TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN LÝ LỚP 9

Trường THCS Hiệp Sơn

Tài liệu BD HSG Lí 9

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN MẠCH CẦU ĐIỆN TRỞ
1. Kh¸i quát về mạch cầu điện trở, mạch cầu cân bằng
và mạch cầu không cân bằng.
Mch cu l mch dựng phổ biến trong các phép đo chính xác ở phịng thí nghiệm điện.
− Mạch cầu được vẽ như (H - 0.a) và (H - 0.b)

−
Các
điện trở R1, R2, R3, R4 gọi là các cạnh của
mạch cầu điện trở R5 có vai trò khác biệt gọi là đường chéo của mạch cầu (người ta khơng tính
thêm đường chéo nối giữa A – B. Vì nếu có thì ta coi đường chéo ú mc song song vi mch
cu).

Mạch cầu có thể phân thành hai loại
Mch cu cõn bng (Dựng trong phộp đo lường điện). I5 = 0 ; U5 = 0
 Mạch cầu khơng cân bằng: Trong đó mạch cầu khơng cân bằng được phân làm 2 loại:
−

Loại có một trong 5 điện trở bằng khơng (ví dụ một trong 5 điện trở đó bị nối tắt, hoặc thay vào
đó là một ampe kế có điện trở ằng khơng ). Khi gặp loại bài tập này ta có thể chuyển mạch về
dạng quen thuộc, rồi áp dụng định luật ôm để giải.

−

Loại mạch cần tổng qt khơng cân bằng có đủ cả 5 điện trở, thì khơng thể giải được nếu ta chỉ
áp dụng định luật Ôm, loại bài tập này được giải bằng phương pháp đặc biệt ( Trình bày mc 2.3)

Vậy điều kiện cân bằng là gì ?
Cho mạch cầu điện trở như (H1.1)
 Nếu qua R5 có dịng I5 = 0 và U5 = 0 thì các điện trở nhánh lập
thành tỷ lệ thức :

R1 R 2
=
= n = const
R3 R4

 Ngược lại nếu có tỷ lệ thức trên thì I5 = 0 và U5 = 0, ta có mạch cầu cân bằng.


Tãm l¹i: Cần ghi nhớ

 Nếu mạch cầu điện trở có dịng I5 = 0 và U5 = 0 thì bốn điện trở nhánh của mạch cầu lập thành tỷ
lệ thức:

R1 R 2
=
= n (n là hằng số) (*)
R3 R4

(Với bất kỳ giá trị nào của R5.).

Khi đó nếu biết ba trong bốn điện trở nhánh ta sẽ xác định được điện trở còn lại.
Trang 1


Trường THCS Hiệp Sơn

Tài liệu BD HSG Lí 9

 Ngược lại: Nếu các điện trở nhánh của mạch cầu lập thành tỷ lệ thức tên, ta có mạch cầu cân
bằng và do đó I5 = 0 và U5 = 0
Khi mạch cầu cân bằng thì điện trở tương đương của mạch luôn được xác định và không phụ
thuộc vào giá trị của điện trở R 5 . Đồng thời các đại lượng hiệu điện thế và không phụ thuộc vào
điện trở R5. Lúc đó có thể coi mạch điện khơng có điện trở R 5 và bài tốn được giải bình
thường theo định luật Ơm.
Biểu thức (*) chính là điều kin mch cu cõn bng.

2. Phơng pháp tính điện trở tơng đơng của mạch cầu.
Tớnh in tr tng đương của một mạch điện là một việc làm cơ bản và rất quan trọng, cho dù
đầu bài có yêu cầu hay khơng u cầu, thì trong q trình giải các bài tập điện ta vẫn thường
phải tiến hành công việc này.


Với các mạch điện thơng thường, thì đều có thể tính điện trở tương đương bằng một trong
hai cách sau.

 Nếu biết trước các giá trị điện trở trong mạch và phân tích được sơ đồ mạch điện (thành các đoạn
mắc nối tiếp, các đoạn mắc song song) thì áp dụng cơng thức tính điện trở của các đoạn mắc nối
tiếp hay các đoạn mắc song song.
 Nếu chưa biết hết các giá trị của điện trở trong mạch, nhưng biết được Hiệu điện thế ở 2 đầu
đoạn mạch và cường độ dịng điện qua đoạn mạch đó, thì có thể tính điện trở tương đương của
mạch bằng cơng thức định luật Ôm.

− Tuy nhiên với các mạch điện phức tạp như mạch cầu, thì việc phân tích đoạn mạch này về dạng
các đoạn mạch mới nối tiếp và song song là khơng thể được. Điều đó cũng có nghĩa là khơng
thể tính điện trở tương đương của mạch cầu bằng cách áp dụng, các cơng thức tính điện trở của

đoạn mạch mắc nối tiếp hay đoạn mạch mắc song song. Vậy ta phải tính điện trở tương đương
của mạch cầu bằng cách nào?


Với mạch cầu cân bằng thì ta bỏ qua điện trở R5 để tính điện trở tương đương của mạch cầu.



Với loại mạch cầu có một trong 5 điện trở bằng 0, ta luôn đưa được về dạng mạch điện có các
đoạn mắc nối tiếp, mắc song song để giải.



Loại mạch cầu tổng quát không cân bằng thì điện trở tương đương được tính bằng các phng
phỏp sau.

Phơng án chuyển mạch.
Thc cht l chuyn mch cu tổng quát về mạch điện tương đương (điện trở tương đương của
mạch không thay đổi). Mà với mạch điện mới này ta có thể áp dụng các cơng thức tính điện trở của
đoạn mạch nối tiếp, đoạn mạch song song để tính điện trở tương đương.
− Muốn sử dụng phương pháp này trước hết ta phải nắm được công thức chuyển mạch (chuyển từ
mạch sao thành mạch tam giác và ngược lại từ mạch tam giác thành mạch sao). Công thức
chuyển mạch - Định lý Kennơli.
Trang 2


Trường THCS Hiệp Sơn

Tài liệu BD HSG Lí 9

Cho hai sơ đồ mạch điện, mỗi mạch điện được tạo thành từ ba điện trở .
( H2.1a mạch tam giác (∆) ;
H2.1b - Mạch sao (Y) )



 Với các giá trị thích hợp của điện trở có thể thay thế mạch này bằng mạch kia, khi đó hai mạch
tương đương nhau. Cơng thức tính điện trở của mạch này theo mạch kia khi chúng tương đương
nhau như sau:

 Biến đổi từ mạch tam giác R1, R2, R3 thành mạch sao R’1, R’2, R’3
R 2 .R 3
R1 + R 2 + R 3
R 1.R 2
R 3' =
R1 + R 2 + R 3
R 1' =

(1)
(3)

R '2 =

;

R1.R 3
R1 + R 2 + R 3

(2)

( Ở đây R’1, R’2, R’3 lần lượt ở vị trí đối diện với R1,R2, R3 )

 Biến đổi từ mạch sao R’1, R’2, R’3 thành mạch tam giác R1, R2, R3
R1 =

R1' .R '2 + R '2 .R 3' + R 1' .R 3'
R 1'

(4)

R2 =

R1' .R '2 + R '2 .R 3' + R1' .R 3'
R '2

(5)

R3 =

R 1' .R '2 + R '2 .R 3' + R 1' .R '3
R 3'

(6)

− Áp dụng vào bài toán tính điện trở tương đương
của mạch cầu ta có hai cách chuyển mạch như sau:

C¸ch 1:
Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát ta chuyển mạch tam giác R 1, R3, R5 thành mạch sao :R’1; R’3; R’5
(H2.2a) Trong đó các điện trở R 13, R15, R35 được xác định theo công thức: (1); (2) và (3) từ sơ đồ

mạch điện mới (H2.2a) ta có thể áp dụng cơng thức tính điện trở của đoạn mạch mắc nối tiếp, đoạn
mạch mắc song song để tính điện trở tương đương của mạch AB, kết quả là:
R AB = R 5' +

(R 3' + R 2 )(R 1' + R 4 )
(R 3' + R 2 ) + (R 1' + R 4 )

C¸ch 2:
Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát ta chuyển mạch sao R1, R2 , R5

Trang 3


Trường THCS Hiệp Sơn

Tài liệu BD HSG Lí 9

thành mạch tam giác R’1, R’2 , R’5 (H2.2b ). Trong đó các điện trở R’1, R’2, R’3 được xác định theo
công thức (4), (5) và(6). Từ sơ đồ mạch điện mới (H 2.2b) áp dụng cơng thức tính điện trở tương
R 3 .R '2
R '1 .R 4
+
)
R 3 + R '2 R 1 + R '4
=
R .R '
R '1 .R 4
R '5 + ( 3 2 +
)
R 3 + R '2 R 1 + R ' 4

R '5 (

đương ta cũng c kt qu: R AB

Phơng pháp dùng định luật Ôm.
Từ biểu thức: I =

U
R

suy ra R =

U
      (*)
I

 Trong đó: U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch.
I là cường độ dịng điện qua mạch chính.
 Vậy theo cơng thức (*) nếu muốn tính điện trở tương đương (R) của mạch thì trước hết ta phải
tính I theo U, rồi sau đó thay vào cơng thức (*) sẽ được kết quả.
( Có nhiều phương pháp tính I theo U sẽ được trình bày chi tiết ở mục sau ).
 Xét ví dụ cụ thể:
Cho mạch điện như hình H . 2.3a.
Biết R1 = R3 = R5 = 3 Ω, R2 = 2 Ω; R4 = 5 Ω
a. Tính điện trở tương đương của đoạn mạch AB.
b. Đặt vào hai đầu đoạn AB một hiệu điện thế không
đổi U = 3 (V). Hãy tính cường độ dịng điện qua
các điện trở và hiệu điện thế ở hai đầu mỗi in tr.

Phơng pháp 1: Chuyn mch.

Cách 1: Chuyn mch tam giác R1; R3 ; R5 thành
mạch sao R’1 ; R’3 ; R’5 (H2.3b) Ta có:
R1. .R 3
3.3
=
= 1(Ω)
R1 + R 2 + R 3 3 + 3 + 3
R 1.R 5
R 3' =
= 1(Ω)
R1 + R 3 + R 5
R 3 .R 5
R 1' =
= 1(Ω)
R1 + R 3 + R 5
R 5' =

Suy ra điện trở tương đương của đoạn mạch AB là :
R AB

(R 3' + R 2 )(R 1' + R 4 )
(1 + 2)(1 + 5)
=R + '
= 1+
= 3Ω
'
(R 1 + R 2 ) + (R 1 + R 4 )
(1 + 2) + (1 + 5)
'
5

C¸ch 2: Chuyển mạch sao R1; R2; R5 thành mạch tam giác

R 1' ; R '2 ; R 3' (H2.3c). Ta có:

R1.R 2 + R 2 .R 5 + R1.R 5 3.2 + 2.3 + 3.3
=
= 7Ω
R1
3
R .R + R 2 .R 5 +R1.R 5
R .R + R 2 .R 5 + R 1.R 5
R '2 = 1
= 10,5(Ω)
;
   R 5' = 1
= 7(Ω)
R2
R5
R 1' =

Trang 4


Trường THCS Hiệp Sơn
'
1

R .R3
R .R 4

+ '
)
'
R 2 + R 3 R1 + R 4
=
= 3( Ω)
R ' .R
R ' .R
R 5' + ' 2 3 + ' 1 4
R 2 + R 3 R1 + R 4
R 5' (

Suy ra: R AB

Ti liu BD HSG Lớ 9

'
2

Phơng pháp 2: Dùng cơng thức định luật Ơm.
Từ cơng thức: I AB =

U AB
U
⇒ R = AB
R AB
IAB

( *)

− Gọi U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch AB ; I là cường độ dòng điện qua đoạn mạch AB
Biểu diễn I theo U
Đặt I1 là ẩn số, giả sử dịng điện trong mạch có chiều như hình vẽ (H2.3d)
Ta lần lượt có:
U1 = R1 I1 = 3 I1
I2 =

(1)

U 2 U − 3I1
=
R2
2

U 5 = I.R 5 =

15I1 − 3U
2

;

U 2 = U – U1 = U – 3 I 1
5I1 − U
2

(3)

;

I5 = I1 − I2 =

(5)

;

U3 = U1 + U 5 =

;

U4 = U − U3 =

I3 =

U 21I1 − 3U
=
R3
6

(7)

I4 =

U 4 5U − 21.I1
=
R4
10

(9)

Tại nút D, ta có: I4 = I3 + I5 ⇔

21I1 − 3U
2

5U − 21I1
2

5U − 21.I1
21I1 − 3U 5I1 − U
=
+
            10
( )
10
6
2

(2)
(4)

(6)
(8)

5U
⇒ I1 =     
27

(11)  

4

U
Thay (11) vào (7) ta được: I3 = 27

Suy ra cường độ dòng điện mạch chính. I = I1 + I3 =

5U 4U 1
+
= U              12
( )
27 27 3

Thay (12) vào (*) ta được kết quả: RAB = 3 (Ω)
5
9

b. Thay U = 3 V vào phương trình (11) ta được: I1 = (A)
Thay U = 3(V) và I1 =
2
I 2 = (A)
3

I3 =

U1 = U 4 =



4
(A)
9

5
( V)
3

5
(A) vào các phương trình từ (1) đến (9) ta được kết quả:
9
1
I 4 = (A)
3
U 2 = U3 =

I5 =

4
( V)
3

−1
−1
(A) ( I5 =
có chiều từ C đến D)
9
9
U5 = U X =

1
( V) ;
3

Lu ý
Trang 5


Trường THCS Hiệp Sơn

Tài liệu BD HSG Lí 9

 Cả hai phương trình giải trên đều có thể áp dụng để tính điện trở tương đương của bất kỳ mạch
cầu điện trở nào. Mỗi phương trình giải đều có những ưu điểm và nhược điểm của nó. Tuỳ từng
bài tập cụ thể ta lựa chọn phương pháp giải cho hợp lý.
 Nếu bài tốn chỉ u cầu tính điện trở tương đương của mạch cầu (chỉ câu hỏi a) thì áp dụng
phương pháp chuyển mạch để giải, bài toán sẽ ngắn gọn hơn.
 Nếu bài tốn u cầu tính cả các giá trị dòng điện và hiệu điện thế (hỏi thêm câu b) thì áp dụng
phuơng pháp thứ hai để giải bài toán, bao giờ cũng ngắn gọn, dễ hiểu và lô gic hơn.
 Trong phương pháp thứ 2, việc biểu diễn I theo U liên quan trực tiếp đến việc tính tốn các đại
lượng cường độ dịng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu. Đây là một bài tốn khơng hề đơn
giản mà ta rất hay gặp trong khi giải các đề thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh. Vậy có những phương
pháp nào để giải bài tốn tính cường độ dịng điện và hiệu điện thế trong mch cu.
3. phơng pháp giải toán tính cờng độ dòng điện và hiệu điện
thế trong mạch cầu
Vi mch cu cõn bằng hoặc mạch cầu khơng cân bằng mà có 1 trong 5 điện trở bằng 0
(hoặc lớn vơ cùng) thì đều có thể chuyển mạch cầu đó về mạch điện quen thuộc (gồm các
đoạn mắc nối tiếp và mắc song song). Khi đó ta áp dụng định luật Ơm để giải bài tốn này
một cách đơn giản.
Ví dụ: Cho các sơ đồ các mạch điện như hình vẽ: (H.3.1a); (H. 3.1b); (H3.1c); (H3.1d) biết các vôn
kế và các am pe kế là lý tưởng.

Ta có thể chuyển các sơ đồ mạch điện trên thành các sơ đồ mạch điện tương đương, tương ứng với

các hình H.3.1a’; H.3.1b’; H.3.1c’; H.3.1d’.

Từ các sơ đồ mạch điện mới, ta có thể áp dụng định luật Ơm để tìm các đại lượng mà bài tốn u
cầu:
 Lu ý.
Các bài loại này có nhiều tài liệu đã trình bày, nên trong đề tài này khơng đi sâu vào việc phân
tích các bài tốn đó tuy nhiên trước khi giảng dạy bài toán về mạch cầu tổng quát, nên rèn cho
học sinh kỹ năng giải các bài tập loại này thật thành thạo.
Với mạch cầu tổng qt khơng cân bằng có đủ cả 5 điện trở, ta không thể đưa về dạng
mạch điện gồm các đoạn mắc nối tiếp và mắc song song. Do đó các bài tập loại này phải
có phương pháp giải đặc biệt - Sau đây là một số phương pháp giải cụ thể:
Trang 6


Trng THCS Hip Sn

Ti liu BD HSG Lớ 9

Bài toán 3:
Cho mạch điện hư hình vẽ (H3.2a) Biết U = 45V
R1 = 20Ω, R2 = 24Ω ; R3 = 50Ω ; R4 = 45Ω R5 là một biến trở
1. Tính cường độ dòng điện và hiệu điện thế của mỗi điện trở
và tính điện trở tương đương của mạch khi R5 = 30Ω
2. Khi R5 thay đổi trong khoảng từ 0 đến vơ cùng, thì điện
trở tương đương của mạch điện thay đổi như thế nào?
1. Tính cường độ dịng điện và hiệu điện thế của mỗi điện trở và tính điện trở tương đương của
mạch khi R5 = 30Ω

Ph¬ng ph¸p 1: Lập hệ phương trình có ẩn số là dịng điện (Chẳng hạn chọn I1 làm ẩn số)
Bíc 1: Chọn chiều dịng điện trên sơ đồ

Bíc 2: áp dụng định luật ôm, định luật về nút, để biễu diễn các đạilượng cònl lại theo ẩn số (I 1)
đã chọn (ta được các phương trình với ẩn số I1 ).

Bíc 3: Giải hệ các phương trình vừa lập để tìm các đại lượng của đầu bài yêu cầu.
Bíc 4: Từ các kết quả vừa tìm được, kiểm tra lại chiều dịng điện đã chọn ở bước 1
 Nếu tìm được I > 0, giữ nguyên chiều đã chọn.
 Nếu tìm được I < 0, đảo ngược chiều đã chọn.

Lêi gi¶i :
− Giả sử dịng điện mạch có chiều như hình vẽ H3.2b
− Chọn I1 làm ẩn số ta lần lượt có:
U1 = R1 . I1 = 20I1

(1)

;

U2 = U – U1 = 45 – 20I1

(2)

U 2 45 − 20I1
44I1 − 45
=
         
 ( 3)                 ;                I5 = I1 − I =
         
 (4)
R2
24

24
20I1 − 225
300I1 − 225
U 5 = R 5 .I5 =
          (5)                  ;              U3 = U1 + U5 =
                 ( 6 )
4
4
U 12I1 − 9
405 − 300 I1
I3 = 3 =
                   ( 7 )                  ;                U 4 =    U −  U 3 =
 
(8)
R3
8
4
U
27 − 20I1
I4 = 4 =
(9)
R4
12
I2 =

− Tại nút D cho biết: I4 = I3 + I5

⇔

27 − 20I1 12I1 − 9 44I1 − 48

=
+
12
8
24

(10)

Suy ra I1= 1,05 (A)
− Thay biểu thức (10) các biểu thức từ (1) đến (9) ta được các kết quả:
I1 = 1(A)

;

I3 = 0,45 (A)

;

I4 = 0,5 (A)

;

I5 = 0,05 (A)
Trang 7


Trường THCS Hiệp Sơn

Tài liệu BD HSG Lí 9

Vậy chiều dòng điện đã chọn là đúng.
 Hiệu điện thế : U1 = 21(V)
U3 = 22,5 (V)

U2 = 24 (V)
UBND = 22,5 (V)

 Điện trở tương đương R AB =

U5 = 1,5 (V)

U
U
45
=
=
= 30Ω
I
I1 + I3 1, 05 + 0, 45

Ph¬ng ph¸p 2: Lập hệ phương trình có ẩn số là hiệu điện thế các bước tiến hành giống như
phương pháp 1. Nhưng chọn ẩn số là Hiệu điện thế. Áp dụng (Giải cụ thể)
− Chọn chiều dòng điện trong mạch như hình vẽ H3.2b
− Chọn U1 làm ẩn số ta lần lượt có:
I1 =

U1 U1
=
R1 20

(1)

U2 = U – U1 = 45 – U1

I2 =

U 2 45 − U1
=
R2
24

(3)

I5 = I1 − I 2 =

(5)

U 3 = U1 + U 5 =

(7)

I3 =

U 5 = I5 .R 5 =

11U1 − 225
4

U 4 = U − U3 =
I4 =

405 − 300U1
4

U 4 27 − U1
=
R4
12

11I1 − U1
120
15U1 − 225
4

U 3 3U1 − 45
=
R3
40

(2)
(4)
(6)
(8)

(9)

− Tại nút D cho biết: I4 = I3 + I5

⇔

27 − U1 3U1 − 45 11U1 − 225
=
+
12
40
120

(10)

Suy ra: U 1 = 21 (V)
Thay U1 = 21 (V) vào các phương trình từ (1) đến (9) ta được kt qu ging ht phng phỏp 1

Phơng pháp 3: Chn gốc điện thế.
Bíc 1: Chọn chiều dịng điện trong mạch
Bíc 2: Lập phương trình về cường độ tại các nút (Nút C và D)
Bíc 3: Dùng định luật ơm, biến đổi các phương trình về VC, VD theo VA, VB
Bíc 4: Chọn VB = 0

⇒ VA = UAB

Bíc 5: Giải hệ phương trình để tìm VC, VDtheo VA rồi suy ra U1, U2, U3, U4, U5
Bíc 6: Tính các đại lượng dòng điện rồi so sánh với chiều dòng điện đã chọn ở bước 1. Áp dụng
− Giả sử dòng điện có chiều như hình vẽ H3.2b

Trang 8


Trường THCS Hiệp Sơn

Tài liệu BD HSG Lí 9

− Áp dụng định luật về nút ở C và D, ta có:

 I1 = I 2 + I5

 I 4 = I3 + I5

(1)
(2)

 VA − VC VC − VD VC − VD
=
+

R
R
R5

1
2
- Áp dụng định luật Ơm, ta có: 
 VD − VB = VA − VD + VC − VD

R3
R5
 R4
− Chọn VD = 0 thì VA = UAB = 45 (V).

 45 − VC VC VC − VD
 20 = 24 + 30              ( 3)  

Hệ phương trình thành: 
 VD = 45 − VD + V C − VD              ( 4 )
 45
50
30
− Giải hệ 2 phương trình (3) và (4) ta được:

VC = 24(V);

Suy ra:

U4 = VD – VB = 22,5 (V)

U2 = VC – VB = 24 (V)

U1 = U – U2 = 21 (V)

U3 = U – UBND = 22,5V

VD = 22,5(V)
U5 = VC – VD = 1,5 (V)

Từ các kết quả vừa tìm được ta dễ ràng tính được các giá trị cường dũng in
(nh Phơng pháp 1).

Phơng pháp 4:
Chuyn mch sao thành mạch tam giác ( Hoặc mạch tam giác thành mạch sao ).
− Chẳng h ạn chuyển mạch tam giác R1 , R3 , R5 thành mạch sao R’1 , R’3 , R’5 ta được sơ đồ mạch
điện tương đương H3.2c (Lúc đó các giá trị RAB, I1, I4, I, U2, U4,UCD vẫn không đổi)
− Các bước tiến hành giải như sau:

Bíc 1: Vẽ sơ đồ mạch điện mới.
Bíc 2: Tính các giá trị điện trở mới (sao R’1 , R’3 , R’5)
Bíc 3: Tính điện trở tương đương của mạch
Bíc 4: Tính cường độ dịng điện mạch chính (I)
Bíc 5: Tính I2, I4 rồi suy ra các giá trị U2, U4.
R +R

1
4
Ta có: I 2 = I.  R +  R +  R ' + R
1
4
3
3

Và:

I 4 = I – I2

Bíc 6: Trở lại mạch điện ban đầu để tính các đại lượng cịn lại.
¸p dơng:
− Từ sơ đồ mạch điện (H - 3.2C) ta có
Trang 9


Trường THCS Hiệp Sơn

Tài liệu BD HSG Lí 9

R '1 =

R 3 .R 5
50.30
=
= 15(Ω)
R 1 + R 3 + R 5 20 + 50 + 30

R '3 =

R 1.R 5
20.30
=
= 6(Ω)
R 1 + R 3 + R 5 20 + 50 + 30

R '5 =

R1.R 3
20.50
=
= 10(Ω)
R 1 + R 3 + R 5 20 + 50 + 30

− Điện trở tương đương của mạch: R AB = R +

(R 3' + R '2 ).(R1' + R '4 )

'

5

− Cường độ dịng điện trong mạch chính: I =
Suy ra: I 2 = I

(R 3' + R '2 ) + (R 1' + R '4 )

= 30(Ω)

U
45
=
= 1,5(A)
R AB 30

(R 1' + R 4 )
= 1(A) ⇔ I4 = I – I2 = 1,5 – 1 = 0,5 (A)
(R 1' + R 4 ) + (R 3' + R 2 )

U2 = I2.R2 = 24 (V)

U4 = I4.R4 = 22,5 (V)

− Trở lại sơ đồ mạch điện ban đầu (H - 3.2 b) ta có kết quả:
Hiệu điện thế: U1 = U – U2 = 21 (V) ; U3 = U – U4 = = 22,5(V) ; U5 = U3 – U1 = 1,5(V)
Và các giá trị dòng điện I1 =

U
U1
= 1, 05(A) ; I3 = 3 = 0, 45(A) ; I5 = I1 I3 = 0,05 (A)

R1
R3

Phơng pháp 5: áp dụng định luật kiếc sốp


Do các khái niệm: Suất điện động của nguồn, điện trở trong của nguồn, hay các bài tập về mạch
điện có mắc nhiều nguồn,… học sinh lớp 9 chưa được học. Nên việc giảng day cho các em hiểu
đày đủ về định luật Kiếc sốp là khơng thể được. Tuy nhiên ta vẫn có thể hướng dẫn học sinh lớp
9 áp dụng định luật này để giải bài tập mạch cầu dựa vào cách phỏt biu sau:

Định luật về nút mạng.
T cụng thc: I = I1+ I2+ … +In(đối với mạch mắc song song), ta có thể phát biểu tổng quát: “ Ở
mỗi nút, tổng các dòng điện đi đến điểm nút bằng tổng cỏc dũng in i ra khi nỳt

Trong mỗi mạch vòng hay mắt mạch.
Cụng thc: U = U1+ U2+ + Un (đối với các điện trở mắc nối tiếp) được hiểu là đúng không
những đối với các điện trở mắc nối tiếp mà có thể mở rộng ra: “ Hiệu điện thế U AB giữa hai điểm A
và B bằng tổng đại số tất cả các hiệu điện thế U 1, U2,… của các đoạn kế tiếp nhau tính từ A đến B
theo bất kỳ đường đi nào từ A đến B trong mạch điện ”
 Vậy có thể nói: “Hiệu điện thế trong mỗi mạch vòng (mắt mạng) bằng tổng đại số độ giảm thế
trên mạch vịng đó”
Trong đó độ giảm thế: UK = IK.RK ( với K = 1, 2, 3, …)
Trang 10


Trường THCS Hiệp Sơn

 Chó ý:

Tài liệu BD HSG Lí 9

 Dòng điện IK mang dấu (+) nếu cùng chiều đi trên mạch
 Dòng điện IK mang dấu (–) nếu ngc chiu i trờn mch.

Các bớc tiến hành giải.

Bớc 1: Chọn chiều dịng điện đi trong mạch
Bíc 2: Viết tất cả các phương trình cho các nút mạng
Và tất cả các phương trình cho các mứt mạng.

Bíc 3: Giải hệ các phương trình vừa lập để tìm các đại lượng dịng điện và hiệu điện thế trong mạch.
Bíc 4: Biện luận kết quả. Nếu dịng điện tìm được là:
IK > 0: ta giữ nguyên chiều đã chọn.
IK < 0: ta đảo chiều đã chọn.

¸p dơng:
− Chọn chiều dịng điện đi trong mạch như hình vẽ H3.2b.

 I1 = I 2 + I5                                      1
( )
− Tại nút C và D ta có: 
 I 4 = I3 + I5                                       ( 2 )
− Phương trình cho các mạch vịng:

 Mạch vòng ACBA:

U = I1.R1 + I2.R2

(3)

 Mạch vòng ACDA:

I1.R1 + I5.R5 – I3.R3 = 0

(4)

 Mạch vòng BCDB:

I4.R4 + I5.R5 – I2.R2 = 0

(5)

− Thay các giá trị điện trở và hiệu điện thế vào các phương trình trên rồi rút gọn, ta được hệ

 I1 = I 2 + I5                                    ( 1’)

 I 4 = I3 + I5                                    ( 2’)

phương trình:  20I1 + 24I 2 = 45             ( 3’ )
2I + 3I = 5I
5
3                            ( 4’)
 1
45I 4 + 30I5 = 24I 2                    ( 5’)

− Giải hệ 5 phương trình trên ta tìm được 5 giá trị dịng điện:
I1 = 1,05(A); I2 = 1(A); I3 = 0,45(A); I4 = 0,5(A) và I5 = 0,05(A)
− Các kết quả dòng điện đều dương do đó chiều dịng điện đã chọn là đúng.
− Từ các kết quả trên ta dễ dàng tìm được các giá trị hiệu điện thế U 1, U2, U3, U4, U5 và RAB

(Giống như các kết quả đã tìm ra ở phương pháp 1)
2. Sự phụ thuộc của điện trở tương đương vào R5

 Khi R5 = 0, mạch cầu có điện trở là:

Trang 11


Trường THCS Hiệp Sơn
R .R
R .R
20.50
24.45
R TÐ = R o = 1 3 + 2 4 =
+
≈ 29,93(Ω)
R 1 + R 3 R 2 + R 4 20 + 50 24 + 45

Tài liệu BD HSG Lí 9

 Khi R5 = ∞, mạch cầu có điện trở là:
R TÐ = R ∞ =

(R 1 + R 2 ).(R 3 + R 4 )
(20 + 24).(50 = 45)
=
≈ 30, 07(Ω)
(R1 + R 2 ) + (R 3 + R 4 ) (20 + 24) + (50 + 45)

− Vậy khi R5 nằm trong khoảng (0, ∞) thì điện trở tương đương nằm trong khoảng (Ro, R∞)

− Nếu mạch cầu cân bằng thì với mọi giá trị R5 đều có RTĐ = R0 = R∞


NhËn xÐt chung.

− Trên đây là 5 phương pháp để giải bài toán mạch cầu tổng quát. Mỗi bài tập về mạch cầu đều có
thể sử dụng một trong 5 phương pháp này để giải. Tuy nhiên với học sinh lớp 9 nên sử dụng
phương pháp lập hệ phương trình với ẩn số là dịng điện (Hoặc ẩn số là hiệu điện thế), thì lời
giải bao giờ cũng ngắn gọn, dễ hiểu và lơgíc hơn.

− Để cho học sinh có thể hiểu sâu sắc các tính chất của mạch cầu điện trở, cũng như việc rèn
luyện kỹ năng giải các bài tập điện một chiều, thì nhất thiết giáo viên phải hướng dẫn các em
hiểu và vận dụng tốt cả 5 phương phương pháp trên. Các phương pháp đó khơng chỉ phục vụ
cho việc ơn thi học sinh giỏi vật lý lớp 9 mà cả chương trình Vật Lý lớp 11 và ôn thi Đại học
cũng gặp rất nhiều bài tập phải áp dụng các phương pháp này mớ gii c.

4. Bài toán cầu dây
Mch cu dõy là mạch điện có dạng như hình vẽ H4.1. Trong đó
hai điện trở R3 và R4 có giá trị thay đổi khi con chạy C dịch
chuyển dọc theo chiều dài của biến trở
(R3 = RAC; R4 = RCB). Mạch cầu dây được ứng dụng để đo
điện trở của 1 vật dẫn.

− các bài tập về mạch cầu dây rất đa dạng; phức tạp và phổ biến
trong chương trình Vật lý nâng cao lớp 9 và lớp 11.Vậy sử dụng mạch cầu dây để đo điện trở
như thế nào? Và phương pháp để giải bài tập về mạch cầu dây như th no?

Phơng pháp đo điện trở của vật dẫn bằng mạch dây cầu
Bài toán 4:
o giỏ tr ca in trở Rx người ta dùng một điện trở mẫu Ro,

một biến trở ACB có điện trở phân bố đều theo chiều dài, và một
điện kế nhạy G, mắc vào mạch như hình vẽ H 4.2. Di chuyển con
Trang 12


Trường THCS Hiệp Sơn

Tài liệu BD HSG Lí 9
l2
chạy C của biến trở đến khi điện kế G chỉ số 0 đo l 1 ; l2 ta được kết quả: R X = R 0 . hãy giải thích
l1

phép đo này ?

Lêi gi¶i.
− Trên sơ đồ mạch điện, con chạy C chia biến trở (AB) thành hai phần.

 Đoạn AC có chiều dài l1, điện trở là R1
 Đoạn CB có chiều dài l2, điện trở là R2

− Điện kế cho biết khi nào có dịng điện chạy qua đoạn dây CD.

− Nếu điện kế chỉ số 0, thì mạch cầu cân bằng, khi đó điện thế ở điểm C bằng điện thế ở điểm D.
Do đó: VA – VD = VA – VC
Hay
UAn = UAC ⇒ R0I0 = R4 I1
Ta được:

R 0 I1
=

R1 I0

(1)

(Với I0, I1 lần lượt là dòng điện qua R0 và R4)
R

I

 Tương tự: U AB = U BC ⇒ R X .I 0  = R 2 .I 2   ⇔   RX = I1            ( 2 )
2
0
R

R

R .R 2

0
 Từ (1) và (2) ta được: R0 = RX ⇒ R X = R
1
2
1

(3)

− Vì đoạn dây AB là đồng chất, có tiết diện đều nên điện trở từng phàn được tính theo cơng thức.
l
l
  R

l
l
R 1 = ρ 1     và     R 2 = ρ 2     ⇒ 2 = 2               ( 4 ) Thay (4) vào (3) ta được kết quả: R X = R 0 . 2
S
S
R1 l1
l1



Chó ý.

Đo điện trở của vật dẫn bằng phương pháp trên cho kết quả có độ chính xác rất cao và đơn giản
nên được ứng dụng rộng rãi trong phịng thí nghiệm

C¸c bài toán thờng gặp về mạch dây
cầu.
Bài toán 5
Cho mch điện như hình vẽ H4.3. Điện trở của am pe kế và
dây nối khơng đáng kể, điện trở tồn phần của biến trở .
a. Tìm vị trí ucả con chạy C khi biết số chỉ của ampekế (IA) ?
b. Biết vị trí con chạy C, tìm số chỉ của ampe k ?

Phơng pháp
Cỏc in tr trong mch in dc mc như sau: (R1//RAC) nt (R2 // RCB)
a. Đặt x = RAC (0< x< R)


Trường hợp 1: Nếu bài toán cho biết số chỉ của ampe kế IA = 0

Thì mạch cầu cân bằng, lúc đó ta có điều kiện cân bằng.
Giải phương trình (1) ta sẽ tìm được: RAC = x

Trường hợp 2: Am pe kế chỉ giá trị IA ≠ 0

R1
R2
=
                       1
( )
X R−X

Trang 13


Trường THCS Hiệp Sơn

Tài liệu BD HSG Lí 9

Viết phương trình dịng điện cho hai nút C và D. Rồi áp dụng định luật ơm để chuyển hai phương
trình đó về dạng có ẩn sóo là U1 và x.

 Nút C cho biết: IA = ICB − IX =

U − UX UX
U − U1 U1
−
⇔ IA =
−
                   ( 2 )

R−X
X
R −X X

 Nút D cho biết: IA   = I1 − I 2 ⇔ I A   =

U1 U − U1
−
                       ( 3)
R1
R2

(Trong đó các giá trị U, Ia, R, R1, R2 đầu bài cho trước )
− Xét chiều dòng điện qua ampe kế (nếu đầu bài không cho trước), để giải phương trình (3) tìm
giá trị U1, rồi thay vào phương trình (2) để tìm x.
− Từ giá trị của x ta tìm được vị trí tương ứng con chạy C.
b. Vì đầu bài cho biết vị trí con chạy C, nên ta xác định được điện trở R AC và RCB.

− Mạch điện: (R// RAC ) nt (R2 //RCB)
Áp dụng định luật ơm ta dễ dàng tìm được I1và I2. Suy ra số chỉ của Ampe kế: IA = I1 - I2

Bài tập áp dụng.
Cho mch in nh hỡnh vẽ H4.4. Biết U = 7V không đổi.R1 = 3Ω,
R2= 6Ω. Biến trở ACB là một dây dẫn có điện trở suất là δ= 4.106
(Ω m), chiều dài l = AB = 1,5m, tiết diện đều: S = 1mm2
a. Tính điện trở toàn phần của biến trở
b. Xác định vị trí con chạy C để số chỉ của ampe kế bằng 0
c. Con chạy C ở vị trí mà AC = 2CB, hỏi lúc đó ampe kế chỉ bao nhiêu?
d. Xác định vị trí con chạy C để ampe kế chỉ

Lêi gi¶i.

1
(A)
3

l
1,5
= 4.10−6 −6 = 6 (Ω)
S
10
R1
R
= 2
b. Ampe kế chỉ số 0 thì mạch cầu cân bằng, khi đó:
R AC R CB
3
6
Đặt x = RAC ⇒ RCB = 6 – x ⇒ =
. Suy ra x = 2 (Ω)
x 6− x
R .S
Với RAC = x = 2Ω thì con chạy C ở cách A một đoạn bằng: AC = AC. = 0,5(m)
ρ

a. Điện trở toàn phần của biến trở: R AB = δ

Vậy khi con chạy C cách A một đoạn bằng 0,5m thì ampe kế chỉ số 0
c. Khi con chạy ở vị trí mà AC = 2CB, ta dễ dàng tính được RAC = 4 (Ω)
Cịn RCB = 2 (Ω). VT RA = 0 ⇒ Mạch điện (R1 //RAC ) nt (R2 //RCB)

R1. .R AC
R .R
12 12 45
+ 2. CB = + =
(Ω)
R 1 + R AC R 2 + R CB 7 8 14
U
7 98
I=
=
= (A)
− Cường độ dịng điện trong mạch chính: R T Ð 45 45
14

− Điện trở tương đương của mạch: R T Ð =

Trang 14


Trường THCS Hiệp Sơn
R AC
98 4 56
I1 = I.
= . = (A)
Suy ra:
R1 + R AC 45 7 45
I2 = I

Tài liệu BD HSG Lí 9

R CB
98 2 49
= . =
( A)
R 2 + R CB 45 8 90

Vì: I1 > I2, suy ra số chỉ của ampe kế là: I A = I1 − I 2 =

56 49 7
−
= ⇒ I A = 0, 7 ( A )
45 90 10

Vậy khi con chạy C ở vị trí mà AC = 2CB thì ampe kế chỉ 0,7 (A)
d. Tìm vị trí con chạy C để ampe kế chỉ

1
(A)
3

− Vì: RA = 0 => mạch điện (R1// RAC) nt (R2 // RCB)
Suy ra: Ux = U1

 Phương trình dịng điện tại nút C: IA = ICB − I x =
 Phương trình dịng điện tại nút D: IA = I1 − I 2 =


U − U1 U1
7 − U1 U1
−

⇔ IA =
−
           1
( )
R −X
X
6 −X
X

U1 U − U1
U 7 − U1
−
⇔ IA = 1 −
              ( 2 )
R1
R2
3
6

Trường hợp 1:

Ampe kế chỉ IA =

1
3 (A) D đến C

− Từ phương trình (2) ta tìm được U1 = 3 (V)
− Thay U1 = 3 (V) vào phương trình (1) ta tìm được x = 3 (Ω)
− Với RAC = x = 3Ω ta tìm được vị trí của con chạy C cách A một đoạn bằng AC = 75 (m)


Trường hợp 2:

1
(A) chiều từ C đến D
3
5
− Từ phương trình (2) ta tìm được U1 = (V)
3
5
− Thay U1 = (V) vào phương trình (1) ta tìm được x ≈ 1,16 (Ω)
3

Ampe kế chỉ IA =

− Với RAC = x = 1,16 Ω , ta tìm được vị trí của con chạy C cách A một đoạn bằng AC ≈ 29 (cm)
Vâỵ tại các vị trí mà con chạy C cách A một đoạn bằng 75 (cm) hoặc 29 (cm) thì am pe k ch

1
(A) .
3

Bài toán 6:
Cho mch in nh hình vẽ H4.3. Hiệu điện thế ở hai đầu đoạn
mạch là U khơng đổi. Biển trở có điện tồn phần là R, vơn kế có
điện trở rất lớn
a. Tìm vị trí con chạy C, khi biết số chỉ của vơn kế
b. Biết vị trí con chạy C, tìm số chỉ ca vụn k

Phơng pháp.

Vỡ vụn k cú in tr rất lớn nên mạch điện có dạng (R1 nt R2) // RAB
Trang 15


Trường THCS Hiệp Sơn

Tài liệu BD HSG Lí 9

a. Tìm vị trí con chạy C
− Với mọi vị trí của C, ta ln tìm được: U1 = U.

R1
R1 + R 2

;

I AC =

U
R

− Xét hai trường hợp: UAC = U1 + UV và UAC = U1 - UVư
Mỗi trường hợp ta ln có: R AC =

U AC
TAC

Từ giá trị của RAC ta tìm được vị trí tương ứng của con chạy C.
b. Biết vị trí con chạy C, ta dễ dàng tìm được RAC và RCB và cũng dễ dàng tính được U1 và UAC.
Từ đó chỉ số của vơn k: U v = U1 U AC

Bài tập áp dơng.
Cho mạch điện như hình vẽ H4.6. Biết V = 9V không đổi, R1 = 3Ω, R2 = 6Ω.
Biến trở ACB có điện trở tồn phần là R = 18Ω, vốn kế là lý tưởng.
a. Xác định vị trí con chạy C để vôn kế chỉ số 0
b. Xác định vị trí con chạy C để vơn kế chỉ số 1vơn
c. Khi RAC = 10Ω thì vơn kế chỉ bao nhiêu vơn ?
Lời giải
− Vì vơn kế là lý tưởng nên mạch điện có dạng: (R1 nt R2) // RAB
a. Để vơn kế chỉ số 0, thì mạch cầu phải cân bằng, khi đó:
R1
R2
3
6
=
⇔
=
⇒ RAC = 6 (Ω)
R AC R − R AC
R AC 18 − R AC

b. Xác định vị trí con chạy C, để Uv = 1(V)
− Với mọi vị trí của con chạy C, ta ln có:
U1 = U

R1
3
=9
= 3(V) ;
R1 + R 2

3+ 6



Trường hợp 1: Vôn kế chỉ: UV = U1 – UAC = 1 (V)

I AC =

U 9
= = 0,5(A)
R 18

Suy ra: UAC = U1 – UV = 3 – 1 = 2 (V) ⇒ RAC =

U AC
2
=
= 4 (Ω)
I AC 0,5


Trường hợp 2:
Vôn kế chỉ UV = UAC – U1 = 1 (V)
Suy ra: UAC = U1 + UV = 3 + 1 = 4 (V) ⇒ R AC =

U AC
4
=
= 8 = 8 (Ω)
I AC 0,5

Vậy tại vị trí mà RAC = 4 (Ω) hoặc RAC = 8 (Ω) thì vơn kế chỉ 1 (V)
c. Tìm số chỉ vơn kế, khi RAC = 10 (Ω)
Khi RAC = 10(Ω) ⇒ RCB = 18 – 10 = 8 (Ω) ⇒ UAC = IAC . RAC = 0,5 .10 = 5 (V)
Suy ra số chỉ của vôn kế là: UV = UAC – U1 = 5 – 3 = 2 (V)
Vâỵ khi RAC = 10Ω thì vơn kế chỉ 2(V)
Trang 16


Trường THCS Hiệp Sơn

Tài liệu BD HSG Lí 9

Trang 17