Bài soạn Tích phân toàn tập

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng

Bi 1
MT S TNH CHT TNG QUT CA TÍCH PHÂN
I. Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững các tính chất của hàm số chẵn, hàm số lẻ
- Nắm vững tích phân với cận đối xứng của hàm chẵn và hàm lẻ từ đó áp
dụng vào tính một số tích phân cụ thể
- HS nắm vững sáu bài tốn cơ bản về tích phân và biết áp dụng chúng
II. Nội dung bài dạy
Bài toán 1. Chứng minh rằng, nếu f(x) là hs lẻ và liên tục trên đoạn [-a ; a] thì
a

∫ f ( x)dx = 0

−a

Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
π
2

a)

∫π cos x[ln( x +

−

1
2

−

2

1
2

d) ∫ sin(sin x + mx)dx

b) ∫ ( x + x + 1 − x − x + 1) dx
2

x
2

2π

1

2

1+ x 
dx
1− x 


c) ∫ (cos 4 x + sin sin x) ln

1 + x 2 )]dx

3

−1

0

Bài toán 2. Chứng minh rằng, nếu f(x) là hs chẵn và liên tục trên đoạn [-a ; a] thì
a

a

0

0

−a

∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx

−a
0

Ví dụ 2. Cho ∫ e

x2
−
2

dx = α . Tính

−1

b+ a

∫

e

−

( x −b ) 2
2a2

dx với a, b dương bất kì.

b−a

Bài tốn 3. Chứng minh rằng, nếu f(x) là hs chẵn và liên tục trên đoạn [-a ; a] thì
a

a

0

a

f ( x)
1
∫a1 + b x dx = ∫ f ( x)dx = −∫a f ( x)dx = 2 −∫a f ( x)dx với b > 0 bất kì

−
0

Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:
3
2

∫

a)
−

1

3
2

1

ln( x 2 + 1)
dx
c) ∫
−x
+1
−1 2007

dx
(5 x + 1) 1 − x 2

2

x

e
dx
b) ∫ x
2
−1 (e + 1)( x + 1)

d)

−2
a

Ví dụ 4. Cho b ∈ R và I(a) =

∫

x ln( x + 1 + x )

∫ (1 + x

−a

2

π
2

2

(2 x + 1) 1 + x 2

dx

e)

∫π

−

2

dx
. Tính lim I(a)
a →∞
)(1 + e bx )

Bài toán 4. Giả sử f(x) liên tục trên đoạn [0 ; 1] khi đó
π
2

π
2

0

0

∫ f (sin x)dx = ∫ f (cos x)dx

Ví dụ 5. Tính các tích phân sau:
a)

π
2

n

sin x
∫ sin n x + cos n x dx
0

c)

π
2

sin 3 x
∫ sin x + cos x dx
0

sin 2 x
dx
5x +1


Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

b)

2


0

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng

3

cos x
sin x + cos x


sin

d)

dx


2

e) 




1

− tan 2 (cos x) dx
2


0  cos (sin x )

f)

3

cos x
dx
x + cos 3 x

6
π
2

sin n x cos x
∫ sin n−1 x + cos n−1 x dx
0

Bài toán 5. Chứng minh rằng, nếu f(x) là hs liên tục trên đoạn [0 ; 1] thì
π

ππ
f (sin x)dx
2∫
0

∫ xf (sin x)dx =
0

Tổng quát: Nếu f(x) liên tục trên [-a ; a] và f(x) = f(a + b - x), ∀x ∈ [-a ; a] thì
b

∫ xf ( x)dx =
a

b

a+b
f ( x)dx
2 ∫
a

Ví dụ 6. Tính các tính phân sau:
π

π

cos x + x sin x
dx
b) ∫
3 + cos 2 x
0

x sin 3 x
dx
a) ∫

2
0 1 + 3 cos x

1
9

c) ∫  53 x +


0



x
1 
dx
+5
sin (2 x + 1)
4x − 1 

2

Bài toán 6. Giả sử f(x) liên tục trên R và tuần hồn với chu kì T thì
b

∫

f ( x)dx =

b + nT

∫ f ( x)dx

a + nT

a

Ví dụ 7. Tính các tích phân sau:
4π

2007 π

sin 9 6 x cos10 x
dx
a) ∫
8
0 1 + cos 16 x

Ví dụ 8. Với 0 < t <

b)

∫

2π

1 − cos 2 x dx

c)

0

π
, đặt I(t) =
4

t

dx

∫ 2 + cos x
0

4

tan x

∫ cos 2 x dx . Tính I(t) và chứng minh rằng:
0

( tan 3 t +3 tan t )
 π
tan t +  > e 3
4

2

Ví dụ 9. Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm thực phân biệt x1, x2
x2

Tính In = ∫ (2ax + b)

2 n +1

e

ax 2 + bx + c

dx (n ∈ N ) áp dụng tính

x1

π
2

15
cos x − cos x
dx
∫ (1 − 2 cos x) sin xe
2

0

Bài tập về nhà
1

1)

4)

1

4

x
∫11 + 2 x dx
−
π
2

2)

π
2

4 sin x

∫ (sin x + cos x)

3

0

dx

5) ∫ ln 1 + sin x dx
0

4
7) ∫ x sin x cos xdx

8)

1 + cos x

π
2

π

0

x + sin x
∫1 1 + x 2 dx
−

π
2

4

3)

−

6)

2

∫π

−

2

x sin x
dx
1+ 2x

∫π

sin x cos 5 x sin 2 x
dx
1+ ex

2

π
2

3 sin x − cos x

∫ (sin x + cos x)
0

π
2

9)

x + cos x
dx
2
x

∫π 4 − sin

−

2

2

dx


Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng


2


4

3
cos x cos x cos x dx

10)

−

11)

π
2

∫π

−

(sin 6 x + cos 6 x )6 x
dx 3)
6x + 7x

4

1

3 x ( x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1)
dx
∫
1 + 3x
−1

12)

Bài 2

TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

I. Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững hai công thức đổi biến số
- HS vận dụng thành thạo công thức trong các bài tốn liên quan
II. Nội dung bài dạy
* Cơng thức đổi biến số dạng 1
β

b

∫ f ( x)dx = α f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt
∫
a

* Quy tắc đổi biến số dạng 1
* Công thức đổi biến số dạng 2
b

∫

f (ϕ ( x ))ϕ '( x)dx =

a

ϕ (b )

∫
ϕ

f (t )dt

(a)

* Quy tắc đổi biến số dạng 2
Tính các tích phân sau:
7

1)

x 2 − 2x

∫

3

x +1

2 3

2

dx

1

0

∫

4)

ln 2

7)

7

10)

2

1− x

dx

8) ∫ x (1 − x ) dx

7
7 2

)

π
2

dx

3

13) ∫ sin x cos x dx
2
16)

∫

1 + cos x

3 3

11)
14)

1 − cos3 x sin x cos5 xdx

17)

0

2x 2 − 1

∫

dx

∫x

1 + x4

11

π
2

2

cos x
∫ sin x + 3 cos x dx
0

∫
π sin

4

dx
x cos x

(3 x + 1) 4

5

0

ln 3

e2x

∫

6)

(e x + 1) 3

0

9)

1+ 5
2

∫
1

π
3
6

3)

0

1

π
2

( x + 1 + 3 ln x ) ln x
dx
5) ∫

x
1
5

dx

∫ x(1 + x
0

dx

1

ex +1

0

x −1

e

1

∫

∫1+
1

x x2 + 4

5

2)

1

x

dx
dx

x2 + 1
dx
x4 − x2 + 1

12)
π
2

15)

∫
π

sin x + cos x
dx
3 + sin 2 x

4

18)

dx

∫ sin 2 x − sin x

6

( x + 1)dx

19) ∫ x(1 + xe x ) Đặt t = 1 + xex

20)

ln(ex)dx

∫ 3 + x ln x

x
21) ∫ x (1 + ln x)dx


Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
1

2

22)

x

2

dx
23) 4
x + 4x2 + 3
0

4 − x 2 dx

0

1

28)

29)

x2 −1

2
3

Bài 3

∫

x2

dx

1 − x2

1

x4 + 1
27) ∫ 6 dx
x +1
0
3

dx
x cos 2 x

∫

2
2

0

xdx
26) ∫ 4 2
x + x +1
0

x 2 dx

∫

24)

1

dx
25) ∫ 2 x
e +3
0
2

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng

30)


0

x3 + x 2
x2 + 1

dx

TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

I. Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững công thức tích phân từng phần và hiểu bản chất cơng thức
- HS vận dụng thành thạo công thức trong các bài tốn liên quan
II. Nội dung bài dạy
2

31)

π
8

π 
 ÷
2

∫

sin xdx

π
3

34) ∫ (3x − 1)2 sin(4 x − π )dx
3

0

37)

∫π

−

x sin x
dx

cos 2 x

−1

35)

43) ∫ x tan xdx
2

0
π
2

1+ cos x
46) ∫ ln (1 + sin x)
dx
1 + cos x
0

ln 2 ( x + 1)
dx
49) ∫
x3

38)

x9
∫ (1 + x 4 )3 dx
0

Bài 4

3
2

x

∫

π
0 sin (2 x +
)
6

dx

1

36) ∫ sin x ln(tan x)dx
39)

2

π
2

π
2

x + sin x

∫ 1 + cos x dx
0

0

∫π cos x ln(1 + cos x)dx

41) ∫ esin x sin x cos3 xdx

42)

44) ∫ cos(ln x)dx

45) ∫ cos 2 x

2

−

0

47)

∫

53)

∫

esin x
dx
ecos x

48) ∫ x 2 x 2 + a 2 dx

x + 3dx
2

1

1

50)

2

a

6

1

52)

+ 2 x − 1)e 2 x +3dx

2

π

6

e

( x + 3 1 + 7 ln x ) ln x
dx
40) ∫
x
1

∫ (x

−

3

π
4

33) ∫ x lg 2 xdx

0

0

π
3

10

32) ∫ x(sin 4 + cos 4 x)dx

x ln( x + 1 + x 2 )
1 + x2
1 + sin x

∫ 1 + cos x e dx
x

1

dx

51)
54)

dx

∫ (1 + x

−1
π
2

2 2

)

x 2 dx
∫ ( x sin x + cos x)2

0

TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ


Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng

I. Mc tiờu bi dy
- HS nm vng phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần,
bảng các nguyên hàm cơ bản.
- HS nắm vững phương pháp tính tích phân các hàm hữu tỉ và vơ tỉ
- HS vận dụng thành thạo vào giải toán
II. Nội dung bài dạy
Bài toán tổng quát. Cho P(x) và Q(x) là các đa thức. Tính tích phân sau:
b

P ( x)

∫ Q( x) dx
a

Giáo viên nêu cách giải sau đó áp dụng vào giải các bài tập sau:
Bài 1. Tính các tích phân sau:
4x +1
dx
1) ∫ 2
2 x − 5x + 2
0

4)

∫

−1

2 x 4 − 3x 2 + 7 x + 3
dx
2) ∫
x 3 − 3x + 2

( 4 x + 4 ) dx

(x

2

− 4 x + 3)

0

2

0

0

3)

x2
∫ ( x + 1)( x + 2)(3 − x) dx

0

3dx
2dx
3dx
4dx
4
2
=∫
+∫
−∫
+∫
= + 3ln
2
2
x − 1 −1 ( x − 1)
x − 3 −1 ( x − 3 )
3
3
−1
−1

dx
dx 1 dx 1 ( 2 x − 1) dx 2 4
=∫ − ∫
−
= ln

5) ∫
x ( x 3 + 1) 1 x 3 1 x + 1 3 ∫ x 2 − x + 1 3 3
1
1
2

2

2

2

(Nếu việc giải hệ để tìm các hệ số gặp khó khăn ta có thể gán cho x = 0 ⇒ A = 1;
x = -1 ⇒ B = - 1/3 )
1

6) ∫ ( x 2 + 3x + 2) 2 dx

7)

∫x

5

dx
+ x3

1
1


x2 − 1
2
2x − 2
2x + 2
2
dx =
dx − ∫ 2
dx ÷ =
ln 3 − 2 2
8) ∫ 4
∫ 2
x +1
4  0 x − 2x + 1
x + 2x + 1  4
0
0
1

(

)

Bài 2. Tính các tích phân sau:
dx
1
x− 7
=
ln
+c
1) ∫

( x − 2 ) ( x + 5) 2 7 x + 7
2)

dx
1
( x + 9 ) − ( x + 3) dx =
= ∫
∫ ( x + 3) ( x + 6 ) ( x + 9 ) 6 ( x + 3) ( x + 6 ) ( x + 9 )

1  1
1
1
1  1 ( x + 3) ( x + 9 )
−
−
+
+c

÷ = ln
2
18 ∫  x + 3 x + 6 x + 6 x + 6  18
( x + 6)

6
6
x 5dx
1 ( x − 1) ( x − 2 )
1  1
1
6

= ∫ 6
d ( x ) = ∫ 6
− 6
3) ∫ 12
6
6
x − 3x + 2 6 ( x − 1) ( x − 2 )
6  ( x − 2 ) ( x − 1)



÷ ( x6 )
d
÷



Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng

1 x6 2
= ln 6
+c
6 x 1

2
2
dx
1 x − ( x − 3)

1  xdx
dx  1 x 2 − 3
=
dx =  ∫ 2
−
+c
4) ∫ 3
÷ = ln
x − 3x 3 ∫ x ( x 2 − 3)
3 x − 3 ∫ x  6
x2
4
4
e
e
e
dx
1 ( x + 3) − x
1  dx
dx
= ∫ 5 4
dx =  ∫ 5 − ∫
5) ∫ 9
4
x + 3x5 3 1 x ( x + 3)
3 1 x
1
1 x ( x + 3)

e


÷=
÷


4
4
e
e
e
e
e
1  dx 1 ( x + 3) − x dx  1 dx 1 dx 1 x 3 dx 
1
1
x4

÷=
−
−
+
= −
− ln
3  ∫ x5 3 ∫ x ( x 4 + 3) ÷ 3 ∫ x 5 9 ∫ x 9 ∫ x 4 + 3  12 x 4 36 x 4 + 3
1
1
1
1
1


d ( 3x − 2 )
dx
1
1
dt
= ∫
= ∫ 2
=
6) ∫ 3 x − 2 9 x 2 − 12 x − 7
2
(
)(
) 3 ( 3x − 2) ( 3x − 2) − 11 3 t ( t − 11)


2
2
2
1 t − ( t − 11)
1
tdt
1 dt 1 ( 3x − 2 ) − 11
= ∫
dt = ∫ 2
−
= ln
+c
2
3 t ( t 2 − 11)

3 ( t − 11) 3 ∫ t 6
3x − 2 )
(
3

BTVN

1,

∫
1

0

2 x6 + 1
dx
x 6 (1 + x 2 )
ln13

ex

4 x + 11x + 9
dx
2, ∫ 3
x + 3x 2 + 3x − 7
−1

3,

x −x

∫ x6 + 4 x 4 + 4 x 2 + 1 dx

5,

( x 4 − 1)
∫ x( x 4 − 5)( x5 − 5x + 1) dx

7,

∫ sin x − 2 cos x + 3 dx

4,
6,

2

3

π
2

dx
∫ 3sin x + 4 cos x + 5
0

Bài 5

∫

ln 5

(3 + e x ) e x − 1

dx

sin x + 2 cos x − 3

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ VƠ TỈ

e
÷
1


Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng

A. Mc tiờu bi dy
- HS nm vng phương pháp đổi biến số, phương pháp lượng giác hoá các
bài tốn tích phân, bảng các ngun hàm cơ bản.
- HS nắm vững phương pháp tính tích phân các hàm vơ tỉ
- HS vận dụng thành thạo vào giải tốn
B. Nội dung bài dạy
dx
I. Dạng 1. Tích phân dạng: ∫
ax 2 + bx + c
du
= ln u + u 2 + k + c . Thật vậy: Đặt
Nx: ∫ 2

u +k


u
dt
dx
t = u + u 2 + k ⇒ dt =  1 +
t ÷dx ⇒ =
t
u2 + k 
u2 + k

du
dt
= ∫ = ln t + c
∫ u2 + k t
* Nếu a > 0, biến đổi
* Nếu a < 0,

ax 2 + bx + c = u 2 + k
ax 2 + bx + c = k 2 − u 2 , đặt t = k.sinu

Bài 1. Tính các tích phân sau:
1)

∫
2

3)

2)

2x − 5x + 2
2

7
−1
3

∫

−1

5)

2

dx

1

dx
4 − 6 x − 3x
dx

∫

4)
2

dx
3x 2 − 5 x + 4
dx

∫

7 − 8 x − 10 x 2

∫ ( x + 1) ( x + 2 )

Cách 1: Làm theo phương pháp trên.
Cách 2: * Nếu x > -1, đặt:
1
2dt
dx
 1

t = x + 1 + x + 2 ⇒ dt = 
+
÷dx ⇒ t =
x + 1. x + 2
 2 x +1 2 x + 2 
dx
dt
⇒∫
= 2∫ = 2ln t + c = 2ln x + 1 + x + 2 + c
t
( x + 1) ( x + 2 )

(

)

* Nếu x < -2 , đặt:


−1
1
2dt
dx
t = −( x + 1) + −( x + 2) ⇒ dt = 
−
=
÷dx ⇒ −
 2 −( x + 1) 2 −( x + 2) ÷
t
x + 1. x + 2


dx
dt
⇒∫
= −2∫ = −2ln t + c = −2ln −( x + 1) + −( x + 2) + c
t
( x + 1) ( x + 2 )

(

Cách 3. Sử dụng phép thế ơle.

)


Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

II. Dng 2. Tớch phân dạng:
Biến đổi:

∫

( mx + n ) dx
ax 2 + bx + c

=

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng



( mx + n ) dx
ax 2 + bx + c
( 2ax + b ) dc

m
mb 
dx

∫ ax 2 + bx + c +  n − 2a ÷∫ ax 2 + bx + c
2a




Bài 2. Tính các tích phân sau:
1
( x + 4 ) dx
1) ∫ 2
x + 4x + 5
0
0
( x − 1) dx
3) ∫
− x2 − 4x + 5
−2
III. Dạng 3. Tích phân dạng

0

( x + 2 ) dx

−1

2)

x2 + 2x + 2

∫

2

4)

∫ f ( x,

2x −1

∫

−4 x 2 + 12 x − 5

1

dx

)

ax 2 + bx + c dx

Cách giải: Sử dụng phép thế Ơle.
+ Nếu a > 0, đặt ax 2 + bx + c = t ± ax
+ Nếu c > 0, đặt ax 2 + bx + c = tx ± c
+ Nếu ttb2: ax2 + bx + c có nghiệm x0, đặt ax 2 + bx + c = t ( x − x0 )
Bài 2. Tính các tích phân sau:
dx
dx
1) ∫
(HVKTQS – 99)
2) ∫
1 + x + x2 + 1
x − x2 − x + 1
dx

dx
2
3) ∫
4) ∫
2
1 + x ( x + 1)
1+ 1− x − x

(

Bài 5

)

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ (TIẾP)


Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng

A. Mc tiờu bi dy
- HS nm vng phương pháp đổi biến số, phương pháp lượng giác hoá các
bài tốn tích phân, bảng các ngun hàm cơ bản.
- HS nắm vững phương pháp tính tích phân các hàm vơ tỉ
- HS vận dụng thành thạo vào giải tốn
B. Nội dung bài dạy
IV. Dạng 4. Tích phân dạng ∫
Cách giải:
Tổng quát:

dx

( mx + n )

ax 2 + bx + c

( px + q ) dx
∫ ( mx + n ) ax 2 + bx + c

Bài 4. Tính các tích phân sau:
1)

∫ ( x + 1)

1
2

dx

∫ (2 x + 3)

2)

x + 2x + 2
2

−

1

2

dx
4 x 2 + 12 x + 5

(3 x + 2)dx

∫ ( x + 1)

x 2 + 3x + 3


ax + b 
f  x, n
÷dx
∫
cx + d 

ax + b
dt n − b
n
⇒x=
Cách giải: Đặt t =
cx + d
a − ct n
Bài 5. Tính các tích phân sau:
1
5
xdx
3

1− x
π
= 3 x + 1 − 3 3 x + 1 + c (đhan-01)
dx = − 1
1) ∫
2) ∫ 3
1+ x
2
x +1 5
0
V. Dạng 5. Tích phân dạng:

(

6

3)

∫
4

)

2
5
1 3  x +1
 x +1 
 
4) ∫ 2
÷ −6

÷  dx = I
x −1   x −1
x −1 



6
5
x +1
1+ t
12t
⇒x= 6
⇒ dx =
dt
2
x −1
t −1
t 6 − 1)
(

x − 4 dx
×
= 2ln 3 − 1
x+2 x+2

Đặt t =

6

5

4

⇒ I = ∫ 3 ( t 3 − t 4 ) dt = 3 6  x + 1  − 3 6  x + 1  + c

÷

÷
5  x −1
4  x −1
VI. Một số tích phân khác.
Bài 6. Tính các tích phân sau:
1
1) ∫ x3 1 − x 2 dx = − ∫ x 2 1 − x 2 d ( 1 − x 2 ) . (HVHCQG – SP – 01)
2


Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng

t t = 1 x 2 2tdt = d ( 1 − x 2 ) ⇒ ∫ x3 1 − x 2 dx = −
2)

x5 dx

∫

3)

4
2
1 x d ( x + 3)
= ∫
. Đặt t = x 2 + 3
2
2
x +3 2
x +3
x2 + 1
dx Đặt t = x + 1
x +1

1
2
∫ ( 1 − t ) .t.2tdt
2

∫

x 2 + 1.d ( x 2 + 1)
x x2 + 1
1
dx = ∫ 2
4) ∫ 4
x − 3x 2 + 2
2 ( x − 1) ( x 2 − 2 )

t 2 dt
dt

dt
=∫ 2
+ 2∫ 2
Đặt t = x 2 + 1 ⇒ I = ∫ 2
( t − 2 ) ( t 2 − 3 ) ( t − 3) ( t − 2 ) ( t 2 − 3 )
dt
dt
1 ( t − 3) ( t + 2 )
− 2∫ 2
= ln
+c
t2 − 3
t − 2 2 ( t + 3) ( t − 2 )

= 3∫

xdx
x +1 + 3 x +1
6) ∫ (2 x − 1) 3 3 − 5 xdx

5)

7)

∫

x5 dx

∫

Đặt t = x 2 + 3 ⇒ x 2 = t 2 − 3 ⇒ xdx = tdt

x +3
2

Bài 7. Tính các tích phân sau:
d ( x 2 + 1)
xdx
1
dt
2
= ∫
1) ∫ 2
. Đặt t = x + 1 ⇒ I = ∫ 2
t −2
( x − 1) x2 + 1 2 ( x2 − 1) x2 + 1
1

2)

∫
0

xdx

( 3x 2 − 5) 2 − x 2

3

3)

∫
2

(x

dx

2

− 2) x2 + 3

Đặt t = 2 − x 2
Đặt t =

Bài 8. Tính các tích phân sau:
1)

3
2

∫ (3− x )
2

0
1

2)

∫

0

a

3 − x2

dx

(4−x )
2

4 − x2

2
2
3) ∫ x a − x dx
0

( a > 0)

x
x2 + 3


Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
1
2

4)

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng

x 2 dx



(1 x )

2 5

0

BTVN
x8 x
dx
1) 4
x( x + 1)
4

4)

∫
0

7) ∫

−1

10)
13)

∫ (x

16)

∫x

19)

∫x

2

2

dx

3

( x − 1)( x + 1)

11)

2

− x 2 + 4 x − 3dx

∫
2

14)

∫x

17)

− 1) x + 1
2

1+ x
dx

∫ x−

3

5

+ b) cx 2 + d
xdx

4

∫

8)

1 + x2 + 2x + 2
xdx

∫

5)

x
dx, a > 0
2a − x
dx

∫ (ax

dx

2)

∫

3

dx
x2 − x + 1
x2 + 2 x + 2
dx
x
dx

4

1+ x

3

ax − x3 dx

a+x
dx
a−x
dx

3)

∫

6)

∫x

9)

∫ (ax

x2 + a2
dx
2

+ b) cx 2 + d

12) ∫ x3 1 − x 2 dx
3

1 + x3
dx
x2
x 5 dx

15)

∫

18)

∫ (a − x

x5 + 1

4

2

) a − x2

BÀI 6
TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
I. Mục tiêu bài dạy
- HS biết cách tính tính phân của các hàm số lượng giác
- Có cái nhìn tổng qt về tích phân của các hàm số lượng giác
II. Nội dung bài dạy
A. Lí thuyết
B. Bài tập
* Dạng 1.

dx

∫ a sin x + b cos x + c

Bài 1. Tính các tích phân sau:
x

d  tan ÷
dx
dx
2

=∫
=∫
1) ∫
x
x
x
x
x
x
3sin x + 4 cos x

3 tan + 2 − 2 tan 2
6sin cos + 4  cos 2 − sin 2 ÷
2
2
2
2

2
2

dx
2) ∫
2sin x + 5cos x + 3
a sin x + b cos x + c

* Dạng 2. ∫ m sin x + n cos x + p dx
Tồn tại cách phân tích duy nhất:
asinx + bcosx + c = α(msinx + ncosx + p) + β(mcosx – nsinx) + γ, với mọi x
⇔ asinx + bcosx + c = (αm - βn)sinx + (αn - βm)cosx + αp + γ, với mọi x


Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng

Bi 2. Tớnh cỏc tớch phõn sau:
1)



3sin x + 4 cos x − 3
dx.
sin x + 2 cos x + 3

α = 1, β = 2, γ = −6

π

2

2) ∫ sin x − cos x + 1 dx
sin x + 2 cos x + 3
5cos x − 4sin x
4) ∫ cos x + sin x 3 dx
(
)

3)

0

5)

dx

2 cos x + sin x − 3

∫ sin x − 2 cos x + 3 dx

1
9
α = , β = − ,γ = 0
2
2
cos xdx

4

3

∫ 4 + 3 tan x = ∫ 2sin x + 4 cos x = 24 x + 25 ln 4 cos x + 3sin x + c

* Dạng 3. ∫ f ( sin x;cos x ) dx . f là hs hữu tỉ đối với sinx và cosx.
+ f ( − sin x;cos x ) = − f ( sin x;cos x ) đặt t = cosx
+ f ( sin x; − cos x ) = − f ( sin x;cos x ) đặt t = sinx
+ f ( − sin x; − cos x ) = f ( sin x;cos x ) đặt t = tanx
+ Có thể đặt t = tan

x
2

Bài 3. Tính các tích phân sau:
π
2

dx
1) ∫
sin x cos6 x

4)
6)

3
2) ∫ 4sin x dx
1 + cos x
0

π

3

π
6

dx
3− 3
∫ cos x ( sin x − cos x ) = ln 3
0

∫ sin

3

dx
x cos5 x

cos3 x
3) ∫ 4 dx
sin x

5)

∫

π
4

dx
4

3

sin x cos5 x

Cách 1: Đặt t = cosx ⇒ dài
Cách 2: Mũ của sinx và cosx hơn kém nhau 2 đơn vị.

∫ sin

7)

3

d ( tan x )
d ( tan x )
dx
1
3
1
= 8∫
= 8∫
=−
+ 3ln tan x + tan 2 x + tan 4 x + c
3
3
5
2
x cos x
2 tan x

2
4
( sin 2 x )
 2 tan x 

÷
2
 1 + tan x 
sin xdx

∫ cos x

1 + sin x
2

8)

∫

dx
3

sin x cos x

Bài 4. Tính các tích phân sau:
dx
(ĐHBK – 00)
2 + sin x − cos x
sin x cos xdx 1 ( sin x + cos x ) 2 − 1
2) ∫

=
dx
sin x + cos x 2 ∫ sin x + cos x

1)

∫

11

5
9) ∫ tan xdx


Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng

BI 6
TCH PHN CC HM LNG GIC (TIP)
I. Mục tiêu bài dạy
- HS biết cách tính tính phân của các hàm số lượng giác
- Có cái nhìn tổng quát về tích phân của các hàm số lượng giác
II. Nội dung bài dạy
C. Lí thuyết
D. Bài tập
* Một số tích phân khác
Bài 5. Tính các tích phân sau:
5
6

1) ∫ sin xdx
2) ∫ cos xdx
Bài 6. Tính các tích phân sau:
2
4
1) ∫ sin x cos xdx

7
3) ∫ tan xdx

8
4) ∫ cot xdx

dx
3) ∫ 4
sin x cos x

5
2008
2) ∫ sin 2 x cos xdx

4)

∫

cos5 xdx
3

sin 2 x

sin 3 xdx
5) ∫
cos x 3 cos x

Bài 7. Tính các tích phân sau:
1)

dx

∫ sin x

2)

dx

∫ cos x

dx

∫ sin x − cos x

3)

Bài 8. Tính các tích phân sau:

cos 2 x
dx
4) ∫
sin x + 3 cos x

7)

π
2

∫
0

sin 2 x
3) ∫ 6 dx
π cos x

2) ∫ sin xdx
3 + cos 2 x
0
π
2 3

5)

∫

π
3

4

∫

sin 3 x − sin x

dx
tan x sin 3 x

π
3

cos xdx
7 + cos 2 x

dx

∫ sin 3x + cos 3x
π
3

π
2

π
1) ∫ sin( x − )(2 + 2sin 2 x)dx
4

4)

6) cos x cos( x + π )
4

π
6

8) ∫ tan( x + ) cot( x + )dx

Bài 9. Tính các tích phân sau:
π
2

1)

x + cos x
dx =
2
x

∫ 4 − sin

−

π
2

Do f ( x ) =

π
2

x

∫ 4 − sin

−

π
2

2

x

dx +

x
là hs lẻ nên
4 − sin 2 x

π
2

cos x

∫ 4 − sin

−

π
2

π
2

x

x

∫ 4 − sin

π
−
2

2

2

x

dx = 0 +

π
2

d ( sin x ) 1
= ln 3
2
x 2

∫ 4 − sin

−

π

2

dx = 0

2π

2) I = ∫ sin ( sin x − nx ) dx ( n ∈ ¢ )
0

Cách 1: Đặt x = 2π − t ⇒

2π

2π

0

0

∫ sin ( sin x − nx ) dx =

1

∫ sin ( sin t − nt ) dt ⇒ I = 0

dx


Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Cỏch 2: t x = t

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng

2





0

I=





sin ( sin x − nx ) dx = − ∫ sin ( sin t − n ( π − t ) ) dt = ± ∫ sin ( sin t + nt ) dt = 0

Do hs f ( t ) = sin ( sin t + nt ) là hs lẻ.
BT:
1)
3)
5)

4 cos x + 3sin x
dx
cos x + 2sin x

2)

∫ 4sin

3sin x + 4 cos x
∫ 3sin 2 x + 4 cos 2 x dx
0

4)

sin 3 x
∫ 3sin 4 x − sin 6 x − 3sin 2 x dx

∫
π
2

sin x sin 4 x

2

1
dx
x + sin x cos x + 2 cos 2 x − 1

6) ∫ cos 5 x tan xdx

∫ tan x + cot 2 x dx
π
3

cos6 x
7) ∫ 4 dx
π sin x

4
8) ∫ sin x cos 5 xdx

4

9) ∫ cos x sin 8 xdx

10) sin x cos( x + π )

15)

3

12) ∫ sin 3xdx
0
π
3

π
4

sin 2 xdx
∫ sin 4 x + cos4 x
0

14)

dx

16)

π
4

3
17) ∫ 4sin xdx
4

18)

1 + cos x

3
19) ∫ sin xdx
4 + cos 2 x
0

∫ sin

20)

cos xdx
x − cos3 x

22)

3

dx
23) ∫ 3
sin x cos5 x

25)

π
4
0

27)

π
4

24)

dx
∫ 1 + tan x
0

3

x

dx

∫ (sin x − cos x) cos

π
6

π
2

sin 3 x − sin xdx
tan x sin 3 x

∫

π
3

∫

dx
4

3

3

sin x cos5 x

2 cos x − sin 2 x

∫ (1 + sin x)(3 − cos 2 x)dx

26) ∫ (cos x + sin x)dx

0
π
3

28)

3 + sin 2 x

dx

α
∫
π 1 + tan x
6

2

tan x cos xdx
2
x − 9 cos 2 x

∫ 16sin

0
π
2

cos 2 xdx

∫ (sin x + cos x + 2)

dx

∫
π sin x cos

0
π
2 3

π
2

21)

1 + cos x

6

∫ sin 2 x − 2sin x
0

dx

π
2

3
4
11) ∫ sin x cos xdx

13)

1

∫

3

x


Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng


4

1

29) tan xdx2006
1 + (cos x)
0

2

30)

sin 2 xdx

∫ ex
−1
π
4

31) ∫ (sin x + cos x − sin x cos x)dx
10

10

4

−

0

1

cos x(2 cot 2 x + 3cot x + 1) sin 2 x + cot x
e
dx
sin 3 x

∫π

32)

4

4

BÀI 7
TÍCH PHÂN HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững các kiến thức về GTTĐ và tích phân, đặc biệt là các tính chất
của nó
- HS giải thành thạo các tích phân có chứa dấu GTTĐ
II. Nội dung bài dạy
A. Lí thuyết
1. Một số phép biến đổi vi phân thường gặp.
1
+ d ( f ( x)) = f ' ( x)dx hay f ' ( x)dx = d ( f ( x))
+ dx = d (ax + b)
a
+ cos xdx = d (sin x)
1
sin xdx = − d (cos x)
+
+ xdx = d (ax 2 + b)
a

dx
= d (tan x )
cos 2 x
dx
= −d (cot x)
+
sin 2 x
dx
= d (ln x )

+
x
1
+ e x dx = d (ae x + b)
a

+

1

n
n +1
+ x dx = a(n + 1) d (ax + b)

dx

+

=

d (x + x 2 + a )

x2 + a
x + x2 + a
1 
1


+ 1 − 2 dx = d  x + 
x

 x 

1 
1


+ 1 + 2 dx = d  x − 
x
x 



2. Một số tính chất của tích phân.
b

1) Đảo cận, đảo dấu:

∫
a

b

2) Tách cận tích phân:

∫
a

a

f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx

b

c

b

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
a

c

b

3) Khơng phụ thuộc biến số tích phân:

∫
a

b

b

a

a

f (t ) dt = ∫ f ( x) dx = ∫ f (u )du

4) Bất đẳng thức tích phân: nếu f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a ; b] thì :
b

∫
a

b

f ( x)dx ≥ ∫ g ( x )dx
a

3. Quy tắc đổi biến số.
Bước 1: Đặt x = ϕ(t) (hoặc t = ϕ(x)) ⇒ dx = ϕ’(t)dt (hoặc dt = ϕ’(x)dx)
Bước 2: Đổi cận x = a ⇒ ϕ(t) = a ⇒ t = α


Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng

x = b (t) = b t = β
Bước 3: Áp dụng công thức
β

b

∫ f ( x)dx = α f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt
∫
a

4. Công thức tích phân từng phần.
b

b

b
∫ udv = uv |a − ∫ vdu
a

a

b

Muốn tính tích phân I =

∫

f ( x) dx ta làm như sau:

a

Bước 1. Giải phương trình f(x) = 0 với x ∈ (a ; b). Giả sử các nghiệm là x1 và x2.
Bước 2. Tách cận tích phân
b

∫

I=

a

x1

x2

b

a

x1

x1

x2

f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx =

∫

f ( x )dx +

a

x2

∫

b

f ( x)dx +

x1

∫ f ( x)dx

x2

Bài 1. Tính các tích phân sau:
π
2

2

a)

∫x

3

− x dx

e)

0
4

b)

∫

x 3 − 2 x 2 + xdx

c)

∫
0

π
−
2
π

∫ cos x

f)

0
2

2 ( 1 − cos 2x ) dx = 4

∫

0
π
3

x2 − 4x + 3
dx
x +1

g)

∫
π

h)

− 4 ( x − 1) dx

∫2

x

1

d) K = ∫ 1 + sin 2xdx

4
3

tan 2 x + cot 2 x − 2dx

6
3

π

sin xdx =

x+3

0

0

Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)

π
4

∫
1

c)

tan x + sin x − 2 x dx
x2
− x + ln ( 1 + x ) dx
2

0

0

b)

∫

∫
0

x2 + 1
1

d)

− 10 dx
x2
− x + 1 − e − x dx
2

∫
0

Bài 3. Cho f(x) là hàm số liên tục trên ¡ và thoả mãn f ( x) + f (− x) = 2 − 2 cos 2 x
3π
2

Tính I =

∫π

f ( x)dx

3
−
2
3π
2

Đặt t = - x ⇒

∫π

3
−
2

−

f ( x)dx = −

3π
2

∫

3π
2

f (−t )dt =

3π
2

∫π

3
−
2

f (−t )dt =

3π
2

∫π

3
−
2

f (− x )dx


Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
3
2

3
2

3

2

3

2

f ( x) + f ( − x )  dx = ∫π



2 ( 1 − cos 2 x ) dx = 2

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng
3
2



sin x dx
3
2

1

Bi 4. Tìm m để I(m) = ∫ x x − m dx đạt giá trị nhỏ nhất.
0

BÀI 8

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
THỂ TÍCH CÁC KHỐI TRỊN XOAY

I. Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững ý nghĩa hình học của tích phân

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng

- HS nm vng cụng thc tớnh din tích, thể tích
- HS giải thành thạo các bài tốn liên quan
II. Nội dung bài dạy
A. Lí thuyết
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a và x = b
b

được cho bởi công thức sau S =

∫

f ( x) − g ( x) dx

a

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f(y), x = g(y), y = a và y = b
b

được cho bởi công thức sau S =

∫

f ( y ) − g ( y ) dy

a

3. Nếu hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f(x), y = g(x) thì trước tiên ta giải
phương trình f(x) = g(x) để tìm ra các nghiệm x1 < x2 < x3. Khi đó
x3

S=

∫

f ( x ) − g ( x) dx =

x1

x2

∫
x1

x3

f ( x ) − g ( x) dx + ∫ f ( x) − g ( x ) dx
x2

4. D = {y = f(x), trục Ox, x = a, x = b}. Cho D quay xung quanh Ox được vật thể
b

2
trịn xoay có thể tích là V = π ∫ y dx
a

5. D = {x = f(y), trục Oy, y = a, y = b}. Cho D quay xung quanh Oy được vật thể

b

2
tròn xoay có thể tích là V = π ∫ x dy
a

* Chú ý
+ D = {y = f(x), y = g(x), x = a, x = b} và nếu f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a ; b] thì
b

2
2
VOx = π ∫  f ( x) − g ( x)  dx


a

+ Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi nhiều đường thì ta tìm giao điểm của
các đường đó và chia hình phẳng D thành các hình phẳng đơn giản sao cho có thể
vận dụng được cơng thức.
B. Bài tập
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
ln x
a) x = 1, x = e, y = 0, y =
.
2 x
b) y2 = 2x, y = x, y = 0 và y = 3.
c) y = - 4 − x 2 và x2 + 3y = 0.
d) y2 + x – 5 = 0 và x + y – 3 = 0
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y = |x2 – 1| và y = |x| + 5
b) x = y , x + y – 2 = 0 và y = 0.
c) y = x, y = 0 và y = 4 – x.
d) y = x2, y =

8
x2
và y =
x
8


Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng
1
Bi 3. Cho hm s y = 2 . Gọi (C) là phần đồ thị của hàm số ứng với x > 0. A và
x

B là các điểm trên (C) có hồnh độ lần lượt là 1 và 2.
a) Viết phương trình Parabol đi qua O, A và B.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và Parabol.
Bài 4. Cho hình phẳng giới hạn bởi hai Parabol y2 = 2x và x2 = 2y.
a) Tính diện tích hình phẳng.
b) Tính VOx và VOy.
Bài 5.
a) Viết phương trình chính tắc của (E) biết tiêu cự bằng 8, tâm sai bằng 4/5.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (E) ở câu a) và các tiếp tuyến của (E)
biết các tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ;

15

)
4

Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 – 4x + 5 và các tiếp tuyến của
nó kẻ từ điểm A(

5
; -1).
2

Bài 7. Cho hình phẳng D giới hạn bởi y2 – 2y + x = 0 và x + y = 0.
a) Tính diện tích của D.
b) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối trịn xoay tạo thành.
Bài 8. Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = 2x2 và 2x – y + 4 = 0.
a) Tính diện tích của D.
b) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối trịn xoay tạo thành.
c) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối trịn xoay tạo thành.
Bài 9. Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = x2 – 2x và y = -x2 + 4x.
a) Tính diện tích của D.
b) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối trịn xoay tạo thành.
Bài 10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: y = x2 (x > 0), y = -3x +10, y = 1.
a) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối trịn xoay tạo thành.
b) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối trịn xoay tạo thành.
Bg.
2
3
y
61π
2
VOx = π ∫ ( x 4 − 1) dx + π ∫ ( −3 x + 10 ) − 1 dx =

a)
(đvtt)


4
5
1
2
 ( 10 − y ) 2
=π∫
−
9

1 
4

b) VOy

( y)

2


101π
 dy =
(đvtt)
54



1
O

BÀI 8

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1

2

3

x


Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng

TH TCH CC KHI TRềN XOAY
I. Mc tiờu bài dạy
- HS nắm vững ý nghĩa hình học của tích phân
- HS nắm vững cơng thức tính diện tích, thể tích
- HS giải thành thạo các bài tốn liên quan
II. Nội dung bài dạy
A. Lí thuyết
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a và x = b
b

được cho bởi công thức sau S =

∫

f ( x) − g ( x) dx

a

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f(y), x = g(y), y = a và y = b
b

được cho bởi công thức sau S = ∫ f ( y ) − g ( y ) dy
a

B. Bài tập
Bài 11. Cho hình phẳng D giới hạn bởi y =

1
x2
và y = .
x2 + 1
2

c) Tính diện tích của D.
d) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối trịn xoay tạo thành.
e) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối trịn xoay tạo thành.
Bài 12. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: (P): y = 2x – x2 và trục Ox.
a) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
b) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối trịn xoay tạo thành.
Bg.

y
A
2

16π

2
a) VOx = π ∫ ( 2 x − x ) dx = 15 (đvtt)
0
2

1

b) y = 2x – x2 ⇔ x = 1 ± 1 − y
⇒ cung OA có pt: x = 1 − 1 − y
cung AB có pt: x = 1 + 1 − y
1

(

VOy = π ∫  1 + 1 − y


0

) − (1−
2

2
O

8π
1 − y  dy =
(đvtt)


3

)

x

B

2

-1
y
8
Bài 13. Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = |x2 – 4x + 3| và y = x + 3.
a) Tính diện tích của D.
b) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối trịn xoay tạo thành.
c) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối trịn xoay tạo thành.
3
Bg.

-3
O 1
-1

2

3

5

x


Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng

a) S = 109/6 (vdt)

Bi 14. Cho hỡnh phẳng D giới hạn bởi y = x2 và x = -y2.
a) Tính diện tích của D.
b) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối trịn xoay tạo thành.
c) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối trịn xoay tạo thành.
Bài 15. Cho hình trịn tâm I(2 ; 0) bán kính R = 1. Tính thể tích hình trịn xoay
sinh bởi hình trịn khi quay xung quanh:
a) Ox
b) Oy
Bài 16. Cho Hình phẳng D giới hạn bởi (E):

( x − 4) 2 y 2
+
= 1.
4
16

a) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối trịn xoay tạo thành.
b) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối trịn xoay tạo thành.
Bài 17. Cho hình phẳng D giới hạn bởi (P): y2 = 2x và (C): x2 + y2 = 8.
(P) chia đường tròn thành hai phần, tính diện tích mỗi phần.

y


y2 
4
S 2 = 2 ∫  8 − y 2 − ÷dy = 2π + (đvdt)
2 
3
0
2

2

2

S2

S1

Ta có: S1 + S 2 = π ( 2 2 ) = 8π ⇒ S1 = 6π − (đvdt)
4
3

2

O

2 2

x

-2
2
Bài 18. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = 1 − 2sin

y = 1 − 2sin 2
S=

3x
= cos 3 x
2
π
6

3x
12 x
π
, y = 1+
,x =
2
π
2

y

7

7 +1 π
× − 3∫ cos 3 xdx = 2π − 1 (đvdt)
2 2
0

1
O

π
6

π
3

π
2

x


Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng
27
x2
2
y=
Bi 19. Cho hỡnh phng D gii hn bởi: (P1): y = x ; (P2):

; (H): y =
x
27

c) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
d) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối trịn xoay tạo thành.
Bg.
y
9
HD cách vẽ (H)
(P1) ∩ (H) = A(3;9); (P2) ∩ (H) = B(9;3)
P1
(H)
(P1) ∩ (P2) = O(0;0)
9/2
VOx =

583π
(đvtt)
3

3
P2

VOy = π ( 81 + 27 ln 3) (đvtt)

O

3

6

BTVN.
Bài 20. Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = sin|x| và y = |x| - π.
a) Tính diện tích của D.
b) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối trịn xoay tạo thành.
Bài 21. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
y = lg x , y = 0, x =

1
, x = 10
10

x
9