Lý thuyết xác suất và thống kê toán (bài GIẢNG FULL)

Mơn học

Lý thuyết xác suất và
thống kê tốn


Phần 1: Lý thuyết xác suất
Mục tiêu của phần này là :
Tìm quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên


“ Cần nhớ rằng môn khoa học bắt đầu từ việc
xem xét các trò chơi may rủi lại hứa hẹn trở
thành đối tượng quan trọng nhất của tri thức
loài người.
Phần lớn những vấn đề quan trọng nhất của đời
sống con người thực ra là những bài toán của lý
thuyết xác suất ”
Pierre - Simon Laplace


Chương 1
Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
1. Phép thử và các loại biến cố
1.1. Phép thử
a) Mô tả
b) Khái niệm phép thử
Chú ý:
Ứng với mỗi phép thử bao giờ cũng gắn với một
hành động và với một mục đích quan sát

1.2. Không gian mẫu và biến cố
Các khái niệm
+) Không gian mẫu S
+) Biến cố
+) Biến cố sơ cấp
Ví dụ
Phân loại các biến cố
+) Biến cố ngẫu nhiên, ký hiệu A, B, C,…
+) Biến cố chắc chắn xảy ra, ký hiệu U (hay Ω)
+) Biến cố không thể xảy ra, ký hiệu V (hay Ø)


VD1: Gieo một con xúc xắc, đặt
U = (Con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm < 7)
V = (Con xúc xắc xuất hiện mặt 7 chấm)
A1 = (Con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm)
AL = (Con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lẻ)
VD2: Nhóm 6 nam 4 nữ, chọn ra 5 người
U = (Có ít nhất 1 nam được chọn)
V = (Khơng có bạn nam nào được chọn)
A = (Có bạn nữ được chọn)


Chú ý:
Việc đưa biến cố U và V vào chương trình để
hồn thiện về mặt lý thuyết, trên thực tế ta chỉ
quan tâm tới biến cố ngẫu nhiên, vì vậy khi
nói biến cố ta hiểu đó là biến cố ngẫu nhiên

2. Xác suất của biến cố, định nghĩa cổ điển về
xác suất
2.1. Khái niệm xác suất của biến cố
Cho A là một biến cố, xác suất của biến cố A, ký
hiệu P(A) (Probability of event A occur) là một
con số đặc trưng cho khả năng khách quan xuất
hiện biến cố A khi thực hiện một phép thử


2.2. Định nghĩa cổ điển về xác suất
 Kết cục duy nhất đồng khả năng (biến cố sơ cấp có
cùng khả năng xảy ra)
VD
 Kết cục thuận lợi cho một biến cố
VD
Những kết cục xảy ra làm cho biến cố A xảy ra khi
thực hiện một phép thử được gọi là các kết cục thuận
lợi cho biến cố A


 Định nghĩa cổ điển về xác suất
Xét một phép thử, gọi n là số kết cục duy nhất
đồng khả năng có thể xảy ra, gọi m là số kết cục
thuận lợi cho biến cố A xảy ra, khi đó
m
P ( A) 
n

 Các tính chất của xác suất

Nếu A là biến cố ngẫu nhiên thì 0 ≤ P(A) ≤ 1
Nếu U là biến cố chắc chắn thì P(U) = 1
Nếu V là biến cố khơng thể có thì P(V) = 0
Chú ý :
P(A) = 1 chưa chắc A là biến cố chắc chắn
P(B) = 0 chưa chắc B là biến cố không thể xảy ra
VD


Ý nghĩa của Xác suất

Cho biết số đo mức độ chắc chắn xảy ra 1 hiện
tượng nào đó khi thực hiện 1 phép thử
Chú ý:
Xác suất phụ thuộc vào điều kiện của phép thử


3. Các phương pháp tính xác suất bằng định nghĩa cổ
điển
3.1. Phương pháp suy luận trực tiếp
Tính xác suất bằng cách vẽ hình (biểu đồ Venn, hình
cây…).
Tính xác suất bằng cách liệt kê tất cả các giá trị có thể có
khi thực hiện một phép thử, và đếm các kết cục thuận lợi
cho một biến cố, sau đó áp dụng cơng thức tính xác suất
bằng định nghĩa cổ điển (VD trong giáo trình)

VD3
Tung 3 đồng xu giống nhau và mỗi đồng xu cân
đối và đồng chất, tính xác suất để có 2 đồng xu
xuất hiện mặt ngửa


Lời giải
Gọi A = (Có 2 đồng xu xuất hiện mặt ngửa)
Những khả năng có thể xảy ra khi tung đồng thời
3 đồng xu là
{NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SSN, SNS,
SSS}
dễ thấy n = 8, mA = 3 do vậy
3
P ( A) 
8


3.2. Phương pháp dùng các cơng thức của giải tích tổ
hợp
 Các cơng thức tổ hợp
+) Hốn vị

n!n.( n  1).(n  2)...2.1

+) Chỉnh hợp

n!
A 
(n  k )!

k
n

+) Chỉnh hợp lặp

k
n

A n

+) Tổ hợp

k

n!
C 
(n  k )!k!
k
n


VD4
Một hộp đựng 15 sản phẩm trong đó có 10 chính
phẩm và 5 phế phẩm, lấy ngẫu nhiên 3 sản
phẩm.
Tính xác suất
i) Lấy được cả 3 chính phẩm
ii) Lấy được đúng 2 phế phẩm

VD5
Cơng ty cần tuyển 5 người, có 20 người nộp đơn
trong đó có 8 nam và 12 nữ, giả sử cơ hội trúng
tuyển khi nộp hồ sơ của 20 người là như nhau
Tính xác suất
i) Có 2 nam trúng tuyển
ii) Có ít nhất 3 nữ trúng tuyển
iii) Có nam trúng tuyển


VD6: 3 khách hàng vào 1 siêu thị có 5 quầy
hàng. Giả định họ chỉ có nhu cầu mua 1 loại
hàng trong 5 quầy hàng
Tính xác suất
i) 3 khách hàng vào 3 quầy hàng khác nhau
ii) Cả 3 khách hàng đều vào quầy hàng số 1
iii) Cả 3 khách hàng đều vào 1 quầy hàng


3.3. Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa cổ điển
Ưu điểm :
+) Không cần thực hiện phép thử
+) Cho phép tìm được một cách chính xác giá trị
của xác suất
 Hạn chế :
+) Số kết cục có thể là vơ hạn hoặc khơng đếm
được
+) Tính đối xứng hay tính đồng khả năng thực sự
hiếm gặp trong thực tế.

4. Định nghĩa xác suất bằng tần suất
4.1. Tần suất xuất hiện biến cố
Giả sử ta thực hiện n phép thử độc lập, trong n
phép thử đó biến cố A xuất hiện k lần, khi đó
tần suất xuất hiện biến cố A ký hiệu là f ( A )
được xác định:
k
f ( A) 
n


4.2. Định nghĩa xác suất bằng tần suất
Khi số phép thử n tăng lên khá lớn (tùy thuộc
tình huống thực tế) thì ta định nghĩa xác suất để
biến cố A xảy ra là

P( A)  f ( A)


4.3. Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa xác
suất bằng tần suất
Ưu điểm : Khơng địi hỏi các điều kiện áp
dụng như đối với định nghĩa cổ điển
Hạn chế : Phải thực hiện phép thử với số
lần khá lớn dẫn đến tốn kém, mất nhiều thời
gian


5. Nguyên lý xác suất lớn - nguyên lý xác suất nhỏ

Nguyên lý xác suất lớn : Biến cố A được coi là xảy ra
trong một phép thử thì thực tế P(A) ≥ 1 – α
với α là xác suất nhỏ tùy thuộc vào tình huống thực tế
 Nguyên lý xác suất nhỏ : Biến cố B được coi là

không xảy ra trong một phép thử thì thực tế
P(B) ≤ α
VD


6. Mối quan hệ giữa các biến cố
a) Biến cố A xảy ra kéo theo biến cố B
xảy ra gọi là A kéo A
theo
�BB:
b) Tổng hai biến cố: C = A + B
Mở rộng : A = A1 + A2 + . . . + An
c) Tích hai biến cố: C = AB
Mở rộng: A = A1A2…An
d) Hai biến cố xung khắc, không xung khắc
Mở rộng : Các biến cố A1, A2, …, An đôi một
xung khắc nếu AiAj = V i, j  1 �n, i �j