Chu de tu chon Toan8 nangcao

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Chủ đề 1: Tính chia hết trong tập hợp số nguyên</b>
<b>A. Kiến thức cơ bản</b>

- Nắm đợc tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên
- Vận dụng tốt tích chất để làm các bài tập

<b>B. Ph¬ng pháp chung</b>

<b>I. Chứng minh tính chia hết trong tập hợp số nguyên</b>

Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n  N hc n  Z)

Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m, ta thờng phân tích A(n)
thành thừa số, trong đó có một thừa số là m. Nừu m là một hợp số ta
phân tích m thành tích các thừa số đơi một nguyên tố cùng nhau, rồi
chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó

NhËn xÐt: Trong k sè nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một bội
của k

<b>VÝ dô 1: Chøng minh r»ng:</b>

A = n3_(n2_{- 7)}2_{- 36n chÝ hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiên n}
Giải:

Phân tích ra thừa số: 5040 = 24_.32_.5.7
Ta có:

A = n[n2_(n2_{- 7)}2_{- 36]}
= n[(n3_{- 7n)}2_{- 6}2_]

= n(n3_{- 7n - 6)(n}3_{- 7n + 6)}
Ta l¹i cã:

n3_{- 7n - 6 = (n + 1)(n + 2)(n - 3)}
n3_{- 7n + 6 = (n - 1)(n - 2)(n + 3)}

Do đó: A = (n - 3)(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n - 3)

Đây chính là tích của bảy số nguyên liên tiếp. Trong bảy số nguyên
liên tiếp

- Tồn tại mét béi cđa 5 nªn A chia hÕt cho 5
- Tồn tại một bội của 7 nên A chia hết cho 7
- Tồn tại hai bội của 3 nên A chia hÕt cho 9

- Tồn tại ba bội của 2, trong đó có một bội của 4 nên A chia hết cho
16

A chia hết cho các số 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A
chia hết cho 5.7.9.16 = 5040

<i><b>¸p dơng:</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

a) a2_{- a chia hÕt cho 2}
b) a3_{- a chia hÕt cho 3}
c) a5_{- a chia hÕt cho 5}
d) a7_{- a chia hÕt cho 7}

<i><b>Gợi ý: Phân tích thành tích của các số ngun liên tiếp, khi đó tồn ti</b></i>

các số là bội của 2, 3, 5, 7
<b>Ví dụ 2: Sè chÝnh ph¬ng</b>

a) Chøng minh r»ng mét sè chÝnh ph¬ng chia cho 3 chØ cã thĨ cã sè
d b»ng 0 hc 1

b) Chøng minh r»ng mét sè chÝnh ph¬ng chia cho 4 chØ cã thĨ cã sè
d bằng 0 hoặc 1

Giải:

Gọi A là số chính phơng A = n2_{(n N)}
a) Xét các trờng hợp:

n = 3k (k N)  A = 9k2_{chia hÕt cho 3}

n = 3k  1 (k N)  A = 9k2_{ 6k +1 chia cho 3 d 1}
VËy sè chÝnh ph¬ng chi cho 3 chØ cã thĨ cã sè d bằng 0 hoặc 1
b) Xét các trờng hợp

n = 2k (k N) )  A = 4k2_{chia hÕt cho 4}

n = 2k + 1 (k N)  A = 4k2_{+ 4k +1 = 4k(k + 1) + 1 chia cho 4 d 1}
VËy sè chÝnh ph¬ng chi cho 4 chØ cã thÓ cã sè d b»ng 0 hoặc 1

<b>áp dụng:</b>

Trong các số sau có số nào là số chính phơng không?
M = 19922_{+ 1993}2_{+ 1994}2

N = 19922_{+ 1993}2_{+ 1994}2_{+ 1995}2
P = 1 + 9100_{+ 94}100_{+ 1994}100

<i><b>Lu ý: Các hằng đẳng thức hay dùng để chứng minh tính chia hết của </b></i>

mét luü thõa.

an_{- b}n_{= (a - b)(a}n-1_{+ a}n-2_{.b + a}n-3_.b2_{+....+ a.b}n-2_{+ b}n-1_{) víi n  N}*
an_{+ b}n_{= (a + b)(a}n-1_{- a}n-2_{.b + a}n-3_.b2_{- .... - a.b}n-2_{+ b}n-1_{) với mọi n lẻ}
Công thức Niu-tơn

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

an_{- b}n_{Chia hÕt cho a - b (a  b)}
a2n+1_{+ b}2n+1_{Chia hÕt cho a + b (a  - b)}
(a + b)n_{= BS a + b}n_{(BS a lµ béi sè của a)}

Ví dụ:

<b>Bài tập áp dụng:</b>
1/ Cho A = 11100_-1

Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 10, chia hÕt cho 1000

2/ Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n, biÓu thøc 16n_{- 1 chia hÕt cho}
17 khi và chỉ khi n là số chẵn

3/ Chứng minh rằng víi n  N:
a) 11n+1_{+ 12}2n+1_{chia hÕt cho 133}
b) 34n+2_{+ 2.4}3n+1_{chia hÕt cho 17}
c) 3.52n+1_{+ 2}3n+1_{chia hÕt cho 17}
<b>II. T×m sè d</b>

VÝ dơ: T×m sè d khi chia 2100
a) Cho 9

b) Cho 25
c) Cho 125
Giải:

a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 lµ 23_{= 8 = 9 - 1}

Ta cã: 2100_{= 2.(2}3₎33_{= 2.(9 - 1)}33_{= 2.(BS 9 - 1) = BS 9 - 2 = BS 9 + 7}
Sè d khi chia 2100_{cho 9 lµ 7}

b) L thõa cđa 2 s¸t víi mét béi sè cđa 25 lµ 210_{= 1024 = BS 25 - 1}
Ta cã: 2100_{= (2}10₎10_{= (BS 25 - 1)}10_{= BS 25 + 1}

VËy sè d khi chia 2100_{cho 25 là 1}
c) Dùng công thức Niu-tơn:
2100_{= (5 - 1)}50_{= 5}50_{- 50.5}49_{+ ... +}

50.49

2 _.52_{- 50.5 + 1}

Ta thấy 48 số hạng đầu tiên chøa l thõa cđa 5 víi sè mị lín h¬n 3 nên
chia hết cho 125. hai số hạng tiếp theo cũng chia hết cho 125, số hạng
cuối cùng là 1

VËy sè d khi chia 2100_{cho 125 lµ 1}

<i><b>Bµi tËp ¸p dơng:</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

52n_{+ 5}n_{+ 1 chia hÕt cho 31 víi mäi n kh«ng chia hÕt cho 3}

<b>III. Tìm chữ số cuối cùng trong biểu diễn thập phân của một </b>
<b>số </b>

<i><b>Phơng pháp:</b></i>

Xét số tự nhiên A = nk_{với n, k N}
Cách 1:

Muốn tìm chữ số cuối cùng của A ta chỉ cần biểu diễn A dới dạng:
A = 10a + b = <i>ab</i>

Thì b là chữ số cuối cùng của A
Ta viết A = nk_{= (10q + r)}k_{= 10t + r}k

Th× chữ số cuối cùng của A cũng chính là chữ sè cña cïng cña rk
- NÕu A = 100b + <i>ab</i>₌<i>abc</i>_thì<i>bc</i>_{là hai chữ số cuối cïng cđa A}
- ...

C¸ch 2:

Khi lấy k lần lợt những giá trị tự nhiên khác nhau thì trong biểu
diễn thập phân của số A = nk_{chữ số cuối cùng hoặc một chữ số cuối}
cùng xuất hiện tuần hồn. Ta chỉ cần tìm chu kì của hiện tợng này và A
ở trờng hợp nào với giá trị k đã cho

C¸ch 3: Dïng phÐp chia cã d

<b>VÝ dơ: Tìm 3 chữ số tận cùng của 2</b>100_{khi viết trong hệ thập phân}
Giải:

Ba chữ số tập cùng của 2100_{lµ sè d cđa phÐp chia 2}100_{cho 1000}

Theo vÝ dơ trªn ta cã 2100_{= BS 125 + 1, mà 2}100_{là số chẵn, nên ba chữ}
số tân cïng cđa nã chØ cã thĨ lµ 126, 376, 626 hoặc 876

Mà 2100_{chia hết cho 8 nên ba chữ sè tËn cïng cđa nã cịng ph¶i chia hÕt}
cho 8. Trong bốn số trên chỉ có 376 thoả mÃn điều kiện

Vậy ba chữ số tận cùng của 2100_{là 376}
Bài tËp:

1) Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994_{khi viết trong hệ thập phân.}
2) Tìm chữ số hàng đơn vị của số 171983_{+ 11}1983_{- 7}1983

3) Tìm ba chữ số cuối cùng của số A = m100_{trong đó m là một}
số tự nhiên khác 0

<b>IV. T×m ®iỊu kiƯn chia hÕt</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

A = n3_{+ 2n}2_{- 3n + 2}
B = n2_{- n}

Biến đổi

n3_{+ 2n}2_{- 3n + 2 = (n}2_{- n)(n + 3) + 2}

Muốn A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n2_{- n hay n(n - 1)}
do đó 2 phải chia hết cho n

n 1 -1 2 -2

n-1 0 -2 1 -3

n(n - 1) 0 2 2 6

Lo¹i Lo¹i

VËy n = -1 ; n = 2
Bµi tËp:

1) Tìm số ngun dơng n để n5_{+ 1 chia hết cho n}3_{+ 1}
2) Tìm số tự nhiên n sao cho

a) 2n_{- 1 chia hÕt cho 7}
b) 2n_{- 1 chia hÕt cho 7}

c) n2_{- 3n + 6 chia hết cho 5}
d) n3_{- n + 1 Chia hết cho 7}
e) 2.3n _{+ 3 chia hết cho 11}
f) 10n_{- 1 chia hết cho 81}
g) 10n_{- 1 chia hết cho 11}
h) 10n_{-1 chia hết cho 121}
<b>V. Tính chia hết đối vi a thc</b>

1. Tìm số d của phép chia mà không thực hiện phép chia
Phơng pháp:

* Đa thức chia có dạng x - a với a là hằng số

Số d cđa phÐp chia ®a thøc f(x) cho x - a bằng giá trị của đa thức
f(x) tại x = a

* Đa thức có bậc từ bậc hai trở lên

Cách 1: Tách đa thức bị chia thành những đa thức chia hết cho đa
thức chia

Cách 2: Xét các giá trị riêng
Chú ý:

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì ®a
thøc Êy chia hÕt cho x - 1

Gi¶i:

Gäi f(x) = a0xn_{+ a1x}n-1_{+ ... + an-1x + an}
Theo gi¶ thiÕt: a0 + a1 + .... + an-1 + an = 0
Sè d cña phÐp chia f(x) cho x - 1 lµ

r = f(1) = a0 + a1 + .... + an-1 + an = 0
VËy f(x) chia hÕt cho x - 1

<b>VÝ dô 2: </b>

Chøng minh r»ng nÕu ®a thøc f(x) cã tỉng c¸c hƯ sè l thõa bậc
chẵn bằng tổng các hệ số luỹ thừa bậc lẻ thì f(x) chia hết cho x + 1

2. Tìm thơng và số d của phép chia các đa thức
Phơng pháp:

- Đặt phép chia

- Dựng s Hoúc-ne
a thc bị chia

1 2

0 1 2

...

1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

<i>a x</i>



<i>a x</i>





<i>a x</i>







<i>a</i>

_

<i>x</i>



<i>x</i>

§a thức chia là x - a thơng là

1 2

0 1

...

2 1

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>b x</i>





<i>b x</i>







<i>b</i>

_

<i>x</i>



<i>b</i>

_

sè d r
Víi

b0 = a0

b1 = a.b0 + a1
b2 = a.b1 + a2
...

bn-1 = a.bn-2 + an-1
r = abn-1 + an

3. Chøng minh mét đa thức chia hết cho một đa thức
Phơng pháp:

* Phõn tích đa thức bị chi thành nhân tử, trong đó có một nhân tử
là đa thức chia

<b>VÝ dơ 1: </b>

Chøng minh r»ng x8n_{+ x}4n_{+ 1 chia hÕt cho x}2n_{+ x}n_{+ 1 víi mäi}
mét sè tự nhiên n.

Giải:

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

= (x4n_{+ 1)}2_{- (x}2n₎2

= (x4n_{+ x}2n_{+1) (x}4n_{- x}2n₊₁₎
x4n_{+ x}2n₊₁ _{= x}4n_{+ 2x}2n_{+1- x}2n

= (x2n_{+ 1)}2_{- (x}n₎2

= (x2n_{+ x}n_{+1) (x}2n_{- x}n₊₁₎
VËy x8n_{+ x}4n_{+ 1 chia hÕt cho x}2n_{+ x}n_{+ 1}

* Biến đổi các đa thức chia thành một tổng các đa thức chia hết
cho đa thức chia

<b>VÝ dô 2: </b>

Chøng minh r»ng x3m+1_{+ x}3n+2_{+ 1 chia hÕt cho ®a thøc x}2_{+ x + 1 với}
mọi số tự nhiên m, n

Giải:

x3m+1_{+ x}3n+2_{+ 1 = x}3m+1_{- x + x}3n+2_{+ 1 - x}2_{+ x}2_{+ x + 1}
= x(x3m_{- 1) + x}2_(x3n_{- 1) + x}2_{+ x + 1}
Ta thÊy x3m_{- 1 vµ x}3n_{- 1 chia hÕt cho x}3_{- 1}

Do đó x3m_{- 1 và x}3n_{- 1 chia hết cho x}2_{+ x + 1}

VËy x3m+1_{+ x}3n+2_{+ 1 chia hÕt cho ®a thøc x}2_{+ x + 1}

* Sử dụng các biến đổi tơng đơng, chẳng hạn để chứng minh f(x)
chia hết cho g(x), có thể chứng minh f(x) + g(x) chia hết cho g(x) hoặc
f(x) - g(x) chia hết cho g(x)

<b>VÝ dô 3: </b>

Chøng minh r»ng f(x) chia hÕt cho g(x)

f(x) = x99_{+ x}88_{+ x}77_{+ ... + x}11_{+ 1}
g(x) = x9_{+ x}8_{+ x}7_{+ .... + x + 1}
Gi¶i:

f(x) - g(x) = x99_{- x}9_{+ x}88_{- x}8 _{+... + x}11_{- x}

= x9_(x90_{- 1) + x}8_(x80_{- 1) + ... + x(x}10_{- 1)}

Các biểu thức trong ngoặc đều chia hết cho x10_{- 1, mà x}10_{- 1 chia}
hết cho g(x)

VËy f(x) chia hÕt cho g(x)

* Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của
đa thức bị chia

<b>VÝ dô: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Gi¶i:

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Chủ đề 2: Giải phơng trình</b>
A. Kiến thức cơ bản

- Nắm đợc khái niệm phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình
tích, phơng trình cha n mu.

- Có kỹ năng giải phơng trình một cách thành thạo
B. Nội dung

<b>I. Phơng trình bậc nhất một ẩn</b>

<b>Ví dụ 1: </b>

Giải phơng trình a2_{x + b = a(x + b)}
Gi¶i:

a2_{x + b = a(x + b)}
 a2_{x + b = ax + ab}
 a2_{x - ax = ab - b}

 ax(a - 1) = b(a - 1) (1)

NÕu a  0, a  1th× phơng trình có nghiệm duy nhất

<i>b</i>
<i>x</i>

<i>a</i>

Nu a = 1 thì (1) có dạng 0x = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi x
Nếu a = 0 thì (1) có dạng 0x = -b, phơng trình nghiệm đúng với mọi x
nếu b = 0, vô nghiệm nếu b  0

Kết luận:

Nếu a 0, a 1thì phơng tr×nh cã nghiƯm duy nhÊt

<i>b</i>
<i>x</i>

<i>a</i>



Nếu a = 1 hoặc a = 0 và b = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi x
Nếu a = 0 và b  0, phơng trình vơ nghiệm

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

2

a+x

3

)

a-1

1

1

x-a

)

3

b+c

x-a

3

)

b+c

a+b-x

a+c-x

b+c-x

4

)

1

c

b

a

<i>a</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>x</i>

<i>b</i>

<i>x</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>x</i>

<i>b</i>

<i>x</i>

<i>c</i>

<i>x</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b c</i>

<i>x</i>

<i>d</i>

<i>a</i>

<i>b c</i>







































 







<b>II. Phơng trình tích</b>

<i><b>Định nghĩa: </b></i>

Phơng trình tích một ẩn là phơng trình có dạng:
A(x).B(x)... = 0 (1)

Trong ú A(x), B(x), ... l cỏc a thc

<i><b>Cách giải:</b></i>

Giải từng phơng trình A(x) = 0, B(x) = 0, .... rồi lấy tất cả các

nghiệm của chúng.

<i><b>Chú ý: </b></i>

Vic phõn tích đa thức thành nhân tử có vai trị quan trọng trong
việc đa phơng trình về dạng phơng trình tích. Ngồi ra ta cịn dùng
ph-ơng pháp đặt ẩn ph

<b>Ví dụ 1:</b>

Giải phơng trình:

(x + 3)3_{- (x + 1)}3_{= 56}
Gi¶i:

(x + 3)3_{- (x + 1)}3_{= 56}

 x3_{+ 9x}2_{+ 27x + 27 - x}3_{- 3x}2_{- 3x- 1 = 56}
 6x2_{+ 24x -30 = 0}

 6(x2_{+ 4x - 5) = 0}
 x2_{- x + 5x - 5 = 0}
 x(x - 1) + 5(x - 1) = 0
 (x - 1)(x + 5) = 0
KÕt luËn: S = {1; -5}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Có thể dùng phơng pháp đặt ẩn phụ x + 2 = y (x + 2 là trung bình
cộng của x + 3 và x + 1)

<i><b>VÝ dụ 2: Giải phơng trình:</b></i>

(x - 6)4_{+ (x - 8)}4_{= 16}
Gi¶i:

Đặt x - 7 = y, phơng trình trở thành:
(y + 1)4_{+ (y - 1)}4_{= 16}
Rút gn ta c:

y4_{+ 6y}2_{- 7 = 0}

Đặt y2_{= z (z  0), ta cã z}2_{+ 6z - 7 = 0  (z - 1)(z + 7) = 0}
Phơng trình này cho z1 = 1, z2 = -7 (lo¹i)

Với z = 1, nên y =  1
Từ đó x1 = 8 ; x2 = 6

<i><b>Chó ý: </b></i>

Khi giải phơng trình bậc bốn dạng (x + a)4_{+ (x + b)}4_{= c ta thêng}

đặt ẩn phụ 2

<i>a</i> <i>b</i>
<i>y</i> <i>x</i>

áp dụng: Giải phơng trình:
a) (x + 3)4_{+ (x + 5)}4_{= 2}
b) (x + 1)4_{+ (x - 3)}4_{= 82}
c) (x - 2)4_{+ (x - 3)}4_{= 1}
d) (x - 2,5)4_{+ (x -1,5)}4_{= 1}

<i><b>* Phơng trình đối xứng (các hệ số có tính đối xứng)</b></i>

Trong phơng trình đối xứng nếu a là nghiệm thì

1

<i>a</i>_{cũng là nghiệm}
+ Phơng trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các
nghiệm là x = -1

+ Phơng trình đối xứng bậc chẵn 2n đa đợc về phơng trình bậc n

bằng cách đặt ẩn phụ

1

<i>y</i> <i>x</i>
<i>x</i>

 

VÝ dô 3:

Giải phơng trình:

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

b) x4_{- 3x}3_{+ 4x}2_{- 3x + 1 = 0}
Gi¶i:

a) Biến đổi phơng trình thành:

(x + 1)(x + 2)(2x + 1) = 0

Ph¬ng tr×nh cã ba nghiƯm: x1 = -1 ; x2 = -2 ; 3

1
2

<i>x </i>

b) Cách 1:

Đa phơng trình về dạng: (x + 1)2_(x2_{- x + 1) = 0}
Phơng trình có một nghiệm x = -1

Cách 2:

Chia cả hai vế của phơng trình cho x2_{(vì x = 0 khơng là nghiệm}
của phơng trình) ta đợc:

2
2

1

1

3

4

0

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>













Đặt

1
<i>y</i> <i>x</i>

<i>x</i>
 

th×

2 2

2
1

2

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i>

  

, ta đợc:
y2_{- 3y + 2 = 0 nên y1 = 1; y2 = 2}
Với y1 = 1, ta có x2_{- x + 1 = 0, vô nghiệm}
Với y = 2, ta có x2_{- 2x + 1 = 0 nên x = 1}

<i><b>Bài tập áp dụng:</b></i>

<i><b>Giải phơng trình</b></i>

a) x4_{+ 3x}3_{+ 4x}2_{+ 3x + 1 = 0}
b) x5_{- x}4_{+ 3x}3_{+ 3x}2_{- x + 1 = 0}
c) x4_{- 3x}3_{+ 4x}2_{- 3x + 1 = 0}
d) 6x4_{+ 5x}3_{- 38x}2_{+ 5 + 6 = 0}
<b>3. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu</b>
Các bíc gi¶i:

- Tìm điều kiện xác định của phơng trình

- Quy đồng mẫu thức ở hai vế của phơng trình rồi khử mẫu thức
- Giải phơng trình vừa nhận đợc

- Nghiệm của phơng trình là các giá trị tìm đợc của ẩn thoả mãn
điều kiện xác định.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

1 3 2

(1)

2 4 ( 2)(4 )

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

 

   

Gi¶i:

ĐKXĐ của phơng trình là x  2, x  4
Biến đổi phơng trình (1) ta đợc:

(x - 1)(x - 4) + (x + 3)(x - 2) = -2
Thu gọn phơng trình ta đợc: 2x(x - 2) = 0 (2)
Ngiệm của (2) x1 = 0 ; x2 = 2

x1 = 0 thoả mÃn ĐKXĐ; x2 = 2 không thoả mÃn ĐKXĐ
Vậy S = {0}

<i><b>Bài tập: </b></i>

Giải phơng trình với c¸c tham sè a, b

1

1

1

1

)

x+a

3

)

2

x+3

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>b</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

<b>4) Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:</b>
a) Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình:

<i><b>Bớc 1:</b></i>

- Chn n v t iu kiện cho ẩn.

- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết.
- Lập phơng trình biểu thị sự tơng quan giữa các đại lợng.

<i><b>Bíc 2: Giải phơng trình.</b></i>

<i><b>Bớc 3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời</b></i>

<b>Ví dụ 1: </b>

Vo th k th III trớc công nguyên, vua xứ Xi-ra-cút giao cho
Ac-si-met kiểm tra xem chiếc mũ bằng vàng của mình có pha thêm bạc hay
khơng. Chiếc mũ có trọng lợng 5 niutơn (theo đơn vị hiện nay), khi
nhúng ngập trong nớc thì trọng lợng giảm đi 0,3 niutơn

BiÕt r»ng khi c©n trong nớc, vàng giảm

1

20_{trọng lợng, bạc giảm}
1
10

trọng lợng. Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiêu gam bạc (vật có khối lợng 100
gam trì trọng lợng bằng 1 niutơn)

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Gọi trọng lợng bạc trong mũ là x (niutơn) (0 < x < 5). Trọng lợng
vàng trong mũ là 5 - x (niutơn)

Khi nhúng ngập trong nớc, trọng lợng bạc giảm 10

<i>x</i>

(niutơn), trọng

lợng vàng giảm

5
20

<i>x</i>

(niutơn)
Ta có phơng trình:

5

0,3
10 20

<i>x</i> <i>x</i>

Gii phng trỡnh ta c x = 1

Vậy trọng lợng bạc trong mũ là 1 niutơn.
Chiếc mũ chứa 100 gam b¹c.

<i><b>Chó ý: </b></i>

Khi giải bài tốn bằng cách lập phơng trình, ngồi ẩn đã chọn đơi
khi ngời ta cịn biểu thị những đại lợng cha biết khác bằng chữ. Điều lý
thú là các chữ đó tuy tham gia vào q trình giải tốn nhng chúng lại
khơng có mặt trong đáp số của bài tốn.

<b>VÝ dơ 2: </b>

Một ngời đi nửa quãng đờng AB với vận tốc 20 km/h, và đi phần
còn lại với vận tốc 30 km/h. Tính vận tốc trung bình của ngời đó trên cả
qng đờng.

Gi¶i:

Gọi vận tốc trung bình phải tìm là x (km/h). Ta biểu thị một nửa
quãng đờng AB là a km (a > 0).

Thời gian ngời đó đi nửa đầu quãng đờng là 20
<i>a</i>

giê, thêi gian ngêi

đó đi nửa sau quãng đờng là 30
<i>a</i>

giê,
Ta cã phơng trình:

2
20 30

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>x</i>

Gii phng trỡnh ta đợc x = 24

Vậy vận tốc trung bình của ngời đó trên cả qng đờng là 24km/h.

<i><b>Bµi tËp:</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

ngợc lại. Biết rằng các xe buýt đều chạy với cùng một vận tốc, khởi
hành sau những khoảng thời gian bằng nhau và không dừng lại trên
đ-ờng (trên chiều từ A đến B cũng nh chiều ngợc lại). Hỏi cứ sau bao
nhiêu phát thì các xe buýt lại lần lợt rời bến?

2) Trên quãng đờng AB của một thành phố, cứ 6 phút lại có một xe
buýt đi theo chiều từ A đến B và cũng cứ 6 phút lại có một xe buýt đi
theo chiều ngợc lại. Các xe này chuyển động đều với cùng vận tốc nh
nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>Chủ đề 3: Chứng minh bất đẳng thức</b>
A. Mục tiêu

Học sinh nắm đợc các tính chất của bất đẳng thức, nắm đợc các
hằng bất đẳng thức, các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

Biết chứng minh bất đẳng thức một cách thành thạo.
B. Kiến thức cơ bản

<b>I.</b> <b>Các tính chất của bất đẳng thức</b>
- Tính bắc cầu: a > b ; b > c  a > c

- Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số
a > b  a + c  b + c

- Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số:
a > b ; c > 0  ac > bc

a > b ; c < 0  ac < bc

- Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều,
a > b ; c > d  a + c > b + d

- Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều, đợc bất đẳng thức
cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ:

a > b ; c < d  a - c > b – d

- Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm
a > b  0 ; c > d  0  ac > bd

- Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế của bất đẳng thức:
a > b > 0  an_{> b}n

a > b  an_{> b}n_{víi n lỴ}

<i>a</i>  <i>b</i>

 an_{> b}n_{với n chẵn}

- So sánh hai l thõa cïng c¬ sè víi sè mị d¬ng:
NÕu m > n > 0 th×: a > 1  am_{> a}n

a = 1  am_{= a}n
0 < a < 1  am_{< a}n

- Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng
dấu

a > b , ab > 0 
1 1

<i>a</i>  <i>b</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

1. Ngoài các hằng bất đẳng thức a2_{ 0 ; -a}2_{ 0, cần nhớ các hằng}
bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối:

0

<i>a </i>

Xẩy ra đẳng thức khi a = 0
<i>a</i> <i>a</i>

Xẩy ra đẳng thức khi a  0
<i>a</i><i>b</i> <i>a</i>  <i>b</i>

Xẩy ra đẳng thức khi ab  0
<i>a b</i> <i>a</i>  <i>b</i>

Xẩy ra đẳng thức khi ab > 0 và <i>a</i> <i>b</i>

2. Một số hằng bất đẳng thức khác có thể sử dụng nh một bổ đề để
giải toán.

a2_{+ b}2_{ 2ab;}

2

2
<i>a b</i>

<i>ab</i>


 

 

  _{Hay (a + b)}2_{ 4ab (bất đẳng thức Cơ-si);}

1 1 4

<i>a</i><i>b</i><i>a b</i> _{víi a, b > 0}
2

<i>a</i> <i>b</i>

<i>b</i><i>a</i> _{víi a, b > 0}

(a2_{+ b}2_)(x2_{+ y}2_{)  (ax + by)}2_{(Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki)}
<b>III. Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức:</b>

<i><b>1. Dùng định nghĩa</b></i>

§Ĩ chøng minh A > B, ta xÐt hiƯu A - B vµ chøng minh A - B > 0
VÝ dô 1: Chøng minh r»ng:

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)  -1
Gi¶i: XÐt hiƯu

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - (-1) = (x2_{- 5x + 4)(x}2_{- 5x + 6) + 1}
Đặt x2_{- 5x + 5 = y ta đợc}

(y - 1)(y + 1) + 1 = y2_{ 0}

VËy (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)  -1

<i><b>2. Dùng phép biến đổi tơng đơng</b></i>

VÝ dô 2:

Cho các số dơng a và b thoả mÃn điều kiÖn a + b = 1

Chøng minh r»ng:

1 1

1 1 9

<i>a</i> <i>b</i>

   

  

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

1 1 a+1 1

1 1 9 . 9

a

<i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i>



   

    

   

   

 ab + a + b + 1  9ab (v× ab > 0)

 a + b + 1  8ab (v× a + b = 1)
 2  8ab

 1  4ab

 (a + b)2_{ 4ab} _{(vì a + b = 1)}
 (a - b)2_{ 0 luôn đúng}

Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh
Xẩy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b

<i><b>3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức</b></i>

VÝ dô 3:

Cho a + b > 1. Chøng minh r»ng:

4 4 1

8

<i>a</i> <i>b</i> 

Gi¶i: Ta có

a + b + 1 > 0 (1)
Bình phơng hai vÕ:

(a + b)2_{> 1 a}2_{+ 2ab + b}2_{> 1} ₍₂₎
Mặt khác

(a - b)2_{0  a}2_{- 2ab + b}2_{ 0} ₍₃₎
Céng tõng vÕ (2) vµ (3)

2(a2_{+ b}2_{) > 1  a}2_{+ b}2_>

1

2 ₍₄₎

Bình phơng hai vế của (4)
a4_{+ 2a}2_b2_{+ b}4_>

1

4 ₍₅₎

Mặt khác

(a2_{- b}2₎2_{ 0  a}4_{- 2a}2_b2_{+ b}4_{ 0} ₍₆₎
Céng tõng vÕ (5) vµ (6)

2(a4_{+ b}4_{) >}

1

4_a4_{+ b}4_>

1
8

<i><b>4. Dùng phơng pháp phản chøng</b></i>

VÝ dơ 4:

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Gi¶i:

Giả sử a + b > 2, bình phơng hai vế ta đợc:
a2_{+ 2ab + b}2_{> 4} ₍₁₎

Mặt khác ta cã:

(a - b)2_{ 0  2ab  a}2_{+ b}2_{ a}2_{+ 2ab + b}2_{ 2(a}2_{+ b}2₎
Mà 2(a2_{+ b}2_{)  4 (giả thiết), do đó}

a2_{+ 2ab + b}2_{ 4} _{M©u thn với (1)}
Vậy a + b 2

C. Bài tập áp dông:

Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) Chứng minh bất đẳng thức

2 2 2

2 2 2

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>



<i>c</i>



<i>a</i>

 

<i>b</i>

<i>a</i>



<i>c</i>

2) Chứng minh các bất đẳng thức với a, b , c là các số dơng:

a)



<i>a b c</i>



1 1 1 9

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

 

  _   _

 

b)

1, 5

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>b c</i> <i>c</i><i>a</i> <i>a</i><i>b</i> 

3) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

a)

1

1

1

1

1

1

<i>a</i>

 

<i>b c</i>



<i>b c a</i>

 



<i>c a b</i>

 

 

<i>a</i>

<i>b</i>



<i>c</i>

<i><b>Gỵi ý: </b></i>

áp dụng bất đẳng thức

1 1 4

<i>x</i> <i>y</i><i>x</i><i>y</i>_{víi x, y > 0}

b)

3

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>b c a</i>

 



<i>a c b</i>

 



<i>a b c</i>

 



c)

2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>b c</i> <i>c</i><i>a</i>  <i>a b</i> 

4) Cho a + b + c = 1. Chøng minh r»ng
2 2 2 1

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

5) Chøng minh r»ng víi a, b, c > 0 th×

a)

2 2
2 2

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>b</i>



<i>a</i>

 

<i>b</i>

<i>a</i>

b)

2 2 2

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a b c</i>

<i>b</i>



<i>c</i>



<i>a</i>

  

c)

2 2 2

2

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a b c</i>

<i>b c</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>a b</i>

 







</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>Chủ đề 4: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất</b>
A. Mục tiêu

- Học sinh nắm đợc thế nào là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
một biểu thức

- Biết cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mt biu
thc

B. Các khái niệm cơ bản
1. Cho biểu thøc f(x,y,...)

Ta nãi M lµ GTLN cđa biĨu thøc f(x,y,...) nếu thoả mÃn hai điều
kiện sau:

- Vi mi x, y,... để f(x,y,...) xác định thì
f(x,y,...)  M (M là hằng số) (1)
- Tồn tại x0 , y0 .... sao cho

f(x0, y0, ....) = M (2)
2. Cho biÓu thøc f(x,y,...)

Ta nãi M lµ GTNN cđa biĨu thøc f(x,y,...) nếu thoả mÃn hai điều
kiện sau:

Vi mi x, y,... để f(x,y,...) xác định thì (1’)

f(x,y,...)  m (m là hằng số)

- Tån t¹i x0 , y0 .... sao cho

f(x0, y0, ....) = m (2’)

Chó ý: NÕu chØ cã điều kiện (1) và (1) thì cha thể nói gì về cực trị
của một biểu thức

Chẳng hạn ta xét biÓu thøc
A = (x - 1)2_{+ (x - 3)}2

Mặc dù A  0 nhng cha thể kết luận GTNN của A = 0 vì khơng tồ
tại giá trị nào của x để A = 0

C. Néi dung

<b>I.</b> <b>Gi¸ trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thøc chøa </b>
<b>mét biÕn</b>

<i><b>1. Tam thøc bËc hai</b></i>

VÝ dô 1:

a) T×m GTNN cđa A = 2x2_{- 8x + 1}
b) T×m GTLN cđa B = -5x2_{- 4x + 1}
Giải:

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Min A = -7 khi và chỉ khi x = 2

b) B = -5x2_{- 4x + 1 =}

2

2 4 4 9 2 9 9

5 5

5 25 5 5 5 5

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

   

 _   _  _  _  

   

Max B =

9

5_{khi vµ chØ khi x =}
2
5


<b>¸p dơng: </b>

Cho tam thøc bËc hai P = ax2_{+ bx + c}

a) T×m GTNN cđa P nÕu a > 0
b) T×m GTLN cđa P nÕu a < 0

<i><b>2. Đa thức bậc cao hơn hai</b></i>
<i><b>Ví dụ 2: </b></i>

T×m GTNN cđa A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7)
Gi¶i:

Ta cã: A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) = (x2_{- 7x)(x}2_{- 7x + 12)}
Đặt x2_{- 7x + 6 = y thì}

A = (y - 6)(y + 6) = y2_{- 36  -36}

VËy Min A = -36  x2_{- 7x + 6 = 0  x1 = 1; x2 = 6}

<i><b>3. Phân thức có tử là hằng số mẫu là tam thøc bËc hai</b></i>
<i><b>VÝ dơ 3: </b></i>

T×m GTNN cđa 2

2
6 5 9

<i>A</i>

<i>x</i> <i>x</i>



 
Gi¶i:





2

2

2 2

9 6 5 ₃ ₁ ₄

<i>A</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i>

 

 

  _ _

Ta thÊy (3x - 1)2_{ 0 nªn (3x - 1)}2_{+ 4  4}

Do đó





2

1 1

4

3<i>x</i> 1 4


 






2
2 2
4
3<i>x</i> 1 4

 

 

1
2
<i>A </i>
1 1

3x-1 =0 x=

2 3

<i>Min A </i>  

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<i><b>VÝ du 4: </b></i>

T×m GTNN cđa
2
2

3

8

6

2

1

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>A</i>

<i>x</i>

<i>x</i>











Gi¶i:
Ta cã:



 















2
2 2
2
2 2
2

2

4

2

4

4

₂

3

8

6

2

2

2

1

₁

₁

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>_x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>A</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>_x</i>

<i>_x</i>











_









 







_

_

Min A = 2 khi vµ chỉ khi x = 2

<b>II.</b> <b>Giá trị lớn nhất, giá trÞ nhá nhÊt cđa mét biĨu thøc cã quan </b>
<b>hƯ ràng buộc giữa các biến</b>

Ví dụ 1:

Tìm GTNN của A = x3_{+ y}3_{+ xy biÕt r»ng x + y = 1}
Gi¶i:

Sử dụng kiều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A:
A = (x + y)(x2_{- xy + y}2_{) + xy}

= x2_{- xy + y}2_{+ xy}

= x2_{+ y}2

Đến đay có nhiều cách giải:
Cách 1:

Biu th y theo x ri a về tam thức bậc hai đối với x:
Thay y = x - 1vào biểu thức A ta đợc





_

_

2
2

2 2 1 1 1

1 2 1 = 2

x-2 2 2

<i>A</i><i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  _ _  

 

Min A =

1

2

_{khi và chỉ khi x =}

1

2

_{, y =}

1

2

Cách 2:

Sử dụng các điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức mới có
chứa A:

<b>Bµi tËp:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

a) T×m GTNN cđa A = x2_{+ y}2_{+ z}2
b) T×m GTLN cđa B = xz + yz + zx
c) T×m GTNN cđa A + B

2) T×m GTNN cđa c¸c biĨu thøc
A = (x + 8)4_{+ (x + 5)}4

B = (x - 1)(x - 3)(x2_{- 4x + 5)}

3

7

<i>C</i>

 

<i>x</i>



<i>x</i>



2 2

1

2

<i>D</i>



<i>x</i>



<i>x</i>

 

<i>x</i>



<i>x</i>



3) T×m GTNN, GTLN cđa

2
2

2

27 12

9

3

2

3

1

<i>x</i>

<i>A</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>B</i>

<i>x</i>















4) T×m GTNN cña





1

1

<i>A</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>









_



_





_{víi a, b > 0}





1

1

1

<i>B</i>

<i>a</i>

<i>b c</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>







 

_





_





_{víi a, b, c > 0}





1

1

1

1

<i>B</i>

<i>a</i>

<i>b c</i>

<i>d</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>d</i>







  

_







_

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<b>Chủ đề 5: Phơng pháp diện tích trong chứng minh</b>
<b>hình học</b>

A. Mơc tiªu

- Sử dụng các cơng thức tính diện tích để thiết lập quan hệ về độ dài
của các đoạn thẳng để chứng minh hình học

- Có kỹ năng sử dụng các cơng thức tính diện tích để chứng minh
hình học

B. Sử dụng các cơng thức tính diện tích để
chứng minh hình học.

<i><b>VÝ dô 1: </b></i>

Cho tam giác đều ABC.

a) Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc miền trong của tam giác ABC
thì tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác bằng
chiều cao tam giác.

b) Quan hệ trên thay đổi nh thế nào nếu điểm M thuộc miền ngồi
tam giác

Gi¶i:

Gọi a và h là cạnh và chiều cao của tam giác ABC, MA’, MB’,
MC’ là các khoảng cách từ M đến BC, AC, AB

a) NÕu M thc miỊn trong ABC th×

C'

B'

A'
A

B C

M

SMBC + SMAC + SMAB = SABC









1 1 1 1

. ' . ' . ' .

2 2 2 2

a

' ' '

2 2

' ' '

<i>BC MA</i> <i>AC MB</i> <i>AB MC</i> <i>BC AH</i>

<i>a</i>
<i>MA</i> <i>MB</i> <i>MC</i> <i>h</i>

<i>MA</i> <i>MB</i> <i>MC</i> <i>h</i>

   

   

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

7
6

1

2

3
4

5

B'
C'

A'
A

B C

M

SMAC + SMAB - SMBC = SABC









1 1 1 1

. ' . ' . ' .

2 2 2 2

a

' ' '

2 2

' ' '

<i>AC MB</i> <i>AB MC</i> <i>BC MA</i> <i>BC AH</i>

<i>a</i>
<i>MB</i> <i>MC</i> <i>MA</i> <i>h</i>

<i>MB</i> <i>MC</i> <i>MA</i> <i>h</i>

   

   

   

T¬ng tù:

NÕu M thc miỊn ngoµi ABC vµ thc miỊn trong gãc B (miền
3) thì:

<i>MA</i>'<i>MC</i>' <i>MB</i>'

<i>h</i>

Nếu M thuộc miền ngoài ABC vµ thc miỊn trong gãc C (miỊn
4) th×:



<i>MA</i>'<i>MB</i>' <i>MC</i>'



<i>h</i>

Nếu M thuộc miền trong góc đối đỉnh với góc A (miền 5) thì:



<i>MA</i>' <i>MB</i>' <i>MC</i>'



<i>h</i>

Nếu M thuộc miền trong góc đối đỉnh với góc B (miền 6) thì:



<i>MB</i>' <i>MA</i>' <i>MC</i>'



<i>h</i>

Nếu M thuộc miền trong góc đối đỉnh với góc C (miền 7) thì:



<i>MC</i>' <i>MA</i>' <i>MB</i>'

<i>h</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

1) Các điểm E, F nằm trên các cạnh AB, BC của hình bình hành
ABCD sao cho AF = CE. Gọi I là giao điểm của AF, CE. Chứng minh
rằng ID là tia phân gi¸c cđa gãc AIC

I

K
H

B

D

C

A E

F

Gợi ý: Để chứng tỏ D thuộc tia phân giác của góc AIC , ta vẽ DH  AF,
DK  IC, rồi chứng minh DH = DK. Hai đoạn thẳng này là các đờng
cao của AFD và CED có cạnh đáy tơng ứng là AF và CE, do đo chỉ cần
chứng minh SAFD = SCED (các diện tích này đều bằng nửa SABCD)

2) Cho ABC có <i>A </i>900_{, D là điểm nằm giữa A vµ C. Chøng minh}

rằng tổng các khoảng cách từ A và từ C đến BD lớn hơn đờng cao kẻ từ
A và nhỏ hơn đờng cao kẻ từ C của ABC

H
E

F
K

B C

A

D

<i><b>Gợi ý: Gọi AH, CK là các đờng cao của </b></i>ABC. Kẻ AE và CF vng góc

víi BD. Ta cÇn chøng tá AH < AE + CF < CK

</div>

<!--links-->