Một số sai lầm khi giải toán tích phân

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b> ph n I: m </b>

<b>ầ</b>

<b>ở đầ</b>

<b>u</b>

<b>I/đặ ấ đềt v n </b> <b>.</b>

Trong đề thi t t nghi p THPT , ố ệ Đại h c , Cao ọ đẳng, THCN c a cácủ
n m b i tốn tích phân h u nh không th thi u nh ng ă à ầ ư ể ế ư đố ới v i h c sinhọ
THPT b i tốn tích phân l m t trong nh ng b i toán khó vì nó c n à à ộ ữ à ầ đến sự
áp d ng linh ho t c a ụ ạ ủ định ngh a, các tính ch t , các phĩ ấ ương pháp tính c aủ
tích phân. Trong th c t a s h c sinh tính tích phân m t cách h t s c máyự ế đ ố ọ ộ ế ứ
móc ó l : tìm m t ngun h m c a h m s c n tính tích phân r i dùngđ à ộ à ủ à ố ầ ồ
nh ngh a c a tích phân ho c ph ng pháp i bi n s , ph ng pháp tính

đị ĩ ủ ặ ươ đổ ế ố ươ

tích phân t ng ph n m r t ít h c sinh ừ ầ à ấ ọ để ý đến nguyên h m c a h m sà ủ à ố
tìm được có ph i l ngun h m c a h m s ó trên o n l y tích phân hayả à à ủ à ố đ đ ạ ấ
không? phép đặt bi n m i trong phế ớ ương pháp đổi bi n s có ngh a khơng?ế ố ĩ
Phép bi n ế đổ ài h m s có tố ương đương khơng? vì th trong q trình tínhế
tích phân h c sinh thọ ường m c ph i nh ng sai l m d n ắ ả ữ ầ ẫ đế ờn l i gi i sai quaả
th c t gi ng d y nhi u n m tôi nh n th y r t rõ y u i m n y c a h c sinhự ế ả ạ ề ă ậ ấ ấ ế đ ể à ủ ọ
vì v y tơi m nh d n ậ ạ ạ đề xu t sáng ki n : “ M t s sai l m thấ ế ộ ố ầ ường g p c aặ ủ
h c sinh khi tính tích phân”ọ

Nh m giúp h c sinh kh c ph c ằ ọ ắ ụ được nh ng y u i m nêu trên t óữ ế đ ể ừ đ
t c k t qu cao khi gi i b i tốn tích phân nói riêng v t k t qu

đạ đượ ế ả ả à à đạ ế ả

cao trong quá trình h c t p nói chung.ọ ậ
II/Lí do ch n ọ đề à t i :

“ M t s sai l m thộ ố ầ ường g p c a h c sinh khi tính tích phân”ặ ủ ọ

trong tốn Đạ ối S Gi i Tích 12 . Nó cho phép chúng ta ti p c n nhanh nh ngả ế ậ ữ
b i toán ph c t p, c th tính giá tr c a t ng d ng tích phân v có thà ứ ạ ụ ể ị ủ ừ ạ à ể
nhìn th y nh ng sai l ch , m ta s d ng không úng phấ ữ ệ à ử ụ đ ương pháp …vv .
Chính vì v y tơi ch n ậ ọ đề à t i : “ M t s sai l m thộ ố ầ ường g p c a h c sinh khiặ ủ ọ
tính tích phân”

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Nguyên h m v tích phân v i các phà à ớ ương pháp tương ng ã có t lâu ,ứ đ ừ
nh ng : ư

“ M t s sai l m thộ ố ầ ường g p c a h c sinh khi tính tích phân” h u nh ít ặ ủ ọ ầ ư để
ý đến.

V i quan sát nh v y , tôi m nh d n ớ ư ậ ạ ạ đưa ra đề à t i nh th n y trong kho ngư ế à ả
th i gian suy ngh t 2 ờ ĩ ừ đến 3 n m . Tuy l m i , nh ng tôi không ng ng thamă à ớ ư ừ
kh o ý ki n c a các em v ả ế ủ à đồng nghi p ệ để ho n ch nh nó .à ỉ

IV/gi i h n c a ớ ạ ủ đề à t i :

V ki n th c : Nguyên h m v tích phân ch gi i h n m t ph n ki n th cề ế ứ à à ỉ ớ ạ ộ ầ ế ứ
trong h c k II c a sách ọ ỳ ủ đạ ố ải s gi i tích 12 .

V th i gian : khơng nhi u trong nghiên c u v nhìn nh n vi c d y , theo dõiề ờ ề ứ à ậ ệ ạ
vi c h c c a các em . Nh ng v i tinh th n giáo d c , nên m i khó kh n chúngệ ọ ủ ư ớ ầ ụ ọ ă
tôi c ng ũ đều vược qua .

<b>V/ phương pháp :</b>

+ L a ch n các ví d các b i t p c th phân tích t m nh ng sai l m c aự ọ ụ à ậ ụ ể ỉ ỉ ữ ầ ủ
h c sinh v n d ng ho t ọ ậ ụ ạ động n ng l c t duy v k n ng v n d ng ki nă ự ư à ỹ ă ậ ụ ế

th c c a h c sinh ứ ủ ọ để ừ đ đư t ó a ra l i gi i úng c a b i toán.ờ ả đ ủ à

+Th c nghi m s ph m .ự ệ ư ạ

<b>Ph n II: n i dung</b>

<b>ầ</b>

<b>ộ</b>

<b>I/ c s khoa h c :ơ ở</b> <b>ọ</b>

D a trên nguyên t c quá trình nh n th c c a con ngự ắ ậ ứ ủ ườ đ ừi i t : “ cái sai
n cái g n úng r i m i n khái ni m úng”, các nguyên t c d y h c v

đế ầ đ ồ ớ đế ệ đ ắ ạ ọ à

c i m quá trình nh n th c c a h c sinh

đặ đ ể ậ ứ ủ ọ

<b>II/ n i dung c th .ộ</b> <b>ụ ể</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>B i t p minh ho :à ậ</b> <b>ạ</b>

<b>B i 1à</b> <b>: Tính tích phân: I = </b>

<i>x</i>+1¿2
¿
¿

dx

¿

∫

<i>−</i>2
2

¿

* Sai l m thầ ường g p: I = ặ

<i>x</i>+1¿2
¿
¿

dx

¿

∫

<i>−</i>2
2

¿

=

<i>x</i>+1¿2
¿
¿

<i>d</i>(<i>x</i>+1)

¿

∫

<i>−</i>2
2

¿

=- 1

<i>x</i>+1 ¿<i>−</i>22

=-1

3 1 =

-4
3

* Nguyên nhân sai l m :ầ
H m s y = à ố

<i>x</i>+1¿2
¿

1

¿

không xác định t i x= -1ạ [<i>−</i>2<i>;</i>2] suy ra h m s khôngà ố
liên t c trên ụ [<i>−</i>2<i>;</i>2] nên không s d ng ử ụ được công th c Newt n – leibnitzứ ơ
nh cách gi i trên.ư ả

* L i gi i úngờ ả đ
H m s y = à ố

<i>x</i>+1¿2
¿

1

¿

không xác định t i x= -1ạ [<i>−</i>2<i>;</i>2] suy ra h m s khôngà ố
liên t c trên ụ [<i>−</i>2<i>;</i>2] do ó tích phân trên khơng t n t i.đ ồ ạ

* Chú ý đố ớ ọi v i h c sinh:
Khi tính

_∫

<i>a</i>
<i>b</i>

❑f(<i>x</i>)dx c n chú ý xem h m s y=f(x) có liên t c trên ầ à ố ụ [<i>a ;b</i>]
không? n u có thì áp d ng phế ụ ương pháp ã h c đ ọ để tính tích phân ã cho cịnđ
n u khơng thì k t lu n ngay tích phân n y khơng t n t i.ế ế ậ à ồ ạ

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

1/

<i>x −</i>4¿4
¿
¿
dx
¿

∫

0
5
¿
.
2/
<i>x</i>2
¿
<i>x</i>¿

∫

<i>−</i>2
3
¿
.
3/

_∫

0
<i>π</i>
2
1
cos4<i>x</i> dx

4/

_∫

<i>−</i>1

1

<i>− x</i>3.<i>ex</i>+<i>x</i>2

<i>x</i>3 dx

<b>B i 2à</b> :Tính tích phân: I =

_∫

0

<i>π</i>
dx

1+sin<i>x</i>

* Sai l m thầ ường g p: ặ Đặt t = tg <i>x</i>

2 thì dx =
2dt
1+<i>t</i>2 ;

1
1+sin<i>x</i> =

1+<i>t</i>¿2
¿

1+<i>t</i>2

¿

<i>⇒</i>

_∫

dx

1+sin<i>x</i> =

1+<i>t</i>¿2
¿
¿
2dt
¿

∫

¿
=

<i>t</i>+1¿<i>−</i>2

2¿

∫

¿

d(t+1) = ❑

❑

2

<i>t</i>+1 + c

<i>⇒</i> I =

_∫

0

<i>π</i>
dx

1+sin<i>x</i> =

<i>−</i>2
tg <i>x</i>

2+1

¿0

<i>π</i> ₌ <i>−</i>2
tg<i>π</i>

2+1

- 2
tg 0+1
do tg <i>π</i>

2 khơng xác nh nên tích phân trên khơng t n t iđị ồ ạ
*Nguyên nhân sai l m:ầ

t t = tg

Đặ <i>x</i>

2 x [0<i>;π</i>] t i x = ạ <i>π</i> thì tg

<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

I =

_∫

0

<i>π</i>
dx

1+sin<i>x</i> =

dx

1+cos

(

<i>x −π</i>

2

)

=¿

∫

0

<i>π</i> <i>d</i>

(

<i>x</i>
2<i>−</i>

<i>π</i>

4

)

cos2

(

<i>x</i>

2<i>−</i>

<i>π</i>

4

)

=tg

(

<i>x</i>
2<i>−</i>

<i>π</i>

4

)

¿0

<i>π</i>

∫

0

<i>π</i>

¿

= tg

<i>π</i>

4<i>−</i>tg

(

<i>− π</i>

4

)

=2 .

* Chú ý đố ớ ọi v i h c sinh:

i v i ph ng pháp i bi n s khi t t = u(x) thì u(x) ph i l m t h m

Đố ớ ươ đổ ế ố đặ ả à ộ à

s liên t c v có ố ụ à đạo h m liên t c trên à ụ [<i>a ;b</i>] .
*<i>M t s b i t p tộ ố à ậ ương t :ự</i>

Tính các tích phân sau:
1/

_∫

0
<i>π</i>
dx
sin<i>x</i>
2/

_∫

0
<i>π</i>
dx

1+cos<i>x</i>

<b>B i 3:à</b> Tính I =

_∫

0
4

√

<i>x</i>2<i>−</i>6<i>x</i>+9 dx
* Sai l m thầ ường g p:ặ

I =

_∫

0
4

√

<i>x</i>2<i>−</i>6<i>x</i>+9 dx =

∫

0
4

√

(<i>x −</i>3)2dx=

∫

0
4

(<i>x −</i>3)<i>d</i>(<i>x −</i>3)=(<i>x −</i>3)

2

2 ¿0
4

=1
2<i>−</i>

9
2=<i>−</i>4

* Nguyên nhân sai l m:ầ

Phép bi n ế đổi

_√

₍<i>_{x −}</i>₃₎2

=<i>x −</i>3 v i x ớ [0<i>;</i>4] l không tà ương đương.
* L i gi i úng:ờ ả đ

I =

_∫

0
4

√

<i>x</i>2<i>−</i>6<i>x</i>+9 dx
=

_∫

0
4

√

(<i>x −</i>3)2dx=

∫

0
4

|<i>x −</i>3|<i>d</i>(<i>x −</i>3)=

∫

0
3

<i>−</i>(<i>x −</i>3)<i>d</i>(<i>x −</i>3)+

∫

3
4

(<i>x −</i>3)<i>d</i>(<i>x −</i>3)
= - (<i>x −</i>3)

2

2 ¿0
3

+(<i>x −</i>3)

2

2 ¿3
4

=9
2+

1
2=5
* Chú ý đố ớ ọi v i h c sinh:

2<i>n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

I =

_∫

<i>a</i>
<i>b</i>

2<i>n</i>

√

(<i>f</i>(<i>x</i>))2<i>n</i>=¿

∫

<i>a</i>
<i>b</i>

|<i>f</i>(<i>x</i>)|dx ta ph i xét d u h m s f(x) trênả ấ à ố [<i>a ;b</i>] r i dùngồ
tính ch t tích phân tách I th nh t ng các phân không ch a d u giá tr tuy tấ à ổ ứ ấ ị ệ

i.

đố

<i>M t s b i t p tộ ố à ậ ương t : ự</i>

1/ I =

_∫

0

<i>π</i>

√1<i>−</i>sin 2<i>x</i> dx ;
2/ I =

_∫

0
3

√

<i>x</i>3<i>₋</i>₂<i>_x</i>2

+<i>x</i> dx

3/ I =

∫

1
2
2

√

(

<i>x</i>2+ 1

<i>x</i>2<i>−</i>2

)

dx

4/ I =

_∫

<i>π</i>

6

<i>π</i>

3

√

tg2<i>_x</i>

+cot<i>g</i>2<i>x −</i>2 dx

<b>B i 4:à</b> Tính I =

_∫

<i>−</i>1
0

dx

<i>x</i>2+2<i>x</i>+2
* Sai l m thầ ường g p:ặ
I =

_∫

<i>−</i>1
0

<i>d</i>(<i>x</i>+1)

(<i>x</i>+1)2+1=arctg(<i>x</i>+1)¿<i>−</i>1

0

=arctg 1<i>−</i>arctg 0=<i>π</i>
4
* Nguyên nhân sai l m :ầ

H c sinh không h c khái ni m arctgx trong sách giáo khoa hi n th iọ ọ ệ ệ ờ
* L i gi i úng:ờ ả đ

t x+1 = tgt

Đặ <i>⇒</i>dx=(1+tg2<i>t</i>)dt
v i x=-1 thì t = 0ớ

v i x = 0 thì t = ớ <i>π</i>
4
Khi ó I = đ

_∫

0

<i>π</i>

4

(1+tg2<i>t</i>)dt

tg<i>t</i>+1 =

∫

₀

<i>π</i>

4

dt=<i>t</i>¿₀

<i>π</i>

4

=<i>π</i>
4

* Chú ý đố ớ ọi v i h c sinh:

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

khoa nên h c sinh không ọ được áp d ng phụ ương pháp n y n a. Vì v y khià ữ ậ
g p tích phân d ng ặ ạ

_∫

<i>a</i>

<i>b</i>

1

1+<i>x</i>2dx ta dùng phương pháp đổi bi n s ế ố đặt t = tgx

ho c t = cotgx ;ặ

∫

<i>a</i>
<i>b</i>

1

√

1<i>− x</i>2dx thì đặt x = sint ho c x = costặ

*<i>M t s b i t p tộ ố à ậ ương tự</i>:
1/ I =

_∫

4
8

√

<i>x</i>2<i>₋</i>₁₆
<i>x</i> dx

2/ I =

_∫

0
1

2<i>x</i>3+2<i>x</i>+3

<i>x</i>2

+1 dx
3/ I =

_∫

0
1

√3
<i>x</i>3dx

√

1<i>− x</i>8

<b>B i 5:à</b>

Tính :I =

_∫

0
1
4

<i>x</i>3

√

1<i>− x</i>2dx

*Suy lu n sai l m: ậ ầ Đặt x= sint , dx = costdt

∫

<i>x</i>

3

√

1<i>− x</i>2dx=

∫

sin3<i>t</i>

|cos<i>t</i>|dt

i c n: v i x = 0 thì t = 0

Đổ ậ ớ

v i x= ớ 1

4 thì t = ?
* Nguyên nhân sai l m:ầ

Khi g p tích phân c a h m s có ch a ặ ủ à ố ứ

_√

₁<i>_{− x}</i>2 _{thì th}ườ_ngđặ_{t x = sint}

nh ng ư đố ới v i tích phân n y s g p khó kh n khi à ẽ ặ ă đổ ậi c n c th v i x =ụ ể ớ
1

4 khơng tìm được chính xác t = ?
* L i gi i úng:ờ ả đ

t t =

Đặ

_√

₁<i>_{− x}</i>2 <i>_⇒</i> _{dt =} <i>x</i>

√

1<i>− x</i>2dx<i>⇒</i>tdt=xdx

i c n: v i x = 0 thì t = 1; v i x =

Đổ ậ ớ ớ 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

I =

_∫

0
1
4

<i>x</i>3

√

1<i>− x</i>2dx

=

∫

1

√15
4

(1<i>−t</i>2₎_tdt
<i>t</i> =

∫

₁

√15
4

(1<i>−t</i>2₎_dt=

(

<i>t −t</i>3

3

)

¿1

√15
4

=

(

√15
4 <i>−</i>

15√15
192

)

<i>−</i>

2
3=

33√15
192 <i>−</i>

2
3

* Chú ý đố ớ ọi v i h c sinh: Khi g p tích phân c a h m s có ch a ặ ủ à ố ứ

_√

1<i>− x</i>2 _thì

thường đặt x = sint ho c g p tích phân c a h m s có ch a 1+xặ ặ ủ à ố ứ 2_thìđặ_{t x =}

tgt nh ng c n chú ý ư ầ đến c n c a tích phân ó n u c n l giá tr lậ ủ đ ế ậ à ị ượng giác

c a góc ủ đặc bi t thì m i l m ệ ớ à được theo phương pháp n y cịn n u khơng thìà ế
ph i ngh ả ĩ đếnphương pháp khác.

<i>*M t s b i t p tộ ố à ậ ương t :ự</i>

1/ tính I =

_∫

0

√7
<i>x</i>3

√

1+<i>x</i>2dx

2/tính I =

_∫

1
2

dx

<i>x</i>

_√

<i>x</i>2₊₁

<b>B i 6:à</b> tính I =

_∫

<i>−</i>1
1

<i>x</i>2<i>₋</i>₁

1+<i>x</i>4dx

* Sai l m thầ ường m c: I = ắ

_∫

<i>−</i>1

1 1<i>−</i> 1
<i>x</i>2

1

<i>x</i>2+<i>x</i>
2

=

∫

<i>−</i>1

1

(

1<i>−</i>

1

<i>x</i>2

)

(

<i>x</i>+1

<i>x</i>

)

2

<i>−</i>2
dx

t t = x+

Đặ 1

<i>x⇒</i>dt=

(

1<i>−</i>

1

<i>x</i>2

)

dx

i c n v i x = -1 thì t = -2 ; v i x=1 thì t=2;

Đổ ậ ớ ớ

I =

_∫

<i>−</i>2
2

dt

<i>t</i>2<i>−</i>2 =

1

<i>t</i>+√2
(¿<i>−</i> 1

<i>t −</i>√2)dt

∫

<i>−</i>2
2

¿

=(ln |<i>t</i>+√2| -ln |<i>t −</i>√2| ) ¿<i>₋</i>2₂=ln

|

<i>t</i>+√2

<i>t −</i>√2

|

¿<i>−</i>2
2

= ln 2+√2
2<i>−</i>√2<i>−</i>ln

|

<i>−</i>2+√2

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

* Nguyên nhân sai l m: ầ <i>x</i>

2
<i>−</i>1
1+<i>x</i>4=

1<i>−</i> 1
<i>x</i>2

1

<i>x</i>2+<i>x</i>

2 l sai vì trong à [<i>−</i>1<i>;</i>1] ch a x = 0ứ

nên không th chia c t c m u cho x = 0 ể ả ử ả ẫ được
* L i gi i úng: ờ ả đ

xét h m s F(x) = à ố 1
2√2ln

<i>x</i>2<i>− x</i>√2+1

<i>x</i>2+<i>x</i>√2+1

F’_{(x) =}

ln <i>x</i>

2

<i>− x</i>√2+1

<i>x</i>2+<i>x</i>_√2+1¿
<i>'</i>

=<i>x</i>

2
<i>−</i>1

<i>x</i>4+1
1

2√2¿

Do ó I = đ

_∫

<i>−</i>1
1

<i>x</i>2<i>−</i>1

1+<i>x</i>4dx =

1
2√2ln

<i>x</i>2<i>_{− x}</i>

√2+1

<i>x</i>2

+<i>x</i>√2+1 ¿<i>−</i>1

1

= 1

√2ln

2<i>−</i>√2
2+√2

*Chú ý đố ớ ọi v i h c sinh: Khi tính tích phân c n chia c t c m u c a h mầ ả ử ả ẫ ủ à

s cho x c n ố ầ để ý r ng trong o n l y tích phân ph i khơng ch a i m x =ằ đ ạ ấ ả ứ đ ể
0 .

<b>III/Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m:ệ</b> <b>ả ủ</b> <b>ế</b> <b>ệ</b>
1/K t qu t th c ti n:<b>ế</b> <b>ả ừ ự</b> <b>ễ</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

phân để ự l a ch n phọ ương pháp phù h p trên c s giáo viên ợ ơ ở đưa ra nh ng saiữ
l m m h c sinh thầ à ọ ường m c ph i trong quá trình suy lu n,trong các bắ ả ậ ước
tính tích phân n y r i t ó hà ồ ừ đ ướng các em i đ đế ờn l i gi i úng.ả đ

Sau khi hướng d n h c sinh nh trên v yêu c u h c sinh gi i m t sẫ ọ ư à ầ ọ ả ộ ố
b i t p tích phân trong sách giáo khoa Gi i Tích L p 12 v m t s b i trongà ậ ả ớ à ộ ố à
các đề thi tuy n sinh v o ể à đạ ọi h c,cao đẳng v trung h c chuyên nghi p c aà ọ ệ ủ
các n m tră ước thì các em ã th n tr ng trong khi tìm v trình b y l i gi iđ ậ ọ à à ờ ả
v ã gi i à đ ả được m t lộ ượng l n b i t p ó.ớ à ậ đ

<b>2/K t qu th c nghi m:ế</b> <b>ả ự</b> <b>ệ</b>

Sáng ki n ế được áp d ng trong n m h c 2007-2008. ụ ă ọ

B i ki m tra trên hai à ể đố ượi t ng l p 12A1(28 h c sinh) không áp d ng sángớ ọ ụ
ki n v 12C4(37 h c sinh) áp d ng sáng ki n nh sau:ế à ọ ụ ế ư

x p lo iế ạ
i t ng

đố ượ

gi iỏ khá tb y uế

12C1 50% 40% 10% 0%

12C4 0% 0% 40% 60%

Sau khi th c hi n sáng ki n h c sinh h c t p r t tích c c v h ng thúự ệ ế ọ ọ ậ ấ ự à ứ
c bi t l khi gi i b i tốn tích phân các em tính tích phân r t th n tr ng

đặ ệ à ả à ấ ậ ọ

v hi u b n ch t c a v n à ể ả ấ ủ ấ đề ch khơng tính r p khn m t cách máy mócứ ậ ộ
nh trư ướ đ à ệc, ó l vi c th hi n vi c phát huy tính tích c c, ch ể ệ ệ ự ủ động, sáng
t o c a h c sinh.ạ ủ ọ

<b> ph n III:k t lu n ki n ngh</b>

<b>ầ</b>

<b>ế</b>

<b>ậ – ế</b>

<b>ị</b>

<b>I/ k t lu n:ế</b> <b>ậ</b>

Nghiên c u, phân tích m t s sai l m c a h c sinh khi tính tích phânứ ộ ố ầ ủ ọ
có ý ngh a r t l n trong quá trình d y h c vì khi áp d ng sáng ki n n y sĩ ấ ớ ạ ọ ụ ế à ẽ
giúp h c sinh nhìn th y ọ ấ được nh ng i m y u v nh ng hi u bi t ch a th tữ đ ể ế à ữ ể ế ư ậ
th u áo c a mình v v n ấ đ ủ ề ấ đề à ừ đ n y t ó phát huy h c sinh t duy ở ọ ư độ ậc l p,
n ng l c suy ngh tích c c ch ă ự ĩ ự ủ động c ng c trau r i thêm ki n th c v tínhủ ố ồ ế ứ ề
tích phân t ó l m ch ừ đ à ủ được ki n th c, ế ứ đạ đượt c k t qu cao trong quáế ả
trình h c t p v các k thi tuy n sinh v o các trọ ậ à ỳ ể à ường đạ ọi h c, cao đẳng ,
THCN

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Hi n nay nh trệ à ường ã có m t s sách tham kh o tuy nhiên ch a cóđ ộ ố ả ư
m t sách tham kh o n o vi t v sai l m c a h c sinh khi gi i tốn. Vì v yộ ả à ế ề ầ ủ ọ ả ậ
nh trà ường c n quan tâm h n n a v vi c trang b thêm sách tham kh o lo iầ ơ ữ ề ệ ị ả ạ
n y à để ọ h c sinh được tìm tịi v nh ng sai l m thề ữ ầ ường m c khi gi i toánắ ả

các em có th tránh c nh ng sai l m ó trong khi l m b i t p .

để ể đượ ữ ầ đ à à ậ

<b>t i li u tham kh o</b>

<b>à ệ</b>

<b>ả</b>

1. Ki n th c c b n gi i tích 12<b>ế</b> <b>ứ</b> <b>ơ ả</b> <b>ả</b> <i>( Phan V n ă Đức- Đỗ Quang Minh –</i>
<i>Nguy n Thanh S n Lê V n Trễ</i> <i>ơ –</i> <i>ă</i> <i>ường NXB H Qu c gia th nh ph HCM -–</i> <i>Đ</i> <i>ố</i> <i>à</i> <i>ố</i>
<i>2002).</i>

2. Ph<b>ương pháp gi i tốn Tích phân v Gi i tích t h pả</b> <b>à</b> <b>ả</b> <b>ổ ợ</b> <i>( Nguy n Cam ễ</i> <i>–</i>
<i>NXB Tr ).ẻ</i>

3. Ph<b>ương pháp gi i tốn Tích phânả</b> <i>(Tr n ầ Đức Huyên Tr n Chí Trung – ầ</i> <i>–</i>
<i>NXB Giáo D c).ụ</i>

4. Sách giáo khoa Gi i tích 12<b>ả</b> <i>(Ngơ Thúc Lanh Ch biên NXB GD 2000)ủ</i> <i>–</i> <i>–</i>

5. Ph<b>ương pháp gi i tốn Tích phânả</b> <i>( Lê H ng ồ</i> <i>Đứ –c Lê Bích Ng c NXBọ –</i>
<i>H N i 2005).à ộ –</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

m c l c

<b>ụ ụ</b>

trang

<b>ph n I : m ầ</b> <b>ở đầu</b> 1

I. Đặ ấ đềt v n 1

II.Lí do ch n ọ đề à t i 2

III.L ch s v n ị ử ấ đề : 2

IV.Gi i h n c a ớ ạ ủ đề à t i : 2

V. Phương pháp nghiên c uứ 2

<b>ph n II : N i dungầ</b> <b>ộ</b> 3

I. C s khoa h cơ ở ọ 3

II. N i dung c thộ ụ ể 3

III. Hi u qu c a sáng ki nệ ả ủ ế 10

</div>

<!--links-->