì F (x0 ) ⊂ coF (x0 ) và (coF (x0 ))∞ là nón lồi đóng. Bây giờ chúng ta chứng minh bao hµm thøc ng−îc l¹i. Gi¶ sö p ∈ (coF (x0 ))∞ , p = 0. Theo định lý Caratheodory (xem Rockafellar (1970)), tån t¹i c¸c tæ hîp låi pi = s+1 j=1 λij pij víi λij 0, s+1 pij ∈ F (x0 ) vµ j=1 λij = 1 sao cho p/p = lim pi /pi vµ lim pi = ∞. i→∞. i→∞. Kh«ng gi¶m tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö r»ng lim λij = λj 0 víi j = i→∞. s+1. λj = 1. Víi mçi j, xÐt d·y {λij pij /pi }i. 1, . . . , s + 1 vµ. 1.. Chóng ta. j=1. khẳng định rằng dãy này là giới nội, vì thế có thể giả sử rằng nó hội tụ đến một phần tử p0j ∈ (F (x0 ))∞ . Nếu điều đó đúng với mỗi chỉ số j, thì ta có s+1. p0j ∈ co(F (x0 ))∞ , đó là điều phải chứng minh. Để chứng minh khẳng. p= j=1. định nói trên, ta giả sử phản chứng rằng {λij pij /pi }i 1 là không giới nội. §Æt aij = λij pij /pi . B»ng c¸ch lÊy d·y con (nÕu cÇn thiÕt), chóng ta cã thÓ gi¶ sö r»ng aij0 = max{aij : j = 1, . . . , s + 1} víi mçi i. V× vËy, limi→∞ aij0 = ∞. Do pi /pi = s+1 j=1 aij , ta cã s+1. 0 = lim pi /(pi .aij0 ) = lim i→∞. i→∞. aij /aij0 . j=1. Chúng ta lại có thể giả sử rằng {aij /aij0 }i 0 hội tụ đến một phần tử a0j ∈ (F (x0 ))∞ với j = 1, . . . , s + 1 vì rằng các dãy là giới nội. Vì a0j0 = 0, đẳng.

(191) 5.6. Chứng minh Mệnh đề 5.2.1. 185. thøc 0 = s+1 j=1 a0j chøng tá r»ng co(F (x0 ))∞ kh«ng ph¶i lµ nãn nhän, m©u thuÉn. 2 Sử dụng Bổ đề 5.6.1, bây giờ ta sẽ chứng minh Mệnh đề 5.2.1 - một tr−ờng hîp riªng cña §Þnh lý 4.1 trong Jeyakumar vµ Luc (2002a). Chứng minh Mệnh đề 5.2.1: Chóng ta muèn chØ ra r»ng víi mäi u ∈ IRn vµ α ∈ IR, (αg ◦ f )+ (x̄, u) sup(αp0 qu),. (6.1). q∈Q. ở đó p0 = g (f (x̄)) và Q := Jf (x̄) + (Jf (x̄))ε∞ . Vì (6.1) là hiển nhiên trong tr−êng hîp u = 0 hay α = 0, ta gi¶ sö r»ng u = 0 vµ α = 0. Gi¶ sö ti > 0 lµ d·y sè héi tô tíi 0 sao cho (6.2). α(g(f (x̄ + ti u)) − g(f (x̄)) . i→∞ ti. (αg ◦ f )+ (x̄, u) = lim. Từ định lý giá trị trung bình (xem Jeyakumar và Luc (1999), Hệ quả 5.1) suy ra r»ng, víi mçi ti , tån t¹i pi ∈ co g ([f (x̄), f (x̄ + ti u)]) vµ qi ∈ co Jf ([x̄, x̄ + ti u]) sao cho f (x̄ + ti u) − f (x̄) = ti qi u, (6.3) g(f (x̄ + ti u)) − g(f (x̄)) = pi (f (x̄ + ti u) − f (x̄)). Do gi¶ thiÕt cña chóng ta, lim pi = p0 . B»ng c¸ch xÐt mét d·y con (nÕu cÇn i→∞. thiÕt), ta chØ ph¶i kh¶o s¸t hai tr−êng hîp sau: (a) {qi } hội tụ đến một véctơ q0 nào đó; (b) limi→∞ qi = ∞ với {qi /qi } hội tụ đến một q∗ nào đó. Tõ (6.2) vµ (6.3) suy ra r»ng (αg ◦ f )+ (x̄, u) = lim (αpi qi u). i→∞. Trong tr−êng hîp (a), do tÝnh nöa liªn tôc trªn cña Jf t¹i x̄, ta cã q0 ∈ coJf (x̄). V× vËy, (αg ◦ f )+ (x̄, u) = αp0 q0 u sup(αp0 qu). q∈Q. Xét tr−ờng hợp (b). Do Bổ đề 5.6.1, q∗ ∈ (coJf (x̄))∞ . Nếu co(Jf x̄))∞ là kh«ng nhän, th× dÔ thÊy r»ng co(J(f (x̄))ε∞ trïng víi toµn kh«ng gian L(IRn , IRm ). Vì u = 0, tính chất đó và giả thiết p0 = 0 kéo theo sup(αp0 qu) q∈Q. sup. (αp0 qu) = +∞,. q∈L(IRn ,IRm ).

(192) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 186. vì thế (6.1) nghiệm đúng. Nếu hình nón co(Jf (x̄))∞ là nhọn, thì theo Bổ đề 5.6.1 nó chứa q∗ . Đặt β := αp0 q∗ u. Nếu β > 0, thì từ sự kiện λq∗ ∈ co(Jf (x̄))∞ víi mäi λ 0 ta rót ra quan hÖ sau: sup(αp0 qu) ≥ q∈Q. sup. q∈qr +co(Jf (x̄))ε∞. (αp0 qu) lim sup(αp0 (qr + λq∗ )u) +∞, λ→∞. ở đó qr là một phần tử tùy ý của Jf (x̄). Quan hệ đó kéo theo (6.1). Nếu β < 0 thì với i đủ lớn, ta có αpi. β qi u < < 0. qi 2. Do đó, (αg ◦ f )+ (x̄, u) = lim (αpi qi u) lim qi . i→∞. i→∞. β = −∞. 2. Điều đó chứng tỏ rằng (6.1) nghiệm đúng. B©y giê ta gi¶ sö r»ng β = 0. Tõ bao hµm thøc q∗ ∈ co(Jf (x̄))∞ vµ tõ định nghĩa của tập hợp co(Jf (x̄))ε∞ = (co(Jf (x̄))∞ )ε suy ra rằng q∗ ∈ int(co(Jf (x̄))ε∞ ). Chúng ta khẳng định rằng tồn tại q1 ∈ co(Jf (x̄))ε∞ sao cho αp0 q1 u > 0.. (6.4). Thật vậy, xét phiếm hàm tuyến tính φ : L(IRn , IRm ) → IR đ−ợc xác định bằng cách đặt φ(q) = αp0 qu với mọi q ∈ L(IRn , IRm ). Nếu khẳng định của chúng ta không đúng, thì φ(q) 0 với mọi q ∈ co(Jf (x̄))ε∞ . Vì φ(q∗ ) = β = 0 và q∗ ∈ int(co(Jf (x̄))ε∞ ), ta kÕt luËn r»ng φ = 0. V× u = 0 vµ p0 = 0, tån t¹i q ∈ L(IRn , IRm ) sao cho qu không thuộc vào nhân của phiếm hàm p0 . Khi đó ta có αp0 qu = 0. Điều đó không thể xảy ra bởi vì φ = 0. Khẳng định của chúng ta đã đ−ợc chứng minh. Cố định một phần tử qr ∈ Jf (x̄). Từ (6.4) ta suy ra r»ng sup(αp0 qu) q∈Q. sup. q∈qr +co(Jf (x̄))ε∞. vì vậy (6.1) nghiệm đúng.. (αp0 qu) lim (αp0 (qr + λq1 )u) +∞; λ→∞. 2. 5.7 D−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n J-L Quan hÖ gi÷a kh¸i niÖm Jacobian xÊp xØ theo nghÜa Jeyakumar-Luc cña hµm véctơ trong không gian Euclide hữu hạn chiều và khái niệm đối đạo hàm theo.

(193) 5.7. D−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n J-L. 187. nghÜa Mordukhovich sÏ ®−îc xÐt trong môc sau. Môc nµy ®−a ra mét sè kh¸i niệm và kết quả bổ trợ, đồng thời khảo sát mối quan hệ giữa khái niệm d−ới vi phân J-L (một tr−ờng hợp đặc biệt của Jacobian xấp xỉ) và d−ới vi phân Mordukhovich (là giá trị của đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich của ánh xạ đa trị trên-đồ-thị của hàm số đã cho tại điểm y∗ = 1). Kết quả khảo sát ở mục này và mục sau chứng tỏ một cách rõ ràng là đối đạo hàm và Jacobian xấp xỉ là những khái niệm rất khác nhau. Chúng có rất ít ®iÓm chung. Tõ nh÷ng bµi b¸o ®−îc trÝch dÉn ë danh môc tµi liÖu tham kh¶o ë cuối sách này có thể thấy rằng những khái niệm đó đòi hỏi những ph−ơng pháp kh¸c nhau vµ chóng cho kÕt qu¶ d−íi d¹ng rÊt kh¸c nhau. Tãm l¹i, hai kh¸i niệm đó dẫn đến hai lý thuyết vi phân rất khác nhau. Vai trò quan trọng của đạo hàm đa trị của các hàm số và ánh xạ đa trị đã ®−îc c«ng nhËn réng r·i (xem Aubin vµ Ekeland (1984), Aubin vµ Frankowska (1990), Mordukhovich (1994c), Rockafellar và Wets (1998)). Các loại đạo hàm xây dựng qua nón tiếp tuyến đã xét ở Ch−ơng 2 đều là đạo hàm đa trị. Đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich là một loại đạo hàm đa trị đ−ợc mô tả bằng các biến đối ngẫu 14 . Những kết quả nghiên cứu của B. S. Mordukhovich và các tác giả khác đã chứng tỏ rằng khái niệm này rất hữu ích cho sự phát triÓn cña gi¶i tÝch kh«ng tr¬n vµ c¸c øng dông kh¸c nhau (xem Mordukhovich (2006a,b) và các tài liệu dẫn trong đó 15 ). Đối đạo hàm cho phép ta đặc tr−ng tÝnh më, tÝnh chÝnh quy mªtric, vµ c¸c tÝnh chÊt Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ (xem Mordukhovich (1993)). Các ứng dụng của đối đạo hàm trong lý thuyết ổn định và độ nhậy nghiệm của các bài toán tối −u có thể xem trong Mordukhovich (1994a,c,d). Để định nghĩa Mordukhovich đối đạo hàm, ta sử dụng nón pháp tuyến (không lồi) của đồ thị của ánh xạ đa trị đ−ợc xét (xem Mục 4.2 trong Ch−¬ng 4). NÕu kh«ng gian ®−îc xÐt lµ h÷u h¹n chiÒu, th× nãn ph¸p tuyÕn cßn có thể định nghĩa theo một cách khác, sử dụng phép chiếu mêtric lên các tập không lồi. Cách định nghĩa này mang tính hình học rõ rệt. Nó sẽ đ−ợc nhắc l¹i ë d−íi ®©y cïng víi c¸c quy t¾c tÝnh to¸n cã liªn quan, nh»m bæ sung cho những điều đã trình bày trong Mục 4.2 theo cách tiếp cận thuần tuý giải tích16 . Jacobian xấp xỉ (xem Mục 5.2) cũng là một loại đạo hàm đa trị. Nó đ−ợc ®−a ra trong Jeyakumar vµ Luc (1998, 1999) nh− mét sù më réng cña kh¸i niệm Jacobian suy rộng Clarke - vốn dĩ chỉ đ−ợc định nghĩa cho các hàm véctơ Lipschitz địa ph−ơng. Sử dụng Jacobian xấp xỉ và d−ới vi phân J-L ta có thể thu đ−ợc các định lý ánh xạ mở (xem Jeyakumar và Luc (2002a,b) và Mục 5.4), quy t¾c nh©n tö Lagrange (xem Wang vµ Jeyakumar (2000) vµ Môc 5.4), c¸c điều kiện đủ cho tính chính quy mêtric và tính giả-Lipschitz của hàm ẩn đa trị 14. TNTA: dual variables. Xem thªm c¶ c¸c môc 4.5 vµ 4.6 trong Ch−¬ng 4. 16 Th«ng qua d−íi vi ph©n FrÐchet vµ giíi h¹n PainlevÐ-Kuratowski. 15.

(194) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 188. (xem Mục 5.3). Các kết quả đó áp dụng đ−ợc cho các bài toán mô tả bởi các hàm liên tục, không nhất thiết là Lipschitz địa ph−ơng. Việc nghiên cứu các mối quan hệ giữa Jacobian xấp xỉ và đối đạo hàm là một công việc đáng làm. Một số nhận xét về mối quan hệ giữa d−ới vi phân Mordukhovich và d−ới vi phân J-L đã đ−ợc đ−a ra trong luận án của Wang (2000) vµ trong bµi b¸o cña Wang vµ Jeyakumar (2000). Chóng ta sÏ nghiªn cứu vấn đề đó trong một phạm vi rộng hơn. Tr−íc tiªn, chóng ta nh¾c l¹i mét sè sù kiÖn trong Mordukhovich (1994b) vµ Clarke (1983). Cho F : Rn ⇒ Rm lµ mét ¸nh x¹ ®a trÞ . Nh− ë c«ng thøc (2.1) trong Ch−¬ng 4, giíi h¹n trªn theo d·y theo nghÜa Painlevé-Kuratowski cña F khi x → x̄ là tập con của Rm đ−ợc định nghĩa bởi Lim sup F (x) = {y ∈ Rm : ∃ c¸c d·y xk → x̄, yk → y, x→x̄. víi yk ∈ F (xk ) ∀k = 1, 2, . . .}.. Cã hai ®iÓm kh¸c biÖt gi÷a c«ng thøc nµy vµ c«ng thøc (2.1) trong Ch−¬ng 4: giíi h¹n theo t«p« w∗ ®−îc thay b»ng giíi h¹n theo t«p« cña chuÈn vµ F cã thÓ nhËn gi¸ trÞ kh«ng ph¶i trong X∗ = (IRn )∗ = IRn , mµ trong IRm . Gi¶ sö Ω ⊂ Rn . Ký hiÖu P (x, Ω) = {ω ∈ Ω : x − ω = d(x, Ω)}. Nón pháp tuyến Mordukhovich của Ω tại x̄ ∈ Ω đ−ợc xác định bởi công thức (7.1). NΩ (x̄) = lim sup[cone(x − P (x, Ω))]. x→x̄. NÕu x̄ ∈ / Ω, khi đó ta đặt NΩ (x̄) = ∅. Nói chung, NΩ (x̄) là hình nón không lồi. (Vì vậy nó không thể là nón đối ngẫu của bất cứ hình nón tiếp tuyến nào của Ω.) Nón pháp tuyến này trùng với hình nón định nghĩa bởi công thức (2.8) trong Ch−¬ng 4. Nh− ë Ch−¬ng 2, nãn tiÕp tuyÕn Clarke CΩ (x̄) cña Ω t¹i x̄ ∈ Ω đ−ợc định nghĩa bởi công thức CΩ (x̄) = {u ∈ Rn. : ∀xk (∈ Ω) → x̄, ∀tk ↓ 0, ∃uk → u such that xk + tk uk ∈ Ω for all k}.. TËp hîp NΩCl (x̄) := (CΩ (x̄))∗ lµ nãn ph¸p tuyÕn Clarke cña Ω t¹i x̄. Quan hÖ gi÷a nãn ph¸p tuyÕn Clarke vµ nãn ph¸p tuyÕn Mordukhovich (xem Clarke (1983), Mệnh đề 2.5.7) nh− sau: (7.2). NΩCl (x̄) = coNΩ (x̄)..

(195) 5.7. D−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n J-L. 189. Nh− ở Mệnh đề 2.2.1 trong Ch−ơng 2, nón tiếp tuyến Bouligand của Ω tại x ∈ Ω ®−îc cho bëi c«ng thøc TΩ (x) = {u ∈ Rn. : ∃uk → u, ∃tk ↓ 0 sao cho x + tk uk ∈ Ω víi mäi k}.. Ω (x). NÕu x ∈ / Ω thì ta đặt Nón đối ngẫu âm của TΩ (x) đ−ợc ký hiệu bởi N NΩ (x) = ∅. Ng−ời ta đã biết rằng (xem Mordukhovich (1994b), tr. 254): ∗. Ω (x) = {x∗ ∈ Rn : lim sup x , y − x 0}. N y − x Ω y →x. Ω (x) định nghĩa nh− ở đây trùng với nón pháp tuyến Điều đó chứng tỏ nón N Fréchet định nghĩa bằng công thức (2.7) trong Ch−ơng 4. Mệnh đề 5.1.1 (xem Kruger và Mordukhovich (1980)). Với mọi Ω ⊂ Rn và với mäi x̄ ∈ Ω, ta cã (7.3). Ω (x). NΩ (x̄) = Lim sup N x→x̄. Nh− ở Ch−ơng 4, đối đạo hàm Mordukhovich D∗ F (x̄, ȳ) : Rm ⇒ Rn của F t¹i (x̄, ȳ) ∈ gph F ®−îc cho bëi c«ng thøc D ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = {x∗ ∈ Rn : (x∗ , −y ∗ ) ∈ NgphF (x̄, ȳ)}. Đối đạo hàm Clarke của F tại (x̄, ȳ) ∈ gph F đ−ợc cho bởi công thức ∗ Cl F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = {x∗ ∈ Rn : (x∗ , −y ∗ ) ∈ Ngph (x̄, ȳ), }. DC F) ∗ F (x̄, ȳ)(ã) là hình nón lồi đóng trong không gian tích Rm ìRn . §å thÞ cña DC Nếu F có đồ thị lồi, thì đối đạo hàm Clarke và đối đạo hàm Mordukhovich trùng nhau, tøc lµ ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) ∀(x̄, ȳ) ∈ gphF, ∀y∗ ∈ Rm . D ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = DC. Nếu F là hàm véctơ khả vi chặt, thì hai đối đạo hàm đó cũng trùng nhau. Cụ thÓ lµ nÕu f : Rn → Rm lµ kh¶ vi chÆt t¹i x̄, th× ∗ f (x̄)(y ∗ ) = (f (x̄))∗ (y ∗ ) ∀y ∗ ∈ Rm . D ∗ f (x̄)(y ∗ ) = DC Ngoài hai tr−ờng hợp kể trên, đồ thị của đối đạo hàm Mordukhovich th−ờng là tập con thực sự của đối đạo hàm Clarke. Cho hµm sè ϕ : Rn → R = R ∪ {±∞} víi miÒn h÷u hiÖu domϕ = {x ∈ Rn : −∞ < ϕ(x) < +∞}..

(196) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 190 C«ng thøc. F (x) = Eϕ (x) := {µ ∈ R : µ ϕ(x)} xác định ánh xạ đa trị trên-đồ-thị của ϕ. Rõ ràng là gph F = epi ϕ := {(x, µ) ∈ Rn × R : µ ϕ(x)}. Cho x̄ ∈ domϕ. TËp hîp ∂ϕ(x̄) :=D ∗ Eϕ (x̄, ϕ(x̄))(1) = x∗ ∈ Rn : (x∗ , −1) ∈ Nepi ϕ (x̄, ϕ(x̄)) ®−îc gäi lµ d−íi vi ph©n Mordukhovich cña ϕ t¹i x̄, cßn tËp hîp ∂ ∞ ϕ(x̄) :=D∗ Eϕ (x̄, ϕ(x̄))(0) = x∗ ∈ Rn : (x∗ , 0) ∈ Nepiϕ (x̄, ϕ(x̄)) ®−îc gäi lµ d−íi vi ph©n suy biÕn cña ϕ t¹i x̄. NÕu x̄ ∈ / domϕ thì ta đặt ∂ϕ(x̄) = ∂ ∞ ϕ(x̄) = ∅. D−íi vi ph©n Clarke ∂Cl ϕ(x̄) vµ d−íi vi ph©n suy biÕn Clarke ∂ Cl,∞ ϕ(x̄) đ−ợc định nghĩa t−ơng tự; thay cho D∗ (t.−., Ngph F (ã)) ta ∗ (t.−., N Cl xÐt DC gph F (·)). Cã thÓ chøng minh r»ng d−íi vi ph©n Mordukhovich và d−ới vi phân suy biến định nghĩa nh− ở đây là trùng với các tập hợp định nghÜa bëi c¸c c«ng thøc (2.5) vµ (2.6) trong Ch−¬ng 4.. NÕu ϕ lµ kh¶ vi chÆt t¹i x̄, th× ∂Cl ϕ(x̄) = ∂ϕ(x̄) = {ϕ (x̄)}. Víi mçi hµm sè nöa liªn tôc d−íi ϕ vµ víi mçi ®iÓm x̄ ∈ domϕ, tõ (7.2) suy ra r»ng (7.4). ∂ Cl ϕ(x̄) = co[∂ϕ(x̄) + ∂ ∞ ϕ(x̄)].. Công thức (7.4) là tr−ờng hợp riêng của công thức (6.14) trong Ch−ơng 4, ở đó ta xét hàm số xác định trên không gian Banach bất kỳ. D−íi mét sè ®iÒu kiÖn nhÑ nhµng, ta cã thÓ tÝnh d−íi vi ph©n Clarke ∂Cl ϕ(x̄) thông qua đạo hàm theo h−ớng Clarke-Rockafellar. Nếu ϕ : Rn → IR là hàm số liên tục, thì đạo hàm theo h−ớng Clarke-Rockafellar ϕ↑ (x̄, u) của ϕ tại x̄ theo h−ớng u đ−ợc định nghĩa (xem Clarke (1983), tr. 97) bằng công thức (7.5). ϕ↑ (x̄; u) = lim lim sup. inf. ε↓0 x→x̄, t↓0 u ∈u+εB̄Rn. ϕ(x + tu ) − ϕ(x) . t. Mệnh đề 5.7.2 (xem Clarke (1983), tr. 97). Ta có ∂Cl ϕ(x̄) = ∅ khi và chỉ khi ϕ↑ (x̄; 0) = −∞. Nếu tr−ờng hợp đó không xảy ra, thì ta có (7.6). ∂ Cl ϕ(x̄) = {x∗ ∈ Rn : ϕ↑ (x̄, u) x∗ , u ∀u ∈ Rn }.

(197) 5.7. D−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n J-L. 191. vµ (7.7). ϕ↑ (x̄; u) = sup {x∗ , u : x∗ ∈ ∂ Cl ϕ(x̄)}. ∀u ∈ Rn .. Nếu ϕ là Lipschitz địa ph−ơng tại x̄, thì ϕ↑ (x̄; u) = ϕo (x̄; u) với mọi u ∈ Rn , ở đó ϕ(x + tu) − ϕ(x) t t↓0. ϕo (x̄; u) = lim sup x→x̄,. là đạo hàm theo h−ớng Clarke của ϕ tại x̄ theo h−ớng u (xem Mục 3.4 trong Ch−ơng 3). Vì ∂Cl,∞ ϕ(x̄) = {0} (xem Clarke (1983), Mệnh đề 2.9.7) và ∂ ∞ ϕ(x̄) ⊂ ∂ Cl,∞ ϕ(x̄), ta suy ra r»ng ∂∞ ϕ(x̄) = {0}. Để tiện theo dõi, chúng ta nhắc lại khái niệm Jacobian xấp xỉ đã xét ở Mục 5.2. Giả sử f : Rn → Rm là hàm véctơ liên tục. Tập con đóng Jf (x̄) ⊂ L(Rn , Rm ) ®−îc gäi lµ Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x̄ ∈ Rn nÕu (7.8). (y ∗ ◦ f )+ (x̄; u) . sup y ∗ , Au,. A∈Jf (x̄). ∀u ∈ Rn , ∀y ∗ ∈ Rm ,. ở đó (y∗ ◦ f )(x) = y ∗ , f (x), và (y ∗ ◦ f )+ (x̄; u) = lim sup t↓0. (y ∗ ◦ f )(x̄ + tu) − (y ∗ ◦ f )(x̄) t. là đạo hàm Dini trên của y∗ ◦ f tại x̄ theo h−ớng u. Một Jacobian xấp xỉ của f tại x̄ đ−ợc gọi là tối thiểu (minimal) nếu nó không chứa tập con (đóng) thực sự nµo còng lµ Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x̄. NÕu f kh¶ vi FrÐchet t¹i x̄, th× hiÓn nhiªn Jf (x̄) = {f (x̄)} lµ Jacobian xÊp xØ tèi thiÓu cña f t¹i x̄. Gi¶ sö ϕ : Rn → IR lµ hµm liªn tôc. NÕu Jϕ(x̄) lµ mét Jacobian cña ϕ t¹i x̄, th× ta viÕt ∂ JL ϕ(x̄) thay cho Jϕ(x̄) vµ gäi ∂JL ϕ(x̄) lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i x̄. Mét J-L d−íi vi ph©n J-L ®−îc gäi lµ tèi thiÓu (minimal) nÕu nã kh«ng chứa tập con (đóng) thực sự nào cũng là d−ới vi phân J-L của f tại x̄. NhËn xÐt r»ng hµm ϕ xÐt trong VÝ dô 5.2.1 kh«ng cã d−íi vi ph©n J-L tèi thiÓu t¹i x̄ = 0. NÕu f = ϕ, lµ mét hµm thùc, th× (7.8) t−¬ng ®−¬ng víi cÆp ®iÒu kiÖn sau: (7.9). lim sup t↓0. ϕ(x̄ + tu) − ϕ(x̄) sup x∗ , u t x∗ ∈∂ JL ϕ(x̄). ∀u ∈ Rn.

(198) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 192 vµ (7.10). lim inf t↓0. ϕ(x̄ + tu) − ϕ(x̄) inf x∗ , u t x∗ ∈∂ JL ϕ(x̄). ∀u ∈ Rn .. Chóng ta sÏ tr¶ lêi c©u hái sau: Ph¶i ch¨ng d−íi vi ph©n Mordukhovich nµo còng lµ d−íi vi ph©n J-L? VÝ dô 5.7.1 (xem Jeyakumar vµ Luc (2002a)). XÐt hµm sè ϕ(x) = x1/3 , x ∈ R. Khi đó ∂ JL ϕ(0) = [α, +∞), ở đó α ∈ IR đ−ợc lấy tùy ý, là d−ới vi phân J-L cña ϕ t¹i 0. ThËt vËy, thÕ x̄ = 0, u = 1 vµ u = −1 vµo (7.9) vµ (7.10) ta thÊy rằng cả hai điều kiện đó đều thỏa mãn. Sử dụng (7.3) ta có Nepi ϕ ((0, 0)) = {(x∗ , 0) ∈ R2 : x∗ 0}. V× thÕ ∂ϕ(0) = ∅ vµ ∂ ∞ ϕ(0) = [0, +∞). VËy ∂ϕ(0) kh«ng ph¶i lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i 0. VÝ dô trªn gîi ý r»ng c©u hái ®ang ®−îc kh¶o s¸t cÇn ®−îc ph¸t biÓu l¹i nh− sau: C©u hái 1: NÕu d−íi vi ph©n Mordukhovich kh¸c rçng, th× nã cã lµ d−íi vi ph©n J-L hay kh«ng? Ba ví dụ tiếp theo ủng hộ câu trả lời khẳng định cho câu hỏi trên. VÝ dô 5.7.2 17 . §Æt ϕ(x) = |x| víi mäi x ∈ IR. §Ó ý r»ng ϕ lµ hµm låi, Lipschitz ë trªn IR. Sö dông (7.1) hoÆc (7.3) ta thu ®−îc Nepi ϕ ((0, 0)) = {(x∗ , y ∗ ) ∈ R2 : |x∗ | −y ∗ }. V× vËy, ∂ϕ(0) = [−1, 1]. Do ∂ JL ϕ(0) := {−1, 1} lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i 0, ta kÕt luËn r»ng ∂ϕ(0) lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i 0, nh−ng nã kh«ng ph¶i lµ d−íi vi ph©n J-L tèi thiÓu. (L−u ý r»ng ∂JL ϕ(0) = {−1, 1} lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i 0). VÝ dô 5.7.3 18 . §Æt ϕ(x) = −|x| víi mäi x ∈ IR. Ta cã ϕ lµ hµm lâm, Lipschitz ë trªn IR. Sö dông (7.1) hoÆc (7.3) ta t×m ®−îc Nepi ϕ ((0, 0)) = {(x∗ , y ∗ ) ∈ R2 : |x∗ | = |y ∗ |} ∪ {(x∗ , y ∗ ) ∈ R2 : x∗ |y ∗ |}. V× vËy ∂ϕ(0) = {−1, 1}. DÔ thÊy r»ng ∂JL ϕ(0) := {−1, 1} lµ d−íi vi ph©n J-L tèi thiÓu cña ϕ t¹i 0. V× vËy, d−íi vi ph©n Mordukhovich cña ϕ t¹i 0 lµ d−íi vi ph©n J-L tèi thiÓu cña ϕ t¹i 0. 17 18. Xem VÝ dô 4.2.4. Xem VÝ dô 4.2.5..

(199) 5.7. D−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n J-L. 193. VÝ dô 5.7.4. §Æt ϕ(x) = 0 víi mäi x ∈ (−∞, 0] vµ ϕ(x) = x1/2 víi mäi x ∈ (0, +∞). Ta có ϕ là hàm số không lồi, không lõm, không Lipschitz địa ph−¬ng t¹i 0. Sö dông (7.3) ta tÝnh ®−îc Nepiϕ ((0, 0)) = {(x∗ , y ∗ ) ∈ R2 : x∗ 0, y ∗ 0}. V× vËy, ∂ϕ(0) = ∂ ∞ ϕ(0) = [0, +∞). B»ng c¸ch kiÓm tra trùc tiÕp, ta thÊy r»ng c¸c ®iÒu kiÖn (7.9) vµ (7.10) ®−îc tháa m·n víi ∂JL ϕ(x̄) := [0, +∞), ë đó x̄ = 0. Vậy ∂ϕ(0) là d−ới vi phân J-L của ϕ tại 0. Dễ thấy rằng đó không ph¶i lµ d−íi vi ph©n J-L tèi thiÓu. Mệnh đề 5.7.1. Nếu ϕ : Rn → R là Lipschitz tại x̄, thì ∂ϕ(x̄) là d−ới vi phân J-L cña ϕ t¹i x̄. Chøng minh. Do (7.4), (7.6) vµ (7.7) ta cã lim sup t↓0. ϕ(x̄ + tu) − ϕ(x̄) t. ϕo (x̄; u) = max{x∗ , u : x∗ ∈ ∂ Cl ϕ(x̄)} = max{x∗ , u : x∗ ∈ ∂ϕ(x̄)}.. MÆt kh¸c, lim inf t↓0. ϕ(x̄ + tu) − ϕ(x̄) t. lim inf. ϕ(x + tu) − ϕ(x) t. x→x̄, t↓0 −ϕo (x̄; −u). = = − max{x∗ , −u : x∗ ∈ ∂ Cl ϕ(x̄)} = min{x∗ , u : x∗ ∈ ∂ϕ(x̄)}. Các tính chất (7.9) và (7.10) đã đ−ợc thiết lập đối với ∂JL ϕ(x̄) := ∂ϕ(x̄). Vậy ∂ϕ(x̄) lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i x̄. 2 Ví dụ sau cho ta câu trả lời phủ định cho Câu hỏi 1. VÝ dô 5.7.5. §Æt ϕ(x) = x2 sin(1/x) víi mäi x ∈ (−∞, 0) vµ ϕ(x) = −x1/3 với mọi x ∈ [0, +∞). Khi đó ϕ là hàm số liên tục, không Lipschitz địa ph−ơng tại 0. Chúng ta khẳng định rằng ∂ϕ(0) = ∅, nh−ng đó không phải là d−ới vi ph©n J-L cña ϕ t¹i 0. ThËt vËy, dÔ thÊy r»ng N epi ϕ ((0, 0)) = {0}. V× epiϕ = {(x, y) : y−x2 sin(1/x) 0, x < 0}∪{(x, y) : y+x1/3 0, x 0}, do công thức tính nón tiếp tuyến Bouligand cho hệ bất đẳng thức xác định bởi các hàm khả vi (xem Aubin và Frankowska (1990), tr. 124, hoặc Mệnh đề 2.2.2 trong Ch−¬ng 2) ta cã Tepi ϕ (x, ϕ(x)) = {(v1 , v2 ) ∈ R2 : (−2x sin(1/x) + cos(1/x))v1 + v2 0}.

(200) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 194 nÕu x < 0,. 1 Tepi ϕ (x, ϕ(x)) = {(v1 , v2 ) ∈ R2 : x−2/3 v1 + v2 0} 3 nÕu x > 0. V× vËy, ∗ ∗ N epi ϕ (x, ϕ(x)) = {λ (2x sin(1/x) − cos(1/x), −1) : λ 0}. nÕu x < 0, vµ 1 −2/3 ∗ , −1) : λ∗ 0} N epi ϕ (x, ϕ(x)) = {λ (− 3 x nÕu x > 0. ¸p dông (7.3) ta thu ®−îc Nepi ϕ (0, 0) = {(x∗ , y ∗ ) ∈ R2 : −|x∗ | y ∗ } ∪ (−∞, 0] × {0}. Do đó, ∂ϕ(0) = [−1, 1]. Nhận xét rằng (2.10), ở đó x̄ := 0 và ∂JL ϕ(0) := [−1, 1], không đúng với u = 1 vì rằng vế trái là −∞, trong khi vế phải là −1. V× thÕ, ∂ JL ϕ(0) lµ tËp låi comp¾c kh¸c rçng, nh−ng kh«ng ph¶i lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i 0. NhËn xÐt r»ng, trong c¸c vÝ dô 5.7.1 vµ 5.7.5, tËp ∞ ϕ(0) ∂ JL ϕ(0) := ∂ϕ(0) ∪ ∂M. lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i 0 (mÆc dï ∂ϕ(0) kh«ng ph¶i lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i 0). Ta cã thÓ nªu lªn 19 c©u hái sau: C©u hái 1’: Ph¶i ch¨ng víi mçi hµm vÐct¬ liªn tôc ϕ : Rn → IR vµ víi mäi x̄ ∈ Rn , hîp cña d−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n suy biÕn ∂ϕ(x̄) := ∂ JL ϕ(x̄) ∪ ∂ ∞ ϕ(x̄) lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i x̄? Cho đến nay, Câu hỏi 1’ vẫn ch−a có câu trả lời.. 5.8 Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ Đối đạo hàm là ánh xạ đa trị thuần nhất d−ơng. Tuy thế, đối với ánh xạ đối đạo hµm D∗ f (x̄)(·) cña mét hµm vÐct¬ liªn tôc f : Rn → Rm t¹i x̄ ∈ Rn cã thÓ không tồn tại tập đóng ∆ ⊂ L(Rn , Rm ) nào để (8.1) 19. D ∗ f (x̄)(y ∗ ) = {A∗ y ∗ : A ∈ ∆} ∀y ∗ ∈ IRm .. C©u hái nµy do mét trong hai ng−êi ph¶n biÖn cña bµi b¸o Nam vµ Yen (2007) nªu lªn..

(201) 5.8. Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ. 195. Vì thế, không thể so sánh khái niệm đối đạo hàm với khái niệm Jacobian xấp xỉ. Để v−ợt qua khó khăn đó, chúng ta cần đến định nghĩa sau. Định nghĩa 5.8.1. Một tập đóng khác rỗng ∆ ⊂ L(Rn , Rm ) các toán tử tuyến tính đ−ợc gọi là một đại diện 20 của ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (x̄)(ã) nếu (8.2). sup. x∗ ∈D ∗ f (x̄)(y ∗ ). x∗ , u = sup A∗ y ∗ , u A∈∆. ∀u ∈ Rn , ∀y ∗ ∈ Rm .. Do định lý tách các tập lồi, (8.2) t−ơng đ−ơng với điều kiện sau (8.3). coD∗ f (x̄)(y ∗ ) = co{A∗ y ∗ : A ∈ ∆}. ∀y ∗ ∈ Rm .. Nếu f là khả vi chặt tại x̄, thì ∆ := {f (x̄)} là một đại diện của ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (x̄)(ã). NÕu f : Rn → Rm lµ Lipschitz t¹i x̄, nghÜa lµ tån t¹i > 0 sao cho f (x ) − f (x) x − x víi mäi x, x ®−îc lÊy tïy ý trong mét l©n cËn cña x̄, khi đó tập JB f (x̄) = { lim f (xk ) : {xk } ⊂ Ωf , xk → x̄}, k→∞. đ−ợc gọi là B-đạo hàm, là một Jacobian xấp xỉ của f tại x̄. ở đây Ωf = {x ∈ Rn : ∃ đạo hàm Fréchet f (x) của f tại x}. NhËn xÐt r»ng tËp lín h¬n J Cl f (x̄) := co{ lim f (xk ) : {xk } ⊂ Ωf , xk → x̄} k→∞. (Jacobian suy réng Clarke) cña cña f t¹i x̄, còng lµ Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x̄. Trong tr−êng hîp m = 1, J Cl f (x̄) = ∂ Cl f (x̄) (xem Môc 5.2). Mệnh đề 5.8.1. Nếu hàm f : Rn → Rm là Lipschitz địa ph−ơng tại x̄, thì tập hợp ∆ := JB f (x̄) là một đại diện của ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (x̄)(ã). Chøng minh. Theo c«ng thøc (2.23) trong Mordukhovich (1994b), ta cã A∗ y ∗ : A ∈ J Cl f (x̄) = coD∗ f (x̄)(y ∗ ) ∀y ∗ ∈ Rm . Vì J Cl f (x̄) = coJB f (x̄), từ đó suy ra rằng coD∗ f (x̄)(y ∗ ) = co{A∗ y ∗ : A ∈ JB f (x̄)}. 20. TNTA: representative..

(202) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 196. Vậy (8.3) nghiệm đúng nếu ta chọn ∆ = JB f (x̄). Điều đó chứng tỏ rằng ∆ = JB f (x̄) là một đại diện của ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (x̄)(ã). 2 Mệnh đề 5.8.2. Nếu f là Lipschitz tại x̄ và nếu ∆ là một đại diện của ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (x̄)(ã), thì Jf (x̄) := ∆ là Jacobian xấp xỉ của f tại x̄. Chứng minh. Giả sử y ∗ ∈ Rm đ−ợc cho tùy ý. Theo Mệnh đề 2.11 trong Mordukhovich (1994b), ta cã D ∗ f (x̄)(y ∗ ) = ∂(y ∗ ◦ f )(x̄).. (8.4). V× y ∗ ◦ f lµ Lipschitz t¹i x̄, (y ∗ ◦ f )o (x̄; u) = sup{x∗ , u : x∗ ∈ ∂ Cl (y ∗ ◦ f )(x̄)} ∀u ∈ Rn . Kết hợp điều đó với (7.4) và (8.4), ta thu đ−ợc (y ∗ ◦ f )o (x; u) = sup{x∗ , u : x∗ ∈ D∗ f (x̄)(y ∗ )} = sup{A∗ y ∗ , u : A ∈ ∆}. Do đó, (y ∗ ◦ f )+ (x̄; u) (y ∗ ◦ f )o (x; u) = sup{y ∗ , Au : A ∈ ∆}. Vì tính chất đó đúng với mọi y∗ ∈ Rm và u ∈ Rn , ta kết luận rằng Jf (x̄) := ∆ lµ Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x̄. 2 Trong mối liên hệ với Mệnh đề 5.8.2, chúng ta có câu hỏi tự nhiên sau đây. C©u hái 2: Ph¶i ch¨ng nÕu f : Rn → Rm lµ hµm vÐct¬ liªn tôc vµ ∆ lµ mét đại diện của ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (x̄)(ã) : Rm ⇒ Rn , thì Jf (x̄) := ∆ là Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x̄? Kết hợp mệnh đề sau với mệnh đề 5.8.2 ta có câu trả lời khẳng định cho C©u hái 2. Mệnh đề 5.8.3. Nếu ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (x̄)(ã) : Rm ⇒ Rn của hàm số liên tục f : Rn → Rm có một đại diện Jf (x̄) ⊂ L(Rn , Rm ), thì f là Lipschitz địa ph−ơng tại x̄. Chøng minh. Tõ (8.3) suy ra r»ng coD∗ f (x̄)(0) = {0}. V× vËy, D ∗ f (x̄)(0) = {0}. Theo Mệnh đề 2.8 trong Mordukhovich (1988), điều đó kéo theo x → {f (x)} là ánh xạ đa trị giả-Lipschitz tại (x̄, f (x̄)). Vì f là ánh xạ đơn trị, ta có f là Lipschitz địa ph−ơng tại x̄. 2 Chúng ta xét thêm vài ví dụ ở đó ta sẽ tính d−ới vi phân Mordukhovich và đối đạo hàm của các hàm số và ánh xạ không trơn..

(203) 5.8. Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ. 197. Ví dụ 5.8.1. Giả sử hàm véctơ f : R → R2 đ−ợc xác định bởi công thức f (x) = (|x|1/2 , −|x|) với mọi x ∈ IR. Khi đó f là hàm số liên tục, không Lipschitz t¹i 0, vµ gph f = {(x, |x|1/2 , −|x|) : x ∈ R}. Sö dông (7.3) vµ c«ng Ω (x) đã đ−ợc nhắc lại ở Mục 5.7, ta có thể thøc tÝnh nãn ph¸p tuyÕn FrÐchet N chøng tá r»ng Ngph f ((0, 0, 0)) = N gph f ((0, 0, 0)) = R × (−∞, 0] × R. V× vËy, víi mçi y ∗ = (y1∗ , y2∗ ) ∈ R2 , ∗. ∗. D f (0)(y ) =. . R nÕu y1∗ 0, ∅ nÕu y1∗ < 0.. Vì f không là Lipschitz địa ph−ơng tại x̄ = 0, Mệnh đề 5.8.3 khẳng định ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (0)(ã) không có đại diện d−ới dạng một tập toán tử tuyến tính. Mét tÝnh to¸n trùc tiÕp cho thÊy r»ng, víi mçi y∗ = (y1∗ , y2∗ ) ∈ R2 vµ u ∈ IR, ta cã ⎧ +∞ nÕu y1∗ > 0, u = 0 ⎪ ⎪ ⎨ ∗ −|u|y2 nÕu y1∗ = 0 (y ∗ ◦ f )+ (0; u) = −∞ nÕu y1∗ < 0, u = 0 ⎪ ⎪ ⎩ 0 nÕu y1∗ < 0, u = 0. Nếu ta chọn Jf (0) = (−∞, 0] ì IR, x̄ = 0, và đặt Au = (αu, βu) với mäi A = (α, β) ∈ Jf (0), u ∈ IR, th× (7.8) kh«ng ®−îc tháa m·n v× r»ng sup y ∗ , Au = 0 nÕu y1∗ > 0, u > 0, y2∗ = 0, trong khi (y∗ ◦ f )+ (0; u) = A∈Jf (0). +∞. T−¬ng tù, nÕu ta chän Jf (0) = [0, +∞) × IR vµ x̄ = 0, th× (7.8) kh«ng ®−îc tháa m·n v× sup y ∗ , Au = 0 nÕu y1∗ > 0, u < 0, y2∗ = 0, (y∗. A∈Jf (0). ◦ = +∞. Vì thế, các tập Jf (0) đã chọn đều không trong khi ph¶i lµ Jacobian xÊp xØ cña f t¹i 0. MÆc dï vËy, tËp hîp kiÓu Jf (0) := {(−∞, −1] ∪ [2, +∞)} × IR lµ mét Jacobian xÊp xØ cña f t¹i 0. f )+ (0; u). VÝ dô 5.8.2. XÐt hµm sè f : R → R2 cho bëi c«ng thøc f (x) = (−|x|1/3 , x1/3 ) với mọi x ∈ IR. Ta có f là hàm số liên tục, không Lipschitz địa ph−ơng tại 0, vµ gph f = {(x, −|x|1/3 , x1/3 ) : x ∈ R}. Ω (x) áp dụng công thức (7.3) và công thức định nghĩa nón pháp tuyến Fréchet N đ−ợc đ−a ra ngay tr−ớc đó, ta có thể chứng tỏ rằng Ngph f ((0, 0, 0)) = N gph f ((0, 0, 0)) = R × W, ở đó W = {y∗ = (y1∗ , y2∗ ) ∈ R2 : −y1∗ y2∗ y1∗ }. Vì vậy, với mỗi y ∗ = (y1∗ , y2∗ ) ∈ R2 ta cã R nÕu y1∗ y2∗ −y1∗ D ∗ f (0)(y ∗ ) = ∅ trong tr−êng hîp cßn l¹i..

(204) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 198. ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (0)(ã) không có đại diện d−ới dạng một tập hợp toán. tö tuyÕn tÝnh. Cã thÓ chøng tá r»ng, víi mäi y∗ = (y1∗ , y2∗ ) ∈ R2 vµ u ∈ IR, ⎧ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎨ +∞ (y ∗ ◦ f )+ (0; u) = −∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −∞ ⎪ ⎩ +∞. nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu. u=0 y2∗ = y1∗ = 0, y2∗ − y1∗ = 0, y2∗ − y1∗ > 0, y2∗ − y1∗ < 0, y2∗ + y1∗ = 0, y2∗ + y1∗ > 0, y2∗ + y1∗ < 0,. u=0 u>0 u>0 u>0 u<0 u<0 u < 0.. Sö dông (2.8) ta cã thÓ chøng tá r»ng tËp Jf (0) = {(α, −α) : α 0} ∪ {(α, α) : α 0} lµ mét Jacobian xÊp xØ cña f t¹i 0 nÕu ta nhóng Jf (0) vµo L(R, R2 ) b»ng c¸ch đặt Au = (αu, βu) với mọi A = (α, β) ∈ Jf (0) và u ∈ IR. VÝ dô 5.8.3 (xem Mordukhovich (1988), tr. 65). §Æt f (x) = |x1 | − |x2 | víi mäi x = (x1 , x2 ) ∈ R2 vµ x̄ = (0, 0). Hµm f kh«ng låi, kh«ng lâm. Nã còng không là chính quy Clarke tại x̄ = (0, 0). Để xác định ánh xạ đối đạo hàm D ∗ f (x̄)(·) : R ⇒ R2 ta ph¶i tÝnh ®−îc nãn ph¸p tuyÕn Ngph f (x̄). §Ó ý r»ng gphf. = {(x1 , x2 , t) : = {(x1 , x2 , t) : ∪{(x1 , x2 , t) ∪{(x1 , x2 , t) ∪{(x1 , x2 , t). t = f (x1 , x2 )} x1 0, x2 0, t = x1 − x2 } : x1 0, x2 0, t = x1 + x2 } : x1 0, x2 0, t = −x1 + x2 } : x1 0, x2 0, t = −x1 − x2 }.. Ký hiÖu 4 tËp låi ®a diÖn trong hîp ë vÕ ph¶i lÇn l−ît bëi Γ1 , Γ2 , Γ3 , vµ Γ4 . Gi¶ sö z = (x1 , x2 , t) ∈ gphf . Nếu z thuộc vào phần trong t−ơng đối của Γ1 (t−ơng ứng, Γ2 , Γ3 , và Γ4 ), th× N gph f (z) = {λ(1, −1, −1) : λ ∈ R} (t−¬ng øng, Ngph f (z) = {λ(1, 1, −1) : λ ∈ R}, N gph f (z) = {λ(−1, 1, −1) : λ ∈ R}, vµ Ngph f (z) = {λ(−1, −1, −1) : λ ∈ R}). NÕu x1 > 0 vµ x2 = 0, th× z ∈ Γ1 ∩ Γ2 . V× TΓ1 (z) = {(v1 , v2 , α) ∈ R3 : v2 0, 0 = v1 − v2 − α}, sử dụng Bổ đề Farkas (xem Rockafellar (1970), tr. 200) ta có Γ (z) = {(η1 , η2 , θ) = −λ(0, 1, 0) − µ(1, −1, −1) : λ 0, µ ∈ R}. N 1.

(205) 5.8. Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ. 199. T−¬ng tù, Γ (z) = {(η1 , η2 , θ) = −λ (0, −1, 0) − µ (1, 1, −1) : λ 0, µ ∈ R}. N 2 Do N gph f (z) = NΓ1 (z) ∩ NΓ2 (z), ta suy ra r»ng N gph f (z) = {(−µ, µ − λ, µ) : 2µ λ 0}. Râ rµng r»ng nãn ph¸p tuyÕn FrÐchet nµy kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña z = 0 trªn nöa ®−êng th¼ng Γ1 ∩ Γ2 . NÕu x1 < 0 vµ x2 = 0, th× z ∈ Γ3 ∩ Γ4 . LËp luËn t−¬ng tù nh− trªn, ta thu ®−îc N gph f (z) = {(µ, λ − µ, µ) : 2µ λ 0}. NÕu x1 = 0 vµ x2 > 0, th× z ∈ Γ1 ∩ Γ4 vµ N gph f (z) = {(−λ − µ, µ, µ) : −2µ λ 0}. NÕu x1 = 0 vµ x2 < 0, th× z ∈ Γ2 ∩ Γ3 vµ N gph f (z) = {(−λ − µ, −µ, µ) : −2µ λ 0}. NÕu x1 = 0 vµ x2 = 0, th× z = (x̄, 0) ∈ Γ1 ∩ Γ2 ∩ Γ3 ∩ Γ4 . V× TΓ1 (x̄, 0) = {(v1 , v2 , α) : v1 0, v2 0, 0 = v1 − v2 − α}, do Bổ đề Farkas ta có Γ ((x̄, 0)) = {−λ1 (1, 0, 0)−λ2 (0, 1, 0)−µ(1, −1, −1) : λ1 0, λ2 0, µ ∈ IR}. N 1 Γ ((x̄, 0)) (i = 2, 3, 4). LËp luËn t−¬ng tù, ta tÝnh ®−îc c¸c nãn ph¸p tuyÕn N i Khi đó, sử dụng công thức N gph f (x̄, 0) =. 4 . Γ ((x̄, 0)) N i. i=1. ta cã thÓ chøng tá r»ng N gph f (x̄, 0) = {(0, 0, 0)}. Kết hợp các kết quả đã thu đ−ợc với công thức (2.3), ta có Ngph f ((x̄, 0)) = lim sup N gph f (z) z→(x̄,0). = cone{(1, −1, −1), (1, 1, −1), (−1, 1, −1), (−1, −1, −1)} ∪{(−µ, µ − λ, µ) : 2µ λ 0} ∪{(µ, λ − µ, µ) : 2µ λ 0} ∪{(−λ − µ, µ, µ) : −2µ λ 0} ∪{(−λ − µ, −µ, µ) : −2µ λ 0}..

(206) 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng. 200 Từ đó suy ra. ⎧ {(y ∗ , −y ∗ ), (y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , −y ∗ )} ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(−λ∗ + y ∗ , −y ∗ ) : 2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(−λ∗ + y ∗ , y ∗ ) : 2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ nÕu y∗ > 0, ⎨ D∗ f (x̄)(y ∗ ) = {(y ∗ , −y ∗ ), (y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , −y ∗ )} ⎪ ⎪ ∪{(y ∗ , −y ∗ − λ∗ ) : −2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(−y ∗ , y ∗ + λ∗ ) : −2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ nÕu y∗ < 0, ⎪ ⎩ {(0, 0)} nÕu y∗ = 0. Nh− vËy, víi mçi y∗ , D ∗ f (0)(y ∗ ) lµ mét tËp comp¾c kh¸c rçng (th−êng lµ kh«ng låi). Còng b»ng ph−¬ng ph¸p trªn, ta thu ®−îc Nepi f ((x̄, 0, ) = lim sup N epi f (z) z→(x̄,0). = cone{(1, −1, −1), (1, 1, −1), (−1, 1, −1), (−1, −1, −1)} ∪{(−λ − µ, µ, µ) : −2µ λ 0} ∪{(−λ − µ, −µ, µ) : −2µ λ 0}. Do đó, ∂f (x̄) = {x∗ : (x∗ , −1) ∈ Nepi f ((x̄, 0))} = {(1, −1), (1, 1), (−1, 1), (−1, −1)} ∪{(−λ∗ + 1, −1) : 2 λ∗ 0} ∪ {(−λ∗ + 1, 1) : 2 λ∗ 0} = {(λ∗ , 1) : −1 λ∗ 1} ∪ {(λ∗ , −1) : −1 λ∗ 1}. VËy ∂f (x̄) lµ tËp comp¾c, kh«ng låi. TËp hîp nµy lµ d−íi vi ph©n J-L cña f t¹i x̄. Tuy vậy, đó không phải d−ới vi phân J-L tối thiểu, vì rằng tập hợp ∂ JL f (x̄) := {(1, −1), (−1, 1)} còng lµ mét d−íi vi ph©n J-L cña f t¹i x̄ (xem Jeyakumar vµ Luc (1999))..

(207) Phô lôc A. 201. Phô lôc A §Ò thi hÕt m«n gi¶i tÝch ®a trÞ ë ViÖn To¸n häc (Ngµy thi: 26/8/2002. Líp Cao häc kho¸ 8) Bµi 1 (3 ®iÓm). (a) Nêu định nghĩa ánh xạ đa trị, đồ thị của ánh xạ đa trị, miền hữu hiệu và tËp ¶nh cña ¸nh x¹ ®a trÞ. (b) Xác định các tập gph F, dom F , rge F với F : R ⇒ IR đ−ợc cho bởi c«ng thøc F (x) = co{sin x, cos x} ∀x ∈ R. (c) Xét ph−ơng trình đại số xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an = 0, ở đó n 2 là số nguyên cho tr−ớc và a = (a1 , . . . , an ) là véctơ thực. Ký hiệu F (a) là tập hợp các nghiệm phức của ph−ơng trình đã cho. ánh xạ F : Rn ⇒ C, a → F (a), cã ph¶i lµ ¸nh x¹ ®a trÞ - cã gi¸ trÞ kh¸c rçng? - cã gi¸ trÞ comp¾c? - cã gi¸ trÞ låi? - có giá trị đóng? - trµn (tøc lµ rge F = C)? (Gîi ý: LÇn l−ît chøng tá r»ng: (i) Víi n = 2 th× F lµ trµn, (ii) Víi n > 2 th× F lµ trµn.) Bµi 2 (2 ®iÓm). (a) Ph¸t biÓu kh¸i niÖm ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn vµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liên tục d−ới. Cho hai ví dụ để chứng tỏ rằng đó là hai khái niệm có nội dung hoµn toµn kh¸c nhau. (b) Phát biểu và chứng minh định lý về sự bảo tồn tính liên thông tôpô qua ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc d−íi. Bµi 3 (2 ®iÓm). (a) Phát biểu định lý điểm bất động Kakutani. (b) Cho các ví dụ thích hợp để chứng tỏ rằng nếu trong phát biểu của định lý ta bá ®i mét trong 4 ®iÒu kiÖn sau (nh−ng vÉn gi÷ nguyªn 3 ®iÒu kiÖn kia) thì kết luận của định lý có thể không còn đúng nữa: (i) G lµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn, (ii) G cã gi¸ trÞ låi, (iii) G có giá trị đóng, (iv) G cã gi¸ trÞ kh¸c rçng, ở đó G là ánh xạ đa trị đ−ợc xét..

(208) Phô lôc A. 202. Bµi 4 (2 ®iÓm). b (x̄), C (x̄). Nªu (a) Phát biểu định nghĩa các nón tiếp tuyến TM (x̄), TM M mối quan hệ giữa các hình nón đó và hình nón cone(M − x̄). Nêu 3 ví dụ (không b (x̄), T b (x̄) = cần trình bày các tính toán) để chứng tỏ rằng CM (x̄) = TM M TM (x̄), TM (x̄) = cone(M − x̄). (b) Cho ¸nh x¹ ®a trÞ F : R ⇒ IR, F (x) = {y ∈ R : x2 + y 2 1, x − y + 1 0} ∀x ∈ R. - Hái F cã ph¶i lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi hay kh«ng? z ), ở đó z̄ = (−1, 0) và z = (0, 1). - TÝnh c¸c tËp Tgph F (z̄) vµ Tgph F ( - Viết công thức của các đạo hàm DFz̄ , DFz0, CFz̄ , và CFz0. Hỏi những đạo hàm đó có phải các quá trình lồi đóng hay không? có phải là các ánh xạ trµn hay kh«ng? Bµi 5 (1 ®iÓm). Chän gi¶i mét trong hai bµi tËp sau: 1. Cho X, Y lµ c¸c kh«ng gian t«p«, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn ë trong X. Chøng minh r»ng nÕu dom F lµ tËp comp¾c vµ F lµ ¸nh x¹ cã gi¸ trÞ comp¾c, th× rge F lµ tËp comp¾c. 2. Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có đồ thị đóng. Chứng minh rằng F (x) là tập đóng với mọi x ∈ X..

(209) Phô lôc B. 203. Phô lôc B §Ò thi hÕt m«n gi¶i tÝch ®a trÞ ë §¹i häc S− ph¹m Tp. Hå ChÝ Minh (Ngµy thi: 28/8/2003. Líp Sinh viªn chän, §HSP Tp. Hå ChÝ Minh) Bµi 1 (2 ®iÓm). Cho ¸nh x¹ ®a trÞ F : R ⇒ R, F (x) = {y ∈ R : y x3 }. (a) Xác định các tập dom F và rge F . (b) F cã ph¶i lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi hay kh«ng? (c) F có phải là ánh xạ đa trị đóng (tức là ánh xạ có đồ thị đóng) hay không? (d) ViÕt c«ng thøc tÝnh tËp F −1 (y) víi y ∈ IR. (e) Xác định tập hợp gph (F −1 ◦ F ). Tính tập (F −1 ◦ F )(x) với x ∈ IR. Bµi 2 (2 ®iÓm). Cho M = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 + x2 2, x2 x31 },. x̄ = (1, 1).. Tính hình nón Bouligand TM (x̄). Gọi G : R ⇒ IR là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón TM (x̄) đó. Xác định các tập dom G và rge G. Bµi 3 (2 ®iÓm). Cho X, Y lµ c¸c kh«ng gian t«p«, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ. Chøng minh r»ng nÕu (i) dom F lµ tËp liªn th«ng, (ii) F (x) lµ tËp liªn th«ng víi mäi x ∈ dom F , vµ (iii) F lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong X, th× rge F lµ tËp liªn th«ng. Bµi 4 (1 ®iÓm). Cho X, Y lµ c¸c kh«ng gian tuyÕn tÝnh, A : X → Y lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, K ⊂ Y lµ h×nh nãn låi. Chøng minh r»ng F : X ⇒ Y cho bëi c«ng thøc F (x) = Ax + K (x ∈ X) lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi. Chøng minh r»ng F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ thuÇn nhÊt d−¬ng, tøc lµ F (λx) = λF (x) (∀x ∈ X, ∀λ 0). Bµi 5 (1 ®iÓm). Cho X, Y lµ c¸c kh«ng gian t«p«, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ có đồ thị đóng. Chứng minh rằng F (x) là đóng với mọi x ∈ X. Bµi 6 (1 ®iÓm). Cho X, Y lµ c¸c kh«ng gian t«p«, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn ë trong X. Chøng minh r»ng nÕu dom F lµ tËp comp¾c vµ F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ cã gi¸ trÞ comp¾c th× rge F lµ tËp comp¾c. Bài 7 (1 điểm). Cho X, Y , Z là các không gian định chuẩn, F : X ⇒ Y và F : Y ⇒ Z lµ c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ låi. Chøng minh r»ng G ◦ F : X ⇒ Z lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi. L−u ý: NÕu sè ng−êi gi¶i ®−îc c¸c c©u 5-7 kh«ng nhiÒu, th× ®iÓm cho c¸c c©u này sẽ đ−ợc nhân đôi..

(210) 204. Phô lôc B.

(211) Tµi liÖu tham kh¶o. 205. Tµi liÖu tham kh¶o 1. J.-P. Aubin (1981), Contingent derivatives of set-valued maps and existence of solutions to nonlinear inclusions and differential inclusions, Advances in Mathematics, Supplementary studies (L. Nachbin, Ed.), 160– 232. 2. J.-P. Aubin (1984), Lipschitz behavior of solutions to convex minimization problems, Mathematics of Operations Research Vol. 9, 87–111. 3. J.-P. Aubin and A. Cellina (1984), Differential Inclusions. Set-Valued Maps and Viability Theory, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg. 4. J.-P. Aubin and I. Ekeland (1984), Applied Nonlinear Analysis, John Wiley & Sons, Wiley-Interscience. 5. J.-P. Aubin and H. Frankowska (1987), On inverse function theorem for set-valued maps, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées Vol. 66, 71–89. 6. J.-P. Aubin and H. Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Birkhauser, Berlin. 7. A. Auslender (1979), Differential stability in nonconvex and nondifferentiable programming, Mathematical Programming Study Vol. 10, 29–41. 8. A. Auslender and M. Teboulle (2003), Asymptotic Cones and Functions in Optimization and Variational Inequalities, Springer, New York. 9. C. Berge (1959), Espaces topologiques: Fonctions multivoques, Dunod, Paris. 10. J. F. Bonnans and A. Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer, New York. 11. J. M. Borwein (1986), Stability and regular points of inequality systems, Journal of Optimization Theory and Applications Vol. 48, 9–52. 12. J. M. Borwein and Q. J. Zhu (2005), Techniques of Variational Analysis, Springer, New York. 13. J. M. Borwein and D. M. Zhuang (1988), Verifiable necessary and sufficient conditions for regularity of set-valued and single-valued maps, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol. 134, 441–459..

(212) 206. Tµi liÖu tham kh¶o. 14. G. Bouligand (1930), Sur les surfaces dÐpourvues de points hyperlimits, Ann. Soc. Polon. Math. Vol. 9, 32–41. 15. C. Castaing and M. Valadier (1977), Convex Analysis and Measurable Functions, Springer-Verlag. 16. Nguyễn Huy Chiêu (2004), Sự tồn tại lát cắt đặc biệt của ánh xạ đa trị và kh¸i niÖm tÝch ph©n Aumann, LuËn v¨n Th¹c sÜ to¸n häc, §¹i häc Vinh, 2004. 17. N. H. Chieu (2006a), A Newton-Leibniz formula for the integration of the Clarke subdifferential mapping (bản thảo đã gửi đăng). 18. N. H. Chieu (2006b), The contingent cone of the product of two sequential sets in the real line (bản thảo đã gửi đăng). 19. N. H. Chieu (2006c), Integral of subdifferential mappings and subdifferential of integral functionals (bản thảo đã gửi đăng). 20. F. H. Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York. 21. B. D. Craven (1978), Mathematical Programming and Control Theory, Chapman and Hall, London. 22. P. H. Dien (1982), Locally Lipschitzian set-valued maps and generalized extremal problems, Acta Mathematica Vietnamica Vol. 8, 109–122. 23. P. H. Dien (1985), On the regularity condition for the extremal problem under locally Lipschitz inclusion constraints, Applied Mathematics and Optimization Vol. 13, 151–161. 24. P. H. Dien and P. H. Sach (1989), Further properties of the regularity of inclusion systems, Nonlinear Analysis Vol. 13, 1251–1267. 25. P. H. Dien and N. D. Yen (1991), On implicit function theorems for setvalued maps and their applications to mathematical programming under inclusion constraints, Applied Mathematics and Optimization Vol. 24, 35–54. 26. A. L. Donchev and R. T. Rockafellar (1996), Characterizations of strong regularity for variational inequalities over polyhedral convex sets, SIAM Journal on Optimization Vol. 6, 1087–1105. 27. I. Ekeland (1974), On the variational principle, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol. 47, 324–353..

(213) Tµi liÖu tham kh¶o. 207. 28. J. Gauvin (1979), The generalized gradient of a marginal function in mathematical programming, Mathematics of Operations Research Vol. 4, 458– 463. 29. J. Gauvin and F. Dubeau (1982), Differential properties of the marginal function in mathematical programming, Mathematical Programming Study Vol. 19, 101–119. 30. J. Gauvin and F. Dubeau (1984), Some examples and counterexamples for the stability analysis of nonlinear programming problems, Mathematical Programming Study Vol. 21, 69–78. 31. J. Gauvin and J. W. Tolle (1977), Differential stability in nonlinear programming, SIAM Journal on Control and Optimization Vol. 15, 294–311. 32. B. Gollan (1984), On the marginal function in nonlinear programming, Mathematics of Operations Research Vol. 9, 208–221. 33. V. V. Gorokhovik and P. P. Zabreiko (2005), On Fréchet differentiability of multifunctions, Optimization Vol. 54, 391–409. 34. T. X. D. Ha (2005), Lagrange multipliers for set-valued problems associated with coderivatives, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol. 311, 647–663. 35. R. B. Holmes (1974), Geometric Functional Analysis and Its Applications, Springer. 36. A. D. Ioffe (2000), Codirectional compactness, metric regularity and subdifferential calculus, Canadian Mathematical Society Conference Proceedings Vol. 27, 123–163. 37. A. D. Ioffe and V. M. Tihomirov (1979), Theory of Extremal Problems, North-Holland Publishing Company. 38. V. Jeyakumar and D. T. Luc (1998), Approximate Jacobian matrices for nonsmooth continuous maps and C1 -optimization, SIAM Journal on Control and Optimization Vol. 36, 1815–1832. 39. V. Jeyakumar and D. T. Luc (1999), Nonsmooth calculus, minimality, and monotonicity of convexificators, Journal of Optimization Theory and Applications Vol. 101, 599–621. 40. V. Jeyakumar and D. T. Luc (2002a), An open mapping theorem using unbounded generalized Jacobians, Nonlinear Analysis Vol. 50, 647–663..

(214) 208. Tµi liÖu tham kh¶o. 41. V. Jeyakumar and D. T. Luc (2002b), Convex interior mapping theorems for continuous nonsmooth functions and optimization, Journal of Nonlinear and Convex Analysis Vol. 3, 251–266. 42. V. Jeyakumar and X. Wang (1999), Approximate Hessian matrices and second-order optimality conditions for nonlinear programming problems with C 1 -data, Journal of the Australian Mathematical Society Series B Vol. 40, 403–420. 43. V. Jeyakumar and N. D. Yen (2004), Solution stability of nonsmooth continuous systems with applications to cone-constrained optimization, SIAM Journal on Optimization Vol. 14, 1106–1127. 44. A. Jourani (2000), Hoffman’s error bound, local controllability, and sensitivity analysis, SIAM Journal on Control and Optimization Vol. 38, 947–970. 45. J. L. Kelley (1957), General Topology, D. Van Nostrand Company, New York. 46. P. K. Khanh (1986), An induction theorem and general open mapping theorems, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol. 118, 519–534. 47. P. K. Khanh (1988), An open mapping theorem for families of multifunctions, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol. 132, 491–498. 48. P. K. Khanh (1989), On general open mapping theorems, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol. 144, 305–312. 49. B. T. Kien, J.-C. Yao and N. D. Yen (2007), On the solution existence of pseudomonotone variational inequalities, Journal of Global Optimization (đã đ−ợc nhận đăng). 50. A. Ja. Kruger and B. Mordukhovich (1980), Extremal points and the Euler equation in nonsmooth optimization problems (in Russian), Dokl. Akad. Nauk BSSR Vol. 24, 684–687 (tiÕng Nga). 51. G. M. Lee, N. N. Tam and N. D. Yen (2005), Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study, Series: “Nonconvex Optimization and its Applications”, Vol. 78, Springer, New York. 52. D. T. Luc (1989), Theory of Vector Optimization, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems Vol. 319, Springer, Berlin-Heidelberg..

(215) Tµi liÖu tham kh¶o. 209. 53. D. T. Luc (2003), A Multiplier rule for multiobjective programming problems with continuous data, SIAM Journal on Optimization Vol. 13, 168– 178. 54. D. T. Luc and C. Malivert (1992), Invex optimisation problems, Bulletin of the Australian Mathematical Society Vol. 46, 47–66. 55. Y. Lucet and J. J. Ye (2001, 2002), Sensitivity analysis of the value function for optimization problems with variational inequality constraints, SIAM Journal on Control and Optimization Vol. 40, 699–723; Erratum. SIAM Journal on Control and Optimization Vol. 41, 1315–1319. 56. Z. Q. Luo, J.-S. Pang and D. Ralph (1996), Mathematical Programs with Equilibrium Constraints, Cambridge University Press, Cambridge, UK. 57. O. L. Mangasarian and T. H. Shiau (1987), Lipschitz continuity of solutions of linear inequalities, programs and complementarity problems, SIAM Journal on Control and Optimization Vol. 25, 583–595. 58. H. Maurer and J. Zowe (1979), First and second-order necessary and sufficient optimality conditions for infinite-dimensional programming problems, Mathematical Programming Vol. 16, 98–110. 59. B. S. Mordukhovich (1976), Maximum principle in the problem of time response with nonsmooth constraints, Journal of Applied Mathematics and Mechanics Vol. 40, 960–969. 60. B. S. Mordukhovich (1988), Approximation Methods in Problems of Optimization and Control (in Russian), Nauka, Moscow. 61. B. S. Mordukhovich (1992), Sensitivity analysis in nonsmooth optimization, in “Theoretical Aspects of Industrial Design” (D. A. Field and V. Komkov, Eds.), pp. 32–46, SIAM Publications. 62. B. S. Mordukhovich (1993), Complete characterization of openness, metric regularity, and Lipschitzian properties of multifunctions, Transactions of the American Mathematical Society Vol. 340, 1–36. 63. B. S. Mordukhovich (1994a), Lipschitzian stability of constraint systems and generalized equations, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications Vol. 22, 173–206. 64. B. S. Mordukhovich (1994b), Generalized differential calculus for nonsmooth and set-valued mappings, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol. 183, 250–288..

(216) 210. Tµi liÖu tham kh¶o. 65. B. S. Mordukhovich (1994c), Stability theory for parametric generalized equations and variational inequalities via nonsmooth analysis, Transactions of the American Mathematical Society Vol. 343, 609–658. 66. B. S. Mordukhovich (1994d), Sensitivity analysis for constraint and variational systems by using set-valued differentiation, Optimization Vol. 31, 13–46. 67. B. S. Mordukhovich (2006a), Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic Theory, Springer. 68. B. S. Mordukhovich (2006b), Variational Analysis and Generalized Differentiation, II: Applications, Springer. 69. B. S. Mordukhovich and N. M. Nam (2005a), Variational stability and marginal functions via generalized differentiation, Mathematics of Operations Research Vol. 30, 800–816. 70. B. S. Mordukhovich and N. M. Nam (2005b), Subgradient of distance functions with some applications to Lipschitzian stability, Mathematical Progrgamming Vol. 104, 635–668. 71. B. S. Mordukhovich and N. M. Nam (2006), Subgradients of distance functions at out-of-state points, Taiwanese Journal of Mathematics Vol. 10, 299–326. 72. B. S. Mordukhovich, N. M. Nam and N. D. Yen (2006), Fréchet subdifferential calculus and optimality conditions in nondifferentiable programming, Optimization Vol. 55, 685–708. 73. B. S. Mordukhovich, N. M. Nam and N. D. Yen (2007), Subgradients of marginal functions in parametric mathematical programming, Mathematical Programming (đã đ−ợc nhận đăng). 74. B. S. Mordukhovich and Y. Shao (1995), Differential characterizations of covering, metric regularity, and Lipschitzian properties of multifunctions between Banach spaces, Nonlinear Analysis Vol. 25, 1401–1424. 75. B. S. Mordukhovich and Y. Shao (1996a), Nonsmooth analysis in Asplund spaces, Transactions of the American Mathematical Society Vol. 348, 1230–1280. 76. B. S. Mordukhovich and Y. Shao (1996b), Nonconvex differential calculus for infinite-dimensional multifunctions, Set-Valued Analysis Vol. 4, 205– 236..

(217) Tµi liÖu tham kh¶o. 211. 77. N. M. Nam and N. D. Yen (2007), Relationships between approximate Jacobians and coderivatives, Journal of Nonlinear and Convex Analysis (đã đ−ợc nhận đăng). 78. H. V. Ngai, D. T. Luc and M. Thera (2000), Approximate convex functions, Journal of Nonlinear and Convex Analysis Vol. 1, 155–176. 79. J. V. Outrata, M. Kocvara and J. Zowe (1998), Nonsmooth Approach to Optimization Problems with Equilibrium Constraints, Kluwer, Dordrecht, The Netherlands. 80. J.-P. Penot (1989), Metric regularity, openness, and Lipschitzian behavior of multifunctions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications Vol. 13, 629–643. 81. R. R. Phelps (1993), Convex Functions, Monotone Operators and Differentiability, 2nd Edition, Springer, Berlin. 82. H. T. Phung and P. H. Dien (1991), Solving nonsmooth inclusions in the convex case, Z. Oper. Res. Vol. 35, 401–424. 83. S. M. Robinson (1976a), Regularity and stability for convex multivalued functions, Mathematics of Operations Research Vol. 1, 130–143. 84. S. M. Robinson (1976b), Stability theory for systems of inequalities, Part 2: Differentiable nonlinear systems, SIAM Journal on Numerical Analysis Vol. 13, 497–513. 85. S. M. Robinson (1979), Generalized equations and their solutions, Part I: Basic theory, Mathematical Programming Study Vol. 10, 128–141. 86. S. M. Robinson (1981), Some continuity properties of polyhedral multifunctions, Mathematical Programming Study Vol. 14, 206–214. 87. R. T. Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey. 88. R. T. Rockafellar (1982), Lagrange multipliers and subderivatives of optimal value functions in nonlinear programming, Mathematical Programming Study Vol. 17, 28–66. 89. R. T. Rockafellar (1985), Extensions of subgradient calculus with applications to optimization, Nonlinear Analysis Vol. 9, 665–698. 90. R. T. Rockafellar and R. J-B. Wets (1998), Variational Analysis, SpringerVerlag, Berlin-Heidelberg..

(218) 212. Tµi liÖu tham kh¶o. 91. W. Rudin (1976), Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill. 92. W. Rudin (1987), Real and Complex Analysis, Third Edition, McGrawHill. 93. W. Rudin (1991), Functional Analyis, Second Edition, McGraw-Hill. 94. P. H. Sach (1988a), Differentiability of set-valued maps in Banach spaces, Mathematische Nachrichten Vol. 139, 215–235. 95. P. H. Sach (1988b), Regularity, calmness and support principle, Optimization Vol. 19, 13–27. 96. P. H. Sach (1996), Sufficient conditions for generalized convex set-valued maps, Optimization Vol. 37, 293–304. 97. P. H. Sach and N. D. Yen (1997), Convexity criteria for set-valued maps, Set-Valued Analysis Vol. 5, 37–45. 98. F. Severi (1930), Su ancune questioni di topologia infinitesimale, Ann. Soc. Polon. Math. Vol. 9, 97–108. 99. Nguyễn Xuân Tấn và Nguyễn Bá Minh (2006), Một số vấn đề trong lý thuyÕt tèi −u vÐct¬ ®a trÞ, Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc, Hµ Néi. 100. L. Thibault (1991), On subdifferentials of optimal value functions, SIAM Journal on Control and Optimization Vol. 29, 1019–1036. 101. L. Thibault and D. Zagrodny (1995), Integration of subdifferentials of lower semicontinuous functions on Banach spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol. 189, 33–58. 102. Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và Giải tích hàm (Giải tích hiện đại), NXB đại học Quốc gia Hà Nội. 103. C. Ursescu (1975), Multifunctions with convex closed graph, Cechoslovak Mathematical Journal Vol. 25, 438–441. 104. D. W. Walkup and R. J.-B. Wets (1969), A Lipschitzian characterization of convex polyhedra, Proceedings of the American Mathematical Society Vol. 23, 167–173. 105. X. Wang (2000), A Generalized Jacobian and Nonsmooth Optimization, Ph. D. Thesis, University of New South Wales, Sydney..

(219) Tµi liÖu tham kh¶o. 213. 106. X. Wang and V. Jeyakumar (2000), A Sharp Lagrange multiplier rule for nonsmooth mathematical programming problems involving equality constraints, SIAM Journal on Optimization Vol. 10, 1136–1148. 107. A. R. Warburton (1983), Quasiconcave vector maximization: Connectedness of the sets of Pareto-optimal and weak Pareto-optimal alternatives, Journal of Optimization Theory and Applications Vol. 40, 537–557. 108. Z. Wu and J. J. Ye (2000), Some results on integration of subdifferentials, Nonlinear Analyis Vol. 39, 955–976. 109. J. J. Ye (2001), Multiplier rules under mixed assumptions of differentiability and Lipschitz continuity, SIAM Journal on Optimization Vol. 39, 1441–1460. 110. N. D. Yen (1987), Implicit function theorems for set-valued maps, Acta Mathematica Vietnamica Vol. 12, No. 2, 17–28. 111. N. D. Yen (1997), Stability of the solution set of perturbed nonsmooth inequality systems and application, Journal of Optimization Theory and Applications Vol. 93, 199–225. 112. E. Zeidler (1986), Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, I. Fixed-Point Theorems, Springer-Verlag, Berlin..

(220) 214. Tµi liÖu tham kh¶o.

(221) Index B-đạo hàm, 195 σ-đại số, 78 đủ theo độ đo, 88 Borel, 78 ε-cùc tiÓu, 52 ε-d−íi gradient FrÐchet, 108 ε-d−íi vi ph©n FrÐchet, 108 §Þnh lý điểm bất động Brouwer, 32 điểm bất động Ky Fan, 35 điểm bất động Schauder, 32 ¸nh x¹ më, 41 ¸nh x¹ më Banach, 42 Baire, 40 Banach-Alaoglu, 39 Castaing, 85 Cellina, 96 Kakutani, 36 Ky Fan, 31 Lyapunov, 94 Michael, 95 Robinson-Ursescu, 38 t¸ch c¸c tËp låi, 34 vÒ sù tån t¹i ®iÓm c©n b»ng, 33 von Neumann, 82 Walkup-Wets, 12 Weierstrass, 22, 39 đại diện của ánh xạ đối đạo hàm, 195 đạo hàm Bouligand, 71 Clarke, 71. contingent, 71 kÒ, 71 đạo hàm của hàm hợp, 75 đạo hàm theo h−ớng Clarke, 98, 104 Clarke-Rockafellar, 190 Dini trªn, 156 định lý đạo hàm của hàm hợp, 158 ¸nh x¹ më ®a trÞ, 174 hµm ng−îc ®a trÞ, 174 định lý hàm ng−ợc, 74 đồ thị, 10 đối đạo hàm Clarke, 189 FrÐchet, 113 Mordukhovich, 104, 113, 189 độ đo kh«ng cã nguyªn tö, 93, 94 độ đo d−ơng, 88 σ-h÷u h¹n, 88 ®iÒu kiÖn chÝnh quy, 159 chÝnh quy rµng buéc, 141 chuÈn hãa rµng buéc MangasarianFromovitz, 70 chuÈn ho¸ rµng buéc, 132 Fritz-John suy réng, 175 Kuhn-Tucker suy réng, 177 MFCQ, 70 ®iÒu kiÖn chÝnh quy, 57 Mangasarian-Fromovitz, 145 ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ rµng buéc, 57 Mangasarian-Fromovitz, 145 215.

(222) Danh môc tõ khãa. 216 ®iÓm c©n b»ng, 17, 42 ®iÓm cùc biªn, 94 ánh xạ đơn trị, 9 đơn giản, 79 ®o ®−îc, 78 liªn tôc, 19 Lipschitz địa ph−ơng, 45, 96 Lipschitz trên địa ph−ơng, 45, 123 ¸nh x¹ ®a trÞ, 9 K-låi, 73 đóng, 11 ®a diÖn, 45 ®o ®−îc, 79 bao đóng, 14 bao låi, 14 có đồ thị đóng, 11 có giá trị đóng, 11 cã gi¸ trÞ låi, 11 có lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng, 123 chÝnh quy ph¸p tuyÕn, 114 comp¾c ph¸p tuyÕn riªng rÏ theo d·y (PSNC), 119 comp¾c ph¸p tuyÕn theo d·y (SNC), 119 gi¶-Lipschitz, 46, 74, 140 giíi néi kh¶ tÝch, 91, 99 hªmi liªn tôc trªn, 30 kh«ng ®o ®−îc, 79 låi, 11 låi theo nãn, 73 liªn tôc, 20 liªn tôc theo Aubin, 46, 140 Lipschitz, 96 Lipschitz địa ph−ơng, 45, 96 Lipschitz trên địa ph−ơng, 45 m« t¶ rµng buéc, 116 nöa liªn tôc d−íi, 20 nöa liªn tôc trªn, 19, 24, 91, 96 nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff, 26. ¸nh ¸nh ¸nh ¸nh. xạ đa trị trên-đồ-thị, 190 x¹ hîp, 15 x¹ ng−îc, 10 x¹ nghiÖm, 117 µ-b¸n-comp¾c néi bé, 137 µ-nöa liªn tôc d−íi néi bé, 137 ¸nh x¹ tÝch, 15 bµi to¸n quy ho¹ch låi, 17 bµi to¸n quy ho¹ch toµn ph−¬ng phô thuéc tham sè, 16 bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc cã rµng buéc c©n b»ng, 134 bµi to¸n tèi −u, 15 cã rµng buéc c©n b»ng, 147 cã tham sè, 117 phô thuéc tham sè, 15 Bất đẳng thức Ky Fan, 31 Bổ đề Farkas, 198 Mazur, 39 Urysohn, 29 bao đóng, 13 bao låi, 13 biªn, 37 chuÈn cña qu¸ tr×nh låi, 38 d−íi gradient FrÐchet, 120 proximal, 109 d−íi vi ph©n Clarke, 98, 104, 190 FrÐchet, 108 FrÐchet trªn, 108 gÇn kÒ, 109 J-L, 191 tèi thiÓu, 191 kh«ng låi, 104 proximal, 109 qua giíi h¹n, 110 suy biÕn, 111 suy biÕn, 111.

(223) Danh môc tõ khãa d−íi vi ph©n Mordukhovich, 110 d−íi vi ph©n suy biÕn Clarke, 190 d−íi vi ph©n suy réng Clarke, 157 giíi h¹n theo PainlevÐ-Kuratowski, 63, 108 hµm hµm hµm hµm. Èn, 154 chØ, 111 gi¸, 116 gi¸ trÞ tèi −u, 16, 117 liªn tôc, 178 Lipschitz địa ph−ơng, 179 hµm lâm, 15 hµm låi, 15 liªn tôc, 40 Lipschitz địa ph−ơng, 40 hµm Lagrange, 129, 144 hµm môc tiªu, 116 hµm marginal, 16, 117 hµm sè chÝnh quy Clarke t¹i mét ®iÓm, 99 chÝnh quy d−íi, 111 epi-comp¾c ph¸p tuyÕn theo d·y (SNEC), 120 kh¶ vi chÆt, 100, 110, 133 låi, 110 hµm sè thùc suy réng tËp møc, 41 hµm tùa, 30 hµm vÐct¬ kh¶ vi chÆt, 100, 110 Lipschitz địa ph−ơng, 157 hệ bất đẳng thức liªn tôc, 154 Lipschitz địa ph−ơng, 154 tr¬n, 154 hÖ biÕn ph©n cã tham sè, 134, 147. 217 h×nh nãn sinh, 33 họ đạo hàm K-đơn điệu, 73 đơn điệu theo nón, 73 Jacobian xÊp xØ, 156 tèi thiÓu, 191 kh«ng gian ®o ®−îc, 78 Asplund, 110 không gian có độ đo, 88 kh«ng gian mªtric kh¶ li, 78 kh«ng gian t«p«, 18 comp¾c, 23 liªn th«ng, 23 l¸t c¾t, 81 ®o ®−îc, 82 kh¶ tÝch, 91 liªn tôc, 82 Lipschitz, 97 Lipschitz địa ph−ơng, 82 Lipschitz trên địa ph−ơng, 123 miÒn ¶nh, 10 miÒn h÷u hiÖu, 10 nãn kÒ, 60 nãn lïi xa, 156 nãn ph¸p tuyÕn cña tËp låi, 17, 33 Clarke, 104, 188 FrÐchet, 111 kh«ng låi, 104 Mordukhovich, 111 qua giíi h¹n, 111 nãn tiÕp tuyÕn Bouligand, 54, 189 cña tËp låi, 17, 33 Clarke, 60, 104, 188 lµm trßn, 60 trung gian, 60.

(224) 218 nghiệm địa ph−ơng, 16 nguyªn lý biÕn ph©n cho d−íi vi ph©n, 128 Ekeland, 47, 52, 166, 171 nh©n tö Lagrange, 129 nhiÔu chÊp nhËn ®−îc, 159 phân hoạch đơn vị, 28 ph−¬ng tr×nh suy réng phô thuéc tham sè, 134, 147 qu¸ tr×nh låi, 37 đóng, 37, 41 cã chuÈn h÷u h¹n, 43 quy t¾c nh©n tö Lagrange, 177 rµng buéc c©n b»ng cã tham sè, 134, 147 t«p«, 18 t−¬ng øng víi mªtric, 19 t«p« c¶m sinh, 19 t«p« yÕu∗ , 108 tập đóng, 18 tËp hîp đóng địa ph−ơng, 112 ®o ®−îc theo Lebesgue, 79 cã tÝnh chÊt kh¶ vi t¹i mét ®iÓm, 63 chÝnh quy tiÕp tuyÕn t¹i mét ®iÓm, 63 comp¾c ph¸p tuyÕn theo d·y (SNC), 118 kh«ng ®o ®−îc theo Lebesgue, 79 m−ît t¹i mét ®iÓm, 63 tËp låi ®a diÖn, 11 tËp më, 18 tËp rµng buéc, 16 tÝch ph©n Aumann, 92 tÝch ph©n Aumann. Danh môc tõ khãa cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Clarke, 99 cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n FrÐchet, 148 cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Mordukhovich, 148 tính ổn định nghiệm, 159, 165 tÝnh chÝnh quy mªtric, 169 tÝnh gi¶-Lipschitz, 170 tÝnh trµn, 158 to¸n tö liªn hîp, 107 vÐct¬ ε-ph¸p tuyÕn FrÐchet, 112.

(225)

Giáo trình giải tích đa trị – Nguyễn Đông Yên

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về