DÃY số GIỚI hạn dãy số (TOÁN CAO cấp SLIDE) (chữ biến dạng do slide dùng font VNI times, tải về xem bình thường)

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG
------------------------------------------------------------------------------------

TỐN 1 – HỌC KỲ 1
BÀI 1: DÃY SỐ. GIỚI
HẠN DÃY SỐ


NỘI DUNG
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1-

KHÁI

NIỆM

DÃY
SỐTĂNG, GIẢM, BỊ CHẶN,
2- DÃY
DÃY CON
3- GIỚI

HẠN

DÃY SỐ
4- TÍNH CHẤT GIỚI
HẠN
5- TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS: DÃY ĐƠN
ĐIỆU, BỊ CHẶN
6- GIỚI HẠN

KẸP


KHÁI NIỆM GIỚI HẠN (PHỔ THÔNG –
ĐẠI HỌC)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giới hạn: Khái niệm cơ bản của Giải
tích. “Không có giới hạn thì giải tích
không tồn tại. Mỗi khái niệm của giải
tích đều là giới hạn theo một nghóa nào
Đạo hàm (theo định nghóa):
đó”
giới
∆yhình
/ ∆x học: Hsgóc tiếp tuyến =
Ứng hạn
dụng
lim
Hsgóc
Ứng
dụngdây
vậtcung
lý: Vận tốc tức thời =
lim
trung bình
ĐộVận
dàitốc
đường
cong = lim độ dài

đường
gấp
khúc
nội
tiếp
Diện tích
hình
thang
cong
(tích phân) = lim
S hình chữ nhật
dãy
số
Giớihạn
Giới
Giớihạnhàm
số



DÃY SỐ THỰC
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tập hợp vô hạn các số được đánh số
từ 1 đến ∞ : x1, x2 … xn … ⇒ Dãy số {xn}n ≥

1

(hoặc
từsố

0 đến
∞ : x0,dương:1,
x1 … xn …2,→3,
{x4n}…
VD: Dãy
nguyên
n ≥Dãy
0)
số
chẵn:
4, 6 …
Câu
hỏi:2, Tìm
số hạng cuối
cùng của 1 dãy số?
Thông thường, dãy số được xác định
theo 1 công thức tổng quát dành cho số
hạng thứ n
n 
1 2 3
n


{ xn } =   →  , , 

VD:
 n + 1n≥1  2 3 4 n + 1 
Dãy
xn-1:
số

n
n −1
{ xn } = ( − 1) n n≥0 → 0, − 1, 2  ( − 1) ( n − 1) 
hạng thứ n

{

}

{

}


CÔNG THỨC TỔNG QUÁT – SỐ HẠNG
THỨ n
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1/ Dãy hằng 1, 1 … 1 …: Hữu hạn giá trị &
vẫn
vôcác
hạn số
phần
tử
2/ Dãy
nguyên
tố: 1, 2, 3, 5 … :
Công thức tổng quát?

Có thể xem dãy số {xn} với số hạng

tổng quát: xn = f(n) như hàm số từ tập
VD: nguyên
Dãy sốdương
chính N*
phương
số
→ R. 1, 4, 9, 16 … ⇒ xn
= n2 ⇒ f(x) = x2
VD: Tìm số hạng tổng quát (số hạng thứ
1 1 1 các 1dãy
2 3
n)
a / của
, , ,  b / , − , {x
,n}cn≥/ 11,3:,5, Maple: > n^2 $n =
2 4 8
2 3 4
1..5;
> array( [ [n,
1
n +1 n
c / 2n − 1
ÑS a / n b / ( − 1)
2
n +1
n^2]$ n = 1 .. 5


DÃY TĂNG – GIẢM: ĐƠN ĐIỆU
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

{xn} TĂNG: xn ≤ xn+1 ∀ n ≥ 1. Tổng quát: xn
≤ xn+1 ∀ n ≥1 N0 1
TỔNG
→ nên
xét
HIỆUxn +1 − xn
VD: a / xn = 1 + +  + : chứa
2
n
2n − 3
2x − 3
b / xn =
: bthức
giống
HÀM
SỐ
→ xétf ( x ) =
& tính f '!
3n − 4
3x − 4
{xn} GIẢM: xn ≥ xn+1 ∀ n ≥ 1. Tổng quát: xn
≥  xn+1
xn +1
1  ∀ n ≥1 N0
xn = 1 −  1 − , n ≥ 2 : dương,dạng
TÍCH → Xét
THƯƠNG
xn
 2  n

Dãy {xn} LUÔN tăng hoặc LUÔN giảm
(từ N0 nào đó): dãy ĐƠN ĐIỆU


DÃY BỊ CHẶN – DÃY CON
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

{xn} bị chặn trên: xn ≤ M ∀ n ≥ 1. Tổng
quát:
≤ M ∀ dưới:
n ≥ N0 xn ≥ m ∀ n ≥ 1. Toång
{xn} bịxnchặn
quát:
xn ≥ chặn
m ∀ n trên
≥ N0 lẫn dưới: gọi chung
Dãy bị
bị chặn ⇒ m ≤ xn ≤ M
 1  b /{3n } c / ( − 1) n n
a
/
VD: Xét tính bị chặn
 2
n 
của các dãy
a/ Bị chặn. Trên: 1, Dưới: 0. b/ Dưới: 0. c/ K0

{

{

}

}

bị chặn trên, dưới
{xn} ⇒ Dãy xn1 , , xnk , , n1 <  < nk <  , lim nk = ∞
con
VD:

k →∞

 1 , 3  :↑ &− 2 ,− 4  :↓
1 2 3 4 
,
−
,
,
−

→



Daõy 


2 4 
 3 5 
2 3 4 5 

con
Dãy
Chú ý: Từ dãy {xn} → Hay xét 2 dãy


GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA “DỄ
CHỊU”
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Lập bảng giá trị 2 dãy số sau. Quan
nkết luận
n
n
sát và rút
ra
a / xn =
b / yn = ( − 1)
n +1
n +1


 5 0

.
8
3
5
0
.
8

3
5

 Nhận xét: n tăng, x đến
n


1

0
.9
1
0
.9
1
0
 gần 1 còn y đến gần ± 1 ⇒


n
1

0
.9
4
-0
.9
4
5



 Khi n → ∞ : Giá trị xn ≈ 1, còn
2

0
0
.
9
5
0
.
9
5



 ynĐịnh
KHÔNG
đến
gầnchịu”):
giá trị
nghóa
(“dễ
2

0
.9
6
-0
.9

6
5


 cụ
thể {x
nào!
Dãy
có giới hạn
n}
3
0
0
.9
7
0
.9
7
bằng a ⇔ xn ≈ a khi n đủ
3
2
a / 0 b /1 2
Mánh: n đủ lớn (n
sin n + n
lim
:
lớn
2
n →∞ 2 n − n
c /1 d / ∞

= 1000) & MTBTuùi →


GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA CHẶT
CHẼ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Toán

học

(ngôn x
1 a − ε x N +1
0

a
x N 0a + ε x1000

ngữ ε – N0):
xn “rất gần” a, n đủ lớn ⇔ ∀ε > 0 ∃ N0: |
xn– a | < ε ∀ n ≥ N0
xn = a : hữu
hạn
Dãy {xn} hội tụ lim
n →∞
⇔ ∀a
ε >⇔0, ∃ N 0 ∈ N : xn − a < ε ∀ n ≥ N 0
veà
⇔ ∀ ε > 0, ∃ N 0 : a − ε ≤ xn ≤ a + ε ∀ n ≥ N 0

Có

ghạn:

Hội tụ. K0
có

ghạn

(hoặc

lim
n
= ∞ ):lim
phân
" Đoán"
=1
VD: Xét dãy {n/(n + 1)} a/
n →∞ n + 1
kỳ
n
−1
-2
“Đoán”
lim
x
−
1
≤
ε

=
10
n
b/ Với lim vừa
đoán & ε = 10 ,
n +1
-3
10
⇒ N0 =minh
?
c/ Chứng
chặt
⇒ n ≥ N0 = ?


GIỚI HẠN VÔ CÙNG – DÃY PHÂN KỲ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giới hạn = ± ∞ (vẫn là phân kỳ):
Không
thể
|bất
xn – ,kỳ
a
| !∈ N : x > M ∀ n ≥ N
lim xn = ∞
⇔ ∀xét
M lớn
∃N
0

n
0
n →∞

lim xn = ∞ ⇔ ∀ M (âm)
tuỳý
, ∃ N 0 ∈ N : xn < M ∀ n ≥ N 0
n →∞

Định

nghóa

{xn}

phân

kỳ:

Phủ

định

(lôgich)∃ amệnh
hội
∈ R, ∀ ε >đề
0 luôn
∃ N 0tụ
∈ N : xn − a < ε ∀ n ≥ N 0
Hội

tụ:
Phân

∀ a ∈ R, ∃ ε > 0 : ∀ N 0 ∈ N ∃ n ≥ N 0 đểxn − a ≥ ε

kỳ:
Thực tế tìm giới hạn: Ít dùng cách chứng


TÍNH CHẤT GIỚI HẠN
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

lim tổng (hiệu, tích, thương, căn v.v…) =
Tổng (hiệu …lim
) lim
(
xn ± yn ) = lim xn ± lim yn
n →∞
n →∞
n →∞

∃ lim xn , lim yn ⇒ lim xn yn = lim xn lim yn ÑK : lim yn ≠ 0
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞

xn = lim xn ÑK : xn ≥ 0 & lim xn ≥ 0

lim
n →∞
n →∞
n →∞

(

(

)

)

lim xn = a ⇔ Mọi dãy con của {xn}lim xnk = a
k →∞

đều → a:
Dãy {xn} phân
kỳ ⇔

∃ một dãy con phân
kỳ
của
{xn} con hội tụ
∃ hai
dãy

có lim ≠ nhau
VD: Chứng tỏ dãy {xn} = {(–

GIỚI HẠN CƠ BẢN
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Lũy
thừa:

α > 0 ⇒ lim nα = ∞

n →∞
Hàm

α
n =0
α < 0 ⇒ lim
n →∞
mũ:

a > 1 ⇒ lim a n = ∞

n →∞

n
0
<
a
<
1
⇒
lim

a
=0

n →∞
n

1
1

n
2
−1 2
a / lim n = ∞ b / lim n = lim
= 0 c / lim 2 = ∞ & lim   = 0
n →∞
n →∞  3 
n →∞
n →∞
n →∞
n
1 1
1
1

=2
VD: (Tổng cấp lim
1 + + +  + n  KQ
n →∞ 
2 4
2 

1 −1 2
số nhân)
:
n +1
1
−
q
2
n
lim (1 + q + q +  + q ) Hdaã 1 + q +  + q n =
Tổng
n →∞
1− q
quát:
n:
n
n
1
a




a
lim n n = 1
Số lim 1 +  = e & lim 1 +  = e Hay
n →∞
n →∞ 
n →∞ 
n

n
e:
gaëp:


NGUYÊN TẮC TÍNH GIỚI HẠN
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biến đổi biểu thức cần tính lim về giới
hạn cơ bản & thay
vào
2n 2 + 1
3 ⋅ 5n − 2 n
lim( n − n − 1)
lim n
VD: Tính giới lim 2
n →∞
n →∞ n − 1
n →∞ 4 + 2 ⋅ 5 n
haïn:
2
2
2
2
(
) 2+0
2
+
lim
1

n
2n + 1
n [2 + 1 n ]
n →∞
= lim 2
=
=
=2
Giaû lim 2
2
n →∞ n − 1
n →∞ n [1 − 1 n 2 ]
1 − lim (1 n ) 1 − 0
n →∞
i:
n
3 ⋅ 5n − 2 n
5n 3 − ( 2 5)
3
lim n
= lim n
=
n →∞ 4 + 2 ⋅ 5 n
n →∞ 5 ( 4 5) n + 2
2

[
[

lim(

n →∞

]
]

n − ( n − 1)
1
n − n − 1) = lim
= lim
=0
n →∞
n
→
∞
n + n −1
n (1 + 1 − 1 n )

Thực

2n 2 + 1
2x2 +1
lim 2
→ lim 2
: Giới hạn hàm →
n →∞ n − 1
x →∞ x − 1


GIỚI HẠN KẸP
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho

3

dãy

{xn},

{ynx}, ≤{zyn}≤ z ∀ n ≥ N
 n
n
n
0
⇒ ∃ lim yn & lim yn = a
 lim x = lim z = a
n →∞
n →∞
n→∞ n n→∞ n
Hệ

quả

a

yn = 0 ⇒ lim xn = 0
(hay 0 ≤ xn ≤ yn ∀ n & lim
n →∞
n →∞

sử dụng):
n!
n sin n
VD: lim n lim 2
n →∞ n
n →∞ n + 1
n sin n
n
0≤ 2
≤ 2
→0
n +1 n +1
n
n
VD lim
n →∞

xn ≤ y n ≤ z n

n

n! 1⋅ 2 n 1
0< n =
≤ →0
n
n ⋅ n n n
n
n
1000
1


 ≤  →0
Với n ≥ 0 < 
  
n

  2
2000:
n + n + 1 + 1
n
n
n ⋅ n ⋅11 ≤
→1
Coâ 1 ≤ n =
n
1000 

lim 

n →∞  n 


TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chứng minh dãy hội tụ → Hay dùng: Tính
đơn điệu & bị chặn
Tiêu
chuẩn Dãy tăng & chặn trên
Weirstrass:

thì
hộigiảm
tụ
Dãy

&

chặn

dưới thì hội tụ1  n
VD: Chứng minh tồn tại lim 1 + 
n →∞ 
n
giới hạn (số e) n
n +1
n
1
1
1
1 +  ≤ 1 +
 ⇔ n +1 1 +  ≤ 1 + 1
Giải: Dãy 
 



n
n
+

1
n
n +1

 



tăng:
n
1 + 1  ⋅ 1 ≤ ( 1 + 1 n ) +  + 1 = n ( 1 + 1 n ) + 1 = 1 + 1
n
+
1
Bñt


n +1
n +1
n +1
 n
Côsi:
Bị chặn trên: Xem SGK, Đỗ Công


TỔNG KẾT
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Các kỹ thuật chứng minh
dãy hội tụ

 Bằng định nghóa: Tìm giá trị a = limxn .

Tính
Đưa về biểu thức theo
Giải
|xngiới
− a| ≤hạn:
ε
các
giới x
hạn
cơ bản
từ
2 phía ⇒ Tính
 Chặn
n


chất
3 dãy
kẹp dãy tăng & chặn trên
Chứng
minh
(giảm & chặn dưới)
Chứng minh dãy phân kỳ: Chỉ ra 2
dãy con có lim khác nhau hoặc tối
thiểu một dãy con không có giới hạn
Maple: >limit( …, n=infinity); VD: limit( n/
(n+1),
n=infinity)

BT: Sách
giáo khoa & Bổ sung