Vận dụng hợp lí tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào giải bài tập nâng cao toán lớp 7

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: - Hội đồng Sáng kiến huyện Duy Xun
Tơi ghi tên dƣới đây
TT

Họ và tên

01

Trần Thị Du

Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Vận dụng hợp lí tính chất
của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào giải bài tập nâng cao toán
lớp 7”;
1. Chủ đầu tƣ tạo ra sáng kiến: 100%;
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục;
3. Ngày sáng kiến đƣợc áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 01/9/2018.
4. Mơ tả bản chất của sáng kiến
Tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là một trong
những mảng kiến thức khó và rộng của bộ mơn Tốn. Trong q trình giải tốn
khả năng tư duy sáng tạo của người học được phát triển mạnh;
Tổng hợp phân loại các phương pháp giải bài toán vận dụng hợp lí tính chất
của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau;
Một số biện pháp giúp học sinh có phương pháp học tập, dần củng cố kiến
thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng giải tốn.
4.1 Phân tích tình trạng giải pháp đã biết
Trong thực tế giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi thì những bài tốn về tính
chất tỉ lệ thức cịn ít đề cập trong các sách nâng cao;

Đa số các em chưa nắm được phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức,
các bài toán chia tỉ lệ;
Trình bày bài tập cịn chưa logic;
Hầu hết học sinh trong đội tuyển chưa thành thạo các bài tập cơ bản;
Điểm bài khảo sát đầu vào của chuyên đề thấp.

n

Học sinh nắm PP giải Học sinh chưa nắm vững PP
giải
4.2. Nêu nội dung đã cải tiến, sáng tạo để khắc phục những nhƣợc
điểm của giải pháp đã biết
Tổng hợp phân loại các phương pháp giải các bài toán về vận dụng tính
chất tỉ lệ thức và chia tỉ lệ;
Một số biện pháp giúp học sinh có phương pháp học tập, dần dần củng cố
kiến thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng giải các bài tốn thành thạo hơn
trong giải bài toán về tỉ lệ thức và chia tỉ lệ.
4.3. Nêu các điều kiện, phƣơng tiện cần thiết để thực hiện và áp dụng
giải pháp
Đội tuyển học sinh giỏi Toán 7, trường THCS Nguyễn Văn Trỗi;
Sách giáo khoa, sách tham khảo, sách nâng cao và phát triển toán 7, báo
toán học và tuổi trẻ.
4.4. Nêu các bƣớc thực hiện giải pháp, cách thức thực hiện giải pháp
4.4.1. Bài tập chứng minh tỉ lệ thức
4.4.1.1. Phƣơng pháp chung
Để làm xuất hiện tỉ lệ thức cần chứng minh thì chúng ta có thể biến đổi từ
tỉ lệ thức bài cho hoặc từ điều kiện bài cho. Sử dụng linh hoạt các phép tốn và
tính chất của tỉ lệ thức hoặc tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để biến đổi điều đã
cho thành điều cần có;

Có nhiều con đường để đi đến một cái đích, cần lựa chọn phương pháp
phù hợp, hợp lí nhất trong khi chứng minh;
Trong quá trình biến đổi chứng minh nên ln nhìn về biểu thức cần
chứng minh để tránh tình trạng biến đổi dài, vơ ích.
4.4.1.2 Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho

Chứng minh rằng:
+ Cách 1:


2


Ta có:
Nên
Do đó

ab

Vậy
+ Cách 2:
a
Ta có

b

Nên ac

 a c  d   c a  b

a
ab

Vậy
+ Cách 3:

a

Đặt

b
a  kb ;


Khi đó:

c
cd
Do đó:
+ Cách 4:
Ta có:

 ac


Vì


a.d  b.c

b

a

c

 d

a
b




Nên
+ Cách 5:

3


Ta có: b

a



c

d

b

d

 a c

b

d

1 a 1 c
ab



a

a
Vậy

ab

+ Cách 6:

a

Ta có:

b

Do đó:



a
ab

a
ab

Vậy:
+ Cách 7:
a

Có:

b

Khi đó:

a
ab

Vậy
Ví dụ 2: Cho
Lời giải:

a5

Ta có

a5 b6

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

b  6 b  6 b  6  b  6 2b b
Và

a5


b  6 b  6 b  6  b  6 12 6

a

5

Vậy

b
4

=


Ví dụ 3:
Cho 2(x+ y) = 5(y+z) = 3(x+z). Chứng minh rằng:

x  y y z

4  5

Lời giải:
Ta có:

2(x+y) = 5(y+z) = 3(x+z)



2 x  y   5 y  z   3 x  z
303030


Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

xy
15

xy
15
Vậy
4.4.1.3. Tiểu kết
Với dạng bài tập này, học sinh phải biết sử dụng linh hoạt kiến thức để tạo
ra dãy tỉ số bằng nhau hợp lí, có thể kết hợp với mối quan hệ khác mà bài cho để
đi đến điều phải chứng minh;
Trong q trình sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau phải chú ý qui
tắc bỏ dấu, tránh nhầm dấu;
Có nhiều cách để chứng minh một tỉ lệ thức nhưng cần lựa chọn cách nào
phù hợp với khả năng và mức độ nhận thức của học sinh sao cho đơn giản mà
lại dễ hiểu, dễ làm, dễ trình bày. Mặt khác, trong q trình chứng minh phải ln

hướng về điều phải chứng minh nhằm tránh “lạc đường”, dài dòng khơng cần
thiết, có khi lại khơng tới được đích cần đến.
4.4.2. Tìm số chƣa biết trong dãy tỉ số bằng nhau
4.4.2.1. Phƣơng pháp chung
Dạng bài tập này thường gặp ở hầu hết các chuyên đề bồi dưỡng học sinh
giỏi Toán 7, nó rất phong phú và đa dạng. Bài thường cho 2 dữ kiện, cũng có khi
chỉ cho 1 dữ kiện. Từ những mối quan hệ đó ta có thể tìm được đáp án của bài,
nhưng cũng có thể phải biến đổi rồi mới sử dụng được;
Có thể sử dụng kết hợp phương pháp ở dạng 1 để thực hiện giải bài tập
này;


5


Lưu ý đến dấu của số cần tìm trong trường hợp có số mũ chẵn hoặc tích của
2 số, để tránh tìm ra số khơng thoả mãn u cầu của bài. Cũng lưu ý các trường
hợp có thể xảy ra để khơng bỏ xót những giá trị cần tìm;
4.4.2.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Tìm x, y khác 0 biết
a)
2x
3y

b)
c)

21.x = 19.y và x – y = 4

Lời giải:

a) Ta có
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x
3

y
=

Do đó:
y
4

= 13

15

20
Vậy x = 13 và y = 13

b) Có
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2x 3y 2x+3y 7
=

-1

=

3

=

-1+3

2

Do đó
3y
3
Vậy x = c) 21.x = 19. y

x
y
19 =21

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

4


6


x
19

x

Do đó 19 = -2  x = -2.19 = -38

y

= -2  y = -2.21 = -42

21

Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết:
x
3

a)
b) x : y : z = 3 : 5:(- 2)

x-1
c)
Lời giải:
a)Ta có:
Và

y
5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

x

Do đó 15 = 3  x = 3.15 = 45
y
20
z

28
Vậy x = 45 ; y = 60 ; z = 84
b) Ta có x : y : z = 3 :5 : (- 2) 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
x
3
Do đó
y

x


= 31  x = 31.3 = 93

3

5 = 31  y
= 31.5 =
155


2x+3y-z 168 30+60-28

=

62

=3

7

z

- 2 = 31  z = 31.(-2) = -62
Vậy x = 93 ; y = 155 ; z = -62.
x-1 y+3 z-5
c) Ta có 2 = 4 = 6
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
x 1

y3



2

x 1

Do đó
y 3

4

2

 2  y  5

4

Vậy x = y = 5 ; z = 17
Ví dụ 3: Tìm a, b, c biết rằng: 2a = 3b = 4c và a – b + c = 35
Lời giải: Ta có: 2a = 3b = 4c 

6
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
a b c a–b+c 35

= = =

= =7

6 4 3 6–4+3 5

a

Do đó 6 = 7  a = 7.6 =

b

42 4 = 7  b = 7.4 = 28

c

3 = 7  c = 7.3 = 21
Vậy a = 42 ; b = 28 ; c = 21
Ví dụ 4: Tìm x biết:

44–x x–12
=

3

5

Lời giải:

44  x  x 12
   44  x  x 12
   32  4

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
Do đó

x–12



= 4  x – 12 = 20 5

x = 20 + 12

3

5

35

8

8


 x = 32
Vậy: x = 32.
Ví dụ 5: Tìm x, y, z biết
a)

b)

576x

2x+1 = 3y–2 = 2x+3y–1

Lời giải:
a) Ta có:

 2x  2y  2z  2. x  y  z  2 ( vì x  y  z  0)
x

 y  zx  y  z

1
Do đó

Suy ra: y+z =

Do đó:

x+z+2
y
x+y-3
=2
z
Vậy x =

b)

576x

2
2x+1 = 3y–2 = 2x+3y–1 (1)

+ TH1: 2x+3y – 1 = 0
1
2x+1
Suy ra
=0 x
5
2


3y–2
7

=0y

2
3

+ TH2: 2x  3y – 1 0
2x+1 = 3y–2 = 2x+1+3y–2 = 2x+3y–1 (2)
5
7
5+7
12
9


Từ (1), (2) ta có:
Thay x= 2 vào
Vậy x = 2 và y = 3 hoặc x 

 1
2
;
y

2
3

Ví dụ 6: Tìm x, y biết rằng:
x y
a)

3 = 7 và x.y = 84

b)

x y
2
2
5  4 và x – y = 36

x

y

c) 2 = 4 và x4 y4 = 16

d)

y2–x2= x2+y2 và x10 y10 = 1024

35

Lời giải:
a) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x = y =>x

3

7

Do đó

y2

= 4  y2 = 196  y =  14

49
Vậy x = 6 và y = 14 hoặc x = - 6 và y = -14
b) Ta có
Suy ra:
5

Do đó

b2

a2

x

y
5  4 (x,y cùng dấu)

2

=4a

2

= 100  a =  10

25

= 4  b2 = 64  b =  8

16
Vậy a = 10 và b = 8 hoặc a = - 10 và b = - 8.


x

y

c) Đặt 2  4  k k 
0 Suy ra x = 2k; y = 4k

10


4

4

16 nên

Vì x y
Vậy x = 1 và y = 2 hoặc x = - 1 và y = - 2
d) Ta có
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

2

y x
3

2

y x
3

2


2

y2

Do đó

=
4

TH 1: x =

y

Khi đó: x10y10 =1024 (± 2)10.y10=1024y20 = 210.1024  y20 =
220 Do đó y = 2 => x=1 hoặc y = -2 => x= -1
y

TH 2: x = -2

y

Khi đó: x10y10 = 1024 (- 2)10.y10=1024y20 = 210.1024  y20 = 220

Do đó y = 2 => x= - 1 hoặc y = -2 => x= 1
Vậy x = 1 và y = 2 hoặc x = –1 và y = –2
hoặc x = 1 và y = –2 hoặc x = –1 và y = 2
4.4.2.3. Tiểu kết
Dạng bài tập này tương đối phức tạp, nếu khơng làm và trình bày cẩn thận
thì rất dễ bị nhầm lẫn. Kiến thức thì khơng phải là quá khó nhưng rất cần đến
khả năng quan sát và kĩ năng biến đổi. Cũng cần đến sự khéo léo đưa bài toán về
dạng quen thuộc đã biết cách làm ở dạng 1.
4.4.3.Tính giá trị biểu thức
4.4.3.1. Phƣơng pháp chung
Đây là loại bài tập khó, địi hỏi học sinh phải huy động nhiều kiến thức và
kĩ năng cũng như biết tổng hợp tri thức phương pháp đã học. Khả năng quan sát
và dự đoán được sử dụng nhiều, liên tục, đồng thời với sự suy luận logic, sáng
tạo;


11


Làm dạng bài tập này, học sinh rất cần đến sự xúc tác của giáo viên mỗi khi
các em gặp bế tắc. Những lúc đó thì giáo viên chỉ cần gợi mở hướng đi cho học
sinh bằng những câu hỏi mở.
4.4.3.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho x, y, z thoả mãn:
Tính:

P=

+ Cách 1: Đặt
Khi đó: P =

4

Vậy: P =
5

+ Cách 2:

y

x

Ta có

 2y

x

Lại có
Do đó: P =
5x

4

Vậy P =
5
Ví dụ 2: Cho 3 tỉ số bằng nhau
đó.
Với bài này các em dễ dàng tìm ra đáp án:
a
bc



Và kết luận giá trị của mỗi tỉ số đã cho là
Nhưng chỉ có thế thì lời giải bài tốn chưa được hồn thiện. Mà phải trình
bày được như sau:
Có:
a


bc

12


+ Nếu a + b +c ≠ 0 thì
a
bc

b


ca

+ Nếu a + b +c = 0 thì
Khi đó:
Vậy Nếu a + b +c ≠ 0 thì
Nếu a + b +c = 0 thì
Ví dụ 3: Cho biểu thức: P =

Tìm giá trị của biểu thức P biết:
Lời giải

Ta có
Hay
+TH1: Nếu x + y + z + t ≠ 0 thì y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z


x=y=z=t

Khi đó P=
+ TH2: Nếu x + y + z + t = 0 thì x + y = – (z + t) ; y + z = – (z + t)
Khi đó P=
Vậy P = 4
P = – 4 khi
4.4.3.3. Tiểu kết
Dạng bài tập này gây tương đối nhiều khó khăn cho học sinh bởi sự suy
luận logic và tính phức tạp của nó. Nhưng với vai trị gợi mở của giáo viên thì
học sinh có được cảm giác của người khám phá ra điều thú vị, cảm xúc của
người chiến thắng. Điều đó chính là động lực kích thích các em, gây hứng khởi
cho các em tiếp tục chinh phục những bài tiếp theo.




4.4.4. Giải bài tốn có lời văn
4.4.4.1. Phƣơng pháp chung
13