Chuyen de HSGToan cuc tri

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Chuyờn 6:</b>

<b>Giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất</b>

<b>A- Tóm tắt kiến thức cơ bản</b>
<b>I. §Þnh nghÜa:</b>

Cho hàm số y = f(x) xác định với x D.
Nếu có hằng số M sao cho:

<i>f</i>(<i>x</i>)<i> M ,xD</i>
<i>x</i>₀<i>D</i>:<i>f</i>(<i>x</i>₀)=<i>M</i>

{

thì M là giá trị lớn nhất (GTLN) cđa f(x)
KÝ hiƯu: M = max f(x).

NÕu cã h»ng sè m sao cho:

<i>f</i>(<i>x</i>)<i> m,xD</i>

<i>x</i>₀<i>D</i>:<i>f</i>(<i>x</i>₀)=<i>m</i>

{

thì m là giá trị nhỏ nhÊt (GTNN) cđa f(x)
KÝ hiƯu: m = min f(x)

Ghi chú: Tập xác định D là tập các giá trị x sao cho f(x) có nghĩa
<b>II. Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số</b>

1) Dïng tÝnh chÊt |<i>A</i>|<i>≥ A</i> . DÊu “=” x·y ra <i>⇔</i> <i>A ≥</i>0 .
Ta cã:

+ |<i>A</i>| 0. DÊu “=” x·y ra khi A = 0

+ |<i>x</i>+<i>y</i>| |<i>x</i>| + |<i>y</i>| . DÊu “=” x·y ra khi xy 0
+ |<i>x − y</i>| |<i>x</i>| - |<i>y</i>| . DÊu “=” x·y ra khi x = y
2) Giả sử A, B là các hằng số, B > 0 vµ g(x) > 0.

+ Cho f(x) = A + <i>B</i>
<i>g</i>(<i>x</i>)

Khi đó: * f(x) lớn nhất <i>⇔</i> g(x) nhỏ nhất
* f(x) nhỏ nhất <i>⇔</i> g(x) lớn nhất.
+ Cho f(x) = A - <i>B</i>

<i>g</i>(<i>x</i>) .

Khi đó: * f(x) lớn nhất <i>⇔</i> g(x) lớn nhất
* f(x) nhỏ nhất <i>⇔</i> g(x) nhỏ nhất.
3) Phơng pháp luỹ thừa bậc chẵn

Ta có [<i>F</i>(<i>x</i>) ] 2n 0 với mọi giá trị của x thuộc tập xác định D, n N

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) ta biến đổi sao cho:
+ y = M - [<i>g</i>(<i>x</i>) ] 2n , n Z+ <i>⇒</i> y M

Do đó y max = M <i>⇔</i> g(x) = 0

+ y = m + [<i>h</i>(<i>x</i>) ] 2k_{, k} _Z+ <i>_⇒</i> _y _M

Do đó ymin = m <i>⇔</i> h(x) = 0

4) Dựa vào các bất đẳng thức đã biết
+ Luỹ thừa bậc chẳn:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

+ Bất đẳng thức côsi cho hai số khơng âm
Với a,b 0, ta có <i>a</i>+<i>b</i>

2 √ab . DÊu “=” x·y ra <i>⇔</i> a=b

+ Bất đẳng thức Bunhiacốpski

Víi c¸c sè a,b,c,d ta cã: (ac + bd)2 _(a2_{+ b}2_{) (c}2_{+ d}2₎

DÊu “=” x·y ra <i>⇔</i> ad bc = 0
5) Dựa vào tập giá trị cđa hµm sè

Cho hàm số y = f(x) xác định trờn D.

Nếu phơng trình y = f(x) có nghiệm thuéc D <i>⇔</i> a y b thì min f(x) = a và
max f(x) = b

<b>B- bài tập áp dụng</b>

<b>Bài 1:</b> Tìm giá trị nhỏ nhất của c¸c biĨu thøc sau :
a) A = 3,7 + |4,3<i>− x</i>|

b) B = |3<i>x</i>+8,4| - 14,2

c) C = |4<i>x −</i>3| + |5<i>y</i>+7,5| + 17,5

<b>Gi¶i</b>

a) Vì |4,3<i>− x</i>| 0 với <i>∀</i> x, do đó A 3,7 với <i>∀</i> x
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3,7 khi |4,3<i>− x</i>| = 0 hay x = 4,3
b) Vì |3<i>x</i>+8,4| 0 với <i>∀</i> x, do đó B -14,2 với <i>∀</i> x
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -14,2 khi |3<i>x</i>+8,4| = 0 hay x = - 2,8
c) Vì |4<i>x −</i>3| 0 với <i>∀</i> x và |5<i>y</i>+7,5| 0 với <i>∀</i> y

<i>⇒</i> |4<i>x −</i>3| + |5<i>y</i>+7,5| 0 víi <i>∀</i> x, y <i>⇒</i> C 17,5 víi <i>∀</i> x,y
VËy giá trị nhỏ nhất của C là 17,5 khi |4<i>x −</i>3| = 0 vµ |5<i>y</i>+7,5| = 0
hay x= 0,75 và y = -1,5

<b>Bài 2:</b> Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) D = 5,5 - |2<i>x −</i>1,5|

b) E = - |10<i>,</i>2−3<i>x</i>| - 14
c) F = 4 - |5<i>x </i>2| - |3<i>y</i>+12|

<b>Giải</b>

a) Vì |2<i>x </i>1,5| 0 víi <i>∀</i> x nªn D = 5,5 - |2<i>x −</i>1,5| 5,5 víi <i>∀</i> x
VËy gi¸ trị lớn nhất của D là 5,5 khi |2<i>x −</i>1,5| = 0 hay x = 0,75

b) V× |10<i>,</i>2−3<i>x</i>| 0 víi <i>∀</i> x nªn E = - |10<i>,</i>2−3<i>x</i>| 14 = 14

-|10<i>,</i>2−3<i>x</i>| -14

với <i></i> x.

Vậy giá trị lớn nhất của E lµ -14 khi |10<i>,</i>2<i>−</i>3<i>x</i>| = 0 hay x = 3,4
c) Ta cã F = 4 - |5<i>x −</i>2| - |3<i>y</i>+12| = 4 - [ |5<i>x −</i>2| + |3<i>y</i>+12| ]
V× |5<i>x −</i>2| + |3<i>y</i>+12| 0 víi <i>∀</i> x,y nªn F 4 víi <i>∀</i> x,y
Vậy giá trị lớn nhất của F là 4 khi |5<i>x −</i>2| + |3<i>y</i>+12| = 0 <i>⇔</i>

¿

|5<i>x −</i>2|=0
|3<i>y</i>+12|=0

¿{

¿
<i>⇔</i>

¿
<i>x</i>=0,4

<i>y</i>=<i>−</i>4

¿{

¿

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b> Gi¶i</b>

Ta cã

M = |<i>x −</i>2002| + |<i>x −</i>2001| = |<i>x −</i>2002| + |2001<i>− x</i>|
|<i>x −</i>2002+2001− x| =1

(¸p dơng tÝnh chÊt |<i>x</i>+<i>y</i>| |<i>x</i>| + |<i>y</i>| )

VËy giá trị nhỏ nhất của M là 1 khi x – 2002 vµ 2001 – x cïng dÊu nhÜa lµ
2001 x 2002

<b>Bài 4:</b> Tìm giá trị nhá nhÊt cđa c¸c biĨu thøc sau:
a) A= (x-3)2_{+ (y-1)}2_{+ 5}

b) B = |<i>x −</i>3| + x2_{+ y}2_{+ 1}

c) C = |<i>x −</i>100| + (x - y)2₊₁₀₀
<b>Gi¶i</b>

a) Ta cã (x-3)2 _{0 víi} <i>_∀</i> _x

(y-1)2 _{0 víi} <i>_∀</i> _y

<i>⇒</i> (x-3)2_{+ (y-1)}2 _{0 víi} <i>_∀</i> _x,y

<i>⇒</i> A = (x-3)2_{+ (y-1)}2₊₅ _{5 với} <i></i> _x,y

Vậy giá trị nhỏ nhất cđa biĨu thøc A lµ 5 khi

<i>x −</i>3¿2=0

¿
<i>y −</i>1¿2=0

¿
¿{

¿
¿

<i>⇔</i>
¿
<i>x</i>=3

<i>y</i>=1

¿{

¿

b) Ta cã |<i>x −</i>3| 0 víi <i>∀</i> x; x2 _{0 víi} <i>_∀</i> _{x; y}2 _{0 víi} <i>_∀</i> _y

<i>⇒</i> |<i>x −</i>3| + x2_{+ y}2 _{0 víi} <i>_∀</i> _{x, y} <i>_⇒</i> _|<i>_{x −}</i>₃_| _{+ x}2_{+ y}2_{+ 1} _{1 víi}

<i>∀</i> x, y

<i>⇒</i> Biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất là 1 nếu

¿

|<i>x </i>3|=0

<i>x</i>2=0

<i>y</i>2

=0

{ {

<i></i>

<i>x</i>=3

<i>x</i>=0

<i>y</i>=0

{ {

<i></i>

không tồn tại x thoả mÃn.

Vậy biểu thức B không có giá trị nhỏ nhất.

c) Ta có |<i>x −</i>100| 0 víi <i>∀</i> x; (x - y)2 _{0 víi} <i>_∀</i> _{x, y}

<i>⇒</i> |<i>x −</i>100| +(x - y)2 0 víi <i>∀</i> x, y <i>⇒</i> |<i>x −</i>100| +(x - y)2 + 100

100 víi <i>∀</i> x, y

Vậy biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất là 100 khi

|<i>x −</i>100|=0

<i>x − y</i>¿2=0

¿
¿
¿{

¿

<i>⇔</i>

¿
<i>x</i>=100

<i>x</i>=<i>y</i>

¿{

¿
<i>⇔</i> x = y = 100

<b>Bài 5:</b> Tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:
a) A = 100 (y2_{– 25)}4

b) B = - 125 – (x 4)2_{(y - 5)}2
<b>Giải</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Vậy giá trị lớn lớn nhất của biểu thức A là 100 khi (y2_{– 25)}4_{= 0} <i>_⇔</i> _y2_{– 25}

= 0

<i>⇔</i> y = <i>±</i> 5

b) Ta cã B = -125 – {(x - 4)2_{+ (y – 5)}2_}.

V× (x - 4)2 _{0 víi} <i>_∀</i> _{x , (y – 5)}2 _{0 víi} <i>_∀</i> _{y nªn B} _{-125 víi} <i>_∀</i> _x,y

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -125 khi

<i>x −</i>4¿2=0

¿
<i>y −</i>5¿2=0

¿
¿{

¿
¿

<i>⇔</i>
¿
<i>x</i>=4

<i>y</i>=5

¿{

¿

<b>Bµi 6: </b>

a) Tìm các số ngun để biểu thức

A = |<i>x −</i>1| + |<i>x −</i>2| đạt giá trị nhỏ nhất
b) Tìm giá trị của x để biểu thức

B = 10 - 3 |<i>x −</i>5| đạt giá trị lớn nhất
c) Tìm các cặp số nguyên x, y để biểu thức

C = -15 - |2<i>x −</i>4| - |3<i>y</i>+9| đạt giá trị ln nht

<b>Giải</b>

a) Xét các trờng hợp sau:

+ Nếu x < 1 th× A = 1 – x + 2 – x = 3 – 2x. Do x < 1

v× thÕ A = 3 – 2x > 3 – 2 = 1 (*)

+ NÕu 1 x 2 th× A = x – 1 + 2 – x = 1 (**)

+ NÕ x > 2 th× A = x – 1 + x – 2 = 2x – 3 > 4 – 3 = 1 (***)

Từ (*), (**) và (***) suy ra A có giá trị nhỏ nhất là 1 <i></i> 1 x 2
V× x Z nªn x = 1; 2

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi x = 1 hoặc x = 2
b) Giá trị lớn nhất của B là 10 khi v ch khi x = 5

c) Giá trị lín nhÊt cđa C lµ -15 khi vµ chØ khi x = 2; y = -3

<b>Bài 7: </b> Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = 2x2_{+ 2xy + y}2_{– 2x + 2y + 1}
<b>Gi¶i</b>

Ta cã thÓ viÕt A = (x + y + 1)2_{+ (x – 2)}2_{– 4} _{- 4}

<i>⇒</i> A min = - 4 <i>⇔</i>

<i>x</i>+<i>y</i>+1¿2=0

¿
<i>x −</i>2¿2=0

¿
¿{

¿
¿

<i>⇔</i>

<i>x</i>=2

¿
<i>y</i>=<i>−</i>3

¿
¿
¿

<b>Bµi 8:</b> Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
y = 6<i> x</i> + <i>x</i>+2

<b>Giải</b>

Điều kiện: 6 x 0, x + 2 0 <i>⇔</i> -2 x 6
Ta cã y2_{= (}

√6<i>− x</i> + _√<i>x</i>+2 )2 , y > 0

Chän a = 1, c = _√6<i>− x</i> , b = 1 , d = _√<i>x</i>+2

áp dụng bất đẳng thức (ac + bd)2 _(a2_{+ b}2_{) ( c}2_{+ d}2₎

Ta cã y2 _{(1 + 1) ( 6 – x + x + 2) = 2.8 = 16}

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Bµi 8:</b> Cho y = <i>x</i>

2

<i>x</i>4+1 .

Tìm x để y đạt giá trị lớn nhất. Xác định giá trị đó.
<b>Giải</b>

Ta cã a2_{+ b}2 _{2ab nªn suy ra x}4_{+ 1 = (x}2₎2_{+ 1}2 _2x2

<i>⇔</i> 1 2<i>x</i>

2

<i>x</i>4+1 = 2y

XÐt 2<i>x</i>

2

<i>x</i>4

+1 = 1 <i>⇔</i> x

4_{– 2x}2_{+ 1 = 0}

<i>⇔</i> (x2_{- 1)}2_{= 0} <i>_⇔</i> _x2_{= 1} <i>_⇔</i> _{x =} <i>_±</i> ₁

Do đó x = <i>±</i> 1 thì y max = 1

2

<b>Bài 9:</b> Tìm giá trị nhỏ nhất của y = x20_{– 5x}4_{+ 9}

<b>Gi¶i</b>

Ta cã y = (x20_{– x}4_{) – 4(x}4_{– 1) + 5 = x}4_(x16_{– 1) – 4(x}4_{– 1) + 5}

= x4_{(x4₎4_{– 1} – 4(x}4_{– 1) + 5 = (x}4_{– 1)(x}16 _{+ x}12_{+ x}8_{+ x}4_{– 4) + 5}

Víi |<i>x</i>| 1 th× x16 _x12 _x8 _x4 ₁

<i>⇒</i> x4_{– 1} _{0 vµ x}16 _{+ x}12_{+ x}8_{+ x}4_{– 4} ₀ <i>_⇒</i> _y ₅

Víi |<i>x</i>| < 1 th× x16 _{< x}12_{< x}8_{< x}4_{< 1}

<i>⇒</i> x4_{– 1} _{0 nªn x}16 _{+ x}12_{+ x}8_{+ x}4_{– 4 nªn y > 5}

Do đó y min = 1 khi |<i>x</i>| = 1

<b>c. Bài tập về nhà</b>

<b>Bài1:</b> Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
A = |<i>x </i>1|+|<i>x </i>4|

B = |<i>x</i>|+|8<i> x</i>|

<b>Bài 2:</b> Với giá trị nào nguyên của x thì biểu thức D = 14<i>− x</i>

4<i>− x</i> có giá trị lớn nhất?

Tỡm giỏ tr ú?

<b>Bài 3:</b> Tìm giá trị lớn nhất cđa biĨu thøc
A = 5 – 3(2x – 1)2_; _{B =}

<i>x −</i>1¿2+3

2¿

1

¿

; C = <i>x</i>

2

+8

<i>x</i>2+2

<b>Bài 4: </b>Tìm giá trị của n N để phân số 7<i>n−</i>8

2<i>n </i>3 t giỏ tr ln nht

<i><b>Hớng dẫn</b></i>

Bài 1: Tơng tù bµi 4a
Bµi 2: D = 1 + 10

4<i>− x</i> <i>⇒</i> Dmax <i>⇔</i> 4 – x đạt giá trị nguyên nhỏ nhất
Bài 3: max A = 5; max B = 1

</div>

<!--links-->