Nghiệm nhớt của các phương trình hamilton jacobi tựa lồi trên khớp nối

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHÙNG THỊ THU HẰNG

NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH
HAMILTON-JACOBI TỰA LỒI
TRÊN KHỚP NỐI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

HÀ NỘI, NĂM 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHÙNG THỊ THU HẰNG

NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH
HAMILTON-JACOBI TỰA LỒI
TRÊN KHỚP NỐI

Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN VĂN BẰNG

HÀ NỘI, NĂM 2018


1

Lời cảm ơn
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tơi có thể hồn thành
luận văn này.
Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới các thầy cơ phịng Sau
đại học, cùng các thầy cô giáo dạy lớp thạc sỹ chun ngành Tốn giải
tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tơi trong suốt q trình
học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã ln động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi trong
q trình học tập và hồn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2018
Tác giả

Phùng Thị Thu Hằng


2

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích với đề
tài “Nghiệm nhớt của các phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi
trên khớp nối” là kết quả của quá trình tìm hiểu, nghiên cứu của tác giả
dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa

những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2018
Tác giả

Phùng Thị Thu Hằng


3

Mục lục
Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Mở đầu

4

Chương 1. Các phương trình Hamilton-Jacobi
khớp nối
1.1 Mơ hình bài tốn . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Một số khái niệm nghiệm nhớt . . . . . . . .
1.2.1 Nghiệm nhớt cổ điển . . . . . . . . .
1.2.2 Nghiệm thông lượng hạn chế . . . . .
1.2.3 Nghiệm nới lỏng . . . . . . . . . . . .

tựa lồi trên
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

Chương 2. Tính chất của nghiệm nhớt
2.1 Tính chất chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Xây dựng hàm thử đỉnh xấp xỉ trong trường hợp lồi trơn
2.2.1 Hàm thử đỉnh trong Ji × Jj với i = j . . . . . .
2.2.2 Hàm thử đỉnh trong Ji × Jj . . . . . . . . . . .
2.2.3 Chứng minh của Mệnh đề 2.2.2 . . . . . . . . . .
2.3 Chứng minh của Định lý 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Trường hợp lồi trơn . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Tính chất của nghiệm thông lượng hạn chế . . . . . . .
2.5 Tính chất của nghiệm nới lỏng . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

7
7
11
11
12
13

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

15
15
19
21
27
29
32
32
33
36
40

Kết luận

52

Tài liệu tham khảo

53


4

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Phương trình Hamilton-Jacobi là một trong những lớp phương trình đạo
hàm riêng có vai trò quan trọng trong cơ học, cũng như trong lý thuyết
điều khiển tối ưu. Có thể nói rằng đã có rất nhiều kết quả liên quan tới lớp
phương trình này đã được công bố (xem [1]-[10] và các tài liệu trong đó).
Trong vài năm gần đây, việc nghiên cứu các phương trình Hamilton-Jacobi

trên khớp nối nhận được sự quan tâm nghiên cứu đặc biệt của các nhà
toán học trên thế giới (xem [2], [6]-[9] và các tài liệu trong đó). Kết quả
chủ yếu là:
1, Đưa ra khái niệm nghiệm (nhớt) nới lỏng để có sự tồn tại;
2, Đề xuất khái niệm nghiệm (nhớt) hạn chế thơng lượng để có tính
duy nhất;
3, Chỉ ra sự tương đương của hai loại nghiệm trên.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, được sự hướng dẫn
của TS.Trần Văn Bằng, tôi đã chọn đề tài: “Nghiệm nhớt của các phương
trình Hamilton-Jacobi tựa lồi trên khớp nối” để thực hiện luận văn của
mình.


5

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về các phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi trên khớp nối và
một số loại nghiệm nhớt cho các phương trình này.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về:
+ Mơ hình các phương trình Hamilton-Jacobi trên khớp nối.
+ Nghiệm nhớt cho các phương trình đó.
+ Một số tính chất định tính của nghiệm nhớt.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Các phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi trên
khớp nối.
+ Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu nghiệm theo nghĩa nhớt cho mơ
hình đã nêu.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của Giải tích khơng lồi và của Lý thuyết
nghiệm nhớt.

6. Cấu trúc của luận văn
Cấu trúc của luận văn dự kiến gồm hai chương:
Chương 1: Các phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi trên khớp nối
Chương 2: Tính chất của nghiệm nhớt.


6

7. Đóng góp của đề tài
Xây dựng luận văn thành một tài liệu tham khảo tốt về chủ đề các
phương trình Hamilton-Jacobi trên khớp nối.


7

Chương 1
Các phương trình Hamilton-Jacobi
tựa lồi trên khớp nối
Chương này trình bày về mơ hình các phương trình Hamilton-Jacobi trên
khớp nối đang được sự quan tâm nghiên cứu và một số khái niệm nghiệm
nhớt cần thiết cho việc nghiên cứu của Chương 2.

1.1

Mơ hình bài tốn

Theo [7], một khớp nối nhiều chiều (khớp nối trong không gian nhiều
chiều) được tạo thành bởi một số hữu hạn các bản sao của một nửa không
gian Euclide và được dán các biên của chúng với nhau (Hình 1.1)

J=

Ji với
I=1,...,N

Ji = X = (x , xi ) : x ∈ Rd , xi ≥ 0
Ji ∩ Jj = Γ

Rd × [0, +∞)

Rd × {0} với i = j
(1.1.1)

(với N ≥ 1 và d ≥ 0).
Biên chung Γ của các nửa không gian Ji được gọi là siêu phẳng nối. Với
điểm X, Y ∈ J, khoảng cách d(X, Y ) được xác định bởi:
2

d (X, Y ) =

|x − y |2 + (x + y)2 nếu X ∈ Ji , Y ∈ Jj , i = j
|x − y |2 + |x − y|2

nếu X, Y ∈ Ji .

8

Hình 1.1: Các phương trình Hamilton-Jacobi trên khớp nối nhiều chiều. Ở đây có N = 3
nhánh và số chiều tiếp xúc d = 1. Điều kiện trên siêu phẳng nối Γ (là đường thẳng)
khơng được chỉ ra trong hình.

Với hàm thực đủ chính quy u xác định trên J, ∂i u(X) là đạo hàm của u
theo xi tại X = (x , xi ) ∈ Ji và D u(X) là gradient của u theo x . Gradient
của u được định nghĩa bởi:

Du (X) :=

nếu X ∈ Ji ∗ := Ji \Γ,

(D u(X), ∂i u(X))

(D u(X , 0), ∂1 u(X , 0), ..., ∂N u(X , 0)) nếu X = (x , 0) ∈ Γ.
(1.1.2)

Với các kí hiệu như vậy, ta xét các phương trình Hamilton-Jacobi trên
khớp nối nhiều chiều J có dạng:

ut + Hi (Du) = 0

i > 0, X ∈ Ji \Γ

ut + FA (Du) = 0 i > 0, X ∈ Γ

(1.1.3)

với điều kiện ban đầu

u(0, X) = u0 (X),

X ∈ J.

Các Hamiltonian thỏa mãn các giả thiết sau đây:


Hi ∈ C(Rd+1 )

(Liên tục)

(Tựa lồi)
∀λ, {p ∈ Rd+1 : Hi (p) ≤ λ} lồi


(Cưỡng bức) lim
|p|→+∞ Hi (p) = +∞.

(1.1.4)

(1.1.5)


9

Gọi πi0 (p ) = pˆi ∈ R là điểm tại đó hàm p → Hi (p , pi ) đạt giá trị nhỏ
nhất. Hàm Hi− được xác định bởi:

Hi− (p

, pi ) =

Hi (p , pi ),

nếu pi ≤ πi0 (p )

Hi (p , πi0 (p )),

nếu p > πi0 (p ).

(xem Hình 1.2 trong Mục 2).
Hàm khớp nối FA trong (1.1.3) được xây dựng từ các Hamiltonian Hi
và một hàm A xác định trên không gian tiếp xúc của Γ, gọi là bộ hạn chế
thông lượng. Sau khi xác định không gian tiếp xúc của Γ trong Rd , bộ hạn
chế thông lượng là hàm A : Rd → R thỏa mãn các giả thiết sau.

(Liên tục) A ∈ C(Rd )
(Tựa lồi)

∀λ, p ∈ Rd : A(p) ≤ λ

lồi.

(1.1.6)

Một ví dụ về bộ hạn chế thơng lượng là:

A0 (p ) = max Ai (p ) với Ai (p ) = min Hi (p , pi ).
i=1,...,N

pi ∈R

(1.1.7)

Hàm FA được định nghĩa bởi:

FA (p , p1 , ..., pN ) = max((A(p ), max Hi− (p , pi ))
i=1,...,N

(1.1.8)

(nhắc lại điều kiện khớp nối trong (1.1.3) và định nghĩa của Du(x) trong
(1.1.2) với x ∈ Γ).
Để tiếp tục, ta đề cập tới một số hàm quan trọng liên quan tới các
Hamiltonian Hi : bộ hạn chế thông lượng “tự nhiên” A0 , các phần đơn điệu

Hi± , hàm ngược πi± .
Các hàm A0 , A1 , . . . , AN được định nghĩa trong (1.1.7),

A0 (p ) = max Ai (p ) với Ai (p ) = min Hi (p , pi ).
i=1,...,N

h=pi ∈R

Ta sẽ chứng minh rằng các hàm Ai , i = 0, . . . , N là tựa lồi, liên tục và
cưỡng bức theo p (xem Bổ đề 2.5.14).

10

Hình 1.2: Các phần đơn điệu Hi± của một Hamiltonian Hi (Hi− ở bên trái, Hi+ ở bên
phải). Hamiltonian có màu đen, phần đơn điệu có màu đỏ. Biến tiếp tuyến p khơng
được vẽ. Trong ví dụ này, giá trị nhỏ nhất Ai của Hi nhỏ hơn A0 . Các hàm ngược πi±
của Hi cũng được vẽ.

Các Hamiltonian Hi (p , pi ) được định nghĩa với p = (p , pi ) ∈ Rd+1 . Giá
trị nhỏ nhất của hàm pi → Hi (p , pi ) được ký hiệu bởi πi0 (p ). Các hàm

Hi− và Hi+ được định nghĩa như sau
Hi− (p
Hi+ (p

, pi ) =
, pi ) =

Hi (p , pi )

nếu pi ≤ πi0 (p )

Hi (p , πi0 (p ))

nếu pi ≥ πi0 (p ),

Hi (p , pi )

nếu pi ≥ πi0 (p )

Hi (p , πi0 (p ))

nếu pi ≤ πi0 (p ).

Với λ ≥ Ai (p ) = minpi ∈R Hi (p , pi ), các hàm πi± được định nghĩa bởi

πi+ = inf{pi : Hi (p , pi ) = Hi+ (p , pi ) = λ}
πi− = sup{pi : Hi (p , pi ) = Hi− (p , pi ) = λ}.

(1.1.9)

Chúng tôi cũng sử ký hiệu viết tắt

H(X, p , p) =

Hi (p , p)

với p = pi nếu X ∈ Ji \Γ,

FA (p , p)

với p = (p1 , . . . , pN ) nếu X ∈ Γ.

(1.1.10)

Đặc biệt, lưu ý rằng với định nghĩa của Du (xem (1.1.2)), Bài tốn (1.1.3)
trên khớp nối có thể được viết lại như sau

ut + H(X, Du) = 0 với mọi (t, X) ∈ (0, +∞) × J.

11

1.2
1.2.1

Một số khái niệm nghiệm nhớt
Nghiệm nhớt cổ điển

Giả sử Ω ⊂ RN là một tập mở. Xét phương trình đạo hàm riêng phi
tuyến cấp một (thường gọi là phương trình Hamilton-Jacobi):

F (x, u(x), Du(x)) = 0,

x ∈ Ω.

(HJ)

Nghiệm nhớt cổ điển của (HJ) được cho trong định nghĩa dưới đây,
trong đó tư tưởng chính là nghiệm nhớt nói chung chỉ là hàm liên tục, do
đó đạo hàm (hay gradient) của nghiệm sẽ được kiểm tra thông qua đạo
hàm của hàm thử, quy tắc chuyển đạo hàm sang hàm thử dựa vào nguyên
lý cực trị. Cụ thể,
Định nghĩa 1.2.1. Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm dưới nhớt của phương
trình (HJ) nếu với mọi ϕ ∈ C 1 (Ω) ta có:

F (x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) ≤ 0

(1.2.1)

tại mọi điểm cực đại địa phương x0 ∈ Ω của u − ϕ.
Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm trên nhớt của phương trình (HJ) nếu với
mọi ϕ ∈ C 1 (Ω) ta có:

F (x1 , u(x1 ), Dϕ(x1 )) ≥ 0

(1.2.2)

tại mọi điểm cực tiểu địa phương x1 ∈ Ω của u − ϕ.
Hàm u là một nghiệm nhớt nếu nó vừa là nghiệm trên nhớt vừa là
nghiệm dưới nhớt của phương trình đó.
Hàm ϕ(x) trong định nghĩa trên thường được gọi là hàm thử.
Vấn đề chính chúng ta phải xử lý trong các bài tốn đã đề cập chính
là điều kiện biên phi tuyến (điều kiện trên khớp nối). Điều kiện này thậm
chí cịn phụ thuộc cả vào đạo hàm của nghiệm. Vì thế trên biên các nhà


12

toán học đã giới thiệu một số cách hiểu khác nhau, dẫn tới các khái niệm
nghiệm khác nhau, như sẽ thấy sau đây.
Trước hết ta nhắc lại một số kí hiệu chính sau: Siêu phẳng nối Γ là biên
chung của các nửa không gian Ji , Γ = ∂Ji , ∀i. Ta sẽ thường đồng nhất Γ
với Rd , nói cách khác, ta không phân biệt cách viết x = (x , 0) ∈ Γ và

x ∈ Γ.
Đặt

C 1 (J) = {φ ∈ C(J), φ hạn chế trên Ji là C 1 với i = 1, . . . , N }. (1.2.3)
Với hàm f : D → R, ta kí hiệu trên đồ thị của nó là tập:

epif := {(X, r) ∈ D × R : r ≥ f (X)}.
1.2.2

Nghiệm thông lượng hạn chế

Với T > 0, đặt JT = (0, T ) × J. Để định nghĩa nghiệm thông lượng hạn
chế của (1.1.3), đầu tiên ta làm cho rõ lớp hàm thử liên quan,

C 1 (JT ) = {ϕ ∈ C(JT ), ϕ hạn chế trên (0, T ) là C 1 với i = 1, . . . , N }.
(1.2.4)
Ta cũng nhắc lại định nghĩa của bao nửa liên tục trên u∗ và bao nửa liên
tục dưới u∗ của hàm u (bị chặn địa phương) xác định trên [0, T ) × J :

u∗ (t, X) = lim sup u(s, Y ) và u∗ (t, X) = lim inf u(s, Y ).
(s,Y )→(t,X)

(s,Y )→(t,X)

Định nghĩa 1.2.2 (Nghiệm thông lượng hạn chế). Giả sử Hamiltonian
thỏa mãn (1.1.5) và bộ hạn chế thông lượng A : Rd → R liên tục. Cho

u : [0, T ) × J → R bị chặn địa phương.
i) Ta nói rằng u là nghiệm dưới thông lượng A-hạn chế (tương ứng,
nghiệm trên thông lượng A-hạn chế ) của (1.1.3) trong JT nếu với


13

mọi hàm thử ϕ ∈ C 1 (JT ) sao cho

u∗ ≤ ϕ (tương ứng, u∗ ≥ ϕ) trong một lân cận của (t0 , X0 ) ∈ JT
với dấu bằng tại (t0 , X0 ) với t0 > 0, ta có

ϕt + Hi (Dϕ) ≤ 0 (tương ứng, ≥ 0) tại (t0 , X0 ) nếu X0 ∈ Ji∗ = Ji \Γ
ϕt + FA (Dϕ) ≤ 0 (tương ứng, ≥ 0) tại (t0 , X0 ) nếu X0 ∈ Γ.
(1.2.5)
ii) Ta nói rằng u là nghiệm thơng lượng A-hạn chế của (1.1.3) nếu u vừa
là nghiệm dưới thông lượng A-hạn chế và vừa là nghiệm trên thông
lượng A-hạn chế của (1.1.3).

1.2.3

Nghiệm nới lỏng

Trong mục con này, chúng tôi xét phương trình Hamilton-Jacobi trên

J, liên kết với hàm trên khớp nối F : Rd × RN → R tổng quát:
ut + Hi (Du) = 0 t > 0, X ∈ Ji \Γ
ut + F (Du) = 0

t > 0, X ∈ Γ

(1.2.6)

với điều kiện ban đầu

u(0, X) = u0 (X) với X ∈ J.

(1.2.7)

Phương trình thứ hai trong (1.2.6) được coi là điều kiện trên khớp nối.
Khi quan tâm tới điều kiện trên khớp nối tổng quát, ta giả sử rằng hàm
trên khớp nối F : Rd × RN → R thỏa mãn

F ∈ C(Rd × RN )

(Tính liên tục)

∀i, pi → F (p , p1 , . . . , pN ) khơng tăng

(Tính đơn điệu)

(1.2.8)

và trong một số trường hợp quan trọng

∀λ, {p ∈ Rd × RN : F (p) ≤ λ} lồi

(Tính tựa lồi)

(1.2.9)


14

Bổ đề 1.2.3. Nếu các Hamiltonian thỏa mãn (1.1.5) và A thỏa mãn
(1.1.6), thì FA định nghĩa trong (1.1.8) thỏa mãn (1.2.8) và (1.2.9).
Chứng minh. Điều kiện (1.2.8) là rõ ràng vì A và Hi− liên tục và có tính
chất đơn điệu mong muốn. Quan tâm tới (1.2.9), ta phải kiểm tra rằng

{(p , pi ) : Hi− (p , pi ) ≤ λ} lồi.

(1.2.10)

Thật vậy, nếu điều này đúng thì FA là lớn nhất trong các hàm với các tập
mức dưới lồi nên nó cũng có tính chất này. Để thu được (1.2.10), ta chú ý
rằng định nghĩa của Hi− kéo theo

{(p , pi ) : Hi− (p , pi ) ≤ λ} = {(p , pi ) : Hi (p , pi ) ≤ λ} + {0Rd } × [0, +∞).
Vì tổng của hai tập lồi là một tập lồi nên ta có (1.2.10).
Định nghĩa 1.2.4 (Nghiệm nới lỏng). Giả sử các Hamiltonian thỏa mãn
(1.1.5) và hàm thông lượng F thỏa mãn (1.2.8). Giả sử u : [0, T ) × J → R
bị chặn địa phương.
i) Ta nói rằng u là nghiệm dưới F -nới lỏng (tương ứng, nghiệm trên

F -nới lỏng) của (1.2.6) trong JT nếu với mọi hàm thử ϕ ∈ C 1 (JT )
sao cho

u∗ ≤ ϕ (tương ứng, u∗ ≥ ϕ) trong một lân cận của (t0 , X0 ) ∈ JT
với dấu bằng tại (t0 , X0 ) với t0 > 0, ta có

ϕt + Hi (Dϕ) ≤ 0 (tương ứng, ≥ 0) tại (t0 , X0 )
nếu X0 ∈ Ji∗ , và
hoặc ϕt + F (Dϕ) ≤ 0 (tương ứng, ≥ 0 tại (t0 , X0 ))
hoặc ϕt + Hi (Dϕ) ≤ 0 (tương ứng, ≥ 0 với một vài i tại (t0 , X0 ))
nếu X0 ∈ Γ.
ii) Ta nói rằng u là nghiệm F -nới lỏng của (1.2.6) nếu u vừa là nghiệm
dưới F -nới lỏng và vừa là nghiệm trên F -nới lỏng của (1.2.6).

15

Chương 2
Tính chất của nghiệm nhớt
Trong chương này, chúng tơi đề cập tới một trong những kết quả chính
của [7] về sự tồn tại của hàm thử đỉnh nhiều chiều (multi-dimensional
vertex test function) - một hàm đủ chính quy, xác định trên J 2 , có gradient
thỏa mãn một số điều kiện tương thích phù hợp. Trong phát biểu sau, C(J)
và C(J 2 ) tương ứng là lớp các hàm liên tục trong J và J 2 . Lớp hàm C 1 (J)
bao gồm các hàm thuộc C(J) có hạn chế trên Ji là C 1 ra tới Γ (chi tiết,
xem (1.2.3)).

2.1

Tính chất chính

Định lý 2.1.1. (Sự tồn tại hàm thử đỉnh). Cho A thỏa mãn (1.1.6) với

A ≥ A0 và γ ∈ (0, 1] là tham số sai số nhỏ. Giả sử các Hamiltonian thỏa
mãn (1.1.5). Khi đó tồn tại một hàm G: J 2 → R (gọi là hàm thử đỉnh) có
các tính chất sau:
1. (Tính chính quy)

G ∈ C(J 2 ) và

G(X, .) ∈ C 1 (J) với mọi X ∈ J,
G(., Y ) ∈ C 1 (J)

2. (Tính bị chặn dưới) G ≥ 0 = G(0, 0).

với mọi Y ∈ J.


16

3. (Điều kiện tương tính trên đường chéo) Với mọi X ∈ J,

0 ≤ G(X, X) − G(0, 0) ≤ γ.

(2.1.1)

4. (Tính trên tuyến tính) Tồn tại g : [0, +∞) → R không giảm và sao
cho với (X, Y ) ∈ J 2

g(a)
= +∞.
a→+∞ a

g(d(X, Y )) ≤ G(X, Y ) và lim

(2.1.2)

5. (Đánh giá gradient) Với mọi K > 0, tồn tại CK > 0 sao cho với mọi

(X, Y ) ∈ J 2 ,
d(X, Y ) ≤ K ⇒ |DX G(X, Y )| + |DY G(X, Y )| ≤ CK .

(2.1.3)

6. (Điều kiện tương thích đối với các gradient) Tồn tại họ các môđun liên
tục {ωR }R>0 sao cho với mọi X, Y ∈ J và K > 0 với d(X, Y ) ≤ K,


Hj (−DY G(X, Y )) − Hi (DX G(X, Y )) ≤ ωCK (γCK ) nếu Y



H (−D G(X, Y )) − F (D G(X, Y )) ≤ ω (γC ) nếu Y
j
Y
A
X
CK
K

FA (−DY G(X, Y )) − Hi (DX G(X, Y )) ≤ ωCK (γCK ) nếu Y




FA (−DY G(X, Y )) − FA (DX G(X, Y )) ≤ ωCK (γCK ) nếu Y

∈ Jj∗ , X ∈ Ji∗
∈ Jj∗ , X ∈ Γ
∈ Γ, X ∈ Ji∗
∈ Γ, X ∈ Γ
(2.1.4)

với CK cho trong (2.1.3).

Chú ý 2.1.2. Nhắc lại rằng với X ∈ Γ (tương ứng Y ∈ Γ), gradient

DX G(X, Y ) (tương ứng DY G(X, Y )) được định nghĩa trong (1.1.2).
Định lý 2.1.1 kéo theo tính duy nhất mạnh của bài tốn (1.1.3)-(1.1.4).
Trên thực tế, nó thậm chí cịn kéo theo tính duy nhất mạnh của lớp các
phương trình Hamilton-Jacobi trên khớp nối tổng quát, xem chi tiết trong
Chú ý 2.1.4. Để phát biểu kết quả duy nhất mạnh của bài tốn (1.1.3)(1.1.4), đầu tiên chúng ta tìm nghiệm theo nghĩa yếu thỏa mãn các phương
trình và điều kiện khớp nối. Khái niệm thích hợp là nghiệm thơng lượng


17

hạn chế đã đề xuất trong [6]: đây là nghiệm nhớt theo nghĩa của CrandallEvans-Lions [3], [4] và thỏa mãn điều kiện khớp nối theo nghĩa nhớt mạnh.
Cụ thể hơn, chúng thỏa mãn phương trình theo nghĩa nhớt cổ điển ở bên
ngoài siêu phẳng nối và chúng thỏa mãn điều kiện khớp nối theo nghĩa
nhớt với các hàm thử liên tục trong J và C 1 trên mỗi Ji ra tới Γ.
Định lý 2.1.3 (Nguyên lý so sánh trên khớp nối nhiều chiều). Giả sử
các Hamiltonian Hi thỏa mãn (1.1.5), bộ hạn chế thông lượng A thỏa mãn
(1.1.6) với A ≥ A0 , trong đó A0 được định nghĩa trong (1.1.7), và giả sử
rằng dữ liệu ban đầu u0 liên tục đều. Khi đó, với mọi nghiệm dưới thơng
lượng hạn chế u và nghiệm trên thông lượng hạn chế v của (1.1.3)-(1.1.4)
thỏa mãn với T > 0 và CT > 0 và X0 ∈ J,

u(t, X) ≤ CT (1 + d(X0 , X)),
v(t, X) ≥ −CT (1 + d(X0 , X)),

với mọi (t, X) ∈ [0, T ) × J, (2.1.5)

và thỏa mãn u(0, X) ≤ u0 (X) ≤ v(0, X) với mọi X ∈ J, ta có u ≤ v
trong [0, T ) × J.

Chú ý 2.1.4. Nguyên lý so sánh đúng với phương trình Hamilton-Jacobi
liên kết với điều kiện khớp nối tổng quát hơn, xem (1.2.6) và các Giả thiết
1.2.8 và (1.2.9) trong Phụ lục. Nó là hệ quả của thực tế là việc đặt điều
kiện khớp nối tổng quát được đưa về việc đặt các điều kiện FA , xem Định
lý 2.5.12 trong Phụ lục. Các kết quả này mở rộng kết quả cho trường hợp
một chiều trong [6].
Chú ý 2.1.5. Việc mở rộng cho các Hamiltonian phụ thuộc (t, x) là khơng
khó và được giải thích trong [6] trong trường hợp mạng lưới (network). Việc
mở rộng này đạt được bằng cách địa phương hóa thơng thường xung quanh
điểm (t¯, x
¯) ∈ (0, T ) × Γ ở đầu chứng minh của nguyên lý so sánh. Trong
phần còn lại của chứng minh, ta sử dụng hàm thử đỉnh liên kết với các


18

Hamiltonian mà sự phụ thuộc của nó vào (t, x) bị cố định tại (t¯, x
¯) (xem
chi tiết trong [6]).
Chú ý 2.1.6. Nguyên lý so sánh này đúng với các nghiệm dưới, nghiệm
trên có độ tăng khơng q tuyến tính (xem (2.1.5)). Đây là các điều kiện
quen thuộc đối với các phương trình như vậy.
Khó khăn trong chứng minh tính duy nhất mạnh của (1.1.3). Kết quả
duy nhất mạnh cho phương trình Hamilton-Jacobi như (1.1.3) là rất khó,
kể cả trong trường hợp đặc biệt N = 2, bởi vì ta phải làm việc với một
phương trình Hamilton-Jacobi trong khơng gian Euclid với Hamiltonian
không liên tục theo biến không gian dọc trên mỗi siêu phẳng. Cụ thể
hơn, hai Hamiltonian liên tục khác nhau có thể được chọn trên hai phía
của siêu phẳng nhưng chúng khơng trùng nhau trên siêu phẳng đó. Tính
gián đoạn này được coi là khó khăn chính khi chứng minh kết quả duy

nhất mạnh như nguyên lý so sánh (Định lý 2.1.3). Thường thì nó được
chứng minh bằng kỹ thuật gấp đôi biến: cận trên đúng của u − v trong

(0, T ) × J được xấp xỉ bởi cận trên đúng của u(t, x) − v(t, y) − Pε (x, y)
trong (0, T ) × J × J trong đó Pε (x, y) là hàm phạt; dáng điệu tại vơ cùng
của hàm Pε (x, y) và tính nhỏ của tham số ε ép buộc x gần y. Một cách
thông thường, Pε (x, y) được chọn là hàm bậc hai ε−1 |x − y|2 ; nhưng với
cách chọn như vậy, chứng minh khơng thực hiện được do tính gián đoạn
của Hamiltonian qua siêu phẳng. Thật vậy, hai bất đẳng thức nhớt được
viết tại điểm (t¯, x
¯) và (t¯, y¯) nếu cận trên đúng xấp xỉ đạt được tại (t¯, x¯, y¯);
nếu x
¯ và y¯ không cùng thuộc một Ji , thì các Hamiltonian xuất hiện trong
hai bất đẳng thức nhớt là khác nhau. Một số tác giả áp đặt điều kiện
tương thích lên các Hamiltonian nhưng chúng tơi khơng muốn làm như
vậy. Thay vào đó, ý tưởng tự nhiên trong [2] cũng như [6] là tìm một hàm
phạt Pε (x, y) theo cách sao cho nó bù lại sự thiếu điều kiện tương thích
giữa các Hamiltonian. Ở đây, nó được chọn dưới dạng εG(x/ε, y/ε) với


19

hàm G là hàm thử đỉnh. Điều kiện tương thích về gradient vi) của G trong
Định lý 2.1.1 giải quyết việc thiếu tính tương thích của các Hamiltonian.
Ngồi các điều kiện tương thích đối với gradient trong vi), các tính chất
khác của hàm thử đỉnh G đều cần thiết. Tính chính quy của G trong i)
cho phép sử dụng G như một hàm thử theo X và Y. Tính bị chặn dưới
trong ii), tính tương thích trên đường chéo trong iii), và tính trên tuyến
tính trong iv), đảm bảo cho G có thể được sử dụng như một hàm phạt.
Các đánh giá gradient trong v) là cần thiết để xử lý tính khơng bị chặn

của miền.
Khó khăn trong trường hợp nhiều chiều. Việc xây dựng hàm thử đỉnh
được tiến hành theo hai bước: đầu tiên một hàm thử đỉnh xấp xỉ được định
nghĩa, với các tính chất mong muốn ngoại trừ trên tập {x = y} của J × J;
thứ hai hàm thử đỉnh xấp xỉ này được chính quy hóa trên tập {x = y}.
Trong trường hợp nhiều chiều, mỗi bước là khó hơn đáng kể so với trường
hợp một chiều. Khi xây dựng hàm thử đỉnh xấp xỉ phải giải bài toán tối
ưu với ràng buộc đẳng thức, và bộ tối ưu được xác định ẩn thông qua điều
kiện tối ưu cấp một, trong khi trong trường hợp một chiều, bài toán tối
ưu này là tầm thường và bộ tối ưu rõ ràng. Với bước hai, khó khăn gắn
với việc chứng tỏ q trình chính quy hóa khơng ảnh hưởng đến các tính
chất khác.

2.2

Xây dựng hàm thử đỉnh xấp xỉ trong trường
hợp lồi trơn

Mục này được dành cho xây dựng một hàm thử đỉnh xấp xỉ G0 trong
trường hợp các Hamiltonian và bộ hạn chế thông lượng trơn và lồi. Cụ thể
hơn, chúng ta xây dựng hàm G0 thỏa mãn các tính chất cần thiết của hàm
thử đỉnh ngoại trừ trên tập con {x = y} của J × J.


20

Trong toàn bộ mục này, ta giả sử các Hamiltonian Hi thỏa mãn giả
thiết sau với i = 1, . . . , N,



Hi ∈ C 2 (Rd+1 ) với D2 Hi > 0 trong Rd+1 ,
Hi (P )

= +∞
lim|P |→+∞
|P |

(2.2.1)

và bộ hạn chế thông lượng

A0 ≤ A ∈ C 2 (Rd ) và D2 A > 0 trong Rd+1 .

(2.2.2)

Nhắc lại πi± được định nghĩa trong (1.1.9).
Bổ đề 2.2.1 (Tính chất của πi± ). Giả sử có (2.2.1). Khi đó πi± (p , ·) ∈

C 2 (Ai (p ), +∞) và πi± ∈ C(epi Ai ). Ngoài ra, πi± lõm đối với (p , λ) trong
epi Ai và ±πi± khơng giảm đối với λ.
Chứng minh. Tính chính quy của πi± có thể được rút ra từ định lý hàm
ngược. Khi làm việc với tính lõm của πi+ , ta có thể bỏ chỉ số i và ta sẽ làm
vậy cho rõ ràng. Cho (p , λ), (q , µ) ∈ epi A và t ∈ (0, 1). Khi đó

tλ + (1 − t)µ = tH(p , π + (p , λ)) + (1 − t)H(q , π + (q , µ)
≥ H(tp + (1 − t)q , tπ + (p , λ) + (1 − t)π + (q , u)).
Cho nên

π + (tp + (1 − t)q , tλ + (1 − t)µ) ≥ tπ + (p , λ) + (1 − t)π + (q , u)
chính là kết quả cần tìm. Tính đơn điệu của π + là dễ suy ra từ tính đơn

điệu của H. Bổ đề được chứng minh.
Tiếp theo ta định nghĩa hàm G0 của X ∈ Ji , Y ∈ Jj , i, j = 1, . . . , N,
như sau

G0 (X, Y ) =

sup (p · (x − y ) + pi x − pj y − λ)
ij
(P,λ)∈GA

(2.2.3)


21

trong đó

d+3

× R : P = (p , pi , pj ),

 (P, λ) ∈ R
nếu i = j
GAij =
λ = Hi (p , pi ) = Hj (p , pj ) ≥ A(p )


{(P, λ) ∈ Rd+2 × R : P = (p , p ), λ = H (p , p ) ≥ A(p )} nếu i = j
i
i

i
(2.2.4)
với A ≥ A0 .
Kết quả chính của mục này là mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2.2 (Hàm thử xấp xỉ trong trường hợp lồi trơn). Cho A ≥ A0
với A0 xác định bởi (1.1.7) và giả sử các Hamiltonian thỏa mãn (2.2.1) và
bộ hạn chế thông lượng A thỏa mãn (2.2.2). Khi đó G0 thỏa mãn
(i) (Tính chính quy)
0

2

G ∈ C(J ) và

G0 ∈ C 1 ({(X, Y ) ∈ J × J, x = y}),
G0 (0, ·) ∈ C 1 (J) và G0 (·, 0) ∈ C 1 (J);

(ii) (Tính bị chặn dưới) G0 ≥ G0 (0, 0);
(iii) (Điều kiện tương thích) (2.1.1) đúng với γ = 0; và (2.1.4) đúng với

γ = 0 với X = (x , x), Y = (y , y) với x = y hoặc x = y = 0;
(iv) (Tính trên tuyến tính) (2.1.2) đúng với một g = g 0 ;
(v) (Đánh giá gradient) (2.1.3) chỉ đúng với (X, Y ) ∈ J 2 sao cho x = y
hay (x, y) = (0, 0);
Chứng minh của mệnh đề này được giữ lại tới Mục 3.3.

2.2.1

Hàm thử đỉnh trong Ji × Jj với i = j

Để chứng minh Mệnh đề 2.2.2, đầu tiên ta cần nghiên cứu hạn chế G0ij
của G0 trên tập Ji × Jj . Khi đó, ta có thể viết

G0ij (X, Y ) = Gij (x − y , xi , −yj )


22

với
Gij (Z) =

sup (P · Z − λ)

(2.2.5)

ij
(P,λ)∈GA

trong đó GAij được định nghĩa như trong (2.2.4). Lưu ý rằng với X ∈ Ji và

Y ∈ Jj , ta có Z = X − Y ∈ Q với
Q = Rd × [0, +∞[×] − ∞; 0].
Ta cũng xét đơn hình

T = {(αi , αj , α0 ) ∈ [0, 1]3 : αi + αj + α0 = 1}.
Bổ đề 2.2.3 (Điều kiện cần của bộ cực đại hóa: dạng ij ). Cho Z ∈ Q,
cận trên đúng Gij (Z) đặt được với (P, λ) ∈ GAij và tồn tại (αi , αj , α0 ) ∈ T
sao cho

Z = D(α · H)(P )

với H = (Hi , Hj , A).
Chứng minh. Gij (Z) xác định bởi lấy giá trị lớn nhất hàm tuyến tính dưới
một ràng buộc đẳng thức và một ràng buộc bất đẳng thức. Các ràng buộc
là đủ điều kiện nếu

D(Hi − Hj ) không cộng tuyến với D(Hi − A).
Khi các ràng buộc đủ điều kiện, định lý Karush-Kuhn-Tucker khẳng định
rằng (tính DP (P · Z − λ)) tồn tại αj ∈ R và α0 ≥ 0 sao cho

Z = ∇P Hi + αj (∇P Hj − ∇P Hi ) + α0 ∇P (A − Hi )
với

α0 = 0 nếu A(p ) < Hi (p , pi ).
Nếu đặt αi = 1 − α0 − αj , ta có



zi = αi ∂i Hi (p , pi ) ≥ 0

zj = αj ∂j Hj (p , pi ) ≤ 0


z = α ∇ H + α ∇ H + α ∇ A.
i p i
j p j
0 p


23

Nói riêng, các ràng buộc là đủ điều kiện nếu

∂i Hi (p , pi ) > 0 và ∂j Hj (p , pi ) < 0.

(2.2.6)

Trong trường hợp này ta suy ra (αi , αj , α0 ) ∈ T . Cho nên, kết quả được
chứng minh trong trường hợp (2.2.6).
Bây giờ giả sử rằng ∂i Hi (p , pi ) ≤ 0. Ta lưu ý rằng trong tất cả trường
hợp, ∂i Hi (p , pi ) ≥ 0 do zi ≥ 0. Cho nên, ∂i Hi (p , pi ) = 0, hay nói cách
khác, Hi (p , pi ) = Ai (p ). Nhưng đặc biệt, từ ràng buộc Hi (p , pi ) ≥ Ai (p ),
giả thiết A(p ) ≥ A0 (p ) và kết quả đơn giản rằng Ai (p ) ≤ A0 (p ) kéo theo
rằng A(p ) = A0 (p ). Ta đạt được cùng kết luận nếu ∂j Hj (p , pi ) ≥ 0. Nói
cách khác,
Điều kiện (2.2.6) đúng miễn là ∀p , A(p ) > A0 (p ).

(2.2.7)

Đặc biệt, kết quả của bổ đề đúng dưới điều kiện: A(p ) > A0 (p ) với
mọi p ∈ Rd . Bây giờ nếu tồn tại p sao cho A(p ) = A0 (p ), ta chú ý rằng
Gij (Z) = lim Gεij (Z)
ε→0

trong đó Gεij (Z) liên kết với Aε (p ) = ε + A(p ). Từ trường hợp trước, ta
biết rằng tồn tại Pε và λε sao cho
Gεij = Pε · Z − λε
và αε = (αjε , αjε , α0ε ) ∈ T sao cho

Z = D(α · H)(Pε ).
Ta có thể tách một dãy con sao cho αε → α. Ngoài ra, Pε · Z − λε bị chặn

trên và

λε = Hi (p ε , pεi ) = Hj (p ε , pεi ).
Do Hi và Hj được giả sử là trên tuyến tính, ta kết luận rằng ta cũng có
thể tách ra một dãy con hội tụ từ Pε . Điều phải chứng minh.