Tài liệu BOI DUONG HSG TOAN 7

Sưu tầm và biên soạn nội dung : Trần Văn Quang _ DĐ : 0914.866.590
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ 7
Tác giả : Trần Văn Quang
-------***-------
CHUYÊN ĐỀ 1. CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q.
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. HS cần nắm vững những kiến thức sau trước khi nghiên cứu nội dung chuyên đề :
+Các phép toán : cộng ;trừ ;nhân ;chia ;luỹ thừa trong Q;
+Quy tắc dấu ngoặc;
+Quy tắc chuyển vế;
+Tính chất các phép toán : giao hoán; kết hợp; phân phối của phép nhân đối với phép
cộng …
2. Từ các tính chất của phép toán ta chứng suy ra được các “Công thức ” sau :
a) a
2
+ 2a.b + b
2
= (a + b)
2
;
b) a
2
- 2a.b + b
2
= (a - b)
2
;
c) (a - b).(a + b) = a
2
- b
2

.
Thật vậy :
a) a
2
+ 2ab + b
2
= (a.a + a.b) + (a.b + b.b)
= a.(a + b) + b.(a + b) ( T/C phân phối của phép nhân với phép cộng)
= (a + b)(a + b) ( T/C phân phối của phép nhân với phép cộng)
= (a + b)
2
.
* Các Công thức b)c) HS tự chứng minh. Ta gọi các công thức trên là các hằng đẳng thức
đáng nhớ.
II. DẠNG TOÁN :
Dạng 1. Các phép toán :
+ Khi cộng hay trừ một phân số bước đầu tiên phải đưa được các phân số về cùng mẫu số
bằng cách : quy đồng ( mà thực chất chính là nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với một
giá trị thích hợp ) hoặc rút gọn phân số , đây là bước quan trọng và đòi hỏi tư duy cao nhất.
Qua một số bài tập sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ năng giải quyết vấn đề này bằng những
cách làm “đặc biệt “.
Câu 1. Cho các số x,y,z,t thoả mãn điều kiện : xyzt = 1
Tính tổng :
1 1 1 1
1 1 1 1
P
x xy xyz y yz yzt z zt ztx t tx txy
= + + +
+ + + + + + + + + + + +
(HSG T.p HP –

1997)
+ Hướng dẫn giải :
- Ta có :
1 1 1 1
1 1 1 1
P
x xy xyz y yz yzt z zt ztx t tx txy
= + + +
+ + + + + + + + + + + +

1
1 1 1 1
x xy xyz
x xy xyz x xy xyz xy xyz x xyz x xy
= + + +
+ + + + + + + + + + + +
( nhân vào cả tử và
mẫu mỗi phân số lần lượt với 1;x;xy;xyz và nhớ xyzt = 1 )

1
1
x xy xyz
x xy xyz
+ + +
=
+ + +
= 1.
* Có thể làm theo cách khác như sau :
Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi các lớp 6- 7 – 8 – 9 THCS.
Sưu tầm và biên soạn nội dung : Trần Văn Quang _ DĐ : 0914.866.590

- Vì xyzt = 1 nên ta có thể đặt
; ; ;
a b c d
x y z t
b c d a
= = = =
với a,b,c,d là các số thực khác 0 . Khi
đó ta có :
Biểu thức P được biến đổi thành :
1 1 1 1
1 . . . 1 . . . 1 . . . 1 . . .
a a b a b c b b c b c d c c d c d a d d a d a b
b b c b c d c c d c d a d d a d a b a a b a b c
+ + +
+ + + + + + + + + + + +
1 1 1 1
1 1 1 1
a a a b b b c c c d d d
b c d c d a d a b a b c
= + + +
+ + + + + + + + + + + +
1.
bcd acd abd abc
bcd acd abd abc acd abd abc bcd abd abc bcd acd abc bcd acd abd
bcd acd abd abc
bcd acd abd abc
= + + +
+ + + + + + + + + + + +
+ + +
=

+ + +
=
Vậy P = 1.
* Chú ý : đối với bài toán mà giả thiết cho các biến số có tích bằng 1 , ta có thể biến đổi
bằng cách làm như trên (đặt
; ; ;
a b c d
x y z t
b c d a
= = = =
).
+ Khi nhân ; chia các phân số ta luôn phải chú ý rút gọn “tử - mẫu “ (
.
.
A B B
A C C
=
) . Kĩ năng
tưởng đơn giản này sẽ giúp ích rất lớn trong việc giải quyết nhiều bài toán khó. Thật vây :
Câu 2. Tính :
1 1 1
1 1 ... 1
1 2 1 2 3 1 2 3 ... 1986
A
    
= − − −
 ÷ ÷  ÷
+ + + + + + +
    
(BD HSG toán 8- T.77)

+ Hướng dẫn giải :
- Ta có : ( nhớ rằng
( )
1
1 2 3 ...
2
n n
n
+
+ + + + =
)

( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 ... 1
1 2 1 2 3 1 2 3 ... 1986
1 1 1
1 1 ... 1
2 2 1 3 3 1 1986 1986 1
2 2 2
2 2 2
1 1 ... 1
2.3 3.4 1986.1987
2 5 9 1987.1986 2
. . ....
3 6 10 1987.
A
    
= − − −
 ÷ ÷  ÷

+ + + + + + +
    
    
 ÷ ÷  ÷
= − − −
 ÷ ÷  ÷
+ + +
 ÷ ÷  ÷
 ÷ ÷  ÷
    
    
= − − −
 ÷ ÷  ÷
    
−
=
1986
4 10 27 1987.1986 2
. . .... ;(1)
6 12 20 1987.1986
−
=
Mặt khác :
1986.1987 – 2 = 1986(1988 – 1) + 1986 – 1988
= 1986.1988 – 1988
= 1988.(1986 – 1)
= 1988.1985 ;(2)
Từ (1) và (2) ta có :
Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi các lớp 6- 7 – 8 – 9 THCS.
Sưu tầm và biên soạn nội dung : Trần Văn Quang _ DĐ : 0914.866.590

( )
4.1 5.2 6.3 1988.1985
. . ....
2.3 3.4 4.5 1986.1987
4.5.6...1988
(1.2.3...1985)
.
(2.3.4...1986) (3.4.5...1987)
A =
=
1987.1988 1.2
.
2.3 1986.1987
=
1988 994
1986.3 2979
= =
.
* Lưu ý : Bài toán tổng quát hơn là :
1 1 1
1 1 ... 1
1 2 1 2 3 1 2 3 ...
A
n
    
= − − −
 ÷ ÷  ÷
+ + + + + + +
    
với n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 3.

+ Với những bài toán có chứa luỹ thừa , cần chú ý một số công thức cơ bản sau :
0) a
m
= a.a.a…a (m thừa số );a
0
= 1 ; a
1
= a.
1) a
m
.a
n
= a
m + n
2) a
m
: a
n
= a
m – n
( hay :
m
m n
n
a
a
a
−
=
)

3) (a
m
)
n
= a
m.n
4) (a.b)
n
= a
n
.b
n
5)
n
n
n
a a
b b
 
=
 ÷
 
6) a
-n
=
1
n
a
( Với các điều kiện tương ứng có nghĩa )
Câu 3. Rút gọn :

19 9 4
9 10 10
2 .27 15.4 .9
6 .2 12
+
+
( HSG quốc gia – 1971)
+ Hướng dẫn giải :
- Ta có :
( )
( )
( )
18 3 6
19 9 4 19 3 18 9 6
9 10 10 19 9 10 20 6
18 9 2
2 .3 2.1 5.1.3
2 .27 15.4 .9 2 .3 5.2 .3 2 5.3 734 367
6 .2 12 2 .3 3 .2 3 2 3.4 10206 5103
2 .3 2.1 3.2
+
+ + +
= = = = =
+ + +
+
Câu 4. Rút gọn : A = 1 + 5 + 5
2
+ 5
3
+ … + 5

50
(NC&PT toán 7/T11)
+ Hướng dẫn giải :
- Ta có : 5.A = 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ … + 5
51
Do đó : 5.A - A = 5
51
- 1 . Vậy A =
51
5 1
4
−
.
* NX : Với biểu thức A như trên người ta còn thường ra bài toán : Chứng minh rằng A là số
chẵn hay chứng minh A chia hết cho 6 hoặc chứng minh A không là số nguyên. Các em hãy
thử tìm lời ?
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức hữu tỉ :
Câu 5. Cho ba số a , b ,c đôi một khác nhau và thoả mãn hệ thức :
0
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
.

Chứng minh rằng :
2 2 2
0
( ) ( ) ( )
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
( HSG toán 9 – 1999 – A )
+ Hướng dẫn giải :
- Từ giả thiết suy ra :
( ) ( )
2 2
a b c ab b ac c
b c a c a b a c a b
− − − +
= − =
− − − − −
, nhân hai vế với
1
b c−
ta được :
Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi các lớp 6- 7 – 8 – 9 THCS.
Sưu tầm và biên soạn nội dung : Trần Văn Quang _ DĐ : 0914.866.590
( ) ( ) ( )
2 2
2
( )
a ab b ac c
b c a c a b b c

− − +
=
− − − −
Tương tự :
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
1 cb c ab a
a c b c a b
c a
− − +
=
− − −
−

( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
1 ca a cb b
a c b c a b
a b
− − +
=
− − −
−
Cộng theo cột hai vế của ba đẳng thức trên ta có ĐPCM.
Câu 6. Chứng minh rằng nếu a,b,c khác nhau thì :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2b c c a a b
a b a c b c b a c a c b a b b c c a
− − −
+ + = + +
− − − − − − − − −
(Các bài toán chọn lọc …)
+ Hướng dẫn giải :
- Ta có :

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1
a c b a
b c
a b a c a b a c a b a c
− + −
−
= = −
− − − − − −
;
Tương tự :
( ) ( )
1 1a b
c a c b c a c b
−
= −
− − − −
;
( ) ( )

1 1c a
b c b a b c b a
−
= −
− − − −
Cộng theo từng vế các kết quả vừa tìm được , suy ra ĐPCM.
Dạng 3. Toán tìm x :
Câu 7. Tìm số hữu tỉ x , biết rằng :
4 3 2 1
2000 2001 2002 2003
x x x x+ + + +
+ = +
( NC&PT toán 7 -tập 1)
+ Hướng dẫn giải :
- Ta cộng vào hai vế của đẳng thức với cùng một giá trị là 2 , được :

( )
4 3 2 1
2000 2001 2002 2003
4 3 2 1
1 1 1 1
2000 2001 2002 2003
2004 2004 2004 2004
0
2000 2001 2002 2003
1 1 1 1
2004 0
2000 2001 2002 2003
x x x x
x x x x

x x x x
x
+ + + +
+ = +
+ + + +
+ + + = + + +
+ + + +
+ − − =
 
+ + − − =
 ÷
 
Vì
1 1 1 1
0
2000 2001 2002 2003
+ − − ≠
( hiển nhiên) nên x + 2004 = 0 hay x = -2004.
* Nhận xét : Với những hệ thức chứa các phân số có quy luật như trên ( 4 + 2000 = 3 +
2001 = 2 + 2002 = 1 + 2003 = 2004 ) thì kĩ năng biến đổi trên sẽ là một công cụ hữu hiệu để
giải quyết bài toán.
Câu 8. Tìm x , biết :
x-ab
a+b
x ac x bc
a b c
a c b c
− −
+ + = + +
+ +

với
; ;a b b c c a≠ − ≠ − ≠ −
+ Hướng dẫn giải : Đẳng thức đã cho tương đương với :
x-ab
0
a+b
x ac x bc
a b c
a c b c
− −
     
− + − + − =
 ÷  ÷  ÷
+ +
     
Quy đồng mẫu số trong từng dấu ngoặc rồi đặt thừa số chung ta được :
Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi các lớp 6- 7 – 8 – 9 THCS.
Sưu tầm và biên soạn nội dung : Trần Văn Quang _ DĐ : 0914.866.590
( )
1 1 1
x-ab-ac-bc 0
a b b c c a
 
+ + =
 ÷
+ + +
 
Từ đó nếu
1 1 1
0

a b b c c a
+ + ≠
+ + +
thì x = ab + bc + ca ;
Nếu
1 1 1
0
a b b c c a
+ + =
+ + +
thì có vô số giá trị của x thoả mãn bài toán.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ :
* Các bài :
1;2;3;5;9;10;11;14;16;20;22;23;24;25;26;27;29;30;31;33;34;38;39;40;41;42;44;45;47 -
NC&PT toán 7.
1) Tính :
8 207207
5 201201
−
+
2) Rút gọn phân số :
1999
9995
( TQ :
199...99
99..995
) (BD HSG toán 8- trang 73)
3) Tính :
1 1 1
...

2 3 2002
2001 2000 1999 1
...
1 2 3 2001
M
+ + +
=
+ + + +
(HSG toán 6 T.p HP– 2002 – A)
4) Rút gọn : A =
1 1 1 1
...
1.2 2.3 3.4 2009.2010
+ + + +
5) Rút gọn : B =
1 1 1 1
...
1.2.3 2.3.4 3.4.5 1998.1999.2000
+ + + +
( HSG toán 6 T.p HP– 1999 – A)
6) Rút gọn :
2008.2006
1
...
8.6
1
6.4
1
4.2
1

++++=
N
7) Biết xyz = 1 . Hãy tính tổng :
A =
5 5 5
1 1 1x xy y yz z zx
+ +
+ + + + + +
;( KQ = 5) (HSG toán 8 – 2001 – A)
8
*
) Cho ba số x ,y ,z thoả mãn xyz = 1992. Chứng minh rằng :
1992
1
1992 1992 1992 1
x y z
xy x yz y xz z
+ + =
+ + + + + +
( BD HSG toán 8 – trang 77)
9) Tính : a)
3
1 1 1
6 3 1 : 1
3 3 3
 
− − −
     
− + −
 

 ÷  ÷  ÷
     
 
 
b)
( )
3 2 3
6 3.6 3 :13+ +
c)
9 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10 90 72 56 42 30 20 12 6 2
− − − − − − − − −
( HSG quận Ba Đình HN –
2005)
10) Tìm x,biết :
315 313 311 309
4 0
101 103 105 107
x x x x− − − −
+ + + + =
( HSG q. Hoàn Kiếm HN – 2004)
11) Tìm x , biết :
Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi các lớp 6- 7 – 8 – 9 THCS.