LÝ THUYẾT SỐ PHỨC TOÁN 12

Tô Thị Kiều Oanh

SỐ PHỨC
Vấn đề 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
I.

Số phức và thuộc tính của nó

Với số phức z  a  bi , các dạng câu hỏi thường đặt ra :



1. Xác định phần thực và phần ảo của số phức z . Khi đó ta có :
Phần thực bằng a .
Phần ảo bằng b .
2. Hãy biểu diễn hình học của số phức z .

Khi đó, ta sử dụng điểm M (a; b) để biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ .
3. Tính mơđun của số phức z . ; khi đó ta có z  a 2  b2 .
4. Tìm số đố của số phức z ; khi đó ta có  z  a  bi .
5. Tìm số phức liên hợp của số phức z ; khi đó ta có z  a  bi .
1
a  bi
6. Tìm số phức nghịch đảo của số phức z ; khi đó ta có z 1  2 .z  2 2 .
a b
z
II. Các phép toán về số phức.
Sử dụng định nghĩa cùng tính chất của các phép tốn (cộng, trừ, nhân, chia) trên tập số phức.
Cần nhớ các hằng đẳng thức sau :
1.
2.

3.
4.
5.
6.
III.
1.

a 2  b2  a 2  (bi)2  (a  bi)(a  bi)  z.z .

(a  bi)2  a 2  b2  2abi .
(a  bi)2  a 2  b2  2abi .
(a  bi)3  a3  3a2bi  3a(bi)2  (bi)3  a3  3ab2  (3a 2b  b3 )i .
(a  bi)3  a3  3a 2bi  3a(bi)2  (bi)3  a3  3ab2  (3a 2b  b3 )i .
i 4k  1; i 4k 1  i; i 4k 2  1; i 4k 3  i .
Tập hợp điểm .
Phương pháp trổng quát .

Giả sử số phức z  x  yi được biểu diễn bởi M ( x; y) . tìm tập hợp điểm M là tìm hệ thức giữa
x; y thỏa mãn yêu cầu của đề bài .
2. Giả sử các điểm M , A, B lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z; a; b .
Nếu z  a  z  b  MA  MB  M thuộc đường trung trực của đoạn AB .

1


Tô Thị Kiều Oanh
Nếu z  a  z  b  k (k  , k  0, k  a  b )  MA  MB  k  M  ( E ) nhận A , B là hai
tiêu điểm và độ dài trục lớn bằng k .
3. Giả sử M và M ' lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z và w  f ( z ) .
Đặt z  x  yi và w  u  vi ( x, y, u, v  ) .

Hệ thức w  f ( z) tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa x, y, u, v .


Nếu biết một hệ thức giữa x, y ta tìm được một hệ thức giữa u, v và suy ra được tập hợp
điểm M ' .
 Nếu biết một hệ thức giữa u, v ta tìm được một hệ thức giữa x, y và suy ra được tập hợp
điểm M ' .
4. Nhắc lại một số kiến thức về hình học giải tích .


Phương trình đường thẳng :

Dạng tổng quát : ax  by  c  0
Dạng đại số : y  a.x  b .

 x  x0  at
Dạng tham số : 
.
 y  y0  bt
Dạng chính tắc :

x  x0 y  y0
.

a
b

Phương trình đoạn chắn :

x y

 1 .
a b

Phương trình đường thẳng đi qua M ( x0 ; y0 ) biết hệ số góc k : y  k ( x  x0 )  y0 .


Phương trình đường trịn tâm I (a; b) bán kính R : ( x  a)2  ( y  b)2  R2 .



Phương trình Elip :

x2 y 2

1 .
a 2 b2

Với 2 tiêu cự F1 (c;0); F2 (c;0), F1F2  2c
Trục lớn 2a , trục nhỏ 2b và a 2  b2  c2 .

Vấn đề 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH
I.

Căn bậc hai của số phức .

Tìm căn bậc hai của số phức w .
2


Tô Thị Kiều Oanh

Trường hợp 1: Nếu w là số thực (tức w  a )



Với a  0 thì w có hai căn bậc hai là  a .
Với a  0 thì w có hai căn bậc hai là i a .

Trường hợp 2: Nếu w  a  bi(a, b  ; b  0) thì z  x  yi( x, y  ) là căn bậc hai của w khi

 x2  y 2  a
và chỉ khi : z  w  ( x  yi)  a  bi  ( x  y )  2 xyi  a  bi  
.
2 xy  b
2

2

2

2

Phương trình .
1. Phương trình bậc nhất .

II.

Để giải phương trình bậc nhất trên tập hợp số phức , ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau :
Cách 1: Sử dụng ccacs phép biến đổi đại số và các phép toán về số phức .
Cách 2: Thực hiện theo các bước sau :
Bước 1: Giả sử số phức cần tìm là z  a  bi(a, b  ) .

Bước 2: Thay z vào phương trình và sử dụng tính chất hai số phức bằng nhau của hai số phức
để tìm a và b .
Bước 3 : Kết luận về số phức cần tìm .
2. Phương trình bậc hai.
Sử dụng máy tính .
III. Dạng lượng giác của số phức .
1. Viết dạng lượng giác của số phức
Để tìm dạng lượng giác r (cos  i sin  ) của số phức z  a  bi , ta thwucj hiện các bước sau :
Bước 1: Tìm r là mơ đun của z , r  a 2  b2 , r là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu
diễn số phức z trong mặt phẳng phức.
a
b
Bước 2: Tìm  là acgument của z ,  là só thực sao cho cos   ;sin   ;  cũng là góc
r
r
lượng giác tạo bởi tia đầu Ox và tia cuối OM .



a
b
a b 

i   z  r   i   r  cos   sin i  .
Kết luận : z  a  bi  a 2  b 2 
2
2
2
2
r r 

a b 
 a b
2. Công thức Moivre.


Công thức Moivre : Với mọi số nguyên dương n , ta có :

3


Tô Thị Kiều Oanh

 r  cos   i sin    r n  cos n  i sin n 
n



Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :




r  cos  i sin  và
2
2



 





 r  cos  i sin   r cos      i sin     
2
2


2

 2

Số phức có căn bậc hai là :

Vấn đề 3: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VẬN DỤNG CAO
Phương pháp đại số , lượng giác trong bài toán min-max.
1. Bất đẳng thưc tam giác.

I.



z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra khi z1  kz2 ; k  0 .



z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra khi z1  kz2 ; k  0 .



z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra khi z1  kz2 ; k  0 .



z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra khi z1  kz2 ; k  0 .

2. Bất đẳng thức AM-GM
Với a1; a2 ;...; an khơng âm ta có a1  a2  ...  an  n n a1.a2 ....an , n là số tự nhiên lớn hơn 1. Dấu
bằng xảy ra khi a1  a2  ...  an .
3. Bất đẳng thức Bunhia-Copski.

(a12  a22  ...  an 2 )  b12  b22  ...  bn 2    a1b1  a2b2  ...  anbn 
Dấu bằng xảy ra khi

a1 a2
a
  ...  n .
b1 b2
bn

4

2