DE VA DAP AN THI VAO 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Đề thi tuyển sinh p.t.t.h. chuyên
<b>Môn: to¸n </b>

<i>( Học sinh làm bài 180 phút<b>- </b>khơng kể thi gian giao )</i>

<b> </b>
<b>Đ1</b>

<b>Bài 1</b>( 2 điểm):

Cho biểu thức :
A= 2a

2

+4

1<i>a</i>3 <i></i>

1
1+<i>a</i>

1
1<i></i><i>a</i>

a. Rút gọn A

b. Tìm giá trị lớn nhất của A.

<b>Bài 2</b> (2,5 đ ):

Cho phơng trình :

x2_{-2(m+2)x +m+1 = 0 (x là ẩn, m là tham số )}

a. Giải phơng trình khi m= <i>−</i>3
2

b. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
c. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình.Tìm các giá trị của m để :

x1( 1- 2x2)+ x2 (1- 2x1)=m2
<b>Bµi 3</b> (2 ®iĨm)

D©n sè x· X hiƯn nay cã 10000 ngêi . Ngời ta dự đoán sau hai năm dân sè
x· X lµ 10404 ngêi . Hái trung bình hàng năm dân số xà X tăng bao nhiêu phần trăm?

<b>Bài 4</b> ( 3 điểm)

Cho ng trũn (o, r) và hai đờng kính AB, CD vng góc với nhau. E là
điểm bất kỳ trên cung nhỏ BD (E B , E D ). EC cắt AB ở M , EA Cắt CD ở N .

a. Hai tam giác AMC và ANC có quan hệ với nhau thế nào ? Tại sao ?
b. Chứng minh: AM. CN = 2 r2_.

c. Gi¶ sư AM = 3 MB . Tính tỉ số CN
ND .

<b>Bài 5</b> ( 1 điểm )

Tìm tất cả các cặp số (x; y ) thoả mÃn phơng trình sau :

5x - 2 <i>x</i> ( 2+y ) + y2_{+1 = 0}

đáp án .t. tuyn sinh p.t.t.h. chuyờn

<b>Môn: toán </b> <b> H1</b>

<b>Bµi 1:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Biểu thức A xác định với : 0 a 1
0,25 đ

A= 2a

2

+4

(1<i>−</i>√<i>a</i>)(1+_√<i>a</i>)(1+<i>a</i>+<i>a</i>2)

-(1<i>−</i>√<i>a</i>)(1+<i>a</i>+<i>a</i>2)

(1<i>−</i>√<i>a</i>)(1+_√<i>a</i>)(1+<i>a</i>+<i>a</i>2)<i>−</i>

(1+_√<i>a</i>)(1+<i>a</i>+<i>a</i>2)

(1<i>−</i>√<i>a</i>) (1+_√<i>a</i>)(1+<i>a</i>+<i>a</i>2)

A = 2

1+<i>a</i>+<i>a</i>2 0,75 ®

b. BiĨu thøc A có giá trị lớn nhất khi 1+a+a2_{có giá trị nhỏ nhất} _{0,25 đ}

Vì a 0 nên 1+a+a2 ₁ <i></i> _{mẫu của biểu thức A có giá trị nhỏt nhất là 1.}

0,5 đ

Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 0,25 đ

<b>Bài 2</b> : (2,5đ)

a.(0,5đ): Thay m = - 3

2 vào phơng trình ta đợc :
x2_{- 2(-} 3

2 + 2)x +

<i>−</i>3

2 + 1 = 0
<i>⇔</i> 2x2_{+ 2x – 1 = 0}

V× <i>Δ</i>❑ _{= 3 nªn x}

1= <i>−</i>1+√3

2 ; x2=

<i>−</i>1<i>−</i>√3

2

b. (1đ): Phơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi a.c < 0 tức là :

m + 1 < 0 <i>⇒</i> m < -1 0,75 ®

Vậy với m < -1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu. 0,25 đ
c. (1đ) : Tìm giá trị m của phơng trình đã cho để có :

x1 ( 1 – 2x2 ) + x2( 1-2x1 ) = m2

<i>⇔</i> x1 – 2x1x2 + x2 –2x1x2 = m2

<i>⇔</i> ( x1 + x2 ) –4x1x2 = m2 (1) 0,25 đ

Theo Vi et thì x1+ x2 = <i>− b</i>

<i>a</i> =2(m+2)

x1 x2 = <i>c</i>

<i>a</i> = m + 1

nên (1) có dạng :

2(m + 2 ) - 4( m +1 ) =m2 _0,25®

<i>⇔</i> 2m + 4 – 4m - 4 = m2

<i>⇔</i> m2_{+2m =0}

<i>⇔</i> m( m +2 ) =0 <i></i> m =0 hoặc m = - 2
0,25 đ

Vậy với m = 0 hoặc m =- 2 thì <i>Δ</i> > 0 phơng trình đã cho

Cã 2 nghiệm x1 , x2 0,25 đ

<b>Bài 3 </b>(2 ®iÓm)

Gọi tỉ số phần trăm tăng dân số hàng năm của xà X hàng năm là <i>x</i>

100 (x >0)
D©n sè x· X hiƯn nay cã 10 000 ngêi th× sau 1 năm dân số sẽ là:
10 000 + <i>x</i>

100 . 10 000 = 10 000 + 100 x (ngêi)
Sang năm thứ 2 dân số xà X sẽ là :

10 000 + 100 x + <i>x</i>

100 .(10 000 + 100 x ) =10 000 +200 x +x2 (ngêi) 0,5 đ
sau 2 năm dân số xà X là 10 404 ngời nên có phơng trình

10 000 + 200 x + x2_{= 10 404}

<i>⇔</i> x2 _{+ 200 x - 404 = 0} _{0,5 ®}

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Sau khi thử lại có kết quả :

D©n sè x· X hàng năm tăng 2% 0,25đ

<b>Bài 4</b> : (3đ)

-Vẽ hình ghi giả thiết, kết luận

a, Vì AB CD nªn cung AD= cung DB = cungBC = cung AC
Sè ®o NAC= 1₂ sè ®o( cung EB + cung BC)

Sè ®o  AMC=sè ®o (cung EB + cung AC)

<i>⇒</i>  NAC =  AMC 0,25®
Sè ®o  CAN = 1₂ sè ®o cung AD = 1₂ sè ®o cung BC = 1₂ sè ®o cung MAC
0,25®

VËy AMC  <i>Δ</i> ANC vì có hai cặp góc tơng ứng bằng nhau 0,5đ
b, Vì <i>Δ</i> AMC <i>Δ</i> ANC nªn AM_AC =AC

AN <i>⇒</i> AM.CN = AC2
0,5®

Theo ®ing lý PiTa Go trong <i>Δ</i> vu«ng AOC ta cã AC2_=OA2_+OC2

Hay AC2_=2r2 _0,25®

VËy AM. CN = 2r2 _0,25®

c, Ta cã AM+MB = 2r
Mà AM = 3MB

Nên 4MB = 2r <i>⇒</i> MB = 1
2 r
<i>⇒</i> AM = 3

2<i>r</i>
0,25®

CN = 2<i>r</i>2

AM <i>⇒</i> CN =
4

3<i>r</i>
0,25đ

Vì CN +ND = 2r nªn ND = 2r - 4
3<i>r</i> =

2

3<i>r</i>
0,25®

VËy CN

ND=2
0,25đ

<b>Bài 5 :</b>

Phơng trình : 5x -2 _√<i>x</i> (2+ y)+ y2_{+1 =0}

<i>⇔</i> 4x - 4 _√<i>x</i> +1 +y2_-2

√<i>x</i> .y +x = 0
<i>⇔</i> (2 _√<i>x</i> - 1)2_{+ (y}

-√<i>x</i> )2_{=0 (1)}

0,25đ

Vế trái của (1) là tổng của hai biểu thức không âm,
nên mỗi biểu thức phải bằng 0

A

E

B
D

M

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Vây (1) <i>⇔</i>

¿
2√<i>x −</i>1=0

<i>y −</i>√<i>x</i>=0

¿{

¿

<i>⇔</i>
¿
<i>x</i>=1

4

<i>y</i>=1

2
¿{

¿

0,5đ

Vậy cặp số phải tìm là: ( 1
4 ;

1

2 )
0,25đ

Đề thi tuyển sinh p.t.t.h. chuyên

<b>Môn: toán </b>

<i>( Hc sinh làm bài 180 phút<b>- </b>không kể thời gian giao )</i>

<b> </b>
<b>Đ3</b>

<b>Bài I </b>(2điểm)

a) Trong mọi cặp nghiệm của phơng trình :
x2 _{- yx}2_{+2xy – y + 7 = 0}

HÃy tìm cặp nghiệm (x ,y) mà y có giá trị nhỏ nhất.
b)Cho x và y liên hƯ víi nhau bëi hƯ thøc :

x2_{+ 2xy + 7(x + y) + 2y}2_{+ 10 = 0}

HÃy tìm giá trị lớn nhất, nhá nhÊt cđa biĨu thøc S = x + y +1.

<b>Bài II </b>(1,5điểm)Giả sử hệ phơng trình sau cã nghiÖm :
¿

ax+by=<i>c</i>

bx+cy=<i>a</i>

cx+ay=<i>b</i>

¿{ {

¿

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O), có đờng cao AN và CK (N thuộc
BC, K thuộc AB). Đờng tròn qua 3 điểm B,K,N cắt đờng tròn(O) tại điểm thứ hai M. Gọi
P là trung điểm của AC . Chứng minh rằng PM MB.

<b>Bµi IV</b>)(3 ®iĨm)

Cho đờng trịn(O,R) và điểm P cố định nằm trong (O). Qua P vẽ 2 cát tuyến APB
và CPD vng góc với nhau(A,B,C,D thuộc đờng trịn(O)).

a)Chứng minh rằng AC2_+BD2_{khơng đổi. Từ đó suy ra PA}2_+PB2_+PC2_+PD2_{không đổi.}

b)Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng khi hai cát tuyến APB và CPD quay
quanh P và vng góc với nhau thì điểm I ln nằm trên một đờng trịn cố định.

<b>Bµi V)</b> (1,5điểm)Giải phơng trình :

2<i>x</i>2<i></i>₄<i>_x</i>

+11+

3<i>x</i>4<i></i>6<i>x</i>2+28=<i></i>3<i>x</i>2+6<i>x</i>+5

<b>hớng dẫn chấm Đề thi tuyển sinh</b>

<b>vào lớp 10 chuyên </b> <b>Toán </b> H3

<b>Bµi I</b>
<b> </b>a)(1®)

x2 _{- yx}2_{+2xy – y + 7 = 0} _0,25®

<i>⇔</i> (1 –y)x2 _{+ 2xy – y + 7 = 0 (*)}

i) y = 1 <i>⇒</i> x= -3

ii) y 1 Xem (*) là phơng trình ẩn x

+ TÝnh <i>Δ</i> ’ = y2_{–(1-y)(-y+7)} ₀ <i>_⇔</i> _y _{7/8 .}

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất : y = 7/8 0,5đ
+Thay vào (*) tính đợc x = - 7 0,25đ
Kết luận :( x = -7 ; y =7/8) là cặp nghiệm mà y có giá trị nhỏ nhất.

b)(1®)

+HƯ thøc cã thĨ viÕt nh sau : 0,25®
(x2_+y2_{+ 1+2xy +2x +2y) + 5(x+ y+1) + 4 = - y}2

+ Từ đó suy ra : (x2_+y2_{+ 1+2xy +2x +2y) + 5(x+ y+1) + 4} ₀

<i>⇒</i> S2_{+ 5S + 4} _{0 hay – 4} _S _-1

0,5®

+Từ đây : S đạt giá trị nhỏ nhất S = - 4 khi x = - 5 ; y = 0

S đạt giá trị lớn nhất S = - 1 khi x = - 2 ; y = 0 0,25đ
<b>Bài II </b>(1,5đ)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

ax₀+by=<i>c</i>(1)

bx₀+cy₀=<i>a</i>(2)

cx₀+ay₀=<i>b</i>(3)

{ {

Nhân cả hai vế của từng phơng trình với lần lợt c2_{, a}2_{, b}2_{ta cã :}

¿
ac2<i>_x</i>

0+bc
2<i>_y</i>

=<i>c</i>3

ba2<i>_x</i>
0+ca

2 <i>_y</i>
0=<i>a</i>

3

cb2<i>x</i>₀+ab2<i>y</i>₀=<i>b</i>3

¿{ {

0,5đ

Cộng từng vế các phơng trình trên ta có

x0(ac2+a2b+b2c) +y0(bc2+a2c+ab2) = a3+b3+c3 (1)

+Nh©n tõng vÕ cđa (1) ,(2) ,(3) lần lợt với ab ,bc , ac ta có

¿

<i>a</i>2bx₀+ab2 <i>y</i>=abc

<i>b</i>2cx₀+bc2 <i>y</i>=abc

ac2<i>x</i>₀+<i>a</i>2cy₀=abc

¿{ {

¿

0,5®

Céng từng vế 3 phơng trình trên ta có

x0(ac2+a2b+b2c) +y0(bc2+a2c+ab2) = 3abc (2) 0,5®

+Tõ (1) vµ (2) <i>⇒</i> a3_+b3_+c3 _{= 3abc}

<b>Bài III.</b>(2điểm)

<b>Giải</b>

AH BC(H là trực tâm <i>Δ</i> ABC) vµ DC BC nên AH // DC (1)
(0,5đ)

Chứng minh tơng tự :CH //AD (2) (0,25®)

 Tõ (1) và (2) <i></i> tứ giác ADCH là hình bình hành

m P l trung im ca BC nên P cũng là trung điểm của HD. (0,25đ)
* Gọi I là tâm đờng tròn đờng kính BH .Ta có OI là đờng trung bình của tam giác BHD

<i>⇒</i> OI //HD hay OI //HP (0,5®)

 Mặt khác MB là dây cung chung của hai đờng tròn(I) và (O) (0,25đ)
<i>⇒</i> OI MB và do đó HP MB

 Ta cã HP MB và HM MB nên P,H,M thẳng hàng (0,25đ)
<i></i> PM MB

<b>Bµi 4</b>:

<b> A </b>
<b> </b>

<b> </b>
<b> D </b>
<b> </b>

<b> K H P </b>
<b> M </b>

<b> I 0 </b>

<b> C </b>
<b> </b>

<b> B N </b>
<b> </b>
<b> </b>
C

I

A B
H K

O

E

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Gi¶i</b>:

a)(1,5đ)Vẽ đờng kính BE của (O) . <i>∠</i> EAB = 900_{(Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)}
 Chứng minh ACDE là hình thang cân <i>⇒</i> AC = DE.

(0,5®)

 <i>Δ</i> DEB vng tại D, theo định lý Pitago ta có DE2_+BD2 _{= BE}2

Do đó AC2_+BD2_{= 4R}2_{khơng đổi.} _(0,5đ)
 <i>Δ</i> PAC vuông tại P nên PA2_{+ PC}2_{= AC}2_(0,5)

<i></i> PBD vuông tại P nên PB2_{+ PD}2_{= BD}2

Céng tõng vÕ ta cã PA2_{+ PB}2_{+ PC}2_{+ PD}2_{= AC}2_+BD2 _{= 4R}2

b)1,5 ®iĨm

 OI là đờng trung bình của tam giác EBC nên OI = 1/2 EC
PI là trung tuyến của <i>Δ</i> PBC vuông tại P nên PI = 1/2 PBC

<i>Δ</i> CEB vuông tại C nên EC2_{+ BC}2_{= EB}2 _{= 4R}2

Do đó IO2_+IP2_{= 1/4EC}2_{+ 1/4BC}2_{= R}2_(0,25đ)
 Gọi K là trung điểm của PO vẽ IH PO, H PO

các tam giác HPI,HKI,HIO vng tại H
Do đó :

OI2_{= IH}2_{+ OH}2_,IP2_{= IH}2_{+ HP}2_{, IK}2_=IH2_{+ HK}2

<i>⇒</i> OI2_{+ IP}2_{– 2IK}2_=OH2_{+ HP}2_{– 2 HK}2

=
OP

2 <i>−</i>HK¿

2

<i>−</i>2 HK2
OP

2 +HK¿

2

+¿
¿
= OP

2

4 +OP. HK+HK

2

+OP

2

4 <i>−</i>OP. HK+HK

2

<i>−</i>2 HK2
= OP

2

2 (0,5®)

 Tõ OI2_{+ IP}2_{– 2IK}2₌ OP
2

2 vµ OI

2_{+ IP}2_{= R}2

<i>⇒</i> R2 _{- 2IK}2 ₌ OP
2

2 <i>⇒</i> IK

2₌ 1

2(<i>R</i>

2
<i>−</i>OP

2

2 )
<i>⇒</i> IK =

√

1

2(<i>R</i>

2<i>₋</i>OP2

2 ) =

1
2

√

2<i>R</i>

2

<i>−</i>OP2 không đổi
(0,5đ)

<i>⇒</i> K cố định vì P,O cố định nên I thuộc đờng tròn (K , 1
2

√

2<i>R</i>

2

<i>−</i>OP2 )
cố định. (0,25)

<b>Bài V</b> (1,5đ)

Giải phơng trình :

C

I

A B
H K

O

E

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

√

2<i>x</i>2<i>−</i>4<i>x</i>+11+

√

3<i>x</i>4<i>−</i>6<i>x</i>2+28=<i>−</i>3<i>x</i>2+6<i>x</i>+5

_√

₂<i>_x</i>2<i>₋</i>₄<i>_x</i>

+11+

√

3<i>x</i>4<i>−</i>6<i>x</i>2+28

¿

√

2(<i>x</i>2<i>−</i>2<i>x</i>+1)+9+

√

3(<i>x</i>4<i>−</i>2<i>x</i>2+1)+25 0,5®

√9+√25=3+5=8 0,25®

<i>−</i>3<i>x</i>2

+6<i>x</i>+5 = -3(x2 –2x +1) +8 8 0,5đ

Dấu bằng xảy ra khi

<i>x −</i>1¿2=0

¿
<i>x</i>2<i>−</i>1¿2=0

¿

¿{

¿
¿

<i>⇔</i> x =1

0.25 ®

</div>

<!--links-->