Gián án tìm giới hạn hàm số

A. GIỚI HẠN DÃY SỐ
Bài tập 1: Tính các giới hạn:

2
12
lim/1
+
+
n
n

4
13
lim/2
2
2
+
+
n
n

23
15
lim/3
+
−
n
n

nnn
nn

−+
++
2
2
2
32
lim/4

1
32
lim/5
2
++
+
nn
nn

)3)(23(
)12)(1(
lim/6
++
−+
nn
nn

13
2
lim/7
2
2

++
+
nn
nn

13
2
lim/8
24
3
++
nn
n

)2)(1(
)3)(2(
lim/9
++
+
nn
nnn
Bài tập 2: Tính các giới hạn:

1
12
lim/1
2
2
+
−

n
n

2
52
lim/2
2
+−
+
nn
n

23
2
lim/3
2
3
−+
−
nn
nn

( )
nnn
+−
3 32
lim/4

23
12

lim/5
3
2
−
++
n
nn

( )
nnn
−−
3 23
2lim/6
Bài tập 3: Tính các giới hạn:

nn
n
32
1
lim/1
2
2
−
+

4
32
)1(
)2()1(
lim/2

−
++
nn
nn

(
)
1lim/3
22
+−+
nnn

3 32
3lim(/4 nnn
−+
)
2
1112
lim/5
2
3
−
+−
n
nn

42
1
lim/6
22

+−+ nn

B. GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài tập 1: Tính các giới hạn:

)32(lim/1
2
+
→
x
x

)432(lim/2
3
2
+−
−→
xx
x

1
14
lim/3
2
2
1
+−
++
→
xx

xx
x


1
21
lim/4
3
+
+−
−→
x
xx
x

)2(lim/5
3
1
xx
x
++
−→

2
25
lim/6
2
5
+
−

→
x
x
x
Dạng
0
0

Bài tập 2: Tính các giới hạn:

1
23
lim/4
4
6
lim/1
23
3
1
2
2
2
+−−
+−
−
−+
→
→
xxx
xx

x
xx
x
x

8
4
lim/5
20
16
lim/2
3
2
2
2
2
4
+
−
−+
−
−→
→
x
x
xx
x
x
x

9
3
lim/6
3
34
lim/3
2
3
2
3
−
+
−
+−
−→
→
x
x
x
xx
x
x

Bài tập 3: Tính các giới hạn:

x
x
x
xx
x

x
x
x
x
2
121
lim/7
4
23
lim/4
2
121
lim/1
0
2
2
0
−+
−
−−
−+
→
→
→

2
24
lim/8
33
223

lim/5
39
4
lim/2
3
2
1
0
−
−
+
+−+
−+
→
−→
→
x
x
x
xx
x
x
x
x
x

25
32
lim/9
34

472
lim/6
32
372
lim/3
2
3
5
3
1
1
−
+−
+−
−++
+−
−+
→
→
→
x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
Bài tập 4: Tính các giới hạn:

33
276
lim/7
22
2
lim/4
1
1
lim/1
23
24
3
2
2
2
3
1
+++
−−
−+−
−
−
−
−→
→
→
xxx
xx
xx

x
x
x
x
x
x

33
3 2
0
1
2
23
1
232
11
lim/8
45
32
lim/5
43
42
lim/2
+−+
−−
+−
−+
−−
++−
→

→
−→
xx
x
xx
xx
xx
xxx
x
x
x

314
2
lim/9
23
2423
lim/6
11
lim/3
2
2
2
1
2
0
−+
+−
+−
−−−−

++−+
→
→
→
x
xx
xx
xxx
x
xxx
x
x
x
Bài tập 5: Tính các giới hạn:

x
x
xx
xx
xxx
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x

−−
+−
++
++
++
−+
−
+−
−−
→
−→
→
→
→
51
53
lim/5
62
23
lim/4
)1)(1(
lim/3
3
34
lim/2
11
lim/1
4
2
2

2
23
2
3
2
3
3
0

23
1
lim/10
3
11
lim/9
2
321
lim/8
1
12
lim/7
23
1
lim/6
2
3
1
3
0
4

2
2
3
1
2
3
1
−+
+
−−
−
−+
−
+−+−
−+
−
−→
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
xxx
x

x
x
x
x
x
x
• Tính các giới hạn bằng cách thêm, bớt lượng liên hợp.
Bài tập 6: Tính các giới hạn:


3
51
lim/3
11
lim/2
23
7118
lim/1
3
3
3
0
2
3
2
−
+−+
−−+
+−
+−+

→
→
→
x
xx
x
xx
xx
xx
x
x
x

2
122
lim/6
2
66
lim/5
1
39
lim/4
2
1
2
3
2
3
1
−−

−−+
−+
++−
−
++−
−→
−→
→
xx
xx
xx
xx
x
xx
x
x
x

Dạng
∞
∞
Bài tập 7: Tính các giới hạn:

3
2
2
3
25
2
3

2
)43(
)41)(12)(2(
lim/5
53
132
lim/4
1
12
lim/3
2
1
lim/2
32
1
lim/1
+
−+−
+−
++
+
++
−
++−
+
+
∞→
∞→
∞→
+∞→

−∞→
x
xxx
xx
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x

12
32
lim/10
13
14
lim/9
1
32
lim/8
53
734
lim/7
16

83
lim/6
3
2
2
3 3
2
2
3
4
2
+−
+
−
+
+−
++
+−
−+
+−
−+
∞→
∞→
∞→
∞→
∞→
xx
x
x
x

xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
ĐS
27
8
/5
3
2
/4
/3
/2
2
1
/1
−
∞+
∞
−

0/10
3

2
/9
1/8
/7
0/6
±
±
∞

Bài tập 8: Tính các giới hạn:

xx
xxx
x
−++
++++
∞→
214
4132
lim/1
2
2

1
12419
lim/2
22
−
++−++
∞→

x
xxxx
x
ĐS



−
5
1
/1



−
1
1
/2
Dạng
∞−∞

Bài tập 9: Tính các giới hạn:







−

−
−
−+
−−−−
−+
→
∞←
∞→
+∞→
3
1
2
2
3 23
1
3
1
1
lim/4
)(lim/3
)34412(lim/2
)(lim/1
x
x
xxx
xxx
xxx
x
x
x

x







+−
+
+−
++−+−
+−
−+
→
−∞→
+∞→
∞→
65
1
23
1
lim/8
)11(lim/7
)1(lim/6
)3(lim/5
22
2
22
2

3 32
xxxx
xxxx
xx
xxx
x
x
x
x
ĐS
1/4
2
1
/3
0
/2
3
1
/1
−



∞−
2/8
1/7
0/6
1/5
−
Dạng : Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác:

Cho biết :
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
Bài tập 10: Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau:

2
0
0
0
0
2
4cos1
lim/4
sin
2cos1
lim/3
11
2sin
lim/2
2
5sin
lim/1
x

x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−+
→
→
→
→

2
0
0
2
2
0
3
0
6cos1
lim/8
2

3
lim/7
3
sin
lim/6
sin
lim/5
x
x
x
xtg
x
x
x
xtgx
x
x
x
x
−
−
→
→
→
→

x
x
x
xx

xtg
x
x
x
x
x
x
x
cos21
3
sin
lim/12
sin
cossin1
lim/11
cos12
lim/10
5cos1
3cos1
lim/9
3
2
2
0
2
0
0
−







−
−+
+−
−
−
→
→
→
→
π
π
ĐS:
25
9
/9
2
1
/5
2
5
/1

8
2
/10
9

1
/6
4/2

1/11
2
3
/7
2/3

3
1
/12
18/8
4/4
Dạng 1: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số:
Bài tập: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau:

.
23
452
/
.345/
2
2
23
+−
+−
=
−+−=

xx
xx
yb
xxxya

.
2
2sincot
/
.5cos/
xtg
xgx
yd
xtgxyc
+
=
+=
Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số:

Bài tập 1: Cho hàm số:








−
+−

−
=
1
23
2
)(
2
2
x
xx
x
xf

)1(
)1(
≥
<
x
x

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x
0
= 1.
Bài tập 2: Cho hàm số:







−
−
−
=
2
4
21
)(
2
x
x
x
xf

)2(
)2(
<
≥
x
x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x
0
= 2.
Bài tập 3: Cho hàm số:









−+
−+
=
11
11
2
3
)(
3
x
x
xf

)0(
)0(
>
≤
x
x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x
0
= 0.
Bài tập 4: Cho hàm số:







−
−
=
5
1
1
)(
2
x
x
xf

)1(
)1(
=
≠
x
x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x
0
= 1.
Bài tập 5: Cho hàm số:






−

−
+
=
1
1
2
)(
3
x
x
ax
xf

)1(
)1(
<
≥
x
x
Đònh a để hàm số f(x) liên tục tại x
0
= 1.
Bài tập 6: Cho hàm số:






−

−−
=
x
x
xf
2
321
1
)(

)2(
)2(
≠
=
x
x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x
0
= 2.
Bài tập 7: Cho hàm số:








+−−
+

−
+
=
x
xx
x
x
a
xf
11
2
4
)(

)0(
)0(
<
≥
x
x
Đònh a để hàm số f(x) liên tục tại x
0
= 0.
Bài tập 8: Cho hàm số:









−
−+
+
=
2
223
4
1
)(
3
x
x
ax
xf

)2(
)2(
>
≤
x
x
Đònh a để hàm số f(x) liên tục trên R.
Bài tập 9: Cho hàm số:









+−
−
+
=
23
24
3
2
)(
2
3
2
xx
x
ax
xf

)2(
)2(
>
≤
x
x

Đònh a để hàm số f(x) liên tục trên R.
Bài tập 10: Cho hàm số:






−
=
x
x
xf
cos1
1
)(

)0(
)0(
≠
=
x
x
Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số.
Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm:

Bài tập 1: CMR các phương trình sau đây có nghiệm:

010010/
01096/
013/
35
23

4
=+−
=−+−
=+−
xxc
xxxb
xxa
Bài tập 2: CMR phương trình
0162
3
=+−
xx
có 3 nghiệm trong khoảng (-2 ; 2).
Bài tập 3: CMR phương trình
013
3
=+−
xx
có 3 nghiệm phân biệt.
Bài tập 4: CMR phương trình
02012643
234
=−+−−
xxxx
có ít nhất hai nghiệm.
Bài tập 5: CMR các phương trình sau co ùhai nghiệm phân biệt:

.0)5()9(/
.032)2)(1(/
2

=−+−
=−+−−
xxxmb
xxxma