ap dung khoang cach vao bat dang thuc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (155.44 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Sáng kiến kinh nghiệm

KHOẢNG CÁCH HÌNH HỌC

VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ

Người viết: Vũ Đức Bình
Tổ : Tốn

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

A. Đặt vấn đề : Trong q trình giảng dạy tơi tích lũy được một số bài tốn
có dạng : Chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
mà trong cách giải có thể sử dụng phương pháp hình học cụ thể là

khoảng cách hình học có hiệu quả cao như dễ thuyết phục, trình bày
ngắn gọn…Sau đây tơi xin trình bày nội dung bài viết này.

B. Giải quyết vấn đề :

I. Lý thuyết, và một số kỹ năng mà học sinh phải nắm được:

1) Khái niệm khoảng cách giữa hai vật thể hình học trong hình học phẳng
cũng như trong khơng gian:

Cho hai hình (H1) và (H2), d là khoảng cách của hai hình đó khi đó ta

có:

a) d = min {MN , với M túy ý thuộc (H1) và N túy ý thuộc(H2)}.

b) d NM với M túy ý thuộc (H1) và N túy ý thuộc(H2).

2) Khái niệm khoảng cách thường dùng trong hình học phẳng và trong
hình học khơng gian, cơng thức tọa độ của các khoảng cách đó như:

- Khoảng cách của hai điểm.

- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Khoảng cách của hai đường thẳng song song.
- Khoảng cách của hai chéo nhau.

- Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mp song song .
- Khoảng cách của hai mp song song.

- Khoảng cách .

3) Các quỹ tích cơ bản, phương trình của các yếu tố cơ bản của hình học
phẳng và của hình học khơng gian như:

-Trong mặt phẳng tọa độ: đường thẳng, đường tròn, e- líp, hypeol,
parabol,

-Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz: Đường thẳng, mặt phẳng, mặt
cầu.

4) Các kỹ năng:

- Tìm giao điểm của đường thẳng.
- Tìm giao điểm của đt và đường tròn.
- Tìm giao điểm của hai đường trịn.

- Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

- Tìm hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng, trên một mặt
phẳng

II. Các dạng bài tập

1) Dạng bài sử dụng công thức khoảng cách của hai điểm hoặc độ dài

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

+) Sử dụng tính chất khoảng cách: AB+ BC AC

Mở rộng: BA+ BC+…+MN+NI AI ta có các bất đăng thức sau:

1a)

a2−b2¿
2
¿
b2− c2¿

2
¿
b1− c1¿2+¿

¿
a1−b1¿2+¿

√¿

a2− c2¿
2
a1−c1¿2+¿

√¿

1b)

a2−b2¿
2
¿
b2− c2¿2
b1− c1¿2+¿

¿
a1−b1¿

2
+¿
¿

√¿

+…+

n2−i2¿
2
n1−i1¿

2
+¿
¿

√¿

a2−i2¿
2
a1−i1¿

2
+¿
¿

√¿

1c)

a3−b3¿2
¿
b3− c3¿2

¿
b2− c2¿2+¿
b1− c1¿2+¿

¿
a2−b2¿2+¿
a1−b1¿2+¿

√¿

a3− c3¿2
a2−c2¿

2
+¿
a1−c1¿

2
+¿
¿

√¿

1d)

a3−b3¿2
¿
b3− c3¿2

¿
b2− c2¿2+¿

b1− c1¿2+¿

¿
a2−b2¿2+¿
a1−b1¿

2
+¿
¿

√¿

n3−ci3¿
2
n2−i2¿

2
+¿
n1−i1¿2+¿

√¿

a3−i3¿
2
a2−i2¿

2
+¿
a1−i1¿2+¿

√¿

+) Sử dụng tính chất bất đẳng thức độ dài vec tơ tổng:
¿a

→

∨+¿b

→

∨¿ ¿a

→
+b
→
∨¿
¿a
→
∨+¿b
→

∨+.. .+¿ ¿e

→

∨¿ ¿a

→

+b

→

+.. .+e

→

∨¿ đẳng thức xảy
ra khi và chỉ khi các vec tơ đã cho cùng hướng. Ta có được
một số bất đẳng thức sau:

2a)

√

a2+b2+

√

x2+y2≥

b− y¿2
a − x¿2+¿

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2b)

√

a12+a
22+

√

b

12+b

22 +…+

√

i

12+i
22

a2+b2+.. .+i2¿2
a1+b1+. . .+i1¿2+¿

√¿

2c)

√

a12+a
22+a

32+

√

b
12+b

22+b
32≥

a3−b3¿
2
a2−b2¿

2
+¿
a1−b1¿2+¿

√¿

2d)

a3−b3¿2
¿
b3− c3¿2

¿
b2− c2¿2+¿
b1− c1¿2+¿

¿
a2−b2¿2+¿
a1−b1¿2+¿

√¿

n3−ci3¿
2
n2−i2¿

2
+¿
n1−i1¿

+¿
¿

√¿

a3−i3¿
2
a2−i2¿

2
+¿
a1−i1¿

2
+¿
¿

√¿

+) Các bài tập dạng này có khá nhiều, sau đây tôi nêu một số bài
và mong các đồng nghiệp bổ xung thêm cho phong phú .

Bài 1. Chứng minh các B.Đ.T sau:

1. CMR: Với ba số a, b, c bất kỳ ta có b.đ.t sau

√

a2

+ab+b2+

√

x2+ac+c2≥

√

b2+bc+c2

2. CMR: Với ba số dương a, b, c bất kỳ ta có b.đ.t sau

√

a2

+ab+b2+

√

x2+ac+c2 >

√

b2+bc+c2

Hướng dẫn: câu 1 và 2 . Xét các vec tơ sau trong mp với hệ
trục tọa độ Oxy

u→ =( -x-y/2; √32y ) và →v =(-x-z/2; √32z )

(Trong câu 2 thì các vec tơ đã chọn khơng thể cùng hướng nên
đẳng thức

không thể xảy ra = đpcm).

3. CMR: Với số thực a bất kỳ ta có b.đ.t sau

√

a2+a+1+

√

a2− a+1≥ 2

4. Cho là ba số dương và x+y+z = 1. Chứng minh rằng

√

x2+ 1
x2+

√

y

2
+ 1

y2+

√

z

+ 1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

x+

y+

z¿
2
x+y+z¿2+¿

√¿

x+

y+

z¿
2

1+¿

√¿

Và sử dụng b.đ.t. Cô si cho ba số dương x, y, z ta có
(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)

9 => đpcm.

5. Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều có:

√

4 cos2xcos2y+sin2(x − y)+

√

4 sin2xsin2y+sin2(x − y)≥ 2

6. Cho . Chứng minh rằng:

9. Chứng minh rằng với mọi số thực a,b ta ln có:

1.
2.

10. CMR: ¿

√

cos4x+1−

√

sin4x+1∨≤∨cos 2x∨¿

Bài 2 . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:

1. Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa hàm số: y =

√

x2−2 ax

+2a2+

√

x2−2 bx+2b2

Với a và b là hai số cho trước và khác nhau.
2.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y =

√

x3

+2(1+

√

x3+1)+

√

x3−2(1−

√

x3+1)

3.Cho là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:

x −1¿2+y2
¿
x+1¿2+y2

¿
¿
¿

√¿

4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y =

√

cos2x −2 cosx+3+

√

cos2x+4 cosx+8

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

5. Cho các số a, b, c, x, y, z thỏa điều kiện: a2+c2+b2 = 1 và

x2+y2+z2 = 9. Hãy tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu

thức sau:

M =(x-a)2 +(y-b)2+ (z-c)2

N =

a −1¿2+b2+c2
¿
y −3¿2+z2

x2+¿
¿

√¿

6.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

y=f(x)=

√

cos2x −6 cosx+13+

√

cos2x+2 cosx+2

Hd: Đặt u→ =( 3-cosx ; 2) và →v =(1+cosx ; 1) .

Bài 3 . Giải các p.t, bpt sau:
1.

√

x2−2x+2

√

4x2+12x+25=¿

√

9x2+12x+29

HD : Xét các vec tơ sau trong mp với hệ trục tọa độ Oxy
u→ =( x-1; 1) và →v =(2x+3; 5) từ pt suy ra hai vec tơ này
cùng phương

=> nghiệm của pt là x = 7/2

√

x+2√x −1+1+

√

x −2√x −1+1 5− x2
HD MinVT=MaxVP

2) Dạng bài sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một

đường hoặc một mặt phẳng

Bài 1: Cho hai số x và y thỏa điều kiện: 3x+ 4y =25 (1) , cmr: (x-2)2

+ y2

361/25, tìm x và y để đẳng thức xảy ra.

HD: Đây là bài tập khá đơn giản, có nhiều cách giải như tam

thức bậc hai, Bunhiacopxki còn phương pháp dùng khoảng cách

đưa ra để hs tham khảo lựa chọn

Xét trong mp với hệ tọa độ Oxy, điểm M(x;y) thỏa (1)



M

thuộc đ/t

Δ

có pt (1) .Khi đó gọi d = k/c(M,

Δ

) = 19/5 và với

điểm I(2;0) thì IM

=

(x-2)2 + y2 Dễ thấy IM d => đ.c.m. Đẳng

thức xảy ra khi và chỉ khi (x;y) là tọa độ của H là hình chiếu của I trên
Δ

.

Bài 2

.

Cho

. (1) Chứng minh rằng:

−√2≤ x+y ≤√2

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Tròn tâm O bán kính R = 1 và d là đường thẳng có pt:

x+y = 0 thì khoảng cách từ M đến

đường thẳng d là

¿x+y

√2 ∨¿

, do d đi qua tâm O của

đường tròn nên R d

=> đ.p.c.m

Bài 3:

Cho . x

+y

= u

+v

= 1.

Chứng minh rằng: |x(u-v)+y(u+v)|

√2

HD:Có thể thấy M(x;y) và điểm N(u-v;u+v) thỏa điều

kiện của bài tốn thì M thuộc đường trịn tâm O bán kính R

= 1

và N thuộc đường trịn tâm O bán kính R

=

√2

,

áp dụng công thức

¿a

→

.→b∨≤∨→a∨.∨b

→

∨¿

=> đ.p.c.m

Bài 4:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P =

y −1¿2
¿
y −3¿2

x2+¿
x2

+¿

√¿

trong đó x,y là các số thỏa mãn: 2x-y = 2 (1)

HD: Xét trong mp với hệ trục tọa độ Oxy các điểm M(x;y),
A(0;-1), B(0;3) và

đường thẳng d, ta có P = MA+MB và M thuộc d ta có A và B ở về
hai phía của

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 5: Giải hệ phương trình:
¿

x+y+z=1

x2

+y2+x2=1
x3+y3+z3=1

¿{ {
¿

HD : Xét các vec tơ sau trong mp với hệ trục tọa độ Oxyz
u→ = ( x;y;z) và →v = (x2;y2;z2)

¿
u

→
.→v=1
¿u

→

∨¿1
¿v

→

∨¿

√

1−2(x2 y2+y2z2+z2x2)≤1
¿{ {

 Từ đó suy ra hai vec tơ này cùng phương
 Nghiệm của hệ là: (1;0;0), (0;1;0) và (0;0;1).

Bài 6: Giải hệ phương trình:

¿
x+y+z=3
x2

+y2+x2=3
x3+y3+z3=3

¿{ {
¿

HD : Xét các vec tơ sau trong mp với hệ trục tọa độ Oxyz

u→ = ( x;y;z) và →v = (1;1;1) =>

¿
u

→
.→v=3
¿u

→

∨¿√3

¿v

→

∨¿√3

¿{ {
¿

 Từ đó suy ra hai vec tơ này cùng phương.
 Nghiệm duy nhất của hệ là: (1;1;1)

Bài 7: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a +2b +3c = 6, tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

M =

c+3¿2
b −1¿2+¿
a−1¿2+¿

√

a2+b2+c2+√¿

N =

c+3¿2
b −1¿2+¿
a −1¿2+¿

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài 8: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a +2b +3c = 16, tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức

M =

c −4¿2
¿
c −1¿2
b −5¿2+¿
a −3¿2+¿

¿
b −3¿2+¿
a −2¿2+¿

√¿

N=

c −4¿2
b −3¿2+¿
a −2¿2+¿

√¿

Bài 9: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a +2b = 6, tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

N =

b −1¿2

a+2¿2+¿
¿

√

a2+b2+√¿

Bài 10: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a2 +b2 +c2 = 16, tìm giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất của

các biểu thức: P = 2a-b+2c và Q = 2a + 3a - 2 √3 c.

Bài 11: Cho các số a, b, c, x, y, z thỏa điều kiện: a=b/2=c/3 và

(x-1)/2=(y-2)=(z-3) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

M =(x-a)2 +(y-b)2+ (z-c)2

N =

a −1¿2+b2+c2
¿
y −3¿2+z2

x2+¿
¿

√¿

Bài 12: Cho các số x, y, z và a, b, c thỏa các điều kiện sau:

2a-2 = b+20 = c-3 và 2x-12 = 3y+3 = 6z + 18. Hãy tìm giá

trị nhỏ nhất của

biểu thức: M = (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 .

N = (x-b)2 + (y-c)2 + (z-a)2 .

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

C. Kêt luận : Trên đây là một số bài tốn sử dụng hình học để giải một số
bài toán trong đại số cụ thể là dùng cơng thức về khoảng cách, tính chất
của tích vơ hướng của hai vec tơ. Trong quá trình dạy học khi dạy đến
các phần hình học liên quan tơi thường ra các bài tập mà có thể sử
dụng nội dung bài học hình học để giải được các bài toán đại số tương
tự như nội dung của bài viết trên giúp học sinh có thói quen tìm các lời
giải khác nhau cho một bài tốn, và chọn ra được lời giải tốt nhất.

Bài viêtt trên có thể cịn chưa phong phú và không thể tránh khỏi

sai sót, mong

các đồng nghiệp bổ sung và chỉnh lý, để có một tài liệu tham khảo tốt
hơn.

N.Đ ngày 25 tháng 4 năm 2009.
Người viết

</div>


Áp dụng lượng giác xây dựng các đẳng thức , bất đẳng thức đại số có điều kiện