Giói hạn hàm số

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ – HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
Xét hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a; b) chứa x
0
(có thể không xác định tại x
0
). Trong khoảng (a; b)
ta có thể lấy dãy
{ }
n n 0
x , x x ( n , n 1)¹ " Î ³Z
sao cho
n 0
n
lim x x
®¥
=
. Số L được gọi là giới hạn của
f(x) khi x tiến dần về x
0
nếu
n 0
n
lim x x
®¥
=
thì
n
n

lim f(x ) L
®¥
=
. Ký hiệu
0
x x
lim f(x) L
®
=
.
Định nghĩa 2
Số L được gọi là giới hạn của f(x) khi x tiến dần về x
0
nếu
0
0, 0 : 0 x x f(x) L"e> $d> < - < d Þ - < e
.
Ví dụ 1. Xét hàm số
f(x) 3x 2= -
khi x dần đến 2, ta có
f(x) 4 3 x 2 x 2
3
e
- < e Û - < e Û - <
.
Nghĩa là với
0"e>
, chọn
3
e

d =
thì
0 x 2 f(x) 4< - < dÞ - < e
.
Vậy
x 2
lim(3x 2) 4
®
- =
.
Ví dụ 2. Xét hàm số
2
x 1
y
x 1
-
=
-
khi
x 1®
.
Hàm số không xác định tại x = 1, nhưng khi
x 1¹
ta có:
2
x 1
y 2 2 x 1
x 1
-
- = - = -

-
.
Nghĩa là với
0"e>
, chọn
: 0 x 1 y 2$d = e < - < dÞ - < e
.
Vậy
2
x 1
x 1
lim 2
x 1
®
-
=
-
.
2. Các định lý cơ bản
Định lý 1
Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x tiến dần về x
0
thì giới hạn đó là duy nhất.
Định lý 2
Nếu các hàm số f(x), g(x) có giới hạn khi x tiến dần về x
0
thì
i)
[ ]
0 0 0

x x x x x x
lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)
® ® ®
± = ±
ii)
[ ]
0 0 0
x x x x x x
lim f(x).g(x) lim f(x). lim g(x)
® ® ®
=
iii)
( )
0
0 0
0
x x
x x x x
x x
lim f(x)
f(x)
lim lim g(x) 0
g(x) lim g(x)
®
® ®
®
é ù
= ¹
ê ú
ê ú

ë û
4i)
0 0
x x x x
lim f(x) lim f(x) (f(x) 0)
® ®
= ³
Định lý 3
Mọi hàm số sơ cấp f(x) xác định trong khoảng chứa x
0
thì
0
0
x x
lim f(x) f(x )
®
=
.
Định lý 4 (giới hạn kẹp giữa)
Nếu
0 0
x x x x
lim h(x) lim g(x) L
® ®
= =
và
h(x) f(x) g(x)£ £
với mọi x thuộc khoảng chứa x
0
thì

0
x x
lim f(x) L
®
=
.
3. Mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số
Định lý 5
i) Nu
0
x x
lim f(x) 0
đ
=
v
f(x) 0>
khi x gn x
0
thỡ
0
x x
1
lim
f(x)
đ
= +Ơ
ii) Nu
0
x x
lim f(x) 0

đ
=
v
f(x) 0<
khi x gn x
0
thỡ
0
x x
1
lim
f(x)
đ
= - Ơ
.
nh ngha 3
S L c gi l gii hn ca f(x) khi x tin dn v vụ cc nu:
0, M 0 : x M f(x) L"e> " > > ị - < e
. Ký hiu
x
lim f(x) L
đƠ
=
.
nh ngha 4
i) S L c gi l gii hn bờn phi ca f(x) khi x tin dn v x
0
(x > x
0
) nu

0
0, 0 : 0 x x f(x) L"e> $d> < - < d ị - < e
. Ký hiu
0
x x
lim f(x) L
+
đ
=
.
ii) S L c gi l gii hn bờn trỏi ca f(x) khi x tin dn v x
0
(x < x
0
) nu
0
0, 0 : x x 0 f(x) L"e> $d> - d< - < ị - < e
. Ký hiu
0
x x
lim f(x) L
-
đ
=
.
nh lý 6
0 0
0
x x x x
x x

lim f(x) L lim f(x) lim f(x) L
-
+
đ đ
đ
= = =
.
Vớ d 3. Cho hm s
sin2x
, x 0
x
f(x)
x m, x 0
ỡ
ù
<
ù
ù
=
ớ
ù
ù
+
ù
ợ


neỏu
neỏu
.

Tỡm m f(x) cú gii hn khi
x 0đ
.
Gii
( )
x 0 x 0 x 0
sin2x sin2x
lim f(x) lim 2. 2 lim 2
2x 2x
- - -
đ đ đ
= = =
( )
x 0 x 0
lim f(x) lim x m m
+ +
đ đ
= + =
.
Vy m = 2.
4. Phng phỏp gii toỏn (cỏc quy tc kh dng vụ nh)
4.1. Dng
0
0
i) Phõn tớch t v mu (chia cho x x
0
)
( )
( )
0 0 0

n
0 0
0
n
x x x x x x
0 0
P(x) x x K(x) K(x) K(x )
lim lim lim , R(x ) 0
Q(x) x x R(x) R(x) R(x )
đ đ đ
-
= = = ạ
-
.
Vớ d 4.
( )
( )
2
3 2
3 2 2
x 1 x 1 x 1
x 1 (x 1)
x x x 1 x 1
lim lim lim 2
x
x 2x x
x 1 x
đ đ đ
- +
- - + +

= = =
- +
-
.
Vy
3 2
3 2
x 1
x x x 1
lim 2
x 2x x
đ
- - +
=
- +
.
ii) Dựng lng liờn hp
Vớ d 5.
( ) ( )
3
3
2 2
x 2 x 2
x 6 2 2 x 2
x 6 x 2
lim lim
x 4 x 4
đ đ
+ - + - +
+ - +

=
- -
3
2 2
x 2
x 6 2 2 x 2
lim
x 4 x 4
đ
ổ ử
+ - - +
ữ
ỗ
= +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
- -
ố ứ
( ) ( )
( )
2
3 3 3
2
2
x 2
3 3
x 6 2 x 6 2 x 6 4
lim

(x 4) x 6 2 x 6 4
đ
ỡ ộ ự
ù
+ - + + + +
ờ ỳ
ù
ở ỷ
ù
= +
ớ
ộ ự
ù
- + + + +
ù
ờ ỳ
ù
ợ ở ỷ
( ) ( )
( )
2
2 x 2 2 x 2
(x 4) 2 x 2
ỹ
- + + +
ù
ù
ý
ù
- + +

ù
ỵ
( )
( )
2
2
2
x 2
3 3
x 2 2 x
lim
(x 4) 2 x 2
(x 4) x 6 2 x 6 4
đ
ộ ự
- -
ờ ỳ
= +
ờ ỳ
ộ ự
- + +
- + + + +
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ở ỷ ỷ
( )
( )
2
x 2
3 3

1 1
lim
(x 2) 2 x 2
(x 2) x 6 2 x 6 4
®
é ù
ê ú
= -
ê ú
é ù
+ + +
+ + + + +
ê ú
ê ú
ë ë û û
1 1 1
4(4 4 4) 4(2 2) 24
= - = -
+ + +
.
Vậy
3
2
x 2
x 6 x 2 1
lim
24
x 4
®
+ - +

= -
-
.
4.2. Dạng
¥
¥
Ta chia tử và mẫu cho x
n
(n là bậc cao nhất của tử và mẫu).
Ví dụ 6.
( )
( )
4
4
2 4
4 2
4 4
x x
4
2 2 1
x 3 1
x
x x
3(x 2) 2x 1
lim lim
2(2x 1)
1
2x 2
x
®¥ ®¥

é ù
- + +ê ú
- + +
ê ú
ë û
=
+
+

( )
( )
4
2 4
4
x
2 2 1
3 1
3
x
x x
lim
32
1
2 2
x
®¥
- + +
= =
+
.

Vậy
4 2
4
x
3(x 2) 2x 1
3
lim
32
2(2x 1)
®¥
- + +
=
+
.
Ví dụ 7.
( )
( )
4
4 2
2 4
3
x x
4
4
2 5
x 1
x 2x 5
x x
lim lim
2 1

2x 1
x
x
x
®¥ ®¥
+ -
+ -
= = ¥
+
+
.
Vậy
4 2
3
x
x 2x 5
lim
2x 1
®¥
+ -
= ¥
+
.
Ví dụ 8.
( )
( )
5
4 2
5
3

5
x x
5
5
3 1 6
x
3x x 6
x x
x
lim lim 0
5
2x 5
x 2
x
®¥ ®¥
- +
- +
= =
-
-
.
Vậy
4 2
5
x
3x x 6
lim 0
2x 5
®¥
- +

=
-
.
Ví dụ 9.
( )
2
4 3
4
2
x x
2
2
2 3
x 1
x 2x 3
x
x
lim lim
1
2x 1
x 2
x
®¥ ®¥
- +
- +
=
+
+

4

x
2
2 3
1
1
x
x
lim
1
2
2
x
®¥
- +
= =
+
.
Vậy
4 3
2
x
x 2x 3 1
lim
2
2x 1
®¥
- +
=
+
.

Ví dụ 10.
( )
2
2
x x
2 3
x 1
x 2x 3
x
x
lim lim
1
2x 1
x 2
x
®- ¥ ®- ¥
- +
- +
=
+
+

2
x
2 3
1
1
x
x
lim

1
2
2
x
®- ¥
- - +
= = -
+
.
Vậy
2
x
x 2x 3 1
lim
2x 1 2
®- ¥
- +
= -
+
.
4.3. Dạng
¥ - ¥
. Ta dùng lượng liên hợp.
Ví dụ 11.
( )
4 2 4
x
lim x 3x x 1
®+¥
+ - -

( ) ( )
4 2 4 4 2 4
4 2 4
x
x 3x x 1 x 3x x 1
lim
x 3x x 1
®+¥
+ - - + + -
=
+ + -

2
2
4 2 4
x x
2 2
1
3
3x 1 3
x
lim lim
2
3 1
x 3x x 1
1 1
x x
®+¥ ®+¥
+

+
= = =
+ + -
+ + -
.
Vậy
( )
4 2 4
x
3
lim x 3x x 1
2
®+¥
+ - - =
.
Ví dụ 12.
( )
( ) ( )
2 2
2
2
x x
x 1 x x 1 x
lim x 1 x lim
x 1 x
®+¥ ® +¥
+ - + +
+ - =
+ +

2
x
1
lim 0
x 1 x
®+¥
= =
+ +
.
Vậy
( )
2
x
lim x 1 x 0
®+¥
+ - =
.
Chú ý:
( )
2
x
lim x 1 x
®- ¥
+ -
không phải dạng vô định vì
( )
2 2
x x x
lim x 1 , lim ( x) lim x 1 x
®- ¥ ®- ¥ ®- ¥

+ = +¥ - = +¥ Þ + - = +¥
.
4.4. Dạng
0.¥
. Ta biến đổi
1
0. .
¥
¥ = ¥ =
¥ ¥
.
Ví dụ 13.
( )
( ) ( )
2 2
2
2
x x
x x 1 x x 1 x
lim x x 1 x lim
x 1 x
®+¥ ® +¥
+ - + +
+ - =
+ +

2
x x
2
x 1 1

lim lim
2
1
x 1 x
1 1
x
®+¥ ®+¥
= = =
+ +
+ +
.
Vậy
( )
2
x
1
lim x x 1 x
2
®+¥
+ - =
.
4.5. Các quy tắc đặc biệt khử dạng vô định
0 0
0
, , , 0. , 0 , , 1
0
¥
¥
¥ - ¥ ¥ ¥
¥

Kết quả cần nhớ:
1
x
x 0
lim(1 x) e
®
+ =
,
( )
x
x
1
lim 1 e
x
®¥
+ =
.
Định lý 7 (quy tắc L’Hopital) (chỉ dùng trong trắc nghiệm)
Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm trong khoảng chứa x
0
thỏa các điều kiện:
i)
0 0
x x x x
lim f(x) lim g(x) 0
® ®
= =
hoặc
0 0
x x x x

lim f(x) lim g(x)
® ®
= = ¥
ii)
/
g (x) 0¹
với mọi x thuộc khoảng chứa x
0
iii)
0
/
/
x x
f (x)
lim L (L L )
g (x)
®
= Î = ¥¡ hoaëc
thì
0 0
/
/
x x x x
f(x) f (x)
lim lim L
g(x)
g (x)
® ®
= =
.

Chú ý:
i) nh lý vn ỳng cho cỏc trng hp
0
x x

đ
,
x đ Ơ
ii) Cú th ỏp dng quy tc LHopital nhiu ln.
Vớ d 14 (dng
0
0
).
( )
2
3
3
2
x 2 x 2
1 1
2 x 2
3 x 6
x 6 x 2 1
lim lim
2x 24
x 4
đ đ
-
+
+

+ - +
= = -
-
.
Vy
3
2
x 2
x 6 x 2 1
lim
24
x 4
đ
+ - +
= -
-
.
Vớ d 15 (dng
0
0
).
( )
2
x 0 x 0
2 1 tg 2x
tg2x
lim lim 2
x 1
đ đ
+

= =
.
Vy
x 0
tg2x
lim 2
x
đ
=
.
Vớ d 16 (dng
0
0
).
3 2
x 0 x 0 x 0 x 0
x 3x 6x 6
lim lim lim lim 6
x sin x 1 cosx sin x cosx
đ đ đ đ
= = = =
- -
.
Vy
3
x 0
x
lim 6
x sin x
đ

=
-
.
Vớ d 17 (dng
Ơ
Ơ
).
2 2
x x
lnx 1
lim lim 0
x 2x
đ+Ơ đ+Ơ
= =
.
Vy
2
x
lnx
lim 0
x
đ+Ơ
=
.
Vớ d 18 (dng
0.Ơ
).
( )
( )
2

2
x 0 x 0 x 0
2
lnx x
lim x ln x lim lim 0
1
2
x
+ + +
đ đ đ
ổ ử
ữ
ỗ
= = - =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Vy
( )
2
x 0
lim x ln x 0
+
đ
=
.
Vớ d 19 (dng

Ơ - Ơ
).
( )
x 1 x 1
x 1 x lnx x 1
lim lim
x 1 ln x (x 1) lnx
đ đ
- +
- =
- -

x 1 x 1
2
1
lnx 1
x
lim lim
x 1 1 1
2
lnx
x x
x
đ đ
= = =
-
+ +
.
Vy
( )

x 1
x 1 1
lim
x 1 lnx 2
đ
- =
-
.
Vớ d 20 (dng
0
0
).
( )
x x
x 0 x 0
A lim x lnA ln lim x
+ +
đ đ
= ị =

( ) ( )
x
x 0 x 0 x 0 x 0
2
1
lnx
x
lim ln x lim x lnx lim lim
1 1
x

x
+ + + +
đ đ đ đ
= = = =
-

x
x 0 x 0
lim( x) 0 A 1 lim x 1
+ +
đ đ
= - = ị = ị =
.
Vy
x
x 0
lim x 1
+
đ
=
.
Vớ d 21 (dng
0
Ơ
).
( ) ( )
1 1
lnx lnx
x 0 x 0
B lim cotgx lnB ln lim cotgx

+ +
đ đ
ộ ự
= ị =
ờ ỳ
ở ỷ

( )
2
1
lnx
x 0 x 0 x 0
1
ln(cotgx)
cotgxsin x
lim ln cotgx lim lim
1
lnx
x
+ + +
đ đ đ
-
= = =

( )
1
1
lnx
x 0 x 0
x 1

lim 1 B e lim cotgx
sin x cosx e
+ +
-
đ đ
-
= = - ị = ị =
.
Vy
( )
1
lnx
x 0
1
lim cotgx
e
+
đ
=
.
Vớ d 22 (dng
1
Ơ
).
( ) ( )
2 2
1 1
x x
x 0 x 0
sin x sin x

C lim lnC ln lim
x x
đ đ
ộ ự
ờ ỳ
= ị =
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ