Su dung Dinh ly Viet de giai toanOn thi vao 10 phan 5

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>ĐỊNH LÍ VI-ET THUẬN</b>

Các bài tốn liên quan tới định lí Vi-et rất thường gặp trong các kì thi tốt nghiệp THCS
và thi vào lớp 10.

ở bài viết này chúng ta cùng ôn tập những bài toán cơ bản nhất. Trước hết ta nhớ lại định
li Vi-et thuận :

“Nếu phương trình ax2_{+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm x1, x2 thì x1 + x2 = - b/a và x1x2 =}
c/a ”.

<i>Chú ý : Nhiều bạn khi sử dụng định lí này đã quên mất giả thiết a ≠ 0 và Δ ≥ 0 nên dẫn </i>

tới những sai lầm đáng tiếc.

<b>Thí dụ 1 : Gọi x</b>1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 _{- x - 1 = 0.}
1) Tính x12_{+ x2}2_.

2) Chứng minh Q = x12_{+ x2}2_{+ x1}4_{+ x2}4_{chia hết cho 5.}

<b>Giải : Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x</b>1 và x2 vì Δ = 5 > 0 (hoặc a.c = -1 <
0).

Theo định lí Vi-et ta có x1 + x2 = 1 và x1x2 = -1.
1) x12_{+ x2}2_{= (x1 + x2)}2_{- 2x1x2 = 1}2_{- 2(-1) = 3.}

2) Q = (x12_{+ x2}2_{) + (x1}2_{+ x2}2₎2_{- 2x1}2_x22_{= 3 + 3}2_{- 2(-1)}2_{= 10 => Q chia hết cho 5.}
Chú ý : Các bạn giỏi có thể chứng minh Q = x12001_{+ x2}2001_{+ x1}2003_{+ x2}2003_{cũng chia hết}
cho 5 (Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Nam Định).

<b>Thí dụ 2 : Giả sử x</b>1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 - (m + 1)x + m2 - 2m + 2 = 0.

Tìm m để F = x12_{+ x2}2_{đạt giá trị nhỏ nhất.}

<b>Giải : Trước hết, phương trình có nghiệm tương đương với Δ ≥ 0 tương đương với (m + </b>

1)2_{- 4(m}2_{- 2m + 2) ≥ 0 hay 3m}2_{+ 10 - 7 ≥ 0 hay 1 ≤ m ≤ 7/3 .}

Theo định lí Vi-et ta có x1 + x2 = m + 1 và x1x2 = m2_{- 2m + 2. Do đó F = x1}2_{+ x2}2_{= (x1 +}
x2)2_{- 2x1x2 = (m + 1)2 - 2(m}2_{- 2m + 2) = -m}2_{+ 6m - 3 = -(m - 3)}2_{+ 6.}

Với 1≤ m ≤ thì - 2 ≤ m - 3 ≤ - 2/3.
=> (m - 3)2_{≤ 4 => -(m - 3)}2_{≥ -4}
=> F = -(m - 3)2_{+ 6 ≥ 2.}

Vì F = 2 tương đương với m = 1, nên F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi m = 1.

<i>Chú ý : Nếu các bạn “quên” điều kiện Δ ≥ 0 thì sẽ dẫn đến... F khơng có giá trị nhỏ nhất !</i>

<b>Thí dụ 3 : Tìm số ngun m sao cho phương trình mx</b>2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0 có
nghiệm x1, x2 thỏa mãn : F = 1/ x1 + 1/ x2 là số ngun.

<b>Giải : Phương trình có nghiệm x</b>1, x2

Theo định lí Vi-et thì x1 + x2 = 2(m + 3)/m và x1.x2 = (m + 2)/m
Do đó : F = 1/x1 + 1/x2 = 2(m + 3)/(m + 2) = 2 + 2/(m + 2)
Ta thấy F là số nguyên hay m + 2 là ước của 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Thí dụ 4 : Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình : x</b>2_{- (m + 3)x}
+ 2m - 5 = 0 mà hệ thức này không phụ thuộc m.

<b>Giải : Ta có Δ = (m + 3)</b>2_{- 4(2m - 5) = m}2_{- 2m + 14 = (m - 1)}2_{+ 13 > 0 với mọi m.}

Chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm x1 và x2. Theo định lí Vi-et thì :

Khử m ta có : 2(x1+x2) - x1x2 = 11.

<b>Thí dụ 5 : Tìm m để phương trình : x</b>2_{- mx + m}2_{- 7 = 0 có nghiệm này gấp đơi nghiệm}
kia.

<b>Giải : Phương trình có nghiệm x</b>1, x2

Tương đương với Δ ≥ 0 hay m2_{- 4(m}2_{- 7) ≥ 0 hay 28 ≥ 3m}2

Theo định lí Vi-et ta có :

Giả sử x1 = 2x2 thì :

Khử x2 bằng phép thế ta có :

2.(m/2)2_{= m}2_{- 7 tương đương với 2m}2_{= 9m}2_{- 63}
hay m>sup>2 - 9 hay là m = - 3 hoặc m = 3 (thoả mãn).
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn là m = 3 và m = -3 .

<b>Thí dụ 6 : Cho phương trình : x</b>2_{- mx + m}2_{- 3 = 0}
1) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.
2) Tim m để phương trình chỉ có một nghiệm là nghiệm dương.

<b>Giải : </b>

1) Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt

2) Phương trình chỉ có một nghiệm là nghiệm dương trong các khả năng sau đây :

Khả năng 1 : 0 = x1 < x2

Khả năng 2 : x1 < 0 < x2
Khả năng 3 : 0 < x1 = x2

<i>Tóm lại : Phương trình chỉ có một nghiệm là nghiệm dương </i> hoặc m = 2.

Các bạn hãy làm thêm một số bài tập :

<b>1. Cho phương trình : x</b>2_{- 2(m + 1)x + m}2_{+ 3m + 2 = 0.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m.

<b>2. Cho phương trình : x</b>2_{- 2(m + 1)x + 2m - 15 = 0.}
Gọi các nghiệm của phương trình là x1, x2.

a) Tìm m sao cho x1 + 5x2 = 4.

b) Tìm số nguyên m sao cho : F = 1/x1 + 1/x2 cũng là số nguyên.

</div>

<!--links-->