Các bài toán liên quan phương trình bậc hai

NHỮNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PT BẬC HAI
A-MỤC TIÊU:
HS:Nắm được các phương pháp giải toán liên quan đến pt bậc hai
HS:Biết được các sai lầm cần tránh
HS:Biết vận dụng các phương pháp vào giải toán.
B-THỜI LƯNG:7 tiết lý thuyết và Luyện tập -1tiết kiểm tra
Tiết 1,2:
I-BÀI TOÁN 1: Biện luận theo m sự có nghiêm của PT bậc hai ax
2
+bx +c = 0 (a
≠
0)(1)
• PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Xet hệ số a có hai khả năng:
a) Trường hợp a = 0 với một giá trò nào đó của m
Giả sử a = 0 <=> m = m
0
ta có (1) trở thành PT bậc nhất bx + c =0
Ta biên luận tiếp
b) Trường hợp a
≠
0
Lập biệt số
∆
= b
2
–4ac hoặc
∆
’ = b’
2
–ac

Biện luận théo từng trường hơp :
∆
> 0 ;
∆
= 0 ;
∆
< 0
Sau đó tóm tắt phần biên luận trên
II BÀI TOÁN 2: Tìm ĐK của tham số để pt có nghiệm:
• Có hai khả năng xẩy ra :
a) a = 0, b
≠
0
b) a
≠
0 ,
0
≥∆

III BÀI TOÁN 3: Tìm ĐK của tham số để PT có 2 nghiệm phân biệt:




>∆
≠
0
0a
IV BÀI TOÁN 4:Tìm ĐK của tham số để PT có một nghiệm:




=∆
≠



≠
=
0
0
0
0 a
V
b
a
V BÀI TOÁN 5:
1) Điều kiên hai nghiệm cùng dấu
0;0 >≥∆ P
2) Điều kiện để hai nghiêm điều dương:









>−=

>=
≥∆
0
0
0
a
b
S
a
c
P
3) Điều kiện để hai nghiêm điều âm:









<−=
>=
≥∆
0
0
0
a
b
S

a
c
P
3) Điều kiện để hai nghiêm trái dấu:
P< 0 hoặc a và c trái dấu
VI-BÀI TOÁN TÌM ĐK để PT có một nghiêm x = x
1
tìm nghiệm kia:
• Ta thay x = x
1
vào (1) Giải tìm m
• Hoặc dựa vào S ;P tìm m
VII-BÀI TOÁN 7:Tìm ĐK của m để PT có hai nghiệm thoã mãn các ĐK:
txx
n
xx
hxxkxxxx
=+
=+≥+=+=+
3
2
3
1
21
2
2
2
1
2
2

2
121
)5
11
)4)3)2)1
γβα
• PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Điều kiên chung :
0≥∆
Theo Đònh lý Vi et ta có :





=
−=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
a)Trường hợp :
)3(
21
γβα

=+ xx
Ta giải HPT





=+
−=+
γβα
21
21
xx
a
b
xx
=> x
1
;x
2
Thay các giá trò x
1
x
2
vào
x
1
x
2
=

a
c
giải tìm giá trò của tham số
b)Trường hợp :x
1
2
+x
2
2

= k <=> (x
1
+x
2
)
2
–2x
1
x
2
= k Thay tổng và tích giải tìm giá trò thamsố m
c) Trường hợp : x
1
2
+x
2
2

≥
h <=> (x

1
+x
2
)
2
–2x
1
x
2

≥

h Giải BPT tìm m
Một số ví dụ minh hoạ :
Ví dụ 1 :Biện luận theo m sự có nghiệm của PT x
2

–4x +m = 0 (1)
Trước hết ta tính
∆
= b
2
–4ac = = 4-m
a) Nếu 4-m > 0 thì pt có hai nghiệm phân biệt
b) Nếu 4-m = 0 thì PT có nghiệm kép
c) Nếu 4- m <0 thì PT vô nghiệm
Ví dụ 2: Cho PT x
2
- 3x –m = 0
a) Tìm m để PT có nghiệm

b) Tìm m để pT có nghiệm là –2 tìm nghiệm còn lại
HD:
∆
= b
2
–4ac = 9 +4m
a) Đẻ PT có nghiệm thì 9+ 4m
≥
0
b) PT có nghiêm là –2 Do đó (-)
2
+3(-2) – m = 0 <=> Giải PTb tìm giá trò của m
Ví dụ 3: Xác đònh m để PT x
2
–(m+5) x – m + 6 = 0 có hai nghiêm x
1
và x
2
thõa mãn:
a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vò
b) 2x
1
+ 3x
2
= 13
HD:Tính
∆
= m
2
+14m +1

PT có hai nghiệm <=> m
2
+14m +1
≥

0 Giải BPT xác đònh m
a) Giả sử x
1
> x
2
ta có Hệ thức;
)(
)3(6
)2(5
)1(1
21
21
12
I
mxx
mxx
xx





+−=
+=+
=−

Giải HPT tìm m
b) Giải Tương tự như câu a
Ví dụ 4:
Cho PT x
2
+ax +a+7 = 0(1) Tìm tất cả các giá trò của m sao cho pt có hai nghiệm thõa mãn hệ thức
x
1
2
+x
2
2
= 10
HD:
∆
= a
2
-4a –28 PT có hai nghiệm <=> a
2
-4a –28
≥

0
Biến đổi x
1
2
+x
2
2
= 10 <=> (x

1
+x
2
)
2
–2x
1
x
2
= 10
Thay tổng và tích rồi giải PT tìm m
Ví dụ 5:
Cho PT x
2
+ax +1 = 0 Tìm các giá trò của a để PT có hai nghiệm thoã mãn
7
2
1
2
2
2
1
>









+








x
x
x
x
Tiết 3,4,5,6,7 LUYỆN TẬP:
Bài 1: (TN 1996)
1. Viết bảng tóm tắc công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
2
0ax bx c+ + =

( 0)a ≠
.
2. Giải các phương trình:
a/
( )
2
2 3 11 19 0y y− − + =
b/
2
4 12 9 0t t− + =

Bài 2: (TN 2001)
Cho phương trình bậc hai:
2 2
2( 1) 3 0x m x m m− − + − =
với m là tham số.
1. Giải phương trình với m = 8.
2. Với giá trò nào của m thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0.
Bài 3: (TS 10 - 1993)
Cho phương trình :
2
(1 ) 0x m x m+ − − =

(1)
với m là tham số.
1. Giải phương trình (1) với m = 2.
2. Xác đònh m để phương trình (1) có một nghiệm bằng -2.
3. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 4: (TS 10 - 1996)
Cho phương trình :
2
( 1) 3( 1) 0mx m x m+ − − − =

(1)
với m là tham số.
1. Giải phương trình (1) khi m = 2.
2. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép.
3. Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm khác 0 là x
1
và x
2

. Chứng minh rằng:
1 2
1 1 1
3x x
+ =
.
Bài 5*: (TS 10 Trường chuyên Nguyễn Du - 1996)
1. Giải phương trình sau:
2 2 2
1 1 1 1
9 20 11 30 13 42 18x x x x x x
+ + =
+ + + + + +
.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
2 2
2 2
2 1 2 2 7
2 2 2 3 6
x x x x
x x x x
+ + + +
+ =
+ + + +
.
HD:
1) Tập xác đònh
{ }
\ 4; 5; 6; 7D R= − − − −
( ) ( )

( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
9 20 4 5
11 30 5 6
13 42 6 7
x x x x
x x x x
x x x x
+ + = + +
+ + = + +
+ + = + +
Biến đổi phương trình:
1 1 1 1 1 1 1
4 5 5 6 6 7 18x x x x x x
− + − + − =
+ + + + + +
, từ đó có cách giải phương
trình đưa đến 2 nghiệm
13; 2x x= − =
.
2) Tập xác đònh
D R=
.
Đặt
( )
2
2

2 2 1 1 1,t x x x t Z= + + = + + ≥ ∈
, ta có
2
1 7
3
1 6
5
t
t t
t t
t
=

−

+ = ⇔

+
= −


, ta loại nghiệm
3
5
t = −
.
Với
2 0; 2t x x= ⇒ = = −
Bài 6: (TS 10 THPT Chuyên ban - 1997)
Cho phương trình:

( )
2
2 2 3 0x mx m− + − =

(1)
1. Giải phương trình (1) khi m = 1.
2. Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
3. Tìm m để có một tam giác vuông cạnh huyền bằng
14
và hai cạnh góc vuông có độ
dài x
1
và x
2
là hai nghiệm của (1).
HD: Với 3) chú ý điều kiện
1 2
1 2
1 2
0
0, 0
0
x x
x x
x x
+ >

> > ⇒

>



Bài 7*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 1)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997)
Giải phương trình:
( ) ( )
4 4
2 3 1x x− + − =
HD: Phương trình:
( ) ( )
4 4
x a x b M+ + + =
, ta đặt
2
a b
t x
+
= +
, đưa về dạng
( ) ( )
4 4
mt n mt n M+ + − =
, biến đổi về dạng phương trình trùng phương theo t
Một số phương trình tham khảo:

( ) ( )
( )
4 4
4
4
4 3 256

1 97
x x
x x
− + + =
+ − =

Bài 8*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 2)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997)
Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình:
2
1 0x px+ + =
; c, d là hai nghiệm của phương trình:
2
1 0y qy+ + =
. Chứng minh hệ thức:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
a c a d b c b d p q− − − − = −
.
HD: p dụng đònh lý Víét ta có hệ
1
1
a b p
c d q
ab
cd
+ = −


+ = −



=


=

, sử dụng để biến đổi VT bằng VP
Bài 9: (TS 10 Chuyên Tóan, Nguyễn Du 1997_1998)
Giải phương trình:
4 3 2
4 2 8 3 9 0x x x x+ − + + =
.
HD: Nhẩm nghiệm, thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng sơ đồ HOÓC NE để biến đổi vế dạng
phương trình tích.
Bài 10: (TS 10 THPT 2003_2004)
Cho phương trình:
( )
( )
1
2
6 2 4 0x x kx− + + − =
1. Giải phương trình trên khi k = -1.
2. Tìm số nguyên k nhỏ nhất sao cho phương trình (1) vô nghiệm.
Bài 11: (TS 10 môn: Tóan chuyên, Trường chuyên Nguyễn Du 2003_2004)
Cho phương trình:
2
0x px q+ + =
(ẩn x). Gọi x
1
, x

2
là các nghiệm của phương trình.
1. Xác đònh các hệ số p, q biết x
1
, x
2
thỏa:
1 2
5x x− =
và
3 3
1 2
35x x− =
2. Đặt
1 2
n n
n
S x x= +
. Chứng minh rằng:
1 1
0
n n n
S pS qS
+ −
+ + =
với
1,n n N≥ ∈
3. Giả sử x
1
, x

2
là các số nguyên và p + q = 198. Tìm x
1
, x
2
.
Bài giải:
1. Vì
1 2
,x x
là các nghiệm của phương trình nên ta có :
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2
2
1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 2 1 2 1 2
2
1 2
2 2
2 2 2
0
0
0
0
0
n

n n n n n n
n
x x px q
x px q
x x p x x q x x
x px q
x x px q
−
+ + − −
−

+ + =

+ + =
 
⇔ ⇒ + + + + + =
 
+ + =
+ + =




( )
*
1 1
0
n n n
S pS qS
+ −

⇔ + + =
, với
*
n N∈
2. Theo đònh lý Víet ta có
1 2
1 2
x x p
x x q
+ = −


=

, kết hợp với giả thiết ta tìm được
1
6
p
q
= ±


= −

3. Ta có
( ) ( ) ( )
( )
*
1 2 1 2 1 2
198 1 1 199p q x x x x x x+ = − + = ⇔ − − =

. Bài toán quy về việc tìm nghiệm
nguyên
1 2
,x x
của phương trình (*) . Do 199 là số nguyên tố nên:
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
1 199 1 199 200 0
*
1 1 1 1 1 2 198
x x x x
x x x x
− = − = − = =
   
⇔ ∨ ⇔ ∨
   
− = − = − − = = −
   

Bài tập tương tự: Gọi
1 2
,x x
là 2 nghiệm của phương trình
( )
1
2
0ax bx c+ + =
Đặt
1 2

n n
n
S x x= +
, với
1,2, n =
1. Chứng minh rằng
( )
*
2 1
0
n n n
aS bS cS
+ +
+ + =
.
2. p dụng tính
6 6
1 5 1 5
2 2
A
   
− + − −
= +
   
   
   
HD: Đặt
1
1 2
1 2

2
1 5
1
2
1
1 5
2
x
x x
x x
x

− +
=

+ = −


⇔
 
= −
− −


=


. Vậy
1 2
,x x

là 2 nghiệm của phương trình
( )
2
2
1 0x x+ − −
p dụng (*) cho (2) ta có
18A
=

Bài 12*: (Thi chọn Học sinh giỏi Thành phố BMT môn tóan lớp 9 -1996_1997)
Giải phương trình:
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − −
HD: Dùng phương pháp đánh giá 2 vế phương trình.

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
2
2
2
2
2
3
2

3 6 7 3 1 4 2
5 10 14 5 1 9 3
4 2 5 1 5
x x x
x x x
x x x
+ + = + + ≥
+ + = + + ≥
− − = − − ≤
. Từ (1), (2) và (3) ta có
5 1VT VP x= = ⇔ = −
Bài tập tương tự: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
( )
*
2 2 2
4
6 11 6 13 4 5 3 2x x x x x x− + + − + + − + = +
.
HD:
( ) ( ) ( )
2 2 2
4
3 2 3 4 2 1 2 2 1 3 2VT x x x= − + + − + + − + ≥ + + = +
Từ
( )
( )
( )
2
2
3 0

3
*
2
2 0
x
x
x
x

− =
=


⇒ ⇒
 
=

− =


, hệ phương trình vô nghiệm, nên (*) vô nghiệm.
Bài 13**: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1996_1997)
Biết rằng, tích một nghiệm của phương trình
2
1 0x ax+ + =
với một nghiệm nào đó của phương
trình
2
1 0x bx+ + =
là nghiệm của phương trình

2
1 0x cx+ + =
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
4a b c abc+ + + =
.
Bài 14: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2000_2001)
Cho phương trình
( ) ( )
2
1 2 1 2 0a x a x a+ − − + − =
với a là tham số.
1. Tìm điều kiện của tham số a để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2. Với giá trò nào của tham số a thì phương trình có một nghiệm bằng 3?. Tính nghiệm
còn lại.
3. Với giá trò nào của tham số a thì phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn hệ thức:
( )
1 2 1 2
4 7x x x x+ =
.
Bài 15: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1998_1999)
Cho phương trình ẩn x:
( ) ( ) ( )
( )
1

2
1 2 1 0a x a b x b+ − + + − =
1. Với giá trò nào của a thì (1) là phương trình bậc hai.
2. Giải phương trình (1) khi
3 1 ; 3 1a b= − = +
.
3. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trò của a và b.
Bài 16: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1999_2000)
Cho phương trình
( )
1
2
1 0x mx m+ + − =
1. Với giá trò nào của m thì phương trình (1) có nghiệm.
2. Gọi
1 2
,x x
là các nghiệm của phương trình (1), tìm giá trò lớn nhất của:
( )
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2 1
x x
P
x x x x
+
=
+ + +

Bài 17: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp huyện môn Tóan lớp 9 -2000_2001)
Cho phương trình (a, b là tham số):
( )
2
1 0ax ab x b+ + + =
1. Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm.
2. Tìm giá trò của a, b để phương trình có một nghiệm kép là:
1
2
.
Bài 18: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2001_2002)
1. Với giá trò nào của a thì các nghiệm của phương trình
( )
2
1 0x x a a+ − + =
trái dấu?
2. Giải phương trình
2
35 0x px+ + =
, biết rằng tổng bình phương hai nghiệm bằng 74.
Bài 19: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2002_2003)
Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
( )
2 2
4 3 3 0x m x m m+ + + − + =
, m là tham số.

1. Xác đònh m sao cho
2 2
1 2
6x x+ =
.
2. Chứng minh rằng:
2 2
1 2
1 2
121
1 8
1 1 9
mx mx
x x
< + + ≤
− −
.
Bài 20: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2003_2004)
Giả sử a, b, c khác nhau đôi một và
0c ≠
. Chứng minh rằng nếu phương trình
( )
1
2
0x ax bc+ + =
và phương trình
( )
2
2
0x bx ca+ + =

có đúng một nghiệm chung thì nghiệm khác của các phương
trình đó thỏa mãn phương trình
( )
3
2
0x cx ab+ + =
.
HD: (Sử dụng đònh lý Viét).
Gọi
0
x
là nghiệm chung của (1) và (2), ta có
( )
( )
2
4
0 0
2
5
0 0
0
0
x ax bc
x bx ca

+ + =


+ + =



, trừ (4) cho (5) vế theo vế ta
được
( ) ( ) ( )
0 0
a b x c a b x c gt− = − ⇔ =
, vậy nghiệm chung của (1) và (2) là
0
x c=
. Gọi
1
x
và
2
x
lần lượt là các nghiệm khác của (1) và (2), theo đònh lý Víet ta có
2 2
0 1
1
2 2
0 2 2
0 0
0 0
x x bc
x b
b ab bc b bc ab
x x ca x a
a ab ca a ca ab
 
=

=
+ + = + + =


 
⇒ ⇒ ⇔
   
= =
+ + = + + =
 


 
. Hay a và b là nghiệm của (3). Đây là
điều cần chứng minh.
Bài 21: Chứng minh rằng nếu 2 phương trình
( )
1
2
1 1
0x p x q+ + =
và
( )
2
2
2 2
0x p x q+ + =
có
nghiệm chung thì
( ) ( ) ( )

( )
2
*
1 2 1 2 2 1 1 2
0q q p p q p q p− + − − =
HD: Hệ phương trình có nghiệm chung khi hệ sau có nghiệm
( )
( )
1
2
1 1
2
2
2 2
0
0
x p x q
x p x q

+ + =


+ + =


có nghiệm.
Đặt
2
y x=
, ta có hệ

1 1
2 2
0
0
y p x q
y p x q
+ + =


+ + =

• Nếu
1 2
p p≠
: Giải hệ phương trình này ta có nghiệm
2 1
1 2
1 2 1 2
2 1
q q
x
p p
q p p q
y
p p
−

=

−



−

=

−

. Do
2
y x=
Suy ra
2
1 2 1 2 2 1
1 2 1 2
q p p q q q
p p p p
 
− −
=
 
− −
 
, khai triển và biến đổi ta có (*).
• Nếu
1 2
p p=
ta có hệ
1 1
1 2

p x y q
p x y q
+ = −


+ = −

. Hệ này có nghiệm khi
1 2
q q=
, khi đó rõ ràng (*)
cũng đúng. Vậy (*) đã được chứng minh.
Bài tập về điều kiên có nghiệm chung:
Xác đònh m để hai phương trình sau có nghiệm chung:
( )
( )
( )
1
2
2
2
2 1 0
2 1 1 0
x mx m
mx m x
− + + =
− + − =
HD:
Nếu
0

x
là nghiệm chung thì
( )
( )
( )
2
1
0 0
2
2
0 0
2 1 0
2 1 1 0
x mx m
mx m x

− + + =


− + − =


, dễ thấy
0
0x ≠
(từ (2)).
Nhân
0
x
vào (1) rồi cộng với (2) vế theo vế

3
0 0
1 0 1x x− = ⇒ =
, thay
0
x
vào (1) và (2) rút ra
2m
= −
.
Bài 22: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp 8 -2003_2004)
Giải phương trình
3 2
3 13 15 0x x x− − + =
(HD:
( ) ( ) ( )
1 3 5 0x x x− + − =
)
Bài 23: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp 9 -2003_2004)
1. Giải phương trình:
2 2 2
2 4 18 7 14 16 6 2x x x x x x+ + + + + = − −
. (Xem bài giải của bài 14
và 14’).
2. Cho phương trình:
( )
2
2 2 1 1 0x m x m+ − + − =
. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
1 2

,x x
thõa mãn:
1 2
3 4 11x x− =
.
Bài 24: Chứng minh rằng nếu phương trình
( )
1
2
0x mx n+ + =
có nghiệm, thì phương trình:
( )
2
2 2
1 1
( ) 0x a mx n a
a a
 
+ + + + =
 
 
cũng có nghiệm.
HD: Với (1) có nghiệm ta có
( )
3
2
4 0m m∆ = − ≥
.
Kết hợp với (3) khi đó (2) có
( )

2 2 2
2 2
1 1 1
4 4 0m a n a a m m
a a a
     
∆ = + − + = + − ≥
     
     
. Vậy (2) có
nghiệm.
Bài 25: Chứng minh rằng các phương trình bậc hai:
2
1 1
0x p x q+ + =
và
2
2 2
0x p x q+ + =
có các
hệ số thỏa mãn điều kiện
( )
1 2 1 2
2p p q q≥ +
thì ít nhất 1 trong 2 phương trình đó có nghiệm.
HD:
( )
( )
2 2 2 2
1

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
4 , 4 4p q p q p p q q∆ = − ∆ = − ⇒ ∆ + ∆ = + − +
Từ
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
2 4 2p p q q q q p p≥ + ⇒ − + ≥ −
,
nên
( ) ( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 0p p p p p p⇒ ∆ + ∆ ≥ + − = − ≥
. Do đó 1 trong 2 số
1 2
;∆ ∆
là không âm nên
ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm.
Bài 26*: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm:
( )
( )
( )
2
2
2
2 0 1
2 0 2
2 0 3
ax bx c
bx cx a

cx ax b
+ + =
+ + =
+ + =
(HD:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3
1
0
2
a b b c c a
 
∆ + ∆ + ∆ = − + − + − ≥
 
)
Bài 27*: Cho a, b là 2 số sao cho
( )
1
1 1 1
2b c
+ =
.Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 2 phương trình
sau đây có nghiệm:
( ) ( )
2 3
2 2
0 , 0x bx c x cx b+ + = + + =
HD: Từ (1) suy ra:
( )

( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 2
2 , 4 4 4 2 0bc b c b c c b b c b c b c bc b c= + ∆ + ∆ = − + − = + + + = + − = − ≥
. Do đó ít
nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm.
Bài 28*: Phương trình
( )
1
2
0ax bx c+ + =
có đúng một nghiệm dương là
1
x
chứng minh rằng
phương trình
( )
2
2
0cx bx a+ + =
cũng có đúng một nghiệm dương
2
x
và
1 2
2x x+ ≥
.
HD: (Chú ý thứ tự các hệ của 2 phương trình).

Giả sử
1
0x >
là nghiệm của (1), khi đó ta có
2
1 1
0ax bx c+ + =
, chia 2 vế của phương trình cho
2
1
1
x
ta được
2 2
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0a b c c b a
x x x x
       
+ + = ⇔ + + =
       
       
, nghóa là (2) nhận
2
1
1
0x
x
= >
làm

nghiệm. Khi đó
1 1 1 2
1 1
1 1
2 . 2 2x x x x
x x
+ ≥ = ⇒ + ≥
Bài 29: Giả sử phương trình
( )
1
2
0ax bx c+ + =
có 2 nghiệm dương
1 2
,x x
. Chứng minh rằng
phương trình
( )
2
2
0cx bx a+ + =
cũng có 2 nghiệm dương
3 4
,x x
. Chứng minh
( )
*
1 2 3 4
4x x x x+ + + ≥
HD: Chia 2 vế phương trình (1) lần lượt cho

2
1
x
và
2
2
x
, ta có:

2
1 1
2
2 2
1 1
0
1 1
0
c b a
x x
c b a
x x

   

+ + =
   

   

   


+ + =
   

   

, nghóa là (2) nhận
1
1
x
và
2
1
x
làm 2 nghiệm dương
3 4
,x x
của nó.
p dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 nghiệm
1 2 3 4
, , ,x x x x
ta có kết quả.
Bài 30: Cho phương trình bậc hai:
2
1 0x mx m+ + − =
1. Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm
1 2
,x x
với mọi m, tính nghiệm kép (nếu có) của
phương trình và giá trò m tương ứng.

2. Đặt
2 2
1 2 1 2
6A x x x x= + −

a/ Chứng minh
2
8 8A m m= − +
.
b/ Tìm m sao cho
8A
=
.
c/ Tìm giá trò nhỏ nhất của A và giá trò của m tương ứng.
Bài 31
**
: Giải các phương trình sau:
1.
( ) ( )
( )
1
2 2 2
2 3 1 2 5 1 9x x x x x− + + + =
2.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
1 3 5 7 297x x x x− − + + =
3.
( ) ( ) ( ) ( )

( )
3
2
4 5 6 10 12 3 0x x x x x+ + + + − =
4.
( )
4
3 2
2 2 2 2 2 0x x x+ + + =
5.
( )
5
3 2
2 3 2 0x x+ − =
6.
( )
( )
( )
4
6
4
1 2 1x x+ = +
7.
( )
( )
7
1 1 1 1 2005
1 1 1 1 2
1.3 2.4 3.5 . 2 2006x x
 

   
+ + + + =
 
   
 
+
   
 
8.
( )
8
4
2
2
2
2

2

2
1 1
x
x
x
x
x
x
x
=
+

+
+
+
+
+
+ +
9.
( )
9
1 1 1 1 1 1 1 1
2 5 7 1 3 4 6x x x x x x x x
+ + + = + + +
+ + + + + + +
10.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
10
2 2
1995 1995 1996 1996
19
49
1995 1995 1996 1996
x x x x
x x x x
− + − − + −
=
− − − − + −
HD: 1) Rõ ràng

0x =
không thỏa (1).
Nên
( )
2 2
2 3 1 2 5 1 1 1
1 . 9 2 3 2 5 9
x x x x
x x
x x x x
− + + +
  
⇔ = ⇔ + − + + =
  
  
. Đặt
1
2 3t x
x
= + −
, ta có
phương trình
( )
2
1
8 9 8 9 0
9
t
t t t t
t

=

+ = ⇔ + − = ⇔

= −

,
2)
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
27
2 4 5 4 21 297 16 297 16 297 0
11
t
x x x x t t t t
t
=

⇔ + − + − = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔

= −

Với
2
4 5t x x= + −
. Giải tiếp
3)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2
2
60 17 60 16
3 4 5 12 6 10 3 4. . 3
x x x x
x x x x x
x x
+ + + +
⇔ + + + + = ⇔ =  
  
( )
2
1
60 60
2
4 17 16 3 4 1 3 0 4 4 3 0
3
2
t
x x t t t t
x x
t

=

  
⇔ + + + + = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔

  
  


= −


(với
60
16t x
x
= + +
),
4) Đưa về phương trình tích
( ) ( ) ( )
3 3 2
2 2 2 2 2 2 2 0, x x x x x x
 
+ + + = + + − + =
 
5) Đặt ẩn phụ
( ) ( ) ( )
2
2
1
2 0 5 1 2 0
2
2
2
y
x
y x y y
y

x

=
=


= ≥ ⇒ ⇔ − + = ⇔ ⇔


= −


= −

6) Khai triển rút gọn
4 3 2
4 6 4 1 0x x x x− − − + =
, chia 2 vế cho
2
x
rồi đặt
1
t x
x
= +
, ta đưa về
phương trình
2
4 8 0 2 2 3 1 3 3 2t t t x− − = ⇔ = ± ⇔ = + ± +
.

7) Vì:
( )
2
2 3 2
1.3 1 2 ; 2.4 1 3 ; 3.5 1 4 ; ; ( 1) 1 1x x x+ = + = + = + + = +
( )
1 1 1 1 1
1 1 1 1 2.
1.3 2.4 3.5 . 2 2
x
x x x
 
+
   
⇒ + + + + =
 
   
 
+ +
   
 
Nên
( )
1 2005
7 2004
2 2006
x
x
x
+

⇔ = ⇔ =
+
8) Điều kiện
1x ≥ −
. Ta có
1 1 2 1 1 1 1
1 1 1 1
x x
x x VT x
x x
= − − ⇒ + = + + ⇒ = + −
+ + + +
Nên
( )
8 1 1 4 4x x⇔ + − = ⇒ =
9) Tập xác đònh:
{ }
\ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7D R= − − − − − − −
Nhóm hợp lý các phân thức ta được:
2 2 2 2
2 7 2 7 2 7 2 7
7 7 10 7 6 7 12
x x x x
x x x x x x x x
+ + + +
+ = +
+ + + + + + +
( )
1 1 1 1
2 7 0

10 6 12
x
y y y y
 
⇔ + + − − =
 
+ + +
 
, với
2
7y x x= +
, phương trình
7
2 7 0
2
x x+ = ⇔ = −
,
2
2 2
1 1 1 1 6 2
0 0 18 90 0
6 10 12 6 22 120
y y
y y y y y x y y
   
− + − = ⇔ + = ⇔ + + =
   
+ + + + + +
   
, phương trình

vô nghiệm.
10) Đặt
1995x y− =
, được
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
5
1 1
19
2
4 4 15 0
3
49
1 1
2
y
y y y y
y y
y y y y
y

=

− − + −
= ⇔ − − = ⇔


+ − + −

= −


.
Vậy nghiệm của phương trình (10) là
3994
2
3996
2
x
x

=



=


Bài 32: Đònh m để phương trình:
( ) ( ) ( )
2
2 2 1 3 0 2m x m x m m− − − + − = ≠
có nghiệm
1 2
,x x
và

thiết lập hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m.
Bài 33: Cho phương trình
( )
2 2
2 1 3 4 0x m x m m− − + − + =
1. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thõa mãn hệ thức
1 2
1 1
1
x x
+ =
.
2. Tìm hệt thức liên hệ giữa
1 2
,x x
mà không phụ thuộc vào m.
Bài 34: Cho phương trình:
2
2 0x mx m+ + − =
. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
1 2
,x x
sao
cho
2 2
1 2
x x+

đạt giá trò nhỏ nhất.
Bài 35: Cho phương trình
2
2 3 1 0x x− + =
có các nghiệm
1 2
,x x
. Không giải phương trình tính
giá trò của biểu thức:
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
3 5 3
4 4
x x x x
A
x x x x
+ +
=
+
. (ĐS
7
8
)
Bài 36**: Cho tam thức bậc hai
( )
( )
( )
1

2
0f x ax bx c a= + + ≠
. Biết rằng
( )
( )
2
f x x=
vô nghiệm.
Chứng minh rằng phương trình
( ) ( )
( )
*
2
0af x bf x c+ + =
vô nghiệm.
HD: Vì (2) vô nghiệm nên
( )
,x R f x x∀ ∈ >
hoặc
( )
,x R f x x∀ ∈ <
* Nếu
( ) ( ) ( ) ( )
, , ,x R f x x x R f f x f x x x R f f x x∀ ∈ > ⇒ ∀ ∈ > > ⇒ ∀ ∈ >   
   
( ) ( )
2
,x R af x bf x c x⇔ ∀ ∈ + + >
, hay (*) vô nghiệm.
* Tương tự với trường hợp còn lại ta cũng có (*) vô nghiệm.

Vậy (*) vô nghiệm.
Bài 37*:
1. Chứng minh rằng nếu phương trình
( )
1
4
2 0x x− − =
, có nghiệm dương là
0
x
thì
7
0
8x >
.
2. Chứng minh rằng nếu phương trình
( )
2
3
3 3 0x x− − =
, có nghiệm dương là
0
x
thì
5
0
36x >
.
3. Chứng minh nếu phương trình
2

0x ax b+ + =
có nghiệm
0
x
. Chứng minh
( )
2
*
2 2
0
1x a b< + +
HD:
1. Ta có
4 8
7
0 0 0 0 0 0
2 2 2. 8 8x x x x x x= + ≥ ⇒ ≥ ⇒ >
(p dụng bất đẳng thức Côsi, dấu bằng
trong bất đẳng thức không xảy ra vì
0
2x =
, không thỏa (1).
2. Ta có
3 6 5
0 0 0 0 0 0
3 3 2 9. 36 36x x x x x x= + ≥ ⇒ ≥ ⇒ >
(p dụng bất đẳng thức Côsi, dấu
bằng trong bất đẳng thức không xảy ra vì
0
3x =

, không thỏa (2).
3. Ta có
( )
2
2 2 4
0 0 0 0 0
0x ax b x ax b x ax b+ + = ⇒ − = + ⇒ = +
. p dụng bất đẳng thức
Bunhiacốpxki ta có:

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 4 2
2 2 2 2
0 0 0 0 0
1 1 1a b x ax b x a b x ax b+ + ≥ + = ⇒ + + ≥ + −
4
2 2
2 2 2 2
0
0 0
2
0
1
1 1

1
x
a b x x a b
x
−
⇒ + > = − ⇒ < + +
+
. Vậy
2
2 2
0
1x a b
< + +
