giao an hinh hoc chuong III nang cao

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (316.39 KB, 41 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TiÕt 17,18,19

Đ2. tích vơ hớng của hai vectơ
A. Mục đích yêu cầu

- Học sinh nắm đợc định nghĩa tích vơ hớng của hai vectơ và các tính chất của
tích vơ hớng cùng với ý nghĩa vật lí của tích vơ hớng.

- Học sinh biết sử dụng biểu thức toạ độ của tích vơ hớng để tính độ dài của một
vectơ, tính khoảng cách giữa hai điểm, tính góc giữa hai vectơ và chứng minh hai vectơ
vng góc vi nhau.

B. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

1. GV: Chuẩn bị một số các ví dụ về vật lí để chọn làm ví dụ thực tế về góc của
hai vectơ.Chuẩn bị một số hình sẵn ở nhà vào giấy để chiếu

2. HS: Chuẩn bị tốt một số cơng cụ để vẽ hình.
C. Nội dung bài giảng

I/ Kiểm tra bàI cũ. Vào đề
Câu hỏi 1. Góc giữa hai vectơ đợc xác định nh thế nào?
Câu hỏi 2. Cho

0 0

sin ,90 180

   

. TÝnh cos, tan ,cot  .
II/ bµI míi

Hoạt động 1
Trong vật lí, ta biết rằng nếu có một lực F



tác động lên một vật tại điểm O và
làm cho vật đó di chuyển một qng đờng s = OO’ thì cơng A của lực F



đợc tính theo
cơng thức:

GV: treo hình 2.8 để thực hiện thao tác này.
. '
AF OO cos

 

trong đó F



là cờng độ của lực F



tÝnh b»ng Niutơn (viết tắt là N), OO'

l
di ca vect OO'

tính bằng mét (m), là góc giữa hai vectơ OO'

và F

, cũn cụng A
c tớnh bàng Jun (viết tắt là J).

Trong toán học, giá trị A của biểu thức trên (không kể đơn vị) đợc gọi là tích vơ
hớng của hai vectơ F



vµ OO'



1. Định nghĩa

Cho hai vectơ a

và b

khác vectơ 0

. Tính vô hớng của a

và b

là một số, kÝ hiƯu
lµ a



.b



, đợc xác định bởi cơng thức sau:

. . ( , )

a b a b cos a b
Trờng hợp ít nhất một trong hai vectơ a

và b

bằng vectơ 0

ta quy ớc a

.b

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

VÝ dơ

Cho hình tam giác để ABC, cạnh a. Hãy tính
a) AB AC



b) ABBC

GV: Thực hiện thao tác này trong 5

Hot động của GV Hoạt động của HS

C©u hái 1

Hãy xác nh gúc gia hai vect AB

và
AC

.
Câu hỏi 2
TÝnh AB AC



C©u hái 3

Hãy xác định góc giữa hai vect AB

và
BC

.
Câu hỏi 4
Tính ABBC

Gợi ý trả lời câu hỏi 1.
Góc giữa hai vecơ AB

và AC

là Góc A.
Gợi ý trả lời câu hỏi 2.

Theo công thøc ta cã

2 1

. cos .

2
AB ACAB AC A a
   

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
 

Gợi ý trả lời câu hỏi 3.
Góc giữa hai AB

và AC

bù với góc B.
Gợi ý trả lời câu hỏi 4.

Theo công thức ta có

2
1
. cos

2
ABBC AB AC B a

Chú ý.
a) Với a

và b

khác vectơ 0



ta cã a b.  0 a

  

b

Khi a b

 

tÝch v« hínga a.

 

đợc ký hiệu
2

a và số này đợc gọi bình phơng vơ hớng
của vectơa



.
Ta cã

2 0

. 0

a a a cos a

   

Ví dụ. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và có chiều cao AH.

Khi đó ta có (h.2.9)

0 1 2

. . . 60

2
AB AC a a cos  a
 

0 1 2

. . . 120

2
AC CB a a cos  a
 

0
2

. . 90 0

2
a

AH BC cos

GV treo hình 3.9 thực hiện thao tác này.

Hot ng 2

2. Các tính chất của tích vô hớng

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Víi ba vect¬ a b c, ,
  

bất kì và mọi số k ta có:
. .

a b a  (tÝnh chÊt giao ho¸n);

.( ) . .

a b c   a b a c    (tÝnh chÊt ph©n phèi);

 

ka b k a b . 

 

 . a kb

 

 ;

2 2

a2 b2
;
1. Cho hai vect¬ a

và b

u khỏc vect0

. Khi nào thì tích vô hớng của hai
vectơ là số dơng: Là số âm? Bằng 0/

GV: Thực hiện thao tác này trong 5

Hot ng ca giáo viên Hoạt động của học sinh
Câu hỏi 1

DÊu cña a b.

phụ thuộc vào yếu tố
nào?

Câu hỏi 2
. 0

a b khi nào?

Câu hỏi 3
. 0

a b khi nào?

Câu hỏi 4
. 0

a b khi nào?

Gợi ý trả lời câu hỏi 1
Phụ thuộc vào cos

a b,

Gợi ý trả lời câu hỏi 2
Khi cos

a b, 0

hay góc giữa a b.

là góc
nhọn

Gợi ý trả lời câu hỏi 3
Khi cos

a b, 0

hay góc giữa a b.

là góc tù
Gợi ý trả lời câu hỏi 4

Khi cos

a b, 0

hay góc giữa a b.

là góc
vuông

III/ Cñng cè , më réng

Hoạt động của GV Hoạt động

của HS
1. Tam giác ABC vuông ở A, AB =c, AC = b, tÝch v« híng BA BC.

 

b»ng?

2. Tam giác ABC vuông ở A, AB = c, AC = b, tÝch v« híng
.

CA CB  b»ng?

2
c

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

3. Tam giác ABC vuông ở A, AB = c, AC = b, tÝch v« híng
.

AB AC

 

b»ng
(a)

2 2;

b c (b)0;

(c)

2;

b (d)c2

4. Tam gi¸c ABC vu«ng ë A, AB = c, AC = b, tÝch v« híng
.

BA AC

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

b»ng
(a)

2 2;

b c (b)b2 c2;
(c)c2; (d)c2

Đáp.
Chọn (b)
Đáp. Chọn
(d)

Tiết 18

I/ Kiểm tra bàI cũ

?. Tam giác ABC vuông ở A, Ab = c, AC = b, tÝnh tÝch v« híng CA AB.

 

II/ bµI míi

Hoạt động 1

3. Biểu thức toạ độ của tích vơ hớng

GV nêu và nhấn mạnh cơng thức, yêu cầu học sinh chứng minh:
Trên mặt phẳng toạ độ



0; ;i j



 

cho hai vect¬ a( ; ),a a b1 2 ( ; ).b b1 2

   

Khi đó tích vơ hớng a b.

 

lµ
.

a b =a b1 1a b2 2

NhËn xÐt. Hai vect¬ a( ; ),a a b1 2 ( ; )b b1 2

khác vectơ 0

vuông góc với nhau khi
và chỉ khi:

1 1 2 2
a b a b =0

2.Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A (2;4), B (1;2), C (6;2)
Chứng minh rng AB

AC

GV. Thực hiện thao tác này trong 5

Hot động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Câu hỏi 1

Hãy xác định toạ độ củaAB

Câu hỏi 2

Hãy xác định toạ độ của AC



C©u hái 3

H·y tÝnh AC AB.

 

C©u hỏi 4
Kết luận

Gợi ý trả lời câu hỏi 1
AB

= (-1;-2)

Gợi ý trả lời câu hỏi 2
AB

= (4;-2)

Gợi ý trả lời c©u hái 3
.

AC AB

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

AB


AC



Hoạt động 2

4. ứng dụng
a) Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ a( ; )a a1 2



đợc tính theo cơng thức :

2 2

1 2

a  a a

ThËt vËy, ta cã

2 2 2 2

2 2 1 2

a a a a a a  a a

Do đó

2 2

1 2

a  a a

VÝ dơ. Cho ba ®iĨm A (1;1),B (2;3), C (-1;-2)

a) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
b) Tính BD.

GV. Thực hiện thao tác này trong 3

a) Xỏc định điểm D sao cho ABC là hình bình hành.

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Câu hỏi 1

ABCD là hình bình hành khi nào?
Câu hỏi 2

Hóy xỏc định toạ độ của AB

Câu hỏi 2

Gọi D (x;y). Hãy xỏc nh DC

Câu hỏi 4
Để AB

=DC

cần điều kiện nào?

Gợi ý trả lời câu hỏi 1
AB

=DC

Gợi ý trả lời câu hỏi 2
AB

= (1;2)

Gợi ý trả lời câu hỏi 3
DC

= (-1-x;-2-y)
Gợi ý trả lời câu hỏi 4

1 1 2

2 2 4

x x

y y

   

 



 

   

 

b) TÝnh BD.

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Câu hỏi 1

Hãy xác định toạ độ BD

Câu hỏi 2

TÝnh BD

Gợi ý trả lời câu hỏi 1
BD

= (-4;-7)

Gợi ý trả lêi c©u hái 2
BD =

2 2

( 4) 7  65
b) Góc giữa hai vectơ

T nh ngha tớch vụ hng ca hai vectơ ta suy ra nếua( ; )a a1 2


vµ b( ; )b b1 2


đều khác 0



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

cos

 

1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

.
.

. .

a b a b a b
a b

a b a a b b


 
 
 
 
 

VÝ dô. Cho OM  ( 2; 1), ON (3; 1)

 

Ta cã cos

. 6 1 2

( , )

2
5. 10

.
OM ON
MON cos OM ON

OM ON
 
   
 
  
 
VËy
0
(OM ON, ) 135

c) Khoảng cách giữa hai điểm

Khong cách giữa hai điểm A



x yA; A



và B ( ;x yB B)đợc tính theo cơng thức:

AB =





2 2

( )

B A B A

x  x  y  y

Thật vậy, vì AB

xB x yA; B yA

nên ta cã:

AB =









2
2

B A B A

AB  x  x  y  y



Ví dụ. Cho hai điểm M (-2;2) và N (1;1). Khi đó MN 



3;1





vµ khoảng cách MA

là:

2 2

3 ( 1) 10

MN  


III/ Cđng cè , më réng

Mét sè bµi tËp tr¾c nghiƯm

1. Cho tam giác đều ABC có cạnh a, AB AC BC CA CA AB.  .  .

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
b»ng
(a)
2
3
;
2
a

(b)
2

3
;
2
a
(c)
2 2
;
2
a
(d)
2 3
.
2
a

Đáp. Chọn (a)

2. Cho tam giác đều ABC có cạnh a, AB BC BC CA CA CB.  .  .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

3. Cho tam giác đều ABC có cạnh a, AB AC BC BA CA AB.  .  .
     
bằng
(a)
2
;
2
a
(b)
2
;

2
a

(c)
2 3
.
2
a
(d)
2 3
.
2
a

Đáp. chọn (a)

TiÕt 19

I/ KiĨm tra bµI cị

?. Cho tam giác đều ABC có cạnh a, AB CB BC CA CA AB.  .  .
     
     
     
     
     
     
     
     
     

     
     
     
     
     
bằng?
II/ bàI mới

Bài tập sách giáo khoa

Hoạt động của GV Hot ng ca HS

1. Cho tam giác
vuông cân Abc cã Ab =
AC = a. tÝnh c¸c tÝch v«
híngAB AC AC CB. , . .

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

2. Cho ba điểm O,
A, B thẳng hàng và biết
OA = a, OB = b. TÝnh tÝch
v« híng OA OB.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


trong hai
trờng hợp:

a) Điểm O nằm
ngoài đoạn AB;

b) Điểm O nằm
trong đoạn AB;

3. Cho nửa đờng

trịn tâm O có đờng kính
AB = 2R. Gọi M và N là
hai điểm thuộc nửa đờng
tròn sao cho hai dây cung
AM và BN cắt nhau tại I.

a) Chøng minh

. .

AI AM BI BN

   

vµ

. ;

BI BNBI BA

  

b) Hãy dùng kết
quả câu a) để tính

. . . 90 0

. . 135

. . 2 ( .2.7)

2
AB AC a a cos
AC CB AC CB cos

AC CB a a a h

 

 
  
 
 
   


2.a) Khi OM nằm ngoài đoạn AB ta có:
0

. . . 0 .

OA OB a b cos a b



b) Khi O nằm giữa hai điểm A và B ta có
0

. . . 180 1. ( 2.8)
OA OB a b cos            b h
 
 
 
 
 
3.a


. . ( , ) . (1)

. . ( , ) . . (2)

AI AM AI AMcos AI AM AI AM

AI AB AI AB cos AI AB AI ABcosIAB AI AM

 

  

     

Tõ (1) vµ (2 ta suy ra )AI AM. AI AB H. ( .2.9(3)
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

Tơng tự ta chứng minh đợc BI BN. BI BA. (4)
   
   
   
   
   
   
   
   
   

   
   
   
   
   

b) Từ hai đẳng thức (3 và (4) ở câu a) ta có:

2 2

. . . .

. .

( ).

4 .

AI AM BI BN AI AB BI BA
AI AB IB AB

AI IB AB
AB R
  
 
 
 
       
   
  



</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

. .
AI AM AI AB

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   


theo R.
4. Trên mặt phẳng
Oxy, cho hai ®iĨm A
(1;3),B (4;2)

a) Tìm toạ độ
điểm D nằm trên trục Ox
sao cho DA = DB;

b) Tìm chu vi tam
giác OAB;

c) Chng t OA
vuụng góc với AB và từ
đó tính diện tích tam giỏc
OAB.

5. Trên mặt phẳng
Oxy hÃy tính góc giữa hai
vectơa

và b

trong các
tr-ờng hợp sau:

a) a

=(2;-3),b

=(6;4);
b) a

=(3;2),b

=
(5;-1);

c) a

=(-2;
2 3),b (3; 3).

 

6. Trên mặt phẳng
toạ độ Oxy cho 4 điểm
A(7;-3), B(8;4), C(1;5),
D(0;-2).

Chøng minh r»ng
tø gi¸c ABCD là hình
vuông.

Theo gi thit ta cú DA =DB, nên DA2 DB2
Do đó:

2 2 2 2

(1 x) 3 (4 x) 2

2 2 1 9 2 8 16 4

5
.
3

x x x x

x

       

 

Vậy D có toạ độ là
5
;0
3
 
 
 

b) Gọi 2p là chu vi tam giác OAB, ta có:

2p=

2 2 2 2

1 3 4 2 10 20 10

2 2 10 20 10(2 2)

OA OB AB
p

 

   

c) Vì OA =OB = 10và OB  20nªn ta cã

2 2 2

OB OA AB

Vậy tam giác OAB vng cân tại A.
Do đó

. 10. 10

2 2

OAB

OA OB

S   

(Cã thÓ chøng minh OA



ABb»ng c¸ch chøng minh

. 0

OA AB
 

)

5.a) a b. 2.6 ( 3).4 0.  
 

VËy a



bhay

0
( . ) 90a b  

b) a b. 3.5 2.( 1) 13  

 

. 13 1 2

( .

2 2

13. 26
.

a b
cos a b

a b
   
 
 
 
VËy
0
( . ) 45a b  

c) a b.  ( 2).3 ( 2 3). 3   6 612
 

. 12 3 3

( . )

2
4.2 3 2 3
.

a b
cos a b

a b

   
 
 
 
VËy
0
( . ) 150 .a b  

6. Muèn chøng minh tứ giác ABCD là hình vuông, ta
có nhiều cách. Chẳng hạn các cách sau đây:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

vuông, cụ thể là cần chứng minh AB BC CD DA

và

. 0

AB AD

Cách 2: Chứng minh áBCD là hình thoi và có hai
đ-ờng chéo bằng nhau, cụ thể là cần chứng minh

AB BC CD DA

 

vµ AC BD

 

Cách 3: Chứng minh ABCD là hình chữ nhật có hai
đờng chéo vng góc với nhau nghĩa là cần chứng minh:

ACAB AD

  

vµ AB AD. 0

 

. 0

AC BD
 

C¸ch 4: Chøng minh ABCD là hình chữ nhật có hai
cạnh liên tiếp bằng nhau nghĩa là cần chứng minh:

ACAB AD

vàAB AD. 0

 

AB AD

 

III/ Cñng cè , më réng

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

Trên mặt phẳng Oxy cho điểm
A(2;-1). Gọi B là điểm đối xứng với điểm
A qua gốc toạ độ O. Tìm toạ độ của điểm
C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC
vng ở C.

Theo gi¶ thiÕt ta cã B (2;-1) vµ (C
(x;2)(h.2.11)

Do đó CA  ( 2 x; 1)


(2 ; 3)
CB  x 


Tam gi¸c ABC vuông tại C nên:

. 0

( 2 )(2 ) 3 0
1

1
CA CB

x x

x
x



     

 

 

 

VËy ta có hai điểm C (1;2) và C (-1;2)

IV/ h ớng dẫn về nhà

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Tiết 20,21

Đ

3. Các hệ thức l ợng trong tam giác
và giải tam giác

A. Mc ớch yờu cu

- Hc sinh nm đợc định lí sin trong tam giác và biết vận dụng các định lí này để
tính cạnh hoặc góc của một tam giác trong các bài toán cụ thể.

- Học sinh biết sử dụng cơng thức tính độ dài đờng trung tuyến theo ba cạnh của
tam giác và các công thức tính diện tích tam giác.

- Học sinh biết giải tam giác và biết thực hành việc đo đạc trong thực tế.
B. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

1. GV: Chuẩn bị một số kiến thức ở lớp dới để đặt câu hỏi
2. Chuẩn bị một số hình sẵn ở nhà vào giấy để chiếu
HS: Chuẩn bị tốt một số cơng cụ để vẽ hình.

C. Néi dung bài giảng

I/ Kiểm tra bàI cũ
GV: Kiểm tra bài cũ trong 5

Câu hỏi 1: Định nghĩa và tính chất của tích vô hớng của hai vectơ.
Câu hỏi 2: Nêu công thức tính góc của hai vectơ

Câu hỏi 3

Nờu cụng thc tình khoảng cách giữa hai điểm.
Câu hỏi 4. Nêu biểu thức toạ độ của hai vectơ.

II/ bµI míi

Hoạt động 1

Chúng ta biết rằng một tam giác đợc hoàn toàn xác định nếu biết một số yếu tố,
chẳng hạn biết ba cạnh, hoặc hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó.

Nh vậy giữa các cạnh và các góc của một tam giác có một mối liên hệ xác định
nào đó mà ta sẽ gọi là các hệ thức lợng trong tam giác. Trong phần này chúng ta sẽ
nghiên cứu những hệ thức đó và các ứng dụng của chúng.

§èi víi tam gi¸c ABC ta thêng kÝ hiƯu: a = AB, b = CA, c = AB.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2 2
2
2
2

2 2

...
...
...
' ...

...

1 1 1

...

... ...

sin cos ;sin cos

... ...

tan cot ;cot tan

a b
b a
c a
h b
ah b

b c

B C C B

a a

B C B C

c b

 

 
 
 
 

 

   

GV: Thùc hiện thao tác này trong 3

Hot ng ca GV Hot động của HS

C©u hái 1:

áp dụng định lí nào để in
2 2 ...

a b
Câu hỏi 2:

HÃy điền vào các chỗ trống còn lại.

Gợi ý trả lời câu hỏi 1:
Định lý Py – ta – go.

2 2 2

a b c

Gỵi ý trả lời câu hỏi 2:
2

2
2

2 2 2

'
'
'. '

1 1 1

sin cos ;sin cos

tan cot ;cot tan .

b a b
c a c

h b c
ah b c

h b c

b c

B C C B

a a

b c

B C B C

c b

 
 


 

 

   

Trớc tiên ta tìm hiểu hai hệ thức lợng cơ bản trong tam giác bất kì là định lí

cơsin và định lớ sin.

1. Định lí côsin

a) Bài toán. Trong tam giác ABC cho biết hai cạnh AB, AC và góc A, hÃy tính
cạnh BC (hình 2.12)

GV: treo hỡnh 2.12 thc hiện thao tác chứng minh này
Giải

Ta cã





2 2 2

2 2 .

BC BC  AC AB   AC              AB  AC AB

2 2

2 2 . cos

BC AC AB  AC AB A

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

VËy ta cã

2 2 2 . .cos

BC AC AB  AC AB A
nªn BC AC2AB2 2AC AB. .cosA

Từ kết quả của bài tốn ta suy ra định lí sau õy:
b) nh lớ cụsin

Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta cã:

2 2 2

2 cos ;
2 cos ;
2 cos .

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

  

2. Hãy phát biểu định lí cơsin bằng lời.

GV cho học sinh phát biểu thành lời định lí trên và kết luận:

Trong một tam giác, bình phơng một cạnh bằng tổng các cạnh cịn lại trừ đi hai
lần tích của hai cạnh đó và cơsin của góc xen giữa hai cạnh d đó.

3. Khi ABC là tam giác vng, định lí cơsin trở thành định lí quen thuộc nào?

GV: Thực hiện thao tác này trong 3’

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

C©u hái 1

Giả sử tam giác ABC vng tại A và có các
cạnh tơng ứng là a, b, c. Hãy viết biểu thức
liên hệ giữa các cạnh theo nh lớ cụsin.

Gợi ý trả lời câu hỏi 1.

2 2 2cos 2 2

a b c A b c
Đây là định lý Py – ta – go.
Từ định lý côsin ta suy ra:

HƯ qu¶

2 2 2

cos

2
cos

2
b c a
A

bc
a c b
B

ac
a b c
c

ab

 



 



 



c) áp dụng. Tính độ dài đờng trung tuyến của tam giác.

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi ma, mb và mc là độ

dài các đờng trung tuyến lần lợt vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác, ta có:

2 2 2

2( )

;
4

2( )

;
4

2( )

;
4

a

b

c

b c a

m

a c b
m

a b c
m

 



 



 



</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

2 2

2 2 2 . .cos 2 cos

2 2 4

a

a a a

m c    c B c   ac B

 

V×

2 2 2

cos

2
a c b
B

ac

 



nªn ta suy ra:

2 2 2 2 2 2 2

2 2 . 2( )

4 2 4

a

a a c b b c a

m c ac

ac

   

   

Chøng minh t¬ng tù ta cã:

2 2 2

2 2( )

b

a c b

m   

2 2 2

2 2( )

c

a b c

m   

4. Cho tam giác ABC có a = 7 cm, b = 8 cm và c = 6cm. Hãy tính độ dài đờng
trung tuyến ma của tam giỏc ABC ó cho.

GV: Thực hiện thao tác này trong 3’

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

C©u hái 1

Hãy ỏp dng cụng thc tớnh ma.

Gợi ý trả lời c©u hái 1

2 2 2

2 2( ) 2(49 64) 36 95

4 4 2

a

b c a

m       

d) VÝ dô

VÝ dô 1. Cho tam gi¸c ABC cã các cạnh AC = 10 cm, BC = 16 cm bµ gãc

 1100

C . Tính cạnh AB và các góc A, B của tam giác đó.
Giải

Đặt BC = a, CA = b, AB = c.
Theo định lí cơsin ta có:

2 2 2 2 2 0

2 cos 16 10 2.16.10. 110
465, 44.

c a b ab C cos

c

     



VËy c 465, 44 21,6( cm)

GV treo hình 2.14 để thực hiện thao tác giải bài tốn này.
Theo định lí hệ quả cơsin ta có:

2 2 2 102 (21,6)2 162

cos 0,7188

2 2.10.(21, 6)

b c a
A

bc

   

  

Suy ra   

0 0 0

44 2', 180 ( ) 25 58'
A B  A C .

Hot ng 2

2. Định lí sin

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

2
sin sin sin

a b c

R
A B  C 

GV: Thùc hiÖn thao tác này trong 4

Hot ng ca GV Hot ng của HS

C©u hái 1
H·y tÝnh sin A.
C©u hái 2

BC b»ng bao nhiêu?
Câu hỏi 3

Tỉ số sin
a

Abằng bao nhiêu?
Câu hỏi 4

sin
b

B bằng bao nhiêu?
Câu hỏi 5

HÃy kết luận

Gợi ý trả lời câu hỏi 1
Ta có sinA = sin900 = 1.

Gợi ý trả lời câu hỏi 2
BC = 2R

Gợi ý trả lời câu hỏi 3
2

sin
a

R
A

Gợi ý trả lời câu hỏi 4
2

sin

b b

R
B b

Gợi ý trả lời câu hỏi 5
2
sin sin sin

a b c

R
A B  C 

Đối với tam giác ABC bất kì ta cũng có hệ thức trên. Hệ thức ny c gi l nh
lớ sin trong tam giỏc.

a) Định lÝ sin

Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính đờng
trịn ngoại tiếp, ta có:

2
sin sin sin

a b c

R
A B  C 

Chøng minh. Ta chøng minh hÖ thøc

2
sin

a

R

A . XÐt hai trêng hỵp:

 Nếu góc A nhọn, vẽ đờng kính BD của đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC và
khi đó vì tam giác BCD vng tại C nên ta có BC = BD.sinD hay a = 2R.sinD (h.2.16a).

Ta cã BAC BDC



vì đó là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC. Do dó a =

2R.sinA hay

2
sin

a

R
A .

GV treo hình 2.16 để chứng minh định lí.

 Nếu góc A tù, ta cũng vẽ đờng kính BD của đờng trịn tâm O ngoại tiếp tam
giác ABC (h.2.16b). Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O nên D 1800 A. Do đó
sinD = sin (1800 - A). Ta cũng có BC = BD.sinD hay a = BD.sinA.

VËy a = 2R.sinA hay

2
sin

a

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Các đẳng thức

sin

b

R

B  vµ sin 2
c

R

C  đợc chứng minh tơng tự.

VËy ta cã

2
sin sin sin

a b c

R
A B  C  .

6. Cho tam giác ABC có cạnh bằng a. Hãy tính bán kính đờng trịn ngoại tiếp
tam giác đó.

GV: Thực hiện thao tác này trong 3

Hot ng ca GV Hoạt động của HS

C©u hái 1
H·y tÝnh sin A.
C©u hái 2

BC bằng bao nhiêu?
Câu hỏi 3

Tỉ số sin
a

A bằng bao nhiêu?
Câu hỏi 4

HÃy tính R.

Gợi ý trả lời câu hỏi 1

Ta có

0 3

sin sinh 60
2

A

Gợi ý trả lời câu hỏi 2
BC = a

Gợi ý trả lời câu hỏi 3

sin
a

R
A

Gợi ý trả lời câu hỏi 4
2

2 2

sin 3

a

R R

A   hay

1
3
R

III/ Cñng cè , më réng

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

. Cho tam gi¸c ABC cã

 20 ,0  310

B C và cạnh b = 210 cm.
Tính A, các cạnh cịn lại và bán kính R
của đờng trịn ngoại tiếp tam giác đó.

Gi¶i
Ta cã 

0 0 0

180 (20 31 )

A   , do đó

 1290

A (h.2.17)

Mặt khác theo định lí sin ta có:
2

sin sin sin

a b c

R

A B  C  (1)

Tõ (1) suy ra

0
0
sin 210.sin129

477, 2( )
sin sin 20

b A

a cm

B

  

0
0
sin 210.sin 31

316, 2( )
sin sin 20

b C

b cm

B

  

0
477, 2

307, 02( )
2sin 2.sin129

a

R cm

A

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

IV/ h ớng dẫn về nhà
Học sinh giảI các bµI tËp SGK

TiÕt 21

I/ KiĨm tra bµI cị

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

1. Tam gi¸c ABC cã A = 60 ❑0 , AC = 1, AB =2, c¹nh BC
b»ng?

(a)3; (b) 3

√

2 ;

(c)-3; (d) - 3

√

2. Tam gi¸c ABC cã A = 30 ❑0 , AC = 1, AB = 2, c¹nh
BC b»ng.

(a)5+2

√

3 ; (b) 5-2

√

3
(c)–3 (d) - 3

√

3. Tam gi¸c ABC cã A = 45 ❑0 , AC = 1, AB = 2, c¹nh
BC b»ng.

(a)5-2

√

3; (b) 5-2

2 ;
(c)3; (d) - 3

Đáp. Chon
(a)

Đáp.Chọn
(b)

Đáp. Chọn
(b).

II/

bàI mới

Hot ng ca GV Hoạt động của HS
. 1. Cho tam giỏc

ABC vuông tại A, B= 580

và cạnh a = 72cm. Tính ,
cạnh b, cạnh c và đờng
cao ha

2.Cho tam gi¸c
ABC biÕt c¹nh a =
52,1cm, b = 85cm và c =
5cm. Tính cạnh a, và các
góc A,B và C .

3. Cho tam gi¸c

1. C 


0

90 B=900 580 32 ( .2.17)0 h
b=asinB = 72.sin

58 61,06(cm)

c=asinC =72.sin320 38,15(cm)

32,36( )

a

b c

h cm

a

 

2. Theo định nghĩa cơsin ta có:

cosA =

2 2 2 7225 2916 2714, 41

0,8090

2 2.85.54

b c a
bc

   

 

A

 360

cosB =

2 2 2 2714, 41 2916 7225

0, 2834

2 2.52,1.54

a c b
ac

   

 


B

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

ABC cã A= 1200, c¹nh b

= 8cm và c = 5cm. Tính
cạnh a, và các góc A,B
của tam giác đó.

4. Tam gi¸c ABC
cã A = 1200.TÝnh c¹nh

BC cho biết cạnh AC = m
và AB = n

5. Tam giác ABC
có các cạnh a= 8cm, b =
10cm, c= 13cm

a) Tam giác đó có
góc tù khơng?

b) Tính độ dài
trung tuyến MA của tam
giác ABC đó.



C=180 (0 A B ) 37 32 ' 0
3. Theo định lí cơsin ta có:

2 2 2 2 cos 82 52 2.8.5 1 129
2

a b c  bc A     

 

11,36

a cm

 

cosB =

2 2 2 129 52 82

0,79

2 2.11,36.5

a c b
ac

   

 

 37 48'0
B

 

 1800 (  ) 22 12'0
C  A B 
4.

2 2 2 2 2 1200 2 2 2 2 . 1

2
BC a b c  bcos  a b c  bc  

 

2 2 2 2

BC b c bc m n mn

      

5. a) Nếu tam giác ABC có góc tù thì góc tù đó phải đối
diện với cạnh lớn nhất là c = 13cm. Ta có cơng thức:

2 2 2 2 cos

c a b  ab C
169 =64 + 100 – 2.8.10.cosC

 0

64 100 169 5

cos 91 47 '

2.8.10 160

C   C

  

là
góc tù của tam giác.

b) Ta có

2 2 2

2 2 2( )

a

b c a

MA m   

2 2 2

2 2(10 13 ) 8 118,5
4

a

m    

mma 10,89cm

III/ Cđng cè , më réng
1. Tam gi¸c ABC cã c¸c gãc B = 30 ❑0 , C = 45

❑0 , tÝnh tØ sè ABAC ?

2. Tam gi¸c ABC cã c¸c gãc B = 60 ❑0 , C = 90

❑0 , tÝnh tØ sè ABAC ?

IV/ h íng dÉn vỊ nhµ

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

TiÕt 22

kiĨm tra học kì I
Tiết 23,24

Đ

3. Các hệ thức l ợng trong tam giác
và giải tam giác (tiếp)

A. Mc đích u cầu

- Học sinh nắm đợc các cơng thức tính diện tích tam giác

- Học sinh biết sử dụng các cơng thức tính diện tích tam giác để giảI các bài tốn
chứng minh và tính tốn các yếu tố trong tam giác.

- Học sinh biết giải tam giác và biết thực hành việc đo đạc trong thực tế.
B. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

1. GV: Chuẩn bị một số kiến thức ở lớp dới để đặt câu hỏi
2. Chuẩn bị một số hình sẵn ở nhà vào giấy để chiếu
HS: Chuẩn bị tốt một số cụng c v hỡnh.

C. Nội dung bài giảng

I/ Kim tra bàI cũ. Vào đề

?1. Tam giác ABC có A = 120 ❑0 , AC = 1, Ab = 2, tính cạnh BC
?2- Định lí sin, cosin trong tam giác. Cơng thức đơd đờng trung tuyến
3. Tam giác ABC có các góc B = 60 ❑0 , C = 45

❑0 , tÝnh tØ sè ABAC

II/

bàI mới
Hoạt động 1
3. Cơng thức tính diện tích tam giác

Ta kí hiệu ha, hb, hc là các đờng cao của tam giác ABC lần lợt vẽ từ các đỉnh A, B,

C và S là diện tích tam giác đó.

 7 hãy viết các cơng thức tính diện tích tam giác theo một cạnh và đờng cao
tơng ứng.

GV. Thùc hiÖn thao tác này trong 4

Hot ng ca giỏo viờn Hot ng ca hc sinh
Cõu hi 1

HÃy viết các công thức tính diện tích
tam giác theo BC và ha.

Câu hỏi 2

HÃy viết các công thức tính diện tích
tam giác theo AC và hb.

Câu hỏi 3

HÃy viết các công thức tính diện tích
tam giác theo AB và hc.

Gợi ý trả lời câu hỏi 1

S=1

2BC.ha=

1
2a.ha
Gợi ý trả lời câu hỏi 2

2AC .hb=

1
2b.hb
Gợi ý trả lêi c©u hái 3

2AB .hc=

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Gọi R và r lần lợt là bán kính đờng trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và

p=a+b+c

2 là nửa chu vi của tam giác.

Din tớch S ca tam giác ABC đợc tính theo một trong các cơng thức sau:

S=1

2ab sinC=
1

2bc sinA=
1

2ca sinB ; (1)
S=abc

4R: (2)

S= pr (3)

S=

√

p(p − a)(p − b)(p − c) (c«ng thức Hê - rông) (4)
Ta chứng minh công thức (1).

Ta đã biết S=1

2ah, víi ha = AH=ACsin C = bsinC (kĨ c¶



Cnhän, tï hay
vu«ng) (h.2.18).

GV treo hình 2.18 để thực hiện các thao tác chứng minh công thức (1)
Do ú S=1

2ab sinC ;

Công thức S=1

2bc sinA và S=
1

2ca sinB đợc chứng minh tơng tự.

 8 Dựa vào công thức (1) và định lý sin, hãy chng minh S=abc

4R.

GV: Thực hiện thao tác này trong 4’

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Câu hỏi 1

Theo định lí sin ta có a

4R b»ng bao

nhiêu?
Câu hỏi 2

So sánh

2bc sinA và
abc

4R.

Gợi ý trả lời câu hỏi 1

4R=1

2sinA
a

Gợi ý trả lời câu hỏi 2

2bc sinA=
abc

4R

9 Chứng minh công thức S= pr (hình 2.19)
Hình 2.19SGK

GV: Thùc hiƯn thao t¸c

Hoạt động của giáo viên Hot ng ca hc sinh
Cõu hi 1

So sánh S và S+S+S

Câu hỏi 2

HÃy kết luận bài toán

Gợi ý trả lời câu hỏi 1
S = S+S+S

Gợi ý trả lời câu hỏi 2
S=pr

Ta thừa nhận công thức Hê- rông

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

a) Ta tính tam giác ABC;

b) Tớnh bán kính đờng trịn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải

a) Ta cã p=1

2(13+14+15)=21 . Theo c«ng thức Hê rông ta có:
S=

21(2113)(2114)(2115) = 84(m2).

b) áp dụng c«ng thøc S=pr ta cã r=S

p=

84
21=4 .

Vậy đờng trịn nội tiếp tam giác ABC có bán kính là r =4m.
Từ công thức Sabc

4R.

Ta cã Rabc

4R.=

13 . 14 . 15

336 =8,125(m)

.

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Câu hỏi 1

Có thể tính diện tích tam giác ABC
theo cách khác đợc khơng

C©u hỏi 2
HÃy tính r.

Gợi ý trả lời câu hỏi 1

Da vào định lí cơsin có thể tính đợc cosA,
từ đó suy ra sin A và áp dụng cơng thức
diện tích.

Gỵi ý trả lời câu hỏi 2
Dựa vào: S = pr

Vớ dụ 2. Tam giác ABC có các cạnh a=2

√

3, cạnh b = 2 và C = 300. Tính
cạnh c, góc A và diện tích tam giác đó.

Gi¶i

Theo định lí cơsin ta có

c2=a2=b2−2 ab cosC=12+4−2 .2

√

3. 2 .

√

3
2 =4

Vậy c= 2 và tam giác ABC có AB= AC =2. Ta suy ra B C  30o
Do đó Â = 1200

Ta cã S=1

2ca sinB=
1

2.2

√

3. 2 .
1

√

3 (đơn vị diện tích).

Hoạt động 2
4. Giải tam giác và ng dng vic o c

a) Giải tam giác

Gii tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác.
Muốn giải tam giác ta thờng sử dụng các hệ thức đã nêu lên trong định lí cơsin,
định lí sin và các cơng thức tính diện tích tam giác.

VÝ dơ 1. Cho tam giác ABC biết cạnh a = 17,4m, B 44 30'0 và C =64 0 .
Tính góc Â và các cạnh b, c.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Ta có Â= 180 ❑0 - (B + C ) = 180 ❑0 - (44 ❑0 30 + 64 ❑0 )= 71 ❑0

30.

Theo định lý sin ta có a

sinA =
b
sinB=

c
sinC

Do đó b= asinB

sinA =

17,40,7009

0,9483 ≈12,9(m)

c= asinC

sinA =

17,4 . 0 . 8988

0,9483 16,5(m)

§Ĩ giải các loại bài toán này, ta sử dụng máy tÝnh bá tói.

VÝ dơ 2. Cho tam gi¸c ABC cã c¹nh a= 49,4 cm, b= 26,4 cm vµ C = 47

020 . Tính cạnh c, Â và B .

Gi¶i

Theo định lí cơsin ta có:
c2 = a2 + b2- 2ab cosC

26,4¿2−2. 49,4 . 0,6777≈1369,66
49,4¿2+¿

VËy c=

√

1369,66 37(cm)
Ta cã cosA= b

+c2− a2

2 bc =

697+1370−2440

2 . 26,4 . 37 −0,191

Nh vậy Â là góc tù có Â 1010

Do ú B 1800 (A C ) 180 0 (101047 20) 31 400  0

Ví dụ 3. cho tam giác ABC có cạnh a= 24cm, b= 13cm và c= 15cm. Tính diện
tích S của tsam giác và bán kính r của đờng trịn nội tiếp.

Gi¶i

Theo định lí cơsin ta có:
CosA= b

+c2− a2

2 bc =

169+225−576

2. 13 .15 ≈ −0,4667

Nh vậy Â là góc tù và ta tính đợc Â 117049⇒sinA≃0,88
Ta có S= 1

2bc sinA=
1

2.13 . 15. 0,8885,8(cm

2
)

áp dụng công thøc S=pr ta cã r= S

P. V× p=

24+113+15

2 =26 nªn r=
85,8

26 ≈3,3(cm)

b) ứng dụng vào việc đo đạc

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A,B
trên mặt đất sao cho ba điểm A, B và C thẳng hàng. Ta đo khoảng cách AB và các góc



CAD, CBD . Chẳng hạn ta đo đợc AB = 24m, CBD❑ CBD   63 ,0 CBD  48 .0

Khi đó chiều cao h của tháp đợc tính nh sau:

áp dụng định lí sin vào tam giác ABD ta có:

AD
sinβ=

AB
sinD

Ta cã α=¿ Dnªn 

0 0 0

63 48 15
D     

Do đó AD= AB sinβ

sin(α − β)=

24 sin 480

sin 150 ≈68,91

Trong tam giác vuông ACD ta có h = ADsin 61,4(m)

Bi tốn 2. Tính khoảng cách từ một địa điểm trên bờ sông đến một gốc cây trên
một cù lao ở giữa sông. Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C
trên cù lao giữa sông, ngời ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B
có thể nhìn thấy C. Ta đo khoảng cách AB, góc CAD và ❑❑ CBA .Chẳng hạn ta đo đợc
AB = 40m, CAB = α=450 , 

0
70
CBA  .

Khi đó khoảng cách AC đợc tính nh sau:
áp dụng định lý sin vào tam giác ABC, ta có:

AC
sinB=

sinC (h. 2. 22)

V× sinC = sin ( α+β ) nªn AC = AB sinβ

sin(α+β)=

40 . sin 700

sin 1150 ≈41,47(m)
III/ Cñng cè , mở rộng

Tóm tắt bài học

* Trong tam giác ABC bÊt kú víi BC = a, CA = b, Ab = c ta cã:

a2 = b2+c2−2 bc cosA ;
b2=a2+c2−2 ac cosB;
c2=a2+b2−2 ab cosC ;

* m
a
2

=2(b

+c2)− a2

4 ; mb
2

=2(a

+c2)− b2

4 ; mc
2

=2(a

2+b2

)−c2

* Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA =b, AB = c và R là bán kính đờng
trịn ngoại tiếp , ta có:

a
sinA =

b
sinB=

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

* s= 1

2ab sinC=
1

2bc sinA=
1

2ca sinB ; S=
abc

4R

S=pr; s=

2 ; (d) a

√

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

6. Tam giác ABC có tổng hai góc ở đỉnh B và C bằng 300C và độ dài cạnh BC

bằng a. Bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC là
a) a

√

2 ; (b) a

√

2 ; (d) a

Đáp chọn (b)

7. Tam giỏc ABC cú AB = 6, BC =10, CA = 12, Gọi M là trung thực BC và N là
trung điểm AM. Khi đó AM bằng

(a)

√

130 ; (b)

√

145; ;

(c)

120 ; (d)

140;

Đáp chọn (b)

8. Tam giỏc ABC có AB = 6, BC = 10, CA = 12, Gọi M là trung điểm BC và N là
trung điểm AM. Khi đó Bn bằng

(a)

√

111

2 ; (b)

;
2
222

(c)

√

111; (d)Mét kết quả khác

Đáp. Chọn (a)

9. Tam giác có ba cạnh lần lợt là 5,12,13 thì có diện tích bằng:

(a) 3

7; (b) 4

7;

7; (b) 6

7;

Đáp chọn (d)

10. Tam giác có ba cạnh lần lợt là 9,12,13 ứng với cạnh lín nhÊt b»ng
(a) 5

√

170

13 ; (b) 6

√

170
13 ;

√

170

13 ; (d) 8

170
13 ;

Đáp. chọn (d)

IV/ h ớng dẫn về nhà

Học sinh giảI các bàI tập SGK

Hot ng ca GV Hot động của HS

4. TÝnh diƯn tÝch
S cđa tam gi¸c cã số đo
các cạnh lần lợt là 7,9
và 12.

7. TÝnh gãc lín
nhÊt cđa tam gi¸c ABC
biết

a. Các cạnh a =
3cm, b = 4cm vµ c =

4. p =
1

(7 9 12) 14

2   

S= 14(14 7)(14 9)(14 12) 31,3 (đvdt)

7. a) Vì cạnh c = 6 cm lín nhÊt nªn gãc C lín nhÊt, ta
cã:

cosC =

2 2 2 32 42 62 11

2 2.3.4 24

a b c
ab

   

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

6cm

b.C¸c c¹nh a =
40cm, b = 13cm và c =
37cm

8.Cho tam giác
ABC biÕt c¹nh a =
137,5cm, B = 830 vµ C

= 57. Tính góc A, bán
kính R của đờng tròn
ngoại tiếp, cạnh bv c
ca tam giỏc.

9. Cho hình bình
hành ABCD cã AB =
a,BC = b, BD = m vµ
AC = n. Chøng minh
r»ng m2 + n2= 2 (a2 + b2)

10. Hai chiếc tàu
thuỷe P và Q cách nhau
300m. Từ P và Q thẳng

hàng với chân A của
tháp hải đăng AB ở trên
bờ biÓn ngêi ta nh×n
chiỊu cao AB cđa th¸p
díi c¸c gãc BPA 350
và BQA 480. Tính
chiều cao của tháp.

11. Muốn đó
chiều cao của Tháp
Cham Por Klong Garai
ở Ninh Thuận (h.2.23),
ngời ta lấy hai diểm A
và B trên mặt đất có
khoảng cách AB = 12m
cùng thẳng hàng với
chân C của tháp để đặt
hai giác kế (h.2.24).
Chân của giác kế có
chiều cao h= 1,3m. Gọi
D là đỉnh tháp và hai
điểm A1,B1,cùng thẳng

 117 16'0
C

 

b) V× cạnh a = 40 cm lớn nhất nên góc A lín nhÊt, ta
cã:

cosA=

2 2 2 132 372 402 62

0,064

2 2.13.37 962

b c a
bc

   

  

 93 41'0
A

 

8.  

0 0 0 0

180 ( ) 180 140 40

A  B C   

V×

2
sin sin sin

a b c

R
A B  C  nªn

2R= 0

137,5 137,5

214( )
sin sin 40 0,6429

a

cm

A  

b =2RsinB =2Rsin
0

83 212,31(cm)
c = 2RsinC = 2Rsin570 179, 40(cm)

9. Hai đờng chéo Ac và BD của hình bình hành cắt
nhau tại O. Theo giả thiết ta có:

C¸ch 1. Ta cã:

2 2 2

2 2 ( )2 ( )

m n BD AC  AD AB   AD AB
=

2 2 2 2

2(AD AB ) 2( a b )
C¸ch 2

2 2 4( 2 2)( .2.18)
m n  AO BO h

Mµ

2 2 2

2 4

a b n
AO   

2 2 2

2 4

a b m

BO   

nªn

2 2 2 2 2 2

2 2 4

2 4 2 4

a b n a b m

m n        

 

2 2 2 2

4(a b ) m  n
hay

2 2 2( 2 2)
m n  a b
10. XÐt tam gi¸c BPQ
Ta cã 

0 0 0

48 35 13

PBQ  

Ta cã 0 0

300
sin sin sin 35 sin13

BQ PQ BQ

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

hµng víi C1 thuéc chiÒu

cao CD của tháp. Ngời
ta đo đợc DA C 1 1= 490
và 

0
1 1 35

DB C  . TÝnh

chiều cao CD của tháp

đó.

Do đó BQ =

0
0
300.sin 35

764,935( )

sin13 BQ m

Chiều cao AB của tháp là:

AB = BQ.sin480 764,935.sin 480 568, 457( )m
11. Tam gi¸c DA B h1 1( .2.20)cã:

 0 0 0

1 1 49 35 14

A DB   
Theo định lí sin ta có:

1 1 1 1

0 0 0

sin sin 35 sin14 sin 35

A B A D A D

D   

1 0

12.sin 35

28, 451( )
sin14

A D m

Trong tam giác vuông A C D1 1 ta cã:

0 0

1 1sin 49 28, 451.sin 49 21, 772( )

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Tiết 24

Ôn tập ch ơng II
A. Các kiến thức cần nhớ

1. Giỏ tr lng giác của các góc từ00đến 1800.
2. Dấu của các giá trị lợng giác.

3. Giá trị lợng giác của hai góc bù nhau và hai gốc phụ nhau.
4. Bảng các góc c bit

5. Tích vô hớng của hai vectơ.
6. Góc giữa hai vect¬.

7. Biểu thức toạ độ của tích vơ hớng.
8. Độ dài vectơ và khoảng cách hai điểm.
9. Định lí sin.

10. Định lí cốin.

11. Công thức trung tuyến.
12. Diện tích tam giác.
B. Câu hỏi ôn tập

II/

bàI mới
I. Câu hỏi và bài tập SGK

3. Ta có a b. a b cos a b. ( , ).

     

NÕu a


vµ b


khơng đổi thì tích vô hớng a b.

 

đạt giá
trị lớn nhất và nhỏ nhất khi cos

 

a b,

 

tơng ứng đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Do đó:
.

a b  đạt giá trị lớn nhất khi cos



a b,



1
 

(khi đó





0
, 0 )
a b  
.

a b  đạt giá trị nhỏ nhất khi cos



a b,



1
 

(khi đó





, 180 )
a b  
4. a b.  ( 3).2 1.2 4

5. Định lí côsin trong tam giác: Trong tam giác ABC bất kì với ba góc A , B, C vµ
AB = c, BC = a, Ca = b, ta cã:

2 2 2 2 cos ;
a b c  bc A

2 2 2 2 cos ;
b a c  ac B

2 2 2 2 cos .
c a b  ab C
Tõ hƯ thøc trªn ta suy ra:
CosA=

2 2 2 2 2 2 2 2 2

;cos ;cos

2 2 2

b c a a c b a b c

B C

bc ac ab

     

 

6. Theo hÖ thøc a2 b2c2 2 cosbc Atrong tam gi¸c, nÕu gãc A = 900th×:

2 2 2

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

7. Theo định lí sin trong tam giác Abc, ta có:
2

sin sin sin

a b c

R
A B  C 

Từ đó suy ra: a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC.
8. Trong tam giác ABC, ta có:

a) Gãc nhän A

2 2 2 2 2 2

cosA 0 b c a 0 a b c ;

        

b) Gãc A tï

2 2 2 2 2 2

cosA 0 b c a a b c ;

       

c) Góc A vng  cosA 0 b2c2 a2 0  a2 b2c2;
9. Theo định lí sin ta có

2
sin

a

R

A hay R=2sin 2 3.
a

A

10. Theo công thức Hê-rông víi p=





12 16 20 24

2    ta cã:

S= 24(24 12)(24 16)(24 20) 96    ;

2 12.16.20

16; 10;

4 4.96

a

S abc

h R

a S

    

96
4;
24
S

P  

2 2 2 2 2 2

2 2( ) 2(16 20 ) 12 292 17,09

4 4

a a

b c a

m         m 

11. Ta cã c«ng thøc S=
1

sin .

2ab C DiƯn tÝch S cđa tam gi¸c lín nhÊt khi sinC cã
gi¸ trị lớn nhất, nghĩa là khi C90 .0

III/ Củng cố , mở rộng
II. Câu hỏi trắc nghiệm

1. NhËn xÐt : V×  = 1500lµ gãc tï nªn sin  0,cos 0,tan
sin

0,cot 0.
cos



 



  

Do đó các câu (A), (B),(C đều sai. Ta chỉ xét câu (C).
Ta có tan

0 0 1

150 tan 30

 

Chän c©u (C)

2. Hai góc  và  bù nhau có sin, tan và cot đối nhau.
Chọn câu (D).

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

a) cos450 sin 45 ;0 b) cos450 sin135 ;0
c) cos300 sin120 ;0 d)sin

0 3

60
2

còn

0 1

120
2
cos

.
Chọn câu (D)

5. a) Vì nên cos sin;

b) Vì và , nhọn nên sin sin ;
c) NÕu

0
90

  th× cos sin ;

d) V× tan 0, tan 0nên tantan 0.
Chọn Câu (A)

6. a) cos

0 3

30 ;

2


b)sinC =sin

0 3

60 ;

2


c) cosC=cos

0 1

60 ;

2


d) sinB = sin

0 1

30 .

7. a) sin

 sin 300 1;
2

BAH  

b)cosBAH cos  300=

1
2

c) sin

 sin 600 3;
2

ABC  

d) sinAHCsin 900=1

Chän c©u (C).

8. Hai góc bù nhau có sin bằng nhau, còn cos, tan và cot đối nhau. Vậy chỉ có

(A) đúng

Chän c©u (A)

9. a) cos350< cos 100 b) sin 600< sin 800;

c) tan 450 = 1, tan 600 = 3; d) cos 450 =

2
sin 45

2 0 =

10. Vì B 500nên
0

40 ( .2.21)

C h

(A)

0 0 0

, 90 40 130 ;

0 0 0

, 90 50 140 .

AC CB   
 

. . 0 . .

12.

1 1

. ( .2.22)

2 3

GFC

s  FC AB h

2
1

.15.30 75

6  cm

Chän c©u (C)

13. Ta cã AC2 BC2 AB2 132 52
= 169 – 25 = 144

VËy AC = 144 12( cm)(h.2.23)
V× AC >AB nên .

Chọn câu (B)

14. Xột tam giỏc OAB. Theo định lí cơsin ta có:
0

2( .2.24)
1

sin sin 30
1
2

OB AB

h

A  

2 2 2

2
b c a

bc

 

NÕu cosA>0 th× gãc A nhọn, hay b2c2 a2 0thì góc A nhọn.
Chọn câu (A)

16.Gọi Ab là dây cung đi qua P và ABOP h( .2.25)
Ta có P là trung điểm của đoạn AB

Xét tam giác vuông AOP ta có: AP2 AO2 OP2 152 92 144
VËy AP = 12 cm vµ AB = 24 cm

. . (2.26)
2

ABC

S  AB CsinA

64 =
1

.8.18sin

2 A

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

18. Theo định nghĩa giá trị lợng giác của một góc ta có:
sin cos; tan cot ;

19. Theo định nghĩa ta suy ra:
(A)sin900 sin150 ;0

(B)sin

0 0

90 15' sin 90 30 ';
(C)cos

0 0

90 30'cos100 ;
(D) cos1500 cos120 .0
Chọn câu (C)

20. Tam giác ABC vuông t¹i A. Ta cã (h.2.28);

a)AB AC BA BC.  .

v×:

. ( , ) . ( , )

AB AC cos AB AC  BA BC cos BA BC

       

T¬ng tù ta cã:
b) AC CB AC BC.  .





. , . ,

AB BC cos AB BC CA CB cos CA CB

       

d) AC CB BC AB.  .

   

v×:









. , . ,

AC BC cos AC BC  BC AB cos BC AB

       

Chän c©u (D)

21. Ta cã cosA=

. . .

4.9 36

AB AC AB AC AB AC

AB AC  



Cần tìm AB AC h. ( .2.29)
 

Ta cã





2
2

CB  AB AC
 

2 2

2 .
AB  AC  AB AC

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

VËy









2 2 2

1 1

. 81 16 49 24

2 2

AB AC AB AC  CB    
 

Do đó cosA=

22. Ta cãAB(2; 2).


VËy

2 2 2

2 2 8

AB   



Chän c©u (D)

23. cos

 

. . 24.1 3.72 2 2 25 25 2

2
25. 50 25 2

. 4 3 1 7

a b
a b

a b



   

 

 
 

 

Do ú gúc gia hai vect a

và b

là :450
Chọn câu (C)

24. Ta cã MN ( 4;6).


Do đó MN  16 36  4(4 9) 2 13 


Chän c©u (D)

25. Ta cãAB(2;2),AC (2; 2), BC(0; 4)

  

nªn AB AC  8

và BC 4

Ta còn có: AB AC. 2.2 2( 2) 0( .2.30) h

Vậy:AB

AC

và tam giác ABC vuông cân tại A.
Chọn câu (D)

26. Ta có BA(7;3),BC (3; 7), AC ( 4; 10)

  

Do đó BA BC 58

Và ta còn có BA BC. 21 21 0.

Ta suy ra BA

BC
Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.

Chọn câu (B)

27. Ta có BC = 2R và OA = R (h,2.31)

Đờng tròn nội tiếp tâm O tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần l ợt tại O, E, F.
Tứ giác OEAF là hình vuông nªn O’A = OE 2 r 2.

Do đó OA =r + r 2R

VËy r



1 2



Rnªn

(1 2)

1 2

R r

r r



  

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

28. Vì BC2 AB2AC2nên ta có tam giác ABC vng tại A. Do đó tung tuyến

AM =

7,5
2

BC

cm

Chọn câu (D)
29. Ta có công thức

1
sin
2

ABC

S ab C

Gọi S là diện tich tam giác mới, ta có:
S =

30. Tam giác DIF vuông tại I nên:
DI =

2
2

10 6 8
Chọn câu (C)

IV/ h ớng dẫn về nhà

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Tiết 25,26

Ôn tập cuối kì i
trả bàI kiểm tra kì i
I/ Kiểm tra bàI cũ
A. Các kiến thức cần nhớ

Ch¬ng 1:

1. Ôn lại toàn bộ kiến thức đã học về vectơ và các tính chất của nó.
2. Biết vận dụng các tính chất đó trong việc giải các bài tốn hình học.

3. Vận dụng một số công thức về toạ độ để làm một số bài tốn hình học phẳng:

Tính khoảng cách giữa hai điểm, chứng minh ba điểm thẳng hàng…

Yêu cầu: Học sinh ơn tập kĩ các dạng tốn để làm tốt các bài kiểm tra.
Chơng 2: Ôn tập tổng hợp các kiến thức:

1. Giá trị lợng giác của các góc từ00đến 1800.
2. Dấu của các giá trị lợng giác.

3. Giá trị lợng giác của hai góc bù nhau và hai gốc phụ nhau.
4. Bảng các góc đặc biệt

5. TÝch vô hớng của hai vectơ.
6. Góc giữa hai vectơ.

7. Biu thức toạ độ của tích vơ hớng.
8. Độ dài vectơ v khong cỏch hai im.
9. nh lớ sin.

10. Định lí cosin.

11. Công thức trung tuyến.
12. Diện tích tam giác.

II/

bàI mới
B. Câu hỏi ôn tập

I. Câu hỏi vµ bµi tËp

1. Hãy nhắc lại định nghĩa giá trị lợng giác của một góc  với 00   1800. Tại
sao khi  là các góc nhọn thì giá trị lợng giác này chính là các tỉ số lợng giác đã dợc
học ở lớp 9?

2. tại sao hai góc bù nhau lại có sin bằng nhau và cốin đối nhau?
3. Nhắc lại định nghĩa tích vơ hớng của hai vecta

và b

. Tích vô hớng này với
a

vàb

khụng i đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất khi nào?
4. Trong mặt phẳng Oxy cho vectơa ( 3;1)



vµ b(2; 2)


h·y tính tích vô hớng

avà b.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

6. T h thức a2 b2c2 2 cosbc A trong tam giác, hãy suy ra định lí Pi-ta-go.
7. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có a = 2RsinA, b = 2Rsin B, c =
2RsinC, trong đó R là bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác.

8. Cho tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng:
a) Gãc A nhän khi vµ chØ khi a2< b2+

2;
c
b) Gãc A tï khi vµ chØ khi a2> b2+c2;

9. Cho tam giác ABC có A=600, BC =6. Tính bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam
giác đó.

10. Cho tam giác ABC có a = 12, b = 16, c = 20. Tính diện tích S của tam giác,
chiều caoha, các bán kính R, r của các đờng trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và đờng

trung tuyÕn macña tam giác.

11. Trong tập hợp các tam giác có hai cạnh là a và b, tìm tam giác có diện tích
lớn nhất.

III/ Củng cố , mở rộng

II. Câu hỏi trắc nghiÖm

1. Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào đúng?
(A) sin

0 3

150 ;



(B) cos

0 3

150 ;



(C)tan

0 1

150 ;



(D) sin

0
150  3;

2. Cho  và  là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức saui đây
đẳng thức nào sai?

(A)sin sin ; (B)cos cos;
(C)tan  tan ; (D)cos cot ;
3. Cho là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
(A)sin <0; (B)cos>0;

(C)tan<0; (D)cos >0;
4. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
(A)cos452 sin 45 ;2 (B)cos452 sin1352;
(C)cos

0 0

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

(C)cos=sin; (D)tan +tan> 0;

6. Tam giác ABC vng ở A và có góc B 300. Khẳng định nào sau đây là
đúng?

(A)cosB =
1

;

3 (B)sinC =
3

;
2
(C)cosC=
1
;

2 (D)sinB=
1

;
2

7. Tam giác đều ABC có đờng cao AH. Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A)sin

 3;

2
BAH 

(B)cos

 1 ;

3
BAH 

(C)sin

 3;

2
ABC
(D)sin
 1
2
AHC
;
8. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

(A)sin

0
sin(180 );

    (B) cos cos(1800 );
(C)tan

0
tan(180 );

   (D)cot cot(1800 );
9. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:

(A)cos350>cos
0

10 ; (B)sin 0

60 <sin80 ;0

(C)tan50<tan

60 ; (D) cos450 sin 45 ;0

10. Tam giác ABC vuông ở A vµ cã gãc B 50 .0 HƯ thøc nµo sau đây là sai?

(A)

, 120 ;

AC CB 
 

11. Cho a


vµ b



là hai vectơ cùng hớng và đều khác vectơ0.



Trong các kết quả
sau đây, hãy chọn kết quả đúng?

(A)a b, a b. ;

   

(B)a b. 0;

 



 

(D)a b.  a b. ;
   
   
   
   
   
   

   
   
   
   
   
   
   
   

12. Cho tam giác ABC vng cân tại A có AB =AC = 30cm. Hai đờng trung
tuyến BF và CE cắt nhau tại G. Diện tích tam giác GFC là:

(A)50 cm2; (B)50 2cm2;
(C)75

2;

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

13. Cho tam gi¸c ABC vuông tại A cã AB = 5 cm, BC = 13 cm. Gäi gãc


ABCvà ACB.Hãy chọn kết quả đúng khi so sánh  và .
(A) ; (B) ;

(C) ; (D) ;
14. Cho gãc 

0.
30

xOy Gọi A và B là hai điểm di động lần lợt trên Ox và Oy sao

cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:

(A)1,5; (B) 3; (C)2 2; (D)2.

15. Cho tam giác ABC có BC= a, CA = b, AB =c. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
(A) Nếu b2c2 a2 0thì góc A nhọn;

(B) NÕu b2 c2 a2 0th× gãc A tï;
(C)NÕu b2c2 a2  0th× gãc A nhọn;
(D)Nếub2c2 a2 0 thì góc A vuông;

16. ng trũn tâm O có bán kính R =15. Gọi P là một điểm cách tâm O một
khoảng PO = 9 cm. Dây cung đi qua P và vng góc với PO có độ dài là:

(A) 22cm; (B) 23cm; (C) 24 cm; (D) 25cm.

17. Cho tam gi¸c ABC cã AB = 8 cm, Ac = 18 cm và có diện tích bằng 64 cm2.

Giá trị sinA lµ:
(A)

3
;

2 (B)
3

;

8 (C)

;

5 (D)
8

.
9

18. Cho hai gãc nhän vµ phơ nhau. HƯ thøc nµo sau đây là sai?
(A)sin =-cos; (B)cos =sin;

(C)tan=cot ; (D)cot =tan.
19. Bất đẳng thức nào dới đây là đúng?

(A)sin900 sin150 ;0 (B)sin90 15' sin 90 30';0  0
(C)cos

0 0

90 30'cos100 ; (D)cos 0 0
150 cos120 .

20. Cho tam giác ABC vuông tại A. Khẳng định nào sau đây là sai?
(A)AB AC. BA BC. ;

   
   
   

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

(B)AC CB. AC BC. ;

   

(C)AB BC CA CB.  . ;

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

   
   

(D)AC BC BC AB.  . .
   

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

21. Cho tam gi¸c ABC cã AB = 4 cm, BC = 7 cm, CA = 9 cm. Giá trị cosA lµ:
(A)

2
;

3 (B)
1

;

3 (C)
2

;
3



(D)
1
2.

22. Cho hai ®iĨm A = (1;2) và B = (3;40). GIá trị của AB2

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

(A)4; (B)4 2; (C)6 2; (D) 8.
23. Cho hai vectơ a(4;3)

và b(1;7).

Góc giữa hai vectơa

vàb

là:
(A)

90 ; (B)60 ;0

45 ; (D)30 .0

24.Cho hai điểm M (1;-2) và N = (-3;4). Khoảng cách giữa hai điểm M và N lµ:
(A) 4; (B) 6; (C)3 6; (D)2 13.

25. Tam gi¸c ABC cã A = (-1;1); B= (1;3); C=(1;-1)

Trong các cách phát biểu sau đây, hãy chọn cách phát biểu đúng.
(A)ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhuau;

(B) ABC lµ tam giác có ba đầu nhọn;

(C)ABC là tam giác cân tại B (có BA = BC).
(D)ABC là tam giác vuông cân tại A.

26. Cho tam giỏc ABC cú A = (10;5), B = (3;2), C = (6;-5). KHẳng định nào sau
đây là đúng?

(A) ABC là tam giác đều;

(B) ABC lµ tam giác vuông cân tại B;
(C ) ABC là tam giác vuông cân tại A;
(D)ABC là tam giác có góc tï t¹i A.

27. Tam giác ABC vng cân tại A và nội tiếp trong đờng trịn tâm O bán kính R.

Gọi r là bán kính đờng trịn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó tỉ số
R

r b»ng:

(A)1+ 2; (B)
2 2

;

2 (C)
2 1

;
2



(D)
1 2



28. Tam giác Abc có Ab = 9 cm, AC = 12 cm và Bc = 15 cm. Khi đó đờng trung
tuyến Am của tam giác có độ dài là:

(A) 8 cm; (B)10 cm; (C)9 cm; (D07,5 cm.

29. Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có diện tích S. Nếu tăng cạnh Bc
lên 2 lần đồng thời tăng cạnh CA lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó
diện tích của tam giác mới đợc tạo nên bằng:

(A)2S; (B)3S; (C)4S; (D) 6S.

30. Cho tam giác DEF có DE = DF = 10 cm và EF = 12 cm. Gọi I là trung điểm
của cạnh EF. Đoạn thẳng DI có độ dài là:

(A)6,5 cm; (B)7 cm; (C) 8 cm; (D) 4 cm.

IV/ h íng dÉn vỊ nhµ

Học sinh giảI các bàI tập SGK
Làm đề sau:

Câu 1. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Khi đóAB BC.

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

(a)
2
1

;

2a (b)

2 3
;
2
a

(c)

2 3
;
2

a


(d)
2
1
2a


Câu 2. Cho tam giác đều. ABC canh a. Khi đó AB CB.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

b»ng
(a)

;

2a (b)

2 3
;
2
a

(c)

2 3
;
2
a


(d)
2
1
2a


Câu 3.Cho tam giác ABC có BC =a, A300. Khi đó bán kính đờng trịn ngoại
tiếp tam giác ABC bằng:

(a) a; (b) 2a;

1
2a

Bµi tËp tù luËn (6 điểm)

Bài 1. Cho 900 1800và

sin .

3


TÝnh cos vµ tan
Bµi 2. Chøng minh r»ng trong tam giác Abc ta có công thức:
CotA=

2 2 2

4.
b c a

S

Bài 3. Cho tam giác ABC có ba cạnh bằng 9; 5 và 7.

a) HÃy tính các góc của tam giác.

b) Tớnh khong cỏch t A n BC.

Đề 2

Câu hỏi trắc nghiệm (4 điểm)

Câu 1. Cho 900 1800và

2
sin

3
 

khi đó tan2 bằng
(a)

14
;

5 (b)

14
;
5


(c)

;

5 (d)

4
;
5


2
sin

3
 

khi đó sincos bằng
(a)

2 3

;

3 3 (b)

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

;

3 5 (d)

2 4
;
3 5

Câu 3. Tam giác ABC có các cạnh a = 5, b = 7, c = 9. Tam giác ABC

(a) C vuông; (b) C nhän;

Bài 1.Cho tam giác ABC

a) Chøng minh r»ng sinB = sin(A +C)
b) Cho 

0 0

60 , 75 , 2,

A B AB tính các cạnh còn lại của tam giác ABC.

Bi 2. Cho tam giỏc ABC có AB = 4, A =60 ,0 AC5
a) Tính bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) Tính bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC.

Đáp án và biểu điểm
Đề số 1

Phần 1. Trắc nghiệm khách quan

Mỗi câu 1 điểm, học sinh làm trong 10 nộp bài ngay.

Câu 1 2 3 4

ĐA b c b a

Phần tự luËn

C©u 1.

2 2 1

, tan

3 2 2

cos   
Câu 2. Dựa vào định lý hàm số côsin:

2 2 2 2 2 2

cot

cos 4

b c a b c a

A

bc A s

   

 

Câu 3. HS tự giải. Dựa vào định lí sin và cơsin.
Đề số 2
Phần 1. Trc nghim khỏch quan

Mỗi câu 1 điểm, hcọ sinh làm trong 10 nộp bài ngay.

Câu 1 2 3 4

ĐA c a b B

Phần tự luận

Câu 1. a) A bï víi gãc B + C.

b) Bạn đọc tự làm dựa vào định lí sin và định lí cơsin
Câu 2. Dựa vào định lí hàm số cơsin:

2 2 2 2 2 2

cot

c cos 4

b c a b c a

A

b A s

   

 

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41></div>

giao an hinh hoc chuong III nang cao

<i><b>GV: Thực hiện thao tác này trong 5</b></i>

 

 

 











 



<i><b>GV: Thực hiện thao tác này trong 5</b></i>

III/ Cñng cè , më réng





 





















<i><b>Bài tập sách giáo khoa</b></i>

III/ Cñng cè , më réng





<i><b>GV: Thực hiện thao tác này trong 3’</b></i>

<i><b>GV: Thực hiện thao tác này trong 3’</b></i>

<i><b>GV: Thùc hiÖn thao tác này trong 4</b></i>

<i><b>GV: Thực hiện thao tác này trong 3</b></i>

III/ Cñng cè , më réng

√

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

<sub></sub>

bàI mới

<i><b>GV. Thùc hiÖn thao tác này trong 4</b></i>

<sub>√</sub>

GV: Thùc hiƯn thao t¸c

<sub></sub>

.

√

√

√

√

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

√