30 bai hinh on vao 10 co DA

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (183.37 KB, 14 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TUYỂN TẬP CÁC B ÀI TOÁN HAY H ÌNH HỌC 9

Bài 1: Cho một đường trịn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa cung AB. Gọi M 
là điểm di động trên cung BC, dây AM cắt OC ở E.Chứng minh tâm I của đường trịn ngoại
tiếp tam giác OME ln thuộc đoạn thẳng cố định.

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AH, BC. Các 
đường phân giác góc ABH và ACH cắt nhau tại P.Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng .
Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O),H là trực tâm của tam giác 
ABC.Gọi E là điểm đối xứng của H qua BC.

a) Chứng minh E thuộc đường tròn (O).

b) Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác trong của tam giác ABC và D là điểm đối
xứng của I qua BC .Tìm điều kiện của tam giác ABC để D thuộc đường tròn (O).

Bài 4: Các đường cao AH, BE,CF của tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam 
giác đó tại các điểm thứ 2 tương ứng là M,N,P.Chứng minh :

a) AM BN CP+ + = 4
AH BE CF

b) HA.HM + BE.EN + FC.FK≤1(AB + AC + BC )2 2 2
4

Bài 5 : (BMO 2004)Cho hai đường tròn tiếp xúc trong tại M. Đường tiếp tuyến với đường 
tròn bên trong tại P cắt đường trịn bên ngồi tại Q và R.Chứng minh : QMP = RMP 

Bài 6 : (BMO 2000)Hai đ ường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại M, N.Vẽ tiếp tuyến chung PQ 
(gần N hơn )của hai đường tròn.

(

P (O);Q (O') PN cắt đường tròn (O’) tại R.Chứng ∈ ∈

)

minh:

a) MQ là phân giác PMR.

b) Diện tích hai tam giác MNP và MNQ bằng nhau.
c) OMO' = 2PMQ 

Bài 7: (BMO 2004)Từ điểm A ở ngồi đường trịn (O)vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường 
tròn (O). PQ là đường kính bất kỳ . PA, PB, PC cắt đường tiếp tuyến tại Q của đường tròn
(O) theo thứ tự tại các điểm L, M, N.Chứng minh: L là trung điểm của MN.

Bài 8 : (BMO 2004)Cho AB là đường kính của đường tròn tâm O và CD là dây cung 
thẳng góc với AB. Một dây cung bất kỳ AE cắt CO tại M, DE cắt BC taị N
Chứngminh.:CM.CB=CN.CO

Bài 9 : (BMO 1999)Cho đường trịn đường kính AB. Điểm C cố định trên AB. Điểm P bất 
kỳ trên đường tròn.Chứng minh : 


tgAPC

tgPACkhông đổi.

Bài 10: (BMO 1994)Cho đ ư ờng tr òn (O) T ừ một đi ểm P ở ngoài đ ư ờng tròn (O) vẽ 
hai tiếp tuyến PQ và PR ( Q và R là hai tiếp đi ểm ). Trên PQ nối dài, lấy điểm A. Đường
tròn ngoại tiếp tam giác PAR cắt đường tròn (O) tại B và AR cắt đường

tr òn (O) tại C.Chứng minh PAR = ABC 

Bài 11: (BMO 1996)Tam giác ABC có các góc đều nhọn, nội tiếp đường trịn tâm O.Vẽ 
đường tròn tâm O' ngoại tiếp tam giác ABO. Đường thẳng CA cắt đường

tròn (O’) tại P và CB cắt đường tròn (O’) tại Q. Chứng minh: CO vng góc PQ.

Bài 12 : (BMO 2001)Cho hai đường tròn tiếp xúc trong tại A. Từ điểm P của đường tròn

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

lớn, vẽ các tiếp tuy ến PX và PY với đường tròn nhỏ , PX v à PY cắt đường tròn lớn tại
các điểm Q và R. Chứng minh QAR = 2XAY . 

Bài 13 : (BMO 2004)Cho tam gi ác đều ABC và điểm D trên cạnh BC. Một đường 
tròn tiếp xúc với BC tại D, cắt cạnh AB tại M, N và cắt cạnh AC tại P, Q.

Chứng minh: BD+AM+AN=CD+ AP + AQ.

Bài 14 : (BMO 2004)Cho tam giác ABC c ó AD và BE là hai đường cao. Đường 
thẳng AD cắt nửa đường trịn đường kính BC tại P.Đường thẳng BE cắt nửa đường
tròn đường kính AC tại Q. Chứng minh : CP = CQ.

Bài 15: Cho hai tam giác ABC và DEF có hai đáy AB và DE cùng nằm trên một đường 
thẳng. DF//AC và EF//BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC và đường tròn ngoại tiếp
tam giác CBD cắt nhau tại C, G. Chứng minh C, G, F thẳng hàng.

Bài 16 :(BMO 2005) Cho tam giác ABC có số đo góc A bằng 1200 .AD, BE, CF
là ba đường phân giác trong của tam giác ABC. Chứng minh đường trịn đường kính EF đi
qua D.

Bài 17 : (BMO1995)Tam giác ABC với ba trung điểm D, E, F của 3 cạnh BC , AC , AB 
.Chứng minh: DAC = ABE nếu và chỉ nếu   AFC = ADB=

Bài 18 :(BMO1997)Cho tam giác ABC. Đường cao CF và trung tuyến BM. Nếu 
BM = CF và MBC = FCM , Chứng minh tam giác ABC đều. 

Bài 19 :(BMO 2001)Cho tam giác ABC ( C > B ). Phân giác trong góc A cắt BC tại 
D.Điểm E trên AB sao cho góc EDB vng.Điểm F trên AC sao cho BED = DEF . 
Chứng minh: BAD = FDC 

Bài 20: (BMO 2001) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) . DA và CB cắt nhau tại 
P.Gọi là giao điểm của hai đường chéo AC và BD .Cho biết : CD = CP = CQ, Chứng
minh : CAD = 60 . 0

Bài 21: (BMO 2002)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tr òn (O, R ) và đường cao AD. 
Hạ DE và DF thẳng góc với hai cạnh AB và AC . Tính độ dài EF theo R và các tỉ số
lượng giác các góc của tam giác ABC

Bài 22: (BMO 2005) Cho tứ giác nội tiếp ABCD với AC là phân giác góc A. Lấy điểm E 
trên AD.Chứng minh : CE = CA nếu và chỉ nếu DE = AB.

Bài 23: (BMO 2007) Tam giác có ba góc ABC nhọn với AB > AC, BAC = 60 .Gọi O là 0
tâm đường ngoại tiếp, H là trực tâm tam giác ABC , và OH cắt cạnh AB tại P và AC tại Q.
Chứng minh : PO = HQ.

Bài 24: (BMO 2008) Tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp trong vịng trịn. Lấy điểm Q 
trên cung BC có chứa điểm A. Kẻ đường kính QP.Từ Q, hạ các đường thẳng góc xuống
AC và AB, theo thứ tự tại các điểm V và W. Chứng minh hai tam giác PBC và AWV
đồng dạng.

Bài 25: Cho tam giác ABC nội tiếp trong vịng trịn. Phân giác của ba góc A, 
B, C cắt đường tròn tại A', B', C'. Đường A'B' cắt BC tại N và đường C'B'

cắt AB tại M. Chứng minh MN đi qua tâm O của đường tròn nội tiếp tam giác ABC 
Bài 26:Cho tam giác ABC vuông tại A.Trên BC lấy điểm D sao cho BDA = 2.BAD 

Chứng minh : 2 = 1 + 1

AD BD CD

Bài 27: Cho hình bình hành ABCD.Lấy điểm E sao cho AE thẳng góc AB và EC thẳng 
góc BC. Chứng minh DEA = CEB. 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 28 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại M và N .Gọi d là tiếp tuyến chung 
của hai đường tròn (O) và (O’) tại A và B (d gần M hơn N ) .Qua M vẽ đường thẳng
song song với d cắt hai đường tròn (O) và (O’) tại C và D .Biết CA và BD cắt nhau tại
E , AN cắt CD tại P , BN cắt CD tại Q .Chứng minh :

a) Tứ giác AEBN là tứ giác nội tiếp .
b) EP = EQ

Bài 29 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B .Tiếp tuyến tại A của 
đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) tại N . Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O’) cắt
đường tròn (O) tại M .Biết BN cắt đường tròn (O) tại Q , BM cắt đường tròn (O’) tại P
.Chứng minh MP = NQ.

Bài 30 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O). AD là đường kính 
của đường trịn .Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt BC tại P .Đường thẳng PO cắt
AC và AB tại M và N .Chứng minh OM = ON

Bài 31 : Cho M là một điểm trên đoạn thẳng AB ( MB < MA ) .Trên cùng một nửa mặt 
phẳng bờ là AB vẽ hai hình vng AMCD và MBFE .Hai đường trịn ngoại tiếp hai
hình vng AMCD và MBEF cắt nhau tại N .Chứng minh ba điểm A, F ,N thẳng hàng .
Bài 32 : Cho đường tròn (O) có AB là đường kính .C và D là hai điểm trên hai tia đối 
nhau của tiếp tuyến tại B của đường tròn .AC và AD cắt đường tròn tại E và F .CF và
DE cắt đường tròn lần lượt tại G và H .Chứng minh BG = BH .

Bài 33 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại P và Q .Một đường thẳng qua P cắt 
hai đường tròn lần lượt tại A và A’ .Một đường thẳng qua Q song song AA’cắt hai
đường tròn tại B và B’(A và B cùng thuộc một đường tròn ).Chứng minh hai tam giác
PBB’ và QAA’ có cùng chu vi .

Bài 34 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn .đường trịn tâm O đường kính AC cắt AB 
tại F .đường tròn tâm O’ đường kính AB cắt AC tại E .BE cắt (O) tại P và CF cắt
đường tròn (O’) tại Q . Chứng minh AP = AQ .

Baøi 35* : P là điểm trên đường cao AD của tam giác ABC. BP, CP cắt AB và AC theo 
thứ tự tại E, F.Chứng minh: AD là phân giác góc EDF.

Bài 36: (3 điểm) Cho tam giác PNM. Các đường phân giác trong của các góc M và N cắt 
nhau tại K, các đường phân giác ngoài của các góc M và N cắt nhau tại H.a) Chứng minh
KMHN là tứ giác nội tiếp.

b) Biết bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác KMHN bằng 10cm và đoạn KM bằng 6cm,
hãy tính diện tích tam giác KMH.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

K
I

F
H

P
E

C
B

TUYỂN TẬP CÁC B ÀI TỐN HAY H ÌNH HỌC 9

Bài 1: Cho một đường trịn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa cung AB. Gọi M 
là điểm di động trên cung BC, dây AM cắt OC ở E.Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại
tiếp tam giác OME luôn thuộc đoạn thẳng cố nh.

Giải

Ta có tứ giác BMEO nội tiếp đường tròn tâm I là trung điểm
của EB

I thuộc trung trực của OB
ð I thuộc đoạn HK cố định

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AH, BC. Các 
đường phân giác góc ABH và ACH cắt nhau tại P.Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng .
Gi¶i

Ta cã:     

  0

PBC PCB ABH AHB AHC
ABH BAC

+ = + +

= + =

=> ∠BPC = 900
=> PF = FC = BF

=> ∠PFB = 2∠PCF = ACB + HCK (1)
Gọi I là trung điểm cña BH => FI // HC
=> ∠IFB = ∠HCK (2)

=> EI //AB ; EI = 1

2AB

Ta cã: ∆ ABK ~ ∆ CHK => EI AB AK

IF = HC = CK => ∆ EIF ~ ∆AKC (G.C.G)
=> ∠EIF = ∠ACK (3)

tõ (2) (3) => ∠EFB = ∠ACB + ∠HCK KÕt hỵp (1) => ∠EFB = ∠ PFB =>
F, P, E Thẳng hàng

Bi 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O),H là trực tâm của tam giác 
ABC.Gọi E là điểm đối xứng của H qua BC.

a) Chứng minh E thuộc đường tròn (O).

b) Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác trong của tam giác ABC và D là điểm đối
xứng của I qua BC .Tìm điều kiện của tam giác ABC để D thuộc đường trịn (O).

Gi¶i

a) Do H đối xứng E qua BC

=> ∠BEC = ∠BHC = 1800 - ∠BAC
=> ∠BEC + BAC = 1800

=> E thuộc đường tròn tâm O

b) Gọi D đối xứng với I qua BC; D thuộc đường tròn tâm O
<=> ∠BHE =∠BEH ; ∠EHI = ∠HED => ∠BHI = ∠BED

∠ICB =∠BCD Mµ ∠BCD + ∠BED = 1800
=

>

∠BHI +∠ICB = 1800 => tø gi¸c BHIC néi tiÕp

=> ∠BHC =∠BIC => 180-0 - ¢ = 900 + ¢/2 <=> ¢ = 600

I
M

K
H

B
A

D
O
I
H

C
B

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

O
I

H
P

C
B

R
Q

M
O

Q
N

I
H

Bài 4: Các đường cao AH, BE,CF của tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam 
giác đó tại các điểm thứ 2 tương ứng là M,N,P.Chứng minh :

a) AM BN CP+ + = 4
AH BE CF

b) HA.HM + BE.EN + FC.FK≤1(AB + AC + BC )2 2 2
4

Gi¶i

a)Ta cã: IH = MH ; IE = EN ; FI = FP
=> AM BN CP 3 HI IE FI

AH + BE+CF = +AH +BE+FC
= 3+ BIC

ABC

S

S + 3 1 4

AIC ABI

ABC ABC

S S

S +S = + =

b) AH.HM = BH.HC ≤ 2

BC (1) 
BE.EN = AE.EC ≤ 2

AC

(2)
CF.FP = AF.FB ≤

AB (3)

Cộng => dpcm. Dấu bằng xảy ra <=> ABC là tam giác đều

Bài 5 : (BMO 2004)Cho hai đường tròn tiếp xúc trong tại M. Đường tiếp tuyến với đường

tròn bên trong tại P cắt đường trịn bên ngồi tại Q và R.Chứng minh : QMP = RMP

Giải

Dễ có OP // OH

mà OP ⊥ QR ⇒ OH ⊥ QR

⇒ H lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung QR

⇒ ∠QMP = ∠PMR

Bài 6 : (BMO 2000)Hai đ ường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại M, N.Vẽ tiếp tuyến chung PQ 
(gần N hơn )của hai đường tròn.

(

P (O);Q (O') PN cắt đường tròn (O’) tại R.Chứng ∈ ∈

)

minh:

a) MQ là phân giác PMR.

b) Diện tích hai tam giác MNP và MNQ bằng nhau.
c) OMO' = 2PMQ 

Gi¶i

a) ∠MQP = ∠MNR=∠NPM+∠NMP
=∠NPM+∠NPQ=∠MPQ

L¹i cã: ∠MQP = ∠MRQ (= 1/2 sđ cung MQ)

PMQ = QMR

MQ là phân gíac cña ∠PMR
b)PI2 = QI2 = IM.IN ⇒PI=QI

⇒ SMPN = SMNQ

c) N, H, K,thẳng hàng MHN MPN

MKN NRM

OMO=PMR=2PMQ

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

O
E

B A

S
R P

H K

L
Q

N
C

Gi¶i

vÏ tiÕp tuyÕn RPS ⇒ RS // MN ⇒ ∠SOK = 900

Ta cã : ∠PSO = ∠QOK ( cïng phô ∠POS)

⇒ ∆ OSP ~ ∆ KOQ ⇒ PS OP PS R

OQ = KQ⇒ R = KQ (1) Tương tự:

PR R

R = HQ (2)
lÊy (1) : (2) ta cã: PS HQ PS HQ

PR= KQ⇒ PR+PS = KQ+HQ⇒

PS HQ PS RS
RS = HK ⇒ HQ = HK
L¹i cã: RP AP PS; AP

HL= AL LK = AL

⇒ RP PS PS RP PS

HL LK LK HL LK
+

= ⇒ =

+ (TÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau)

⇒ PS RS

LK = HK ⇒

PS PS

LK = HQ ⇒ LK = HQ
HQ = LK ⇒ MH = LK

Vµ HL = QK = KN

⇒ LM = LN

Gi¶i

 AC=AD ⇒ ∠AED =∠ABC = ∠OCB
Hay ∠MEN = ∠MCN

⇒ Tø giác ENMC nội tiếp

ENC = EMC

mà: ∠ECN = ∠EAB ⇒ MN = AB

⇒ CM CN

CO = CB ⇒ CN.CO = CM.C

Bài 9 : (BMO 1999)Cho đường trịn đường kính AB. Điểm C cố định trên AB. Điểm P bất 
kỳ trên đường tròn.Chứng minh :

tgAPC
tgPAC

khụng i.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

O
P

B
A

x
O'

R
Q

O
I

C
B

x
O'

Q
O

C
B

Y
X

R
Q

A
Giải

PC cắt đường tròn tâm O tại D

APC = ABD

⇒ tan  tan 

. .

tan tan

g APC g ABD AD AP AP AD
BD BP BD BP
g PAC = g PAB = =

= AC DC. AC

DC BC = BC không đổi

tr òn (O) tại C.Chứng minh PAR = ABC 

Gi¶i 
BC cắt đường tròn tâm O tại I

Ta có: APR = ∠RBx (1)
∠API = ∠ABI (2)
∠ARP = ∠CBR (3)

Céng (1) (2) (3) ta cã: ∠APR +∠ARP = 1800

⇒ PI // AR ⇒  AI =PR⇒ ∠PAR = ∠ABC

tròn (O’) tại P và CB cắt đường tròn (O’) tại Q. Chứng minh: CO vng góc PQ.
Giải

Kẻ tiếp tuyến Cx ta có
BCx = BAC

Mà tứ giác ABQP nội tiếp

BAC = PQC ⇒ ∠PQC = ∠BCx

⇒ PQ // Cx

L¹i cã Cx ⊥ OC ⇒ OC ⊥ PQ

Bài 12 : (BMO 2001)Cho hai đường tròn tiếp xúc trong tại A. Từ điểm P của đường tròn 
lớn, vẽ các tiếp tuy ến PX và PY với đường tròn nhỏ , PX v à PY cắt đường tròn lớn tại
các điểm Q và R. Chứng minh QAR = 2XAY . 

Gi¶I

Theo bµi 5 ta cã:

∠AQX = ∠XAP ; ∠PAY = ∠YAR

⇒ ∠QAR = 2. ∠XAY

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

P
E

C
B

a b

D
F

C
Bài 13 : (BMO 2004)Cho tam gi ác đều ABC và điểm D trên cạnh BC. Một đường 
tròn tiếp xúc với BC tại D, cắt cạnh AB tại M, N và cắt cạnh AC tại P, Q.

Chứng minh: BD+AM+AN=CD+ AP + AQ.

Gi¶i

AM.AN = AP.AQ

⇔ (a – BM)(a – BN) = (a – CP)(a – CQ)

⇔ a2 – a(BM + BN) + BM.BN = a2 – a(CP + CQ)+ CP.CQ

⇔ -a(BM + BN – CP – CQ) = (CD – BD)(CD +BD)

⇔ -a(BM + BN – CP – CQ) = a (CD – BD)

⇔ CD – CP – CQ = BD – BM – BN

⇔CD – (a – AP) – (a – AQ) = BD – (a – AM)- (a- AN)

⇔ CD + AP + AQ = BD + AM + AN

Gi¶i

áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng ta có:
CQ2 = CE . CA

CP2 = CD.CB

Mặt khác tứ giác nội tiếp

CE . CA = CD . CB

⇒ CQ2 = CP2 ⇒ CQ = CP

Gi¶i

Từ E kẻ tia song song với BC cắt CG t¹i F’

⇒ ∠F’ED = ∠CBA (góc có cạnh tương ứng //)
Lại có : ∠CBA = ∠DGF’ (Cùng bù với ∠CBD)

⇒ ∠F’GD = ∠F’ED

⇒ Tø giácFGED nội tiếp

EGx = FDE

Mà EGx = ∠CAE (Cïng bï víi ∠CGE)

⇒ ∠F’DE = ∠CAE ⇒ DF’ // AC

⇒ F’ trïng F ⇒ C,F ,G thẳng hàng

Bi 16 :(BMO 2005) Cho tam giỏc ABC có số đo góc A bằng 1200 .AD, BE, CF
là ba đường phân giác trong của tam giác ABC. Chứng minh đường tròn ng kớnh EF i

qua D.

Giải

Từ B kẻ đường thẳng // AC cắt AD tại I

ABI đều có cạnh là a
Đặt AC = b

Q
N

D
O

C
B

A B D E

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

D
I

F E

C
B

F E

C
B

H
P

C
B

;

AD DI DI BD a DI DI
AC = BI = a BC =a b+ = AI = a

⇒ FA
EB

AD BD
AC = BC

AD AC
BD BC

⇒ = = FA

FB ⇒ DF là phân giác của ∠ ADB
Tương tự DE là phân giác của ∠ADC ⇒ ∠EDF = 900

Bài 17 : (BMO1995)Tam giác ABC với ba trung điểm D, E, F của 3 cạnh BC , AC , AB 
.Chứng minh: DAC = ABE nếu và chỉ nếu   AFC = ADB

Gi¶i

∠AFC = ∠ADB ⇒ tø gi¸c BFID néi tiÕp

⇒ ∠ABE = ∠ADF

L¹i cã : FD // AC ⇒ ∠FDA = ∠DAC (so le)

⇒ ∠DAC = ∠ABE

Bài 18 :(BMO1997)Cho tam giác ABC. Đường cao CF và trung tuyến BE. Nếu 
BE = CF và EBC = FCE , Chứng minh tam giác ABC đều. 

Gi¶i

E là trung điểm của AC

FE = EC ⇒ ∠EFC = ∠ECF = ∠EBC

⇒ Tø gi¸c EFBC néi tiÕp

⇒ BE ⊥ AC ⇒∆ ABC c©n t¹i B

Mặt khác BE = CF ⇒ AB = AC ⇒∆ ABC đều

Giải

D là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác AEF

DF là phân gi¸c cđa ∠EFC

⇒ ∠EDF = 1800

- ∠DEF - ∠DFE
= 3600 

BEF CFE

− − =   0 

2 2

B C+ = −A

= 900 - ∠DAC 
L¹i cã: ∠CDF = 900 - ∠EDF ⇒ ∠FDC = ∠DAC

Bài 20: (BMO 2001) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) . DA và CB cắt nhau tại 
P.Gọi Q là giao điểm của hai đường chéo AC và BD .Cho biết : CD = CP = CQ, Chứng
minh : CAD = 60 . 0

Gi¶i

Ta cã : ∠CPD = ∠CDP = ∠CBA

⇒∆ BAP c©n tại A AB = AP

Mặt khác : CDQ = ∠CQD ; ∠CDQ = CAB ;
CQD = BQA

ABQ cân tại B AB = BQ AP = BQ (1)
AC cắt đường tròn tâm C tại H

Ta có tứ giác ABCD néi tiÕp ⇒ ∠CAP = ∠CBQ (2)
∠BQC = ∠APH (3) (cïng bï víi ∠DQH)

Tõ (1);(2);(3) ⇒∆PAH = ∆QBC (g.c.g)

⇒ PH = QC ⇒∆ PHC đều

F
E

C
B

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

F
E

C
B

D
O

C
B
A

H
P

w
X

B
A

⇒ ∠CHP = 600⇒ ∠ABD = 600

Gi¶i

Tø giác AEDF nội tiếp

EF = AD. sinA

Mặt kh¸c ∆ ABD ~ ∆ ACK

⇒ AD AC

AB = AK ⇔

.
2

AC AB
AD

R
=

⇒ . .sin (2 .sin ).(2 sin ).sin

2 2

AB AC A R C R B A
FE

R R

= =

= 2R.sinA.sinB.sinC

Bài 22: (BMO 2005) Cho tứ giác nội tiếp ABCD với AC là phân giác góc A. Lấy điểm E 
trên AD.Chứng minh : CE = CA nếu và chỉ nếu DE = AB.

Gi¶i

AB = DE (gt)

DC = CB (C là điểm chính giữa cña cung DB)
∠CDE = ∠ABC (Cïng bï ∠ADC)

⇒∆ ABC = EDC (c.g.c)

⇒ AC = CE

Gi¶i: Ta cã OI ⊥ AC ; CH cắt AB tại E

AE = 1

2AC = AI

∠BAO = ∠CAH ⇒ ∠EAH = ∠OAI

⇒∆ AEH ~ ∆ AIO

⇒ AH = AO ⇒ ∠AOH = ∠AHO

⇒ ∠AOP = ∠AHQ ⇒∆AOP = ∆ AHQ ( C.G.C)

⇒ PO = HQ

Bài 24: (BMO 2008) Tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp trong vòng tròn. Lấy điểm Q 
trên cung BC có chứa điểm A. Kẻ đường kính QP.Từ Q, hạ các đường thẳng góc xuống
AC và AB, theo thứ tự tại các điểm V và W. Chứng minh hai tam giác PBC và AWV
đồng dạng.

Gi¶i: ∠XAC = ∠CPB ( Cïng bï ∠ CAB) (1)
∠QAW = ∠CPQ

⇒∆QAW ~ ∆ QPC (g.g)

⇒ ∠AQW = ∠CQP

L¹i cã: ∠aqw = ∠ AXW ( Tø gi¸c AXQW néi tiÕp)
∠CQP = ∠ CBP

⇒ ∠CBP = ∠AXW (2)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

C
B

D
I

C
B
A

E
Tõ (1) ; (2) ⇒∆ CBP ~ ∆ WXA (g.g)

Bài 25: Cho tam giác ABC nội tiếp trong vòng tròn. Phân giác của ba góc A,B, C cắt 
đường trịn tại A', B', C'. Đường A'B' cắt BC tại N và đường C'B'cắt AB tại M. Chứng
minh MN đi qua tâm O của đường trịn nội tiếp tam giác ABC

Gi¶i: Ta cã: ∠CC’B’ = ∠ABB’ = 1

2s® 'AB

⇒ Tø gi¸c BONA’ néi tiÕp

⇒ ∠BON = 1800 - ∠BA’N (2)

(1) + (2) ⇒ ∠MOB + ∠BON = 1800

⇒ Ba ®iĨm M, O, N thẳng hàng

Bi 26:Cho tam giỏc ABC vuụng ti A.Trên BC lấy điểm D sao cho BDA = 2.BAD 
Chứng minh : 2 = 1 + 1

AD BD CD

Giải: Kẻ CBX = CAD cắt AD tại H

Tứ giác ABHCnội tiÕp

⇒ AD CD

BD= DH ;

AD BD
DC = DH

⇒ 1 1 BC

AD

BD DC DH

 + =

 

  (1)

Gäi I lµ trung ®iĨm cđa BC

⇒ ∠HIC = 2. ∠DBH = 2. DAC

Mặt khác IDH = ADC = 1800 - ∠ADB = 1800 – 2. ∠BAD = 2. ∠DAC

⇒ ∠HID = ∠HDI ⇒ HI = HD ⇒ HD = 1

2BC (2) từ (1) Và (2) đpcm

Bi 27: Cho hình bình hành ABCD.Lấy điểm E sao cho AE thẳng góc AB và EC thẳng 
góc BC. Chứng minh DEA = CEB. 

Gi¶i: ∠BAE = ∠BCE = 900

⇒ Tø gi¸c BAEC néi tiÕp

⇒ ∠BEC = ∠BAC = ∠ACD (1)
DÔ thÊy D là trực tâm của AEC

AED = ∠ACD (2) Tõ (1) ; (2) ⇒ ∠AED = ∠BEC

a)Tứ giác AEBN là tứ giác nội tiếp .
b)EP = EQ

Gi¶i: a) ∠ANB =∠ANM + ∠MNB

= ∠MCA + ∠MDB = ∠BAE + ∠ABE = 1800

⇒ Tø gi¸c ANBE néi tiÕp

b) Ta cã: ∠EAB = ∠BAM ; ∠ABM = ∠ABE

⇒∆MAB = ∆ EAB (g.c.g)

A'
N
M

C
B

M
O

B
A

Q D

I
P

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

N
M

B
A

Q P

M
O

C
B

K
H

M
O

B
A

F E

⇒ AM = AE ; MB = BE

⇒ ME ⊥ AB ME PQ (1)
Mặt khác: MN cắt AB tại I

IA = IB PM = MQ (2)

Tõ (1) vµ (2) PEQ cân tại E PE = QE

Bi 29 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B .Tiếp tuyến tại A của 
đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) tại N . Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O’) cắt
đường tròn (O) tại M .Biết BN cắt đường tròn (O) tại Q , BM cắt đường tròn (O’) tại P
.Chứng minh MP = NQ.

Gi¶i: Ta cã: ∠MAB = ∠ANB ; ∠AMB = ∠BAN

⇒ ∠ABN = ∠ABM ⇒ ∠ABQ = ∠AQP

⇒ ∠AQM = ∠AMQ ⇒ AQ = AM
Tương tự: AP = AN

DÔ cã: ∠AQB = ∠AMB

⇒∆ AQN = ∆ AMN ⇒ QN = MP

Giải: Hạ OH BC Tứ giác OHPQ nội tiếp
Từ C kẻ đường thẳng // NQ cắt AP tại K ; AB tại T

⇒ KHPC néi tiÕp ⇒ ∠khc = ∠cpa = ∠abc

⇒ KH // AB mµ BH = HC ⇒ TK = KC

⇒ NO = MO

⇒ D, N, E thẳng hàng
AND = DMA = 450

lạI Cã : ∠DNF = ∠FME = 450

⇒ DNA = DNF

n, f, a thẳng hàng

Bi 32 : Cho đường trịn (O) có AB là đường kính .C và D là hai điểm trên hai tia đối 
nhau của tiếp tuyến tại B của đường tròn .AC và AD cắt đường tròn tại E và F .CF và
DE cắt đường tròn lần lượt tại G và H .Chứng minh BG = BH .

Giải: Ta có: BH BD BH BD BE.
BE = BE⇒ = DE
Tương tự: BG = CB BF.

FC

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

B
A

D
F

H
E

A'
N

O
B

O'
Q

K
H

N
M

C
B

D
K

H
P
E

C
B

Q
F

BF = . . . .

AB BD CB BF AB BD BC
AD ⇒ FC = AD FC

BE = . . . .

AB BC BD BE AB BC BD
AC ⇒ DE = AC DE
BH = BG <=> AD.FC = AC.DE

Lại có: Tứ giác FECD nội tiếp ⇒∆ AFC ~ ∆AED

⇒ AD.FC = AC.DE ⇒ BH = BG

Gi¶i: Ta cã BQ // AP

=> Tø giác ABQP là hình thang cân
=> BP = AQ (1)

Tương tự : PB’ = A’Q (2)
Từ O hạ HK ⊥ BQ ; và AP
Từ O’ hạ MN ⊥ QB’ và PA’

⇒ HM = KN ⇒ BB’ = AA’ (3)
Tõ (1); (2); (3) ⇒ ®fcm

Bài 34 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn .đường trịn tâm O đường kính AC cắt c¹nh 
AB tại F .đường trịn tâm O’ đường kính AB cắt c¹nh AC tại E .BE cắt (O) tại P và CF
cắt đường tròn (O’) tại Q . Chứng minh AP = AQ .

Giải: Tương tự bài 14

Baøi 35 : P là điểm trên đường cao AD của tam giác ABC. BP, CP cắt AB và AC theo thứ 
tự tại E, F.Chứng minh: AD là phân giác góc EDF.

Gi¶i: Tõ P kẻ đường thẳng // BC ( Hình Vẽ)

MP BD HP; DC PN; BC

PN = DC MP = BC PK = BD

⇒ HP 1

PK = ⇒ HP = PK
Mµ DP ⊥ HK

⇒ DP là phân giác của góc EDF

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

N
M

H
P

Baøi 36: (3 điểm) Cho tam giác PNM. Các đường phân giác trong của các góc M và N cắt 
nhau tại K, các đường phân giác ngoài của các góc M và N cắt nhau tại H.a) Chứng minh
KMHN là tứ giác nội tiếp.

b) Biết bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác KMHN bằng 10cm và đoạn KM bằng 6cm,
hãy tính diện tích tam giác KMH.

Gi¶i: a) Ta cã: KM ⊥ MH ; KN ⊥ NH

⇒ Tø gi¸c MKNH néi tiÕp
b) KH = 20

⇒ 2 2 2 2

20 6 2 91

MH = KH −MK = − =

⇒ . 6 91

KMH

MK MH

s = = (cm2)

</div>


<a href=''></a>