phoi_hop_giua_cac_diem_mat_phang_mat_cau.pdf

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (326.08 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!

BÀI GIẢNG SỐ 4: BÀI TOÁN PHỐI HỢP GIỮA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG 
 VÀ MẶT CẦU

Bài toán 1: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của điểm M trên đường thẳng , từ 
đó suy ra M’ đối xứng với M qua .

Phương pháp:

 Bước 1: Chuyển  về dạng tham số suy ra H . Vì MH   nên MH u .  0, từ 
đó suy ra tọa độ điểm H.

 Bước 2: H là trung điểm của MM’ nên ta có: 
'

'
2
2
2

M H M

x x x

y y y

z z z

 




 



  



.

Ví dụ: Cho M



2;3;5



và : 1 2

2 1 2

x y z

   . Tìm điểm H là hình chiếu vng góc của M trên

, từ đó suy ra M’ đối xứng với M qua .

Giải

Ta có

1 2
:

2 2

x t

y t

z t

 


  

  


, gọi H  H



1 2 ; ; 2 2 t t  t



MH



2t1;t5; 2t1



, u 



2;1; 2



.

Vì MH   nên  MH u.  02 2



t1

 

 t5



2 2



t1



0  t 1 H



3;1; 4



.

H là trung điểm của MM’ nên :





2 4

2 3 ' 4; 3;5

2 5

M H M

x x x

y y y M

z z z

  




     



   



.

Vậy: H



3;1; 4



, M' 4; 3;5







Bài tập:

1. Cho ba điểm A



1;3; 2



, B



4; 0; 3



, C



5; 1; 4



. Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên
đường thẳng BC. Đáp số: 231; 27 36;

51 51 51

H  

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!

2. Cho M



2; 1;1



, và đường thẳng : 1 1

2 1 2

x y z

  

 . Tìm tọa độ M’ đối xứng với m

qua . Đáp số: ' 16; 17 7;

9 9 9

M   

 .

Bài tốn 2: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của điểm M trên đường thẳng , từ 
đó suy ra M’ đối xứng với M qua .

Phương pháp:

 Bước 1: Viết phương trình MH qua M và vng góc với

 

P , từ đó suy ra tọa độ

điểm H MH

 

P .

 Bước 2: H là trung điểm của MM’ nên ta có: 
'

'
2
2
2

M H M

x x x

y y y

z z z

 




 



  



.

Ví dụ: Cho M



1; 2;1



và

 

P :x   y z 7 0. Tìm điểm H là hình chiếu vng góc của M
trên

 

P , từ đó suy ra M’ đối xứng với M qua

 

P .

Giải

Đường thẳng MH qua M và vng góc với

 

P , suy ra MH qua M



1; 2;1



và có vtcp





1;1;1 : 2

x t

u MH y t

z t

 



    

  



, tR . Ta có tọa độ H là nghiệm:

1
1

7 0

x t

y t

t

z t

x y z

 

  


 


 


    




2;3; 2



H

 .

H là trung điểm của MM’ nên :





2 3

2 4 ' 3; 4;3

2 3

M H M

x x x

y y y M

z z z

  




   



   



.

Vậy: H



2;3; 2



, M' 3; 4; 3





</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!

1. Cho M



3;3;3



và mặt phẳng

 

P : 2xy3z 4 0. Tìm điểm H là hình chiếu vng
góc của M trên

 

P , từ đó suy ra M’ đối xứng với M qua

 

P .

Đáp số: H



1; 2;0



, M'



1;1; 3



2. Cho M



4;3;1



và mặt phẳng

 

P : 2x   y z 2 0. Tìm M’ đối xứng với M qua

 

P .

Đáp số: M'



 4; 1;5



3. Cho mặt phẳng

 

P :xy  z 1 0 và hai điểm A



1; 2;3



, B



2; 0; 4



.
a) Chứng minh AB/ /

 

P .

b) Tìm A’ đối xứng với A qua

 

P . Đáp số: ' 11; 8; 5

3 3 3

A    

 .

c) Tìm M 

 

P sao cho : MA MB nhỏ nhất. Đáp số: 5; 4 7;

6 3 6

M  

 

Bài tốn 3: Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp: Biểu diễn điểm đó theo tham số, sau đó dùng công thức về độ dài đoạn 
thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt, khoảng cách từ một điểm đến một đường...

từ đó suy ra điểm cần tìm.

Ví dụ 1: TSĐH khối B_ 2010 ( Ban nâng cao).Cho đường thẳng : 1

2 1 2

x y z

   .Tìm tọa độ M

thuộc trục Ox sao cho d M



, 



OM.

Giải

Vì MOx nên M m



; 0;0



OM  OM  m . Đường thẳng  qua A



2;1; 2



có u 



2;1; 2



.



2; 2 ; 2



MA u   m m

 

. Ta có  

2
,

5 4 8

M

MA u m m

d

u





  

 

 


Ta có:





2 1

5 4 8

, 2 0

2
3

m

m m

d M OM m m m

m

 


 

         



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!



1; 0; 0 ;



M  M



2; 0;0 .



Ví dụ 2: Cho đường thẳng : 1 2

2 1 2

x y z

  

 và mặt phẳng

 

P :xy z 100. Tìm điểm
M thuộc  sao cho d M



;

 

P



 3.

Giải

Ta có:

1 2
:

2 2

x t

y t

z t

 


  

   


, vì M thuộc  nên



1 2 ; ; 2 2





;

 



9
3

t

M  t t   t d M P   .

 













5; 6;10

9 3 6

; 3 3

9 3 12 23; 12; 22

M

t t

t

d M P

t t M

  

   

  

      

      

  

Vậy : M



 5; 6;10



và M



23; 12; 22



Ví dụ 3: TSĐH khối A_2009 (Ban nâng cao) . Cho hai đường thẳng 1: 1 9

1 1 6

x y z

   và

1 2

: 3

1 2

x t

y t

z t

 


   

   


và mặt phẳng

 

P :x2y2z 1 0 . Tìm M 1 sao cho



; 2





;

 



d M  d M P .

Giải

Ta có: A



1;3; 1  



2,









2
2

1 1 ; ; 9 6 ; 2

MA u

M M t t t d M

u





         

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!

5
2

29t 88t68 ; Mà :



;

 



11 20
3

t

d M P   . Vì d M



;2



d M



;

 

P



nên :

2 2

11 20

29 88 68 35 88 53 0 53

t
t

t t t t

t



 

       

 



. Vậy có hai điểm : M



0;1; 3



và

18 53 3

; ;

35 35 35

M 

  thỏa mãn.

Bài tập:

1. TSĐH khối D_2009 ( Ban nâng cao) . Cho hai đường thẳng 1

3
:

x t

y t

z t

 



  

 


và

2 1

2 1 2

x y z

   . Tìm M 1 sao cho d M



;2



1.

Đáp số:M



4;1;1



và M



7; 4; 4



.

2. TSĐH khối B_2009 ( Ban cơ bản). Cho điểm A



1; 0; 0



, B



0; ; 0b



, C



0;0;c



với b, c
dương, và mặt phẳng ( ) :P y  z 1 0. Tìm tọa độ B và C biết



ABC

  

 P và







;



d O ABC  .

Đáp số: 0; ;01

B 
 và

1
0; 0;

C 
 .

3. TSĐH khối B_2011 ( Ban nâng cao) . Cho đường thẳng : 2 1 5

1 3 2

x y z

  

 và hai
điểm A



2;1;1



, B



 3; 1; 2



. Tìm M  sao cho tam giác MABcó diện tích 3 5 .

Đáp số:M



2;1; 5



và M



14; 35;19



.

4. Cho hai đường thẳng 1:

1 1 2

x y z

d   ; 2: 1 1

2 1 1

x y z

d    

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!

Đáp số:M



0; 0; 0



; N



1; 0;1



và 4 4 8; ;
7 7 7

M 

 

; 1; 4 3;

7 7 7

N  

 

.

Bài toán 4: Tìm điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp: Từ các giả thiết của bài tốn ta tìm được 2 mối liên hệ giữa hồnh độ, tung 
độ và cao độ của điểm đó. Kết hợp với điểm đó thuộc mặt phẳng cho trước ta suy ra điểm 
cần tìm.

Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;3; 1) ; B



2; 0; 1



và mặt phẳng ( ) : 3P x8y7z 1 0. Tìm điểm
C thuộc mặt phẳng

 

P sao cho tam giác ABC đều.

Giải

Gọi M a b c



; ;

  

 P ,và tam giác ABC đều nên ta có:

 





2 2 2 2

2 2

3 8

4 4 4

3 8 7 1 0

AC AB a b c

AC BC a c

a b c

C P



     



 

    

 

      

 

2
2
1

a
b
c

 


 

 


;

2
3
2
3
1
3

a

b

c


 





 




 



. Vậy : M



2; 2;1



và 2; 2; 1

3 3 3

M   

 .

Ví dụ 2: TSĐH khối B_2011 (Ban cơ bản) . Cho đường thẳng : 2 1

1 2 1

x y z

  

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!

Tọa độ giao điểm I là nghiệm của hệ





1 1

1;1;1

1 2 1

3 0

x y z

I
x y z

 



 





 



    


. Vì M

 

P , MI   và

4 14

MI  nên













3 0 5 3

2 2 0 9 ; 7

11 13

1 1 1 224

a b c a a

a b c b b

c c

a b c

         



  

         

     

 

     




Vậy : M



5;9; 11



; M



 3; 7;13



Bài tập:

1. TSĐH khối A_2011 (Ban cơ bản) . Cho điểm A



2; 0;1



, B



0; 2;3



và mặt phẳng

 

P : 2x   y z 4 0. Tìm M 

 

P sao cho : MAMB3.

Đáp số: M



0;1;3



và 6 4 12; ;

7 7 7

M 

 .

2. TSĐH khối B_2008 . Cho ba điểm A(0;1; 2); B



2; 2;1



; C



2; 0;1



và mặt phẳng

( ) : 2P x2y  z 3 0. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng

 

P sao cho MAMAMC.

Đáp số: M



2;3; 7



.

3. Cho điểm A



3;8; 2



, mặt phẳng

 

P :x   y z 3 0 và hai đường thẳng 1

2 2

: 3

x t

d y

z t

 





 


: 1

x t

d y t

z t

 



 

 


. Tìm M

 

P sao cho AM cắt d1 và d2.

Đáp số: M



1; 2; 2 



.

4. Cho mặt cầu

  

S : x1



2



y2



2



z3



2 25 và mặt phẳng

 

P : 3x4z190
a) Tìm M 

 

S sao cho :dM; P  lớn nhất. Đáp số: M



4; 2;7



.

b) Tìm N

 

S sao cho :dN P;  nhỏ nhất. Đáp số: N



2; 2;1



.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!

5.1: Cho hai điểm A và B không thuộc mặt phẳng (P). Tìm M thuộc (P) sao cho MA+MB 
nhỏ nhất.

Phương pháp: Nếu A và B khác phía so với (P) thì M  AB

 

P .

Nếu A và B cùng phía so với (P) thì ta lấy A đối xứng với A qua (P) ( Xem 1

bài tốn 2). Khi đó M A B1 

 

P .

Ví dụ : Cho hai điểm A( 7; 4; 4) ; B



6; 2;3



và mặt phẳng ( ) : 3P xy2z190. Tìm M
thuộc

 

P sao cho MA MB nhỏ nhất.

Giải

Ta có: 3.



7



 4 2.4 19 . 3.   



6



 2 2.3 19 980 nên A và B cùng phía so với

 

P .
Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua

 

P .

Đường thẳng AA qua Avà vng góc với 1

 

P , suy ra AA qua 1 A



7; 4; 4



và có vtcp





7 3
3; 1; 2 AA : 4

4 2

x t

u y t

z t

  




      

  



, tR. H là hình chiếu vng góc của A trên

 

P khi đó tọa

độ H là nghiệm:

7 3
4

1
4 2

3 2 19 0

x t

y t

t

z t

x y z

  



 


 


 


    





4;3; 2



H

  .

H là trung điểm của AA nên : 1





1 1

2 1 1 5

2 2 1; 2; 0 A : 2 ,

2 0

A H A

x x x x t

y y y A B y t R

z t

z z z

        

 

       

 

  

   



.

Ta có : MA MB MA1MB A B1 MA MB nhỏ nhất khi 1 ( ) 13; 2; 2
3

M  A B P M 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!

9
Vậy : 13; 2; 2

M 

 .

5.2: Cho hai điểm A và B khơng thuộc đường thẳng d. Tìm M thuộc sao cho MA+MB nhỏ 
nhất.

Phương pháp:

 Gọi A1, B1 theo thứ tự là hình chiếu vng góc của A và B lên d.

 Tìm tọa độ N chia A B1 1 theo tỉ số 1
1

BB

 tức là: 1 1
1
1

NA

BB

NB  



 .

 Khi đó MA MB nhỏ nhất khi M N.

Ví dụ : Cho điểm A



1;1;0



, B



3; 1; 4



và đường thẳng : 1 1 2

1 1 2

x y z

d     

 . Tìm M thuộc d
sao cho MA MB nhỏ nhất.

Giải

Gọi A1, B1 là hình chiếu vng góc của A và B lên d. Theo bài tốn 1 ta tìm được A1



0; 0; 0



;





2; 2; 4 1

B

BB

     . Gọi tọa độ N d chia A B1 1 theo tỉ số 1
1

BB

 tức là:





1 1

1
1

1; 1; 2

NA

NA NB N

BB

NB       



 

 . Ta chứng minh MA MB nhỏ nhất khi M N ,

Thật vậy : Gọi A2 là điểm thuộc mặt phẳng



B d,

 



, khác phía so với d và thỏa mãn:

1 1 2 1 1 2 1 1 2

1 2 1 1 1 1

AA A A AA A A NA A A

A A d BB BB NB BB




     







 A2, B, N thẳng hàng.

Ta có : MA MB MA2 MB A B2 NANB MA MB nhỏ nhất khi M N



1; 1; 2



Vậy : M



1; 1; 2



</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!

1. Cho hai điểm A



3;1; 0



, B



9; 4;9



và mặt phẳng

 

P : 2x   y z 1 0. Tìm M

 

P

sao cho MA MB lớn nhất.

Đáp số: M



7; 2; 13



.

2. Cho hai điểm A( 1;3; 2)  ; B



3;7; 18



và mặt phẳng ( ) : 2P xy  z 1 0. Tìm M
thuộc

 

P sao cho MA MB nhỏ nhất.

Đáp số: M



2; 2; 3



.

3. Cho hai điểm A(3;1;1); B



7;3;8



và mặt phẳng ( ) :P xy  z 3 0. Tìm M thuộc

 

P

sao cho MAMB
 

nhỏ nhất.

Đáp số: M



0; 3;0



.

4. Cho điểm A



1; 2; 1



, B



7; 2;3



và đường thẳng : 2 4

3 2 2

x y z

d    

 . Tìm M thuộc d
sao cho MA MB nhỏ nhất.

Đáp số: M



2; 0; 4



.

5. Cho điểm A



3;0; 2



, B



3;6; 4



và đường thẳng : 1 1

3 2 1

x y z

d    

 . Tìm M thuộc d sao
cho MA MB  nhỏ nhất.

Đáp số: 13; 4; 5

7 7 7

M   

 .

</div>