vườn cổ tích trường mầm non Sơn Kim 1

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i><b>§Ị Sè 1</b></i>

§Ị thi häc sinh giái môn toán lớp 9

<b>(Thời gian làm bài 150 )</b>

<b>Câu 1: Giải phơng trình. </b>
<i>6 x 3</i>

<i>x </i><i>1 x</i> = 3 + 2

<i>x x</i>

2

<b>Câu 2: Cho hệ phơng tr×nh:</b>

x - 3y - 3 = 0

x2_{+ y}2 _{- 2x - 2y - 9 = 0}

Gäi (x1; y1) và (x2; y2) là hai nghiệm của hệ phơng trình trên. HÃy tìm giá trị của
biểu thức.

M = (x1- x2)2_{+ (y1-y2)}2_.

<b>Câu 3: Từ điểm A nằm ngoài đờng tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B,C là</b>

các tiếp điểm). Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O) (M khác B và
C). Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E, F, đờng thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q. Chứng
minh rằng tỷ số PQ

EF không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC.

<b>Câu 4: Tìm các số x, y, z nguyên dơng thoả mãn đẳng thức. </b>

2(y+z) = x (yz-1)

<b>Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp</b>

của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó.

§Ị sè 2

§Ị thi häc sinh giỏi môn toán lớp 9

<i><b>(Thời gian làm bài: 150 )</b></i>’

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

(x +

<i>x</i>2+2006

<i>y</i>2+2006

<i>y +</i>√¿
¿

√¿ ¿ ¿

H·y tÝnh tổng: S = x + y

<b>Câu 2: Trong các cặp sè thùc (x;y) tho¶ m·n: </b> <i>x</i>

2<i>_{− x+ y}</i>2<i>_{− y}</i>

<i>x</i>2

+<i>y</i>2<i>−1</i> <i> 0</i>

HÃy tìm cặp số có tổng x+2y lớn nhất.

<b>Câu 3: </b>

Tìm các số nguyên dơng n sao cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là những số
chính phơng.

<b>Câu 4: Cho hai đờng trịn (C</b>1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai đờng tròn
này nằm trong đờng tròn (C3) và tiếp xúc với (C3) tơng ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung
tại T của (C1) và (C2) cắt (C3) tại P. PM cắt đờng tròn (C1) tại diểm thứ hai A và MN cắt
(C1) tại điểm thứ hai B. PN cắt đờng tròn (C2) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C2) tại điểm
thứ hai C.

a. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh rng AB, CD v PT ng quy.

<i><b>Câu 5: Giải phơng trình.</b></i>

x2 _{+ 3x + 1 = (x+3)}

<i>x</i>2+1

<b>Đề số 3</b>

<b>S giáo dục và đào tạo Đề thi học sinh giỏi lớp 9</b>

<b> Thanh hoá Mơn: Tốn</b>

<i><b> ***** Thêi gian: 150 phót</b></i>
<b>Bµi 1: Cã sè y nào biểu thị trong dạng sau không?</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mÃn hÖ thøc: </b>

1 1 1 1

<i>a b c</i>  <i>a b c</i>  _{. Chøng minh r»ng :}

Với mọi số nguyên n lẻ ta đều có:

1 1 1 1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<b>Bài 3: Giải hệ phơng trình:</b>

2 2 1 9

1 1
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
    



  



<b>Bµi 4: Cho hệ phơng trình hai ẩn x, y sau:</b>

2

( 1) 2 1

2

<i>m</i> <i>x my</i> <i>m</i>

<i>mx</i> <i>y</i> <i>m</i>

   




  



Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn nhất

<b>Bài 5: Tìm m để phơng trình (x</b>2_{-1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x1, x2,}

x3, x4 thoả mÃn điều kiện 1 2 3 4

1 1 1 1
1

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> 
<b>Bài 6: Cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số </b>

2

1
2

<i>y</i> <i>x</i>
a. Tìm m sao cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol

b. Cú bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ

<b>Bài 7: Giải phơng trình nghiệm nguyên:</b>

x3_{– y}3_{– 2y}2_{– 3y – 1 = 0}

<b>Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B tơng ứng thuộc các tia Ox và Oy sao </b>

cho OA = OB. Một đờng thẳng d đi qua A cắt đoạn OB tại điểm M nằm giữa O và
B. Từ B hạ đờng vng góc với AM tại H và cắt đờng thẳng OA tại I

1. Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp đợc

2. Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh OK = KH và tìm quỹ tích điểm
K khi M di động trên đoạn OB.

<b>Bài 9: Cho tam giác ABC có </b><i>A </i>900, M là một điểm di động trên cạnh BC. Gọi O và
E lần lợt là hình chiếu vng góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí của M để
độ dài đoạn thẳng OE ngắn nht.

<b>Đề số 5</b>

<b>Đề thi học sinh giỏi lớp 9</b>
<b>Bài I (2</b>®₎

Rót gän A <i>1+2 a</i>

1+√<i>1+2 a</i>+

<i>1 −2 a</i>

<i>1 −</i>√<i>1 −2 a</i> Với a =
3
4
<b>Bài II (6đ)</b>

a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình

2x2_{+ 4x = 19-3y}2
b) Giải hệ phơng trình

x3_{=7x +3y}

y3_{= 7y+3x}

<b>Bài III (3</b>đ₎

Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1
Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB ≠ CD) M,N lần lợt thứ tự là trung điểm của
các đờng hcéo AC và BD , kẻ NH ⊥ AD, MH’ ⊥ BC. Gọi I là giao điểm của MH’ và NH.
Chứng minh rằng I cách đều 2 điểm C và D.

<b>Bài V (3</b>đ₎

Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1. Chøng minh b+c ≥ 16abc.

<b>Ò sè 9</b>

<b>đề thi học sinh giỏi - lớp 9</b>
<b>mơn tốn -thời gian : 150 phút</b>

ngời ra đề : lê thị hơng – lê th tõm

<b>Câu 1: (4 điểm)</b>

Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x
A = <i>6 x −(x +6)</i>√<i>x − 3</i>

<i>2( x − 4</i>√<i>x+3)(2 −</i>√<i>x )−</i>

3

<i>−2 x+10</i>√<i>x − 12−</i>
1
3√<i>x − x − 2</i>

®iỊu kiƯn x # 4; x # 9 ; x # 1

<b>Câu 2: (3 điểm) giải phơng trình </b>

<i>x</i>2

+48 = 4x - 3 +

<i>x</i>2+35
<b>Câu 3: (4 điểm)</b>

Phân tích ra thừa số
A = x3_y3 _{+ z}3_{- 3xyz}

Từ đó tìm nghiệm ngun (x, y , z) của phơng trình
x3_{+ y}3_{+ z}3_{- 3xyz = x (y - z)}2_{+ z (x - y)}2 _{+ y( z-x)}2 ₍₁₎
t/m đk:

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>C©u 4: (3 điểm)</b>

Tìm GTNN của biểu thức

<i></i> =

<i>1+x</i>2<i>y</i>22

1
2(

<i>x</i>10
<i>y</i>2 +

<i>y</i>10
<i>x</i>2 )+

1
4(<i>x</i>

16

+<i>y</i>16)−¿

<b>Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đờng cao, đờng</b>

phân giác, đờng trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần. Hãy
tính diện tích mỗi phần.

<b>Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đờng chéo AC&BD vuông với</b>

nhau tại H < H không trùng với tâm của (0). Gọi M,N lần lợt là chân đờng vuông góc hạ
từ H xuống các đờng thẳng AB, BC; P&Q lần lợt là giao điểm của đờng thẳng MH & NH
với các đờng thẳng CD; OA. chứng minh rằng đờng thẳng PQ // đờng thẳng AC và 4 điểm
M, N, P, Q nằm trên một (0).

<b>đề số 10</b>

<b> Sở GD-ĐT thanh hoá §Ị thi häc sinh giái To¸n líp 9</b>

<i><b> </b></i><b>Tr êngTHPT BØm S¬n </b><i><b> </b></i>

<i><b>B¶ng A</b></i>

<i><b> </b><b>( Đề đề nghị ) Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)</b></i>

<b>Câu1 : (4 điểm) Cho biểu thức A=</b>

<i>x+</i><i>y</i>2

1,Rút gọn biểu thức A

2, So sánh A và <i>A</i>

<b>Câu 2: ( 5 Điểm) </b>

1, Giải phơng trình: x2 _{+ 4x + 5 = 2}

√<i>2 x +3</i>

2, Cho 1 a 2 vµ 1 b 2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: P=

<i>a+b</i>2

<b>Câu 3, (6 điểm) </b>

1, Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phơng

trình bậc hai: (m-2)x2_{-2(m-1)x +m = 0}

Hãy xác định giá trị m để số đo của đờng cao ứng với cạnh huyn ca tam

giác là: 2

√5

2, Cho 2 điểm A,B phân biệt trên đờng thẳng ( <i>Δ</i> ) . Đờng tròn (o) tiếp xúc

với đờng thẳng ( <i>Δ</i> ) tại A. Hãy dựng đờng tròn (o’) tiếp xúc với đờng trịn (o) và

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i><b>C©u 4: (5 ®iĨm)</b></i>

Cho hai đờng tròn (o1) và (o2) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung gần B

của hai đờng tròn lần lợt tiếp xúc với (o1) và (o2) tại C và D. Qua A kẻ đờng thẳng

song song với CD lần lợt cắt (o1) và (o2) tại M và N. Các đờng thẳng BC và BD lần

lợt cắt đờng thẳng MN tại P và Q . Các đờng thẳng CM và DN cắt nhau tại E .
Chứng minh rằng:

1, Đờng thẳng AE vng góc với đờng thẳng CD

2, Tam giác EPQ là tam giác cân.

Đề số 11
Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá

<b>đề thi hc sinh gii lp 9 </b><b> bng b</b>

<b>Môn: Toán</b>

<i>Thi gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)</i>

<b>Bµi 1: Rót gän A=</b>

(

1
2+2√<i>a</i>+

1
<i>2− 2</i>√<i>a−</i>

<i>a</i>2+1
<i>1− a</i>2

)

(

1+

1

<i>a</i>

)

víi a > 0 và a 1
<b>Bài 2: Phân tích đa thức B = x</b>4_{+ 6x}3_{+ 7x}2_{– 6x + 1 thành nhân tử}

<b>Bi 3: Tỡm m phng trỡnh </b> <i>x</i>2<i>₋</i>15

4 <i>x +m</i>

2₌₀

cã hai nghiƯm vµ nghiƯm nµy bằng bình
phơng nghiệm kia.

<b>Bi 4: Xỏc nh m h sau có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y l s nguyờn</b>

{

<i>mx+2 y=m+1 (1)2 x+my=2 m 1(2)</i>

<b>Bài 5: Giải phơng trình </b> <i>_x</i>2

+<i>x +5=5</i>

<b>Bi 6: Cho ng thng (d): y = x + 2m – 3 gọi A, B lần lợt là giao điểm của d với Ox,</b>

Oy. Xác định m để SABO bằng 4.

<b>Bµi 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1. </b>

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x)

<b>Bài 8: Tính bán kính đờng trịn nội tiếp ABC vuông ở A biết rằng đờng</b>

phân giác trong AD chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng có độ dài 10 cm và 20
cm.

<b>Bài 9: Cho đờng tròn tâm O, tiếp tuyến đờng tròn tại B, C cắt nhau ở A,</b>

BAC❑ = 600, M thuéc cung nhá BC, tiếp tuyến tại M cắt AB, AC tại D, E. Gọi

giao điểm của OD, OE với BC lần lợt là I, K. Chứng minh rằng tứ giác IOCE nội
tiếp.

<b>Bài 10: Chøng minh r»ng trong mét tø diÖn bÊt kú tån t¹i 3 c¹nh cïng xuÊt </b>

phát từ một đỉnh mà một cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia.

<i>Tµi liƯu:</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

- Bài 7 : Bất đẳng thức – Phan Đức Chính
- Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học 9.

<b>§Ị sè 12</b>

<b>Sở Giáo dục và Đào Tạo</b> đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS

<b> thanh hoá Môn thi : To¸n</b>

<i> ( Thêi gian làm bài : 150 phút) </i>

<b>Bài I (3,0 điểm):</b>

Tính giá trị của biểu thức P = .Trong đó a là

nghiÖm dơng của phơng trình : 4x2₊

2 x- 2 = 0

<b>Bài II ( 6,0 điểm):</b>

1) Giả sử phơng trình : x2_{+ax+b = 0 có hai nghiệm x1 , x2 và phơng}

tr×nh :x2_{+cx +d = 0 cã hai nghiƯm x3 , x4 .Chøng minh r»ng :}

2(x1+x3) (x1+x4) (x2+x3) (x2+x4) = 2(b-d)2_{- (a}2_-c2_)(b-d)+(a+c)2_(b+d)
2) Chứng minh rằng nếu phơng trình :

ax4_+bx3_+cx2_{-2bx+4a=0 (a} ₀₎

cã hai nghiƯm x1,x2 tho¶ m·n x1x2=1 th× 5a2_=2b2_+ac

<b>Bµi III (5,0 ®iÓm):</b>

Cho tam giác ABC có cả ba góc nhọn . AA’,BB’,CC’ lần lợt là các
đờng cao. H là trực tâm

1) Chøng minh r»ng:

2) Cho biÕt . H·y tÝnh tgB.tgC theo m

<b>Bài IV (4,0 điểm):</b>

T mt điểm O tuỳ ý trên mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD .Ta
nối với các đỉnh của hình bình hành đó .

Chứng minh rằng diện tích của tam giác AOC bằng tổng hoặc hiệu
diện tích của hai tam giác kề nhau,mỗi tam giác đợc tạo bởi hai trong
các đờng thẳng OA,OB,OC,OD và các cạnh của hình bình hành

<b>Bài V (2,0 điểm):</b>

Gọi A là tập hợp các số nguyên tố p sao cho phơng trình :
x2_{+x+1 = py cã nghiƯm nguyªn x,y.}

Chøng minh r»ng A lµ mét tËp hợp vô hạn

§Ị sè 13

<b>Së GD-§T Thanh Hãa §Ị thi häc sinh giái líp 9 </b>
<i><b>Trêng THPT Mai Anh TuÊn Môn : Toán - Năm học: 2005 - 2006</b></i>
(Thêi gian lµm bµi: 180 phót)
Bµi 1: (2,0®)

Tính giá trị biểu thức:

<i>a+1</i>

<i>a</i>4+<i>a+1 a</i>2

AH
<i>HA '</i> +

BH
<i>HB '</i> +

CH
<i>HC '</i> <i>≥ 6</i>
AH

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

A= 1
2+



2+3+

1

<i>2</i>



<i>2</i>3

Bài 2: (5,0đ)

Cho parabol(P): y= 1

4 x ❑2

a.Viết phơng trình đờng thẳng (d) di qua 2 điểm A và B thuộc (P) và có hồnh độ
lần lợt là 2 và - 4.

b.Tìm điểm C trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất
Bài 3: (4,0®)

Cho tam giác ABC vng cân tại B, nội tiếp đờng trịn (O;R). Trên cung AC có chứa
điểm B, lấy 1 điểm D tùy ý; trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DC.

a. Chứng minh rằng trung điểm I của EC và điểm D thẳng hàng với 1 điểm thứ ba
cố định.

b.Tìm tập hợp các điểm E khi D di động trên cung ABC.

c.Xác định vị trí của D trên cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính độ di y theo
R.

Bài 4: (4,0 đ)

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều. Điểm A’ cách đều các
điểm A, B, C.

a. Chứng minh rằng chân đờng cao hạ từ đỉnh A’ của lăng trụ trùng với tam của
đáy ABC

b. Chứng minh rằng mặt bên BCCB của lăng trụ là hình chữ nhật.
Bài 5: (5,0 đ)

a.Giải phơng trình:

(x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + 9 = 0
b.Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:

2x _❑2 _{+7xy + 6y}

❑2 = 60

§Ị sè 14

<b> Sở gd & đt Thanh hoá</b>

đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs

<b> </b>Trêng thpt trÇn phó Môn : Toán

<b> </b>Nga S¬n <b> Thêi gian : 150 phót kh«ng kĨ thêi gian giao </b>

Bµi 1:<b> (6 ®iĨm)</b>

1- Giải phơng trình : x2_{+ y}2_{= 5}

x4_{+ x}2_y2 _{+ y}4_{= 13}

2- Cho biểu thức: A = Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bµi 2 : (3 điểm)

Cho Phơng trình : x2_{2 .(m - 1) x + m – 3 = 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

1)Chứng minh rằng ln có nghiệm với V giá trị của m.
2)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu nhau.
Bài 3: (3 điểm)

Cho a + b + c + d = 2 . Trong đó a, b, c, d Є R.
Hãy chứng minh : a2_{+ b}2_{+ c}2_{+ d}2 1

Bài 4: (4 điểm)

Cho đờng tròn nội tiếp ∆ ABC , tiếp xúc với cạnh BC tại D.
Chứng minh rằng: ∆ ABC vuông tại A khi và chỉ chỉ khi:
AB. AC = 2DB . DC.

Bài 5: ( 4 điểm)

Cho h×nh chãp

S

ABC cã SA SB, SA SC,
SB SC.

BiÕt SA = a; SB + SC = k. Đặt SB = x.

a)TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp

S

ABC theo : a, k, x.

b)Tính SB, SC để thể tích hình chóp S. ABC lớn nhất

<b> §Ị sè 21</b>

<b>Së GD&§T Thanh hãa</b>

Trêng thpt hËu léc 3

---o0o---đề xuất ngân hàng ---o0o---đề

<b>§Ị thi Häc sinh giái líp 9 </b>–<b> Môn Toán</b>

<i><b>---o0o---Câu 1: (1 điểm) Rút gọn biểu thức:</b></i>



2

x x

2

x x

1

1 2 2 1

4
A

1

1 2 2 1

4





  



  

, với x < 0.
<i><b>Câu 2: (2 điểm) Giải phơng trình sau biết phơng trình có 2 nghiệm đối nhau:</b></i>

x4_{– 4x}3_{+ 3x}2_{+ 8x – 10 = 0.}

<i><b>Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x</b></i>2_{+ y}2_{, biÕt}
r»ng: x2_{+ y}2_{– xy = 4.}

<i><b>Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phơng tr×nh sau: 7x</b></i>2_{+ 13y}2_{= 1820.}
<i><b>Câu 5: (3 điểm) </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

b) Cho M là điểm di động trên cung AC nhỏ. Gọi D là giao điểm của AM và BC.
Chứng minh rằng AM.AD là hằng số.

c) Chứng minh rằng tâm đờng tròn ngoại tiếp MCD di động trên một đờng cố
định khi M di động trên cung AC nhỏ.

§Ị sè 22

Sở gd và ĐT thanh hoá <b> đề thi học sinh gii lp 9</b>

<b>Môn : Toán </b>

<i><b> Thêi gian lµm bµi : 150 phót</b></i>

<b>Bµi 1 : Cho biĨu thøc </b>

<i>A=a</i>√<i>a+a+</i>√<i>a</i>

√<i>a+1</i> :(<i>a</i>

2<i>₋</i>
√<i>a</i>)

a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa
b) Rỳt gn A

<b>Bài 2 : Cho 2 số dơng x,y thoả mÃn x+y=1</b>

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

<i>B=</i>

(

<i>1</i> 1

<i>x</i>2

)(

<i>1 </i>

1

<i>y</i>2

)

<b>Bài 3 : Cho phơng tr×nh </b> <i>₋x</i>

2

4 =m(x −1)−
1

2 (m lµ tham sè )

a) Chứng minh rằng phơng trình ln có 2 nghiệm phân biệt với <i>∀ m</i> <i>R</i>
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm <i>x</i>₁<i>, x</i>₂ thoả mãn biểu thức <i>x</i>1

2

<i>x</i>2+<i>x</i>1<i>x</i>22 t giỏ tr nh

nhất, tính giá trị này

<b>Bài 4 :</b>

Một vận động viên bắn súng đã bắn hơn 11 viên và đều trúng vào vòng 9,10 điểm; tổng số điểm
đạt đợc là 109 điểm. Hỏi vận động vieen đó đã bắn bao nhiêu viên và kết quả bắn vo cỏc vũng ra
sao?

<b>Bài 5 : Giải phơng trình </b>

<i>x+3 − 4</i>√<i>x − 1+</i>

_√

<i>x +8+6</i>√<i>x − 1=5</i>
<b>Bµi 6 : Cho parabol(P) : y=</b> <i>−</i>1

4<i>x</i>

2

và đờng thẳng (d) : y= mx – 2m – 1
a) tìm m để đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P)

b)chứng minh rằng đờng thẳng (d) ln đi qua điểm cố định <i>A∈(P)</i>
<b>Bài 7: </b>

T×m các nghiệm nguyên của phơng trình

<i>7 x+13 y</i>2=1820

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Chøng minh r»ng

<i>S</i>HIK

<i>S</i>ABC

=1− cos2<i>A − cos</i>2<i>B− cos</i>2<i>C</i>
<b>Bµi 9:</b>

Cho hình vng ABCD. Gọi MNPQ là tứ giác lồi có 4 đỉnh lần lợt nằm trên
4 cạnh của hình vng. Xác định tứ giác MNPQ sao cho nó có chu vi nhỏ nhất

<b>Bµi 10 :</b>

Cho đờng trịn (O;R) và điểm P cố định ở ngồi đờng trịn, vẽ cát tuyến PBC bất kì . tìm quỹ tích
các điểm O1 đối xứng với O qua BC khi cát tuyến PBC quay quanh P

§Ị sè 23

Sở giáo dục & đào tạo <b>thi học sinh giỏi lớp 9 THcs </b>

Thanh ho¸
§Ị chÝnh thøc

M«n: <b>Toán </b>

<i> Thời gian làm bài: 150 phút.</i>

Bài I ( 1,0 điểm )

Cho hai phơng trình: x2_{+ ax + 1 = 0 vµ x}2_{+ bx + 17 = 0. Biết rằng hai phơng trình}
có nghiệm chung và |<i>a</i>|+|<i>b</i>|nhỏ nhất . Tìm a và b.

Bài II ( 2 điểm )

Giải phơng trình: <i>_x+</i><i>_{x 5+}</i><i>_x+</i>



<i>_x</i>2<i>_{5 x=20}</i> _.
Bài III (2,5 điểm )

1/ Giải hệ phơng trình:

<i>x</i>3+<i>y</i>3=1
<i>x</i>7

+<i>y</i>7=x4+<i>y</i>4

{

2/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x3_{+ y}3_{+ 6xy = 21.}
Bµi IV ( 2,5 ®iĨm )

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O ) tâm O. M là điểm chính giữa cung
BC khơng chứa điểm A. Gọi M’_{là điểm đối xứng với M qua O. Các đờng phân giác}
trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đờng thẳng AM’_{lần lợt tại E và F .}
1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đợc trong đờng tròn.

2/ Biết đờng tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r.
Chứng minh: IB.IC = 2r.IM.

Bài V (2 điểm )

1/ Cho các số a, b thoả mÃn các điều kiện: <i>0 ≤ a ≤3 ;8 ≤ b ≤11</i>
và a + b = 11. Tìm giá trị lớn nhÊt cđa tÝch P = a.b .

2/ Trong mỈt phẳng ( P ) cho 3 tia chung gốc và ph©n biƯt Ox ; Oy ; Oz .

Tia Ot không thuộc (P) và xOt = yOt = zOt . Chøng minh Ot vu«ng gãc víi mặt
phẳng (P).

Hä vµ tên thí sinh: ..Số báo danh: .

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Đề số 24

Sở GD&ĐT Thanh Hoá

Trờng THPT Hoằng Hoá 2 <b>Đề thi häc sinh giái líp 9_{M«n : To¸n}</b>

<i>Thời gian làm bài : 150 phút </i>
<i>( khơng kể thi gian giao )</i>

<b>Bài 1 (2 điểm) </b>

Rút gọn biểu thức :
P = 1

1+5+
1

5+9+
1

9+13+. ..+

1

2001+2005
<b>Bài 2 (2 điểm) </b>

Cho ba số dơng x; y; z thoả mÃn điều kiƯn xy + yx + xz = 1
H·y tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc sau :

S = <i>_x</i>

√

(1+ y
2

)(1+z2)
<i>1+x</i>2 +<i>y</i>

(1+z2)(1+x2)
<i>1+ y</i>2 +<i>z</i>

(1+x2)(1+ y2)
<i>1+z</i>2
<b>Bài 3 ( 2 điểm) </b>

Giải phơng trình : <i>2 x</i>

<i>3 x</i>2<i>_{5 x+2}</i>+

<i>13 x</i>

<i>3 x</i>2_+x+2=6

<b>Bài 4 (2 điểm)</b>

Giải hệ phơng trình :

{

<i>x</i>3<i> y</i>3=3 (x y)

<i>x + y= 1</i>

<b>Bài 5 (2 điểm)</b>

Tỡm giỏ trị của x để đẳng thức sau là đẳng thức đúng :

√

<i>3 x</i>2<i>_{−18 x+28+}</i>

√

<i>4 x</i>2<i>_{− 24 x+45}</i> _{= – x}2_{+ 6x -5}

<b>Bài 6 (2 điểm)</b>

Cho Parabol (P) : y = 1

4<i>x</i>

2

và đờng thẳng (d) qua hai điểm A, B trên (P) có hồnh
độ lần lợt là -2 và 4. Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng có hồnh độ x [-2; 4]
sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.

<b>Bµi 7 ( 2 điểm)</b>

Tìm mọi cặp số nguyên dơng (x; y) sao cho <i>x</i>
4

+2

<i>x</i>2<i>_y+1</i> là số nguyên dơng.

<b>Đề số 26</b>

<b>Đề thi học sinh giỏi lớp 9 - Môn Toán: Thời gian: 150phút</b>
<b>Bài 1(2 điểm): Thực hiện phép tính:</b>

<i>A=</i>

5+<i>17 </i>

<i>5 </i><i>17 </i>

<i>10 4</i>2+4

3+<i>5</i>



<i>3</i><i>5+2</i>2
<b>Bài 2(2 điểm): Phân tích đa thức ra phân tử</b>

24x3_{- 26x}2_{+ 9x - 1}

<b>Bài 3(2 điểm): Tìm m để phơng trình:</b>

x2_{- 2x - x-1 + m = 0 cã 4 nghiƯm ph©n biƯt}

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

√<i>x +2</i>√<i>y=3</i>
2√<i>x +</i>√<i>y=m</i>
<b>Bài 5(2 điểm): Tìm m để hệ:</b>

<i>mx+ y =1</i>
<i>2 x +3 y=m−1</i>

cã nghiƯm (x;y) tho¶ x2_{+ y}2_{= 1}

<b>Bài 6(2 điểm): Cho đờng (dm): y = mx - 3m + 2</b>

a) Vẽ đồ thị (d2) (tức khi m = 2)

b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O ti (dm) ln nht.

<b>Bài 7(2 điểm): Tìm (x;y) nguyên thoả </b> <i>y=2 x</i>

3

+<i>x</i>2<i>− 11 x+5</i>
<i>2 x −3</i>

<b>Bài 8(2 điểm): Cho điểm I, qua I kẻ 2 đờng a và b thoả a  b. </b>

Trªn a vỊ hai phÝa cđa I lấy 2 điểm A, D
Trên b về hai phía của I lấy 2 điểm B, C
Thoả IA.ID = IB.IC.

a) Chứng minh rằng A, B, C, D thuộc 1 đờng tròn

b) Qua D kẻ đờng song song với b cắt AB kéo dài tại F. Hãy xác định điểm E trên
FD sao cho AE  FI. Khi đó ICED là hình gì?

<b>Bài 9(2 điểm): Cho hình bình hành ABCD có chu vi không đổi là 2p. M, N trên AB thoả</b>

AM = MN = NB.

P, Q trªn DC sao cho DP = PQ = QC
AQ cắt DN, BP lần lợt tại A1D1
CM cắt DN, BP lần lợt tại B1C1

Hi hỡnh bình hành ABCD có đặc điểm gì thì tứ giác A1B1C1D1 có diện tích đạt giá trị lớn
nhất.

<b>Bài 10(2 điểm): Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h và có thể tích là 30m</b>3_{. 2 đáy là}
2 đờng trịn (O) và (O'), AB là 1 đờng kính của đờng tròn tâm (O), C di động trên đờng
tròn (O). S thuộc đờng tròn tâm (O').

a) Xác định C để diện tích  ABC là lớn nhất

b) Khi  ABC đạt giá trị lớn nhất. Hãy tính thể tích hình chóp

S

ABC.
Đề số 28

Sở giáo dục - đào tạo thanh hóa
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS

Trêng THPT bc lê viết tạo
****************************
Bài 1:

a) Chứng minh rằng:
3

3

<i>2 1=</i>

3 1
9<i></i>

3

2
9+

3

4
9

b) Tính giá trị biểu thức

<i>E=2 x</i>5+<i>x</i>3<i>3 x</i>2+<i>x 1</i> với <i>x=1</i>2

Bài 2: Cho <i>a ≠ −b</i> , <i>a ≠ −c</i> , <i>b ≠ −c</i> chøng minh r»ng

<i>b</i>2<i>_{− c}</i>2

(a+b)(a+c )+

<i>c</i>2<i>_{− a}</i>2

(<i>b+c )(b+a)</i>+

<i>a</i>2<i>_{− b}</i>2

(c +a)(c +b)=
<i>b − c</i>
<i>b +c</i>+

<i>c − a</i>
<i>c +a</i>+

<i>a − b</i>
<i>a+b</i>

Bµi 3: Cho phơng trình: <i>_x</i>2

<i>−2 mx+2 m −1=0</i>

Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm sao cho nghiệm này bằng bỡnh phng nghim
kia.

Bài 4: Giải phơng trình:



8+<i>x+</i>



<i>5 −</i>√<i>x=5</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

¿

<i>x</i>5<i>_{−2 y=a}</i>

<i>x</i>2+<i>y</i>2=1

¿{

¿

Bµi 6: Cho Parabol (P) <i>y=</i>1

4 <i>x</i>

2

và đờng thẳng (d): <i>y=−</i>1

2<i>x +2</i> . Gäi A vµ B lµ giao

điểm của (P) và (d). Tìm M trên cung AB cđa (P) sao cho diƯn tÝch <i>Δ</i> MAB lín nhất.
Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình

<i>8 x</i>4_{+4 y}4

+<i>2 z</i>4=t4

Bài 8: Cho tam giác ABC. Phân giác AD, trung tuyến AM. Lấy đối xứng trung tuyến AM
qua AD cắt BC tại N. Chứng minh: NB

NC=
AB2
AC2

Bài 9: Diện tích của một hình thang bằng 1. Hỏi đờng chéo lớn nhất có giá trị bé nhất là
bao nhiêu.

Bài 10: Cho đờng trịn ( 0; R) với 2 đờng kính AB và MN. Tiếp tuyến với (0) tại A cắt
BM và BN tại M1, N1. Gọi P là trung điểm của AM1, Q là trung điểm của AN1. Đờng kính
AB cố định, tìm tập hợp tâm các đờng trịn ngoại tiếp tam giác BPQ khi đờng kính MN
thay đổi.

Đê số 30

Sở giáo dục & đào tạo thanh hoá

đề thi học sinh giỏi lớp 9

<i>Thêi gian: 150 phót</i>

<b>Bµi 1: (4 ®iÓm) Cho biÓu thøc</b>
<i>P=</i>

[

<i>1 −x − 3</i>√<i>x</i>

<i>x − 9</i>

]

:

[

√
<i>x − 3</i>
<i>2 −</i>√<i>x</i>+

√<i>x − 2</i>
3+√<i>x</i> <i>−</i>

<i>9 − x</i>
<i>x+</i>√<i>x −6</i>

]

a. Rút gọn biểu thức P
b. Tìm giá trị của x để P = 1

<b>Bài 2: (5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ, cho 3 điểm A(-1; -2); B(-3; 4); C(2;4)</b>

a. Chøng minh rằng A, B, C không thẳng hàng
b. Cho Parabol (P): y = ax2_{+ bx + c}

Xác định a, b, c để (P) đi qua các điểm A, B, C

c. Qua O có thể kẻ đợc đờng thẳng d nào tiếp xúc với (P) hay khơng ?

<b>Bµi 3: (4 điểm) Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau</b>

a) 5

<i>x</i>2<i>_{−4 x+5}− x</i>
2

+<i>4 x −1=0</i> _b)

{

√<i>x +1+</i>√<i>y=4</i>

<i>x + y=7</i>

<b>Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH vẽ đờng tròn tâm O </b>

đ-ờng kính AH. Đđ-ờng tròn này cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại D và E.

a. Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng

b. Cỏc tip tuyn ca ng tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tơng ứng tại M và N.
Chứng minh M, N lần lợt là trung điểm của các đoạn HB, HC.

c. Cho AB = 8cm, AC = 9cm . TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c MDEN

<b>Bài 5: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau:</b>
1

<i>1+x</i>2+
1

<i>1+ y</i>2<i>≥</i>

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

§Ị sè 31

Sở GD & ĐT Thanh hoá

<b>đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 9 </b>

Trêng THPT Quảng Xơng 1 Môn: môn toán - bảng A -năm học 2005 - 2006

<i> (Thời gian 150 phút, khơng kể thời gian giao đề)</i>

<b>Bµi 1: (5 ®iÓm)</b>

1> cho <i>P=</i>

(

<i>1 − x</i>√<i>x</i>
<i>1−</i>√<i>x</i> +√<i>x</i>

)(

<i>1+ x</i>√<i>x</i>
1+√<i>x</i> <i>−</i>√<i>x</i>

)

a> Rút gọn P

b> Tìm giá trị lớn nhất của 1

<i>P</i>

2>> Tìm trên đờng thẳng y= x+ 1 những điểm có toạ độ thỗ mãn:
y2_{- 3y}

√<i>x</i> + 2x =0

<b>Bài 2: (5 điểm)</b>

1> Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình x2_{+ mx + n =0. Tìm m, n thoà mÃn hệ}

<i>x</i>1<i> x</i>2=5

<i>x</i>₁3<i>_x</i>
2
3

=35

{

2> Giải phơng trình:

<i>x+1+1</i>2

<i>x</i>2

<b>Bài 3: (5 điểm)</b>

1> Cho ng trũn tõm O nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD). E, F là tiếp điểm của AB
và CD với đờng tròn (O).

a> CMR: BE

AE=
DF
CF

b> BiÕt AB = a, CD = 2a, BE = 2AE. TÝnh diÖn tÝch ABCD

2> Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có B= 1v, cạnh bên SA vng góc (ABC) tại A. Gọi
H, K là hình chiếu vng góc của A lên SC và SB. Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

1> Tìm <i>a∈ R</i> để phơng trình ẩn x sau: <i>2 x</i>2<i>_{−(4 a+}</i>11

2 )<i>x +4 a</i>

2₊₇₌₀
cã nghiƯm nguyªn

2> Chøng minh r»ng:

<i>x</i>2+<i>y</i>2¿2
¿
¿

<i>4 x</i>2<i>y</i>2

¿

với x, y khác 0

Đề số 32
Sở GD & ĐT Thanh Hoá

Trờng THPT Quảng Xơng II

<b>------Đề thi Học sinh giỏi lớp 9</b>

Môn: <b>Toán</b>

<i><b>Thi gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)</b></i>
Bài1 (5điểm)

a. Rót gọn

P=

1+3
2
1+

1+3

2
+

<i>1 </i>3

2
<i>1 </i>

<i>1 </i>3

2

b. Giải phơng trình:
3

<i>x+1+</i>3 <i>x 1=</i>3<i>5 x</i>

Bài2 (5điểm)

a. Giải hệ phơng trình

<i>x+ y=</i><i>4 z −1</i>
<i>y +z=</i>√<i>4 x −1</i>
<i>x+z =</i>√<i>4 y −1</i>

¿{ {

¿

b. T×m nghiệm nguyên: x+xy+y=9
Bài3 (5điểm)

a. Tìm giá trị nhỏ nhất cđa biĨu thøc:

P= <i>4 a</i>

<i>b+c − a</i>+
<i>9b</i>
<i>a+c −b</i>+

<i>16 c</i>
<i>a+b − c</i>

Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác

b. Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác chứng minh phơng trình:
x2_{+(a+b+c)x+ab+bc+ca=0 vơ nghiệm}

Bµi 4 (5điểm)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đờng cao HE. Trên đoạn HE lấy điểm B sao cho tia CB
AH. Hai trung tuyến AH và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I. Hai trung trực của
AC và BC cắt nhau tại O.

a. Chng minh <i></i> ABH đồng dạng với <i>Δ</i> MKO
b. Chứng minh 3

√

IO3

+IK3+IM3
IA3+IH3+IB3 =

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>§Ị sè 33</b>

<b>Ngân hàng đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9</b>

<b>Thời gian: 150 phút.</b>

Tổ Toán, Trờng THPT Quảng Xơng III

<b>Bài 1: </b>

1) (2®) Rót gän biĨu thøc: <i>_A=</i>

√

3<i>_a</i>3

+<i>a+</i>1
3

√

<i>27 a</i>

4

+6 a2+1
3+

3

√

<i>a</i>3+<i>a </i>1
3

<i>27 a</i>

4

+6 a2+1
3 .

2) (2đ) Trục căn thức ở mẫu sè cđa biĨu thøc: <i>A=</i> 1

1+3√3<i>2− 2</i>√34 .
<b>Bµi 2: </b>

1) (2đ) Giải phơng trình: _|<i>_x</i>2

+<i>5 y</i>2+9 z2+<i>x − 4 xy − 6 yz −1</i>|+<i>1=x −</i>|<i>2 − x</i>2<i>− x</i>| .

2) (2đ) Giải hệ phơng trình sau:

<i>x</i>2+<i>y</i>2=10
<i>x</i>2<i>y + y</i>2<i>x =12</i>

¿{

¿

.

<b>Bµi 3:</b>

1) (2đ) Giải phơng trình: <i>_x</i>4

<i>2 x</i>2<i>−12</i>

√

<i>x</i>2+1 −12=0

2) (2đ) Lập phơng trình đờng thẳng đi qua A( 1; 0) và tiếp xúc với đồ thị của hm s

<i>y=x</i>2

+<i>x </i>|<i>x</i>2<i> x</i>| (C).
<b>Bài 4:</b>

1) (2đ) Tìm giá trị lớn nhất của <i>T =</i>1
<i>a</i>+

1
<i>b</i>+

1

<i>c</i> với a, b, c  N vµ T < 1.

2) (2đ) Cho tam giác ABC nhọn có AB = AC, đờng cao BM. Chứng minh rằng

AM
MC=2

(

AB
BC

)

2

<i>− 1</i> .

<b>Bµi 5:</b>

Cho tø giác lồi ABCD, E là trung điểm AD. Tìm tập hợp các điểm M nằm trong tứ
giác sao cho tổng diện tích các tam giác AMB và CMD bằng tổng diện tích các tam giác
AEB và CED trong các trờng hợp:

1) (2đ) AB và CD song song.

2) (2đ) AB và CD không song song.

Hết.

Đề số 35

Đề thi häc sinh giái líp 9

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

1. (2®) Rót gọn biểu thức A = 2+3
2+

2+3+

<i>2</i>3

<i>2</i>

<i>2</i>3

2. (4đ) Tính giá trÞ cđa tỉng
B =

√

1+ 1

12+
1

22.+

√

1+
1
22+

1

32+. .+

√

1+
1

992+

1
1002

<b>Bài 2: (2đ) Tìm x, y, z ngun dơng đơi một khác nhau tho món:</b>

3x_{+ 3}y_{+ 3}z _{= 6831}

<b>Bài 3: (4đ).</b>

1. (2đ) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số:
y = <i>x+3+</i><i>6 x</i>

2. (2đ) Cho các số dơng a, b, c biết <i>a</i>

<i>1+a</i>+
<i>b</i>
<i>1+b</i>+

<i>c</i>
<i>1+c1</i>

Chứng minh rằng: abc 1

8
<b>Bài 4: (2đ) Giải phơng trình:</b>

x(x - 2)(x + 2)(x + 4) = -7

<b>Bài 5: (6 đ).</b>

Cho ABC vuông tại A, đờng cao AH. Gọi (P), (Q) theo thứ tự là đờng tròn nội tiếp
hai tam giác AHB và AHC. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài (khác BC) của (P) và (Q) cắt AB,
AH, AC theo tự M, K, N. Chứng minh rằng.

a. (2®) HPQ ~ ABC
b. (2®) KP // AB, KQ // AC.

c. (2đ) tứ giác BMNC nội tiếp đợc

<b>đề số 36</b>

<b>së gd & đt thanh hoá §Ị thi häc sinh giái líp 9</b>

<b>truờng thpt đặng thai mai mơn : Tốn</b>
<b> --- thời gian: 150 phút</b>

<b> --- </b>
<b>Câu1:(4đ)</b>

1.Đơn giản các biểu thøc sau:

<i>A=</i>

√

<i>5 −2</i>

_√

2+

√

9+4√2
<i>B=a</i>

6

<i>−2 a</i>5+<i>a− 2</i>

<i>a</i>5+1 ; <i>a ≠ −1</i> .

2.TÝnh gi¸ trị biểu thức B ở phần 1, khi

<i>a</i>
<i>x + y</i>=

5

<i>x+z</i> và
25

<i>(x + z )</i>2=
16

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>Câu2:(4đ)</b>

Giải các phơng trình sau:
1.



<i>_x</i>2

<i>2 x+1+</i>



<i>x</i>2<i> 6 x+9=2</i>

2. <i>( x 1)(2 − x )</i>3=27

256 víi <i>1≤ x ≤ 2</i>
<b>Câu3: (4đ)</b>

Cho h ng thng (Dm) cú phng trỡnh : <i>y=</i> <i>m+1</i>
<i>m</i>2+<i>m+1x+</i>

<i>m</i>2
<i>m</i>2+<i>m+1</i>

1.Tìm điểm cố định của họ đờng thẳng (Dm).

2.Tìm m để đờng thẳng của họ (Dm) cắt Parabol (P) : y = x2_{tại hai điểm có hồnh}
độ dối nhau.Xác định toạ độ các giao điểm ấy.

<b>C©u4: (4®)</b>

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng trịn tâm O . M là một điểm bất kỳ trên đờng trịn
đó . Gọi A/_,B/_,C/_{lần lợt là hình chiếu của M trên các đờng thẳng BC , CA , AB .}

1.Chứng minh các tứ giác BC/_A/_{M và CA}/_MB/_{nội tiếp.}
2.Chứng minh 3 điểm A/_{, B}/_{, C}/_{thẳng hàng.}

3.Trờn đờng tròn tâm O đã cho lấy điểm M1M. Gọi A1, B1, C1 lần lợt là hình chiếu
của M1 lên các đờng thẳng BC , CA , AB . Tìm vị trí của điểm M1 trên đờng trịn
tâm O để đờng thẳng A1B1C1 vng góc với đờng thẳng A/_B/_C/_.

<b>C©u5: (4®)</b>

Chøng minh r»ng:
1. <i>_x</i>8

<i>− x</i>5+<i>x</i>2<i>− x+1 ≥ 0</i> víi mäi sè thùc x.

2. 1<i>_n</i>+ 1

<i>n+1</i>+⋯+

1

<i>n</i>2>1 víi mäi số tự nhiên <i>n>1</i> ./.

<b>Đề số 38</b>

<b> thi hc sinh giỏi lớp 9 THcs</b>
<b>mơn tốn</b>

<i>( Thêi gian: 150 phót)</i>
C©u 1:

a.(1 ®) Rót gän biĨu thøc

A =

_√

₄₊

_√

₁₀₊₂_√₅ +

_√

<i>_{4 −}</i>

_√

₁₀₊₂_√₅
b.(1 đ) Tính giá trị biểu thức

B = <i>1+2 x</i>

1+<i>1+2 x</i> +

<i>1 −2 x</i>

<i>1 −</i>√<i>1 −2 x</i> víi x =

3
4

Câu 2:(1 đ) Cho phơng trình x2_{- mx + m - 1 = 0}

Tìm Giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc <i>C=</i> <i>2 x</i>1<i>x</i>2+3
<i>x</i>₁2+<i>x</i>₂2+<i>2(x</i>₁<i>x</i>₂+1)

Với x1, x2 là các nghiệm của phơng trình đã cho.
Câu 3:

a.(1 đ) Giải Phơng trình: 4x2_+3x(4

<i>1+x</i> -9) = 27
b.(1.5 đ) Giải phơng trình nghiệm nguyên: xy

<i>z</i> +
yz

<i>x</i> +
zx

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Câu 4:(1.5 đ) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mÃn

(x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z
Chứng minh r»ng: (x + y + z) lµ béi cđa 27

Câu 5: Cho đờng trịn( O, R) và hai đờng kính AB, MN. Các đờng thẳng BM, BN cắt tiếp
tuyến tại A của đờng tròn( O) tơng ứng tại M’ và N’. Gọi P, Q theo thứ tự là các trung
điểm M’A và N’A

a.(1 ®) Chøng minh tø gi¸c MNN’M’ néi tiÕp.

b.(1 đ ) Chứng minh rằng các đờng cao của <i>Δ</i> BPQ cắt nhau tại trung điểm của bán
kính OA.

<b>đề số 40</b>

<b>Đề thi học sinh giỏi lớp 9</b>
<b>môn toán </b>

<i> xut</i>
<i>Thi gian150</i>

Bài 1:(4đ) Cho biểu thức:

<i>P=</i> 3

<i>x</i>4<i> x</i>3+<i>x 1</i>

1

<i>x</i>4+<i>x</i>3<i> x − 1−</i>

4

<i>x</i>5<i>− x</i>4+<i>x</i>3<i>− x</i>2+<i>x − 1</i> a\ Rót gän biĨu thøc P

b\ Chøng minh r»ng: 0<P<32/9 <i>∀ x ≠ 1</i>

Bài 2:(4đ) Cho parabol (P): <i>y=</i>1
2<i>x</i>

2

, điểm I(0;2) và điểm M(m;0) <i>∀ m≠ 0</i>

a\ VÏ (P)

b\ Gọi d là đờng thẳng đi qua I và m. Chứng minh rằng đờng thẳng d luôn cắt (P) tại 2
điểm phân bit A, B

c\ Gọi H, K lần lợt là hình chiÕu cđa A, B lªn trơc Ox. Chøng minh r»ng tam giác IHK
vuông.

d\ Chng minh rng di on AB>4 <i> m 0</i>

Bài 3:(4đ) Cho phơng trình: (m-1)x2_{-2(m-2)x+m+1=0}
a. Giải và biện luận theo thámố m

b. Khi phng trỡnh có 2 nghiệm x1, x2. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với
tham số m

Bài 4(6đ) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của (O) và
các cạnhBC, CA, AB lần lợt là D, E, F. Kẻ BB1 AO , AA1 BO

Chøng minh r»ng 4 ®iĨm D, E, A, B thẳng hàng.
Bài 5(2đ) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>Đề số 44</b>

<b>Đề thi học sinh giỏi lớp 9</b>

<i><b>Môn: Toán Thời gian:</b></i>

<i><b>Giáo viên thực hiện: Nguyễn Khắc Trữ</b></i>

<i><b> Hà Quang Hiểu</b></i>

<b>Bài 1: (4 ®iĨm) Cho biĨu thøc:</b>

A =

√

(<i>x</i>2<i>− 4</i>)+<i>16 x</i>2

<i>x</i>2 +

√

<i>x</i>

2

<i>− 6 x +9</i>

a) Rót gän A

b) Tìm <i>x</i> ngun A nguyờn

<b>Bài 2: (4điểm) Cho phơng trình:</b>

<i>x</i>2<i>2 (m 1) x +m −1=0</i> (1)

a) Tìm <i>m</i> để phơng trình (1) có 2 nghiệm phõn bit

b) Giả sử <i>x</i>₁<i>, x</i>₂ là 2 nghiệm của phơng trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của
<i>Μ=x</i>12+<i>x</i>22+1

<b>Bµi 3: (3 điểm) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình</b>

1

<i>x</i>+

1
<i>y</i>=

1
7

<b>Bài 4: (3 điểm) Giải hệ phơng trình</b>
<i>x</i>2

+ 1
<i>y</i>2+

<i>x</i>
<i>y</i>=3
<i>x+</i>1

<i>y</i>+
<i>x</i>
<i>y</i>=3
<b>Bài 5: (4 ®iĨm) </b>

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn (O); H là trực tâm tam giác; M là một điểm
trên cung BC khơng chứa điểm A.

a) Tìm vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.

b) Gọi E,F lần lợt là 2 điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh rằng E,H,F
thẳng hàng.

<b>Bµi 6: (2 ®iĨm) Cho </b> <i>a∈</i>[<i>0 ;1</i>] Chøng minh r»ng:

_√

<i>_a</i>2

<i>− a+1+</i>

_√

<i>a a</i>2+<i>1 2</i> dấu bằng

xảy ra khi nào?

Đề số 51

Sở GD&ĐT Thanh hoá<i><b> §Ị xt </b></i><b>§Ị thi häc sinh giái líp 9 </b> <b> </b>

<b> Môn: Toán. Bảng A</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<i><b>Bài 1: (4 điểm)</b></i>

Cho phơng trình x4_{+ 2mx}2_{+ 4 =0}

Tìm giá trị của tham số m để phơng trình có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa
mãn x14_{+ x2}4_{+ x3}4_{+ x4}4_{= 32}

<i><b>Bài 2: (4 điểm) </b></i>

Giải hệ phơng trình2 2
2 2

2 5 2 0

4 0

      





    




<i>x</i> <i>xy y</i> <i>x y</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x y</i>

<i><b>Bài 3: (3,5 điểm)</b></i>

Tỡm cỏc s nguyờn x, y thỏa mãn đẳng thức
x2_{+ xy + y}2_{= x}2_y2

<b>Bài 4: (6 điểm) </b>

Cho na ng trũn (O) ng kính AB=2R (R là một độ dài cho trớc). M, N là hai
điểm trên nửa đờng tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng cáckhoảng cách từ A, B
đến đờng thẳng MN bằng <i>R</i> 3

1) Tính độ dài đoạn MN theo R.

2) Gọi giao điểm của hai dây AN và BM là I, giao điểm của các đờng thẳng AM và BN là
K. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. Tính bán kính của
đờng trịn đó theo R.

3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích KAB theo R khi M, N thay đổi những vẫn thỏa mãn
giả thiết của bi toỏn.

<i><b>Bài 5: (2,5 điểm)</b></i>

S thc x thay i v thỏa mãn điều kiện x2_{+ (3 -x)}2_{ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của}
biểu thức:

P = x4_{+ (3-x)}4_{+ 6x}2_(3-x)2_.

Đề số 52

Đề thi toán học sinh giỏi líp 9

<b>Thời gian: 180 phút ( khơng kể thời gian giao )</b>

Bài 1: (4 điểm)

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

TÝnh: T = <i>_x</i>

√

(<i>1+ y</i>2)(<i>1+z</i>2)

<i>1+x</i>2 +<i>y</i>

√

(<i>1+z</i>2_{) (}<i>_{1+ x}</i>2₎

<i>1+ y</i>2 +z

(<i>1+x</i>2_{) (}<i>_{1+ y}</i>2₎

<i>1+z</i>2

2) Tìm nghiệm nguyên của hệ:

<i>x + y +z=5</i>
xy +yz+zx =8

{

Bài 2: (6 điểm)

<i>1)</i> <i>Cho phơng trình: x2_+(1-2m)x+m2_-1=0</i>

<i>a- Tỡm m phng trỡnh cú hai nghiệm phân biệt? Có 2 nghiệm trái dấu?</i>
<i>b- Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hn 1</i>

<i>2)</i> Giải phơng trình: <i>2006 x</i>4+<i>x</i>4

<i>x</i>2+2006+x2

2005 =2006

Bài 3: (4 ®iĨm)

1) Cho hình vng ABCD, M là điểm nằm trên đờng chéo BD. Gọi E, F lần lợt là hình
chiếu vng góc của M trên AB và AD

Chứng minh 3 đờng thẳng CM, DE, BF đồng qui.

2) Chứng minh rằng nếu các cạnh của một tam giác không lớn hơn 1 (đơn vị dài) thì
diện tích của nó khơng lớn hơn √3

4 (đơn vị diện tích).

Bµi 4: (6 ®iÓm)

1) Cho n sè thùc: a1, a2, …, an [-1;1]
Tho¶ m·n <i>a</i>1

3

+<i>a</i>₂3+<i>.. .+a_n</i>3=0

Chøng minh r»ng: a1+ a2+ …+ an <i>n</i>

3

2) Cho BPT: <i>x+1</i>

<i>x</i>2+<i>x+1≥ m</i> (1)

<i>a- Tìm m để bất phơng trình có nghiệm?</i>
<i>b- Xác định m để (1) đúng với mọi x?</i>

<b>§Ị sè 54</b>

<b>Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi học sinh giỏi lớp 9</b>

Thanh ho¸ môn thi : toán

Thi gian:(150 phút-không kể thời gian giao đề)

<b>Bài 1 : Tính giá trị biĨu thøc:</b>
<i>A=</i>(<i>3 x</i>3

+<i>8 x</i>2+2)2006 víi <i>x=</i>

3

√

(17√5)<i>− 38</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

<i>P=</i>

(

<i>x +</i>1

<i>x</i>

)

6

<i></i>

(

<i>x</i>6+ 1

<i>x</i>6

)

<i> 2</i>

(

<i>x+</i>1
<i>x</i>

)

3

+<i>x</i>3+ 1

<i>x</i>3

<b>Bài 3 :Chứng minh rằng phơng tr×nh :</b>

<i>_x</i>2

<i>−2 mx+2 . 2005</i>2006=0 không có nghiệm nguyên với mọi <i>m Z</i>

<b>Bài 4: Tìm tất cả tam giác vuông có các cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo </b>

chu vi.

<b>Bài 5: Giải phơng trình :</b> <i>_x</i>2

+<i>2 x=2 x</i>2.<i>2 x</i>

<b>Bài 6 : Cho Parabol (P):</b> <i>y=</i>1
4 <i>x</i>

2

và đờng thẳng (D) qua hai điểm A,B trên (P) có hồnh
độ lần lợt là : -2 và 4.

<b>Bài 7 : Trên một đờng tròn viết 2006 số tự nhiên,biết rằng mỗi số là trung bình cộng của 2</b>

số đứng liền trớc và sau nó. Chứnh minh rằng tất cả các số đó bầng nhau .

<b>Bài 8 : Các đờng cao của tam giác ABC cắt nhau tại H . Biết rằng HC=AB , tìm góc ở </b>

đỉnh C.

<b>Bài 9 : Từ điểm P nằm ngồi đờng trịn tâm O, bán kính R kẻ hai tiêp tuyến PA và PB với </b>

A,B là các tiếp điểm .Gọi H là chân đờng vuông goc hạ từ điểm A đến đờng kính BC .
a. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH .

b.TÝnh AH theo R vµ PO =d .

<b>Bài 10 :Cho 10 điểm nằm ngoài mặt phẳng (P). Nối từng cặp 2 điểm với nhau ta c cỏc </b>

đoạn thẳng .Mặt phẳng (P) có thể có 30 giao điểm với các đoạn thẳng nói trên không?

<b> s 56</b>

<b>Đề thi học sinh giỏi toán lớp 9</b>

<i>(Thời gian làm bài 150 phút)</i>

<i><b>Bài I (3 điểm)</b></i>

1/ Rút gọn biểu thức:

A =



₄₊



₅₃₊₅



<i>_{48 10}</i>



_{7+ 4}₃
2/ Giải phơng tr×nh:

|<i>x − 2 y +1</i>|+|<i>3 x + y −7</i>| = 0.

<i><b>Bài II: (5 điểm)</b></i>

1/ Tìm giá trị nhỏ nhất cđa biĨu thøc:
B = <i>4 x +3</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

2/ Cho parabol y = x2_{. gọi M, N là giao điểm của đờng thẳng y = kx + 2 với parabol}
(k là tham số). Tìm giá trị k để đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ nhất. Cho biết cơng
thức tính khoảng cách giữa hai điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) l:

AB =

<i>y</i>2<i> y</i>1
2

<i>x</i>2<i> x</i>1
2

+

<i><b>Bài III: (4 điểm)</b></i>

1/ Giải phơng trình:

_√

<i>5− x</i>6<i>−</i>

_√

3<i>3 x</i>4<i>−2=1</i>

2/ Cho a, b, c lµ ba số thực dơng. Chứng minh rằng:
2 <i>ab+ bc+ca </i>3



3(<i>a+b)(b+c)(c +a)</i>

<i><b>Bài IV: (4 ®iĨm)</b></i>

Cho ABC nội tiếp đờng trịn tâm O. Gọi E, F là hai tiếp điểm của AB, BC với đ
-ờng tròn (O), K là giao điểm của đ-ờng phân giác trong BAC với EF. Chứng minh
rằng CKA = 900

<i><b>Bài V: (4 điểm)</b></i>

Cho hỡnh thoi ABCD, hai ng chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đờng trung trực của
AB cắt BD, AC tại M, N. Biết MB = a, NA = b. Tính diện tích của hình thoi theo a và b.

§Ị sè 57

<b>Së gd & §T thanh hoá</b>

======***=====

<b>Kì thi học sinh giỏi lớp 9</b>

Môn Thi : To¸n

<i>(Thời gian 150 phút,khơng kể giao đề )</i>

Ngời ra đề: Trinh Thị Thanh Huyền
Đơn vị: Trờng THPT Triệu Sơn 3

<b>Bài 1 (2đ): (Các đề thi học sinh giỏi Toán ở Mĩ)</b>

1. Tổng của trung bình cộng và trung bình nhân của hai số dơng là 200. Tính tổng
các căn bậc hai của 2 số đó.

2. TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc:

<i>S=1</i>2<i>₋₂</i>2₊₃2<i>₋₄</i>2_{+.. .+2003}2<i>₋₂₀₀₄</i>2₊₂₀₀₅2

<b>Bài 2 (2đ): (Phơng pháp giải 36 đề thi Toán của Võ Đại Mau)</b>

Phân tích thành nhân tử:

A =(xy +yz + zx)(x + y + z) xyz .

<b>Bài 3 (2đ): (Phơng pháp giải Toán Đại số của Trần Phơng_Lê Hồng Đức)</b>

Cho phơng trình:

(m− 1) x2<i>_{−2(m− 4) x+m−5=0}</i>

T×m hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phơng trình kh«ng phơ thc m.

<b>Bài 4 (2đ): (Phơng pháp giải 36 đề thi Toán của Võ Đại Mau)</b>

Cho hệ phơng trình:

{

1
<i>x −1</i>+

<i>m</i>
<i>y −2</i>=2
2

<i>y −2−</i>
<i>3 m</i>
<i>x −1</i>=1

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

2. Tìm m để hệ đã cho có nghim.

<b>Bài 5 (2đ): (Luyện thi vào THPT môn Toán của Vũ Đình Hoàng Hà Huy Bằng)</b>

Giải hệ phơng trình:

{

(<i>x</i>

2

+<i>xy + y</i>2)

√

<i>x</i>2+<i>y</i>2=185
(<i>x</i>2<i>− xy+ y</i>2)

√

<i>x</i>2+<i>y</i>2=65

<b>Bµi 6 (2đ): (Báo Toán học và tuổi trẻ)</b>

Trên mặt phẳng toạ độ cho đờng thẳng (d) có phơng trình:
2kx + (k – 1)y = 2 (k là tham số)

1. Tìm k để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng <i>y=</i>√<i>3 . x</i> ? Khi đó hãy tính
góc tạo bởi (d) với tia Ox.

2. Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ n ng thng (d) l ln nht?

<b>Bài 7 (2đ): (Báo Toán học và tuổi trẻ)</b>

Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
<i>_x</i>2

+2004 x +2005 y2+<i>y=xy+2005 xy</i>2+2006

<b>Bài 8 (2đ): ( 40 đề thi tuyển sinh vào PTTH)</b>

1. Tìm điều kiện giữa các cạnh a, b, c của <i>Δ ABC</i> để <i>Δ ABC</i> đồng dạng với
tam giác mà các cạnh của nó bằng các đờng cao của <i>Δ ABC</i> .

2. Cho hình vng ABCD, điểm P trên cạnh AB, điểm Q trên cạnh BC sao cho BP
= BQ. Gọi H là chân đờng vng góc hạ từ B xuống PC.

Chứng minh: <i>_DHQ=90</i>0

<b>Bài 9 (2đ): ( Đề thi vào 10 chuyên Lê Hồng Phong TP HCM năm 2005-2006)</b>

Cho <i>Δ ABC</i> có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn (O;R). M là điểm di động trên
cung nhỏ BC. Từ M kẻ các đờng thẳng MH, MK lần lợt vng góc với AB, AC ( H thuộc
đờng thẳng AB; K thuộc đờng thẳng AC).

1. Chứng minh: Hai tam giác MBC và MHK đồng dạng với nhhau.
2. Tìm vị trí điểm M để độ dài đoạn HK lớn nhất.

<b>Bài 10 (2đ): ( 40 đề thi tuyển sinh vào PTTH)</b>

Dựng tam giác ABC biết trung điểm M, N tơng ứng của BC, AC và đờng phân giác
trong của góc A nằm trên đờng thẳng (d) đã cho.

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

<b>§Ị sè 58</b>

<b>Sở GD - ĐT Thanh Hoá </b> <b>Đề thi học sinh giỏi lớp 9</b>
<b>Trờng THPT Triệu Sơn 4 </b> <b>Năm häc 2005-2006</b>

<b>Mơn: Tốn; Thời gian: 150 phút.</b>
<b>Câu 1: (36 bộ đề Tốn </b>–<b> Võ Đại Mau </b>–<b> Trang 212)</b>

Rót gän biĨu thøc sau:
A= 2+√3

√2+

√

2+√3+

<i>2−</i>√3

√<i>2−</i>

√

<i>2−</i>√3

<b>C©u 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. (sáng tác)</b>

(x+y+z)3_x3_y3_z3

<b>Câu 3: (sáng tác) </b>

Cho phơng trình.

x2_{2mx + 5m 4 =0}

Tỡm m phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoó món
x12_{+ x2}2₈

<b>Câu 4: (sáng tác)</b>

Giải hệ phơng trình

2
<i>x</i>2<i>_{6 x +}</i>1

2

+ 1

<i>y +3 x</i>=1

<i> 4</i>
<i>y +3 x</i>+

6

<i>2 x</i>2<i>12 x+1</i>=18

{

<b>Câu 5: (sáng tác)</b>

Giải phơng trình

(x+1)(x+2)(x+4)(x+8)=28x2

<b>Câu 6:(sáng t¸c)</b>

Cho (P) : y=ax2_{và đờng thẳng d: y=bx+c.}

Tìm a,b,c sao cho (P) tiếp xúc với d tại I(1;4).

<b>C©u 7: (sáng tác)</b>

Chứng minh rằng phơng trình: ax2_{+ bx + c =0 không có nghiệm nguyên nếu a,b,c là các}
số nguyên lẻ.

<b>Câu 8: (Toán bồi dỡng hình học 9 </b>–<b> trang 58)</b>

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O và O’ là tâm các đờng tròn nội tiếp tam giác AHB
và AHC. Đờng thẳng OO’ cắt AB ở M và AC tại N.

Chøng minh AM = AN.

<b>Câu 9: (Đề thi học sinh giỏi 86-87)</b>

Cho hình vng ABCD. Đờng trịn đờng kính CD cắt đờng trịn đờng kính AD tại M  D.
Chứng minh DM đi qua trung điểm BC.

<b>Câu 10: (36 bộ đề </b>–<b> Võ đại Mau </b>–<b> Trang 187)</b>

Dựng hình bình hành ABCD cho biết đỉnh A và các trung điểm E, F của các cạnh CB, CD.

<b>§Ị sè 60</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

ngời ra đề : lê thị hơng – lê thị tâm

<b>C©u 1: (4 điểm)</b>

Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x

A = <i>6 x (x +6)</i><i>x − 3</i>

<i>2( x − 4</i>√<i>x+3)(2 −</i>√<i>x )−</i>

3

<i>−2 x+10</i>√<i>x − 12−</i>
1
3√<i>x − x − 2</i>

®iỊu kiƯn x # 4; x # 9 ; x # 1

<b>Câu 2: (3 điểm) giải phơng trình </b>

<i>x</i>2

+48 = 4x - 3 +

<i>x</i>2+35
<b>Câu 3: (4 điểm)</b>

Phân tích ra thừa số
A = x3_y3 _{+ z}3_{- 3xyz}

Từ đó tìm nghiệm ngun (x, y , z) của phơng trình
x3_{+ y}3_{+ z}3_{- 3xyz = x (y - z)}2_{+ z (x - y)}2 _{+ y( z-x)}2 ₍₁₎
t/m đk:

max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2)

<b>Câu 4: (3 điểm)</b>

Tìm GTNN của biÓu thøc

<i>ϕ</i> =

<i>1+x</i>2<i>y</i>2¿2

1
2(

<i>x</i>10

<i>y</i>2 +

<i>y</i>10

<i>x</i>2 )+

1
4(<i>x</i>

16

+<i>y</i>16)−¿

<b>Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đờng cao, đờng</b>

phân giác, đờng trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần. Hãy
tính diện tích mỗi phần.

<b>Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đờng chéo AC&BD vng với</b>

nhau tại H < H không trùng với tâm của (0). Gọi M,N lần lợt là chân đờng vng góc hạ
từ H xuống các đờng thẳng AB, BC; P&Q lần lợt là giao điểm của đờng thẳng MH & NH
với các đờng thẳng CD; OA. chứng minh rằng đờng thẳng PQ // đờng thẳng AC và 4 điểm
M, N, P, Q nằm trên mt (0).

<b>Đề số 62</b>

<b>Đề thi học sinh giỏi lớp 9</b>

Môn : <b>Toán học - Thờigian làm bài : 150 phút</b>
<b>Đề thi bảng A</b>

<b>Câu1: Cho a, b, c là 3 sè d¬ng n  N ; n  2 chøng minh r»ng:</b>

<i>n</i>

√

<i>b+ca</i> +

<i>n</i>

√

<i>c+ab</i> +

<i>n</i>

√

<i>a+bc</i> >
<i>n</i>
<i>n −1⋅</i>

<i>n</i>

√<i>n− 1</i> <i><b>(3 ®iĨm)</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

¿
<i>a</i>2

+<i>2 b</i>2+3 c2+4 d2=36(1)
<i>2 a</i>2+<i>b</i>2<i>− 2 d</i>2=6(2)

{

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a2_{+ b}2_{+ c}2_{+ d}2_. <i><b>_{(3 ®iÓm)}</b></i>

<b>Câu 3: Cho dãy số (a</b>n) (n = 0, 1, 2, ...) đợc xác định bởi <i>a</i>0=9 ;a<i>n +1</i>=27 a<i>n</i>28+<i>28 an</i>27 với

mäi n = 0, 1, 2, ... Chøng minh sè a11 viÕt trong hÖ thËp phân có tận cùng nhiều hơn 2000
chữ số 9. <i><b>(4 điểm)</b></i>

<b>Câu 4: Cho a, b, c là 3 số khác nhau và giả sử x, y, z là một nghiệm của hệ phơng trình:</b>

(x a)( y − a)(z − a)=d
(x − b)( y − b)(z − b)=d
(<i>x − c)( y −c )(z − c)=d</i>

¿{ {

¿

H·y tÝnh x3_{+ y}3_{+ z}3_. <i><b>_{(4 ®iĨm)}</b></i>

<b>Câu 5: Trên mặt phẳng cho góc </b> = 600_{cố định. Một tam giác cân MAB (MA = MB =}
a không đổi ; = 1200_{thay đổi vị trí sao cho 2 đỉnh A, B chạy trên 2 tia tơng ứng Ox ,}
Oy. Tìm quĩ tích của điểm M. <i><b> ( 6 điểm)</b></i>

<b>§Ị sè 63</b>

<b>Thi häc sinh giái líp 9 b¶ng A</b>

<i>(Thời gian 150 phút , khụng k giao )</i>

<b>Bài 1 (2,0 điểm) : Rút gọn biĨu thøc sau :</b>

A =

<i>m+2</i>¿2<i>−m</i>2
¿
¿
¿

<i>m</i>2_{+m− 2}

<i>mn +1_{− 3 m}n</i>¿

<b>Bµi 2(2,0 điểm)</b>

1) Cho ba số hữu tỉ a ; b ; c thoả mÃn điều kiện ab + ac + bc = 1. Chøng minh r»ng
( a2_{+1 )( b}2_{+ 1)( c}2_{+ 1 ) là bình phơng cđa mét sè h÷u tØ}

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

<i>a − c</i>¿2
¿
<i>b c</i>2

<i>b</i>2+
<i>a</i>2

+

<b>Bài 3( 2,0 điểm)</b>

Tỡm giỏ tr ca m phơng trình sau có ít nhất một nghiệm x  0:
( m+1 )x2_{– 2x + (m-1 ) = 0 (1)}

<b>Bài 4 (2,0 điểm)</b>

Cho hệ phơng tr×nh :

{

<i>x − y −1=0</i>

(<i>x + y − 2)(x −2 y +1)=0</i>

a) Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đại số và phơng pháp đồ thị

b) Từ đồ thị hãy tìm xem có thể thay số hạng –1 của phơng trình thứ nhất bằng số
nào để hệ đã cho chỉ có một nghiệm. Có thể thay đổi hệ số của x và y của phơng
trình thứ nhất sao cho hệ đã cho vơ nghiệm đợc khơng ?

<b>Bµi 5 (2,0 điểm)</b>

Giải phơng trình : <i>2 x +3+</i><i>5 8 x=</i><i>4 x+7</i> (1)

<b>Bài 6 (2,0 điểm)</b>

Trong mt phng toạ độ vng góc Oxy , cho parabol (P) có phơng trình:
y = <i>−x</i>

2

4 và diểm I ( 0 ; -2) ; gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số góc m.

1) Vẽ (P) . Chứng tỏ với mọi m <i>R</i> , (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
2) Tìm giá trị của m để đoạn AB l ngn nht .

<b>Bài 7 (2,0 điểm )</b>

Cho a , b , c là ba số dơng có tổng là hằng số. Tìm a , b , c sao cho ab +bc +ca là
lớn nhất

<b>Bài 8 (2,0 điểm)</b>

Cho tam giác ABC vng tại A có AB = a ( a > 0 ) cho trớc và BC = 2AB .Gọitam
giác DEF là nửa tam giác đều nội tiếp trong tam giác ABC ( D trên cạnh BC ; E trên cạnh
AC ; F trên cạnh AB và góc EDF vng ) . Tìm vị trí D , E , F để diện tích tam giác DEF
có giá trị nhỏ nhất , tính theo a giá tr nh nht ú.

<b>Bài 9 ( 2,0 điểm) </b>

Cho hình thang cân ABCD ( AB > DC ) . ^<i>_{A= ^B=60}</i>0 _{, có một đờng trịn tâm O nội}

tiếp hình thang tiếp xúc với các cạnh AB , BC , CD , DA , lần lợt tại M , N , P , Q .

1) Chứng minh AD , MP , BC đồng quy tại điểm S.
2) Chứng minh QN là đờng trung bình của <i>ΔSAB</i>

3) Gọi S1 là diện tích hình QNCD , S2 là diện tích tứ giác ABNQ .Tính <i>S</i>1

<i>S</i>2
.

<b>Bài 10 ( 2,0 điểm )</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

<b> s 64</b>

<b>Đề thi học sinh giỏi lớp 9</b>

Môn Toán-Thời gian 150 phút
Bài 1: (5 điểm)

1. Tính giá trị của biểu thức:
A=



21+66 +

_√

<i>21 − 6</i>√6 .
2. Rót gän biĨu thøc sau:

B=
3

√

<i>a</i>4+

√

3<i>a</i>2<i>b</i>2+

√

3<i>b</i>4

3

√

<i>a</i>2+_√3ab+

√

3<i>b</i>2 (<i>ab 0)</i>

Bài 2: (3 điểm)

Giải phơng trình sau:

<i>x</i>2+<i>4 x +5=2</i><i>2 x +3</i>

Bài 3: (3 điểm)

Giải hệ phơng trình sau:

1

<i>x</i>+

<i>2 </i>
1
<i>y</i>=2
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Bài 4: (3 điểm)

Cho 4 số x, y, z, t. Thoả mÃn (x+y)(z+t)+xy+88=0
Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc:

A = x2_{+ 9y}2_{+ 6z}2_{+ 24t}2
Bài 5: (3 điểm)

Cho tam giỏc ABC cú diện tích S. Một hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác
đó. M thuộc AB, N thuộc AC, P và Q thuộc BC. Gọi diện tích của hình chữ nhật MNPQ là
S1.

Chøng minh r»ng: S 2S1.
Bµi 6: (3 ®iĨm)

Cho nửa đờng trịn đờng kính BC trên đó có 1 điểm A di động. Gọi D là chân đờng
cao AD của tam giác ABC và M, N lần lợt là tâm đờng tròn nội tiếp các tam giác ABD và
tam giác ACD. Chứng minh rằng đờng vng góc với MN kẻ từ A ln đi qua một điểm
cố định.

§Ị sè 65

Së GD - §T Thanh hãa
Trêng THPT Thèng NhÊt

§Ị thi häc sinh giái Líp 9
Thêi gian : 150 Phót

Giáo viên ra đề : Nguyễn Quốc Tuấn
Chức vụ : Giỏo viờn Toỏn

Trờng THPT Thống Nhất
Câu 1: (2điểm)

Cho x= 2

23

√2+2+4

√3 vµ y =

6
23

√<i>2− 2+</i>4
√3

a) Rút gọn biểu thức x và y
b) Tính : -x3_y+xy3

Câu 2( 2điểm):
Cho phơng trình :
2x2_{+(2m-1)x+m-1=0}

Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x1,x2và 3x1-4x2=11
Câu 3( 2điểm ):

Giải hệ phơng trình

{

1
<i>x 1</i>+

1
<i>y</i>=0
2

<i>x 1</i>
1
<i>y</i>=3

Câu 4( 2điểm )
Giải phơng tr×nh

√

<i>3 x</i>❑2

+6 x+ 7 +

√

<i>5 x</i>❑2

+10 x+14 = 4 - 2x - x2

Câu 5 (2điểm)

Cho hàm số y=ax+b

a) (1điểm ) Tìm a,b sao cho đồ thịhàm số qua A(0;1) và B(-1;0)
b) (1điểm )Vẽ trên 1 hệ tọa độ hai đồ thị :

y= x2_{- 1 và đồ thị hàm số trên .Qua đó giải phơng trình : x}2_{- x - 2 = 0}
Câu 6( 4điểm )

a) Chøng minh r»ng : |a| +|b|  | a+b |

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

Cho đoạn thẳng AB, C ở giữa A và B . Kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và
By vng góc với AB . Trên tia Ax lấy I , Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K .
Nửa đờng trịn đờng kính IC cắt IK tại P.

a) Chøng minh CPKB néi tiÕp vµ AI.BK = AC.CB.
b) Tam giác APB vuông.

c) Gi s A,I,B c nh .Hóy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang
vng ABKI lớn nhất .

đề số 74

Së GD&§T Thanh hoá
Trờng THPT Thọ Xuân 4

<b> §Ị thi chän häc sinh giái líp 9 THCS</b>

<b> Năm học 2005-2006</b>
<b> Môn thi: Toán- (thời gian làm bài 150phút)</b>
<b>Đề bài:</b>

<b>Câu1.(4đ)</b>

<b> Xét biểu thức: M=</b>

(

<i>8 x</i>√<i>x</i>
<i>9 x</i>3<i>₋₁−</i>

1
<i>3 x</i>√<i>x +1</i>+

<i>x</i>√<i>x − 1</i>

<i>3 x</i>√<i>x − 1</i>

)

:

(

<i>1 −</i>

<i>3 x</i>√<i>x −2</i>
<i>3 x</i>√<i>x +1</i>

)

<b>1. Rót gän M</b>

<b>2. tìm x để M =</b> 3
2

<b>Câu2. ( 6đ)</b>

1. Cho pt: x2_{+ 5x + 3m – 1 = 0}

Tìm m để phơng trình có đúng một nghiệm âm
2. Giải hệ:

{

(<i>x</i>

2

+<i>xy+ y</i>2)

√

<i>x</i>2

+<i>y</i>2=185

(<i>x</i>2<i>− xy + y</i>2)

√

<i>x</i>2+<i>y</i>2=65

3. Cho Parabol ( P ) y = x2_{. Tìm hàm số có đồ thị ( P}’_{) đối xứng với (P) qua đờng}
thẳng x = 2.

<b>Câu3. ( 5đ)</b>

1. Gải phơng trình:

<i>x+</i>



3+<i>x=3</i>

2. Giải phơng trình: <i>x</i>2+1=3 y với x, y <i>z</i> .

<b>Câu4. ( 5đ)</b>

Cho tam giỏc ABC. Dng im D sao cho tứ giác ABCD là tứ giác có tính chất vừa nội
tiếp trong một đờng tròn, vừa ngoại tip c trong ng trũn.

<b>Đề số 75</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

Môn : to¸n

<i><b>Thời gian : 150 ( Khơng kể thời gian giao đề)</b></i>’
<b>Câu 1 (2đ): Giải các phơng trình sau</b>

a. (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15=0
b.

_√

<i>x</i>2<i>_{−2 x+1+}</i>

¿

√

<i>x</i>2<i>− 4 x+4</i> =

1+20052+2005

2

20062+
2005
2006
<b>Câu 2 (2đ):</b>

Cho biểu thức: A= <i>x</i>
2<i>_{y+ x}</i>2

(<i>x</i>2<i> y )+1</i>
<i>2 x</i>4

+<i>x</i>4<i>y</i>2+<i>y</i>2+2

a. Chứng minh rằng biểu thức A luôn luôn dơng víi mäi x, y.

b. Với giá trị nào của x, y biểu thức A có giá trị lớn nhất? Tìm giỏ tr ln nht
ú

<b>Câu 3 (1,5đ)</b>

Cho ba số thực x, y, z tháa m·n <i>x+ y+ z=2006</i> vµ 1

<i>x</i>+
1

<i>y</i>+
1

<i>z</i>=
1
2006

Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong ba sè x, y, z bằng 2006.

<b>Câu 4 (2đ):</b>

a. Cho ba số thùc d¬ng x, y, z tháa m·n

<i>x+ y+ z=</i>5

3 Chøng minh r»ng

1
<i>x</i>+

1
<i>y</i> <

1
<i>z</i>(1+

1
xy)

b. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác biết

<i>(a+b ) (b+c ) (c+ a)=8 abc</i>

Chứng minh rằng tam giác đã cho là tam giác đều

<b>C©u 5 (2,5):</b>

Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB. M là một điểm di động trên đờng trịn. Vẽ MH
vng góc với AB (H thuộc AB).

a. Tìm vị trí của điểm M trên (O) sao cho diện tích tam giác OMH lớn nhất.
b. Gọi I là tâm đờng trịn nội tiếp tam giác OMH. Tìm quỹ tích của điểm I.

<b>đề số 78</b>
<b>Sở GD & ĐT Thanh hoỏ</b>

************* <b>Đề thi học sinh giỏi lớp 9môn thi ; toán</b>

<i><b>Thời gian : 150 phút</b></i>

<b>Câu 1:</b>

Thay dÊu * bëi c¸c ch÷ sè sao cho
5

√***** 4 là một số nguyên

(Bi 76 trang 22 sỏch “ 255 bài toán đại số chọn lọc “ của Vũ Dơng Thuỵ)

<b>C©u 2:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

¿

ax3

=by3=cz3
1

<i>x</i>+
1
<i>y</i>+

1
<i>z</i>=1

¿{

¿

Chøng minh r»ng : 3

√

ax2+by2+cz2=_√3<i>a+</i>_√3 <i>b+</i>_√3<i>c</i>

(§Ị 33 Ôn thi vào 10 Vũ Đinh Hoàng )

<b> C©u 3: </b>

Chứng minh rằng :Điều kiện cần và đủ để phơng trình ax2_{+ bx + c = 0 có hai}
nghiệm thoả mãn nghiệm này bằng k lần nghiệm kia là: (k+1)2_{ac = kb}2

(Đề 2 “ Giả toán đại số “ Nguyễn Cam )

<b>C©u 4:</b>

a) Cho hai d·y sè cïng chiÒu : a1 ≤ a2 ≤ a3
b1 ≤ b2 ≤ b3

Chøng minh r»ng : (a1+ a2 +a3)(b1 + b2 + b3 ) ≤ 3(a1b1 +a2b2+a3b3)
(Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm 1998 )

b) Chøng minh r»ng : víi <i>0 ≤ a ≤b ≤ c</i>

<i>a</i>

2005_+b2005_+c2005

<i>a</i>2006+b2006+c2006<i>≤</i>
3

<i>a+b+c</i> (s¸ng tác )
<b>Câu 5:</b>

ở miền trong hình vng ABCD lấy điểm M sao cho <i>_{∠MBA =∠MAB=15}</i>0
Chứng minh rằng : Tam gác MCD đều (sáng tác)

<b>§Ị sè 80</b>

<b>đề thi hc sinh gii lp 9- Bng B</b>

Môn thi: Toán

Thi gian: 150 phút<i>(Không kể thời gian giao đề)</i>

<i><b>Ngời ra đề: Nguyễn Văn Hải </b></i>–<i><b> Tr</b><b>ờng THPT Thạch Thành II.</b></i>

<b>C©u 1: (4,5 ®iĨm) Cho biĨu thøc: </b> <i>A=x</i>

2

<i>− 9 −(4x − 2)(x −3)</i>
<i>x</i>2<i>_{− 6x+9}</i>

a) Rót gän A.

b) Tìm giá trị của A khi <i>_x=</i>

_√

<i>_{16 −4}</i>

_√

_{6 +}_√₂₀
c) Tìm x <i>_A=2</i>

<b>Câu 2 (3 điểm): Cho phơng trình (x</b>2_+4x-5)(x2_-9)=m

a) Giải phơng trình với m=45

b) Tỡm m phng trỡnh có 4 nghiệm phân biệt.

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

a) Tìm a biết (P) đi qua A(2;4), khi đó hãy vẽ (P).

b) Chứng minh rằng đờng thẳng qua A(2,4) và B(1,2) vuông gúc vi ng thng x+2y-3=0

<b>Câu 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của: </b>

<i>x 2005</i>2

<i>x 2006</i>2

<i>A=</i>

<b>Câu 5 (2 điểm): Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: </b>

x3_y+xy3_-3x-3y=17

<b>Cõu 6 (1,5 điểm) Cho ABC, đờng phân giác AE (EBC). Chứng minh rằng:</b>
AB

AC=
BE
EC

<b>Câu 7 (2,5 điểm): Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O, R). M là điểm di chuyển trên cung bé </b>

BC không chứa điểm A. D thuộc tia đối của MB sao cho MD=MC.
a) Chứng minh rằng tam giác MCD là tam giác đều.

b) Tìm vị trí điểm M để MA+MB+MC lớn nhất.

<b>Câu 8 (2 điểm): Cho ABC đều cạnh a. G là trọng tâm. Đờng thẳng (d)mp(ABC) tại G.</b>

S(d) sao cho SG=2a. Tính diện tích toàn phần của hình chóp SABC.

ề số 81

Sở GD - ĐT Thanh Hoá <b>Céng hoµ x· héi chđ nghÜa viƯt nam</b>

Trêng THPT Thạch Thành 3 Độc lập - Tù do - H¹nh phóc

<b>đề thi Học sinh giỏi lớp 9 Bảng B</b>–
Mơn : Tốn Thời gian: 150 phút
Câu 1:

1. TÝnh: 1

1+√2+
1

√2+√3+
1

√3+√4+. . .+

1

√2005+√2006

2. Xác định m để phơng trình: <i>x</i>2<i>−( m+1) x+2m=0</i> có 2 nnghiệm x1, x2 sao cho
x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vng của một tam giác vng có cạnh huyền bng
5

Câu 2:

1. Giải hệ phơng trình:

¿

<i>4 (x + y )=5 (x y )</i>
40

<i>x+ y</i>+
40

<i>x y</i>=9

{

2. Giải phơng trình :

(<i>x − 1)( x +3)+2 ( x −1)</i>

√

<i>x+3</i>
<i>x −1</i>=8

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

Cho đờng thẳng <i>y=</i>√<i>2 x</i> , <i>y=</i>1

2<i>x</i> , <i>y=2</i> cắt nhau tạo thành một tam gi¸c.

Tính diện tích tam giác đó.
Câu 4:

1. Phân tích biểu thức sau thành nhân tử:
a2_{( b - c) + b}2_{(c - a) + c}2_{(a - b)}
2.Cho x, y là 2 số thực thoả mÃn: <i>x</i>2

+<i>y</i>2=1 .

Tìm giá trị lớn nhất, nhá nhÊt cđa :

<i>A=x</i>√<i>y+1+ y</i>√<i>x+1</i>

C©u 5:

1.Cho (O) đờng kính AB. Trên đờng thẳng AB lấy điểm C nằm ngoài đoạn AB. Từ
C kẻ 2 tiếp tuyến CE, CF với (O) (E, F là 2 tiếp điểm). Gọi I là giao im ca AB
v EF.

Qua C kẻ 1 cát tuyến bất kì cắt (O) tại Mvà N (M nằm giữa C vµ N).
Chøng minh r»ng:

a. <i>ΔCIM</i>

~

<i>ΔCNO</i> . Từ đó chứng minh tứ giác DIMN nội tiếp trong đờng trịn.

b. góc _AIM❑ ₌_BIN❑ .

2. Cho (O) đờng kính AB, điểm C thuộc đờng kính ấy. Dựng dây DE AB
sao cho AD EC.

<i><b>§Ị sè 84</b></i>

<i><b>TrêngTHPT CÈm Thủ 1</b></i>

<b>Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh</b>

Môn

: To¸n

<i>( </i>

<i> Thêi gian 180 phót ) </i>

<b>Bài 1:Tìm phần d trong phép chia đa thức: </b>

<i>_x</i>3

+<i>x</i>5+<i>x</i>7+<i>x</i>11+<i>x</i>13+<i>x</i>17+<i>x</i>19

Cho nhÞ thøc : <i>x</i>2<i>₋₁</i>

<b>Bµi 2: Chøng minh r»ng nÕu: </b> <i>x ≠ 0 , y ≠ 0 , z ≠ 0</i> vµ:
<i>x+</i>1

<i>y</i>=<i>y +</i>
1

<i>z</i>=z+

1
<i>x</i>

Th× hoặc x= y= z hoặc xyz=0.

<b>Bài 3: </b>

Tính : <i>A=u</i>4<i>_{−5 u}</i>3_{+6 u}2<i>_{−5 u}</i> _{. Trong ó :}đ <i>_u=2+</i>
√3

<b>Bµi 4: Cho hƯ : </b>

¿

<i>a</i>1<i>x+a</i>2<i>y+a</i>3<i>z=0</i>

<i>b</i>1<i>x+b</i>2<i>y+b</i>2<i>z=0</i>

<i>c</i>₁<i>x+c</i>₂<i>y +c</i>₃<i>z=0</i>

¿{ {

¿

Sao cho:

<i>a</i>₁<i>, b</i>₂<i>,c</i>₃>0

¿

<i>a</i>2<i>, a</i>3<i>,b</i>1<i>, b</i>3<i>, c</i>1<i>,c</i>2<0

+¿₃<i>, b</i>₁+b₂+b₃<i>,c</i>₁+c₂+c₃>0

<i>a</i>₁+<i>a</i>₂¿

{ {

¿

Chøng minh r»ng hª cã nghiƯm duy nhÊt.

<b>Bµi 5: Giải phơng trình: </b>

¿

<i>2 x</i>2_{+4 x=}

√

<i>x +3</i>2
<i>x ≥ −1</i>

¿{

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

<b>Bài 6: Trong hệ trục xoy .Cho điểm </b> <i>M (2;2), N (4 ;1).</i> Xác định điểm P trên trục ox sao

cho tng khong cỏch MP+NP l nh nht.

<b>Bài 7: Tìm x: </b> <i>x∈ N</i> Vµ: <i>x</i>2<i>_{− 8}</i> _{lµ sè chÝnh ph¬ng.}

<b>Bài 8:Trên các đờng thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy các điểm </b>

t-ơng ứng: P, Q, R ( không trùng với các đỉnh và khơng có q 2 điểm thuộc 2 cạnh của tam
giác ).

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để 3 điểm P ,Q, R thẳng hàng là:
PB

PC.
QC
QA .

RA
RB=1

<b>Bài 9:Cho tứ giác lồi ABCD trong đó AB + BD không lớn hơn AC + CD .Chứng minh </b>

r»ng: AB < AC.

<b>Bài10: Cho 1 dờng tròn và 1 điểm A cố định. Một điển M di chuyển trên đờng trũn v </b>

MN là 1 dây cung vuông góc với AM.Dựng hình chữ nhật AMNP.

<b>...Hết...</b>

<b>Đề số 91</b>

<b> thi hc sinh gii lp 9</b>

Môn: Toán

<b>Câu I : Cho các số thực a, b, x, y tho¶ m·n </b>

¿

ax+by=3

❑
❑

(1)
ax2

+by2=5

❑
❑

(2)
ax3+by3=9

❑
❑

(3)
ax4+by4=17

❑
❑

(4 )

¿{{ {

¿

H·y tÝnh A = ax2005_{+ by}2005

<b>Câu II : Tính giá trÞ cđa biĨu thøc : </b>

<i>A=</i> 1

<i>x (x +1)(x +2)</i>+

1

(<i>x +1)(x+2)(x +3)</i>+. . .+

1

(<i>x+n− 2)(x +n −1)(x +n)</i>

Víi : x = 1 ; n = 2005 (n 2)

<b>Câu III : Cho phơng trình </b>

x2_{- 2(m + 1)x + m - 2 = 0 (2)}
Tìm m để (1) có 2 nghiệp phân biệt thoả mãn : <i>x</i>1

3

+<i>x</i>₂3=− 8
<b>Câu IV : Cho hệ phơng trình </b>

<i>mx+2 y=m+1</i>
<i>2 x +my=2 m+5</i>

¿{

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

Giả sử (1) có nghiệm (x ; y). Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với đối số m.

<b>C©u V : Giải hệ phơng trình </b>

(<i>x</i>2+<i>xy + y</i>2)(

<i>x</i>2+<i>y</i>2)=185

(<i>x</i>2<i> xy+ y</i>2)



<i>x</i>2+<i>y</i>2=65

{

<b>Cõu VI : Cho đờng thẳng (d) : y = 2x + 1 và parabol (P) : y = mx</b>2_{. Tìm m để (d) cắt (P)}

tại 2 điểm phân biệt.

<b>C©u VII : Cho a, b, c  [0 ; 1]. Chøng minh r»ng : </b>
<i>a</i>

<i>b+c +1</i>+
<i>b</i>
<i>a+c+1</i>+

<i>c</i>

<i>a+b+1</i>+(1− a)(1− b)(1− c )≤ 1

<b>Câu VIII : Cho ABC có ABC = 30</b>0_{; BAC = 130}0_{. Gọi Ax là tia đối của tia AB. Đờng}
phân giác của góc ABC cắt đờng phân giác của góc CAx tại D. Đờng thẳng BA cắt đờng
thẳng CD tại E. Hãy so sánh các độ dài AC và CE.

<b>Câu IX : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đờng trịn tâm O ; bán kính R.</b>

Gọi D, E, F lần lợt là giao điểm của các đờng thẳng AO với BC ; BO với AC ; CO với AB.

Chøng minh r»ng : <i>AD+BE+CF ≥9 R</i>
2 .

<b>Câu X : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vng góc với nhau từng đơi một. Gọi H là</b>

trùc t©m ABC. Chøng minh r»ng : 1

OH2=
1

OA2+

1
OB2+

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

Đề số 95

Sở GD&ĐT Thanh Hoá <b>Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 9_THCS</b>
<b>Trờng THPT nh xuân</b>

Thời gian :150 phút

Câu1 (4điểm) :1. Cho phơng trình x2_{+ a.x +1 =0}

Tìm a để phơng trình có hai nghiệm x1,x2 thỗ mãn (
<i>x</i>₁
<i>x</i>2

₎2 _{+ (} <i>x</i>1
<i>x</i>2

)2_{> 7}
_{2.Giải phơng trình :}

√<i>5− x</i> + _√<i>x −3</i> = x2_{-8.x +18}

Câu 2 (4điểm) :

1.Giải hệ phơng trình :

{

<i>x +</i>1
<i>y</i>=2
<i>y +</i>1

<i>z</i>=2
<i>z+</i>1

<i>x</i>=2

2.Giải hệ phơng tr×nh :

{

1

<i>x − 2 y</i>+<i>x +2 y=5</i>
<i>x+2 y</i>

<i>x − 2 y</i>=6

Câu 3 (7 điểm ) :Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đờng trịn tâm
O qua B và C.Qua A vẽ tiếp tuyến AE,AF với đờng tròn (O); Gọi I là trung điểm
BC ,N là trung điểm EF .

a.Chứng minh rằng các điểm E,F luôn nằm trên một đờng tròn cố định khi đờng
tròn (O) thay đổi .

b.Đờng thẳng FI cắt đờng tròn (O) tại K .Chứng minh rằng :EK song song với AB .
c.Chứng minh rằng tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy trên một đờng

thẳng cố định khi đờng tròn(O) thay đổi.
Câu 4(5điểm ) :

1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A= 2

<i>1 − x</i> +
1

<i>x</i> víi 0 < x <1

2. a, Cho x,y là hai số dơng . chứng minh r»ng : 1

<i>x</i> +
1
<i>y</i>

4
<i>x + y</i>

b,Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c vµ chu vi 2p =a+ b + c
Chøng minh r»ng :

1

<i>p − a</i> +
1

<i>p − b</i> +
1

<i>p − c</i> 2 (
1

<i>a</i> +

1
<i>b</i> +
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41></div>

<!--links-->