Phan tich da thuc Hay tuyet Xem va dong gop y kien Cam on

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>phân tích đa thức thành nhân tử.</b>

<i><b>(Thực hiện trong 6 tiết)</b></i>

<b>A. Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử ?</b>

Phõn tớch a thc thnh nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tớch ca nhng
n thc v a thc khỏc.

<b>Bài toán 1. </b>

Trong các cách biến đổi đa thức sau đây, cách nào là phân tích đa thức thành
nhân tử ?Tại sao những cách biến đổi cịn lại khơng phải là phân tích đa thức thành
nhân tử ?

2x2_{+ 5x – 3 = x(2x + 5) - 3 (1)}
2x2_{+ 5x – 3 = x(2x + 5 -} 3

<i>x</i> ) (2)
2x2_{+ 5x – 3 = 2(x}2₊ 5

2 x -
3

2 ) (3)
2x2_{+ 5x – 3 = (2x - 1)(x - 3) (4)}
2x2_{+ 5x – 3 = 2(x -} 1

2 )(x + 3) (5)

<b>B. Những phơng pháp nào thờng dùng để phân tích đa thức thành nhân tử?</b>

- Phơng pháp đặt nhân tử chung.

- Phơng pháp dùng hằng đẳng thức.
- Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.
Một số phơng phỏp khỏc nh :

- Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Phơng pháp thêm bớt cùng một h¹ng tư.

- Phơng pháp giảm dần luỹ thừa của số hạng có bậc cao nhất.
- Phơng pháp đặt ẩn phụ(đổi biến).

- Phơng pháp hệ số bất định.
- Phơng pháp xét giỏ tr riờng.

- Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức.

Phơng pháp 1: <b>Đặt nhân tử chung</b>

<i><b>Ni dung c bn của phơng pháp đặt nhân tử chung là gì ? Phơng pháp</b></i>

<i><b>này dựa trên tính chất nào của các phép tốn về đa thức? Có thể nêu ra</b></i>
<i><b>một cơng thức đơn giản cho phơng pháp này không ?</b></i>

 Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó biểu
diễn đợc thành một tích của nhân tử chung đó với một đa thức khác.

 Phơng pháp này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với phép
cộng các đa thức.

C«ng thøc : AB + AC + <b>… + AF = A(B + C + + F)</b>

<b>Phơng pháp: Tìm nhân tử chung.</b>
- Lấy ƯCLN của các hệ số.

- Lấy các biến chung có mật trong tất cả các hạng tử.
- Đặt nhân tử chung ra ngoài ngoặc theo công thức
AB + AC + <b>… + AF = A(B + C +… + F)</b>

 <b>Chó ý: </b>

- Phơng pháp này áp dụng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung.

- Nhiu khi mun có nhân tử chung ta phải đổi dấu các số hạng bằng cách đa số
hạng vào trong ngoặc hoặc đa vào trong ngoặc đằng trớc có dấu cộng hoặc trừ.
<b>Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.</b>

a) 3x2 _{+ 12xy.}

b) 5x(y + 1) – 2(y + 1).

c) 14x2_{(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 – 3y).}
<b>Gi¶i</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

b) 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2).
c) 14x2_{(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 – 3y)}
= 14x2_{(3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2)}
= (3y - 2) (14x2_{+ 35x - 28y).}

Phơng pháp 2: <b>Dùng hằng đẳng thức</b>

 <b>Nội dung cơ bản của phơng pháp dùng hằng đẳng thức là gì ?</b>

Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng
đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành một tích các đa thức.

 <b>Phơng pháp dùng hằng đẳng thức:</b>
- Nhận dạng các hằng đẳng thức.

- Kiểm tra xem có phải đúng là hằng đẳng thức không.

 <b>Chú ý: Nhiều khi phải đổi dấu mới áp dụng đợc hằng đẳng thức.</b>
<b>Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. </b>

a) x2_{– 4x + 4. b) 8x}3 _{+ 27y}3_{. c) 9x}2_{– (x - y)}2_.
<b>Gi¶i</b>

a) x2_{– 4x + 4 = (x - 2)}2

b) 8x3 _{+ 27y}3_{= (2x + 3y)(4x}2_{– 6xy + 9y}2₎

c) 9x2_{– (x - y)}2_{= [3x – (x –y)][3x + (x - y)] = (3x –x +y)(3x + x - y)}
= (2x + y)(4x - y).

<b>VÝ dô 2</b>

a, (x – y)3_{+ (y – z)}3_{+ (z – x)}3
HD: nhóm 2 hạng tử đầu a3_{+ b}3

= 3(x – z)(x- y)(z – y)

b, (x2_+y2₎3_{+ (z}2_{- x}2_{) – (y}2_{+ z}2₎3

= 3(x2_{+ y}2_)(y2_{+ z}2_{)(x – z)(x + z)}
c, a3_{+ b}3_{+ c}3_{– 3abc}

= (a + b)3_{+ c}3_{– 3ab(a +b + c)}

= (a + b + c) (a2_{+ b}2_{+ c}2_{– ab – ac – bc)}
d, x3_{+ y}3_{– z}3_{+ 3xyz}

= (x + y)3_{– z}3_{– 3xy( x + y z) = ...}

Phơng pháp 3: <b>Nhóm nhiều hạng tử</b>

<b>Nội dung cơ bản của phơng pháp nhóm nhiều hạng tử là gì ?</b>

Nhúm nhiu hng tử của một đa thức một cách hợp lí để có thể đặt đợc nhân tử
chung hoặc dùng đợc hằng đẳng thức đáng nhớ.

 <b>Chó ý: </b>

- Mét ®a thøc cã thĨ cã nhiỊu c¸ch nhãm

<b> - Sau khi nhóm ta có thể áp dụng phơng pháp đặt nhân tử chung, phơng pháp</b>
dùng hằng đẳng thức để xuất hiện nhân tử chung mới hoặc hằng đẳng thức mới.
<b>Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.</b>

a) x2_{– 2xy + 5x – 10y. b) x(2x – 3y) – 6y}2_{+ 4xy. c) 8x}3_{+ 4x}2_{– y}3_–
y2

<b>Gi¶i</b>

a) x2_{– 2xy + 5x – 10y = ( x}2_{– 2xy) + ( 5x – 10y)}

= x(x – 2 y) + 5 (x – 2y) = (x – 2 y)(x + 5)
b) x(2x – 3y) – 6y2_{+ 4xy = x(2x – 3y) + (4xy - 6y}2

= x(2x – 3y) + 2y(2x - 3y)
= (2x – 3y)(x + 2y)

c) 8x3_{+ 4x}2_{– y}3_{– y}2 _{= (8x}3_{- y}3_{) + (4x}2_{– y}2₎

= (2x -y)( x2_{+ xy + y}2_{) + (2x}_{– y)( 2x +y)}
= (2x -y)( x2_{+ xy + y}2_{+ 2x +y).}

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

 <b>Khi cần phân tích một đa thức thành nhân tử, chỉ đợc dùng riêng rẽ</b>
<b>từng phơng pháp hay có thể dùng phối hợp các phơng pháp đó ?</b>

Có thể dùng phối hợp các phơng pháp đã biết.
<b>Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.</b>

a) a3_{– a}2_{b – ab}2 _{+ b}3_{b) ab}2_c3 _{+ 64ab}2_{c) 27x}3_{y – a}3_b3_y.
<b>Gi¶i</b>

a) a3_{– a}2_{b – ab}2 _{+ b}3_{= a}2_{(a – b) – b}2_{(a - b) = (a - b)(a}2_{- b}2_{) = (a - b)} 2_(a
+ b).

b) ab2_c3 _{+ 64ab}2_{= ab}2_(c3_{+64) = ab}2_(c3_{+ 4}3_{) = ab}2_(c_{+ 4)(c}2_{– 4c + 16).}
c) 27x3_{y – a}3_b3_{y = y(27x}3_{– a}3_b3_{) = y(3 - ab) (9x}2_{3ab + a}2_b2_).

<i><b>Kiến thức Nâng cao.</b></i>

Phơng pháp 5: <b>Phơng pháp tách</b>

Khi phân tích đa thức : ax2_{+ bx + c thành nhân tử}

<b>Cách 1</b>: T¸ch ax2_{+ bx + c = a x}2_{+ b1x + b2x + c}
Víi b = b1+ b2 và b1.b2 = a.c

<b>Cách 2</b>: T¸ch ax2_{+ bx + c = X}2 _{- B}2
<b>VÝ dơ 1: Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử.</b>

a) 2x2_{3x + 1.}
b) 6x2_{+ x – 2}
c) x2_{– 2x - 3}

<i><b>Gi¶i</b></i>

a) 2x2_{– 3x + 1 = 2x}2_{– 2x – x + 1 = 2x(x – 1) – (x – 1)}

= (x – 1)(2x – 1).
b) 6x2_{+ x – 2 = 6x}2_{+ 4x – 3x – 2 = 2x(3x + 2) – (3x + 2)}

= (3x + 2) (2x – 1)
c) x2_{– 2x - 3 = x}2_{+ x – 3x 3 = ....}

<b>Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.</b>

a) x2_{2x 3}

b) x2_{– 10x + 16}

<i><b>Gi¶i</b></i>

a)x2_{– 2x – 3 = x}2_{– 2x + 1 – 4 = (x- 1)}2_{– 2}2_{= (x – 3)(x+1)}

b)x2_{– 10x + 16 = x}2_{– 10x + 25 – 9 = (x – 5)}2_{– 3}2_{= (x 8)(x 2)}

Phơng pháp 6: <b>Phơng pháp thêm bớt</b>

<b>Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tö.</b>
a) y4_{+ 64.}

b) x(y2_{– z}2_{) + y(z}2_{– x}2_{) + z(x}2_{– y}2₎
c) a2_b2_{(b – a) + b}2_c2_{(c – b) – a}2_c2_{( c – a)}

<i><b> Gi¶i</b></i>

a) y4_{+ 64 = y}4_+16y2_{+ 64 - 16y}2 _{= (y}2_{+ 8)} 2 _{- (4y)} 2

_{= (y}2_{+ 8 - 4y)}_(y2_{+ 8} _{+ 4y).}

b) x(y2_{– z}2_{) + y(z}2_{– x}2_{) + z(x}2_{– y}2_{) = x( y}2_{– x}2_{+ x}2_{– z}2_{) + y(z}2_{– x}2_{) + z(x}2
– y2₎

= x( y2_{– x}2_{) + x(x}2_{– z}2_{) - y(x}2_-z2_{) - z( y}2_–
x2₎

= (y2_{- x}2_{) ( x – z) + (x}2_{– z}2_{)(x – y)}
= (y – x)( x – z) (y +x – x – z)

c) a2_b2_{(b – a) + b}2_c2_{(c – b) – a}2_c2_{( c – a)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

=...

= (b – c) (a – c)(b- a) (ab + bc + ca)

Phơng pháp 7: <b>Đặt biến phụ</b>

Trong a thc có biểu thức xuất hiện nhiều lần ta đặt biểu thức đó làm biến
phụ đa về đa thức đơn giản. Sau khi phân tích đa thức này ra nhân tử rồi lại
thay biến cũ vào và tiếp tục phân tích

<b>VÝ dơ 1</b>:

A , (x2_{+ 4x + 8)}2_{+ 3x( x}2_{+ 4x + 8) + 2x}2
B , (x2_{+ 3x + 1)(x}2_{+ 3x – 3) -5}

C , ( x2_{– 2x + 2)}4_{– 20x}2_(x2_{– 2x + 2)}2_{+ 64 x}4
D , (x +1)(x + 3)(x + 5) (x + 7) + 15

E , (x2_{+ x)}2_{+ 4x}2_{+ 4x – 12}
F , (x2 _{+ x)(x}2_{+ x + 1) – 2.}
<i><b>Giải</b></i>

A.Đặt y = x2_{+ 4x + 8 rồi dùng phơng pháp tách phân tích}
KÕt qu¶: A = (x2_{+ 5x + 8) ( x + 2) ( x+ 4)}

B. đặt y = x2_{+ 3x +1}

B = (x +1)(x + 2)(x - 1)(x + 4)

C.Đặt y = x2_{– 2x + 2}

C = (x2_{+ 2)(x}2_{– 4x + 2)(x}2 _{– 6x + 2)(x}2_{+ 2x + 2)}
D = (x2_{+ 8x + 7)( x}2_{+ 8x + 15) + 15}

= (x2_{+ 8x + 10)(x + 2)(x + 6)}
F. (x2 _{+ x)(x}2_{+ x + 1) – 2. (*)}

Đặt(x2 _{+ x) = y Thì (*) trở thành: y(y + 1) – 2 = y}2_{+ y - 1 – 1}
= (y2_{- 1) + (y – 1)}

= (y+ 1)(y – 1) + (y – 1)
= (y – 1)(y+ 2). (**)

Thay trở lại vào (**) ta có : (x2_{+ x - 1) )(x}2_{+ x + 2).}
VËy(x2 _{+ x)(x}2_{+ x + 1) – 2 = (x}2_{+ x - 1) )(x}2_{+ x + 2).}
<b>VÝ dô 2:</b>

a. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) – 24

b. 4(x2_{+ 15x + 50)(x}2_{+ 18x + 72) – 3x}2
c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2_z2

HD:

c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2_z2_{= 4x (x+y+z) (x+y) (x+z)+ y}2_z2

= 4 (x2_+xy+xz)(x2_{+xy +xz +yz)+ y}2_z2
(Đặt t = x2_+xy+xz)

= 4t (t + yz) + y2_z2
= (2t + yz)2

<b>Ví dụ 3: Giải phơng trình</b>

a. (2x2_{+ x)}2_{– 4(2x}2_{+ x) + 3 = 0}
b. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) – 24 = 0

HD: Phân tích vế trái thành nhân tử, ®a Pt vỊ d¹ng PT tÝch

a. _ (t - 1)(t- 3) = 0

*. t = 1  2x2_{+ x = 1}_{(x +1)(2x-1)= 0}
*. t = 3  2x2_{+ x = 3}_{(x -1)(2x+ 3)= 0}

Phơng pháp 8: <b>Phơng pháp xét giá trị riêng</b>
<b>Kiến thức</b>:

1. x = a là nghiệm của đa thức f(x) f(a) = 0
2. x = a là nghiệm của đa thøc f(x) => f (x) (x a) 

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Nếu đa thức bị chia là a0x3_{+ a1x}2_{+ a2x + a3, đa thứ chia là x - a ta đợc thơng}
là b0x2_{+ b1 x + b2. Theo sơ đồ Hoóc - ne ta có:}

a0 a1 a2 a3

a b0 = a0 b1 = ab0 + a1 b2 = ab1 + a2 r = ab2 + a3

 <b>Điều kiện để tam thức bậc hai phân tích đợc thành nhân tử.</b>

Đối với tam thức bậc hai dạng ax2_{+ bx + c, muốn xét xem đa thức này có phân}
tích đợc thành nhân tử hay khơng thờng dùng phơng pháp sau:

- TÝnh  = b2 _{– 4ac.}

- Nếu  0 thì phân tích đợc.

- Nếu  < 0 thì khơng phân tích đợc.

<b>VÝ dô 1</b>: f(x) = x3_–x2_{- 4}

Lần lợt kiểm tra với íc cđa – 4 lµ 1, - 1, 2, - 2, - 4, 4.
f(-1) = (-1)3 _{- (-1)}2 _{- 4 = - 4 => x= -1 không phải là nghiệm.}
f(1) = (1)3_{- (1)}2 _{- 4 = - 4 => x = 1 không phải lµ nghiƯm.}
f(2) = 23 _{- 2}2 _{- 4 = 0.}

f(-2) = -16 => x = - 2 không phải là nghiệm.
f(4) = 44 => x = 4 không phải là nghiÖm.
f(- 4) = - 48 => x = - 4 không phải là nghiệm.

a thc có nghiệm x = 2 do đó đa thức chứa thừa số (x – 2).
Sử dụng lợc đồ Hoor ne ta có: f(x) = (x – 2)(x2_{– x + 2).}

<b>VÝ dô 2</b>:

Ph©n tÝch f(x) = x3_{– 2x – 4}
Gi¶i

Ta cã f(2) = 0 => x = 2 là nghiệm của đa thøc f(x)
=> f (x) (x 2) 

=> f(x) = (x - 2)(x2_{+ 2x + 2)}

<b>VÝ dô 3</b>: g(x) = 4x3_{– 7x}2_{– x – 2}
= (x - 2)(4x2_{+ x +1)}

<b>VÝ dô 4</b> : H(x) = x3_{– x}2_{– 14x + 24}
= (x-2)(x - 3)(x + 4)

<b>VÝ dô 5</b>

P = x2_{(y - z) + y}2_{( z - x) + z}2_{(x - y).}
P = x2_{(y - z) + y}2_{( z - x) + z}2_{(x - y).}

Ta thấy nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì đa thức P khơng thay đổi.
Do đó đa thức P có dạng: P = k(x - y)(y - z)( z - x). (k là hằng số).

=> P = x2_{(y - z) + y}2_{( z - x) + z}2_{(x - y) = k(x - y)(y - z)( z - x). Đúng với mọi x, y, z,}
nên ta cho các biến x, y, z giá trị riêng,

chng hạn x = 2, y = 1, z = 0 (giá trị riêng của các biến x, y, z tuỳ chọn
sao cho (x - y)(y - z)( z - x)  0). Ta đợc: k = -1

VËy P = x2_{(y - z) + y}2_{( z - x) + z}2_{(x - y) = - (x - y)(y - z)( z - x)}
= (y - x)(y - z)( z - x).

<b>VÝ dô 6</b>

A = x(y2_{– z}2_{) + y(z}2_{– x}2_{) + z(x}2_{– y}2₎
<i><b>Gi¶i</b></i>

+.NÕu x = y => A = 0 => A _{(x - y)}

+.Vì vai trò cđa x,y,z nh nhau

nh

©n céng

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

=>A _{(y-z); (z-x)}

=>A _{(x - y)(y-z)(z-x)}

+.Vì có bậc cao nhất là 3 còn bậc của (x - y)(y-z)(z-x) là 3
=> A = k (x - y)(y-z)(z-x) đúng với mọi x, y, z
Cho x = 0; y = 1; z = 2 thay vào => k = 1

VËy A = (x - y)(y-z)(z-x)

<b>VÝ dô 7</b>

P = ab(a - b) + bc(b-c) + ca(c - a)

HD: làm tơng tự nh VD6, thay a = 2; b = 1; c = o tìm đợc k = -1

Phơng pháp 9: <b>Phơng pháp hệ số bất định</b>

<b>VÝ dơ 1</b>: Ph©n tÝch : x3_{– 15x 18 thành đa thức bậc nhất và bậc hai}
<i><b>Gi¶i</b></i>

Giả sử đa thức trên đợc phân tích thì
x3_{– 15x – 18 = (x+ a)(x}2_{+ bx + c)}

 x3_{– 15x – 18 = x}3_{+ (a+b)x}2_{+ (ab+ c)x + ac}

Đồng nhất 2 đa thức ở 2 vế ta đợc:

a b 0(1)
ab c 15(2)
ac 18(3)

 




 


 _


Tõ (3)chän a = 3; thì c = -6; b = -3 thoả mÃn (2)
VËy: x3_{– 15x – 18 = (x + 3) (x}2_{– 3x – 6)}

<b>VÝ dô 2</b>

<b> Phân tích :</b> x3_{19x - 30 thành ®a thøc bËc nhÊt vµ bËc hai}
Gi¶i

Giả sử đa thức trên đợc phân tích thì
x3_{– 19x - 30 = (x + a) (x}2_{+ bx + c)}

 x3_{– 19x - 30 = x}3_{+ (a + b)x}2_{+ (ab+ c)x + ac}

Đồng nhất 2 đa thức ta cã

a b 0(1)
ab c 19(2)
ac 30(3)

 




 


 _


Tõ (3) chän a = 2 th× c =- 15; b = -2 tho¶ m·n (2)
VËy x3_{– 19x - 30 = (x +2)(x}2_{– 2x - 15)}

<b>VÝ dô 3</b>

x4_{– 6x}3 _{+ 12x}2_{– 14x + 3.}
<i><b>Gi¶i</b></i>

Ta thÊy x 1; 3 không là nghiệm của đa thức

đa thức không có nghiệm nguyên, không có nghiệm hữu tỉ,

nên đa thức có dạng

Để phân tích đa thức này thành thừa số thì phải có d¹ng:

(x2_{+ ax + b)(x}2_{+ cx + d) = x}4_+(a+c)x3 _{+ (ac + b +d)x}2_{+(ad + bc)x + bd.}
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta đợc hệ điều kiện:

{

ac+<i>ab</i>++<i>cd</i>==612

ad+bc=<i>−</i>14

bd=3



¿
¿ ¿

<i>a</i>+<i>c</i>=<i>−</i>6

ac=8

<i>a</i>+3<i>c</i>=<i>−</i>14

¿
¿



{

<i>a</i>=<i>−</i>2

<i>b</i>=3

<i>c</i>=<i>−</i>4

<i>d</i>=1

VËy ®a thøc x4_{– 6x}3 _{+ 12x}2_{– 14x + 3 = (x}2_{- 4x + 1)(x}2_{- 2x + 3).}

<i><b>C¸ch 2</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

= x4_{– 4x}3 _{– 2x}3 _{+ x}2_{+ 8x}2_{+ 3x}2_{– 2x - 12x + 3}
= x2_(x2_{- 4x + 1) - 2x(x}2_{- 4x + 1) + 3(x}2_{- 4x + 1)}
= (x2_{- 4x + 1)(x}2_{- 2x + 3).}

<b>VÝ dô 4</b>

a. x3_{+ 4x}2_{+ 5x +2}

b. 2x4_{– 3x}3_{– 7x}2_{+ 6x + 8}

<i><b>Gi¶i</b></i>

a.ta cã x = - 1; x = -2 là nghiệm của đa thức
=> x3_{+ 4x}2_{+ 5x +2}__(x+1);(x+2)

=> x3_{+ 4x}2_{+ 5x +2 = (x+1)(x+2)(x+b)}

... b = 1

b.Ta cã x = 2; x = -1 là nghiệ của đa thức
=> 2x4_{– 3x}3_{– 7x}2_{+ 6x + 8}__(x+1);(x-2)

=> 2x4_{– 3x}3_{– 7x}2_{+ 6x + 8= (x+1)(x-2)(2x}2_{+ a x+ b)}
Đồng nhất 2 đa thức ta có a = -1; b =- 4

Phơng pháp 10: <b>Phơng pháp hạ bậc</b>
<b>Ví dụ 1:</b>

a) a5_{+ a +1.}
<b>Gi¶i</b>

a) a5_{+ a +1= a}5_{+ a}4_{– a}4_{+ a}3_{– a}3_{+ a}2_{– a}2_{+ a + 1}
= (a5_{+ a}4_{+ a}3_{) – ( a}4_+a3_{+ a}2_{) + ( a}2_{+ a + 1)}
= a3_{( a}2_{+ a + 1) – a}2_{( a}2_{+ a + 1) + ( a}2_{+ a + 1)}
= ( a2_{+ a + 1) (a}3_{– a}2_{+ 1).}
<b>C. </b>ứng dụng

Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích cho việc giải các bài toán
về tìm nghiệm của đa thức, chia ®a thøc, rót gän ®a thøc.

I. T×m x

<b>VÝ dơ 1. Giải các phơng trình sau:</b>

a) 2(x + 3) x(x + 3) = 0 b) x3_{+ 27 + (x + 3)(x – 9) = 0}
c) x2_{+ 5x = 6.}

<b>Gi¶i</b>
a) 2(x + 3) – x(x + 3) = 0  (x + 3)(2 – x) = 0


<i>x</i>+3=0

2<i>− x</i>=0

¿



<i>x</i>=<i>−</i>3

<i>x</i>=2

¿

S ={-3; 2}.

b) x3_{+ 27 + (x + 3)(x – 9) = 0}_{(x + 3)(x}2_{- 3x + 9) + (x + 3)(x – 9) = 0}
 (x + 3)(x2_{- 3x + 9) + (x + 3)(x – 9) = 0}
 (x + 3)(x2_{- 3x + 9 + x – 9) = 0}

 (x + 3)(x2_{- 2x) = 0}
 x(x + 3)(x - 2) = 0



<i>x</i>=0

<i>x</i>+3=0

<i>x −</i>2=0

¿
¿
¿



<i>x</i>=0

<i>x</i>=<i>−</i>3

<i>x</i>=2

¿
¿
¿

S ={-3; 0; 2}.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

 x (x - 1) + 6(x – 1) = 0
 (x + 6)( x – 1) = 0 

<i>x</i>+6=0

<i>x −</i>1=0

¿



<i>x</i>=<i>−</i>6

<i>x</i>=1

¿

S = {-6; 1}.
<b>VÝ dô 2. Giải các phơng trình sau</b>

a. (x2_{+ 2x)}2_x2_{– 2x – 2 = 0}

b. x4_{– x}3_{– x}2_{– x – 2 = 0 [ (x+1)(x-2)(x}2_{+1)= 0]}

c. x3_{– 2x}2_{– 9x +18 = 0 [(x-3)(x+3)(x-2) = 0 ]}
<b>VÝ dụ 3. Tìm các cặp số (x; y) thoả mÃn</b>

a. x2_{+ y}2_{= 0}

b. (x-1)2_{+ (y+2)}2_{= 0}

c. 4x2_{+ y}2_{– 2(2x+y – 1) = 0}

d. x2_{+ 2y}2_{+ 2y(1-x) = -1}

e. 2x2_{(1 - y) + y(y + xy -2x) = 0}
HD:

Đa về dạng A2_{+ B}2_{= 0}

A 0
B 0


 



e.(x -y)2_{+ x}2_{(y +1)}2_{= 0}

2

x y 0

x 0

 


 



 _hc

x y 0
y 1 0

 




 


<b>VÝ dơ 4. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình</b>
a.x+ xy + y + 2 = 0

b. x + y = xy
c. x2_{+ 21 = y}2

HD: Biến đổi về dạng X.Y = a (const)
=> X, Y _(a)

<b>Ví dụ 5. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình</b>
a. x2_{+ 21 = y}2

b.(x + 1)y – 2x = 8

HD: a.  (y- x)(y+ x) = 21 > 0

 y +x > y – x > 0



y x 7

y x 3

 




 

 _hc

y x 21
y x 1

II.Tính giá trị biểu thức

<i><b>Phơng ph¸p</b></i> : Thu gän biĨu thøc

Tìm giá trị của biến thay vào
<b>Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức</b>

A = (x2_{+ 2)}2_{– (x+ 2)(x - 2)(x}2_{+ 4) víi x = -1/2}
+. Rót gän A = 4x2_{+ 20}

+.Thay A = 21

<b>Ví dụ 2. Tính giá trị biểu thức.</b>

a) A = 9x2_{+42x + 49 víi x = 1} _{A = (3x + 7)}2_{= 100}

b) B =

2 1 2

5x - 2xy + y

25 _{víi x=}
1
5


: y = - 5 B =

2
1
5
5
<b>x</b> <b>y</b>
 

 

  _{= 0}

c) C =

3 2 2 3

x x y xy y

+ + +

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

e) E = x - 9x + 27x - 273 2 víi x = 13 E =

g) G =







 











3 ₃

x -1 - 4x x -1 x +1 + 3 x -1 x + x +1

víi x = - 2

G = -3x + 7x - 42

h) H =



 





 



2 2

x -1 x - 2 x + x +1 4 + 2x + x

víi x = 1

H =



 



3 3

x -1 x - 8

= 0
<b>VÝ dô 3 : Cho x – y = 7 . TÝnh</b>

A = x(x + 2) + y(y - 2)- 2xy + 37

B = x2_{(x + 1) – y}2_{(y - 1) + xy – 3xy(x –y + 1) – 95}
( = (x-y)3_{+ (x -y)}2_{- 95 = 297 )}

<b>VÝ dô 4: </b>

a) Cho x + y = 7, tính giá trị của biểu thức.

M = (x + y)3_{+ 2x}2_{+ 4xy + 2y}2_{M = (x + y)}3_{+ 2(x + y)}2_{= 441.}
b) Cho x - y = - 5, tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc.

N = (x - y)3_{- x}2_{+ 2xy - y}2 _{N = (x - y)}3_{- (x - y)}2_{= - 150}
<b>VÝ dô 5</b>

Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến.
a) P = (x + 2)3_{+ (x - 2)}3_{- 2x(x + 12)} _{P = 0}

b) Q = (x - 1)3_{- (x + 1)}3_{+ 6x(x + 1)(x - 1)} _{Q = - 8}
c) A = y(x2_{- y}2_)(x2_{+ y}2_{) - y(x}4_{- y}4₎ _{A = 0}

d) B = (x - 1)3_{- (x - 1)(x}2_{+x + 1) - 3(1 - x)x} _{B = 2}

e) M =

2 3

1 2 1 1

+ 2x 4x - x 8x

3 3 9 27

     

  

     

      _{M =}

2
27
<b>D. Bài tập áp dụng</b>

Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) (3x 1)2 _{- (5x + 3)}2
b) (2x + y - 4z)2 _{- (x + y - z)}2
c) ( x2 _{+ xy)}2_{- (x}2_{– xy - 2y}2₎2
d) x4 _{- x}2_-2x-1

Bµi 2. TÝnh giá trị biểu thức sau: a) A = 2x2_{+ 4x + xy + 2y. víi x=88 vµ y=-76}

b) B = x2_{+ xy – 7 x - 7y. víi x=} ₇3

4 và y=
22

5

Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x2_{- (a + b)xy + aby}2
b) ab(x2_{+ y}2_{) + xy(a}2_{+ b}2₎

c) (xy + ab)2_{+ (ay - bx)}2
d) a2_{(b - c) + b}2_{(c - a) + c}2_{(a - b)}

Bài 4. Phân tích đa thức thành nh©n tư.

a) - 6x2 _{- 5y + 3xy + 10x b) x}2_{+ y}2_{- 2xy – x + y}
c) (x - z)2 _{- y}2_{+ 2y – 1 d) x}3_{+ y}3_{+ 3y}2_{+ 3y + 1}
Bài 5. Tính giá trị biểu thức sau:

A = x2 _{- 5x – 2xy + 5x + y}2_{+ 4, biÕt x – y = 1}

B = x2_{(x + 1) - y}2_{(y - 1) + xy - 3xy(x – y + 1), biết x y = 7.}
Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) (1 + x2₎2 _{- 4x(1 – x + x}2_{) b) x}2 _{- y}2_{- 2yz - z}2

c) 3a2 _{- 6ab + 3b}2_{- 12c}2_{d) x}2 _{- 2xy + y}2 _{- m}2 _{+ 2mn - n}2
Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tö.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

c) x4 _{+ 2x}3 _{+ 2x}2 _{+ 2x + 1 d) x}3 _{+ 4x}2 _{+ 5x + 2}

Bài 8. Tính giá trị biÓu thøc sau:

a) A = x2_{- 5x - 2xy + 5y + y}2 _{+ 4, biÕt x - y=1}

b) B = x2_{(x +1) - y}2_{(y - 1) + xy - 3xy(x – y +1), biÕt x - y=7}
Bµi 9. Cho x = y = z = 0. Chøng minh r»ng x3_{+ x}2_{y - y}2_{x – xyz + y}3 _{= 0}

Bµi 10. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ba c¹nh cđa mét tam giác thì.
2a2_b2 _{+ 2b}2_c2 _{+ 2c}2_a2 _{- a}4 _{- b}4 _{- c}4 _{> 0.}

Bµi 11. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 2x4 _{- 3x}3 _{- 7x}2 _{+ 6x + 8}
b) 5x4 _{+ 9x}3 _{- 2x}2 _{- 4x - 8}
Bµi 12. Tìm các hệ số a,b,c,d sao cho đa thức:

f(x) = x4 _{+ ax}3 _{+ bx}2 _{- 8x + 4 là bình phơng đúng của}
đa thức g(x) = x2 _{+ cx + d}

Bài 13. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) (x2 _{- 8)}2 _{+ 36.}

b) 81x4 _{+ 4. c) x}5 _{+ x + 1}
Bµi 14. Phân tích đa thức thành nhân tử.

A = (x2 _{+ 2x)}2 _{+ 9x}2 _{+18 + 20}
B = x2 _{- 4xy + 4y}2 _{- 2x + 4y – 35}
C = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16
D = (x2 _{+ 4x + 8)}2 _{+ 3x( x}2 _{+ 4x + 8) + 2x}2
Bài 15. Phân tích đa thức thành nh©n tư.

a) (x2 _{+ x +1)(x}2 _{+ x + 2) - 12}
b) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24

Bài 16. Tìm giá trị của x để phân thức sau bằng 0.

a) 3<i>x</i>

2

+5<i>x −</i>2

3<i>x</i>2<i>₋</i>₇<i>_x</i>

+2 b)

<i>x</i>2<i>−</i>7<i>x</i>+12¿2
¿

<i>x −</i>3¿2

<i>x −</i>4¿4<i>−</i>¿
¿
¿
¿

Bµi 17. Cho biĨu thøc: A=

[

<i>x</i>2

+ 4<i>x</i>

2

<i>x</i>2<i>−</i>4

]

.

[

<i>x</i>+2

2<i>x −</i>4+

2<i>−</i>3<i>x</i>
<i>x</i>3<i>−</i>4<i>x</i>.

<i>x</i>2<i>₋</i>₄

<i>x −</i>2

]

a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức đợc xác định.
b) Tính giá trị của A biết |2<i>x −</i>1|=3

Bài 18 a) Tìm x để 2<i>x</i>

2

+10<i>x</i>+12

<i>x</i>3<i>−</i>4<i>x</i> =0 .

b) Tìm các s nguyờn x <i>x</i>

4

<i></i>16
<i>x</i>4<i></i>₄<i>_x</i>3

+8<i>x</i>2<i></i>16<i>x</i>+16 có giá trị nguyên.

Bài 19. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x2_{+ 25 +10x - y}2_{- 2y – 1}
b) x2 _{+ 4y}2 _{- 4xy - z}2_{+ 6z - 9}

</div>

<!--links-->