Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung Xác suất thống kê

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
---------    ---------

DƯƠNG THU HƯƠNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC
CHO HỌC SINH THƠNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG
XÁC SUẤT- THỐNG KÊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HÀ NỘI – 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
---------    ---------

DƯƠNG THU HƯƠNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC
CHO HỌC SINH THƠNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG
XÁC SUẤT- THỐNG KÊ

Chuyên ngành: LL và PPDH bộ mơn Tốn
Mã số: 8140111
LUẬN VĂN THẠC SĨ: TỐN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Chu Cẩm Thơ

HÀ NỘI – 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình và kết quả nghiên cứu của riêng tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, chưa từng
được công bố trong bất kỳ một cơng trình nào khác cho đến hiện tại.

Hà Nội, tháng 6 năm 2019

Dương Thu Hương

3


LỜI CẢM ƠN

Tơi xin được bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến:
PGS.TS Chu Cẩm Thơ đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tơi
trong q trình học tập, nghiên cứu và thực hiện đề tài.
Ban giám hiệu, q thầy cơ trong khoa Tốn trường Đại học Sư phạm
Hà Nội đã tận tình giảng dạy những kiến thức chuyên môn hết sức quý báu.
Ban giám hiệu, các thầy cơ bộ mơn Tốn và các em học sinh trường
THPT Chuyên Lương Văn Tụy, THPT Ninh Bình- Bạc Liêu, THPT Đinh Tiên
Hồng, THPT n Khánh A, tỉnh Ninh Bình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi
trong q trình tiến hành viết luận văn và thực nghiệm sư phạm.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè và
đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tơi trong q trình học tập và thực hiện đề
tài.

Hà Nội, tháng 6 năm 2019

Dương Thu Hương

4


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN............................................................................................3
LỜI CẢM ƠN..................................................................................................4
DANH MỤC VIẾT TẮT.................................................................................7
PHẦN MỞ ĐẦU..............................................................................................8
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN....................................13
1.1. Một số vấn đề về lý luận.............................................................................................13
1.1.1. Các định nghĩa..................................................................................................13
1.1.2. Mối liên hệ giữa mơ hình hóa và nội dung tốn.............................................15
1.1.3 Quy trình mơ hình hóa Tốn học......................................................................17
1.1.4. Các kỹ năng của năng lực mơ hình hóa..........................................................22
1.1.5. Các cấp độ trong năng lực mơ hình hố của học sinh...................................22
1.1.6. Ý nghĩa của việc đưa MHH toán học vào dạy học ở phổ thơng.....................25
1.2. Tình hình thực trạng sử dụng phương pháp mơ hình hóa tốn học trong dạy
học tốn ở một số trường THPT trên địa bàn tỉnh Ninh Bình....................................26
1.2.1 Mục tiêu giáo dục và mục tiêu dạy học mơn Tốn trong nhà trường phổ thông
theo định hướng phát triển năng lực người học.......................................................26
1.2.2. Thực trạng dạy học Toán trong trường phổ thông hiện nay..........................29
1.3. Kết luận chương I.......................................................................................................40

CHƯƠNG II: VẬN DỤNG MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC.......................41
TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT Ở
TRƯỜNG THPT...........................................................................................41

2.1. Định hướng xây dựng các biện pháp để phát triển năng lực mô hình hóa vào
trong dạy học mơn Tốn....................................................................................................41
2.2. Một số biện pháp giúp phát triển năng lực mơ hình hóa trong dạy học nội dung
thống kê và xác suất...........................................................................................................42
5


2.3. Xây dựng nội dung dạy xác suất thống kê có sử dụng mơ hình hóa tốn học ở
bậc THPT............................................................................................................................43
2.3.1. Nội dung thống kê và xác suất trong chương trình mơn Tốn ở trường phổ
thơng............................................................................................................................43
2.3.2. Một số bài tốn thống kê và xác suất có nội dung thực tiễn có thể đưa vào
quá trình dạy học........................................................................................................47
2.3.3. Xây dựng nội dung dạy học thống kê và xác suất có sử dụng mơ hình hóa
tốn học.......................................................................................................................54
2.4. Kết luận chương II.....................................................................................................57

CHƯƠNG III. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.............................................58
3.1. Mục đích thực nghiệm...............................................................................................58
3.2. Nội dung thực nghiệm................................................................................................58
3.3. Tổ chức thực nghiệm..................................................................................................59
3.3.1. Công tác chuẩn bị.............................................................................................59
3.3.2. Chọn lớp thử nghiệm........................................................................................60
3.3.3. Tiến hành thực nghiệm....................................................................................62
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm..................................................................................62
3.4.1. Đánh giá định tính............................................................................................62
3.4.2. Đánh giá định lượng.........................................................................................68
3.5. Kết luận chương III....................................................................................................77

TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................78

6


DANH MỤC VIẾT TẮT
STT
1

Viết tắt
GV

Viết đầy đủ
Giáo viên

2

HS

Học sinh

3

MHH

Mơ hình hóa

4

NL

Năng lực

5

NLMHH

Năng lực mơ hình hóa

6

PPDH

Phương pháp dạy học

7

THPT

Trung học phổ thông

7


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay, nền giáo dục Việt Nam đang hướng tới là một nền giáo dục
tiến bộ, hiện đại, ngang tầm với các nước trong khu vực và thế giới, định
hướng “ học để làm” là một trong bốn trụ cột của giáo dục của Unessco đã đề
ra. Trong chương I, điều 3, khoản 2 của Luật Giáo dục năm 2005 nêu rõ:
“Hoạt động giáo dục phải thực hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo

dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà
trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Và trong điều 28,
mục 2, chương II, Luật Giáo dục năm 2005 đã quy định “ Nội dung giáo dục
phổ thơng phải đảm bảo tính phổ thơng, cơ bản, tồn diện, hướng nghiệp và
có hệ thống; gắn với thực tiễn cuộc sống, phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi HS,
đáp ứng mục tiêu giáo dục ở mỗi cấp học”, “ Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh;
phù hợp với từng đặc điểm của lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự
học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào
thực tế; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS”.
Giáo dục cần được chuyển từ mục tiêu giúp người học “học được cái gì” sang
học thì phải “làm được cái gì”. Nói cách khác q trình giáo dục phải giúp
cho người học khơng chỉ có kiến thức khoa học mà còn vận dụng được chúng
để giải quyết các vấn đề gặp phải trong học tập và thực tiễn.
Tốn học có “nguồn gốc từ thực tiễn” và là chìa khóa trong rất nhiều
hoạt động của con người. Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa các sự
vật, hiện tượng trong thực tiễn trên những phương diện khác nhau và có vai
8


trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thơng.
Tốn học có mối liên hệ chặt chẽ với thực tế và được ứng dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực khác nhau: là công cụ học tập các môn học khác trong nhà
trường, nghiên cứu nhiều ngành khoa học và là công cụ để hoạt động trong
sản xuất, trong đời sống thực tiễn.
“Mơn Tốn ở trường phổ thơng góp phần hình thành và phát triển các
phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh; phát
triển kiến thức, kỹ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm,
vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học,
giữa Toán học và thực tiễn, giữa Tốn học với các mơn học và hoạt động giáo

dục khác, đặc biệt với các môn học Khoa học, Khoa học tự nhiên, Vật lý, Hóa
học, Sinh học, Công nghệ, Tin học để thực hiện giáo dục STEM.”[18]. Tuy
nhiên, việc dạy học mơn Tốn ở các trường phổ thông chưa đạt hiệu quả cao
do một bộ phận giáo viên vẫn còn chưa cập nhật với các xu hướng dạy học
mới, vẫn sử dụng nhiều phương pháp thuyết trình giảng giải để cung cấp cho
học sinh những tri thức trừu tượng được đề cập trong chương trình. Điều này
đã góp phần khơng nhỏ làm giảm hứng thú của học sinh với môn học và chất
lượng giờ học.
Với định hướng đổi mới trong phương pháp dạy học (PPDH) hiện nay
là “lấy học sinh làm trung tâm” thì sự phối hợp nhịp nhàng giữa các PPDH
truyền thống với các PPDH hiện đại đóng một vai trị quan trọng trong định
hướng phát triển năng lực của người học, trong đó có năng lực mơ hình hóa
tốn học. Hơn nữa, mơn Tốn là mơn học “có tính trừu tượng cao”, chính vì
thế, việc đưa các mơ hình tốn học vào trong giảng dạy sẽ hỗ trợ giáo viên
trong việc phát huy tính chủ động, sáng tạo, tăng thêm hứng thú cho học sinh.

9


Trong chương trình mơn Tốn THPT, HS được nghiên cứu nội dung
xác suất thống kê. Đây là một trong những nội dung quan trọng trong chương
trình mơn Tốn THPT nói riêng và gắn liền với mạch toán học ở phổ thơng
nói chung. Hầu hết các bài tốn ở chủ đề này đều gắn với nội dung thực tiễn
vì vậy địi hỏi ở HS vốn hiểu biết, kinh nghiệm và trải nghiệm thực tế. Tuy
nhiên, vốn trải nghiệm thực tế của HS lứa tuổi THPT cịn ít nên khi giải bài
tốn HS thường mắc sai lầm là thoát ly khỏi thực tiễn, không khai thác hết
mối liên hệ ràng buộc của các yếu tố bài toán dẫn đến lời giải sai sót thiếu
chính xác, thiếu sự logic chặt chẽ. Vì vậy nhiều HS gặp khó khăn khi gặp phải
các bài tập trong chủ đề này.
Để giải các bài toán chứa nội dung thực tiễn trong chủ đề xác suất và

thống kê đã nêu trên, HS cần phải biết đưa các yếu tố thực tế trong bài trở
thành các giả thiết toán học thông qua mối quan hệ giữa các đại lượng, các
yếu tố trong thực tế. Cơng việc biến đổi đó chính là xây dựng mơ hình tốn
học để giải quyết các bài tốn có nội dung thực tiễn. Trong các giai đoạn của
q trình vận dụng tốn học vào thực tiễn thì bước lập mơ hình tốn học
chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng bởi các phương pháp tốn học, các cơng
cụ tốn học chỉ có thể thực hiện trên các mơ hình tốn học. Rõ ràng, nếu
khơng thiết lập được mơ hình tốn học của bài tốn thực tiễn thì khơng thể
giải quyết được bài tốn. Do đó chúng ta có thể phát triển năng lực mơ hình
hóa ở HS thơng qua dạy học nội dung này.
Q trình dạy học trong các giai đoạn trước đây chủ yếu hướng đến
mục tiêu phát triển tư duy của người học, năng lực của người học chưa được
chú trọng nhiều mà nó chỉ là hệ quả của q trình cung cấp tri thức, kỹ năng,
kỹ xảo cho người học. Với định hướng của hoạt động dạy học là tập chung
phát triển năng lực như hiện nay, chúng ta cần phái xác định phát triển NL
10


người học là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu. Nghiên cứu về phát triển năng
lực người học cũng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà tâm lý học,
giáo dục học, nhà nghiên cứu. Tuy nhiên, mới chỉ có một vài tác giả đi sâu
nghiên cứu về vấn đề sử dụng mơ hình tốn học trong dạy học nội dung xác
suất thống kê.
Vì những lý do trên, đề tài được chọn là:
Phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh thơng qua dạy
học nội dung Xác suất - Thống kê.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu để đề xuất các biện pháp sư phạm giúp phát triển năng lực
mơ hình hóa Toán học ở HS trong dạy học nội dung xác suất- thống kê.

Nhiệm vụ nghiên cứu
- Phân tích mục tiêu giáo dục để thấy rõ nhu cầu của việc hình thành và
phát triển năng lực nói chung và năng lực mơ hình hóa tốn học nói riêng cho
người học;
- Phân tích các tài liệu giáo dục học để hiểu rõ bản chất của năng lực
mơ hình hóa tốn học ở người học;
- Phân tích các tài liệu tâm lý, giáo dục để khẳng định việc phát triển
năng lực mơ hình hóa tốn học là hồn tồn phù hợp với đối tượng HS THPT;
- Đề xuất các biện pháp sư phạm giúp phát triển năng lực mơ hình hóa
tốn học ở HS;
11


- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để bước đầu khẳng định tính hiệu quả
của các biện pháp sư phạm đã đề xuất.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu là năng lực của người học, khả năng phát triển mơ
hình tốn học, q trình dạy học mơn Tốn THPT.
- Phạm vi nghiên cứu
+ Nội dung: Phương pháp dạy học toán THPT;
+ Địa bàn nghiên cứu thực nghiệm sư phạm: Trường THPT Ninh BìnhBạc Liêu– TP Ninh Bình và một số trường lân cận.
4. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp nghiên cứu dự kiến sẽ được sử dụng trong luận văn:
- Nghiên cứu lý luận;
- Thực nghiệm sư phạm;
- Phân tích thống kê.
5. Giả thuyết khoa học
Dạy học tốn sử dụng mơ hình hóa một cách hiệu quả sẽ giúp người
học có động cơ học tập tích cực, từ đó cải thiện chất lượng dạy – học toán ở
THPT.

6. Cấu trúc luận văn
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
12


Chương II: Vận dụng mơ hình hóa tốn học vào trong dạy học nội dung
xác suất thống kê ở THPT
Chương III: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề về lý luận
1.1.1. Các định nghĩa
a) Mơ hình, mơ hình hóa
Theo Từ điển Tiếng Việt ( Hồng Phê, 1992): Mơ hình được hiểu theo
hai nghĩa: Thứ nhất, “mơ hình là vật cùng hình dạng nhưng làm thu nhỏ lại
nhiều, mô phỏng cấu tạo và hoạt động của một vật khác để trình bày, nghiên
cứu”. Theo một nghĩa khác, “mơ hình lại là hình thức diễn đạt hết
sức gọn theo một ngôn ngữ nào đó các đặc trưng chủ yếu của một đối tượng,
để nghiên cứu đối tượng ấy”.
Blum định nghĩa mơ hình là: “Các mơ hình như các đối tượng vật lý (ví
dụ như mơ hình thạch cao của chất rắn hoặc bề mặt hình học), mơ hình khơng
có hình dạng cụ thể như được sử dụng trong nhiều bối cảnh học tập và mơ
hình giả thuyết khởi tạo (ví dụ như hệ thống hình học tiên đề) minh họa các
ứng dụng nằm ngoài lĩnh vực hoạt động cụ thể” [23]
Trên cơ sở đó, có rất nhiều định nghĩa và mơ tả về khái niệm mơ hình
được chia sẻ trong lĩnh vực giáo dục toán học tương ứng với những quan
điểm lý thuyết mà các tác giả lựa chọn nghiên cứu.Cụ thể như:

13

Theo Nguyễn Danh Nam: “Mơ hình được mơ tả như một vật dùng thay
thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế.
Thơng qua mơ hình, ta có thể khai thác và khám phá các thuộc tính của đối
tượng mà khơng cần đến vật thật. Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc và ý đồ
của người thiết kế mơ hình và bối cảnh áp dụng của mơ hình đó” [11]
Theo Nguyễn Thị Tân An: “Mơ hình là một mẫu, một kế hoạch, một
đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của
một đối tượng, một hệ thống hay một khái niệm. Mơ hình theo ý nghĩa vật lý
của nó, đó là một bản sao, thường thì nhỏ hơn một đối tượng. Mơ hình đó có
cùng nhiều tính chất với đối tượng gốc: nó có cùng những điểm đặc trưng, có
thể là màu sắc, thậm chí cả chức năng với đối tượng mà mơ hình đó biểu diễn.
Một mơ hình lý thuyết của một sự vật hiện tượng là một tập hợp các quy tắc
biểu diễn của sự vật hiện tượng đó trong đầu của người quan sát” [1]
Dựa trên các quan điểm trên, có thể hiểu mơ hình như là một vật được
thiết kế để mô phỏng, thay thế một đối tượng trong thực tiễn giúp hình dung
được bao qt đối tượng đó, giúp nghiên cứu sâu đối tượng mà không cần
quan sát trực tiếp thực tế.
Q trình sử dụng các cơng cụ tốn học hỗ trợ chuyển đổi từ những
hiện tượng thực tế thành các mơ hình cụ thể được gọi là q trình mơ hình
hóa tốn học các tình huống thực tiễn.
b) Năng lực, năng lực toán học
Năng lực là tổ hợp các kĩ năng của cá nhân đảm bảo thực hiện được
một dạng hoạt động nào đó.
Năng lực tốn (Mathematical competence) là tổ hợp các kĩ năng của
một cá nhân đảm bảo thực hiện các hoạt động toán học. Các kĩ năng của cá
14


nhân vừa là sản phẩm của sinh lý (có sẵn) vừa là sản phẩm của tâm lý (do rèn

luyện mà có). Các hoạt động tốn học đó là các thao tác đặc trưng (phân tích,
suy luận, lập luận, chứng minh,…) với các đối tượng, nội dung toán học.
c) Năng lực mơ hình hóa tốn học
Có nhiều định nghĩa khác nhau của các nhà nghiên cứu về năng lực mơ
hình hố và nó gồm nhiều kĩ năng thành phần. Blom và Jensen [24] định
nghĩa năng lực mơ hình hóa là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của
quá trình mơ hình hóa trong một tình huống cho trước. Maab (2006) định
nghĩa năng lực mơ hình hóa bao gồm các kĩ năng và khả năng thực hiện q
trình mơ hình hóa nhằm đạt được mục tiêu xác định.
1.1.2. Mối liên hệ giữa mơ hình hóa và nội dung tốn
Theo Nguyễn Bá Kim: “mơn Tốn là mơn học có tính trừu tượng cao
độ, tính thực tiễn phổ dụng, tính logic và tính thực nghiệm” của Tốn học [5]:
Tính trừu tượng của tốn học và của mơn Tốn trong nhà trường do
chính đối tượng của toán học quy định. Theo Ăng- ghen, “Đối tượng của tốn
học thuần túy là những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của
thế giới khách quan”, “Hình dạng khơng gian có thể hiểu khơng phải chỉ trong
khơng gian thực tế ba chiều mà cịn cả những khơng gian có số chiều là n
hoặc vơ hạn, không gian mà phần tử là những hàm liên tục…Quan hệ số
lượng khơng chỉ bó hẹp trong phạm vi tập hợp các số mà được hiểu như
những phép toán và những tính chất của chúng trên những tập hợp có các
phần tử là những đối tượng loại tùy ý như ma trận, tập hợp, mệnh đề, phép
biến hình”. Tác giả nhấn mạnh rằng tính chất trừu tượng được nói đến ở đây
“khơng phải chỉ có trong tốn học mà là đặc điểm của mọi khoa học. Nhưng
trong toán học, cái trừu tượng tách ra khỏi mọi chất liệu của đối tượng, chỉ

15


giữ lại những quan hệ số lượng dưới dạng cấu trúc”. Vì thế, tốn học có tính
chất trừu tượng cao độ.

GS.TS Nguyễn Bá Kim khẳng định rằng “Tính trừu tượng cao độ làm
cho tốn học có tính thực tiễn phổ dụng, có thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực
rất khác nhau của đời sống”. Khẳng định trên được lý giải “những khái niệm
toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa từ những đối tượng vật chất cụ thể
chẳng hạn như khái niệm về số tự nhiên, hình bình hành. Nhưng cũng có
nhiều khái niệm là kết quả của sự trừu tượng đã đạt được trước đó, chẳng hạn
như những khái niệm nhóm, vành, trường, khơng gian vecto,…”
“Tính thực tiễn phổ dụng được thể hiện từ nguồn gốc của nó: Số học ra
đời xuất phát từ nhu cầu đếm. Hình học phát sinh từ nhu cầu đo lại ruộng đất
sau những trận lụt ở ven bờ sông Nin sau những trận lụt hàng năm. Tốn học
có thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của cuộc sống” [5]. Ví dụ
như những tri thức về xác suất của biến cố A được biểu thị bởi cơng thức ,
trong đó k là số lần biến cố A xuất hiện trong n lần thực hiện phép thử T được
sử dụng rất nhiều trong vật lý, thiên văn học, y học, kinh tế học… do nhu cầu
dự đốn và phân tích tổng hợp.
Mơ hình sử dụng trong dạy Tốn là một “mơ hình trừu tượng sử dụng
ngơn ngữ tốn học để mơ tả về một hệ thống nào đó. Nó có thể hiểu là các
hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu
đồ, biểu tượng hay thậm chí cả các mơ hình ảo trên máy vi tính.
Sử dụng phương pháp mơ hình hóa trong dạy học mơn Tốn là q
trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn
bằng cơng cụ và ngơn ngữ Tốn học. Q trình này địi hỏi HS cần phải có
các kỹ năng và thao tác tư duy Tốn học như phân tích, tổng hợp, so sánh,
16


khái qt hóa, trừu tượng hóa. Ở trường phổ thơng, MHH diễn tả mối quan hệ
giữa các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội với nội dung kiến thức tốn học
trong sách giáo khoa thơng qua ngơn ngữ Tốn học như kí hiệu, đồ thị, sơ đồ,
cơng thức, phương trình. Tóm lại, có thể nói mơ hình được dùng để mơ tả,

biểu thị một tình huống thực tiễn nào đó giúp con người dễ dàng hình dung ra
tình huống thực tế hơn, mơ hình Tốn học được hiểu là sử dụng cơng cụ Tốn
học để thể hiện tình huống thực tiễn dưới dạng của ngơn ngữ Tốn học, trong
đó MHH là q trình tạo ra các mơ hình để giải quyết các vấn đề Tốn học
chứa trong các tình huống thực tiễn. Do đó, cùng với việc cung cấp tri thức
Tốn học, giáo viên (GV) có thể sử dụng các mơ hình tốn học để giải thích,
giúp HS hiểu hơn về các hiện tượng trong thực tế cuộc sống và tính ứng dụng
thực tiễn của Tốn học. Trong dạy học Tốn, MHH có thể được thực hiện
thơng qua các dự án học tập, GV có thể chia HS thành các nhóm nhỏ để cùng
tìm hiểu, khám phá thế giới bằng phương tiện toán học với sự hướng dẫn của
GV” [11].
Từ các định nghĩa trên, ta thấy rằng mơ hình hóa tốn học là một hoạt
động phức tạp, là sự chuyển đổi giữa các kiến thức toán học và kiến thức thực
tế theo hai chiều, vì vậy nó địi hỏi bản thân người học phải có nhiều năng lực
tốn học khác nhau, tích lũy kiến thức trong các lĩnh vực khác nhau cũng như
các kiến thức liên quan đến các tình huống thực tế cần xem xét.
1.1.3 Quy trình mơ hình hóa Tốn học
Để mơ hình hóa được một bài tốn thực tiễn, phải thơng qua các khâu
giúp chuyển đổi những yếu tố thành phần trong tình huống thực tiễn cần xét
thành những yếu tố tốn học mang tính đại diện. Các quy trình mơ hình hóa
thơng dụng được đưa ra để tham khảo như sau:

17


a) Sơ đồ của Blum (2005): (Đây được xem như là cơ sở cho những chu trình
mơ hình hóa được phát triển sau này)

Sơ đồ 1: Chu trình MHH 7 bước của Blum và Kaiser [23]
Theo Blum, q trình mơ hình hóa một bài tốn thực tiễn bao gồm 7

bước:
Bước 1: Hiểu rõ tình huống thực tế, phân tích, phác thảo mơ hình thực
cho tình huống đó;
Bước 2: Đơn giản hóa mơ hình tình huống vừa xây dựng và đưa ra các
biến phù hợp để thu được mơ hình thực cuối cùng của tình huống;
Bước 3: Chuyển từ mơ hình thực sang mơ hình tốn;
Bước 4: Làm việc trong mơi trường tốn học để tìm ra kết quả tốn;
Bước 5: Chuyển đổi từ kết quả toán thành kết quả đặt trong ngữ cảnh
thực;

18


Bước 6: Kiểm tra kết quả thực trong mơ hình tình huống, nếu khơng
phù hợp thì quay lại bước 2;
Bước 7: Trình bày cách giải quyết.
b) Sơ đồ theo PISA ( 2006)

Sơ đồ 2: Chu trình MNH 5 bước theo Pisa [25]
Bước 1: Xuất phát từ vấn đề được đặt ra trong tình huống thực tế;
Bước 2: Tìm ra các kiến thức toán phù hợp với vấn đề, yêu cầu của vấn
đề thực tế, sắp xếp lại vấn đề theo trình tự hợp với các khái niệm tốn học đã
biết;
Bước 3: Chắt lọc các yếu tố thực tế cần thiết để chuyển vấn đề thực tế
thành một bài toán thể hiện trung thực, đầy đủ nhất cho thực tế;
Bước 4: Sử dụng các cơng cụ tốn học để giải bài tốn và tìm ra kết quả
tốn;

19

Bước 5: Vận dụng lời giải toán, điều chỉnh để kết quả phù hợp với
trường hợp thực tế, xác định những hạn chế của lời giải.
c) Sơ đồ của Stillman ( 2007)

Sơ đồ 3: Chu trình MHH 7 bước của Stillman [24]
Cũng giống như sơ đồ trước đó của Blum, sơ đồ của Stillman cũng bao
gồm 7 bước với các bước tương tự sơ đồ của Blum. Tuy nhiên, theo Stillman,
ngồi 7 bước chính đi theo mũi tên cùng chiều kim đồng hồ, ở đây còn xuất
hiện thêm các mũi tên đi ngược chiều kim đồng hồ diễn tả các hoạt động “có
sự phản ánh”, nghĩa là người thực hiện hoạt động MHH có thể quay lại ở bất
kỳ bước nào để xem xét, kiểm tra nếu không thể tiếp tục thực hiện được (khác
với Blum là chỉ có thể quay lại ở bước 6 khi kết quả thực tìm được khơng
thỏa mãn với mơ hình tình huống đã xây dựng).
Từ ba sơ đồ được đưa ra ở trên và của một số tác giả khác, quy trình
mơ hình hóa được thể hiện theo các bước cơ bản sau:
Bước 1: Hiểu và phân tích được tình huống thực tế, xác định các yếu tố
thành phần quan trọng cấu thành nên vấn đề và xác lập các quy luật liên quan
20


đến vấn đề. Đưa vào các điều kiện và giả thiết phù hợp phục vụ cho việc mơ
hình hóa nếu cần, có thể lý tưởng hóa, đơn giản hóa vấn đề thực tế để tạo ra
một mơ hình thực tế của tình huống.
Bước 2: Từ mơ hình thực tế vừa xây dựng, sử dụng ngơn ngữ tốn học
để thiết lập các mối liên hệ toán học giữa các biến vừa xác định ở bước 1 để
chuyển đổi từ mơ hình thực tế thành mơ hình tốn học tương ứng với tình
huống thực tế ban đầu.
Bước 3: Sử dụng các cơng cụ toán học để giải quyết bài toán được thiết
lập ở bước 2. Để tìm ra đáp án và phương pháp giải phù hợp nhất chúng ta

cần phải bám sát mơ hình đã xây dựng.
Bước 4: Phân tích và kiểm tra tính phù hợp giữa mơ hình và kết quả
tính tốn với tình huống thực tế. Trong bước này có thể xảy ra một trong hai
khả năng:
Khả năng 1: Mô hình và kết quả tính tốn phù hợp với thực tế. Tiếp
tục chuyển sang bước 5.
Khả năng 2: Mơ hình và kết quả tính tốn khơng phù hợp với thực tế,
lúc này cần phải quay lại các bước trước để tìm ra ngun nhân. Một số câu
hỏi có thể đặt ra:
- Kết quả tốn tìm được ở bước 3 có thực sự chính xác? Để trả lời câu
hỏi này cần phải kiểm tra lại các cơng cụ tốn học, các liên kết tốn học, các
khâu tính tốn, các kỹ thuật giải tốn đã sử dụng.
- Mơ hình tốn học xây dựng như ở bước 2 liệu đã phù hợp hay chưa?
Có cần điều chỉnh lại hay khơng? Nếu nhận thấy mơ hình chưa đúng thì cần
phải điều chỉnh lại cho hợp lý hơn.
21


- Mơ hình thực tế xây dựng được ở bước 1 có phản ánh được đầy đủ
các dữ kiện, yêu cầu của tình huống thực tế hay khơng? Nếu chưa thì cần phải
rà sốt lại xem có bỏ sót các dữ kiện, quy luật nào hay không.
Bước 5: Báo cáo q trình thực hiện, dự đốn kết quả.
1.1.4. Các kỹ năng của năng lực mơ hình hóa
Các kỹ năng thành phần của năng lực mơ hình hóa tốn học được xác
định thơng qua quy trình mơ hình hóa bao gồm:
1. Đơn giản hóa các dữ kiện, giả thiết của tình huống thực tiễn
2. Xác định yêu cầu của đề bài
3. Thiết lập vấn đề tốn học chứa trong tình huống
4. Xác định biến, tham số, hằng số (kèm theo điều kiện)
5. Thiết lập các mối liên hệ toán học

6. Lựa chọn mơ hình tốn học phù hợp
7. Biểu diễn mơ hình bằng bảng, biểu đồ, đồ thị…
8. Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn
1.1.5. Các cấp độ trong năng lực mơ hình hố của học sinh
Các bài tốn thực nghiệm của chúng tôi dự kiến sẽ được đánh giá
theo các mức mơ hình hóa đối với học sinh (theo 8 kĩ năng thành phần của năng
lực mơ hình hố toán học) dựa theo đề xuất Ludwig và Xu (2010), Nguyễn
Danh Nam [10]. Học sinh đạt:
+ Mức 0: HS không hiểu tình huống/ bối cảnh và khơng thể viết, vẽ,
phác thảo những gì liên quan đến vấn đề sau khi đọc; bị ngộ nhận bởi các tình
huống gây nhiễu.
+ Mức 1: HS chỉ đơn giản hóa được giả thiết (tình huống); chỉ hiểu tình
huống thực tiễn theo bối cảnh nhưng khơng cấu trúc; hoặc chưa tìm được các
mối liên hệ giữa các giả thiết, khơng thể tìm sự kết nối đến một ý tưởng toán
học nào.

22


+ Mức 2: sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, HS biết tìm mơ hình thật
qua cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng chưa biết chuyển đổi thành một vấn đề
toán học.
 Ở mức 2, HS cần đạt được hai kĩ năng mơ hình hóa đầu tiên.
+ Mức 3: HS khơng chỉ có thể tìm ra mơ hình thật, mà cịn phiên dịch
nó thành vấn đề tốn học, nhưng khơng thể làm việc với nó một cách rõ ràng
trong thế giới toán học.
 Ở mức 3, học sinh cần đạt được các kĩ năng mơ hình hóa từ 1 đến 4.
+ Mức 4: HS có thể thiết lập vấn đề tốn học từ tình huống thực tiễn/
bối cảnh, làm việc với bài toán với kiến thức toán học và có kết quả cụ thể.
 Ở mức 4, học sinh cần đạt được các kĩ năng mơ hình hóa từ 1 đến 7.

+ Mức 5: HS có thể trải nghiệm q trình mơ hình hóa tốn học và
kiểm nghiệm lời giải bài tốn trong mối quan hệ với tình huống đã cho.
 Ở mức 5, học sinh cần đạt được đầy đủ 8 kĩ năng mơ hình hóa ở trên.
Bảng 1.1. Bảng các mức trong đánh giá khả năng mô hình hố
đối với học sinh
Mức
0

1

2

3

Biểu hiện của học sinh
Đọc khơng hiểu tình huống và khơng thể
viết, vẽ, phác thảo những gì liên quan đến
vấn đề.
Chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng khơng
cấu trúc và đơn giản tình huống hoặc khơng
tìm được các mối liên hệ giữa các giả thiết,
không thể tìm sự kết nối đến một ý tưởng
tốn học nào
Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, học sinh
tìm mơ hình thật qua cấu trúc và đơn giản
hóa, nhưng khơng biết chuyển đổi thành một
vấn đề tốn học.
Có thể tìm ra khơng chỉ mơ hình thật, mà
23

Ghi chú

Học sinh cần đạt
được hai kĩ năng mơ
hình hóa đầu tiên
Học sinh cần đạt


4

5

cịn phiên dịch nó thành vấn đề tốn học,
nhưng khơng thể làm việc với nó một cách
rõ ràng trong thế giới tốn học.
Có thể thiết lập vấn đề tốn học từ tình
huống thực tiễn, làm việc với bài tốn với
kiến thức tốn học và có kết quả cụ thể.
Có thể trải nghiệm q trình mơ hình hóa
tốn học và kiểm nghiệm lời giải bài tốn
trong mối quan hệ với tình huống đã cho.

được các kĩ năng mơ
hình hóa từ 1 đến 4.
Học sinh cần đạt
được các kĩ năng mơ
hình hóa từ 1 đến 7
Học sinh cần đạt
được đầy đủ 8 kĩ
năng mơ hình hóa ở

trên.

Hình 1.1. Sơ đồ mối quan hệ 8 kĩ năng mơ hình hố và các mức năng lực mơ
hình hố
1.2. Tình hình thực trạng phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học trong
Mức 0

Mức 1
(1) Đơn giản giả thiết
Mức 2

(2) Làm rõ mục tiêu
(3) Thiết lập vấn đề toán học

Mức 3

(4) Xác định biến, tham số, hằng số (kèm
theo điều kiện)
(5) Thiết lập mệnh đề tốn học
(6) Lựa chọn mơ hình
(7) Biểu diễn mơ hình bằng biểu đồ, đồ
thị

Mức 4

(8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn

Mức 5

dạy học toán ở một số trường THPT trên địa bàn tỉnh Ninh Bình

24


1.2.1 Mục tiêu giáo dục và mục tiêu dạy học mơn Tốn trong nhà trường
phổ thơng theo định hướng phát triển năng lực người học
Luật giáo dục năm 2005 có quy định “Mục tiêu giáo dục là đào tạo con
người Việt Nam phát triển tồn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mỹ
và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội;
hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp
ứng yêu cầu xây dựng và bảo vệ Tổ Quốc”.
Nghị quyết số 29 Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về Đổi mới căn bản,
tồn diện giáo dục và đào tạo có đưa ra quan điểm chỉ đạo: “Phát triển giáo
dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài.
Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển
toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Phát triển phẩm chất và năng lực
người học trong giáo dục phổ thông là định hướng hàng đầu mà nhiều nước
tiên tiến đã và đang thực hiện từ đầu thế kỉ XXI đến nay (Úc, Canada, New
Zealand, Pháp...)”.
Trong những năm gần đây, giáo dục phổ thơng Việt Nam đã đạt được
những thành tựu và có những đóng góp lớn đáp ứng được cơ bản nhu cầu đào
tạo nguồn nhân lực phục vụ cơng nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước của xã
hội. Tuy vậy, chúng ta vẫn chưa thật sự quán triệt triệt để mục tiêu giáo dục
nhằm phát triển năng lực của người học, một số đơn vị giáo dục vẫn còn coi
trọng việc trang bị kiến thức, kĩ năng cơ bản cho HS hơn là giáo dục đạo đức,
giáo dục các kỹ năng sống, các kỹ năng học tập suốt đời.
Việc đổi mới giáo dục tuy đã được tiến hành nhưng còn thiếu sự đồng
bộ, còn chắp vá và chưa tương xứng với mục tiêu giáo dục, vẫn còn tồn tại bất
cập lớn giữa yêu cầu phải đổi mới với năng lực tiến hành đổi mới của giáo
25