on tap tcc C2 (lt 4-2013)

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHƯƠNG I MA TRẬN-ĐỊNH THỨC </b>

<b>Câu 1. Cho ma trận </b> 1 1
0 1

<i>A</i>=⎛⎜⎜_⎜ ⎞⎟⎟_⎟_⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠. Tính

3

<i>A</i> .
A. 1 1

0 1
⎛ _⎞⎟
⎜ _⎟
⎜ _⎟
⎜ _⎟
⎜ ⎟

⎝ ⎠ B.

1 3
0 1
⎛ _⎞⎟
⎜ _⎟
⎜ _⎟
⎜ _⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠ C.

3 3
0 3
⎛ _⎞⎟
⎜ _⎟
⎜ _⎟
⎜ _⎟
⎜ ⎟

⎝ ⎠ D. Các kết quả trên đều sai.

<b>HD: </b>

2 1 1 1 1 1 2 _; 3 1 2 1 1 1 3

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

<i>A</i> =⎛_⎜⎜⎜ ⎟_⎟⎟_⎟⎞⎛⎜⎜_⎜ ⎟⎞_⎟⎟_⎟=⎜⎛⎜_⎜ ⎞_⎟_⎟⎟⎟ <i>A</i> =⎜⎛⎜_⎜ ⎟⎟⎞⎛_⎟_⎟_⎜⎜⎜ ⎞⎟⎟_⎟_⎟=⎜⎜_⎜⎛ ⎟_⎟⎟⎞_⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

<b>Câu 2. Cho hai ma trận </b> 3 7 1
0 1 2

<i>A</i>=⎛⎜⎜_⎜− ⎞⎟⎟_⎟_⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠ và

3 1
2 4
0 0
<i>B</i>
⎛₋ ⎞_⎟
⎜ _⎟
⎜ _⎟
⎜ _⎟
⎜
=_⎜ ⎟_⎟
⎜ ⎟
⎜ _⎟⎟
⎜⎝ ⎠
. Khẳng
định nào sau đây là đúng?

A. <i>B</i> là ma trận chuyển vị của <i>A</i>.

B. AB xác định nhưng BA không xác định.
C. BA xác định nhưng AB không xác định.
D. AB và BA đều xác định.

<b>HD: Ta có </b><i>A B</i>_{2 3,}_× _{3 2}_× nên

( ) ( )

2 2, 3 3

<i>AB</i> <i>BA</i>

× × . Vậy chọn D
<b>Câu 3. Cho hai ma trận </b> 1 2 3

2 0 1

<i>A</i>=⎛⎜⎜_⎜ ⎞⎟⎟_⎟_⎟
−

⎜ ⎟

⎝ ⎠ và

1 1 0
2 0 0
3 2 0

<i>B</i>
⎛ _⎞⎟
⎜ _⎟
⎜ _⎟
⎜ _⎟
⎜
=_⎜ ⎟_⎟
⎜ ⎟
⎜ _⎟⎟
⎜⎝ ⎠
. Khẳng
định nào sau đây là đúng?

A. 14 7

1 0

<i>AB</i> =⎛⎜⎜_⎜ ⎞⎟⎟_⎟_⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠ B.

14 7 0
1 0 1

<i>AB</i> =⎛⎜⎜_⎜ ⎞⎟⎟_⎟_⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

C. 14 7 0
1 0 0

<i>AB</i> =⎛⎜⎜_⎜ ⎞⎟⎟_⎟_⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠ D. <i>BA xác định nhưng AB khơng xác định. </i>

<b>HD: Ta có </b><i>A B</i>_{2 3,}_× _{3 3}_× nên

( )

2 3

<i>AB</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

của ma trận A ‘nhân’ với cột 3 của ma trận B được 0. Vậy chọn đáp án
C.

<b>Câu 4. Cho ma traän </b>

1 2 3 1 1 1

1 1 1 , 1 1 1

1 1 1 1 1 1

<i>A</i> <i>B</i>
⎛ ₋ ⎞_⎟ ⎛ ₋ ⎞_⎟
⎜ _⎟ ⎜ _⎟
⎜ _⎟ ⎜ _⎟
⎜ _⎟ ⎜ _⎟
⎜ ⎜
=_⎜ − ⎟_⎟ =_⎜ − − ⎟_⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ₋ ⎟_⎟ ⎜ ₋ ⎟_⎟
⎜ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. Tích BA là:

A.

0 0 6
1 1 3
0 0 3

⎛ _⎞⎟
⎜ _⎟
⎜ _⎟
⎜ _⎟
⎜ − ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ _⎟⎟
⎜⎝ ⎠
B.

0 0 6
1 1 3
0 0 4

⎛ _⎞⎟
⎜ _⎟
⎜ _⎟
⎜ _⎟
⎜ − ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ _⎟⎟
⎜⎝ ⎠
C.

1 2 3

1 0 1

1 2 3

⎛ ₋ ⎞_⎟
⎜ _⎟
⎜ _⎟
⎜ _⎟
⎜− ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ₋ ⎟_⎟
⎜⎝ ⎠
D.

1 2 3

1 0 1

1 2 4

⎛ ₋ ⎞_⎟
⎜ _⎟
⎜ _⎟
⎜ _⎟
⎜− ⎟
⎜ ⎟

⎜ ⎟
⎜ ₋ ⎟_⎟
⎜⎝ ⎠
.

<b>HD: Thử lấy dòng 1B nhân cột 1A ta thấy kết quả là 1. Bỏ các đáp án </b>
A, B (vì vị trí 1,1 là 0). Đáp án C, D khác nhau vị trí (3,3), ta lấy dòng
3B nhân cột 3A kết quả là 3. Vậy chọn đáp án C.

<b>Câu 8. Cho hai ma trận </b> 2 3 ; 2 6

1 1 2 0

<i>A</i>=_⎜⎜⎜⎛ _⎟⎟⎟⎞_⎟ <i>B</i> =_⎜⎛⎜⎜ ⎟_⎟⎟⎞_⎟

− −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠. Tìm ma trận <i>X </i>

thỏa XA=B.

A. 4 6

2 6

<i>X</i> =⎛⎜⎜_⎜ ⎞⎟⎟_⎟_⎟

− −

⎜ ⎟

⎝ ⎠ B.

4 6
2 6

<i>X</i> =⎛⎜⎜_⎜ ⎞⎟⎟_⎟_⎟
−

⎜ ⎟

⎝ ⎠

C. 4 6

2 6

<i>X</i> =⎛⎜⎜_⎜− ⎞⎟⎟_⎟_⎟

− −

⎜ ⎟

⎝ ⎠ D. Khơng có ma trận X.

<b>HD: thử trực tiếp các đáp án ta thấy đáp án A đúng. </b>

<b>Câu 9. Cho hai ma trận </b> 1 1 ; 1 1 3

3 2 0 1 7

<i>A</i>=⎜⎛_⎜⎜ − ⎞_⎟_⎟⎟⎟ <i>B</i> =_⎜⎜⎜⎛− − ⎟⎟_⎟⎞_⎟

− −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠. Tìm ma

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

A. 2 1 1

3 2 2

<i>X</i> =⎛⎜⎜_⎜ − ⎞⎟⎟_⎟_⎟

− −

⎜ ⎟

⎝ ⎠ B.

2 1 1

3 2 2

<i>X</i> =⎛⎜⎜_⎜ − − ⎟⎞⎟_⎟_⎟
−

⎜ ⎟

⎝ ⎠

C. 2 1 1

3 2 2

<i>T</i>

<i>X</i> =⎛⎜⎜_⎜ − − ⎟⎞⎟_⎟_⎟
−

⎜ ⎟

⎝ ⎠ D. Khơng có ma trận X.

<b>HD: ta thấy cấp của ma trận: </b><i>A</i>_{2 2}_×;<i>B</i>_{2 3}_× nên khơng có ma trận <i>X nào </i>
thỏa XA=B.

<b>Câu 10. Tính định thức </b>

5 8 4 1
0 1 2 0
2 0 7 0
0 4 4 0

−

Δ = .

A. Δ = −80 B. Δ = 80 C.Δ = 0 D.Δ =12
<b>HD: Khai triển định thức theo cột cuối cùng ta có </b>

0 1 2

1 2

2 0 7 2 12

4 4
0 4 4

− _⎛ _⎞

− ⎟

⎜ _⎟

⎜

Δ = − = − −_⎜ ⎟_⎟=

⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠

<b>Câu 11. Tính định thức </b>

2 0 4

0 0

1 1

<i>m</i>
<i>m</i>

−

Δ = . Tìm <i>m</i> để Δ = 0.

A.<i>m</i> =2,<i>m</i> = 0 B.<i>m</i> = −2,<i>m</i> = 0
C.<i>m</i> = −2,<i>m</i> =2 D. <i>m</i> =0

<b>HD: Khai triển định thức theo dòng thứ hai </b>

(

)

2 4

2 4 0 0 2

1

<i>m</i> <i>m m</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i>

−

Δ = = + = ⇔ = ∨ = −

<b>Câu 12. Tính định thức </b>

1 1 3
1 2
1 1

<i>m</i>
<i>m</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

A.<i>m</i> > 3 B.<i>m</i> <3 C.<i>m</i> =0 D. <i>m</i> ≠0

<b>HD: </b>

1 1 3 1 1 3

1 2 0 1 3 3 0 3.

1 1 0 0 3

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i>

Δ = = − = − > ⇔ >

−

<b>Câu 13. Tính định thức </b>

8 7 6

1 2

1 1 1

<i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

+

Δ = +

+ + +

. Tìm <i>m</i> để
0

Δ < .

A.<i>m</i> > −1 B.∀<i>m</i> ∈ \ C.− <1 <i>m</i> <0 D. <i>m</i> ≠0
<b>HD: </b>

(

)

(

)

(

) (

)

2

8 7 6 8 7 6

1 2 1 1 2

1 1 1 1 1 1

2 1 6

1 1 2 2 1

0 0 1

1 0

<i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i>

+ +

Δ = + = + +

+ + +

+

= + − − = − + − −

= − − − <

<b>Câu 16. Cho ma trận </b>

1 1 3

2 2 0

2 1 3

<i>m</i>

<i>A</i> <i>m</i>

<i>m</i>

⎛ ₊ ⎞_⎟

⎜ _⎟

⎜ _⎟

⎜ _⎟

⎜

=_⎜ + ⎟_⎟

⎜ ⎟

⎜ _⎟⎟

⎜⎝ ⎠

. Tìm m để A khả
nghịch .

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Câu 17. Cho ma trận </b>

1 1 3

3 3 3

2 2 3 3

<i>m</i>

<i>A</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i>

⎛ ₊ ⎞_⎟

⎜ _⎟

⎜ _⎟

⎜ _⎟

⎜

=_⎜ + + ⎟_⎟

⎜ ⎟

⎜ ₊ ₊ ⎟_⎟

⎜⎝ ⎠

. Tìm m để A khả
nghịch .

a) <i>m</i> ≠1 b) <i>m</i> ≠ −2 c) <i>m</i> ≠1;<i>m</i> ≠ −2 d) Với mọi m.
<b>HD: Tính </b>det

( )

<i>A</i> , Giải bất phương trình det

( )

<i>A</i> ≠0 suy ra kết quả.

<b>Câu 18. Cho ma trận </b>

1 2 3

1 4

1 3 5

<i>A</i> <i>m</i> <i>m</i>

⎛ ₋ _{− ⎟}⎞

⎜ _⎟

⎜ _⎟

⎜ _⎟

⎜

=_⎜ − − ⎟_⎟

⎜ ⎟

⎜ ₋ _{− ⎟}⎟

⎜⎝ ⎠

.Tìm m để A khả nghịch.
a) <i>m</i> ≠ −2 b) <i>m</i> ≠2 c) <i>m</i> ≠ −2;<i>m</i> ≠2 d) <i>m tùy ý. </i>

<b>HD: Tính </b>det

( )

<i>A</i> , Giải bất phương trình det

( )

<i>A</i> ≠0 suy ra kết quả.
<b>Câu 19. Tính hạng r(A) của ma trận </b>

1 1 1 0 2

2 0 0 4 2

1 1 2 8 2
3 5 0 1 8

<i>A</i>

⎛ ₋ ⎞_⎟

⎜ _⎟

⎜ _⎟

⎜ ₋ _⎟

⎜ _⎟

⎜ ⎟

= ⎜_⎜ ₋ ⎟_⎟

⎟

⎜ _⎟

⎜ _⎟

⎜ _⎟

⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

1 1 1 0 2 1 1 1 0 2

2 0 0 4 2 0 2 2 4 6

1 1 2 8 2 0 0 1 8 0

3 5 0 1 8 0 8 3 1 2

1 1 1 0 2 1 1 1 0 2

0 2 2 4 6 0 2 2 4 6

0 0 1 8 0 0 0 1 8 0

0 8 3 1 2 0 0 5 17 26

<i>A</i>

⎛ ₋ ⎞_⎟ ⎛ ₋ ⎞_⎟

⎜ _⎟ ⎜ _⎟

⎜ _⎟ ⎜ _⎟

⎜ ₋ _⎟ ⎜ ₋ ₋ _⎟

⎜ _⎟ ⎜ _⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

=⎜_⎜ ₋ ⎟_⎟→⎜_⎜ ⎟_⎟

⎟ ⎟

⎜ _⎟ ⎜ _⎟

⎜ _⎟ ⎜ _⎟

⎜ _⎟ ⎜ _⎟

⎜ ⎟ ⎜ − ⎟

⎜ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ₋ ⎞_⎟ ⎛ ₋

⎜ _⎟ ⎜

⎜ _⎟ ⎜

⎜ ₋ ₋ _⎟ ⎜ ₋ ₋

⎜ _⎟ ⎜

⎜ ⎟ ⎜

→⎜_⎜ ⎟_⎟→⎜_⎜

⎟

⎜ _⎟ ⎜

⎜ _⎟ ⎜

⎜ _⎟

⎜ − ⎟ −

⎜⎝ ⎠ ⎝

1 1 1 0 2

0 2 2 4 6

0 0 1 8 0

0 0 0 57 26

⎞⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟

⎜ _⎟

⎜ _⎟

⎜ _⎠

⎛ ₋ ⎞_⎟

⎜ _⎟

⎜ _⎟

⎜ ₋ ₋ _⎟

⎜ _⎟

⎜ ⎟

→ ⎜_⎜ ⎟

⎟⎟

⎜ _⎟

⎜ _⎟

⎜ _⎟

⎜ − ⎟

⎜⎝ ⎠

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>CHƯƠNG 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH </b>

<b>Câu 1. Hệ phương trình tuyến tính </b>

(

1

)

(

1

)

1
0

<i>m</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>my</i>

⎧⎪ − + − =

⎪⎪⎨

⎪ + =

⎪⎪⎩

vô nghiệm khi và chỉ khi:

) 1 ) 0, 1 ) 1 d) -1.

<i>a m</i> = <i>b m</i> = <i>m</i> = <i>c m</i> = ± <i>m</i> =

<b>HD: Tính </b>_{det A}

( )

1 1 2 ₂ ₁

(

₁

)

2
1

<i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i>

− −

= = − + = − . Nếu

1

<i>m</i> ≠ hệ có nghiệm duy nhất. Vậy chỉ cịn đáp án A là phù hợp.
<b>Câu 2. Hệ phương trình tuyến tính </b> sin cos ;

cos sin 2 .

<i>x</i> <i>y</i> <i>m</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>m</i>

<i>α</i> <i>α</i>

<i>α</i> <i>α</i>

⎧⎪ + =

⎪⎨

⎪ − =

⎪⎩

có duy nhất một nghiệm khi và chỉ khi:
) 0;

<i>a m</i> = <i>α</i> tùy ý <i>b m</i>) 0;≠ <i>α</i> tùy ý
) 2;

<i>c m</i> = − <i>α</i> tùy ý <i>d m</i>) ,<i>α</i> tùy ý.
<b>HD: </b>

sin cos

1 0
cos sin

<i>α</i> <i>α</i>

<i>α</i> − <i>α</i> = − ≠ suy ra hệ có nghiệm duy nhất với mọi

, .

<i>m</i> <i>α</i>

<b>Câu 3. Hệ phương trình tuyến tính </b>

(

)

2 1;

1 3 1.

<i>mx</i> <i>y</i>

<i>m</i> <i>x</i> <i>y</i>

⎧⎪ + =

⎪⎪⎨

⎪ + + =

⎪⎪⎩

có nghiệm khi và chỉ khi:

) 2 ) ) 2 d) 1.

<i>a m</i> ≠ <i>b m</i> ∈ \ <i>c m</i> = <i>m</i> ≠ −

<b>HD: </b> 2 2

1 3

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i> + = − . Ta thấy nếu <i>m</i> ≠2 thì hệ có duy nhất

nghiệm. Xét <i>m</i> =2 ta có hpt 2 2 1;

3 3 1.

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

⎧⎪ + =

⎪⎨

⎪ + =

⎪⎩ Dễ thấy hệ này vô

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Câu 4. Hệ phương trình tuyến tính </b>

(

)

(

)

1 2;

1 0.

<i>m</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>m</i>

<i>x</i> <i>m</i> <i>y</i>

⎧⎪ + + = +

⎪⎪⎨

⎪ + + =

⎪⎪⎩

có vơ số nghiệm khi và chỉ khi:

) 0 ) 1 ) 1 d) 2.

<i>a m</i> = <i>b m</i> = <i>c m</i> = − <i>m</i> = −

<b>HD: </b> 1 1

(

2

)

1 1

<i>m</i>

<i>m m</i>
<i>m</i>

+

= +

+ . Ta thấy nếu <i>m</i> ≠ −2,<i>m</i> ≠ 0 thì hệ

có duy nhất nghiệm. Xét <i>m</i> = 0 ta có hpt 2;
0.

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>

⎧⎪ + =
⎪⎨

⎪ + =

⎪⎩ Dễ thấy hệ này

vô nghiệm. Vậy chọn đáp án nào ?

<b>Câu 5. Hệ phương trình tuyến tính </b>

(

2 1

)

(

2

)

3 ;
.

<i>m</i> <i>x</i> <i>m y</i> <i>m</i>

<i>x</i> <i>my</i> <i>m</i>

⎧⎪ + + + =

⎪⎪⎨

⎪ + =

⎪⎪⎩

vô nghiệm khi và chỉ khi:

) 1 ) 2 ) 0 d) 1.

<i>a m</i> = <i>b m</i> = <i>c m</i> = <i>m</i> = −

<b>HD: </b> 2 1 2 ₂ 2 ₂

1

<i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i>
<i>m</i>

+ +

= − . Ta thấy nếu <i>m</i> ≠ −1,<i>m</i> ≠1 thì hệ
có duy nhất nghiệm. Xét <i>m</i> =1 ta có hpt 3 3 3;

1.

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

⎧⎪ + =

⎪⎨

⎪ + =

⎪⎩ Dễ thấy hệ

này vô số nghiệm. Vậy chọn đáp án nào ?

<b>Câu 6. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính </b>

2

2 3 1

3 2 4 3

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

⎧⎪ + − =

⎪⎪

⎪ _{+ −} ₌

⎨⎪

⎪ ₊ ₋ ₌

⎪⎪⎩

) 1, 2, 1;

) 1 2 , 1 , ; .

) 1 2 , 3, ; .

) 1, 1 2 , 0; .

<i>a x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>b x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>c x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>d x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>α</i> <i>α</i> <i>α α</i>

<i>α</i> <i>α</i> <i>α α</i>

<i>α</i> <i>α</i>

= = =

= + = − = ∈

= − + = − + = ∈

= − = + = ∈

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>HD: Có thể giải trực tiếp hệ này bằng các phương pháp đã học. Tuy </b>
nhiên, ta nên lấy các đáp án thay vào hệ, đáp án nào thỏa thì chọn. Chú
ý nếu có hai đáp án cùng đúng thì chọn đáp án tổng quát.

<b>Câu 7. Định m để hệ phương trình sau có vơ số nghiệm: </b>

2 2 4

3 5 3

4 4 8 2

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>m</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

⎧⎪ + − =
⎪⎪

⎪− + − =
⎨⎪

⎪− − + = −
⎪⎪⎩

) 2 ) 1 ) 2 d) 1.

<i>a m</i> = − <i>b m</i> = − <i>c m</i> = <i>m</i> =

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN VECTƠ </b>

<b>Câu 1. Xác định m để vectơ </b><i>z</i> =

(

2,<i>m</i>+4,<i>m</i>+1

)

là tổ hợp tuyến tính
của <i>u</i> =

(

1,2, 3 ,

)

<i>v</i> =

(

3, 2,1 ,−

)

<i>w</i> =

(

1, 3, 0

)

) 0 ) 1, )

<i>a m</i> = <i>b m</i> = <i>c m</i> tùy ý. d) Khơng có giá trị m nào

<b>HD: Theo định nghĩa z là THTT của u,v,w khi và chỉ khi tồn tại ba số </b>
<i>a,b,c sao cho z</i> =<i>au</i>+<i>bv</i>+<i>cw</i> hay

(

2, 4, 1

)

(

1,2, 3

) (

3, 2,1

) (

1, 3, 0

)

3 2

2 2 3 4(*)

3 1

<i>m</i> <i>m</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>m</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>m</i>

+ + = + − +

⎧⎪ + + =
⎪⎪

⎪

⇔ _⎨⎪ − + = +

⎪ _{+ =} ₊

⎪⎪⎩

Ta phải tìm <i>m</i> sao cho hệ (*) có nghiệm. Như các ví dụ trước, ta xét
định thức

1 3 1

2 2 3 0

3 1 0

− ≠

Nên HPT ln có nghiệm với mọi m.Vậy ta chọn C. Nếu gặp dạng
tương tự, ta không cần lập HPT như trên nữa sẽ mất thời gian. Ta lấy
ngay các vectơ u,v,w xếp thành ma trận cột và tính định thức như trên.
<b>Câu 2. Tìm điều kiện để vectơ </b>

(

<i>x x x</i>₁, ,₂ ₃

)

là một tổ hợp tuyến tính của

(

1,2, 5 ,

)

(

2, 4, 5 ,

)

(

3, 6, 7

)

<i>u</i> = <i>v</i> = <i>w</i> = − −

3 1 2

)

<i>a x</i> =<i>x</i> +<i>x</i> <i>b x</i>) ₁ =2<i>x</i>₂ <i>c x</i>)2 ₁ =<i>x</i>₂ <i>d x x x</i>) , ,₃ ₁ ₂ tùy ý
<b>HD: Xét HPT </b>

1 1

2 2 1

3 3 1

1 2 3 1 2 3

2 4 6 0 0 0 2

5 5 7 0 5 22 5

<i>a</i> <i>x</i> <i>a</i> <i>x</i>

<i>b</i> <i>x</i> <i>b</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>c</i> <i>x</i> <i>c</i> <i>x</i> <i>x</i>

⎛ ₋ ⎞⎛ ⎞_{⎟ ⎟} ⎛ ⎞_⎟ ⎛ ₋ ⎞⎛ ⎞_{⎟ ⎟} ⎛ ⎞_⎟

⎜ _{⎟ ⎟}⎜ ⎜ _⎟ ⎜ _{⎟ ⎟}⎜ ⎜ _⎟

⎜ _{⎟ ⎟}⎜ ⎜ _⎟ ⎜ _{⎟ ⎟}⎜ ⎜ _⎟

⎜ _{⎟ ⎟}⎜ ⎜ _⎟ ⎜ _{⎟ ⎟}⎜ ⎜ _⎟

⎜ − ⎟ ⎟⎜ =⎜ ⎟⇔⎜ ⎟ ⎟⎜ =⎜ − ⎟

⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟_{⎟ ⎟} ⎜ ⎟_⎟ ⎜ ₋ ⎟⎜ ⎟_{⎟ ⎟} ⎜ ₋ ⎟_⎟

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Để hệ có nghiệm thì <i>x</i>₂−2<i>x</i>₁ = 0. Vậy chon đáp án C.
<b>Câu 5. Các vectơ nào sau đây tạo thành một cơ sở của </b>_\3

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

) (1, 2, 3);(0, 2, 3);(0, 0, 3)
) ( 1, 1,1);(1,1, 0);(2, 2,1)
) (1, 2, 3);(4, 5, 6);(7, 8, 9)

) (1, 2,1);( 2, 4, 2);(1, 0, 2)

<i>a</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>d</i>

− −

− − −

<b>HD: Dễ thấy ở đáp án A. Các vectơ tạo thành một ma trận dịng bậc </b>
thang có hạng bằng 3 nên độc lập tuyến tính. Do đó tạo thành một cơ
sở của _\3

.

<b>Câu 6. Các vectơ nào sau đây tạo thành một cơ sở của </b>_\3_?
) (4, 2, 3);(0, 2, 3);

) ( 1,1,1);(1,1, 0);(4, 2,1)

) (1, 2, 1);(4, 0, 6);(7, 2,1);(1,1, 2)
) (1,2,1, 2);( 2, 4, 2, 0);(1, 0, 2, 1)

<i>a</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>d</i>

−
−

− − − −

<b>HD: Dễ thấy, ở đáp án A chỉ có 2 vectơ nên khơng sinh được </b>_\3
. Ở C
có 4 vectơ nên khơng độc lập tuyến tính, ở D là các vectơ của _\4

nên
tất cả không thể tạo thành một cơ sở của _\3_{. Vậy chọn B.}

<b>Câu 7. Tìm m để các vectơ sau tạo thành một cơ sở của </b>_\3_:

(

)

(

)

(

)

1 1, 2, , 2 1, , 0 , 3 ,1, 0

<i>u</i> = <i>m u</i> = <i>m</i> <i>u</i> = <i>m</i>

) 0; 1; 1

) 2

) 1

)

<i>a m</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>b m</i>
<i>c m</i>
<i>d m</i>

≠ ≠ ≠ −

≠
≠

∀ ∈ \

<b>HD: Ta biết rằng trong khơng gian </b>_\<i>n</i>

một hệ có đúng n vectơ ĐLTT
thì tạo thành cơ sở của _\<i>n</i>

. Vậy thì ở bài trên ta tìm m để hệ vectơ

(

1,2,

)

,

(

1, , 0 ,

)

(

,1, 0

)

<i>u</i> = <i>m v</i> = <i>m</i> <i>w</i> = <i>m</i> ĐLTT là xong. Đáp án A.
<b>Câu 8. Các vectơ nào sau đây tạo thành một cơ sở của không gian con </b>

(

)

(

)

(

)

1 2, 3, 4 , 2 2,1, 0 , 3 4, 6, 8

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

1 2

1 3

1

1 2 3
) ,
) ,
)

) , , .

<i>a u u</i>
<i>b u u</i>
<i>c u</i>
<i>d u u u</i>

<b>HD: một cơ sở trước hết phải ĐLTT. Quan sát thấy </b><i>u u</i>₁, ₃ tỉ lệ với nhau
(PTTT) nên các hệ vectơ ở B, D là PTTT. Đáp án C khơng đúng vì <i>u</i>₁

khơng sinh ra được <i>u</i>₂. Vậy chọn A.

<b>Câu 9. Các vectơ nào sau đây tạo thành một cơ sở của không gian con </b>

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1, 2, 3, 4 , 2 0, 2, 6, 0 , 3 0, 0,1, 0 , 4 1, 2, 4, 4

<i>W</i> = <i>u</i> = <i>u</i> = <i>u</i> = <i>u</i> =

1 2

2 3

1 2 3

1 3 4
) ,
) ,
) , ,

) , , .

<i>a u u</i>
<i>b u u</i>
<i>c u u u</i>
<i>d u u u</i>

<b>HD: Quan sát nhanh các vectơ khơng thấy gì đặc biệt. Vì các đáp án </b>
chỉ cho tối đa là 3 vectơ nên ta chọn các đáp án C, D kiểm tra tính
ĐLTT .

Trước hết chọn C. Lập ma trận dòng
1 2 3 4
0 2 6 0
0 0 1 0

⎛ _⎞⎟

⎜ _⎟

⎜ _⎟

⎜ _⎟

⎜ _⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ _⎟⎟

⎜⎝ ⎠

Ta thấy ma trận có hạng là 3 nên ĐLTT . Vậy

(

)

(

)

(

)

1 1,2, 3, 4 , 2 0,2, 6, 0 , 3 0, 0,1, 0

<i>u</i> = <i>u</i> = <i>u</i> = là cơ sở (Đây là may

</div>

<!--links-->