de thi HSG toan 9 co dap an

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Phòng GD&ĐT Mộ ĐứC <b>kỳ thi chọn học sinh </b>

Môn Toán líp 9

TR<i>ƯỜNG THCS ĐỨC HỒ</i>

<b>(Thêi gian lµm bµi : 150 phút)</b>

(khụng k thi gian giao )

Đề bài

<b>Bi 1(5 im)</b>

<b>a) </b>

<b>tìm</b>

<b> hai s</b>

<b>ố</b>

<b>nguyên</b>

<b> t</b>

<b>ố p và q sao cho p</b>

<b>2</b>

<b>=8q + 1</b>

<b>b)chứng minh 10</b>

<b>n</b>

<b>_{+18n-28 chia hết cho 27}</b>

<b>Bµi 2 (4 điểm) </b>

Cho hệ phơng trình

ax<i></i>2<i>y</i>=<i>a</i>
<i></i>2<i>x</i>+<i>y</i>=<i>a</i>+1

{

a, Giải hệ phơng trình khi

<i>a</i>=

√

2

.

b, Tìm

<i>a</i>

để hệ có nghiệm thoả mãn

<i>x − y</i>=1

.

<b>Bài 3 (3 điểm) </b>

Cho bốn số thực

<i>a , b , c , d</i>

thoả mãn đồng thời:

<i>a+b</i>+c+d=7

vµ

<i>_a</i>2₊<i>_b</i>2₊<i>_c</i>2₊<i>_d</i>2₌₁₃

. Hái

<i>a</i>

cã thĨ nhËn giá trị lớn nhất là

bao nhiêu?

<b>Bi 4 (4 im) </b>

Từ điểm K bất kì trên đờng trịn tâm O đờng kính AB =

2R. Vẽ KH vng góc với tiếp tuyến Bx của đờng trịn. Giả sử góc KAB

bằng

<i>α</i>

độ ( 0 <

<i>α</i>

< 90 ).

a, TÝnh KA, KB, KH theo R vµ

<i>α</i>

.

b, TÝnh KH theo R vµ 2

<i>α</i>

.

c, Chøng minh r»ng: cos 2

<i>α</i>

_{= 1}

–

2sin

2 <i>α</i>

cos 2

<i>α</i>

= 2 cos

2 <i>_α</i>

_{- 1}

<b>Bài 5 (4 điểm)</b>

Cho đờng trịn tâm O bán kính R, A là điểm cố định trên

đờng tròn. Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy điểm M bất kì trên Ax, vẽ tiếp tuyến

thứ hai MB với đờng tròn (B là tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của MA,

BI cắt đờng tròn ở K, tia MK cắt đờng tròn ở C. Chứng minh rằng:

a, Tam giác MIK đồng dạng với tam giác BIM.

b, BC song song với MA.

c, Khi điểm M di động trên Ax thì trực tâm H của tam giác

MAB thuc ng trũn c nh.

Môn Toán lớp 9

<b>Bài 1( </b>

<i><b>5 ®iĨm</b></i>

<b> ) </b>

a, ( 2.5

®iĨm )

P

2

_{= 8q + 1 => (p+1)(p-1)=8q}

8q+1 l

ẻ

=> p

2

_l

ẻ

_{=> p=2k+1}

Do

đó k(k+1)=2q

=>p có dạng 4t+1 hoặc 4t-1 và

q có dạng : t(2t+1) hoặc t(2t-1)

p,q nguyên tố => p=5; q=3

vậyp=5;q=3

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

b, (2.5 ®iĨm)

Ta có th

ể

vi

ế

t : 10

n

_{+18n-28= 9(10}

n-1

₊₁₀

n-2

_...+10

2

_{+1) + 18n -27}

=9((9+1)

n-1

_{+ ...(9+1)}

2

_{+ (9+1)+1) + 18n-27}

=9(9k+n) +18n - 27

=81k +27n-27 chia h

ế

t cho 27

v

ạ

y: 10

n

_{+18n-28 chia h}

ế

_{t cho 27}

0,25đ

0,25

0,25

0,25

0,25

<b>Bài 2 (4 điểm)</b>

a, (2 điểm)

Thay a =

_√

2

vào hệ phơng trình đợc:

¿

√

2<i>x −</i>2<i>y</i>=

_√

2
<i>−</i>2<i>x</i>+<i>y</i>=

√

2+1

¿{
¿

0,25®

¿

√

2<i>x −</i>2<i>y</i>=

_√

2
<i>−</i>4<i>x</i>+2<i>y</i>=2

√

2+2

¿{
¿

0,25®

¿

(

_√

2<i>−</i>4)<i>x=</i>3

_√

2+2

√

2<i>x −</i>2<i>y=</i>

√

2

¿{

¿

0,25®

Tìm đợc

<i>x</i>=3

√

2+2

√

2<i>−</i>4

0,5®

Tìm đợc

<i>y</i>=2+3

√

2

√

2<i>−</i>4

0,5®

KL

0,25®

b, (2 ®iĨm)

Từ x

–

y = 1

<i>⇒</i>

y = x

–

1 thay vào hệ PT đợc

¿

ax<i>−</i>2(<i>x −</i>1)=<i>a</i>
<i>−</i>2<i>x</i>+(<i>x −</i>1)=<i>a</i>+1

¿{
¿

0,25®

¿
(<i>a −</i>2)<i>x</i>=<i>a −</i>2

<i>− x</i>=<i>a</i>+2
¿{

¿

<i>⇒</i>

a

2

_{+ a - 6 = 0}

0,5®

(a

–

2)(a + 3) = 0

0,5đ

Tỡm c a= -3; 2

0,5

KL

0,25đ

<b>Bài 3 (3 ®iÓ</b>

m)

Tõ a +b+c+d = 7

<i>⇒</i>

b+c+d = 7

–

a

0,25®

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

mµ (b

–

c )

2 ₀

_{; (c - d )}

2 ₀

_{;(d - b )}

2 ₀

_;

<i>⇒</i>

b

2

_{+ c}

2

_{2bc; c}

2

_{+ d}

2

_{2cd; d}

2

_{+ b}

2

_2bd;

0,75®

Từ đó (b+c+d)

2

_3(b

2

_{+ c}

2

_{+ d}

2

₎

_0,5đ

<i>⇒</i>

_{(7 - a)}

2

₃₍₁₃

–

_a

2

₎

0,25®

(a

–

1)(a-

5₂

)

0

0,5®

Tìm đợc 1

a

5₂

0,25đ

do đó a có thể nhận giá tr ln nht l

5₂

0,25

<b>Bài 4 (4 điểm)</b>

a, (1,5 ®iĨm)

Lập luận để có

<i>∠</i>

AKB = 90

0

_(0,25đ);

<i>_∠</i>

_{KAB =}

<i>_∠</i>

_{KBH (0,25đ);}

Xét

<i></i>

AKB vuông tại H có

KA = AB cos

<i>α</i>

= 2R cos

<i>α</i>

(0,25®);

KB = AB sin

<i>α</i>

= 2R sin

<i>α</i>

(0,25®);

XÐt

<i></i>

KHB vuông tại H có

KH = KB sin

<i>α</i>

(0,25®) = 2R sin

2 <i>_α</i>

_(0,25®);

b, (1 ®iĨm)

VÏ KO; KC

AB xÐt

<i>Δ</i>

KCO vu«ng tại C có OC = OK cos2

<i></i>

(0,5đ);

Lập luËn cã KH = CB (0,25®) = R - Rcos2

<i>α</i>

= R(1 - cos2

<i>α</i>

) (0,25®);

c, (1,5 ®iĨm)

Theo c©u a cã KH = 2R sin

2 <i>_α</i>

_{theo c©u b cã KH = R(1 - cos2}

<i>_α</i>

₎

(0,25®);

nên 2R sin

2 <i>_α</i>

_{= R(1 - cos2}

<i>_α</i>

_{) (0,25đ) do đó cos2}

<i>_α</i>

_{= 1 - 2sin}

2 <i>_α</i>

(0,25®);

Mặt khác áp dụng định lí Pitago vào tam giác AKB vuông tại K chứng

minh đợc

sin

2 <i>_α</i>

_{+ cos}

2 <i>_α</i>

_{= 1 nªn sin}

2 <i>_α</i>

_{= 1 - cos}

2 <i>_α</i>

_(0,25®);

Từ đó có cos2

<i>α</i>

_{= 1}

–

2(1

–

cos

2 <i>_α</i>

_{) = 2 cos}

2 <i>_α</i>

_{- 1 (0,5đ);}

<b>Bµi 5 (4 ®iĨm)</b>

a, (2 ®iĨm)

Chứng minh đợc

<i>Δ</i>

IAK đồng dạng với

<i>Δ</i>

IBA (0,5đ)

<i>⇒</i>

IA

2

_{= IK.IB , mà I là trung điểm của AM}

nên IM

2

_{= IK.IB (0,5®)}

Chứng minh đợc

<i>Δ</i>

MIK đồng dng vi

<i></i>

BIM (1)

b, (1điểm)

Từ câu a

<i>⇒</i> <i>∠</i>

IMK =

<i>∠</i>

MBI , l¹i cã

<i>∠</i>

MBI =

<i>∠</i>

BCK(0,5®);

<i>⇒</i> <i>∠</i>

IMK =

<i>∠</i>

BCK

<i>⇒</i>

BC // MA(0,5®);

c, (1 ®iĨm)

H là trực tâm của

<i></i>

MAB

<i></i>

tứ giác AOBH là hình thoi (0,5đ);

<i></i>

AH = AO =R

<i>⇒</i>

H

(A;R) cố định



<b>x</b>

<b>H</b>
<b>K</b>

<b>C</b>

<b>O</b> <b>_B</b>

<b>A</b>

<b>C</b>
<b>K</b>

<b>I</b>

<b>O</b>

<b>B</b>

<b>x</b>

<b>M</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4></div>

<!--links-->