Bài giảng toán 3 nhập môn đại số tuyến tín

TRẦN AN HẢI



BÀI GIẢNG TỐN 3

NHẬP MƠN

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

HÀ NỘI - 2008


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Strang, Gilbert, Introduction to Linear Algebra, 3rd ed., Wellesley-Cambridge
press, 2005
[2] Strang, Gilbert, Linear Algebra and its Applications, Academic press, 1976
[3] Leon, Steven J., Linear Algebra with Applications, Upper Saddle River, N.J.:
Prentice Hall, 1998
[4] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp - Tập 1,
Nhà xuất bản giáo dục, 2007


 TUẦN 1


GIỚI THIỆU MƠN HỌC
Theo dịng lịch sử, mơn Đại số tuyến tính khởi đầu với việc giải và
biện luận các hệ phương trình bậc nhất. Về sau để có thể hiểu rõ
cấu trúc của tập nghiệm và điều kiện để một hệ phương trình bậc
nhất có nghiệm, người ta xây dựng những khái niệm trừu tượng

hơn như không gian vectơ và phép biến đổi tuyến tính. Người ta
cũng có nhu cầu khảo sát các khơng gian với nhiều thuộc tính hình
học hơn, trong đó có thể có khái niệm độ dài và góc.
Ngày nay Đại số tuyến tính được ứng dụng vào hàng loạt lĩnh
vực khác nhau, từ Giải tích tới Hình học, từ Cơ học, Vật lý tới Kỹ
thuật, Kinh tế, ... Vì thế, nó trở thành một mơn học cơ sở cho sinh
viên các chuyên ngành khoa học cơ bản và công nghệ trong tất cả
các trường đại học.


Chương 1
GIỚI THIỆU VECTƠ
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH
_____________________________________________________

1.1

GIỚI THIỆU VECTƠ

Các phép tốn vectơ
Vectơ hình học là đoạn thẳng được định hướng
•→
gốc

ngọn

Các vectơ hình học có hai phép tốn cơ bản là phép cộng vectơ và phép nhân
vectơ với một vô hướng.
ĐỊNH NGHĨA

1. Tổng v + w của hai vectơ v và w được xác định theo Quy tắc ba điểm hoặc Quy tắc
hình bình hành. Phép tốn tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
2. Tích xv của vectơ v với số thực x, được xác định như sau:
* Nếu x ≥ 0 thì xv cùng hướng với v. Nếu x < 0 thì xv ngược hướng với v;
* |xv| = |x|⋅|v|.
x thường được gọi một vô hướng. Phép tốn tìm tích của một vectơ với một vô
hướng được gọi là phép nhân vectơ với một vô hướng.
Ngoài ra, hiệu của hai vectơ v và w là v - w := v + (-w). Phép tốn tìm hiệu của
hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.
ĐỊNH NGHĨA

Với những vectơ v1, v2,...,vn và các vô hướng x1, x2, ..., xn, gọi
x1v1+x2v2+...+xnvn
là một tổ hợp tuyến tính của v1, v2,...,vn.


VÍ DỤ

Nhận xét
1) Khi vectơ v ≠ 0, tập tất cả các tổ hợp xv lấp đầy một đường thẳng.

2) Khi những vectơ v1 và v2 không cùng phương, tập tất cả các tổ hợp x1v1 + x2v2 lấp
đầy một mặt phẳng.


3) Khi ba vectơ v1, v2, v3 không đồng phẳng, tập tất cả các tổ hợp x1v1+x2v2 +x3v3 lấp
đầy không gian.

ĐỊNH NGHĨA

Tích vơ hướng của hai vectơ v và w là số thực
v⋅w := |v|⋅|w|cosϕ,
trong đó ϕ là góc giữa hai vectơ v và w.

Hermann Grassmann
(1808-1877)
cha đẻ của tích vơ hướng

Biểu diễn vectơ hình học theo toạ độ
Việc tìm một tổ hợp tuyến tính của nhiều vectơ hình học theo định nghĩa của hai phép
tốn vectơ nói chung là cồng kềnh. Tuy nhiên, việc này được giải quyết rất gọn khi
biểu thị các vectơ hình học dưới dạng tọa độ.
Với mỗi vectơ hình học v trong mặt phẳng tọa độ Oxy luôn luôn tồn tại duy nhất
hai số x và y sao cho v = x i + y j . Ta gọi cặp số (x, y) là tọa độ của v. Để tiện làm
việc về sau, cặp số này còn được viết ở dạng


x 
 y .
 
Ta đồng nhất v với cặp số này:
x 
v=  .
 y
Với mỗi vectơ hình học v trong không gian Oxyz luôn luôn tồn tại duy nhất ba
số x, y và z sao cho v = x i + y j + z k . Ta gọi bộ ba số (x, y, z) là tọa độ của v. Để tiện
làm việc về sau, bộ ba số này còn được viết ở dạng

x 
 y .

 
 z 
Ta đồng nhất v với bộ ba số này:

x 
v =  y  .
 z 
Giả sử

x 
 y

 x' 
 y '

v=  ,w=  
và c là một vơ hướng. Ta có

 x + x' 
cx 
v+w= 
, cv =   , v⋅w = xx' + yy'

 y + y '
cy 
Đối với các vectơ hình học trong khơng gian ta cũng có những điều tương tự
trên.

Mở rộng khái niệm vectơ
Từ biểu diễn toạ độ của vectơ hình học ta có thể mở rộng khái niệm vectơ hình học

một cách tự nhiên như sau:
ĐỊNH NGHĨA

Gọi dãy gồm n số thực

 x1 
x 
 2
M 
 
 xn 
là một vectơ cột n - thành phần. Ta cịn có thể viết như sau
(x1, x2,..., xn),

nhưng khơng được hiểu là vectơ hàng.
Tập các vectơ cột n - thành phần được ký hiệu là Rn.


Ta ký hiệu các vectơ cột bởi những chữ cái nhỏ viết nghiêng và đậm, còn các số
thực bởi những chữ cái nhỏ viết nghiêng không đậm.
Trên tập Rn ta định nghĩa các phép tốn, tổ hợp tuyến tính, tích vô hướng, độ dài
của vectơ theo các công thức tương tự với những cơng thức trong hình học nói trên.
ĐỊNH NGHĨA
1. Cộng hai vectơ theo từng thành phần:

 x1   y1   x1 + y1 
x   y  x + y 
2
 2+ 2= 2
.

M  M   M

    

 xn   y n   x n + y n 
2. Nhân một vectơ với một vô hướng (là số thực) theo từng thành phần:

 x1  cx1 
 x  cx 
2
2
c  =  .
M   M 
   
 x n  cxn 
n
3. Với các vectơ v1, v2,...,vm thuộc R và các vô hướng x1, x2, ..., xm, gọi
x1v1+x2v2+ ⋅⋅⋅ +xmvm
là một tổ hợp tuyến tính của v1, v2,...,vm.
4. Tích vơ hướng của hai vectơ v = (x1, x2,..., xn) và w = (y1, y2,..., yn) là số thực
v⋅w = x1y1 + x2y2 + ⋅⋅⋅ + xnyn.
5. Độ dài của vectơ v = (x1, x2,..., xn) là số |v| = (v⋅v)1/2 = (x12 + x22 + ⋅⋅⋅ + xn2)1/2.
Sau này ta gọi Rn là một khơng gian n-chiều. Như vậy, tập các vectơ hình học
trên mặt phẳng, hay không gian 2-chiều, là
 x 

R2 =   1  x1 , x 2 ∈ R  .
 x2 

Tập các vectơ hình học trong không gian, hay không gian 3-chiều, là


 x1 
 

R =  x2  x1 , x 2 , x3 ∈ R  .
 x 

 3 

3

Ứng dụng
Trong một siêu thị có n mặt hàng, ký hiệu qi là lượng mặt hàng thứ i
(qi dương khi bán và âm khi mua). Ký hiệu pi là giá của một đơn vị mặt hàng thứ i.
Với hai vectơ q = (q1, q2,..., qn) và p = (p1, p2,..., pn), thì
doanh thu = q⋅p = q1p1 + q2p2 + ⋅⋅⋅ + qnpn.
Khi q⋅p = 0 có nghĩa là "cân bằng về sổ sách".


1.2

ĐỊNH NGHĨA HỆ

PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Có lẽ bài tốn quan trọng nhất trong toán học là giải một hệ phương trình tuyến tính.
Có trên 75% vấn đề tốn học gặp trong khoa học hay những áp dụng công nghiệp liên
quan đến giải một hệ tuyến tính ở một giai đoạn nào đấy. Bằng cách sử dụng những
phương pháp của toán học hiện đại, thường có thể đạt được một bài tốn phức tạp và
quy nó về một hệ tuyến tính đơn giản. Các hệ tuyến tính xuất hiện trong các áp dụng

vào những lĩnh vực như thương mại, kinh tế, xã hội học, nhân khẩu học, di truyền
học, điện học, kỹ thuật và vật lí.

Một số bài tốn dẫn đến
hệ phương trình tuyến tính
Bài tốn Mạng điện

Cho mạng điện

Hãy xác định dịng điện trong mỗi nhánh.
Thiết lập hệ phương trình Áp dụng Định luật Kirchhoff về dòng điện "Tổng đại số

các dịng điện tại một nút bằng 0", ta có
i1 - i2 + i3 = 0 (nút A)
-i1 + i2 - i3 = 0 (nút B)
Áp dụng Định luật Kirchhoff về điện thế "Tổng đại số hiệu điện thế theo một vịng kín
bằng 0", ta có
4i1 + 2i2 = 8 (mạch trên)
2i2 + 5i3 = 9 (mạch dưới).

Ta có hệ
i1 - i2 + i3 = 0


-i1 + i2 - i3 = 0
4i1 + 2i2

=8

2i2 + 5i3 = 9.

Bài tốn Lưu lượng giao thơng

☺

Dưới đây là các đường một chiều giao nhau và

lượng xe vào-ra trung bình mỗi giờ lúc cao điểm trong một khu vực ở thành phố nào
đấy. Hãy xác định lưu lượng xe ở mỗi ngã tư.

Thiết lập hệ phương trình Tại mỗi giao lộ, số xe vào phải bằng số xe ra. Chẳng

hạn, tại giao lộ A, số xe vào là x1+ 450 và số xe ra là x2 + 610. Như vậy
x1 + 450 = x2 + 610 (giao lộ A)
Tương tự
x2 + 520 = x3 + 480 (giao lộ B)
x3 + 390 = x4 + 600 (giao lộ C)
x4 + 640 = x1 + 310 (giao lộ D).
Ta có hệ
x1 - x2 = 160
x2 - x3 = -40
x3 - x4 = 210
-x1 + x4 = -330.
Giải hệ gồm bốn phương trình này ta xác định được lưu lượng xe.☺
Ta sẽ nghiên cứu các hệ phương trình có dạng như trong hai bài tốn trên.

ĐỊNH NGHĨA

Một phương trình tuyến tính n ẩn là một phương trình có dạng
a1x1 + a2x2 + ⋅⋅⋅ + anxn = b,

trong đó a1, a2, ..., an và b là những số thực, x1, x2, ..., xn là các ẩn. Một hệ phương
trình tuyến tính gồm m phương trình n ẩn (hay hệ m×n) là một hệ có dạng
a11x1 + a12x2 + ⋅⋅⋅ + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ⋅⋅⋅ + a2nxn = b2
..........................................................................

am1x1 + am2x2 + ⋅⋅⋅ + amnxn = bm
trong đó tất cả aij và bj là những số thực, x1, x2, ..., xn là các ẩn.
Tìm hiểu hệ phương trình tuyến tính là một trong những vấn đề trung tâm của
Đại số tuyến tính.
Dạng hệ phương trình tuyến tính trong định nghĩa được gọi là dạng hàng.
Trong trường hợp hệ m×3, dạng này có hình dung về hình học như sau: Nếu mỗi
phương trình của hệ là phương trình một mặt phẳng, thì nghiệm của hệ là tọa độ giao
điểm của m mặt phẳng.

Những dạng khác của hệ
phương trình tuyến tính
Đối với hệ phương trình

a11x1 + a12x2 + ⋅⋅⋅ + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ⋅⋅⋅ + a2nxn = b2
......................................................................

ta ký hiệu

am1x1 + am2x2 + ⋅⋅⋅ + amnxn = bm
 a1 j 
a 
2j

vj =   (j = 1, ..., n), b =
 M 
 
 a mj 

 b1 
b 
 2.
M
 
bm 

Theo các phép toán vectơ, hệ trên đưa được về dạng phương trình vectơ hay dạng
cột
x1v1+ x2v2+ ⋅⋅⋅ + xnvn = b.
Dạng này có hình dung hình học như sau: Nếu m = 3, phương trình vectơ có nghiệm

khi và chỉ khi b là một tổ hợp tuyến tính của vj (j = 1, ..., n).
Đối với phương trình tuyến tính

ta ký hiệu

a1x1 + a2x2 + ⋅⋅⋅ + anxn = b,
 a1 
a 
h =  2 , x =
M
 
a n 

 x1 
x 
 2.
M
 
 xn 


Dễ thấy vế trái của phương trình này là tích vơ hướng h⋅x. Do đó phương trình này có
dạng mới là h⋅x = b.
Bây giờ ta xét hệ
a11x1 + a12x2 + ⋅⋅⋅ + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ⋅⋅⋅ + a2nxn = b2
......................................................................

am1x1 + am2x2 + ⋅⋅⋅ + amnxn = bm

Ta gọi bảng số
 a11
a
A =  21
 M

a m1

a12
a 22
M
am2

L a1n 
L a 2 n 
M 

L a mn 

là ma trận hệ số của hệ này.
Ký hiệu
 x1 
x 
hi = (ai1 , ai 2 ,L , ain ) (i = 1, ..., m), x =  2  , b =
M
 
 xn 
Ta định nghĩa phép nhân A với x như sau

 b1 
b 
 2 .
M
 
bm 

 a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn   h1 ⋅ x 
 a x + a x +L + a x   h ⋅ x 
2
22 2
2n n 
Ax =  21 1
=

 ...

  M 
M

 h ⋅ x 
am1 x1 + am 2 x2 + L + a mn xn   m 
Hệ phương trình này đưa được về dạng phương trình ma trận Ax = b.
Ví dụ

Dưới đây là ba cách thể hiện cùng một hệ phương trình tuyến tính
* Dạng hàng

* Dạng phương trình vectơ

x1 + 2x2 + 3x3 = 6
2x1 + 5x2 + 2x3= 4
6x1 - 3x2 + x3 = 2.
1 
2
 3  6 




x1 2 + x2  5  + x3 2 = 4 .
6 
− 3
1  2

* Dạng ma trận


1 2 3  x1  6 
2 5 2  x  = 4 .

  2  
6 − 3 1   x3  2

1.3

PHÉP KHỬ GAUSS

Ma trận bậc thang và trụ
Ta quan sát những ma trận sau đây
1 4 2  5 4 3 1 2 4 0
0 2 − 1 , 0 0 2 , 0 0 3 2 ,

 
 

0 0 5  0 0 0 0 0 0 0

5
0

0

0

4
0
0
0

2
1 
.
0

0

Chúng có các đặc điểm chung là
(1) Nếu hàng k khơng phải tồn 0, thì số các 0 đứng đầu hàng k+1 lớn hơn số các 0
đứng đầu hàng k.

(2) Nếu có các hàng gồm tồn 0, thì chúng nằm dưới những hàng chứa số khác 0.
ĐỊNH NGHĨA

Ma trận bậc thang là ma trận có đặc điểm (1) và (2). Số khác

khơng đầu tiên trong một hàng được gọi là trụ.
Ví dụ 1

1 4 2 
0 2 − 1 có các trụ 1, 2, 5.


0 0 5 

1 2 4 0
0 0 3 2 có các trụ 1, 3.


0 0 0 0

Ma trận mở rộng
ĐỊNH NGHĨA

Đối với hệ

a11x1 + a12x2 + ⋅⋅⋅ + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ⋅⋅⋅ + a2nxn = b2
..........................................................................

am1x1 + am2x2 + ⋅⋅⋅ + amnxn = bm
ta gọi bảng số


a11 a12 L a1n

a21 a22 L a2 n
[A b] = 
..........................

am1 am 2 L amn

b1 
b2 
.. 


bm 

là ma trận mở rộng của nó.
ĐỊNH NGHĨA

Hệ dạng bậc thang là hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở

rộng dạng bậc thang. Ẩn có hệ số là trụ được gọi là biến trụ. Những ẩn còn lại được
gọi là biến tự do.
Ví dụ 2
1x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1
1x3 + x4 + 2x5 = 0
1x5 = 3
Ta thấy 3 trụ là 1, 1, 1 nên x1, x3, x5 là các biến trụ, x2 và x4 là các biến tự do.

Một trường hợp đặc biệt của hệ dạng bậc thang là hệ dạng tam giác

a11x1 + a12x2 + ⋅⋅⋅ + a1nxn = b1
a22x2 + ⋅⋅⋅ + a2nxn = b2
......................................................

annxn = bn
trong đó các hệ số aii khác 0 (i = 1, ..., n). Ta thấy ma trận mở rộng của hệ này có các
trụ là aii (i = 1, ..., n). Những biến trụ là x1, x2, …, xn. Hệ dạng tam giác khơng có biến
tự do.

Phương pháp giải hệ dạng bậc thang
Cách giải hệ dạng tam giác

a11x1 + a12x2 + ⋅⋅⋅ + a1nxn = b1
a22x2 + ⋅⋅⋅ + a2nxn = b2
......................................................

annxn = bn

Giải hệ này bằng phép thế ngược từ dưới lên. Từ phương trình một ẩn cuối cùng tìm
−1
−1
. Tiếp theo, thay xn = bn a nn
vào phương trình thứ n-1 ta lại có phương
được xn = bn a nn
trình một ẩn xn-1 cho phép tính xn-1. Lặp lại liên tiếp thủ tục này cho đến lúc gặp
phương trình đầu tiên, ta tìm được nghiệm của hệ này. Rõ ràng hệ dạng tam giác có
nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3

Hệ

có nghiệm duy nhất (-3, 4, 2).

3x1 + 2x2 + x3 = 1
x2 - x3 = 2
2x3 = 4


Cách giải hệ dạng bậc thang có biến tự do
Trường hợp hệ chứa phương trình dạng 0 = bi với bi khác 0: hệ vơ nghiệm.
Trường hợp cịn lại: Trước hết ta loại đi tất cả các phương trình dạng 0 = 0 (vì chúng
là hằng đẳng thức). Trong mỗi phương trình cịn lại, chuyển những hạng tử chứa biến

tự do (nếu có) sang vế phải rồi gán cho các biến này giá trị thực tùy ý. Ta có hệ dạng
tam giác đối với những biến trụ. Giải hệ dạng tam giác này, ta tìm được giá trị của
những biến trụ.
Ví dụ 4

Giải hệ

Chuyển hệ về

1x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1
1x3 + x4 + 2x5 = 0
1x5 = 3

x 1 + x3 + x5 = 1 - x2 - x4
x3 + 2x5 = -x4
x5 = 3

Gán cho x2 và x4 giá trị thực tùy ý, rồi giải hệ này ta được x1 = 4 - x2,
x3 = -6 - x4, x5 = 3. Nghiệm của hệ là

(4 - x2, x2, -6 - x4, x4, 3).
Chẳng hạn, nếu x2 = x4 = 0, thì một nghiệm của hệ là
(4, 0, -6, 0, 3).

Giải hệ phương trình tuyến tính bất kỳ
C.F.Gauss đã đề xuất ra phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính bất kỳ, có tên là

phép khử Gauss. Đó là chuyển hệ cho trước về hệ phương trình tương đương có dạng
bậc thang nhờ sử dụng những phép toán sau đây
I. Đổi chỗ hai phương trình của hệ.

II. Lấy một phương trình của hệ trừ đi bội của một phương trình khác trong hệ.
III. Nhân cả hai vế của một phương trình trong hệ với một số khác 0.


Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Chú ý

Trong quá trình thực hiện phép khử, nếu xuất hiện phương trình dạng 0 = 0,

ta có thể loại nó khỏi hệ. Cịn nếu xuất hiện phương trình dạng 0 = b với b khác 0, thì
hệ vơ nghiệm.
Ví dụ 5

Giải hệ trong Bài tốn Mạng điện
i1 - i2 + i3 = 0

-i1 + i2 - i3 = 0
4i1 + 2i2

=8

2i2 + 5i3 = 9
Bước 1:

phương trình 2 - (-1)×phương trình 1
phương trình 3 - 4×phương trình 1
ta được
i1 - i2 + i3 = 0

0 =0
6i2 - 4i3 = 8
2i2 + 5i3 = 9
Bước 2:
Đổi chỗ ba phương trình cuối, ta được hệ

i1 - i2 + i3 = 0

2i2 + 5i3 = 9
6i2 - 4i3 = 8


0 = 0.
(Thực ra ta có thể loại đi 0 = 0).
Bước 3: phương trình 3- 3×phương trình 2

ta có
i1 - i2 + i3 = 0

6i2 - 4i3 = 8
-19i3 = -19
0 = 0.
Bước 4: Giải hệ này bằng phép thế ngược, ta có nghiệm

i1 = 1, i2 = 2, i3 = 1.
Nhận xét Quá trình giải hệ trên bằng phép khử Gauss có thể trình bày theo cách ghi

lại sự biến đổi của ma trận mở rộng
 1 − 1 1 0  1 − 1 1


 
0
− 1 1 − 1 0  → 0 0
4 2
0 8  0 6 − 4

 
2
5 9  0 2
5
 0

0  1 − 1 1

5
0  0 2
→
8  0 6 − 4
 
9  0 0
0

0  1 − 1 1

5
9  0 2
→
8  0 0 − 19
 
0  0 0

0

0 
9 
.
− 19 

0 

Ngoài ra, ta thấy các trụ là 1, 2, -19.

Trụ dùng để khử những số cùng cột nằm bên dưới.
Khi trụ thuộc cột j và ta muốn khử số cùng cột ở hàng i thì ta phải lấy hàng chứa
số này trừ đi tích của hàng chứa trụ với một số thích hợp. Số thích hợp này được gọi
là số nhân, ký hiệu là lij. Chẳng hạn, trụ 2 thuộc cột 2 và ta muốn khử số 6 cùng cột
thuộc hàng 3 thì ta lấy hàng 3 (chứa trụ) trừ đi 3 lần hàng 2. Số nhân l32 =

6
= 3.
2

Số nhân lij = (phần tử cần khử trong hàng i, cột j) chia cho (trụ trong cột j).
Phương pháp khử Gauss trừ phương trình thứ i đi lij lần phương trình thứ j.
Ví dụ 6

Giải hệ trong Bài tốn Lưu lượng giao thông
x1 - x2 = 160
x2 - x3 = -40
x3 - x4 = 210

-x1 + x4 = -330.
 1 − 1 0 0 160  1 − 1 0
0 160 




 0 1 − 1 0 − 40  → 0 1 − 1 0 − 40  →
 0 0 1 − 1 210  0 0 1 − 1 210 

 

− 1 0 0 1 − 330  0 − 1 0 1 − 170 


1 − 1 0
0 160  1 − 1 0
0



0 1 − 1 0 − 40  → 0 1 − 1 0
0 0 1 − 1 210  0 0 1 − 1

 
0
0
0 0 − 1 1 − 210  0 0

160 

− 40 
.
210 

0 

Hệ có vô số nghiệm
(x4 + 330, x4 + 170, x4 + 210, x4).
Sơ đồ lưu lượng giao thông đã không cho đủ thông tin để xác định duy nhất x1, x2, x3,
x4. Nếu biết thêm lưu lượng xe ở đường nối một cặp giao lộ bất kỳ, thì dễ dàng tính
được lưu lượng xe ở các nhánh còn lại. Chẳng hạn khi biết lưu lượng xe ở đường nối

giao lộ C và D là 200 xe/giờ, thì x4 = 200. Suy ra x1 = 530, x2 = 370, x3 = 410.
Ví dụ 7

Giải hệ
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1

-x1 - x2

+ x5 = -1

-2x1 - 2x2

+ 3x5 = 1
x3 + x4 + 3x5 = -1

x1 + x2 + 2x3 + 2x4 + 4x5 = 1.
Giải
 1 1


 −1 −1
− 2 − 2

 0 0
 1 1

1

0
0

0
0


1
1


1 −1 
0
3 1 → 0


3 −1 
0
0

4 1



1 1 1
0 0
0 0
1 1
2 2

1
1 1 1 11


0 1 1 2 0
0
0 0 0 1 3  → 0


0 0 0 1 − 1
0
0
0 0 0 1 0 


1 1 1 11 
0 1 1 2 0 
0 2 2 53 →

0 1 1 3 − 1
0 1 1 3 0 
1 1 1 1 1 

0 1 1 2 0 
0 0 0 1 3 .

0 0 0 0 −4 
0 0 0 0 − 3

Từ ma trận cuối suy ra hệ vơ nghiệm.
Chú ý

1) Hệ tuyến tính chỉ có một trong ba khả năng: duy nhất nghiệm, có vơ số nghiệm, vơ
nghiệm. Hệ n×n mà có nghiệm duy nhất được gọi là hệ khơng suy biến, cịn trong
trường hợp ngược lại nó được gọi là hệ suy biến.
2) Khi đưa được ma trận mở rộng về dạng bậc thang, để lấy ra nghiệm ta có thể khơng
cần dùng phép thế ngược, mà đem chia mỗi hàng chứa trụ cho trụ ấy rồi dùng phép


khử biến đổi tiếp ma trận này về dạng bậc thang thu gọn, đó là ma trận bậc thang mà
các trụ bằng 1 và trụ là phần tử khác 0 duy nhất trong cột chứa nó. Ta quay lại Ví dụ 3
1 − 1 1
1 − 1 1
0 



5
9 
0 1 2.5
0 2
→
0 0 − 19 − 19 

0 0
1



0 
0
0
0 0
0 0

0  1 − 1

4.5 0 1
→
1  0 0
 
0  0 0

0 − 1 1

0 2  0
→
1 1  0
 
0 0  0

0 0 1
1 0 2
.

0 1 1

0 0 0

Từ ma trận bậc thang thu gọn cuối này, ta có nghiệm (1, 2, 1).

1.4
ĐỊNH NGHĨA

HỆ THUẦN NHẤT

Hệ phương trình tuyến tính có dạng
a11x1 + a12x2 + ⋅⋅⋅ + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ⋅⋅⋅ + a2nxn = 0
......................................................................

được gọi là hệ thuần nhất.

am1x1 + am2x2 + ⋅⋅⋅ + amnxn = 0

Ký hiệu A là ma trận hệ số, 0 = (0, ... , 0) ∈Rm. Hệ thuần nhất có dạng ma trận là
Ax = 0
Chú ý Hệ thuần nhất ln ln có ít nhất một nghiệm x = (0, ... , 0) = 0∈Rn, gọi là
nghiệm tầm thường. Nghiệm khác nghiệm này gọi là nghiệm khơng tầm thường.
Ứng dụng
Trong q trình quang hợp, thực vật sử dụng năng lượng tỏa ra từ
ánh sáng mặt trời để biến đổi carbon dioxide (CO2) và nước (H2O) thành glucose
(C6H12O6) và oxygen (O2). Phương trình phản ứng hóa học có dạng
x1CO2 + x2H2O → x3O2 + x4C6H12O6
Để cân bằng phương trình ta phải chọn x1, x2, x3, x4 sao cho số nguyên tử của carbon,

hydrogen, và oxygen ở hai vế bằng nhau. Do carbon dioxide chứa một nguyên tử
carbon và glucose chứa sáu nguyên tử carbon nên để cân bằng nguyên tử carbon ta
đòi hỏi
x1 = 6x4.
Tương tự, để cân bằng oxygen ta cần
2x1 + x2 = 2x3 + 6x4
và cuối cùng để cân bằng hydrogen, ta cần
2x2 = 12x4
Ta có hệ thuần nhất
x1
- 6x4 = 0
2x1 + x2 - 2x3 - 6x4 = 0
2x2
- 12x4 = 0
Hệ có nghiệm khơng tầm thường (6x4, 6x4, 6x4, x4) với x4 là số nguyên dương. Đặc
biệt nếu lấy x4 = 1, thì x1 = x2 = x3 = 6 và phương trình có dạng
6CO2 + 6H2O → 6O2 + C6H12O6


NHỮNG Ý CHÍNH TRONG
BÀI GIẢNG TUẦN 1
1.

Khơng gian Rn và các phép tốn.

2.

Tổ hợp tuyến tính trong Rn , tích vơ hướng của Rn.

3.

Ba cách diễn đạt hệ phương trình tuyến tính: dạng hàng, dạng phương trình
vectơ, dạng ma trận.

4.

Phương pháp khử Gauss.

5.

Hệ thuần nhất. Nghiệm tầm thường và nghiệm không tầm thường.


TRẦN AN HẢI



 TUẦN 2


Chương 2
MA TRẬN
____________________________
Trong mục này ta định nghĩa những phép toán số học với ma trận và xét một số tính
chất đại số của chúng. Ma trận là một trong những cơng cụ mạnh nhất trong tốn học.
Để sử dụng ma trận có hiệu quả, ta phải thành thạo số học ma trận.

2.1

KHÁI NIỆM MA TRẬN

ĐỊNH NGHĨA
1. Một bảng số gồm m⋅n số thực được xếp thành m hàng và n cột được gọi là một ma
trận m×
×n:

 a11
a
 21
 M

am1

a12
a 22
M
am 2

L a1n 
L a2 n 
.
M 

L a mn 

Dùng những chữ cái in hoa A, B, C,... để đặt tên cho ma trận. Ta nói aij là phần tử
nằm ở hàng i và cột j của ma trận. Với ma trận A, ta ký hiệu phần tử nằm ở hàng i

và cột j là (A)ij hoặc A(i, j).

(ai1 ai2 ... ain) là hàng thứ i,

 a1 j 
a 
 2 j  là cột thứ j.
 M 
 
 amj 

Đôi khi ta viết tắt ma trận trên là (aij).
2. Ma trận n×n được gọi là ma trận vuông cấp n. Các phần tử aii (i = 1, ... , n) lập

nên đường chéo của nó.
3. Ma trận tam giác trên là ma trận vng có tất cả các phần tử phía dưới đường

chéo bằng 0


a11
0

M

0

a12 L a1n 
a22 L a2 n 
.
M O M 


0 L ann 

Ma trận tam giác dưới là ma trận vng có tất cả các phần tử phía trên đường

chéo bằng 0
 a11
a
 21
 M

an1

0 L
a22 L
M
an 2

0
0 
.
O M 

L ann 

4. Ma trận đường chéo là ma trận vng có tất cả những phần tử ngồi đường chéo

bằng 0
a11
0


M

0

0 L
a22 L

0 
0 
.
O M 

L ann 

M
0

5. Ma trận đơn vị I là ma trận đường chéo có tất cả những phần tử trên đường chéo

bằng 1
1
0
I= 
M

0

0
1
M

0

L 0
L 0
.
O M

L 1

6. Ma trận-không O là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0.
7. Cho A = (aij) và B = (bij) là hai ma trận m×n. Ta nói chúng bằng nhau nếu aij = bij

với mỗi cặp i và j.

Nhận xét Ma trận n×1 là một vectơ cột.

2.2

CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN

Phép nhân ma trận với một số
ĐỊNH NGHĨA

Nếu A = (aij) là ma trận m×n và c là một số, thì tích cA là ma trận

m×n mà phần tử hàng i, cột j là caij.
Ma trận đối của A là ma trận (-1)A, ký hiệu là -A.


Ví dụ 1

1 2 2 4
2 3 4 = 6 8  .
0 0  0 0
Nhận xét Nhân một vectơ của Rn với một vơ hướng chính là nhân một ma trận n×1

với một số.

Phép cộng ma trận
ĐỊNH NGHĨA

Nếu A = (aij) và B = (bij) là hai ma trận m×n, thì tổng A + B là ma

trận m×n mà phần tử hàng i, cột j là aij + bij với mỗi cặp i và j.

Ví dụ 2

1 2 2 2 3 4
3 4 + 4 4 = 7 8  .

 
 

0 0  9 9  9 9 
Nhận xét Cộng hai vectơ của Rn chính là cộng hai ma trận n×1.

Phép nhân ma trận
ĐỊNH NGHĨA Giả sử A là ma trận m×n, B là ma trận n×p. Ký hiệu các cột của B là
b1, ..., bp (thuộc Rn). Tích AB là ma trận m×p có cột j là Abj (thuộc Rm) với mọi j = 1,

... , p.
Ví dụ 3

Nếu
− 2 1 3
A= 
,B=
 4 1 6

 3 − 2
2 4 


1 − 3

thì
 3

AB =  A2
 1 

và

 − 2 
 − 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 2 + 3 ⋅1 − 2 ⋅ (−2) + 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ (−3) − 1 − 1 
=
A 4   = 
4 ⋅ 3 + 1 ⋅ 2 + 6 ⋅1
4 ⋅ (−2) + 1 ⋅ 4 + 6 ⋅ (−3)   20 − 22


 − 3 