HẠNG MA TRẬN (TOÁN CAO cấp SLIDE)

BÀI 4


∑


§4: Hạng ma trận

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Một hệ phương trình tuyến tính ln xảy ra
một trong 3 khả năng sau:
1.
Hệ vơ nghiệm.
2.
Hệ có nghiệm duy nhất.
3.
Hệ có vơ số nghiệm.
Vấn đề đặt ra là nhờ vào đâu để ta biết hệ
phương trình ấy rơi vào trường hợp nào?

í nh


∑




§4: Hạng ma trận

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Để giải quyết vấn đề này người ta đưa ra
khái niệm “Hạng ma trận”.
Nhờ sự so sánh hạng của ma trận hệ số của
hệ phương trình và hạng của ma trận hệ số
mở rộng (có cả vế phải) thì ta sẽ biết được
hệ phương trình đang xét rơi vào trường hợp
nào.


∑

§4: Hạng ma trận

ến T
y
u

T
ố
Đại S

í nh


∑


§4: Hạng ma trận
Ví dụ:
11
2

A = 2
 3

222 233 4 44
444 466 8 88


55 77 99

234
A123
=

A =
12

12

A1224 =

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


∑

§4: Hạng ma trận

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


∑

§4: Hạng ma trận

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


∑

§4: Hạng ma trận

0 0 0 0 


O = 0 0 0 0 
0 0 0 0 

ến T
y
u
T
ố
Đại S

A12 = [ 0]

0 0 
A =

0 0 
24
13

í nh


∑

§4: Hạng ma trận

a b c d 
A=

x y z t 

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


∑

§4: Hạng ma trận

a b c 


A = x y z 
u v w

ến T
y
u
T
ố
Đại S

A có duy nhất 1 định
thức con cấp 3 và đó
là định thức con có
cấp lớn nhất

í nh


∑

§4: Hạng ma trận

ến T
y

u
T
ố
Đại S

í nh


∑

§4: Hạng ma trận

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


∑

§4: Hạng ma trận

ến T
y
u
T

ố
Đại S

í nh


∑

§4: Hạng ma trận

 a11
0

 ..

A=0
0

 ...
0


a12 ... a1r
a22 ... a2 r
.. ... ..
0 ... ar r
0
...
0

... 0
... ...
... 0

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

... a1n 
 a11 a12 .. a1r 
... a2 n  12..r  0 a22 .. a2 r 

A12..r = 
 ..
... .. 
.. .. .. 



0
0
..
a
a
... r n 


rr 
... 0  Các MT con cấp > r

... ...  chứa ít nhất 1 hàng = 0
... 0 


ến T
y
u
T
ố
Đại S

§4: Hạng ma trận

∑

Chú ý:
 a11
a
 21
 ...

 an1

a12
a22
...

“Sử dụng các phép biến
đổi sơ cấp trên ma trận”
... a1n
... a2 n
... ...

an 2 ... ann

b1 
b2 
... 

bn 

 a11
0

 ...

0

a12
a22
...
0

... a1n
... a2 n
... ...

... ann

b1 
b2 
... 

bn 

í nh


∑


§4: Hạng ma trận

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Một vấn đề đặt ra là:
biến đổi sơ cấp

A
B (có dạng hình thang)

Khi đó: r(A) ?

= r(B)

Chú ý:

λ hi

A → B ⇒ det( B) = λ det( A).
hi ↔ h j

A → B ⇒ det( B ) = − det( A).
hi + λ h j

A → B ⇒ det( B ) = det( A).

í nh


∑

§4: Hạng ma trận

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

∑

§4: Hạng ma trận

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


∑

§4: Hạng ma trận

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Ví dụ: Tìm hạng ma trận:
1
0


A = 0

0
0

3 −2
3 3
0 5
0 0
0 0

0
4
8
0
0

1 4

0 1
9 −1

0 0
0 0 

⇒ r ( A) = 3

í nh

§4: Hạng ma trận

∑


Ví dụ: Tìm hạng của ma trận:
1
2

 −4

 −1

1 2
1 −1
5
7

2
3

0
1
3  h2 + ( −2) h1 0

→
h
+
4
h

0
−1 h + 1h


2
0
3

4

1

1

1 2 0
-1? -5 3
9 10 -1

8 5 2

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

§4: Hạng ma trận

∑
1
2

 −4

 −1

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

1 2 0
1 1 2 0 
1 −1 3  h2 + ( −2) h1 0 −1 −5 3 

→
h3 + 4 h1
0 9 10 −1
5 2 −1
h4 +1h1




7 3 2
0 8 5 2 

1 1 2 0 
2
0
1 1
0 −1 −5 3 
h3 + 9h2  0 −1 −5 3 
h + ( −1) h
 


→
→
0 0 −35 26 
0 -35 26
h4 + 8h2  0




0
0
0 0
0 0 -35 26
4

3

∑


§4: Hạng ma trận

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Bài tập: Tìm hạng của ma trận sau:

1
2

4

 −3

2 −1 0 
1 2 −1 0 



3 0 5  h2 − 2h1 0 -1 2 5
→


1 2 0  h3 − 4h1 0
 h4 + 3h1 

0 5 7
0


í nh


∑


§4: Hạng ma trận

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Ví dụ: Biện luận theo m hạng của ma trận
sau:

1 5 6 


A = 0 4 7 

0 0 m
0 

m = 0  r(A) = 2
m≠0

 r(A) = 3

í nh


∑


§4: Hạng ma trận

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Ví dụ: Biện luận theo m hạng của ma trận
sau: 1 9
0
7 
0 2

4

8

B=
0 0 (m 20− 1) ( m0− 1) 


0
0 
0 0

m = 1 ⇒ r ( A) = 2
m = −1 ⇒ r ( A) = 3
m ≠ ±1 ⇒ r ( A) = 3

í nh


∑


§4: Hạng ma trận

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Bài tập: Biện luận theo m hạng của ma trận

sau:

 1 2 −2  h ↔ h  1 −2 2 


c ↔c


A =  2 m 1  
→  −1 5 4 
 2 1 m 
 −1 4 5 
2
2

3
3

í nh