Bai tap Cong thuc luong Giac

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (333.71 KB, 36 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH

TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 2

Lượng giác

Quế võ, tháng 1 năm 2009

Biến đổi lượng giác là một nội dung cơ bản và quan trọng trong quá trình học tập
lượng giác. Thành thạo các phép biến đổi lượng giác là một hành trang rất tốt tạo cho các
bạn sự tự tin và linh hoạt khi học tập về các phần khác của chương trình lượng giác, nếu

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

các bạn thấy được tinh thần và phương pháp của lượng giác được vận dụng như thế nào
trong các bài tốn thì các bạn sẽ thấy được toàn bộ nét đặc trưng và vẻ đẹp của lượng giác.

Để giúp các bạn có một bộ tài liệu tương đối đầy đủ để học về lượng giác,chúng tôi
đã tập hợp các tài liệu để biên soạn chuyên đề này.Chúng tôi đã tham khảo và biên tập một
hệ thống các bài tập khá đa dạng và phong phú.Các bài tập được biên soạn theo 2 hướng
Một số bài tập chúng tôi cung cấp luôn lời giải. Tất nhiên các lời giải đưa ra không phải
bao giờ cũng là cách giải duy nhất và hay nhất. Đối với các bài này thì các bạn cần suy
nghĩ theo các hướng mở sau:

 Giải thích được các phép biến đổi và lập luận trong lời giải
 Tìm một lời giải khác nếu có thể

 Lí giải xem tại sao lại giải như vậy
 Tìm cách vận dụng bài toán

 Nêu các bài tập tương tự.

Một số bài tập chúng tôi không cung cấp lời giải.Những bài tập này thuộc dạng cơ
bản, dễ hoặc tương tự, đề nghị các bạn suy nghĩ và tự giải quyết.

Chú ý: Đối với các bài tốn có phần hướng dẫn đi kèm,các hướng dẫn đó có tính chất giúp
các bạn phát hiện ra vấn đề chứ khơng phải là cách trình bày.

A. TĨM TẮTGIÁO KHOA

I. Đơn vị đo góc và cung:

o

180 1. Độ:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

y x O

Goùc

1

0 

180

1 goùc

beït

2. Radian: (rad)

180

0 



rad

3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thơng dụng:

Độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600

Radian 0

6


4


3


2


3
2

4
3

5  2

II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
 1. Định nghĩa:

2. Đường tròn lượng giác:

Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:



k

C

A

k

C

k

A

















2 D

B,

k

,

2 D

2k

2 B

2k

III. Định nghĩa hàm số lượng giác:

1. Đường tròn lượng giác:

 A: điểm gốc

x

y

(tia gốc)

Z)
(k

2
)

(Ox Oy k  



t
(tia ngọn)

O






x
y

O

C A

B

D

x

y

B

 M



(điểm 
gốc)



t

O A

(điểm 
ngọn)





k

2 AB






y

B
1
'

u u

t

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2

 x'Ox : trục côsin ( trục hoành )
 y'Oy : trục sin ( trục tung )

 t'At : trục tang
 u'Bu : trục cotang

2. Định nghĩa các hàm số lượng giác:

a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= .

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vng góc của M trên x'Ox và y'Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu

Ta định nghĩa:

cos
sin
tg
cot

OP
OQ
AT

g BU












b. Các tính chất :

 Với mọi  ta có :

1 sin 1 hay sin 1

   

1 cos 1 hay cos 1

   

 tg xác định 2 k



   

 cotg xác định   k

c. Tính tuần hồn

sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos

( )
cot ( ) cot

k
k

tg k tg

g k g

  

 

  (k Z)

IV. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:

Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt

y t

u

't

t

x
u

y

x O

t

1


Q
B

T



M



A
P

U

Trục

cosin Trục tang

Trục sin Trục cotang





</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

- 3
-1
- 3 /3

(Điểm gốc)
t

t'
y

y'

x
x'

u
u'

- 3 -1 - 3 /3

1

1
-1

-1
-/2


5/6

3/4

2/3

-/6
-/4
-/3
-1/2

- 2 /2
- 3 /2

-1/2
- 2 /2

- 3 /2 1/2 2 /2 3 /2

3 /2
2 /2
1/2

A

/3
/4

/6

3 /3
3

B /2 3 /3 1 3

O

 

Góc
Hslg

00 300 450

600 90

0 1200 1350 1500 1800 3600
0

6


4


3


2


2

4
3

5  2

sin 0

2
1

2
2

3 1

2
3

2
2

1 0 0

cos 1

2
3

2
2

1 0

2
1


2
2


2
3

 -1 1

tg 0

3 1 3 kxđ  3 -1

3
3

 0 0

cotg kxđ 3 1

3 0

3
3

 -1  3 kxđ kxđ

V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

1. Cung đối nhau :  vaø - (tổng bằng 0) (Vd: 6 & 6





,…)
2. Cung bù nhau :  vaø -  ( tổng bằng  ) (Vd: 6

&
6




,…)

3. Cung phụ nhau : vaø 2



 

( tổng bằng 2



) (Vd: 6 & 3



,…)

4. Cung hơn kém 2



: vaø 2



 

(Vd: 3
2
&
6




,…)
5. Cung hơn kém  :  vaø  (Vd: 6

7
&
6




,…)

1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau :

cos( ) cos
sin( ) sin

( )

cot ( ) cot

tg tg

g g

 

 

 

 

cos( ) cos
sin( ) sin

( )

cot ( ) cot

tg tg

g g

  

 

 

 

3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém 2


cos( ) sin

sin( ) cos
2

( )
2

cot ( ) t

tg cotg

g g



 



 



 



 

 

cos( ) sin
2

sin( ) cos
2

( )
2

cot ( ) t

tg cotg

g g



 



 



 



 

 

 

 

5. Cung hơn kém  :

Đối cos Bù sin

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

cos( ) cos
sin( ) sin

( )
cot ( ) cot

tg tg

g g

  

 

 

VI. Công thức lượng giác:
 1. Các hệ thức cơ bản:

2 2

cos sin 1

sin
tg =

cos
cos
cotg =

sin

 










 

2
2

1 tg =
cos

1
1 cotg =

sin

tg . cotg = 1







 




2. Công thức cộng :

cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos

tg +tg
tg( + ) =

1 .

tg tg
tg( ) =

1 .

tg tg
tg tg

     

     

 

  

  

  

  






 3. Công thức nhân đôi:

  




 

  






 






2 2

2
2

4 4

cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
cos sin
sin 2 2sin .cos

2
1

tg
tg

tg

4 Công thức nhân ba:

Hơn kém 
tang , cotang

4
cos
3
3
cos

cos3   

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin

  

 

5. Công thức hạ bậc:








2
cos
1
2
cos
1
;
2
2
cos
1
sin
;
2
2
cos
1

cos2 2 2









 tg

6.Công thức tính sin ,cos ,tg   theo t tg  2

2 2
2
2 1
2
;
1
1
cos
;
1
2
sin
t
t
tg
t
t
t
t







  


7. Công thức biến đổi tích thành tổng :













cos .cos cos( ) cos( )

2
1

sin .sin cos( ) cos( )

2
1

sin .cos sin( ) sin( )

2
     
     
     
   
   
   

8. Cơng thức biến đổi tổng thành tích :

cos cos 2 cos .cos

2 2

cos cos 2sin .sin

2 2

sin sin 2sin .cos

2 2

sin sin 2 cos .sin

2 2
sin( )
cos cos
sin( )

cos cos
tg tg
tg tg
   
 
   
 
   
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

9. Các công thức thường dùng khác:

4
3
sin
sin

sin3  

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

cos sin 2 cos( ) 2 sin( )

4 4

cos sin 2 cos( ) 2 sin( )

4 4

 

   

 

   

    

    

4
cos
3
5
sin

cos

4
4
cos
3
sin

cos

6
6

4
4















B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Phần 1 Đẳng thức lượng giác không điều kiện
1: Đẳng thức với biến

Trong phần này ta xét các đẳng thức lượng giác mà các biến không bị ràng buộc bởi điều
kiện nào.Khi chứng minh các đẳng thức khơng có điều kiện kèm theo này,chúng ta thường
vận dụng các công thức lượng giác, các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản.Tuy nhiên do số
luợng các công thức lượng giác khá nhiều nên các bạn có thể gặp khó khăn trong việc lựa
chọn cơng thức nào cho hợp lí.Vì vậy một yêu cầu đặc biệt quan trong là khi thực hiện các
phép biến đổi là các bạn cần phảp có một định hướng rõ ràng để tránh việc lúng túng khi
lựa chon cơng thức

Các bài tốn chứng minh đẳng thức

Khi gặp các bài tốn dạng này chúng ta có thuận lợi là kết quả đã có trong đề bài.Từ đó
dẫn đến các hướng để giải quyết:

 Hướng 1: Biến đổi vế trái sao cho bằng vế phải.Thông thường ta dựa vào chính vế
phải,từ về trái ta tìm cách phân tích,tách.ghép,biến đổi... làm xuất hiện các biểu thức trong
vế phải

Bài 1:

Chứng minh rằng

sin x sin y x y

cotg( )

cos x cos y 2

 




Hướng dẫn:

Bởi vì

x y

cos

x y 2

cotg

x y

2 sin

2


 

 



   

  

 

 

 

  .Nên ta biến đổi vế trái sao cho tử thức và mẫu thức xuất

hiện cos

x y
2


 

 

 ,sin

x y
2


 

 

 .

Khi đó ta có:

x y x y

2cos sin

sin x sin y 2 2 x y

cotg

x y x y

cos x cos y 2sin sin 2

2 2

 

 

 

 

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

 Hướng 2:Biến đổi vế phải sao cho bằng vế trái.Ta xuất phát từ VP tìm cách làm xuất
hiện các biểu thức trong vế trái.Các bạn có thể lấy ngay ví dụ một để thực hiện theo hướng
này hoặc theo dõi ví dụ sau:

Bài 2:

Chứng minh rằng:

cos x sin x cos2x

cos x sin x 1 sin 2x




 

Hướng dẫn:



 







2 2

2 2 2

cos x sin x cos x sin x

cos2x cos x sin x cos x sin x

1 sin 2x cos x sin x 2sinxcosx cos x sin x cos x sin x

 

 

  

    

Nhận xét:

Cũng có thể nhân cả tử và mẫu của VT với



cos x sin x



để làm theo hướng thứ
nhất.Nhưng thơng thường thì việc tách ra bao giờ cũng dễ hơn việc thêm vào.

 Hướng thứ 3: biến đổi cả vế trái và vế phải cùng bằng một biểu thức trung gian.

Bài 3: Chứng minh rằng:

n n

n n
n

tg cos tg cos

(n Z )

1 cotg .cos 1 cotg .cos

   



   

 

  



 

Ta có





n
n

tg cos tg cos

tg
1

1 cotg .cos 1 .cos

   



  



 

 

   

  

  

    

 

  (1)









n n n n

n
n n

n
n

tg cos tg cos

tg
1

1 cotg .cos 1 .cos

   



  



 

 

 

(2)
Từ (1) và (2) ta được điều phải chứng minh.

Bài 4: chứng minh:

4 4

6 6

sin cos 1 2

sin cos 1 3

x x

 



 

Hướng dẫn:

Ta có sin4a c os4a1 1 2sin  2acos2a12sin2acos2a

6 6 2 2 3 2 2 2 2

2 2

sin os 1 (sin os ) 3sin os (sin os ) 1

3sin os

a c a a c a ac a a c a

ac a

      



Do đó

4 4 2 2

6 6 2 2

sin cos 1 2sin os 2

sin cos 1 3sin os 3

x x ac a

  

 

  

Bài 5: Chứng minh rằng: 8 4tan8 2tan16 tan32 cot32

   

   

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Ta có: (*) 8 cot32 tan32 2tan16 4tan 8

   

    

Mà

2 2

cosa sin cos a-sin 2cos2a

cota-tana= 2cot2a

sina cosa sinacosa sin2a

a a

   

Do đó:

(*)

cot tan 2tan 4tan 8

32 32 16 8

2cot 2tan 4tan 8

16 16 8

4cot 4tan 8

8 8

   

  

 

 

      

 

 

     

 

  

8cot 4 8



 

(hiển nhiên đúng).

Bài 6: Chứng minh:

2 2 2 2 2 3

a/cos x+cos x cos x

3 3 2

1 1 1 1

b/ cotx - cot16x

sin2x sin4x sin8x sin16x

 

   

   

   

   

   

a/ Ta có:

2 2 2 2 2

cos x+cos x cos x

3 3

1 1 4 1 4

(1 cos2x) 1 cos 2x+ 1 cos - 2x

2 2 3 2 3

3 1 4 4

cos2x + cos 2x+ cos - 2x

2 2 3 3

3 1 4

cos2x + 2cos2xcos

2 2 3

3 1

cos2x +
2 2

 



   

  

   

   

     

           

   

   

    

      

   

 

 

   

 

  2cos2x -1

2
3

  

 

 

 

 



b/ Ta có:

cosa cosb sin osa-sinacosb sin( )

cota - cotb =

sina sinb sin inb sin asinb

bc b a

as



</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Do đó:

sin(2 ) 1

cot cot 2 (1)

sinxsin2x sin 2
x x

x x

x


  

sin(4 2 ) 1

cot 2 cot 4 (2)

sin 2 sin 4 sin 4

sin(8 4 ) 1

cot 4 cot8 (3)

sin 4 sin8 sin8

sin(16 8 ) 1

cot8 cot16 (4)

sin16 sin8 sin16

x x

x x x

x x

x x x

x x

x x x



  



  



  

Lấy (1) + (20 + (3) + (4) ta được:

1 1 1 1

cotx - cot16x =

sin2x sin 4 x sin8x sin16x

Bài 7: Chứng minh:

4 4

6 6

8 8

/ sin os (3 os4x)

4
1

/ sin os x= (5 3 os4x)

8
1

/ sin os (35 28 os4x+cos8x)

a x c x c

b x c c

c x c x c

  

 

  

a/ Ta có: sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 – 2sin2xcos2x

2
2

1 sin 2

4
1

1 (1 os4x)

4
3 1

os4x
4 4

x
c
c
 

  

 

b/ Ta có: sin6x + cos6x = (sin2x + cos2x)(sin4x – sin2xcos2x + cos4x)

4 4 1 2

(sin os ) sin 2

x c x x

  





3 1 1

os4x 1 os4x

4 4c 8 c

 

   

  (do kết quả câu a)

3 5

os4x+

8c 8



</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

2 4

2
2

1 2

(3 os4x) sin 2

16 16

1 1 1

(9 6 os4x+cos 4 ) (1 os4x)

16 8 2

c x

c x c

  

 

     

 

9 3 1 1

os4x + (1 os8x) (1 2 os4x+cos 4 )

16 8 32 32

9 3 1 1 1

os4x + os8x+ os4x - (1+cos8 )

16 8 32 16 64

35 7 1

os4x+ os8x

64 16 64

c c c x

c c

    

 

Bài 8: Chứng minh: sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = cos32x

Cách 1:

sin3x.sin3x + cos3x.cos3x =

3 3 3 3

4 6 6 4

4 4 6 6

2 2 2 2 2 2 4 2 2 4

2 2

(3sinx 4sin )sin (4 os 3 osx) os

3sin 4sin 4 os 3 os

3(sin os ) 4(sin os )

3(sin os )(sin os ) 4(sin os )(sin sin os os )

3 os2x + 4cos2x(1-sin xcos x)
=-3co

x c x c c x

x x c x c x

x c x x c x

x c x x c x x c x x xc x c x

c

   

   

      



2 3

s2x + 4cos2x(1 sin 2 )
4

os2x(-3 + 4 - sin 2x)
=cos2x(1 - sin 2x) = cos 2

x
c

x




Cách 
Cách 2:

sin3x.sin3x + cos3x.cos3x =

3 3

3sinx - sin3x 3cosx + cos3x

sin 3 os3x

4 4

3 1

(sin 3 sinx+cos3xcosx) ( os 3 sin 3 )

4 4

3 1

os(3x - x)+ os6x

4 4

= (3 os2x + cos3.2x)
4

os 2

x c

x c x x

c c

c

c x

   

    

   

  



</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài 9: Chứng minh

2 2 2

2 2

2 2 2

1 cos (1 cos ) os sin

(1 ) cot cot cot 1

2sin sin sin sin

a a c b c

b c a

a a b c

  

    

HD

Ta có

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

os sin cot 1

cot .cot cot .cot

sin .sin sin sin

cot (1 cot ) (1 cot ) cot .cot 1 (1)

c b c b

b c b c

b c c b

b c b b c



   

     

2 2

1 cos (1 cos ) 1 cos (1 cos )

(1 ) (1 )

2sin sin 2sin 1 os

1 cos 1 cos 1 cos 2cos

(1 ) cot (2)

2sin 1 cos 2sin 1 cos

a a a a

a a a c a

a a a a

a

a a a a

   

  



  

   

 

Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh.
Các bạn làm thêm một số bài sau:

Bài 10 Chứng minh rằng:
1
a.sinxsin x sin x sin 3x

3 3 4

b.cosxcos x cos x cos3x

3 3 4

 

   

  

   

   

   

  

   

   

c.tg .tg(3 ).tg(3 ) tg3

 

     

Bài 11 Chứng minh các đẳng thức sau:

2 2

2
2

cotg cot g

2 2 8cos .cos

3 2

1 cot g
2

 












2 2

tg a tg 2a
tga.tg3a

1 tg a.tg 2a





Bài 12 Chứng minh rằng với mọi x ta có:
d.

10 10 63 15 5

sin x cos x cos4x cos8x

128 32 128

   

6 6 15 1

cos x sin x cos2x cos6x

16 16

  

8 8 7 1

cos x sin x cos2x cos6x

8 8

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Các bài toán rút gọn biểu thức

Việc rút gọn biểu thức lượng giác khó hơn bài tốn chứng minh vì khơng biết trước kết
quả của q trình biến đổi.Thường thì kết quả phải ở dạng đơn giản nhất mới được chấp
nhận.Với loại toán này ta bắt buộc phải biến đổi từ biểu thức trong đề bài,nhưng cũng nên
để ý một chút về dạng của biểu thức để việc định hướng trở nên đơn giản hơn.Chẳng
hạn,dạng phân thức thì tìm cách làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu để giản
ước,dạng căn thức thì tìm cách đưa về dạng bình phương của một biểu thức.

Bài 1: Rút gọn biểu thức A=

2
2

1 cos (1 cos )
1

sinx sin

x x

x

 

 

Tính giá trị của A nếu

cos ,

2 2

x  x

HD

2 2

3 3

1 cos sin 1 2cos os

( )

sinx sin

1 cos 2(1 cos )
sinx sin

2(1 os ) 2sin 2

sin sin sinx

x x x c x

A

x

x x

x

c x x

x x

   



 




 

Với

cos ,

2 2

x  x

có

2 2 1 3 3

sin 1 os 1 sinx

4 4 2

x  c x    

(do sinx > 0)

Do đó

2 4 4 3

sinx 3 3

A   

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau:

sin2a +sin5a -sin3a
A =

1+ cosa - 2sin 2a

Bài 3: Rút gọn biểu thức sau:
a. A sin3xsin x cos3xcos x 3  3

1 cos x (1 cos x)

B 1

sin x sin x

 

 

 

 

 

c. C sin3xcos x cos3xsin x 3  3

d. D cos3x.cos x sin3xsin x 3  3

2 2

E cos(x ) sin x(1 cotgx) cos x(1 tgx) (x k )

4 2

 

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

2 2

4sin(4x )

F 3 3

cotg (2x ) tg (2x )

2 2



 




  

Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến:

Dạng bài tập này cũng không biết trước kết quả cuối cùng nhưng ta hồn tồn có thể

kiểm tra được kết quả đó như thế nào thông qua một suy luận đơn giản là:Vì biểu thức
khơng phụ thuộc vào biến nên với mọi giá trị của biến biểu thức khơng thay đổi,do đó ta
chỉ cần thay một giá trị bất kì của biến sẽ kiểm tra được kết quả của biểu thức:

Bài 1: Chứng minh rằng các biể thức sau không phụ thuộc vào biến x:

2 2 2 2 2 2 2

A cos ( x) cos ( x) cos ( x) cos ( x) 2sin x

3 3 3 3

   

        

2 2 2 2 2

B cos x cos ( x) cos ( x)

3 3

 

    

2 2 2 2 2

C sin x sin ( x) sin ( x)

3 3

 

    

Hướng dẫn:

2 2 2 2 2 2 2

A cos ( x) cos ( x) cos ( x) cos ( x) 2sin x

3 3 3 3

   

        





2 2 4 4

2A=1+cos 2 1+cos 2 1+cos 2 1+cos 2 2 1-cos2x

3 x 3 x 3 x 3 x

   

       

            

       

2 2 4 4

2A=2+ cos 2 +cos 2 cos 2 +cos 2 +2cos2x

3 3 3 3

4 4

2A=2+2cos2xcos 2cos2xcos 2cos2x

3 3

A=1-cos2x-cos2x+2cos2x
A=1

x x x x

   

 

         

              

       

   

  




Nhận xét:

 Có thể kiểm tra kết quả,bằng cách thay một giá trị bất kì của x vào biểu thức ban đầu
Với

2 2 2 2 22

0 A = cos cos cos cos 1

3 3 3 3

x         

 Việc sử dụng công thức hạ bậc để có thể thực hiện các phép biến đổi dễ dàng hơn.

 Nguyên tắc chung để chứng minh một tổng không phụ thuộc vào biến là ta biến đổi về

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Bài 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x:

a) A2 osc 4x sin4 xsin2xcos2x3sin2x

2 c otx 1
t anx 1 c otx 1

B  

 

HD

a) Ta có:

4 4 2 2 2

4 2 2 2 2 2

4 2 4 2 4 2

2 os sin sin os 3sin

2 os (1 os ) (1 os ) os 3(1 os )

2 os (1 2 os os ) os os 3 3 os

A c x x xc x x

c x c x c x c x c x

c x c x c x c x c x c x

   

      

       



b) Với điều kiện sin .cosx x0, tanx1
Ta có:

2 cotx 1

t anx 1 c otx 1
1

2 t anx 2 tanx 1

t anx 1 1 t anx 1 cotx 1
t anx

2 (1 t anx) 1 t anx
1
1 t anx t anx-1

B  

 



   

   

  

  



Bài 3: Chứng minh rằng các biể thức sau không phụ thuộc vào biến x:
a. A cos (x a) cos x 2cosa cosxcos(a x) 2   2  

b. B cos (x a) sin (x b) 2cos(x a)sin(x b)sin(a b) 2   2     

Bài 4: Chứng minh giá trị của các biểu thức sau là một hằng số:

2 2

x 3x

cotg cotg

2 2

A x 3x

cos .cosx(1 cotg )

2 2






b. B sin x(1 sin x) cos x(1 cos x) 5sin xcos x 4  2  4  2  2 2
c. C sin x cos x 6sin xcos x 2sin xcos x 1 8  8  4 4  2 2 

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Tìm điều kiện của tham số để biểu thức không phụ thuộc vào biến

Biến đổi f(x, m) về dạng f(x, m) A(m).B(x) + C(m) và lập luận A(m)=0.

Bài 1 Tìm m sao cho:

6 6 4 4 2

f(x) = sin x + cos x + m(sin x + cos x) + (m +1)sin 2x

không phụ thuộc vào x

Hướng dẫn:

Sử dụng kết quả câu a và b của bài 1.5 ta có:

2 2 2

3 1

f(x) = 1- sin 2x + m 1- sin 2x + (m +1)sin 2x

4 2

 

 

 





m 3

f(x) = m +1- sin 2x + m +1

2 4

m 1

f (x) sin 2x (m 1)

2 4

 

   

 

 

     

 

f(x) không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi

m 1 1

0 m =

-2 4 2

 

  

 

 

Các bài tập còn lại làm tương tự

Bài 2 Tìm m sao cho các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a. f (x) cos x cos(x 2m) cos(x 4m) cos(x 6m)      

2 2 x 2

f (x) m(2msin x 1) 4(m 1)sinx.sin 2(m 1)cos x 2sin x

      

Bài 3 Tìm m để biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a. f (x) m(sin x cos x) (2m 1)(cos x sin x) cos2x 48  8   4  4  
b. f (x) cos2x msin x 3cos x 1  2  2 

c. f (x) sin x sin(x m) sin(x 2m) sin(x 3m) sin(x 4m)        

Bài 4 Tìm m để biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a. f (x) m(sin x cos x) 4(2sin x cos x) n sin x 8  8  6  6  4
b.

6 6 4 4 1 2

f (x) m(sin x cos x) n(sin x cos x) sin 2x

    

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Phần này khá đơn giản,đề nghị các bạn tự giải quyết

Bài 1 Biến đổi biểu thức sau thành tích

a. A sin a sin b sin(a b)    d.D cos x cos y sin(x y)   
b. B sin(a b) sin(b c) sin(c a)      e. E sin x sin 2x sin 3x  

c. C 1 sinx cos x   f. F cos x cos 2x cos3x  

Bài 2 Chứng minh rằng A 2(1 sinx)(1 cos x)   là một bình phưong hồn tồn
(Chứng minh A có dạng (a sin x bcos x c)  2)

2. Đẳng thức với số cụ thể. Tính giá trị biểu thức

Trong phần trước chúng ta chỉ xét những biểu thức chứa biến và các dạng bài tập của
nó.Phần này sẽ tiếp tục tìm hiểu về các biểu thức của các số cụ thể,sẽ có nhiều khó khăn
hơn.

A.Tính trực tiếp giá trị của biểu thức nhờ vận dụng các công thức biến đổi phù hợp

Trong phần này các bạn cần biến đổi, ghép cặp hợp lí nhằm tạo ra các tính chất đặc biệt. Để
làm được điều đó các bạn phải căn cứ vào các góc trong đề bài và xét mối quan hệ giữa các
góc ấy.

Bài 1 Tính tổng đơn giản nhờ ghép cặp triệt tiêu
a.

2 3 4

A cos cos cos cos

5 5 5 5

   

   

Hướng dẫn:

Nhận thấy giữa các góc

2 3 4

, , ,

5 5 5 5

   

,các cặp

4 2 3

, , ,

5 5 5 5

   

   

   

   có tổng bằng .Nên ta biến
đổi A như sau:

4 2 3

A cos cos cos cos

5 5 5 5

2cos cos 2cos cos 0

2 10 2 10

   

   

    

   

  

Bài 2: Chứng minh

4 43 4 5 4 7 3

sin sin sin sin

16 16 16 16 2

A        

Hướng dẫn:

Ta có
7

sin os

16 16

5 3

sin os

16 16

c

 

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Mặt khác

4 4 1 2

sin os 1 sin 2

c

    

Do đó

4 4 4 4

2 2

7 3 5

sin sin sin sin

16 16 16 16

3 3

(sin os ) (sin os )

16 16 16 16

1 1 3

(1 sin ) (1 sin )

2 8 2 8

1 3

2 (sin sin )

2 8 8

1 3

2 (sin os ) ( sin os )

2 8 8 8 8

1 3
2

2 2

A

c c

c do c

   

 

   

   

   

  

   

  

B.Tính tổng, tích các biểu thức có quy luật bằng cách nhân thêm một lượng phù hợp

Thơng thường đó là tổng hoặc tích của một hàm số lượng giác của các góc mà 2 góc liên

tiếp cách nhau một khoảng không đổi(chẳng hạn

3 5

, ,

7 7 7

  

cách nhau

2
7



)hoặc tỉ lệ với
nhau theo một tỉ số nhất định.Biểu thức cần nhân thêm ở đây thường là tạo ra các số hạng
giống nhau,nhưng trái dấu để giản ước hết.

Bài 1: Chứng minh 16sin10 .sin 30 .sin 50 .sin 700 0 0 0 1

Hướng dẫn:

Ta có

0 0 0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0

0
0

0 0

os10 1

(16sin10 . os10 )sin 30 .sin 50 .sin 70
os10 os10

1 1

(8sin 20 )( ). os40 os20

os10 2

1 1

(4sin 20 . os20 ) os40 (2sin 40 ) os40

os10 os10

1 os10

sin 80 1

os10 os10

Ac

A c

c c

c

c c c

c c

c

c c

 



 

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Bài 2: Chứng minh 16sin100sin300sin500sin700 = 1

Ta có A =

0 0 0 0 0

0 0

Acos10 1

(sin10 cos10 )sin30 sin50 sin70
cos10 cos10

1 0 1 0 0

A= 0(8sin20 )( )cos40 cos20

2
cos10

1 0 0 0

A= 0(4sin 20 cos20 ).cos40

cos10

1 0 0

A= 0(2sin40 )cos40

cos10

1 0 cos10

A= 0sin80 0 1

cos10 cos10





  

Bài 3 Tính các tổng sau:

4 4 4 4

6 6 6 6

3 5

a. A cos cos cos

7 7 7

2 4 6 8

b. B cos cos cos cos

5 5 5 5

3 5 7

c. C sin sin sin sin

16 16 16 16

3 5 7

d. D cos cos cos cos

16 16 16 16

13 23

e. E sin sin sin sin

5 5 5 6

5 7

f. F cos cos cos

9 9 9

  

   

  

  

   

  

Hướng dẫn:

a.Nhân cả 2 vế với 2sin 7



ta được:

3 5

2sin A 2cos sin 2cos sin 2cos sin

7 7 7 7 7 7 7

2 4 2 6 4

sin sin sin sin sin

7 7 7 7 7

sin sin

7 7

      

    

 

  

   

     

   

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Chia cả 2 vế cho sin 7



thu được

1
A

2


Nhận xét

Đối với biểu thức là một tổng,thường tạo ra hiệu của 2 hàm sin hoặc 2 hàm cosin để giản
ước dần các số hạng giống nhau.

Nếu các số hạng có dạng lũy thừa thì nên hạ bậc để dễ biến đổi

Bài 4 Tính các tổng sau:

0 0 0 0

b.B sin10 sin 50 sin 70

2 3 4 5 6 7

c.C cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos

15 15 15 15 15 15 15

d.D sin5 .sin15 .sin 25 ...sin85

      

   




Hướng dẫn:

b/Ta có:B sin10 sin50 sin 70    cos80 cos40 cos20  

Nhân 2 vế của B với 8sin 20 ta được:

8sin20 .B=8cos80 cos40 cos20 .sin 20
4cos80 cos40 sin 40

2cos80 sin80 sin160 sin 20

    

   

      

Từ đó suy ra
1
B

8




 



0 0 0 0

6 9 9

D sin 5 .sin15 .sin 25 ...sin85

sin 5 sin85 ... sin 35 sin 55 sin 45
2

cos80 cos60 cos40 cos20
2

2 cos80 cos40 cos20 sin 20 2 sin160 2

sin 20 sin 20

2 2 2



     

    

    

  

 

Nhận xét:

Đối với các biểu thức dạng tích ta thường đưa về dạng tích các hàm số lượng giác của
các góc,mà góc sau gấp đơi(hoặc bằng một nửa) góc trước.

Sử dụng cơng thức góc nhân đôi.

Bài 5 Chứng minh rằng

8 12 18 1 7

cos cos cos cos sin

35 35 35 2 5 2 5

    

   

Bài 6 Chứng minh rằng

2 2 2

1 1 1

2 4 6

sin sin sin

7 7 7

     

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Bài 8 Chứng minh

a. tg200 tg400  3tg20 tg400 0  3

2 3 1 3 5 1

cos cos cos cos cos cos

7 7 7 2 7 7 7 2

       

        

 

Bài 9 Chứng minh rằng:

0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0

0 0

0 2 0 0 0

0 0 0 0 0 0

8cos20 2 1

a. tg30 tg40 tg50 tg60 e. cos cos

5 5 2

sin 9 sin12

b. sin 47 sin 61 cos79 cos65 cos7 f.

sin 48 sin 81
1

c. cos20 2sin 55 1 2 sin 65 g. 2sin 70 1

2sin10

d. tg9 tg27 tg63 tg81 4 h. sin 33 cos63

 

     

    

    

     cos30

Bài 10 Chứng minh rằng:

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

a. tg20 .tg40 .tg60 .tg80 3

( 5 1)(4 10 2 5 )

b. tg1 .tg19 .tg21 .tg39 .tg41 .tg59 .tg61 .tg79 .tg81

4


  



Bài 11 Tính tổng:

2 2 3 2 5

A tg tg tg

12 12 12

  

  

C. Hệ thức Viet và ứng dụng để tính giá trị của một biểu thức

Chúng ta đã quá quen thuộc với định lí Viet cũng như ứng dụng của nó trong các bài
tốn về phương trình bậc 2,hay các bài về biểu thức nghiệm đối xứng.Trong phần này các
bạn sẽ tiếp tục thấy được vẻ đẹp và tính ứng dụng rộng rãi của nó trong các bài tính giá trị
của một biểu thức lượng giác.

Bài 1 Chứng minh rằng:

2 2 2

5 7 1

a.cos cos cos

9 9 9 8

5 5 7 7 3

b.cos cos cos cos cos cos

9 9 9 9 9 9 4

3
c.sin 20 sin 40 sin80

1 1 1

d. 8

2 4 6

sin sin sin

7 7 7

  

     

  



  

   

  

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

a.Nhận thấy

5 7

, ,

9 9 9

  

là nghiệm của phương trình

1
cos3x=

2,suy ra

5 7

cos ,cos ,cos

9 9 9

  

là nghiệm của phương trình

3 1

4t 3t 0

  

Áp dụng định lí Viet ta được điều phải chứng minh:

d.Nhận thấy:

2 4 6

, ,

7 7 7

  

là nghiệm của phương trình sin 42 xsin 32 x(*)

Đặt tsin2x,và đưa phương trình(*) về dạng 64t3112t256t 7 0 (**) 
Theo nhận xét trên thì phương trình(**) có 3 nghiệm là:

2 2 2

1 2 3

2 4 6

t sin , t sin , t sin

7 7 7

  

  

Do đó:

1 2 2 3 3 1

2 2 2 1 2 3

t t t t t t

1 1 1 64 8

2 4 6 t t t 7

sin sin sin

7 7 7 64

  

 

    

Bài 2 Chứng minh rằng:

3
3

3 cos2 3 cos4 3 cos8 5 3 7

7 7 7 2

   

  

Bài 3 Tính giá trị của biểu thức

9 9 17 17

P cos .cos cos .cos cos .cos

12 12 12 12 12 12

     

  

Bài 4 a/Chứng minh rằng tg 20 ,tg 40 , tg 802 0 2 0 2 0là nghiệm của phương trình

3 2

x  33x 27x 3 0 

b/Tính tổng sau:A tg 20 6 0 tg 406 0 tg 806 0

c/Đặt 2 2 2

1 1 1

cos 20 cos 60 cos 80

  

   Chứgn minh rằng:

36 2 2 M 32 4 3   

D.Tính tổng và tích hữu hạn

Các bài tốn tính tổng và tích hữu hạn thường có tính quy luật điều quan trọng nhất là ta phải
tìm ra quy luật ấy.Trong các bài dưới đây,có một số câu được coi như gợi ý để làm các câu tiếp
theo.Một số bài toán đề bài cho dưới dạng chứng minh,nó trở thành một mệnh đề phụ thuộc số
tự nhiên,sẽ rất thuận lợi trong việc sử dụng phương pháp quy nạp.

Bài 1 a. Chứng minh:

1 x

cot g cot gx

sinx  2 

b. Rút gọn:

n 1
n 1

1 1 1

S ... (2 k )

sin sin 2 sin 2   




</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Bài 2 Cho

3 3 n 1 3

n 2 n

S sin 3sin ... 3 sin

3 3 3

   

   

a. Chứng minh

3 1

sin x (3sin x sin 3x)
4

 

b. Tính tổng Sn

c. Tương tự tính

3 3 n 1 3

2 n

P cos 3cos ... 3 cos

3 3 3

   

   

Bài 3

a. Chứng minh tg x.tg2x tg2x 2tgx2  

b. áp dụng tính

2 2 n 1 2

n 2 2 n n 1

S tg tg 2tg tg ... 2 tg tg

2 2 2

    

  

   

Bài 4

Tính S cos  cos3 ... cos(2n 1)   ( k )

Bài 5

a. Chứng minh

sin 2x
cos x

2sinx


b. Tính Sn cos .cos2 22...cos2n

  



Bài 6 Tính các tổng sau:

3 5 17

A cos cos cos ... cos

19 19 19 19

   

    

2 4 6 20

B cos cos cos ... cos

21 21 21 21

   

    

2 3 (n 1)

C sin sin sin ... sin

n n n n

    

    

3 5 (2n 1)

D cos cos cos ... cos

n n n n

    

    

Bài 7 Rút gọn:

2 2 2 n 2

2 n

1 1 1

a. A ...

4cos 4 cos 4 cos

2 2 2

1 1 1

b. B ...

cos x.cos2x cos 2x.cos3x cos nx.cos(n 1)x

  

   



</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

n 1
n 1

n
n 1

a a a a a sin a

a. A cos .cos .cos .cos .cos (a 32k )

2 4 8 16 32 32sin

1 1 1 tg2 x

b. B 1 1 ... 1

cosx cos2x cos2 x tg

2
2cos2 x 1
c. (2cosx 1)(2cos2x 1)...(2cos2 x 1)

2cosx 1

a b a

d. cos cos cos c

2 2 2





  

     

        

     



   



 

 

 

  2 n n n

n n

b a b cos a cos b

os ... cos cos

a b

2 2 2 2 cos cos

2 2



   

 

   

 

    

 

 

Bài 9 Chứng minh các đẳng thức sau:

3 9 1

a. cos cos ... cos

11 11 11 2

2 4 10 1

b. cos cos ... cos

11 11 11 2

1 1 1 1

c. cot ga cot g16a

sin 2a sin 4a sin 8a sin16a

  

   

   

    

Bài 10 Chứng minh rằng:

n 1
n 1

n 1 n

a. 2 2 2 ... 2 2sin

2
1

b. 2. 2 2... 2 2 ... 2

sin
2









    

   

        

     

(HD:Pp quy nạp)

Bài 11 Rút gọn: S 2 2 ... 2 2cos A 

Phần 2: Đẳng thức lượng giác có điều kiện

Bài 1: Cho ABC. Chứng minh rằng:

A B B C C A

tan tan tan tan tan tan 1

2 2  2 2  2 2 

Ta có:

A+B C

2 2 2



 

Vậy:

A+B C

tan cot

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

A B

tan tan 1

2 2

A B C

1-tan tan tan

2 2 2

A B C A B

tan tan tan 1 tan tan

2 2 2 2 2

A B B C C A

tan tan tan tan tan tan 1

2 2 2 2 2 2



 

 

     

 

   

Bài 2: (CĐMGTW3 năm 2006)

Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c. Giả sử a + c = 2b.
Chứng minh rằng: cot 2 cot 2 2cot 2

A C B

 

Giải:

Ta có a + c = 2b sinA +sinC = 2sinB => 2sin 2 os 2 4sin 2 os 2

A C A C B B

c c

 



os 2sin os os sin

2 2 2 2 2

2 1

2sin sin sin

2 2 2 sin sin sin

2 2 2

A C B A C A C B

c c c

A C B

B A C

  

    

   

2 os sin

2 2 2cot cot cot

2 2 2

sin sin sin

2 2 2

B A C

c B A A

B A C



    

Cách 2

Có

( )

( ) tan cot

2 2

A S p p a A

r p a

p S



    

a + c =2b => p – a + p – c = 2(p – b )

( ) ( ) 2 ( )

cot cot 2cot

2 2 2

p p a p p c p p b A C B

s s s

  

     

Bài 3: (CĐSP Vĩnh Phúc năm 2005)

Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện sin .sin2 2 2sin 2

A C B



(*)
Chứng minh rằng:

1
tan .tan tan .tan

2 2 2 2 3

A B B C

 

.
Giải:

Từ (*) sin sin2 2 os 2 2 os2 os 2 2sin sin2 2

A C A C A C A C

c  c c

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

2
3sin sin 2 os os tan tan

2 2 2 2 2 2 3

A C A C A C

c c

   

Mà với mọi tam giác ta đều có: tan 2tan 2 tan2 tan 2 tan 2 tan 2 1

A B B C C A

  

2 1
tan tan tan tan 1

2 2 2 2 3 3

B C A B

    

Bài 4

Cho ABC. Chứng minh rằng:

A B C

sin sin sin

2 2 2 2

B C C A A B

cos cos cos cos cos cos

2 2 2 2 2 2

+ + =

Hướng dẫn:

A B C B C C A A B

sin sin sin cos cos cos

2 2 2 2 2 2

B C C A A B B C C A A B

cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

+ + +

+ + = + +

B C B C C A C A A B A B

cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

B C C A A B

cos cos cos cos cos cos

2 2 2 2 2 2

- -

-= + +

B C C A A B

3 tg tg tg tg tg tg

2 2 2 2 2 2

ổ ửữ

ỗ

= - ỗỗố + + ữữữ

ứ.

Mt khỏc:

B C

tg tg

A B C 1 2 2 B C C A A B

cotg tg tg tg tg tg tg tg 1

2 2 A B C 2 2 2 2 2 2

tg 1 tg tg

2 2 2

+
+

= Þ = Þ + + =

-Vậy

A B C

sin sin sin

2 2 2 2

B C C A A B

cos cos cos cos cos cos

2 2 2 2 2 2

+ + =

Bài 5: (ĐH khối A 2004)

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Giải:
Cách 1:

os2 2 2 cos 2 2 cos 3

2 os 1 2 2.2 os os 3

2 2

2 os 4 2 sin os 4

2 2

M c A B C

B C B C

c A c c

A B C

c A c

   

 

   



  

Do sin 2 0, os 2 1

A B C

c 

 

nên

2 os 4 2 sin 4
2

A

M  c A 

Mặt khác tam giác ABC không tù nên 1 cos A0, osc 2Acos .A

Suy ra

2 2

2 os 4 2 sin 4 2(1 2sin ) 4 2 sin 4

2 2 2

4sin 4 2 sin 2 2( 2 sin 1) 0

2 2 2

A A A

M c A

A A A

      

     

Vậy M 0.

Theo giả thiết: M = 0

2
0
0
os cos

90
os 1
2 45
1
sin
2 2

c A A

A
B C
c
B C
A

 

 

 
    
 








Cách 2: Từ đề bài ta có cos2A2 2( osB+ cos ) 3 0c C  

2 2

1 2sin 4 2 os os 3 0 sin 2 2 sin os 1 0 (*)

2 2 2 2

B C B C A B C

A c  c  A c 

        

Vì tam giác ABC khơng tù nên 0 2 4

A 

 

sin 0

sin 2sin os 2 sin

2 2 2

2
os

2 2

A

A A A

A c
A
c




    
 



Như vậy vế trái của (*)

2sin 2 2 sin os 1

2 2 2

A A B C

c 

  

2 2

( 2 sin os ) sin 0

2 2 2

A B C B C

c  

   

Vậy từ (*) ta có: 2 sin 2 os 2

A B C

c 



và sin 2 0

B C

Suy ra
2
sin

2 2
A


và 2 2

B C



Vậy A90 ,0 B C 450

Cách 3 (Ước lượng + phép tính đạo hàm)

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

2 2 2

4 2

2 os 1 4 2 sin os 3 2(1 2sin ) 4 2 sin 4

2 2 2 2

8sin 8sin 4 2 sin 2

2 2 2

8 8 4 2 2, sin (0; ]

2 2

A B C A A

M c A c

A A A

A

t t t t



       

   

     

Đặt

4 2 2

( ) 8 8 4 2 2, (0; ]

f t  t  t  t t

3
2

'( ) 32 16 4 2
''( ) 96 16

16 6

''( ) 0

96 6

f t t t

f t t

  

 

   

Sự biến thiên của f’(t)

- 0 +

f'( 6
6 )

2
2
6

6
0

f'(t)
f''(t)

t

Ta có

6 16 6

m inf '( ) '( ) 4 2 0

6 9

t f   

Vậy

2
'( ) 0, (0; ]

f t   t

Suy ra f(t) đồng biến trên
2
(0; ]

2
2

( ) ( ) 0

f t f

  

Vậy M 0

Dấu đẳng thức xảy ra

0
0

os 1

90
2

2 45

sin

2 2

B C
c

A

A B C






  

 

   

 




 

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Nhận xét: Cách này phức tạp, rườm rà hơn cách 1 vì đã khơng sử dụng ước lượng

os cos

c A A khi A không tù ( do đó đi tới hàm bậc 4 đối với sin 2
A
t 

Cách 4: (Ứng dụng tích vơ hướng của các véc tơ)

Từ điểm O bất kì thuộc ABC vẽ các véc tơ

đơn vị e e e1, ,2 3

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  
  
  
  

theo thứ tự vng góc với cạnh
BC, AC, AB và hướng ra ngoài ABC,

1 2 3 1

e e  e 

Ta có 0 (2 e1 2e2 2 )e3 2

  

2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3

4e 2e 2e 4 2 .e e 4 2 .e e 4 .e e

     
        

e

2

e

3

e

1
B
A
O

Để ý


 



 

1, 2 os 1, 2 cos

e e   C c e e  C

   

Tương tự có


 







1 3
3 2

os , cos

c e e B

c e e A



 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ta được 0 4 2 2 4 2 cos    C 4 2 cosB 4cosA

 

2cosA 2 2 cosB 2 2 cosC 4 2cosA 1 2 2 cosB 2 2 cosC 3 1

        

Theo giả thiết 0 A 2


 

nên cos2AcosA

Suy ra cos2A2 osc 2A 1 2cosA1

Bởi vậy từ (1) kéo theo cos2A2 2 cosB2 2 cosC3

Dấu đẳng thức xảy ra

1 2 3

os cos

2 2 2 0

c A A

e e e

 

 
  


  
0

2 1 3 1 3

0 0

cos 0 90

2 (2 2 ) 2 4 2 4 2 .

90 90

cos 45

2 6 4 2 cos

A A

e e e e e

A

A A

B B C

B
  

 
   
    
 
 
 
   
  
     
  
  
  


    

Bài 6 Cho

cos(x y) 1

cos(x y) 2




 . Tính tgx.tgy

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Bài 8 Tính sin x cos x4  4 biết sin2x = 
1
7

Bài 9 Cho sin2a + sin2b = 2sin2(a + b). Tính tga. tgb

Bài 10 Cho

3
sin a cos a

 

. Tính sin2a.

Bài 11 a. Cho (1 a cos x)(1 a cos y) 1 a    2 (a 0;1)

Chứng minh:

tg 1 a

2 (x (2k 1) ; y k2 )

y 1 a
tg

 



   



b.Cho

4 4

sin cos 1

a b a b

 

 

 (a,b>0).

Chứngminh:





8 8

3 3 3

sin s 1

a b a b

 

 



Bài 12 Cho x = cos2a(0 a ). Tính giá trị biểu thức:

1 2 (1 )

2 1

x x

y

x

 





Bài 13 Chứng minh rằng nếu có a c 2b  thì

sin a sin b sin c

tgb
cosa cosb cos c

 



 

Bài 14 Chứng minh rằng nếu ta có msin(a +b) = cos(a – b) với a b k 

và m 1 thì

1 1

1 sin 2 1 sin 2

A

m a m b

 

  không phụ thuộc a,b.

Bài 15

a. Cho cos() k cos(   ). Chứng minh rằng:

1 k

tg .tg (k 1)

1 k

    



b. Cho cos( 2 ) k cos( ).   Chứng minh rằng:

1 k

tg( ).tg (k 1)

1 k

     



Bài 16 Cho

a sin(x ) A cos(x )

;

b sin(x ) B cos(x )

 

 

 

 

  . Chứng minh:

aA bB

cos( )

aB bA  



 



Bài 17 Cho tg a tg b tg b tg c tg c tg a2 . 2  2 . 2  2 . 2 2.tg a tg btg c2 . 2 2 1
Chứng minh rằng: sin2asin2bsin2c 1

Bài 18 Chứng minh rằng nếu ta có:

1 1

( 1 1; 0)

1 1

y y

tg x y y

y y

  

    

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Bài 19 Cho sinx + cosx = a. Tính sinn xcosnx theo a với n = 1, 2,.., 7

Bài 20 Cho

sin y n.

sin(2x y) m Tính

tgx tgy

tgx(1 tgx.tgy)






Bài 21 Chứng minh rằng nếu a b 4 k



  

thì (tga + 1)(tgb + 1) = 2

Bài 22 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có a + c = 2b thì

cosB B 60

  

Bài 23 Chứng minh rằng tam giác ABC có

1 1 1

A 120

b c l

   

Bài 25 Chứng minh rằng nếu có tga = 2tgb thì sin(a + b) = 3sin(a - b)

Bài 26 Tìm mối liên hệ giữa a, b, c sao cho:

2 2 2

2 2

a. sin a sin b sin c 2sin a sin bsin c
b. tg(a b)sin c cosc

c. sin(a b) sin a sin b

  

 

  

Bài 27 Cho tg, tg là nghiệm của phương trình: ax2 bx c 0

Tính theo a, b, c giá trị của biểu thức:

A a .sin (2  )bsin( )cos( )ccos2( )

Bài 28 Cho

2 2

r 1 1 2r cos B r

1 2r cos A r r 1

  



   .

Chứng minh:

2
2 A 2 B r 1

tg tg

2 2 r 1



 

 



 

Bài 29 Cho ba số a, b, c đơi một khác nhau và các góc , A, B,Cthoả

mãn:

a b c

tg( A) tg( B) tg( C).

Chứng minh:

2 2 2

a b b c c a

sin (A B) sin (B C) sin (C A) 0

a b b c c a

  

     

  

Bài 30 Cho biết cos cos cos 0.
Chứng minh:

cos .cos .cos (cos3 cos3 cos3 )

       

Bài 31 Cho a và b là hai góc nhọn.
Chứng minh rằng:

2 2

sin a sin b sin(a b) a b
2


</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Bài 32 Cho

sin x sin 3x sin 5x

a  b  c . Chứng minh:

a c b a

b a

 



Bài 33 Cho tg (a + b) = 3tga. Chứng minh: sin(2a 2b) sin 2a 2sin 2b  

Bài 34 Chứng minh rằng :

a b b c c a

sin a sin b sin c sin(a b c) 4sin( )sin( )sin( )

2 2 2

  

     

Bài 35 Chứng minh rằng:

tg(x y) tg(y z) tg(z x) tg(x y).tg(y z).tg(z x)        

Bài 36 Cho biết tg , tg1 2, tg3là ba nghiệm của phương trình
3 2

x ax bx c 0 

và tg , tg , tg1 2 3 là ba nghiệm của phương trình x3cx2bx a 0  .

Chứng minh:

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

tg(  ) tg(   ) tg(   ) tg(   ).tg(  ).tg(  )

MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC

Như ta đã thấy các phép biến đổi lượng giác thật linh hoạt, mềm dẻo. Vì thế mà ta có thể
đưa một số bài tốn Đại số về dạng lượng giác để khai thác các phép biến đổi đó, khi đó
bài tốn trở nên đơn giản hơn. Chẳng hạn trong kì thi tuyển sinh Đại học năm 2008 vừa
qua ở đề thi khối B có một bài có thể áp dụng phương pháp này:

Bài 1: (ĐH khối B 2008)

Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2y2 1. Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2( 6 )

1 2 2

x xy

P

xy y




  .

Giải:

Từ giả thiết x2y2 1 ta đặt x = sint, y = cost, t[0;2 ]
Khi đó

2(sin 6sin cos ) 1 os2 6sin 2 1 os2 6sin 2
1 2sin cos 2 os 1 sin 2 1 os2 2 sin 2 os2

t t t c t t c t t

P

t t c t t c t t c t

    

  

      

(2 sin 2 os2 ) 1 os2 6sin 2 ( 6)sin 2 ( 1) os2 1 2

P t c t c t t P t P c t P

            (1)

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

2 2 2
2

12 36 2 1 1 4 4

3 18 0 6 3

P P P P P P

P P P

        

       

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng -6 và giá trị lớn nhất của P bằng 3.

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = 2sin8x + cos42x

b) y4sinx cosx

Hướng dẫn:

a) Ta có

4 4

1 os2

2( ) os 2

c x

y  c x

Đặt t = cos2x với   1 t 1
Khi đó

4 4

1
(1 )

y  t t

3 3 3 3

1 1

' (1 ) 4 , ' 0 (1 ) 8 1 2

2 3

y t t y t t t t t

            

Ta có

1 1

(1) 1; ( 1) 3; ( )
3 27

y  y   y 

Do đó R R

1
max 3; min

x x

y y

 

 

b) Do điều kiện sinx 0,cos x0 nên miền xác định 
[ 2 , 2 ],

Dk   k  k Z

Đặt t cos , 0x  t 1 thì t4 cos2x 1 sin2 x s inx 1 t4

Vậy

8 4
3

4 7
8

1 , 0 1

' 1 0, [0;1)

2 (1 )

y t t t

t

y t

t

    



    



Nên y giảm trên (0; 1)

Vậy maxx D (0) 1, minx D (1) 1

y y y y

 

   

Cách khác:

4sin cos 4sin 1

y x x x

Dấu “=” chẳng hạn tại x = 2

Suy ra maxy = 1

4sin cos cos 1

y x x x 

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Bài 3: Cho hàm số y sin4 x c os4x 2 sin x cosm x
Tìm m để y xác định với mọi x,

Hướng dẫn:

Xét

4 4

2 2 2 2 2

( ) sin os 2 sin x cos

(sin os ) sin 2 2sin os
1

1 sin 2 sin 2
2

f x x c x m x

x c x m x xc x

x m x

  

   

  

Đặt t = sin2x với t  [ 1;1]

Y xác định với mọi x khi và chỉ khi

2
2

[ 1;1]

( ) 0, R
1

1 0, [ 1;1]

( ) 2 2 0, [ 1;1]

max ( ) 0 ax{ ( 1); (1)} 0
max{ 2 1; 2 1} 0

1 1

1 2 2

t

f x

t mt t

g t t mt t

g t m g g

m m

m

m
m

 

  

      

       

    

     






     

 

</div>

Bai tap Cong thuc luong Giac

<b>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH</b>

<b>TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 2</b>

<b>Lượng giác</b>

<b>A. TĨM TẮTGIÁO KHOA</b>

Goùc

1

0



<sub>180</sub>

1

goùc

beït

180

0





rad





















<i>k</i>

<i>C</i>

<i>A</i>

<i>k</i>

<i>C</i>

<i>k</i>

<i>A</i>





















2

D

B,

k

,

2

2

D

2k

2

2

B

2k





<i>k</i>

2

<i>AB</i>

















<b>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN</b>



 











