Tải bản đầy đủ (.doc) (11 trang)

Các bài toán liên quan phương trình bậc hai

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (136.64 KB, 11 trang )

NHỮNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PT BẬC HAI
A-MỤC TIÊU:
HS:Nắm được các phương pháp giải toán liên quan đến pt bậc hai
HS:Biết được các sai lầm cần tránh
HS:Biết vận dụng các phương pháp vào giải toán.
B-THỜI LƯNG:7 tiết lý thuyết và Luyện tập -1tiết kiểm tra
Tiết 1,2:
I-BÀI TOÁN 1: Biện luận theo m sự có nghiêm của PT bậc hai ax
2
+bx +c = 0 (a

0)(1)
• PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Xet hệ số a có hai khả năng:
a) Trường hợp a = 0 với một giá trò nào đó của m
Giả sử a = 0 <=> m = m
0
ta có (1) trở thành PT bậc nhất bx + c =0
Ta biên luận tiếp
b) Trường hợp a

0
Lập biệt số

= b
2
–4ac hoặc

’ = b’
2
–ac


Biện luận théo từng trường hơp :

> 0 ;

= 0 ;

< 0
Sau đó tóm tắt phần biên luận trên
II BÀI TOÁN 2: Tìm ĐK của tham số để pt có nghiệm:
• Có hai khả năng xẩy ra :
a) a = 0, b

0
b) a

0 ,
0
≥∆

III BÀI TOÁN 3: Tìm ĐK của tham số để PT có 2 nghiệm phân biệt:




>∆

0
0a
IV BÀI TOÁN 4:Tìm ĐK của tham số để PT có một nghiệm:




=∆





=
0
0
0
0 a
V
b
a
V BÀI TOÁN 5:
1) Điều kiên hai nghiệm cùng dấu
0;0 >≥∆ P
2) Điều kiện để hai nghiêm điều dương:









>−=

>=
≥∆
0
0
0
a
b
S
a
c
P
3) Điều kiện để hai nghiêm điều âm:









<−=
>=
≥∆
0
0
0
a
b
S

a
c
P
3) Điều kiện để hai nghiêm trái dấu:
P< 0 hoặc a và c trái dấu
VI-BÀI TOÁN TÌM ĐK để PT có một nghiêm x = x
1
tìm nghiệm kia:
• Ta thay x = x
1
vào (1) Giải tìm m
• Hoặc dựa vào S ;P tìm m
VII-BÀI TOÁN 7:Tìm ĐK của m để PT có hai nghiệm thoã mãn các ĐK:
txx
n
xx
hxxkxxxx
=+
=+≥+=+=+
3
2
3
1
21
2
2
2
1
2
2

2
121
)5
11
)4)3)2)1
γβα
• PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Điều kiên chung :
0≥∆
Theo Đònh lý Vi et ta có :





=
−=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
a)Trường hợp :
)3(
21
γβα

=+ xx
Ta giải HPT





=+
−=+
γβα
21
21
xx
a
b
xx
=> x
1
;x
2
Thay các giá trò x
1
x
2
vào
x
1
x
2
=

a
c
giải tìm giá trò của tham số
b)Trường hợp :x
1
2
+x
2
2

= k <=> (x
1
+x
2
)
2
–2x
1
x
2
= k Thay tổng và tích giải tìm giá trò thamsố m
c) Trường hợp : x
1
2
+x
2
2


h <=> (x

1
+x
2
)
2
–2x
1
x
2



h Giải BPT tìm m
Một số ví dụ minh hoạ :
Ví dụ 1 :Biện luận theo m sự có nghiệm của PT x
2

–4x +m = 0 (1)
Trước hết ta tính

= b
2
–4ac = = 4-m
a) Nếu 4-m > 0 thì pt có hai nghiệm phân biệt
b) Nếu 4-m = 0 thì PT có nghiệm kép
c) Nếu 4- m <0 thì PT vô nghiệm
Ví dụ 2: Cho PT x
2
- 3x –m = 0
a) Tìm m để PT có nghiệm

b) Tìm m để pT có nghiệm là –2 tìm nghiệm còn lại
HD:

= b
2
–4ac = 9 +4m
a) Đẻ PT có nghiệm thì 9+ 4m

0
b) PT có nghiêm là –2 Do đó (-)
2
+3(-2) – m = 0 <=> Giải PTb tìm giá trò của m
Ví dụ 3: Xác đònh m để PT x
2
–(m+5) x – m + 6 = 0 có hai nghiêm x
1
và x
2
thõa mãn:
a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vò
b) 2x
1
+ 3x
2
= 13
HD:Tính

= m
2
+14m +1

PT có hai nghiệm <=> m
2
+14m +1


0 Giải BPT xác đònh m
a) Giả sử x
1
> x
2
ta có Hệ thức;
)(
)3(6
)2(5
)1(1
21
21
12
I
mxx
mxx
xx





+−=
+=+
=−

Giải HPT tìm m
b) Giải Tương tự như câu a
Ví dụ 4:
Cho PT x
2
+ax +a+7 = 0(1) Tìm tất cả các giá trò của m sao cho pt có hai nghiệm thõa mãn hệ thức
x
1
2
+x
2
2
= 10
HD:

= a
2
-4a –28 PT có hai nghiệm <=> a
2
-4a –28


0
Biến đổi x
1
2
+x
2
2
= 10 <=> (x

1
+x
2
)
2
–2x
1
x
2
= 10
Thay tổng và tích rồi giải PT tìm m
Ví dụ 5:
Cho PT x
2
+ax +1 = 0 Tìm các giá trò của a để PT có hai nghiệm thoã mãn
7
2
1
2
2
2
1
>









+








x
x
x
x
Tiết 3,4,5,6,7 LUYỆN TẬP:
Bài 1: (TN 1996)
1. Viết bảng tóm tắc công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
2
0ax bx c+ + =

( 0)a ≠
.
2. Giải các phương trình:
a/
( )
2
2 3 11 19 0y y− − + =
b/
2
4 12 9 0t t− + =

Bài 2: (TN 2001)
Cho phương trình bậc hai:
2 2
2( 1) 3 0x m x m m− − + − =
với m là tham số.
1. Giải phương trình với m = 8.
2. Với giá trò nào của m thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0.
Bài 3: (TS 10 - 1993)
Cho phương trình :
2
(1 ) 0x m x m+ − − =

(1)
với m là tham số.
1. Giải phương trình (1) với m = 2.
2. Xác đònh m để phương trình (1) có một nghiệm bằng -2.
3. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 4: (TS 10 - 1996)
Cho phương trình :
2
( 1) 3( 1) 0mx m x m+ − − − =

(1)
với m là tham số.
1. Giải phương trình (1) khi m = 2.
2. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép.
3. Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm khác 0 là x
1
và x
2

. Chứng minh rằng:
1 2
1 1 1
3x x
+ =
.
Bài 5*: (TS 10 Trường chuyên Nguyễn Du - 1996)
1. Giải phương trình sau:
2 2 2
1 1 1 1
9 20 11 30 13 42 18x x x x x x
+ + =
+ + + + + +
.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
2 2
2 2
2 1 2 2 7
2 2 2 3 6
x x x x
x x x x
+ + + +
+ =
+ + + +
.
HD:
1) Tập xác đònh
{ }
\ 4; 5; 6; 7D R= − − − −
( ) ( )

( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
9 20 4 5
11 30 5 6
13 42 6 7
x x x x
x x x x
x x x x
+ + = + +
+ + = + +
+ + = + +
Biến đổi phương trình:
1 1 1 1 1 1 1
4 5 5 6 6 7 18x x x x x x
− + − + − =
+ + + + + +
, từ đó có cách giải phương
trình đưa đến 2 nghiệm
13; 2x x= − =
.
2) Tập xác đònh
D R=
.
Đặt
( )
2
2

2 2 1 1 1,t x x x t Z= + + = + + ≥ ∈
, ta có
2
1 7
3
1 6
5
t
t t
t t
t
=



+ = ⇔

+
= −


, ta loại nghiệm
3
5
t = −
.
Với
2 0; 2t x x= ⇒ = = −
Bài 6: (TS 10 THPT Chuyên ban - 1997)
Cho phương trình:

( )
2
2 2 3 0x mx m− + − =

(1)
1. Giải phương trình (1) khi m = 1.
2. Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
3. Tìm m để có một tam giác vuông cạnh huyền bằng
14
và hai cạnh góc vuông có độ
dài x
1
và x
2
là hai nghiệm của (1).
HD: Với 3) chú ý điều kiện
1 2
1 2
1 2
0
0, 0
0
x x
x x
x x
+ >

> > ⇒

>



Bài 7*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 1)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997)
Giải phương trình:
( ) ( )
4 4
2 3 1x x− + − =
HD: Phương trình:
( ) ( )
4 4
x a x b M+ + + =
, ta đặt
2
a b
t x
+
= +
, đưa về dạng
( ) ( )
4 4
mt n mt n M+ + − =
, biến đổi về dạng phương trình trùng phương theo t
Một số phương trình tham khảo:

( ) ( )
( )
4 4
4
4
4 3 256

1 97
x x
x x
− + + =
+ − =

Bài 8*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 2)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997)
Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình:
2
1 0x px+ + =
; c, d là hai nghiệm của phương trình:
2
1 0y qy+ + =
. Chứng minh hệ thức:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
a c a d b c b d p q− − − − = −
.
HD: p dụng đònh lý Víét ta có hệ
1
1
a b p
c d q
ab
cd
+ = −


+ = −



=


=

, sử dụng để biến đổi VT bằng VP
Bài 9: (TS 10 Chuyên Tóan, Nguyễn Du 1997_1998)
Giải phương trình:
4 3 2
4 2 8 3 9 0x x x x+ − + + =
.
HD: Nhẩm nghiệm, thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng sơ đồ HOÓC NE để biến đổi vế dạng
phương trình tích.
Bài 10: (TS 10 THPT 2003_2004)
Cho phương trình:
( )
( )
1
2
6 2 4 0x x kx− + + − =
1. Giải phương trình trên khi k = -1.
2. Tìm số nguyên k nhỏ nhất sao cho phương trình (1) vô nghiệm.
Bài 11: (TS 10 môn: Tóan chuyên, Trường chuyên Nguyễn Du 2003_2004)
Cho phương trình:
2
0x px q+ + =
(ẩn x). Gọi x
1
, x

2
là các nghiệm của phương trình.
1. Xác đònh các hệ số p, q biết x
1
, x
2
thỏa:
1 2
5x x− =

3 3
1 2
35x x− =
2. Đặt
1 2
n n
n
S x x= +
. Chứng minh rằng:
1 1
0
n n n
S pS qS
+ −
+ + =
với
1,n n N≥ ∈
3. Giả sử x
1
, x

2
là các số nguyên và p + q = 198. Tìm x
1
, x
2
.
Bài giải:
1. Vì
1 2
,x x
là các nghiệm của phương trình nên ta có :
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2
2
1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 2 1 2 1 2
2
1 2
2 2
2 2 2
0
0
0
0
0
n

n n n n n n
n
x x px q
x px q
x x p x x q x x
x px q
x x px q

+ + − −


+ + =

+ + =
 
⇔ ⇒ + + + + + =
 
+ + =
+ + =




( )
*
1 1
0
n n n
S pS qS
+ −

⇔ + + =
, với
*
n N∈
2. Theo đònh lý Víet ta có
1 2
1 2
x x p
x x q
+ = −


=

, kết hợp với giả thiết ta tìm được
1
6
p
q
= ±


= −

3. Ta có
( ) ( ) ( )
( )
*
1 2 1 2 1 2
198 1 1 199p q x x x x x x+ = − + = ⇔ − − =

. Bài toán quy về việc tìm nghiệm
nguyên
1 2
,x x
của phương trình (*) . Do 199 là số nguyên tố nên:
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
1 199 1 199 200 0
*
1 1 1 1 1 2 198
x x x x
x x x x
− = − = − = =
   
⇔ ∨ ⇔ ∨
   
− = − = − − = = −
   

Bài tập tương tự: Gọi
1 2
,x x
là 2 nghiệm của phương trình
( )
1
2
0ax bx c+ + =
Đặt
1 2

n n
n
S x x= +
, với
1,2, n =
1. Chứng minh rằng
( )
*
2 1
0
n n n
aS bS cS
+ +
+ + =
.
2. p dụng tính
6 6
1 5 1 5
2 2
A
   
− + − −
= +
   
   
   
HD: Đặt
1
1 2
1 2

2
1 5
1
2
1
1 5
2
x
x x
x x
x

− +
=

+ = −



 
= −
− −


=


. Vậy
1 2
,x x

là 2 nghiệm của phương trình
( )
2
2
1 0x x+ − −
p dụng (*) cho (2) ta có
18A
=

Bài 12*: (Thi chọn Học sinh giỏi Thành phố BMT môn tóan lớp 9 -1996_1997)
Giải phương trình:
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − −
HD: Dùng phương pháp đánh giá 2 vế phương trình.

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
2
2
2
2
2
3
2

3 6 7 3 1 4 2
5 10 14 5 1 9 3
4 2 5 1 5
x x x
x x x
x x x
+ + = + + ≥
+ + = + + ≥
− − = − − ≤
. Từ (1), (2) và (3) ta có
5 1VT VP x= = ⇔ = −
Bài tập tương tự: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
( )
*
2 2 2
4
6 11 6 13 4 5 3 2x x x x x x− + + − + + − + = +
.
HD:
( ) ( ) ( )
2 2 2
4
3 2 3 4 2 1 2 2 1 3 2VT x x x= − + + − + + − + ≥ + + = +
Từ
( )
( )
( )
2
2
3 0

3
*
2
2 0
x
x
x
x

− =
=


⇒ ⇒
 
=

− =


, hệ phương trình vô nghiệm, nên (*) vô nghiệm.
Bài 13**: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1996_1997)
Biết rằng, tích một nghiệm của phương trình
2
1 0x ax+ + =
với một nghiệm nào đó của phương
trình
2
1 0x bx+ + =
là nghiệm của phương trình

2
1 0x cx+ + =
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
4a b c abc+ + + =
.
Bài 14: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2000_2001)
Cho phương trình
( ) ( )
2
1 2 1 2 0a x a x a+ − − + − =
với a là tham số.
1. Tìm điều kiện của tham số a để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2. Với giá trò nào của tham số a thì phương trình có một nghiệm bằng 3?. Tính nghiệm
còn lại.
3. Với giá trò nào của tham số a thì phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn hệ thức:
( )
1 2 1 2
4 7x x x x+ =
.
Bài 15: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1998_1999)
Cho phương trình ẩn x:
( ) ( ) ( )
( )
1

2
1 2 1 0a x a b x b+ − + + − =
1. Với giá trò nào của a thì (1) là phương trình bậc hai.
2. Giải phương trình (1) khi
3 1 ; 3 1a b= − = +
.
3. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trò của a và b.
Bài 16: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1999_2000)
Cho phương trình
( )
1
2
1 0x mx m+ + − =
1. Với giá trò nào của m thì phương trình (1) có nghiệm.
2. Gọi
1 2
,x x
là các nghiệm của phương trình (1), tìm giá trò lớn nhất của:
( )
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2 1
x x
P
x x x x
+
=
+ + +

Bài 17: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp huyện môn Tóan lớp 9 -2000_2001)
Cho phương trình (a, b là tham số):
( )
2
1 0ax ab x b+ + + =
1. Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm.
2. Tìm giá trò của a, b để phương trình có một nghiệm kép là:
1
2
.
Bài 18: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2001_2002)
1. Với giá trò nào của a thì các nghiệm của phương trình
( )
2
1 0x x a a+ − + =
trái dấu?
2. Giải phương trình
2
35 0x px+ + =
, biết rằng tổng bình phương hai nghiệm bằng 74.
Bài 19: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2002_2003)
Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
( )
2 2
4 3 3 0x m x m m+ + + − + =
, m là tham số.

1. Xác đònh m sao cho
2 2
1 2
6x x+ =
.
2. Chứng minh rằng:
2 2
1 2
1 2
121
1 8
1 1 9
mx mx
x x
< + + ≤
− −
.
Bài 20: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2003_2004)
Giả sử a, b, c khác nhau đôi một và
0c ≠
. Chứng minh rằng nếu phương trình
( )
1
2
0x ax bc+ + =
và phương trình
( )
2
2
0x bx ca+ + =

có đúng một nghiệm chung thì nghiệm khác của các phương
trình đó thỏa mãn phương trình
( )
3
2
0x cx ab+ + =
.
HD: (Sử dụng đònh lý Viét).
Gọi
0
x
là nghiệm chung của (1) và (2), ta có
( )
( )
2
4
0 0
2
5
0 0
0
0
x ax bc
x bx ca

+ + =


+ + =



, trừ (4) cho (5) vế theo vế ta
được
( ) ( ) ( )
0 0
a b x c a b x c gt− = − ⇔ =
, vậy nghiệm chung của (1) và (2) là
0
x c=
. Gọi
1
x

2
x
lần lượt là các nghiệm khác của (1) và (2), theo đònh lý Víet ta có
2 2
0 1
1
2 2
0 2 2
0 0
0 0
x x bc
x b
b ab bc b bc ab
x x ca x a
a ab ca a ca ab
 
=

=
+ + = + + =


 
⇒ ⇒ ⇔
   
= =
+ + = + + =
 


 
. Hay a và b là nghiệm của (3). Đây là
điều cần chứng minh.
Bài 21: Chứng minh rằng nếu 2 phương trình
( )
1
2
1 1
0x p x q+ + =

( )
2
2
2 2
0x p x q+ + =

nghiệm chung thì
( ) ( ) ( )

( )
2
*
1 2 1 2 2 1 1 2
0q q p p q p q p− + − − =
HD: Hệ phương trình có nghiệm chung khi hệ sau có nghiệm
( )
( )
1
2
1 1
2
2
2 2
0
0
x p x q
x p x q

+ + =


+ + =


có nghiệm.
Đặt
2
y x=
, ta có hệ

1 1
2 2
0
0
y p x q
y p x q
+ + =


+ + =

• Nếu
1 2
p p≠
: Giải hệ phương trình này ta có nghiệm
2 1
1 2
1 2 1 2
2 1
q q
x
p p
q p p q
y
p p


=







=



. Do
2
y x=
Suy ra
2
1 2 1 2 2 1
1 2 1 2
q p p q q q
p p p p
 
− −
=
 
− −
 
, khai triển và biến đổi ta có (*).
• Nếu
1 2
p p=
ta có hệ
1 1
1 2

p x y q
p x y q
+ = −


+ = −

. Hệ này có nghiệm khi
1 2
q q=
, khi đó rõ ràng (*)
cũng đúng. Vậy (*) đã được chứng minh.
Bài tập về điều kiên có nghiệm chung:
Xác đònh m để hai phương trình sau có nghiệm chung:
( )
( )
( )
1
2
2
2
2 1 0
2 1 1 0
x mx m
mx m x
− + + =
− + − =
HD:
Nếu
0

x
là nghiệm chung thì
( )
( )
( )
2
1
0 0
2
2
0 0
2 1 0
2 1 1 0
x mx m
mx m x

− + + =


− + − =


, dễ thấy
0
0x ≠
(từ (2)).
Nhân
0
x
vào (1) rồi cộng với (2) vế theo vế

3
0 0
1 0 1x x− = ⇒ =
, thay
0
x
vào (1) và (2) rút ra
2m
= −
.
Bài 22: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp 8 -2003_2004)
Giải phương trình
3 2
3 13 15 0x x x− − + =
(HD:
( ) ( ) ( )
1 3 5 0x x x− + − =
)
Bài 23: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp 9 -2003_2004)
1. Giải phương trình:
2 2 2
2 4 18 7 14 16 6 2x x x x x x+ + + + + = − −
. (Xem bài giải của bài 14
và 14’).
2. Cho phương trình:
( )
2
2 2 1 1 0x m x m+ − + − =
. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
1 2

,x x
thõa mãn:
1 2
3 4 11x x− =
.
Bài 24: Chứng minh rằng nếu phương trình
( )
1
2
0x mx n+ + =
có nghiệm, thì phương trình:
( )
2
2 2
1 1
( ) 0x a mx n a
a a
 
+ + + + =
 
 
cũng có nghiệm.
HD: Với (1) có nghiệm ta có
( )
3
2
4 0m m∆ = − ≥
.
Kết hợp với (3) khi đó (2) có
( )

2 2 2
2 2
1 1 1
4 4 0m a n a a m m
a a a
     
∆ = + − + = + − ≥
     
     
. Vậy (2) có
nghiệm.
Bài 25: Chứng minh rằng các phương trình bậc hai:
2
1 1
0x p x q+ + =

2
2 2
0x p x q+ + =
có các
hệ số thỏa mãn điều kiện
( )
1 2 1 2
2p p q q≥ +
thì ít nhất 1 trong 2 phương trình đó có nghiệm.
HD:
( )
( )
2 2 2 2
1

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
4 , 4 4p q p q p p q q∆ = − ∆ = − ⇒ ∆ + ∆ = + − +
Từ
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
2 4 2p p q q q q p p≥ + ⇒ − + ≥ −
,
nên
( ) ( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 0p p p p p p⇒ ∆ + ∆ ≥ + − = − ≥
. Do đó 1 trong 2 số
1 2
;∆ ∆
là không âm nên
ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm.
Bài 26*: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm:
( )
( )
( )
2
2
2
2 0 1
2 0 2
2 0 3
ax bx c
bx cx a

cx ax b
+ + =
+ + =
+ + =
(HD:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3
1
0
2
a b b c c a
 
∆ + ∆ + ∆ = − + − + − ≥
 
)
Bài 27*: Cho a, b là 2 số sao cho
( )
1
1 1 1
2b c
+ =
.Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 2 phương trình
sau đây có nghiệm:
( ) ( )
2 3
2 2
0 , 0x bx c x cx b+ + = + + =
HD: Từ (1) suy ra:
( )

( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 2
2 , 4 4 4 2 0bc b c b c c b b c b c b c bc b c= + ∆ + ∆ = − + − = + + + = + − = − ≥
. Do đó ít
nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm.
Bài 28*: Phương trình
( )
1
2
0ax bx c+ + =
có đúng một nghiệm dương là
1
x
chứng minh rằng
phương trình
( )
2
2
0cx bx a+ + =
cũng có đúng một nghiệm dương
2
x

1 2
2x x+ ≥
.
HD: (Chú ý thứ tự các hệ của 2 phương trình).

Giả sử
1
0x >
là nghiệm của (1), khi đó ta có
2
1 1
0ax bx c+ + =
, chia 2 vế của phương trình cho
2
1
1
x
ta được
2 2
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0a b c c b a
x x x x
       
+ + = ⇔ + + =
       
       
, nghóa là (2) nhận
2
1
1
0x
x
= >
làm

nghiệm. Khi đó
1 1 1 2
1 1
1 1
2 . 2 2x x x x
x x
+ ≥ = ⇒ + ≥
Bài 29: Giả sử phương trình
( )
1
2
0ax bx c+ + =
có 2 nghiệm dương
1 2
,x x
. Chứng minh rằng
phương trình
( )
2
2
0cx bx a+ + =
cũng có 2 nghiệm dương
3 4
,x x
. Chứng minh
( )
*
1 2 3 4
4x x x x+ + + ≥
HD: Chia 2 vế phương trình (1) lần lượt cho

2
1
x

2
2
x
, ta có:

2
1 1
2
2 2
1 1
0
1 1
0
c b a
x x
c b a
x x

   

+ + =
   

   

   


+ + =
   

   

, nghóa là (2) nhận
1
1
x

2
1
x
làm 2 nghiệm dương
3 4
,x x
của nó.
p dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 nghiệm
1 2 3 4
, , ,x x x x
ta có kết quả.
Bài 30: Cho phương trình bậc hai:
2
1 0x mx m+ + − =
1. Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm
1 2
,x x
với mọi m, tính nghiệm kép (nếu có) của
phương trình và giá trò m tương ứng.

2. Đặt
2 2
1 2 1 2
6A x x x x= + −

a/ Chứng minh
2
8 8A m m= − +
.
b/ Tìm m sao cho
8A
=
.
c/ Tìm giá trò nhỏ nhất của A và giá trò của m tương ứng.
Bài 31
**
: Giải các phương trình sau:
1.
( ) ( )
( )
1
2 2 2
2 3 1 2 5 1 9x x x x x− + + + =
2.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
1 3 5 7 297x x x x− − + + =
3.
( ) ( ) ( ) ( )

( )
3
2
4 5 6 10 12 3 0x x x x x+ + + + − =
4.
( )
4
3 2
2 2 2 2 2 0x x x+ + + =
5.
( )
5
3 2
2 3 2 0x x+ − =
6.
( )
( )
( )
4
6
4
1 2 1x x+ = +
7.
( )
( )
7
1 1 1 1 2005
1 1 1 1 2
1.3 2.4 3.5 . 2 2006x x
 

   
+ + + + =
 
   
 
+
   
 
8.
( )
8
4
2
2
2
2

2

2
1 1
x
x
x
x
x
x
x
=
+

+
+
+
+
+
+ +
9.
( )
9
1 1 1 1 1 1 1 1
2 5 7 1 3 4 6x x x x x x x x
+ + + = + + +
+ + + + + + +
10.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
10
2 2
1995 1995 1996 1996
19
49
1995 1995 1996 1996
x x x x
x x x x
− + − − + −
=
− − − − + −
HD: 1) Rõ ràng

0x =
không thỏa (1).
Nên
( )
2 2
2 3 1 2 5 1 1 1
1 . 9 2 3 2 5 9
x x x x
x x
x x x x
− + + +
  
⇔ = ⇔ + − + + =
  
  
. Đặt
1
2 3t x
x
= + −
, ta có
phương trình
( )
2
1
8 9 8 9 0
9
t
t t t t
t

=

+ = ⇔ + − = ⇔

= −

,
2)
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
27
2 4 5 4 21 297 16 297 16 297 0
11
t
x x x x t t t t
t
=

⇔ + − + − = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔

= −

Với
2
4 5t x x= + −
. Giải tiếp
3)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2
2
60 17 60 16
3 4 5 12 6 10 3 4. . 3
x x x x
x x x x x
x x
+ + + +
⇔ + + + + = ⇔ =  
  
( )
2
1
60 60
2
4 17 16 3 4 1 3 0 4 4 3 0
3
2
t
x x t t t t
x x
t

=

  
⇔ + + + + = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔

  
  


= −


(với
60
16t x
x
= + +
),
4) Đưa về phương trình tích
( ) ( ) ( )
3 3 2
2 2 2 2 2 2 2 0, x x x x x x
 
+ + + = + + − + =
 
5) Đặt ẩn phụ
( ) ( ) ( )
2
2
1
2 0 5 1 2 0
2
2
2
y
x
y x y y
y

x

=
=


= ≥ ⇒ ⇔ − + = ⇔ ⇔


= −


= −

6) Khai triển rút gọn
4 3 2
4 6 4 1 0x x x x− − − + =
, chia 2 vế cho
2
x
rồi đặt
1
t x
x
= +
, ta đưa về
phương trình
2
4 8 0 2 2 3 1 3 3 2t t t x− − = ⇔ = ± ⇔ = + ± +
.

7) Vì:
( )
2
2 3 2
1.3 1 2 ; 2.4 1 3 ; 3.5 1 4 ; ; ( 1) 1 1x x x+ = + = + = + + = +
( )
1 1 1 1 1
1 1 1 1 2.
1.3 2.4 3.5 . 2 2
x
x x x
 
+
   
⇒ + + + + =
 
   
 
+ +
   
 
Nên
( )
1 2005
7 2004
2 2006
x
x
x
+

⇔ = ⇔ =
+
8) Điều kiện
1x ≥ −
. Ta có
1 1 2 1 1 1 1
1 1 1 1
x x
x x VT x
x x
= − − ⇒ + = + + ⇒ = + −
+ + + +
Nên
( )
8 1 1 4 4x x⇔ + − = ⇒ =
9) Tập xác đònh:
{ }
\ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7D R= − − − − − − −
Nhóm hợp lý các phân thức ta được:
2 2 2 2
2 7 2 7 2 7 2 7
7 7 10 7 6 7 12
x x x x
x x x x x x x x
+ + + +
+ = +
+ + + + + + +
( )
1 1 1 1
2 7 0

10 6 12
x
y y y y
 
⇔ + + − − =
 
+ + +
 
, với
2
7y x x= +
, phương trình
7
2 7 0
2
x x+ = ⇔ = −
,
2
2 2
1 1 1 1 6 2
0 0 18 90 0
6 10 12 6 22 120
y y
y y y y y x y y
   
− + − = ⇔ + = ⇔ + + =
   
+ + + + + +
   
, phương trình

vô nghiệm.
10) Đặt
1995x y− =
, được
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
5
1 1
19
2
4 4 15 0
3
49
1 1
2
y
y y y y
y y
y y y y
y

=

− − + −
= ⇔ − − = ⇔


+ − + −

= −


.
Vậy nghiệm của phương trình (10) là
3994
2
3996
2
x
x

=



=


Bài 32: Đònh m để phương trình:
( ) ( ) ( )
2
2 2 1 3 0 2m x m x m m− − − + − = ≠
có nghiệm
1 2
,x x


thiết lập hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m.
Bài 33: Cho phương trình
( )
2 2
2 1 3 4 0x m x m m− − + − + =
1. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thõa mãn hệ thức
1 2
1 1
1
x x
+ =
.
2. Tìm hệt thức liên hệ giữa
1 2
,x x
mà không phụ thuộc vào m.
Bài 34: Cho phương trình:
2
2 0x mx m+ + − =
. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
1 2
,x x
sao
cho
2 2
1 2
x x+

đạt giá trò nhỏ nhất.
Bài 35: Cho phương trình
2
2 3 1 0x x− + =
có các nghiệm
1 2
,x x
. Không giải phương trình tính
giá trò của biểu thức:
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
3 5 3
4 4
x x x x
A
x x x x
+ +
=
+
. (ĐS
7
8
)
Bài 36**: Cho tam thức bậc hai
( )
( )
( )
1

2
0f x ax bx c a= + + ≠
. Biết rằng
( )
( )
2
f x x=
vô nghiệm.
Chứng minh rằng phương trình
( ) ( )
( )
*
2
0af x bf x c+ + =
vô nghiệm.
HD: Vì (2) vô nghiệm nên
( )
,x R f x x∀ ∈ >
hoặc
( )
,x R f x x∀ ∈ <
* Nếu
( ) ( ) ( ) ( )
, , ,x R f x x x R f f x f x x x R f f x x∀ ∈ > ⇒ ∀ ∈ > > ⇒ ∀ ∈ >   
   
( ) ( )
2
,x R af x bf x c x⇔ ∀ ∈ + + >
, hay (*) vô nghiệm.
* Tương tự với trường hợp còn lại ta cũng có (*) vô nghiệm.

Vậy (*) vô nghiệm.
Bài 37*:
1. Chứng minh rằng nếu phương trình
( )
1
4
2 0x x− − =
, có nghiệm dương là
0
x
thì
7
0
8x >
.
2. Chứng minh rằng nếu phương trình
( )
2
3
3 3 0x x− − =
, có nghiệm dương là
0
x
thì
5
0
36x >
.
3. Chứng minh nếu phương trình
2

0x ax b+ + =
có nghiệm
0
x
. Chứng minh
( )
2
*
2 2
0
1x a b< + +
HD:
1. Ta có
4 8
7
0 0 0 0 0 0
2 2 2. 8 8x x x x x x= + ≥ ⇒ ≥ ⇒ >
(p dụng bất đẳng thức Côsi, dấu bằng
trong bất đẳng thức không xảy ra vì
0
2x =
, không thỏa (1).
2. Ta có
3 6 5
0 0 0 0 0 0
3 3 2 9. 36 36x x x x x x= + ≥ ⇒ ≥ ⇒ >
(p dụng bất đẳng thức Côsi, dấu
bằng trong bất đẳng thức không xảy ra vì
0
3x =

, không thỏa (2).
3. Ta có
( )
2
2 2 4
0 0 0 0 0
0x ax b x ax b x ax b+ + = ⇒ − = + ⇒ = +
. p dụng bất đẳng thức
Bunhiacốpxki ta có:

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 4 2
2 2 2 2
0 0 0 0 0
1 1 1a b x ax b x a b x ax b+ + ≥ + = ⇒ + + ≥ + −
4
2 2
2 2 2 2
0
0 0
2
0
1
1 1

1
x
a b x x a b
x

⇒ + > = − ⇒ < + +
+
. Vậy
2
2 2
0
1x a b
< + +


×