Chuyen de NHUNG BAI TOAN LIEN QUAN DEN PT BAC HAI

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (147.33 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

NHỮNG BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN PT BẬC HAI

A-MỤC TIÊU:

HS:Nắm được các phương pháp giải toán liên quan đến pt bậc hai 
HS:Biết được các sai lầm cần tránh

HS:Biết vận dụng các phương pháp vào giải toán.

B-THỜI LƯỢNG:7 tiết lý thuyết và Luyện tập -1tiết kiểm tra
Tiết 1,2:

I-BÀI TỐN 1: Biện luận theo m sự có nghiêm của PT bậc hai ax2+bx +c = 0 (a 0)(1)
 PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Xet hệ số a có hai khả năng:

a) Trường hợp a = 0 với một giá trị nào đó của m

Giả sử a = 0 <=> m = m0 ta có (1) trở thành PT bậc nhất bx + c =0
Ta biên luận tiếp

b) Trường hợp a 0

Lập biệt số Δ = b2 –4ac hoặc Δ ’ = b’2 –ac

Biện luận théo từng trường hơp : Δ > 0 ; Δ = 0 ; Δ < 0
Sau đó tóm tắt phần biên luận trên

II BÀI TỐN 2: Tìm ĐK của tham số để pt có nghiệm:
 Có hai khả năng xẩy ra :

a) a = 0, b 0
b) a 0 , Δ≥0

III BÀI TỐN 3: Tìm ĐK của tham số để PT có 2 nghiệm phân biệt:

{

a ≠Δ 0

IV BAØI TỐN 4:Tìm ĐK của tham số để PT có một nghiệm:

{

a=0

b ≠0V

{

a≠0

Δ=0
V BÀI TỐN 5:

1) Điều kiên hai nghiệm cùng dấu

Δ≥0; P>0

2) Điều kiện để hai nghiêm điều dương:

{

P=Δ≥c0

a>0
S=−b

a>0

3) Điều kiện để hai nghiêm điều âm:

{

P=Δ≥c0

a>0
S=−b

a<0

3) Điều kiện để hai nghiêm trái dấu:
P< 0 hoặc a và c trái dấu

VI-BÀI TỐN TÌM ĐK để PT có một nghiêm x = x1 tìm nghiệm kia:
 Ta thay x = x1 vào (1) Giải tìm m

 Hoặc dựa vào S ;P tìm m

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

¿
¿
¿
¿
1αx¿1+βx2=γ2x¿12+x

22=k3x¿

12+x

22≥h¿ ¿4 1 ¿
x1

+ 1

x2

=n¿ ¿5¿x13+x

23=t¿

 PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Điều kiên chung : Δ≥0 Theo Định lý Vi et ta có :

{

x1+x2=−b

a
x1.x2=c

a

a)Trường hợp : αx1+βx2=γ(3) Ta giải HPT

{

x1+x2=−b

a
αx1+βx2=γ

=> x1 ;x2 Thay các giá trị x1x2 vào

x1x2 = ca giải tìm giá trị của tham số

b)Trường hợp :x12+x22 = k <=> (x1+x2)2 –2x1x2 = k Thay tổng và tích giải tìm giá trị thamsố m
c) Trường hợp : x12+x22 h <=> (x1+x2)2 –2x1x2 h Giải BPT tìm m

Một số ví dụ minh hoạ :

Ví dụ 1 :Biện luận theo m sự có nghiệm của PT x2 –4x +m = 0 (1)
Trước hết ta tính Δ = b2 –4ac =..= 4-m

a) Nếu 4-m > 0 thì pt có hai nghiệm phân biệt
b) Nếu 4-m = 0 thì PT có nghiệm kép

c) Nếu 4- m <0 thì PT vô nghiệm
Ví duï 2: Cho PT x2- 3x –m = 0

a) Tìm m để PT có nghiệm

b) Tìm m để pT có nghiệm là –2 tìm nghiệm cịn lại
HD: Δ = b2 –4ac = 9 +4m

a) Đẻ PT có nghiệm thì 9+ 4m 0

b) PT có nghiêm là –2 Do đó (-)2 +3(-2) – m = 0 <=> Giải PTb tìm giá trị của m
Ví dụ 3: Xác định m để PT x2 –(m+5) x – m + 6 = 0 có hai nghiêm x1 và x2 thõa mãn:

a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị
b) 2x1+ 3x2 = 13

HD:Tính Δ = m2 +14m +1

PT có hai nghiệm <=> m2 +14m +1 0 Giải BPT xác định m 
a) Giả sử x1 > x2 ta có Hệ thức;

{

x2− x1=1(1)

x1+x2=m+5(2)

x1x2=−m+6(3)
¿(I)
Giải HPT tìm m

b) Giải Tương tự như câu a
Ví dụ 4:

Cho PT x2 +ax +a+7 = 0(1) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho pt có hai nghiệm thõa mãn hệ thức 
x12+x22 = 10

HD: Δ = a2-4a –28 PT có hai nghiệm <=> a2-4a –28 0 
Biến đổi x12+x22 = 10 <=> (x1+x2)2 –2x1x2 = 10

Thay tổng và tích rồi giải PT tìm m
Ví dụ 5:

Cho PT x2+ax +1 = 0 Tìm các giá trị của a để PT có hai nghiệm thỗ mãn

(

x1

x2

)

2
+

(

x2

x1

)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Tiết 3,4,5,6,7

LUYỆN TẬP

:

Baøi 1: (TN 1996)

1. Viết bảng tóm tắc cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai: 2

ax bx c  (a0).
2. Giải các phương trình:



2y 3



211y19 0
b/ 4t2 12t 9 0

  

Baøi 2: (TN 2001)

Cho phương trình bậc hai: x2 2(m1)x m 2 3m0 với m là tham số.
1. Giải phương trình với m = 8.

2. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0.

Bài 3: (TS 10 - 1993)

Cho phương trình : x2(1 m x m)  0 (1) với m là tham số.

1. Giải phương trình (1) với m = 2.

2. Xác định m để phương trình (1) có một nghiệm bằng -2.

3. Chứng minh rằng phương trình (1) ln ln có nghiệm với mọi m.

Bài 4: (TS 10 - 1996)

Cho phương trình : mx2(m1)x 3(m1) 0 (1) với m là tham số.

1. Giải phương trình (1) khi m = 2.

2. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép.

3. Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm khác 0 là x1 và x2. Chứng minh rằng: 1 2

1 1 1

x x  .

Bài 5*: (TS 10 Trường chuyên Nguyễn Du - 1996)

1. Giaûi phương trình sau: 2 2 2

1 1 1 1

9 20 11 30 13 42 18

x  x x  x x  x  .
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

2 2

2 1 2 2 7

2 2 2 3 6

x x x x
x x x x

   

 

    .

HD:

1) Taäp xác định D R \



4; 5; 6; 7  





 





 





 



9 20 4 5

11 30 5 6

13 42 6 7

x x x x

    

Biến đổi phương trình:

1 1 1 1 1 1 1

4 5 5 6 6 7 18

x  x x  x x  x  , từ đó có cách giải phương
trình đưa đến 2 nghiệm x13;x2.

2) Tập xác định D R .

Đặt tx22x 2



x1



2 1 1,t Z , ta coù

1 7

3
1 6

t
t t

t t t




 

  



 

 , ta loại nghiệm

3
5

t

. Với

2 0; 2

t  x x

Baøi 6: (TS 10 THPT Chuyên ban - 1997)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

1. Giải phương trình (1) khi m = 1.

2. Chứng minh phương trình (1) ln ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

3. Tìm m để có một tam giác vng cạnh huyền bằng 14 và hai cạnh góc vng có độ dài
x1 và x2 là hai nghiệm của (1).

HD: Với 3) chú ý điều kiện

1 2

0, 0

x x
x x

x x

 


   



 ...

Baøi 7*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 1)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997)

Giải phương trình:



x 2



4



x 3



4 1

HD: Phương trình:



x a



4



x b



4 M , ta đặt 2

a b
t x 

, đưa về dạng



mt n



4



mt n



4 M ,
biến đổi về dạng phương trình trùng phương theo t ...

Một số phương trình tham khảo:













4 4

4
4

4 3 256

1 97

x x

   

  

Baøi 8*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 2)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997)

Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình: x2px 1 0; c, d là hai nghiệm của phương trình:

2 1 0

y qy  . Chứng minh hệ thức:



a c a d b c b d

 



 



 



 

 p q



2.

HD: p dụng định lý Víét ta có hệ

1
1

a b p
c d q
ab

cd

 




 





 

 , sử dụng để biến đổi VT bằng VP ...

Bài 9: (TS 10 Chuyên Tóan, Nguyễn Du 1997_1998)

Giải phương trình: 4x4 2x3 8x2 3x 9 0

     .

HD: Nhẩm nghiệm, thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng sơ đồ HOÓC NE để biến đổi vế dạng
phương trình tích.

Bài 10: (TS 10 THPT 2003_2004)

Cho phương trình: x2 6 2x kx



 4



0  1
1. Giải phương trình trên khi k = -1.

2. Tìm số nguyên k nhỏ nhất sao cho phương trình (1) vô nghiệm.

Bài 11: (TS 10 mơn: Tóan chun, Trường chun Nguyễn Du 2003_2004)

Cho phương trình: x2px q 0 (ẩn x). Gọi x

1, x2 là các nghiệm của phương trình.

1. Xác định các hệ số p, q biết x1, x2 thỏa: x1 x2 5 và
3 3
1 2 35

x  x 

2. Đặt 1 2

n n

n

S x x . Chứng minh rằng: Sn1 pSn qSn1 0 với n1,n N
3. Giả sử x1, x2 là các số nguyên và p + q = 198. Tìm x1, x2 .

Bài giải:

1. Vì x x1, 2 là các nghiệm của phương trình nên ta có :





















1 2
2

1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2

2 1 2

2 2 2 2 2

0 0

n

n n n n n n

n

x x px q
x px q

x x p x x q x x
x px q x x px q



   



   

 

       

 

     

 

 

 *

1 1 0

n n n

S  pS qS 

    , với n N*

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2. Theo định lý Víet ta có

1 2

x x p
x x q

 






 , kết hợp với giả thiết ta tìm được

1
6

p
q








3. Ta có p q x x  1 2



x1x2



198



x11

 

x21



199  * . Bài tốn quy về việc tìm nghiệm
nguyên x x1, 2 của phương trình (*) . Do 199 là số nguyên tố nên:

 

1 1 1 1

2 2 2 2

1 199 1 199 200 0

1 1 1 1 1 2 198

x x x x

     

   

       

      

   

Bài tập tương tự: Gọi x x1, 2 là 2 nghiệm của phương trình

 1

2 0

ax bx c 

Đặt 1 2

n n

n

S x x , với n1, 2,...

1. Chứng minh rằng aSn2bSn1cSn 0  * .

2. p dụng tính

6 6

1 5 1 5

2 2

A     

   

HD: Đặt
1

1 2

1 2
2

1 5

1
2

1 5

x x x

x x
x

  


   





 



  





 . Vaäy x x1, 2 là 2 nghiệm của phương trình

 2
2

1 0

x   x

p dụng (*) cho (2) ta có A18

Bài 12*: (Thi chọn Học sinh giỏi Thành phố BMT môn tóan lớp 9 -1996_1997)

Giải phương trình: 3x2 6x 7 5x210x14 4 2  x x 2
HD: Dùng phương pháp đánh giá 2 vế phương trình.





 





 





 

2 1

2 2

2 3
2

3 6 7 3 1 4 2

5 10 14 5 1 9 3

4 2 5 1 5

x x x

x x x

     

      . Từ (1), (2) và (3) ta có VT VP  5 x1
Bài tập tương tự: Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm:

 *
2 6 11 2 6 13 4 2 4 5 3 2

x  x  x  x  x  x   .

HD: VT 



x 3



2 2



x 3



2 4 4



x 2



2 1 2 2 1 3    2
Từ

 









3 0 3

2 0

x x

x
x

    



   




 



 , hệ phương trình vô nghiệm, nên (*) vô nghiệm.

Bài 13**: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak mơn Tóan lớp 9 -1996_1997)

Biết rằng, tích một nghiệm của phương trình x2 ax 1 0

   với một nghiệm nào đó của phương
trình 2

1 0

x bx  là nghiệm của phương trình x2cx 1 0.
Chứng minh rằng: a2 b2 c2 abc 4

    .

Bài 14: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2000_2001)
Cho phương trình



a1



x2 2



a1



x a  2 0 với a là tham số.

1. Tìm điều kiện của tham số a để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

3. Với giá trị nào của tham số a thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức:



1 2



1 2

4 x x 7x x .

Bài 15: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak mơn Tóan lớp 9 -1998_1999)
Cho phương trình ẩn x:



a1



x2 2



a b x







b1



0  1

1. Với giá trị nào của a thì (1) là phương trình bậc hai.
2. Giải phương trình (1) khi a 3 1 ; b 3 1 .

3. Chứng minh rằng phương trình (1) ln có nghiệm với mọi giá trị của a và b.

Bài 16: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak mơn Tóan lớp 9 -1999_2000)
Cho phương trình x2mx m 1 0  1

1. Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm.

2. Gọi x x1, 2 là các nghiệm của phương trình (1), tìm giá trị lớn nhất của:





1 2
2 2

1 2 1 2

2 3

2 1

x x
P

x x x x




  

Bài 17: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp huyện mơn Tóan lớp 9 -2000_2001)
Cho phương trình (a, b là tham số): ax2



ab1



x b 0

1. Chứng minh rằng phương trình trên ln có nghiệm.

2. Tìm giá trị của a, b để phương trình có một nghiệm kép là:

1
2.
Bài 18: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak mơn Tóan lớp 9 -2001_2002)

1. Với giá trị nào của a thì các nghiệm của phương trình x2 x a



1a



0 trái dấu?
2. Giải phương trình x2px35 0 , biết rằng tổng bình phương hai nghiệm bằng 74.

Bài 19: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak mơn Tóan lớp 9 -2002_2003)
Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình:





2 4 2 3 3 0

x  m x m  m  , m laø tham số.
1. Xác định m sao cho x12x22 6.

2. Chứng minh rằng:

2 2

1 2

121

1 8

1 1 9

mx mx
x x

   

  .

Bài 20: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak mơn Tóan lớp 9 -2003_2004)

Giả sử a, b, c khác nhau đôi một và c0. Chứng minh rằng nếu phương trình x2ax bc 0  1

và phương trình x2bx ca 0  2 có đúng một nghiệm chung thì nghiệm khác của các phương
trình đó thỏa mãn phương trình x2cx ab 0  3 .

HD: (Sử dụng định lý Viét).

Gọi x0 là nghiệm chung của (1) và (2), ta có

 
 

2 4

0 0

2 5

0 0

0
0

x ax bc
x bx ca

   




  



 , trừ (4) cho (5) vế theo vế ta
được



a b x



0 c a b







 x0c gt

 

, vậy nghiệm chung của (1) và (2) là x0 c. Gọi x1 và x2
lần lượt là các nghiệm khác của (1) và (2), theo định lý Víet ta có

2 2

0 1 1

2 2

0 2 2

0 0

x x bc x b b ab bc b bc ab
x x ca x a a ab ca a ca ab

 

       

   

  

   

          

   . Hay a và b là nghiệm của (3). Đây là

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 21: Chứng minh rằng nếu 2 phương trình x2p x q1  10  1 và

 2
2

2 2 0

x p x q  coù nghiệm
chung thì



q1 q2



2



p1 p2

 

q p2 1 q p1 2



0  *

HD: Hệ phương trình có nghiệm chung khi hệ sau có nghiệm

 
 

1
2

1 1
2
2

2 2

0
0

x p x q
x p x q

   




  



 có nghiệm.

Đặt y x 2, ta có heä

1 1

2 2

0
0

y p x q
y p x q

  




  



 Nếu p1p2: Giải hệ phương trình này ta có nghiệm

2 1

1 2

1 2 1 2
2 1

q q
x

p p
q p p q
y

p p






 





 

 

 . Do y x 2

Suy ra

2
1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

q p p q q q
p p p p

 

 

 

    , khai triển và biến đổi ta có (*).

 Nếu p1 p2 ta có hệ

1 1

1 2

p x y q
p x y q

 




 

 . Hệ này có nghiệm khi q1 q2, khi đó rõ ràng (*) cũng
đúng. Vậy (*) đã được chứng minh.

Bài tập về điều kiên có nghiệm chung:

Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung:

 





 

1
2

2
2

2 1 0

2 1 1 0

x mx m
mx m x

   

   

HD:

Nếu x0 là nghiệm chung thì

 





 

2 1

0 0

2 2

0 0

2 1 0

2 1 1 0

x mx m

mx m x

    




   



 , dễ thấy x0 0 (từ (2)).

Nhân x0 vào (1) rồi cộng với (2) vế theo vế
3

0 1 0 0 1

x    x  , thay x0 vaøo (1) và (2) rút ra

m .

Bài 22: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện mơn Tóan lớp 8 -2003_2004)
Giải phương trình x3 3x2 13x 15 0

    (HD:



x1

 

x3

 

x 5



0)

Bài 23: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện mơn Tóan lớp 9 -2003_2004)

1. Giải phương trình: 2x24x18 7x214x16 6  x2 2x. (Xem bài giải của bài 14 và

14’).

2. Cho phương trình: 2x2



2m1



x m 1 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2
thõa mãn: 3x1 4x2 11.

Bài 24: Chứng minh rằng nếu phương trình x2mx n 0  1 có nghiệm, thì phương trình:

 2

2 1 ( 1)2 0

x a mx n a

a a

 

     

  cũng có nghiệm.

HD: Với (1) có nghiệm ta có  m2 4m0  3 .

Kết hợp với (3) khi đó (2) có





2 2 2

2 1 4 1 1 2 4 0

m a n a a m m

a a a

     

             

      . Vậy (2) có

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 25: Chứng minh rằng các phương trình bậc hai: x2p x q1  1 0 và x2p x q2  2 0 có các
hệ số thỏa mãn điều kiện p p1 22



q1q2



thì ít nhất 1 trong 2 phương trình đó có nghiệm.

HD:  1 p12 4 ,q1  2 p22 4q2    1 2 p12p22 4



q1q2



 1
Từ p p1 2 2



q1q2



 4



q1q2



2p p1 2,

nên

 

1     1 2 p12p22 2p p1 2



p1 p2



2 0. Do đó 1 trong 2 số  1; 2 là khơng âm nên ít
nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm.

Bài 26*: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm:

 

2 0 1

2 0 2

2 0 3

ax bx c
bx cx a
cx ax b

  

   (HD:













2 2 2

1 2 3

2 a b b c c a 

           

  )

Baøi 27*: Cho a, b là 2 số sao cho

 1

1 1 1

b c  .Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 2 phương trình sau

đây có nghiệm: x2bx c 0  2 , x2cx b 0  3
HD: Từ (1) suy ra:







 



2 2





2 2





1 2

2 , 4 4 4 2 0

bc b c     b  c  c  b b c  b c b c  bc b c 

. Do đó ít nhất
1 trong 2 phương trình trên có nghiệm.

Bài 28*: Phương trình ax2bx c 0  1 có đúng một nghiệm dương là x1 chứng minh rằng
phương trình cx2bx a 0  2 cũng có đúng một nghiệm dương x2 và x1x2 2.

HD: (Chú ý thứ tự các hệ của 2 phương trình).
Giả sử x1 0 là nghiệm của (1), khi đó ta có

1 1 0

ax bx  c , chia 2 vế của phương trình cho 12

x

ta được

2 2

1 1 1 1

0 0

a b c c b a

x x x x

       

            

        , nghóa là (2) nhận 2 1

1
0

x
x

 

làm nghiệm.

Khi đó 1 1 1 1 1 2

1 1

2 . 2 2

x x x x

x x

     

Bài 29: Giả sử phương trình ax2bx c 0  1 có 2 nghiệm dương x x1, 2. Chứng minh rằng phương
trình cx2bx a 0  2 cũng có 2 nghiệm dương x x3, 4. Chứng minh

 *
1 2 3 4 4

x x x x 
HD: Chia 2 vế phương trình (1) lần lượt cho x12 và

2
2

x , ta coù:

1 1

2 2

1 1

c b a

x x

c b a

x x

    
      
    


   


  

   


   

 , nghóa là (2) nhận 1

x và 2

x làm 2 nghiệm dương x x3, 4 của nó.
Aùp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 nghiệm x x x x1, , ,2 3 4 ta có kết quả.

Bài 30: Cho phương trình bậc hai: x2 mx m 1 0

   

1. Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x x1, 2 với mọi m, tính nghiệm kép (nếu có) của
phương trình và giá trị m tương ứng.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

a/ Chứng minh A m2 8m 8
   .
b/ Tìm m sao cho A8.

c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng.

Bài 31 : ** Giải các phương trình sau:



2x2  3x1 2

 

x25x1



9x2  1
2.



x1

 

x 3

 

x5

 

x7



297  2

3. 4



x5

 

x6

 

x10

 

x12



 3x2 0  3
4. x32x22 2x2 2 0  4

5. 2x33x2 2 0  5









 

4 4 6

1 2 1

x  x 





 7

1 1 1 1 2005

1 1 1 ... 1 2

1.3 2.4 3.5 x x. 2 2006

 

     

     

       



       

 8

4
2

...
2

1 1

x
x

x

x
x









 
9.

 9

1 1 1 1 1 1 1 1

2 5 7 1 3 4 6

xx x x x x x x

10.







 









 



 

2 2

1995 1995 1996 1996 19

1995 1995 1996 1996

x x x x

     



     

HD: 1) Rõ ràng x0 không thỏa (1).

Nên

 

2 2

2 3 1 2 5 1 1 1

1 x x . x x 9 2x 3 2x 5 9

x x x x

       

          

    . Đặt

2 3

t x
x

  

, ta có phương
trình





2 1

8 9 8 9 0

t
t t t t

t



       


 , ...

 



 







2 2 2 27

2 4 5 4 21 297 16 297 16 297 0

t

x x x x t t t t

t




              



Với t x2 4x 5

   . Giải tiếp ....

 



 



2 2

2 60 17 60 16

3 4 x 5 x 12 x 6 x 10 3x 4.x x x. x 3

x x

   

            





60 60 2

4 17 16 3 4 1 3 0 4 4 3 0

3
2

t

x x t t t t

x x

t





   

                  

     


(với

60
16

t x
x

  

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

4) Đưa về phương trình tích













3 2 2 23 2 2 2 2 2 0,...

x  x x   x x   x  

 

5) Đặt ẩn phụ

 



 



2
1

2 0 5 1 2 0 2

y x

y x y y

y

x



 

 

          



  


6) Khai triển rút gọn 4 3 2

4 6 4 1 0

x  x  x  x  , chia 2 vế cho x2 rồi đặt

t x
x

 

, ta đưa về phương
trình t2 4t 8 0  t 2 2 3 x 1 3 3 2 .

7) Vì: 1.3 1 2 ; 2.4 1 3 ; 3.5 1 4 ;...; (  2   3   2 x x1) 1 



x1







1 1 1 1 1

1 1 1 ... 1 2.

1.3 2.4 3.5 . 2 2

x

x x x

  

     

            


 

       

Neân

 

1 2005

7 2004

2 2006

x

x
x



   



8) Điều kiện x1. Ta coù 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1

x x

x x VT x

x      x       

   

Neân

 

8  x 1 1 4  x4

9) Tập xác định: D R \ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7



      



Nhóm hợp lý các phân thức ta được: 2 2 2 2

2 7 2 7 2 7 2 7

7 7 10 7 6 7 12

x x x x

x x x x x x x x

   

  

      



2 7



1 1 1 1 0

10 6 12

x

y y y y

 

      

  

  , với y x 27x, phương trình

2 7 0

x   x
,
2

2 2

1 1 1 1 6 2

0 0 18 90 0

6 10 12 6 22 120 y y

y y y y y x y y

   

          

   

     

    , phương trình vô

nghiệm.

10) Đặt x1995y, được



 





 



2
2

1 1 19 4 4 15 0 2

3
49

1 1

y
y y y y

y y

y y y y y





   

      

     

 .

Vậy nghiệm của phương trình (10) là

3994
2
3996

x





 


Bài 32: Định m để phương trình:



m 2



x2 2



m1



x m  3 0



m2



có nghiệm x x1, 2 và thiết
lập hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m.

Bài 33: Cho phương trình x2 2



m1



x m 2 3m 4 0

1. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 thõa mãn hệ thức 1 2

1 1

x x  .

2. Tìm hệt thức liên hệ giữa x x1, 2 mà khơng phụ thuộc vào m.

Bài 34: Cho phương trình: x2 mx m 2 0

    . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 sao cho
2 2

1 2

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài 35: Cho phương trình x2 2x 3 1 0  có các nghiệm x x1, 2. Khơng giải phương trình tính giá
trị của biểu thức:

2 2

1 1 2 2
3 3
1 2 1 2

3 5 3

4 4

x x x x
A

x x x x

 



 . (ÑS

7
8)

Bài 36**: Cho tam thức bậc hai f x

 

ax2bx c  1



a0



. Biết rằng f x

 

x  2 vơ nghiệm.
Chứng minh rằng phương trình af2

 

x bf x

 

 c 0  * vô nghiệm.

HD: Vì (2) vơ nghiệm nên  x R f x,

 

x hoặc  x R f x,

 

x

* Neáu  x R f x,

 

   x x R f f x, 

 

  f x

 

   x x R f f x, 

 

 x

 

2
,

x R af x bf x c x

      , hay (*) vô nghiệm.

* Tương tự với trường hợp cịn lại ta cũng có (*) vơ nghiệm.
Vậy (*) vơ nghiệm.

Bài 37*:

1. Chứng minh rằng nếu phương trình x4 x 2 0  1 , có nghiệm dương là x0 thì x0  78.
2. Chứng minh rằng nếu phương trình x3 3x 3 0  2 , có nghiệm dương là x0 thì

5
0 36

x  .

3. Chứng minh nếu phương trình x2 ax b 0

   có nghiệm x0. Chứng minh

 

2 2 2 *

0 1

x  a b

HD:

1. Ta có x04 x0 2 2 2.x0  x08 8x0 x0 78 (Aùp dụng bất đẳng thức Côsi, dấu bằng
trong bất đẳng thức khơng xảy ra vì x0 2, khơng thỏa (1).

2. Ta có x03 3x0 3 2 9.x0  x06 36x0  x05 36 (Aùp dụng bất đẳng thức Côsi, dấu bằng
trong bất đẳng thức khơng xảy ra vì x0 3, khơng thỏa (2).

3. Ta có x02ax0   b 0 x02 ax b  x04 



ax0b



2 . Aùp dụng bất đẳng thức
Bunhiacốpxki ta có:



2 2











2 4



2 2











0 1 0 0 0 1 0 1

a b x   ax b x  a b x   ax b 
4

2 2

2 2 0 2 2

0 0

2
0

1 1

x

a b x x a b

x



        

 . Vaäy x02  1 a2b2

</div>

Chuyen de NHUNG BAI TOAN LIEN QUAN DEN PT BAC HAI

<b>NHỮNG BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN PT BẬC HAI</b>

{

{

{

{

{

{

{

{

(

)

(

)

<b>LUYỆN TẬP</b>











 





 





 













































 

 

 

 

































 



 















