de cuong toan 8 tap 1a

1

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ I MƠN TỐN 8
PHẦN 1. ĐẠI SỐ
A/ LÝ THUYẾT:
1/Phát biểu qui tắt nhân đơn thức với đa thức; Đa thức với đa thức.
Áp dụng tính: a/

2
xy(3x2y - 3yx + y2)
3

b/ (2x + 1)(6x3 - 7x2 - x + 2)

2/ Khi nào đơn thức A chia hết cho đơn thức B ? Đa thức C chia hết cho đa thức D ?
Áp dụng tính: a/ (25x5 - 5x4 + 10x2) : 5x2

b/(x2 - 2x + 1):(1 -x)

3/ Thế nào là phân thức đại số? Cho ví dụ?
4/Định nghĩa hai phân thức bằng nhau.
Áp dụng: Hai phân thức sau

x3
x 2  4x  3
và
có bằng nhau khơng?
x
x2  x

5/Nêu tính chất cơ bản của phân thức đại số?

Áp dụng: Hai phân thức sau bằng nhau đúng hay sai?
6/ Nêu qui tắt rút gọn phân thức đại số. Áp dụng : Rút gọn

( x  8) 3 (8  x) 2
=
2
2(8  x)

8x  4
8x 3  1

7/ Muốn qui đồng mẫu thức các phân thức đại số ta làm thế nào ?
Áp dụng qui đồng :

3x
x 1
và 2
x 1
x  x 1
3

B/ BÀI TẬP:
I / NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC :
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:



d) 3x 2 2 x3 – x  5

b)  2 x  x3 – 3x 2 – x  1

2
1  1 

c)   10 x3  y  z   xy 
5
3  2 


e)  4 xy  3 y – 5 x  x 2 y

4
f)  3x 2 y – 6 xy  9 x  ( xy ) 
3



a) 2 xy 2 ( x3 y  2 x2 y 2  5xy3 )





Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:







a) x3  5x 2 – 2 x  1  x – 7 



 

b) 2 x 2 – 3xy  y 2



c)  x – 2  x 2 – 5x  1 – x x 2  11

 x  y

d) x(1  3x)(4  3x)  ( x  4)(3x  5)

Bài 3: Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a) (3x  7)(2 x  3)  (3x  5)(2 x  11)
Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


2

b) (3x2  2 x  1)( x2  2 x  3)  4 x( x2 1)  3x2 ( x2  2)
Bài 4: Tìm x biết
a) 4  x  3 3x  2   3  x  1 4 x  1  27

b) 5x 12 x  7  – 3x  20 x – 5  100

c) 0,6 x  x – 0,5 – 0,3x  2 x  1,3  0,138

d)  x  1 x  2 x  5 – x 2  x     8  27

II/ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 yz  x3 y3 z  xyz 2

b) 4 x3  24 x2  12 xy 2

c) x 2  m  n   3 y 2  m  n 

d) 4 x 2  x  y   9 y 2  y  x 

e) x 2  a  b   2  b  a 

f) 10 x 2  a  2b    x 2  2   2b  a 
2

g) 50 x 2  x  y   8 y 2  y  x 
2



h) 15a m2b  45a mb m 

2

*

2



Bài 2.
a)  x  3   x  4  x  2    3  x 
3

2

b)  2a  3b  4a  b    a 2  b2    3b  2a 

c) a8  1

d) (x  y)2  4( x  y)  12

g) ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  24

h) ( x2  6 x  5)( x2  10 x  21)  15

2

III/ CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC , CHIA HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a) 12 x3 y3 z  :  15 xy 3 
b)  12 x15  :  3x10 
c)  21a 4b2 x3 –  6a 2b3 x5   9a3b4 x 4  :  3a 2b2 x 2 
d) 81a 4 x 4 y3 –  36 x5 y 4 –  18ax5 y 4 –  18ax5 y 5  :  9 x3 y 3 

Bài 2: Thực hiện phép chia:
a)  x3 –  x2   x     3   :    x   1

b)  x3 –  6 x 2 –  9 x     14    :    x   –  7 

a)  4 x 4  12 x 2 y 2  9 y 4  :  2 x 2  3 y 2 

b)  64a 2b2 –  49m4 n2    :   8ab    7m2 n 

Bài 3: Xác định số hữu tỉ sao cho:
a) Đa thức 4x2 – 6x + a chia hết cho đa thức x – 3
b) Đa thức 2x2 + x + a chia hết cho đa thức x + 3
c) Đa thức 3x2 + ax – 4 chia hết cho đa thức x – a
Bài 4. Chứng minh rằng:
a. a2( a + 1) + 2a( a + 1) chia hết cho 6 với a  Z
Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


3

b. a(2a –3) – 2a( a + 1) chia hết cho 5 với a  Z
c. x2 + 2x + 2 > 0 với x  Z
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức sau:
a) A  2x 2  6x  9

B  2xy  4 y  16x  5x 2  y 2 14

IV / PHÂN THỨC XÁC ĐỊNH :

A
xác định khi B  0
B

Phân thức

Bài 1 : Tìm x để các phân thức sau xác định :
A=

x6
x2

Bài 2: Cho phân thức E 

B=

5
2
x  6x

C=

9 x 2  16
3x 2  4 x

5x  5
2 x2  2 x

a/ Tìm điều kiện của x để phân thức được xác định.
b/ Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng -1.

V / CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC :
Câu 1: Thực hiện các phép tính sau :
a)

5 xy  4 y 3xy  4 y

2 x2 y3
2 x2 y3

b)

x3 4 x

x2 2 x

Câu 2: : Thức hiện các phép tính sau :
a)

x 1
2x  3
+ 2
;
2 x  6 x  3x

b)

3
x6
 2

2x  6 2x  6x

c)

2 x  6 x 2  3x
:
3x 2  x 1  3x

VI /CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP:

1
x2  x  2
2x  4
 2

Bài 1 : Cho : A 
x  2 x  7x  10 x  5

a. Rút gọn A.
b. Tìm x nguyên để A nguyên.
 x2
6
1  
10  x 2 




Bài 2 : Cho M =  3
 : x2

6

3
x
x

2
x

2
x

4
x

 

a. Tìm điều kiện xác định của M
b. Rút gọn M
c. Tính giá trị của M khi x =

1
2

 1
y
y2  y 1  1


Bài 3: Cho biểu thức N = 

.
:
3
y  1  y2 1
 y 1 1  y
Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


4

a. Rút gọn N
b. Tính giá trị của N khi y 

1
.
2

c. Tìm giá trị của y để N ln có giá trị dương.
Bài 4: Cho biểu thức : A 

x4  x3  x  1
.
x 4  x3  2x 2  x  1

a. Rút gọn biểu thức A.
b. Chứng minh rằng A không âm với mọi giá trị của x .

PHẦN 2: HÌNH HỌC

A/ LÍ THUYẾT:
1. Định lí tổng các góc của một tứ giác.
2. Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết của hình thang, hình thang cân, hình bình
hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng.
3. Định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác, của hình thang.
4. Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vng
5. Diện tích các hình chữ nhật, hình vng, tam giác.

B/ BÀI TẬP:
Bài 1:Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E, F, K, M lần lượt là trung điểm của BD, AC,
CD, AB.
a) Chứng minh: tứ giác AFKD là hình thang và tứ giác KEMF là hình bình hành.
b) Chứng minh: EF // CD.
c) Đường thẳng qua E vng góc với AD và đường thẳng qua F vng góc với BC cắt
nhau tại H. Chứng minh: tam giác HCD là tam giác cân.
Bài 2: Cho tam giác ABC vng tại A có AH là đường cao. M là trung điểm AB. Gọi D là
điểm đối xứng của H qua M.
a) Chứng minh tứ giác AHBD là hình chữ nhật.
b) Trên đoạn HC lấy điểm E sao cho HB = HE. Chứng minh tứ giác AEHD là hình bình hành.
c) Gọi N là điểm đối xứng của A qua H. Chứng minh: Tứ giác AENB là hình thoi.
d) MN cắt BH tại K. Chứng minh: BE = 3BK.
Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B qua C.
a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác BDEF là
hình thoi.

Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

5

c) Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt DE tại K. Chứng minh KI =

1
AE.
6

Bài 4: Cho  ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH (H BC).
Kẻ HD  AB tại D và HE  AC tại E.
a) Chứng minh: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
b) Gọi F là điểm đối xứng của điểm H qua điểm E.
Chứng minh: Tứ giác ADEF là hình bình hành.
d) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: AM  AF.
Bài 5 . Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối
của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
b) Gọi E là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh tứ giác ADBE là hình bình hành.
c) EM cắt AB tại K và cắt CD tại I. Vẽ IH  AB (H  AB). Chứng minh IKB cân.
Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi G, H và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và
BC.
a) Chứng minh tứ giác BCHG là hình thang.
b) Gọi O là điểm đối xứng với E qua H. Chứng minh tứ giác EAOC là hình bình hành.
c) Chứng minh AE, GH, OB đồng quy.
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH, đường trung tuyến AM.
Vẽ HD  AB, HE  AC (D  AB, E  AC).
a) Chứng minh: tứ giác ADHE là hình chữ nhật và AB . AC = AH . BC.
b) Gọi P là điểm đối xứng của A qua E. Tứ giác DHPE là hình gì? Vì sao?
c) Gọi V là giao điểm của DE và AH. Qua A kẻ đường thẳng xy vng góc với đường

thẳng MV. Chứng minh ba đường thẳng xy, BC, DE đồng quy.
Bài 8. Cho ABC cân tại A. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC.
a/ Cho BC = 10 cm. Tính độ dài DE.
b/ Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.
c/ Gọi K là trung điểm BC, F là trung điểm BK, H là giao điểm của AK và DE. Chứng
minh tứ giác DHKF là hình chữ nhật.
d/ Chứng minh 3 đường thẳng DK, HF, BE đồng quy.
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của
AB.
a/ Chứng minh: MD  AB.
b/ Gọi E là điểm đối xứng với M qua D. Chứng minh tứ giác EACM là hình bình hành.
Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TỐN HỌC


6

c/ Chứng minh tứ giác AEBM là hình thoi.
d/ Cho BC = 6cm, tính chu vi tứ giác AEBM.
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M, N, K thứ tự là trung điểm của
AB, AC và BC.
a) Chứng minh KN

1
AB và ABKN là hình thang vuông.
2

b) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN và cắt tia KN tại Q.Chứng minh AKCQ là
hình thoi.

c) MN cắt BQ tại O và AK cắt BN tại I. Biết BC = 24cm, tính độ dài OI.
Bài 11. Cho ABC vng tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Gọi M là trung điểm của cạnh
AB, N là trung điểm của cạnh AC.
a) Tính độ dài đoạn thẳng MN.
b) Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh tứ giác BMND là hình bình hành.
c) Chứng minh tứ giác AMDN là hình chữ nhật.
Gọi E là điểm đối xứng của D qua M. Chứng minh tứ giác BDAE là hình thoi.
Bài 12: Cho ABC vng tại A có AB < AC. Gọi M là trung điểm BC. Từ M kẻ MN vng
góc với AC tại N, kẻ ME vng góc với AB tại E.
a) Chứng minh tứ giác ANME là hình chữ nhật và tứ giác NMBE là hình bình hành.
b) Vẽ D đối xứng M qua E. Chứng minh tứ giác ADBM là hình thoi.
c) Vẽ đường cao AH của ABC. Chứng minh tứ giác MNEH là hình thang cân.
Bài 13: Cho hình thang ABCD có độ dài đáy lớn AB bằng 2 lần đáy nhỏ CD. Gọi I là
trung điểm AB. Đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại E.
a) Chứng minh AICD và BCDI là các hình bình hành.
b) Chứng minh AD = DE.
c) Giả sử A = D = 900 và AD = CD. Chứng minh BC  AC.
Bài 14:

Cho tam giác ABC vuông tại A  AB  AC  và M , N , P lần lượt là trung điểm

của AB, AC, BC .
a) Chứng minh: Tứ giác BMNP là hình bình hành.
b) Vẽ Q đối xứng với P qua N . Chứng minh: Tứ giác APCQ là hình thoi.
c) Vẽ R đối xứng với P qua M . Chứng minh: R, A, Q thẳng hàng.
Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm
của AB, BC và AC.
a) Chứng minh tứ giác AMNK là hình bình hành.
b) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC. Tứ giác MKNH là hình gì? Vì sao?
Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


7

c) Gọi I là điểm đối xứng của H qua M . AH và IC lần lượt cắt MK tại E và F . Chứng
minh HC – HB = 2EF

HƯỚNG DẪN GIẢI
I / NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC :
Bài 1
a) 2 xy 2 ( x3 y  2 x2 y 2  5xy3 )

b)  2 x4  3x3  2 x2 – 2 x

 2 xy 2 .x3 y  2 xy 2 .2 x2 y 2  2 xy 2 .5xy3
 2 x4 y3  4 x3 y 4  10 x 2 y5

1
c) 5 x 4 y – 2 xy 2  xyz
5

d) 6 x5 –  3x3   15x2

e) 4 x3 y 2   3x 2 y 2 – 5x3 y

f)  4 x3 y 2   8x 2 y 2 –  12 x 2 y

Bài 2:

a) x4 – 2 x3 – 37 x2  15x  – 7

b) 2 x3 – x2 y   – 2 xy 2  y 3

c) x3 –  5x2  x – 2 x2  10 x – 2  – x3 –11x

d) x 1  3x  4  3x    x  4  3x  5

  7 x 2 –  2

 x  3x 2


  4  3x    x  43x  5
  4 x  3x 2  12 x 2  9 x3    3x 2  5 x  12 x  20 
  9 x3  15 x 2  4 x    3x 2  7 x  20 

 9 x3  15x2  4 x  3x2  7 x  20
 9 x3  18x2  11x  20
Bài 3:
a) (3x  7)(2 x  3)  (3x  5)(2 x  11)
 3x(2 x  3)  7(2 x  3)  3x(2 x  11)  5(2 x  11)

 6 x2  9 x  14 x  21  6 x2  33x  10 x  55

 76
Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào biến x
b) (3x2  2 x  1)( x2  2 x  3)  4 x( x 2 1)  3x 2 ( x 2  2)
 3x2 ( x2  2 x  3)  2 x( x2  2 x  3)  ( x2  2 x  3)  4 x.x 2  4 x  3x 2.x 2  3x 2.2

 3x4  6 x3  9 x2  2 x3  4 x2  6 x  x2  2 x  3  4 x3  4 x  3x4  6 x2

0
Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào biến
Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


8

Bài 4.
a) 4  x  3 3x  2   3  x  1 4 x  1  27
(4 x  12)(3x  2)  (3x  3)(4 x 1)  27

b) 5x 12 x  7  – 3x  20 x – 5  100
60 x2  35x – 60 x2  15x  100

12 x2  8x  36 x  24  12 x2  3x  12 x  3  27

50 x  100

43x  27  27

x  2

43x  27  27
43x  0
x0

x

 3x  2   x  5 – x3 – 8x 2  27

c) 0,6 x  x – 0,5 – 0,3x  2 x  1,3  0,138

d)

0,6 x2 – 0,3x – 0,6 x2 – 0,39 x  0,138

x3  5x2  3x2  15x  2 x  10  – x3 – 8x2  27

0,69 x  0,138

17 x  10  27

x  0, 2

17 x  17

2

x  1

II/ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bài 1:
a) x2 yz  x3 y3 z  xyz 2

b) 4 x3  24 x2  12 xy 2

 xyz  x  x 2 y 2  z 

 4 x  x2  6 x  3 y 2 

c) x 2  m  n   3 y 2  m  n 

d) 4 x 2  x  y   9 y 2  y  x 

  m  n   x2  3 y 2 

 4 x2  x  y   9 y 2  x  y 





  m  n x  3y x  3y



  x  y   4x2  9 y 2 
  x  y  2 x  3 y  2 x  3 y 

e) x 2  a  b   2  b  a 

f) 10 x 2  a  2b    x 2  2   2b  a 

 x2  a  b   2  a  b 

 10 x 2  a  2b    x 2  2   a  2b 

2

2

  a  b   x2  2



2

2

  a  2b  10 x 2  x 2  2 
2



  a  b x  2 x  2



  a  2b   9 x 2  2 
2





  a  2b  3x  2 3x  2

2

g) 50 x 2  x  y   8 y 2  y  x 
2

 50 x 2  x  y   8 y 2  x  y 
2

  x  y   50 x 2  8 y 2 
2

Thầy Đức Math - 0963.295.430

2

2



m  
m  

h) 15a m2b  45a mb m 

*

 15am .a2b  45a mb

*

 15a mb  a 2  3



*

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


9



 2  x  y   25x 2  4 y 2 
2



 15a mb a  3 a  3

 m   .
*

 2  x  y   5x  2 y  5x  2 y 
2

Câu 2 :
a )  x  3   x  4  x  2    3  x 
3

  x  3   x  4  x  2    x  3
3

b)  2a  3b  4a  b    a 2  b 2    3b  2a 

2

  2a  3b  4a  b    a 2  b 2    2a  3b 

2

2

2

  x  3  x  3  1   x  4  x  2 

  2a  3b  4a  b  2a  3b    a  b  a  b 

  x  3  x  4    x  4  x  2 

  2a  3b  2a  2b    a  b  a  b 

  x  4  x2  5x  7 

  a  b  3a  5b 

c) a 8 -1

d ) (x  y) 2  4( x  y )  12

  a4  1

 ( x  y ) 2  4( x  y )  4  16

2
2

  a  b  4a  6b  a  b 

  x  4  x2  6x  9  x  2

2

 ( x  y  2) 2  16
 ( x  y  2  4)( x  y  2  4)

  a 4  1 a 4  1
  a 2  1 a 2  1 a 4  1

 ( x  y  6)( x  y  2)

  a  1 a  1  a  1 a  1
2

4

g ) A  ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  24

h) B  ( x2  6 x  5)( x2  10 x  21)  15

= [( x  2)( x  5)].[( x  3)( x  4)]  24

 ( x  5)( x  1)( x  3)( x  7)  15

 ( x  7x  10)( x  7 x 12)  24

 ( x2  8x 15)( x2  8x  7)  15

Đặt x2  7x  10  t

Đặt x2  8x  7  t

 A  t ( t  2)  24  t 2  4t  6t  24

 B  (t  8) t  15  t 2  8t  15

 t ( t  4)  6(t  4)  (t  4)(t  6)

 t 2  3t  5t  15

 A  ( x2  7x  10  4)( x2  7x  10  6)

 t (t  3)  5(t  3)  (t  3)( t  5)

Vậy ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  24

 B  ( x 2  8x  7  3) ( x 2  8x  7  5)

2

2

 ( x 2  8x  10)( x 2  8x  12)

 ( x2  7x  6)( x2  7x  16)

Vậy ( x2  6 x  5)( x2  10 x  21)  15

 ( x2  8x  10)( x2  8x  12)

III/ CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC , CHIA HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN
Bài 1:
a) 12 x3 y3 z  :  15xy 3  =
c)

Thầy Đức Math - 0963.295.430

4
12 x3 y 3 z
= x2z
3
5
15 xy

b)  12 x15  :  3x10  =

12 x15
= - 4x5
2 x10

d)

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


10

 21a b x

4 2 3

=

–  6a 2b3 x5   9a3b4 x 4  :  3a 2b2 x 2 

21a 4b2 x3 6a 2b3 x5 9a3b4 x 4


3a 2b2 x 2 3a 2b2 x 2 3a 2b 2 x 2
  7a2 x   –  2bx3   3ab2 x2

81a x y
4

=

4

3

–  36 x5 y 4 –  18ax5 y 4 –  18ax5 y 5  :  9 x3 y 3 

81a 4 x 4 y 3 36 x5 y 4 18ax5 y 4 18ax5 y 5



9 x3 y 3 9 x3 y 3 9 x3 y 3 9 x3 y 3

  9a 4 x  4 x 2 y  2ax 2 y  2ax 2 y 2

Bài 2:

x3  x 2  x  3 ( x3  x 2 )  (2 x 2  2 x)  (3x  3)

a)
x 1
x 1

x 2 ( x  1)  2 x( x  1)  3( x  1)

x 1
 x2  2 x  3

x3  6 x 2  9 x  14 x3  7 x 2  x 2  7 x  2 x  14

b)
x7
x7

x 2 ( x  7)  x( x  7)  2( x  7)

x7
 x2  x  2

4 x 4  12 x 2 y 2  9 y 4 (2 x 2  3 y 2 ) 2

 2 x2  3 y 2
a)
2
2
2
2
2x  3 y
2x  3 y

64a 2b2  49m4 n2 (8ab  7m2 n)(8ab  7m2 n)

 8ab  7m2 n
b)
2
2
8ab  7m n
8ab  7m n
Bài 3:

4 x 2  6 x  a 4 x 2  12 x  6 x  18  a  18 4 x( x  3)  6( x  3)  a  18


a)

x 3
x 3
x 3
= 4x  6 

a  18
x 3

Để đa thức 4x2 – 6x + a chia hết cho đa thức x – 3 thì

a  18
=0
x 3

 a + 18 = 0  a = - 18

2 x 2  x  a 2 x 2  6 x  5 x  15  a  15 2 x( x  3)  5( x  3)  a  15


b)
x3
x3
x3
 2x  5 

a  15
x3

Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


11

Đa thức 2x2 + x + a chia hết cho đa thức x + 3 

a  15
=0
x3

 a + 15 = 0  a = - 15

3x 2  ax  4 3x 2  3ax  4ax  4a 2  4a 2  4 3x( x  a)  4a( x  a)  4a 2  4


c)
xa
xa
xa

4a 2  4
 3 x  4a 
xa
Đa thức 3x2 + ax – 4 chia hết cho đa thức x – a 

4a 2  4
= 0  4a2 – 4 = 0  (2a – 2)(2a +
xa

 2a  2  0
a  1

2) = 0  
 2a  2  0  a  1
Bài 4:
a) Ta có:
a 2  a  1  2a  a  1  a3  a 2  2a 2  2a  a  a 2  3a  2   a  a  1 a  2 

Ta có tích của 3 số ngun liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 do đó chia hết cho 6
b) Ta có:
a  2a  3  2a  a  1  2a 2  3a  2a 2  2a  5a 5 a  Z

c) Ta có:
x 2  2 x  2   x  1  1  0 x  Z
2

Bài 5:

A  2x 2  6x  9

B  2xy  4 y  16x  5x 2  y 2 14

3 9 9

  2( x 2  3x) + 9 = -2  x 2  2. x.     9
2 4 2


B  ( x 2  2xy  y 2 )  4( x  y) 12 x  4 x 2 14

2

3  27 27

  2 x    
, x
2
2
2

2

3
27

Vì 2  x    0 nên A 
2
2

Vậy Amax =

27
3
 x
2
2

B   [(x 2  2xy  y 2 )  4( x  y)  4]  (4 x 2 12 x  9)  1

B   [( x  y)2  2.( x  y).2  22 ]  (2x  3)2 1
B   ( x  y  2)2  (2x  3)2 1
Vì ( x  y  2)2  0,  (2x  3)2  0  x
nên Bmax = -1 đạt được khi x 

3
1
; y
2
2

IV / PHÂN THỨC XÁC ĐỊNH :
Bài 1:
- Phân thức A xác định khi x ≠ 2
- Phân thức B xác định khi  x2  6 x   0  x  x  6   0 hay x  0, x  6
Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


12





- Phân thức C xác định khi 3x2  4x  0  x  3x  4   0  x  0 ,x 

4
3

Bài 2:
a) Phân thức E xác định khi  2 x2  2 x   0  2 x  x  1  0  x  0 , x  1

b) Phân thức E bằng -1 khi:s
5x  5
5
 1  2 x 2  7 x  5  0   x  1 2 x  5  0  x  1  x  
2
2x  2x
2

V / CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC :
Bài 1: a) Điều kiện: x ≠ 0, y ≠ 0
5 xy  4 y 3xy  4 y 5xy  4 y  3xy  4 y
8xy
4


 2 3 2
2 3
2 3
2 3
2x y
2x y
2x y
2x y
xy

a) Điều kiện: x ≠ 2

x 3 4  x x 3 4  x x 3 4  x
1





x2 2 x x2 x2
x2
x2
Bài 2:
a) Điều kiện: x ≠ 0, x ≠ -3

x  x  1
x  1 2x  3
4x  6
x 2  x  4x  6 x 2  5x  6  x  2  x  3  x  2







2x  6 x2  3x 2x  x  3  2x  x  3 
2x
2x  x  3 
2x  x  3 
2x  x  3 

b) Điều kiện: x ≠ 0, x ≠ -3

x6
3x
x6
3x  x  6 2  x  3  1
3
 2
 2
 2



2 x  6 2x  6x 2x  6x 2x  6x 2x  x  3  2x  x  3  x
c) Điều kiện: x  0, x 

1
3

2 x  6 x 2  3 x 2  x  3 1  3 x
2
:

.
 2
2
3x  x 1  3x
x  3x  1 x  x  3 x

VI /CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP:

Bài 1:
a. x2 - 7x + 10 = (x - 5 )(x - 2).
Điều kiện để A có nghĩa là x  5 và x  2.

Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


13

1
x2  x  2
2x  4
A
 2


x  2 x  7x  10 x  5
x  5  x 2  x  2  (2x  4)(x  2)

(x  5)(x  2)
x 2  8x  15 (x  5)(x  3) 3  x



(x  5)(x  2) (x  5)(x  2) x  2
b. A 

(x  2)  1

1
 1 
, với x nguyên , A nguyên khi và chỉ
x2
x2

khi

1
nguyên, khi đó x - 2 = -1 nghĩa là x = 3, hoặc x = 1.
x2

Bài 2:
a) ĐKXĐ: x  0, x  2; x  -2

 x2
1
6
1  
10  x 2 
6
x2

 =


x

2


.
b) M =  3
:
=
 
x  2  ( x  2)( x  2) 6
2 x
 x  4 x 6  3x x  2  
c )Tính giá trị của M khi x =

x =

1
2

1
1
1
hoặc x = x =
2
2
2

Với x =

1
1
1 2
ta có : M =
= =

1 3 3
2
2
2 2

Với x = -

1
ta có : M =
2

1
2

1
2

=

1 2
=
5 5
2

Câu 3:
a. Rút gọn N

 1
 1
y

y2  y 1  1
y
y2  y 1  1


:


N= 
=


:
3
y  1  y 2 1  y  1 y3  1
y  1  y2 1
 y 1 1  y
 1
y
y2  y 1  1

:


 y  1  y  1 y 2  y  1
y  1  y2 1







 1
 1
y 1 y
1
y
2 y  1 y2 1
:


=
=
=2y + 1

 : 2
y2 1 y2 1
y2 1
1
 y  1  y  1 y  1  y  1
Vậy N= 2y + 1
b. Khi y 

1
1
thì N = 2y + 1 = 2  + 1 = 2.
2
2

Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


14

c. N > 0 khi 2y + 1 > 0 => y > -

1
.
2

Câu 4:

A

x 4  x3  x 1
x 4  x3  x 1

x 4  x3  2x 2  x 1 x 4  x3  x 2  x 2  x  1



x  1

x

 

 


 

 x  1 x  1
 2
x  x 1 x2 1
x 1
2







x  1 x 3  1
x 3 x  1  x  1

x2 x2  x 1  x2  x 1
x2  x 1 x2 1





2

2







2



2

x  1
2
b. A 
; x  1  0; x 2  1  0  A  0

x2 1

PHẦN 2: HÌNH HỌC
Bài 1:
A

B

M

E

I

F
H

D

C

K

a) Chứng minh: tứ giác AFKD là hình thang và tứ giác KEMF là hình bình hành.
Ta có:
F là trung điểm của AC (gt)
K là trung điểm của CD (gt)
KF là đường trung bình của tam giác ACD

KF / /AD và

KF

1
AD
2

(1)

Nên tứ giác AFKD là hình thang.
Ta lại có:
E là trung điểm của BD (gt)

M là trung điểm của AB (gt)
EM là đường trung bình của tam giác ABD

Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


15

EM / /AD và

1
AD
2

EM

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: KF // EM và KF

EM

Do đó: tứ giác KEMF là hình bình hành.
b) Chứng minh: EF // CD.
Gọi I là trung điểm của AD
HS chứng minh được: IE // AB và IF // CD (sử dụng đường trung bình)
Mà AB // CD nên 3 điểm I, E, F thẳng hàng.
Do đó: EF // CD.

c) Chứng minh: tam giác HCD là tam giác cân.
Ta có: AD // KF và EH
EK // BC và FH

AD suy ra: KF
BC suy ra: EK

EH
FH

Nên H là trực tâm tam giác EFK.
KH

EF mà EF // CD nên KH

CD

HK là đường cao tam giác HCD
Mà HK là đường trung tuyến tam giác HCD (KC = KD)
Nên Tam giác HCD cân tại H.
Bài 2
a) Chứng minh: AHBD là hình bình hành

Hˆ  90 0 => AHBD là hinh chữ nhật
b) Chứng minh: DA // HE và DA = HE => tứ
giác AEHD là hình bình hành
c) Cm: AENB là hình bình hành;
AN vng góc BE => AHBD là h. thoi
d) Cm: K là trọng tâm ABN =>
2

2 BE BE
BK  BH  .

3
3 2
3
Vậy BE = 3BK
Bài 3:
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B qua C.

Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


16
B

A

N
D

M

C

I

F

K

E

e) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành
Ta có BC = CE (E là điểm đối xứng của B qua C)
và BC = AD (ABCD là hình chữ nhật)
nên CE = AD
mà AD//CE (do AD//BC)
Vậy tứ giác ACED là hình bình hành

f) Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác BDEF là
hình thoi
Xét 2 tam giác ABM và FCM có:

ˆ B  CM
ˆ F (đối đỉnh)
AM
BM = CM

ˆ M  90 0
ˆ M  FC
AB
Nên  ABM =  FCM
Suy ra AB = CF
Mà AB = CD (ABCD là hình chữ nhật)
Do đó CF = CD
Tứ giác BDEF có 2 dường chéo BE và CF vng góc nhau tại trung điểm mỗi đường
Nên tứ giác BDEF là hình thoi

g) Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt DE tại K. Chứng minh IK =

1
AE
6

Gọi N là giao điểm của AC và BI
Ta có tứ giác ACED là hình bình hành, I là giao điểm của AE và CD
nên I là trung điểm của AE.
Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


17

Tam giác ABE có 2 đường trung tuyến AC và BI cắt nhau tại N
nên N là trọng tâm của  ABE
Suy ra IN =

1
IB
3

Ngoài ra IB =

1
AE (do BI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vng
2

ABE)
Do đó IN =

1
AE
6

Mặt khác IK = IN (do hình bình hành ACED là hình có tính chất đối xứng)
Vậy IK =

1
AE
6

Bài 4:
F
A
E
O
D

B

H

C

M

a) Chứng minh được tứ giác ADHE là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vng)

b) Ta có AD//HE và AD = HE (cạnh đối HCN)
Mà HE = EF (t/c đối xứng)

 AD //EF và AD = EF
 DECM là HBH (2 cạnh đối // và bằng nhau)
c) H và F đối xứng nhau qua E nên HE = EF (t/c đối xứng)
HF  AC nên tam giác AHF cân tại A (đường cao đồng thời là trung tuyến)
 AFE  AHE mà AHE  C (cùng phụ góc CHE)

Có AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền

B

D

của tam giác ABC  AM = MC = BC/2
  AMC cân tại M  MAC  C 

MAC  AFE (= C  AHE )

H

I

Có AFE  FAE  90 (vì HE  AC) 
0

M

MAC  FAE  900  AM  AF

Bài 5:

K

Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

E

A

C


18

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
CM: ABCD là hình bình hành.
CM: ABCD là hình chữ nhật.
b) Gọi E là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh tứ giác ADBE là hình bình hành.
CM: BD = AE
CM: ADBE hình bình hành
c) EM cắt AB tại K và cắt CD tại I. Vẽ IH  AB (H  AB). Chứng minh IKB cân.
CM: K trọng tâm EBC  AK 

1
AB
3

CM: AK = HK.
CM: HK = BH.
CM: IKB cân.
Bài 6:
A

O

G

B

H

E

C

a) Xét tam giác ABC có
G là trung điểm của AB (gt)
H là trung điểm của AC (gt)
Vậy GH là đường trung bình của tam giác ABC.
=>GH // BC.
Xét tứ giác BCHG có
GH // BC (cmt)
Vậy tứ giác BCHG là hình thang.
b) Xét tứ giác AECO có
H là trung điểm của AC (gt)
H là trung điểm của OE (O đối xứng với E qua H).

Vậy tứ giác AECO là hình bình hành
c) Chứng minh được tứ giác AGEH là hình bình hành
=> Hai đường chéo AE và GH cắt nhau tại trung điểm của AE và GH
Chứng minh được tứ giác ABEO là hình bình hành
Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


19

=> AE cắt BO tại trung điểm của AE và BO
Điều phải chứng minh
Bài 7.

x
F

B
H

D

M
V

A

E

P

C

y
a) Chứng minh: tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
ADH  900 (AB  DH)

AEH  900 (AC  HE)
EAD  900 (  ABC vuông tại A)

Vậy tứ giác AEHD là hình chữ nhật.

1
AH . BC
2
1
 AB . AC
2

S ABC 
S ABC

Vậy AB . AC  AH . BC
b) Chứng minh: tứ giác DHPE là hình gì? Vì sao?
Chứng minh được PE // DH
Chứng minh được PE = DH
Vậy tứ giác DHPE là hình bình hành. Giải thích.
c) Gọi F là giao điểm của Ax và BC
V là trực tâm tam giác AMF (MV  Ax; AV  BC)

 FV  AM (1)

Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


20

Ta lại có AM 

1
BC (AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của  vuông
2

ABC)
 MAC  MCA
Mà AEV  EAV (Tứ giác AEHD là hình chữ nhật)
Đồng thời EAV  ACM  900 (tam giác ACH vng tại H)
 AEV  CAM  900
Do đó DE  AM (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm E, V, D, F thẳng hàng
Vậy ba đường thẳng Ax, BC, DE đồng quy tại F.
Câu 8:
a/

Cho BC = 10 cm. Tính độ dài DE.

Xét ABC có:
D là trung điểm của AB (gt)

E là trung điểm của AC (gt)
Suy ra DE là đường trung bình của ABC
Suy ra DE // BC và DE 

1
1
BC  .10  5  cm 
2
2

b/ Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.
Xét tứ giác BDEC có:
DE // BC (cmt)

B  C (do ABC cân tại A)
Nên tứ giác BDEC là hình thang cân.
c) Gọi K là trung điểm BC, F là trung điểm BK, H là giao điểm của AK và DE. Chứng minh
tứ giác DHKF là hình chữ nhật.


Xét ABK có:

D là trung điểm của AB (gt)

(1)

DH // BK (do DE // BC)
Nên H là trung điểm AK ( H  AK )

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: DH là đường trung bình của ABK

 DH 

1
BK
2

Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


21

Mà FK 

1
BK (do F là trung điểm BK)
2

Nên DH = FK


Xét tứ giác DHKF có:

DH // FK (do DE // BC; F  BC ; H  DE )
DH = FK
Do đó tứ giác DHKF là hình bình hành

Lại có:

AKB  900 (do ABC cân tại A có AK là trung tuyến nên cũng là đường cao)

Vậy tứ giác DHKF là hình chữ nhật.

d) Chứng minh 3 đường thẳng DK, HF, BE đồng quy.
- Chứng minh tứ giác DEKB là hình bình hành
- Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật DHKF
Nên O là trung điểm của DK và HF (*)
- Hình bình hành DEKB có O là trung điểm của đường chéo DK (cmt)
Nên O cũng là trung điểm của đường chéo BE (**)
Từ (*) và (**) suy ra: 3 đường thẳng DK, HF, BE đồng quy.
Bài 9:

B
E

D

M

A

C

a/ Tam giác ABC có:
M là trung điểm của AB (gt)
D là trung điểm của AC (gt)
 MD là đường trung bình của ABC

 MD // AB
Mà AC  AB (vì tam giác ABC vng tại A)
 MD  AB
b/ Ta có:
MD = AC : 2 (vì MD là đường trung bình của tam giác ABC)
MD = ME : 2 (vì E đối xứng với M qua D)
Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


22

 AC = ME
Mà AC // ME (vì AC // MD)
 Tứ giác EACM là hình bình hành
c/ Xét tứ giác EAMB có:
D là trung điểm của AB
D là trung điểm của EM
 Tứ giác EAMB là hình bình hành
Mà EM  AB (vì MD  AB)
 Tứ giác EAMB là hình thoi
d/ Ta lại có: tam giác ABC vng tại A có AM là trung tuyến
 AM = BC : 2 = 6 : 2 = 3 (cm)
 EA = AM = MB = BE = 3cm
Vậy chu vi tứ giác EAMB là:
EA + AM + MB + BE = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 (cm)
Bài 10:

a) C/m:NK là đường trung bình của tam giác ABC nên:

NK//AB, NK=1/2AB.
0
Và A  90 (gt)

Nên T/g ABKN hthang vng
b) C/m được BNQM là hình bình hành.N là trung điểm của QK.
C/m được AKCQ là hình bình hành. KQ  AC
Hình bình hành AKCQ là hình thoi
c) Chứng minh được I là trọng tâm của tam giác ABC, C, I, M thẳng hàng. Gọi V sao cho I
là trung điểm của MV. OI=1/2NV=1/2.1/2AI=1/4.2/3AK=1/6AK; OI=2cm
Câu 11:

B

a) Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Xét tam giác ABC vng tại A, ta có:

E

D
M

BC2  AB2  AC2 (định lý Pytago)
A

Thầy Đức Math - 0963.295.430

N

C

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


23

BC2  62  82  36  64  100
 BC  100  10 (cm)
Ta lại có:
M là trung điểm AC (gt)
N là trung điểm AB (gt)

 MN là đường trung bình của tam giác ABC

 MN // BC và MN 

BC 10

 5 (cm)
2
2

b) Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh tứ giác BMND là hình bình hành.
Ta có: MN // BC và MN 
Mà D thuộc BC và BD 

BC
(cmt)
2

BC
(do D là trung điểm của BC)
2

 MN // BD và MN = BD

 Tứ giác BMND là hình bình hành.
c) Chứng minh tứ giác AMDN là hình chữ nhật.
Ta có:
D là trung điểm BC (gt)
M là trung điểm AB (gt)

 DM là đường trung bình của tam giác ABC
 DM // AC và DM 

AC
2

Mà N thuộc AC và AN 

AC
(do N là trung điểm của AC)
2

 DM // AN và DM = AN
 Tứ giác AMDN là hình bình hành.
Mà BAC  900 (tam giác ABC vuông tại A)

 Tứ giác AMDN là hình chữ nhật.
d) Gọi E là điểm đối xứng của D qua M. Chứng minh tứ giác BDAE là hình thoi.

Ta có :
M là trung điểm AB (gt)
M là trung điểm ED (E và D đối xứng qua M)

 Tứ giác BDAE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Nên tứ giác BDAE là hình bình hành.
Mà ED  AB (do AMDN là hình chữ nhật)
Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


24

 Tứ giác BDAE là hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vng góc)
Bài 12:

C

a) Chứng minh đúng tứ giác ANME là hình chữ nhật
Chứng minh được E là trung điểm của AB
M

N

Chứng minh đúng NM = BE và NM//BE

H

Kết luận tứ giác NMBE là hình bình hành

b) Chứng minh đúng tứ giác ADBM là hình bình hành

A

B

E

Chứng minh đúng tứ giác ADBM là hình thoi
c) Chứng minh được NH = NA
D

Chứng minh tứ giác MNEH là hình thang cân.
Bài 13:

I

A

B

a/ AICD, BCDI là các hình bình hành (đúng dấu hiệu: 2
cạnh đối song song và bằng nhau)
(hình bình hành thứ 2 chỉ cần chứng minh tương tự)

D
C

b/ CIDE là hình bình hành (đúng dấu hiệu)  DE = IC
mà AD = IC nên

E

kết luận

c/ Tam giác ABE vng cân tại A có AC là trung tuyến cũng là đường cao nên kết luận
( Câu c không cần vẽ hình )
Bài 14:

a)Ta có M là trung điểm củaAB(gt)
Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


25

N là trung điểm của AC (gt) nên MN là đường trung bình của tam giác ABC
=>MN//BC và MN = BC
=>MP//BPvà MN = BP
=>Tứ giác MBPN là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
b) Tứ giác APCQ là hình bình hành( Vì NA=NC ; NP = NQ (gt) mà AP là trung tuyến ứng
với cạnh huyền trong

ABC vuông tại A (gt) nên AP = PC

Do đó hình bình hành APCQ là hình thoi (Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau)
c) Chứng minh tứ giác ARBP là hình thoi =>đường chéo AB là phân giác của ̂ => ̂ =
̂ (1)
Tứ giác APCQ là hình thoi (cmt) =>đường chéo AC là phân giác của ̂

Ta có ̂ = ̂

̂ + ̂

=> ̂ = ̂ (2)

̂ = 2 ̂ + 2 ̂ = 2 ̂ = 2.900

= 1800
Vậy R,A,Q thẳng hàng
Bài 15:

A

I

K
M

B

H

N

C

a) Chứng minh AMNK là hình bình hành
b) Chứng minh MKNH là hình thang cân
c) chứng minh ME là đường trung bình của tam giác ABH  ME = BH/2

chứng minh KF là đường trung bình của tam giác CIA  KF = AI/2
chứng minh BH = AI  ME=KF
Chứng minh HC = 2KE mà
HB =2EM

 HC  HB  2  EK  EM   2  EK  KF   2EF

Thầy Đức Math - 0963.295.430

TÀI LIỆU TOÁN HỌC