GIÁO án TOÁN 11 GIỚI hạn hàm số

Tiết
11B
11C
11G
52
27/01/2021
25/01/2021
53
24/02/2021
Ngày soạn: 22 / 01 / 2021
54
24/02/2021
55
56
BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ
Mơn học/Hoạt động giáo dục: Tốn; lớp:11
Thời gian thực hiện: (số tiết 5)
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
+) Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, định lý về giới hạn hữu hạn của hàm
số tại một điểm
+) Biết khái niệm giới hạn một bên của hàm số tại một điểm và giới hạn hữu hạn của hàm số
tại vô cực.
+) Biết khái niệm giới hạn vơ cực của hàm số và các quy tắc tìm giới hạn vô cực.
2. Năng lực
+ Năng lực tự học, sáng tạo và giải quyết vấn đề: đưa ra phán đốn trong q trình tìm hiểu và
tiếp cận các hoạt động bài học và trong thực tế.
+ Năng lực hợp tác và giao tiếp: kỹ năng làm việc nhóm và đánh giá lẫn nhau.
+ Năng lực sử dụng công nghệ thơng tin và truyền thơng: soạn thảo trình bày báo cáo kết quả
hoạt động và báo cáo sản phẩm học tập. Tìm kiếm, chọn lọc, xử lý và lưu trữ được thông tin cần thiết
trên Internet và sử dụng môi trường tương tác trên mạng.

+ Năng lực quan sát: quan sát tìm ra quy luật của bài tốn
+ Năng lực vận dụng kiến thức vào việc giải quyết các vấn đề trong thực tế.
3. Phẩm chất
–HS chủ động, tích cực, có tinh thần hợp tác và trách nhiệm.
– Học sinh có tư duy logic, biết quy lạ về quen, phát triển tư duy logic
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1. Giáo viên:
+ Giáo án, sách giáo khoa, phấn, thước kẻ, máy tính và thiết bị trình chiếu.
+ Phiếu học tập.
2. Học sinh:
+ Các kiến thức đã học: Giới hạn hữu hạn của dãy số.
+ Sách giáo khoa, đồ dùng học tập.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

TIẾT 1

1. HOẠT ĐỘNG 1: GIỚI THIỆU (HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG) (7 phút)
1.1. Mục tiêu: Học sinh làm tiếp cận với định nghĩa giới hạn hữa hạn của hàm số tại một điểm.
1.2. Nội dung: Học sinh quan quy luật của các hình ảnh và trả lời các câu hỏi của giáo viên.
1.3. Sản phẩm: Học sinh trả lời được các câu hỏi ở phần khởi động.
1.4. Tổ chức các hoạt động dạy học
TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG CỦA GV, HS
DỰ KIẾN SẢN PHẨM
+ Chuyển giao:
–GV chia lớp thành 4 nhóm để thảo luận.
–GV phát phiếu học tập gồm các câu hỏi H1,H2,H3 cho các
nhóm cùng thảo luận.
H1.Trong khoảng thời gian đèn giao thông ở trạng thái bật H1.Trong khoảng thời gian đèn giao
sáng từ đèn vàng cho đến khi đèn đỏ,người điều khiển phương thông ở trạng thái bật sáng từ đèn vàng
tiệngiao thông phải chấp hành như thế nào là đúng luật giao cho đến khi đèn đỏ, người điều khiển

thông? Nếu vượt đèn vàng hay đỏ thì trường hợp nào vi phạm phương tiện giao thông phải cho xe dừng
luật và mức xử phạt tương ứng là bao nhiêu đối với xe mô tô? trước “vạch sơn giới hạn dừng xe”. Mức
phạt với xe mô tô vi phạm vượt đèn vàng
hay đỏ là từ 600 nghìn đồng đến 1 triệu
KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

1

NĂM HỌC: 2020-2021


đồng.
–GV chú ý HS tuân thủ luật ATGT, vượt
đèn vàng cũng vi phạm ATGT, chứ
khơng chỉ có đèn đỏ.

H2. Khi

H2. Quan sát hình ảnh dưới đây, em có nhận xét gì về giá trị
y = f ( x)
x
2
hàm số
khi dần đến ?

x→2

x→0

thì

f ( x) → 4

f ( x ) → +∞

H3. Khi
thì
+ Hình thành khái niệm giới hạn hàm số
tại một điểm.

H3. Quan sát hình dưới, em có nhận xét gì về giá trị hàm số
1
y= 2
0
x
x
khi dần đến ?

+Thực hiện :
–Các nhóm tổ chức thảo luận, ghi kết quả thống nhất vào
bảng phụ.
+ Báo cáo, thảo luận
–Đại diện nhóm thuyết trình sản phẩm của nhóm.
–Các nhóm góp ý lẫn nhau. GV nhận xét, đúc kết.
–Giáo viên nhận xét, kết luận.
2. HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
2.1. Hình thành kiến thức giới hạn hàm số tại một điểm (15 phút)
KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

2

NĂM HỌC: 2020-2021


2.1.1. Mục tiêu: Học sinh biết được khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Áp dụng để tính được giới hạn hàm số tại một điểm.
2.1.2. Nội dung: Học sinh trả lời các câu hỏi của giáo viên hồn thiện bài tốn tiếp cận khái niệm
2.1.3. Sản phẩm: Học sinh trả lời được các câu hỏi của giáo viên.
2.1.4. Tổ chức các hoạt động dạy học
2x2 − 2x
f ( x) =
,x ≠1
x −1
H4.Xét hàm số
.
( xn ) , x n → 1
f ( x)
x
Cho biến những giá trị khác nhau lập thành dãy số
như trong bảng sau. Rút gọn
f ( x)
và tính các giá trị của
tương ứng trong bảng sau
3
4
5
1
x
x1 = 2
x2 =

x3 =
x4 =
xn = 1 +
….
…..
1
2
3
4
n

f ( x)

f ( x1 ) = ?

f ( x2 ) = ?

f ( x3 ) = ?

f ( x4 ) = ?

….

( xn )

f ( xn ) = ?

…..

?

f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ),...

Ta thấy rằng tương ứng với các giá trị của dãy
là các giá trị
cũng
( f ( xn ) )
( f ( xn ) )
lập thành dãy ký hiệu là
. Tìm giới hạn dãy số
.
2
2x − 2x
f ( x) =
,x ≠1
x −1
H5.Xét hàm số
.
( xn ) , xn → 1
f ( x)
x
Cho biến những giá trị khác nhau lập thành dãy số
như trong bảng sau. Rút gọn
f ( x)
và tính các giá trị của
tương ứng trong bảng sau
1
2
3
1

x
x1 = 0
x2 =
x3 =
x4 =
xn = 1 −
….
…..
1
2
3
4
n

f ( x)

f ( x1 ) = ?

f ( x2 ) = ?

f ( x3 ) = ?

f ( x4 ) = ?

….

( xn )

f ( xn ) = ?

…..

f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ),...

?

Ta thấy rằng tương ứng với các giá trị của dãy
là các giá trị
cũng
f
x
f
x
( ( n))
( ( n))
lập thành dãy ký hiệu là
. Tìm giới hạn dãy số
.
TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG CỦA GV, HS
DỰ KIẾN SẢN PHẨM
+ Chuyển giao:
-Các nhóm hồn thiện được bảng giá trị và tính
–GV chia lớp thành 4 nhóm để thảo luận.
lim f ( xn )
–GV phát phiếu học tập gồm các câu hỏi H4 cho các được
.
nhóm 1,2 và H5 cho các nhóm 3,4.
Cụ thể : Rút gọn
+Thực hiện:
2 x ( x − 1)

= 2 x, ∀x ≠ 1
–Các nhóm tổ chức thảo luận, ghi kết quả thống nhất f ( x ) =
x
−
1
vào bảng phụ.
. Suy ra:
+ Báo cáo, thảo luận
8
f ( x1 ) = 4; f ( x2 ) = 3; f ( x3 ) =
–Đại diện nhóm thuyết trình sản phẩm của nhóm.
3
–Các nhóm góp ý lẫn nhau.
H4.
( xn )
5
2
–GV chất vấn các nhóm, tại sao 2 dãy
ta chọn f ( x4 ) = 2 ;...; f ( xn ) = 2 + n
khác nhau, dãy thứ nhất có các số hạng lớn hơn 1, dãy
.
thứ hai có các số hạng bé hơn 1, nhưng kết quả
4
f ( x1 ) = 0; f ( x2 ) = 1; f ( x3 ) =
lim f ( xn )
3
H5.
;
thì không đổi ?
–GV nhận xét, đúc kết cho điểm.

KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

3

NĂM HỌC: 2020-2021


3
2
f ( x4 ) = ;...; f ( xn ) = 2 −
2
n

-Tính

H4.

H5.

+ Các ví dụ:
–GV trình chiếu các ví dụ 1,2.
x2 −1
f ( x) =
x +1
VD1.Cho hàm số
. Chứng minh rằng
lim f ( x ) = −2
x →−1

VD2. Cho hàm số

f ( x) = x 3 − 3x 2 + 3 x + 1
lim f ( x) = 2
x →1

lim f ( xn )

.

2

lim f ( xn ) = lim  2 + ÷ = 2 + 0 = 2
n

2

lim f ( xn ) = lim  2 − ÷ = 2 − 0 = 2
n

lim f ( xn )

.

-Nhận xét:
không đổi khi ta chọn
( xn )
lim xn = 1
dãy số
bất kì thoả mãn
.

I/ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ
TẠI MỘT ĐIỂM.
K
1. Định nghĩa :Cho khoảng chứa điểm x0 và
y = f ( x)
K
hàm số
xác định trên
hoặc trên
K \ { x0 } .
y = f ( x)

x
L
Ta nói hàm số
có giới hạn là khi
x0
xn
dần tới
nếu với mọi dãy số
bất kì,
xn ∈ K \ { x0 }
f ( xn )
xn
x0
và dần tới ta có
dần
L
tới .

Chứng minh rằng
.
–GV cho HS hoạt động cá nhân các VD1 và VD2.
lim f ( x) = L
x → xo
–GV cho HS nêu nhận xét về sự khác nhau giữa 2 ví
Kí hiệu:
.
dụ và phương pháp giải các dạng tốn ở mỗi ví dụ đó.
Nhận xét:
lim x = x0
x → x0

+

lim C = C

x → x0

+

(với

C

là hằng số).

-Sản phẩm

D = ¡ \ { − 1}

VD1.Tập xác định
.
( xn )
Giả sử
là một dãy số bất kỳ, thảo mãn
xn ≠ −1 lim xn = −1
và
.
Ta có
( x − 1) ( xn + 1)
x2 −1
lim f ( xn ) = lim n
= lim n
xn + 1
( xn + 1)
= lim ( xn − 1) = −2

lim f ( x ) = −2

Do đó
KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

4

x →−1

NĂM HỌC: 2020-2021


VD2.Tập xác định

Giả sử

( xn )

lim xn = 1

Ta có

D=¡

.

là dãy số bất kì, thỏa mãn

.

lim f ( xn ) = lim ( xn3 − 3xn2 + 3xn + 1)

=1− 3 + 3 +1 = 2

.

2.2. Hình thành kiến thức định lí giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm (15 phút)
2.2.1. Mục tiêu: Học sinh nắm được định lí. Áp dụng để tính được giới hạn hàm số tại một điểm.
2.2.2. Nội dung: Học sinh trả lời các câu hỏi của giáo viên hồn thiện bài tốn tiếp cận định lí.
2.2.3. Sản phẩm: Học sinh trả lời được các câu hỏi của giáo viên.
2.2.4. Tổ chức các hoạt động dạy học
TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG CỦA GV, HS
DỰ KIẾN SẢN PHẨM
+ Chuyển giao:

Định lí 1:
–Phần trên ta đã tính giới hạn hữu hạn của hàm số
lim f ( x) = L
lim g ( x) = M
x → x0
x → x0
f ( x)
x0
a) Nếu
và
thì:
tại thơng qua dãy giới hạn hữu hạn của dãy lim f ( x) + g ( x) = L + M
[
]
số, qua đó các định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số x→ x0
cũng sẽ có tương ứng trong giới hạn hữu hạn của hàm
[ f ( x) − g ( x)] = L − M
số tại một điểm. Sau đây thầy mời các em phát biểu xlim
→ x0
định lí 1, đọc ln phần cịn thiếu để dấu ?
–GV trình chiếu câu hỏi và các em đứng tại chỗ phát lim [ f ( x).g ( x) ] = L.M
x → x0
biểu.
lim f ( x) = L
lim g ( x) = M
f ( x) L
x → x0
x → x0
lim
=

x → x0 g ( x )
a) Nếu
và
thì:
M
M ≠0
(nếu
)
lim [ f ( x) + g ( x )] = ?
x → x0
lim f ( x) = L
f ( x) ≥ 0
x → x0
b) Nếu
và
thì
lim [ f ( x) − g ( x) ] = ?
x → x0
lim f ( x) = L
x → x0
lim [ f ( x).g ( x)] = ?
x → x0
lim f ( x) = L
lim f ( x) = L
x → x0
x → x0
f ( x)
thì
lim
=?

x → x0 g ( x )
c)
Nếu
M ≠0
(nếu
)
lim f ( x) = L
lim f ( x) = ?
f ( x) ≥ 0
b) Nếu
và
lim f ( x) = L

c) Nếu

x → x0

x → x0

thì

thì
lim f ( x) = ?

x → x0

-Sản phẩm
VD3.
lim  f ( x ) − g ( x )  = lim f ( x ) − lim g ( x )

x → x0

+Thực hiện:
–HS phát biểu các định lí.
+ Các ví dụ:
–GV trình chiếu các ví dụ 3,4.

x →1

x →1

x →1

x →1

.
lim  f ( x ) g ( x )  = lim f ( x ) .lim g ( x )
x →1
x →1
x →1

b)
= 4 ( −9 ) = −36

lim f ( x ) = 4, lim g ( x ) = −9
VD3.Cho

x →1

a)

= 4 + 9 = 13

. Tính

KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

5

NĂM HỌC: 2020-2021

.


a)

lim  f ( x ) − g ( x ) 
x →1

lim

2 f ( x) +1
g ( x)

x →1

.b)

lim  f ( x ) g ( x ) 
x →1

a)

(

lim

2 f ( x ) +1
g ( x)

x →1

.
c)

lim  f ( x ) − 3 24 g ( x ) − 2 

x →1 

c)
d)
VD4. Tính các giới hạn sau
lim x 3 + 7 x
x →−1

lim

.

)

.
2
x +5 −3
x+2

=

2.4 + 1
=1
−9

lim  f ( x ) − 3 24 g ( x ) − 2 

x →1 

d)
= 4 − 3 24 ( −9 ) − 2 = 6

VD4.
lim x3 + 7 x = −1 + 7.(−1) = −8
x →−1

(

)

a)
x →−2
b)
.

x2 + 5 − 3
x2 − 4
lim
= lim
+Thực hiện:
x →−2
x →−2
x+2
( x + 2) x2 + 5 + 3
–HS có thể hoạt động cá nhân hoặc thảo luận với
nhau.
b)
–GV cử 1 em lên bảng trình bày kết quả.
x−2
−2 − 2
−2
=
=
–GV cho HS nêu nhận xét về sự khác nhau giữa 2 ví = xlim
2
→−2
x2 + 5 + 3
( −2 ) + 5 + 3 3
dụ và phương pháp giải các dạng tốn ở mỗi ví dụ đó.
.
3. HOẠT ĐỘNG 3: CỦNG CỐ, LUYỆN TẬP (8 PHÚT)
3.1. Mục tiêu:
+HS nắm vững định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, định lý về giới hạn hữu hạn.
+Biết vận dụng định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số để giải một số bài toán cụ thể.
3.2.2. Nội dung: Học sinh trả lời các câu hỏi luyện tập.

2.2.3. Sản phẩm: Học sinh trình bày lời giải bài tập 1.
2.2.4. Tổ chức các hoạt động dạy học
TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG CỦA GV,
DỰ KIẾN SẢN PHẨM
HS
+ Chuyển giao:
+ Sản phẩm:
2
–GV trình chiếu bài tập 1 củng cố kiến
2 x 2 − 5 x + 2 2 ( −2 ) − 5 ( −2 ) + 2
lim
=
= −5
thức làm tại lớp, bài tập 2 để học sinh tìm
x →−2
x−2
−2 − 2
tịi, nâng cao kỹ năng ở nhà.
1/ a)
.
Bài tập 1.Tính các giới hạn sau:
2
2
x
−
1
x
−
2
(

)(
)
2x − 5x + 2
lim
= lim
2 x 2 − 5x + 2
x
→
2
x
→
2
lim
x−2
x−2
x →−2
x−2
b)
a)
.
= lim ( 2 x − 1) = 2.2 − 1 = 3
2
x→2
2 x − 5x + 2
lim
.
x→2
x−2
x+2 −2
x−2

b)
.
lim
= lim
x →2
x→2
x−2
x+2−2
( x − 2) x + 2 + 2
lim
x→2
x−2
c)
c)
.
1
1
=
Bài tập 2 (về nhà).Tính các giới hạn = lim
x→2
x+2 +2 4
sau:
.
x4 + 8x
4
lim
x ( x + 2) ( x2 − 2x + 4)
x + 8x
x →−2 x 3 + 2 x 2 + x + 2
lim 3

=
lim
x →−2 x + 2 x 2 + x + 2
x →−2
a)
.
( x + 2 ) ( x 2 + 1)
3
2/ a)
2x −1 −1
lim
x →1
x ( x 2 − 2 x + 4 ) −24
x −1
= lim
=
b)
.
x →−2
x2 + 1
5
3
x +1 − x + 5
.
lim
x →3
x−3
c)
.
+Thực hiện:

(

(

KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

6

)

NĂM HỌC: 2020-2021

)


3
–HS có thể hoạt động cá nhân hoặc thảo
2 ( x − 1)
2 x −1 −1
lim
= lim
luận với nhau.
x →1
x →1
2
x −1
( x − 1)  3 ( 2 x − 1) + 3 2 x − 1 + 1
–GV cử 1 em lên bảng trình bày kết quả.



–GV nhận xét, cho điểm, đúc kết phương b)
pháp giải toán mỗi dạng.
2
2
lim
=
2
x →1 3
( 2 x − 1) + 3 2 x − 1 + 1 3
.

c)

x +1 − 3 x + 5
lim
= lim
x →3
x →3
x−3

lim
x →3

x −3

( x − 3) (

= lim
x →3

x +1 + 2

1
− lim
x + 1 + 2 x→ 3

(

3

x+5−2

x−3

− lim

)

) (

x +1 − 2 −

x →3

x−3

( x − 3)  3 ( x + 5)

2



1
3

)=

( x + 5)

2

+ 23 x + 5 + 4

+ 2 3 x + 5 + 4

=

1
6

.

2.3. Hinh thành kiến thức giới hạn một bên
2.3.1. Mục tiêu: Học sinh nắm được định nghĩa giới hạn một bên, giới hạn tại một điểm. Điều kiện
tồn tại giới hạn một bên, giới hạn tại một điểm.
2.3.2. Nội dung: Học sinh trả lời các câu hỏi của giáo viên hồn thiện bài tốn tiếp cận định nghĩa
2.3.3. Sản phẩm: Học sinh trả lời được các câu hỏi của giáo viên
2.3.4. Tổ chức các hoạt động dạy học

Cho hàm số

5 x + 2 khi x ≥ 1
f ( x) =  2
khi x < 1
x

x

x1 = 2

f ( x)

f ( x1 ) = ?

x2 =

3
2

f ( x2 ) = ?

x3 =

4
3

x1 = 0

f ( x)

f ( x1 ) = ?

x2 =

1
2

f ( x2 ) = ?

5
4

n +1
n

…..

→1

…..

→?

….

xn =

n −1
n

…..

→1

….

f ( xn ) = ?

…..

→?

….

xn =

f ( x3 ) = ?

Câu hỏi: Em có nhận xét gì về giá trị của dãy

x

x4 =

x3 =

f ( x4 ) = ? ….
f ( xn ) = ?
TIẾT 2

f ( xn )
xn → 1
xn > 1
khi

2
3

x4 =

f ( x3 ) = ?

và

3
4

f ( x4 ) = ?

f ( xn )

xn → 1

?

xn < 1

Câu hỏi: Em có nhận xét gì về giá trị của dãy
khi
và

?
TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG CỦA GV, HS
DỰ KIẾN SẢN PHẨM
- GV giao nhiệm vụ, học sinh hoàn thiện hai bảng
-Học sinh hoàn thiện hai bảng giá trị lên bảng
trên theo nhóm.
phụ và báo cáo
+ Thực hiện
- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời
cho các câu hỏi.
- Các nhóm viết kết quả dự đốn của nhóm mình lên
bảng phụ.
+ Báo cáo, thảo luận
- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các
KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

7

NĂM HỌC: 2020-2021


câu hỏi.

-Học sinh nhận xét được giới hạn của dãy

f ( xn )

- Giáo viên nhận xét, kết luận
- Giáo viên phát biểu Định nghĩa 2, Định lí 2

khi

xn

dần đến 1 theo hai chiều khác

nhau.

f ( xn ) → 7
f ( xn ) → 1

khi

khi
*Định nghĩa 2:
+ Cho hàm số

( x0 ; b)

. Số

VD1: Cho hàm số

2 x + 1 khi x ≥ 1
f ( x) = 
 x + 2 khi x < 1

( xn )

bất kì,

f ( xn ) → L

.

lim+ f ( x) lim− f ( x) lim f ( x)
Tìm

x →1

,

x →1

x →1

,

(a; x0 )

. Số

hàm số

f ( x) =

( xn )

x2 − 2x
x−2

VD2: Cho hàm số

lim f ( x) lim− f ( x) lim f ( x)

Tìm

x → 2+

,

x→2

,

x→2

bất kì,

và
và

xn > 1
xn < 1

xác định trên khoảng

được gọi là giới hạn bên phải của
khi

x → x0

nếu với dãy số

xn → x0

và

lim+ f ( x) = L

. Kí hiệu:

L

, ta có

x → x0

y = f ( x)

xác định trên khoảng

được gọi là giới hạn bên tráicủa

y = f ( x)

f ( xn ) → L

.

y = f ( x)

x0 < xn < b

+ Cho hàm số

?

xn → 1

y = f ( x)

hàm số

+) Củng cố

L

xn → 1

khi

x → x0

a < xn < x0

và

nếu với dãy số

xn → x0

, ta có

lim− f ( x) = L

. Kí hiệu:

x → x0

*Định lí 2:

lim f ( x) = L ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x)

?

x → x0

x → x0

x → x0

2 x + 1 khi x ≥ 1
f ( x) = 
 x + 2 khi x < 1

VD1: Cho hàm số

lim+ f ( x) lim− f ( x)
Tìm

,

x →1

?
Lời giải:

lim+ f ( x) = lim(2
x + 1) = 3
+

VD3: Trả lời các câu hỏi trắc nghiệm sau

 x − 3 x + 1 khi x < 2
f ( x) = 
khi x ≥ 2
5 x − 3

Ta có:

2

Câu 1. Cho hàm số

x →1

lim− f ( x ) .

x →1

x →1

lim− f ( x) = lim(
x + 2) = 3
−
x →1

,

x →1

lim− f ( x) = lim+ f ( x) = 3
x →1

x →1

⇒

x→2

tìm
11
A. .

7

B. .

C.

−1

.

f ( x) =
Câu 2. Cho hàm số
A.

−4

.

1

B. .

C.

−2

D.

x−2
x−2
.

−13

VD2:Cho hàm số

lim+ f ( x )
, tìm

2

.

lim f ( x ) lim− f ( x) lim f ( x)

.

Tìm

x → 2+

D. .

KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

x →1

x2 − 2x
f ( x) =
x−2

.

x →1

lim f ( x ) = 3

8

,

x→2

,
Lời giải:

x→2

NĂM HỌC: 2020-2021

?

.


Câu 3. Cho hàm số

 x2 − 1
khi x < 1

f ( x) =  1− x
 x − 3 khi x ≥ 1


lim f ( x )

x →1

tìm
−2
A. .

.

0

B. .

1

C. .

D.

+∞

x2 − 2x
x( x − 2)
lim+ f ( x ) = lim+
= lim+
x →2
x →2
x →2
x−2
x−2
*

,

= lim+ x = 2
x →2

(vì

lim− f ( x ) = lim−

.

x →2

x →2

x → 2+

)

x − 2x
x( x − 2)
= lim−
x →2 −( x − 2)
x−2
2

*

= lim− (− x) = −2
x →2

(vì

x → 2−

lim f ( x) ≠ lim− f ( x)

x → 2+

)

lim f ( x)

x→ 2

⇒ khơng tồn tại
Học sinh trình bày kết quả bài

x →2

.

lim− f ( x) = lim− ( x 2 − 3 x + 1) = −1

Câu 1.

x →2

x →2

Câu 2.

lim+ f ( x) = lim+
x →1

x →1

| x−2|
x−2
= lim+
= lim1 = 1
x − 2 x→1 x − 2 x→1+

Câu 3.

x2 − 1
( x − 1)( x + 1)
lim− f ( x) = lim−
= lim−
x →1
x →1 1 − x
x →1
−( x − 1)

= lim[
−( x + 1)] = −2
−
x →1

lim+ f ( x) = lim+

x →1

x →1

(

)

x − 3 = 1 − 3 = −2

lim+ f ( x ) = lim− f ( x) = −2
x →1

x →1

lim f ( x) = −2
⇒

x →1

2.4. Hình thành kiến thức giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
2.4.1. Mục tiêu: Học sinh nắm được định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
2.4.2. Nội dung: Học sinh trả lời các câu hỏi của giáo viên hồn thiện bài tốn tiếp cận định nghĩa
2.4.3. Sản phẩm: Học sinh trả lời được các câu hỏi của giáo viên
2.4.4. Tổ chức các hoạt động dạy học
+ Chuyển giao
Chia lớp thành 4 nhóm: Nhóm 1, 2 hồn thành Phiếu học tập số 1;
Nhóm 3, 4 hồn thành Phiếu học tập số 2.
Các nhóm nhận phiếu học tập và viết câu trả lời vào bảng phụ.

f ( x) =
Câu hỏi: Cho hàm số

1
x−2

có đồ thị như hình vẽ.

KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

9

NĂM HỌC: 2020-2021


PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
Tính giá trị của hàm số với những giá trị của x cho trong bảng

x=3

x=4

x=5

......

x → +∞

f ( 3) = ?

f ( 4) = ?

f ( 5) = ?

.........

f ( x) → ?

PHIỂU HỌC TẬP SỐ 2
Tính giá trị của hàm số với những giá trị của x cho trong bảng

x=0

x = −3

x = −7

......

x → −∞

f ( 0) = ?

f ( −3) = ?

f ( −7 ) = ?

.........

f ( x) → ?

TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG CỦA GV, HS
DỰ KIẾN SẢN PHẨM
-GV giao bài cho học sinh làm
-Học sinh hoàn thiện hai bảng giá trị vào bảng phụ
-Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả
lời cho các câu hỏi trong phiếu học tập. Viết
kết quả vào bảng phụ.
-Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải
thích câu hỏi nếu các nhóm khơng hiểu nội
dung các câu hỏi.
+ Báo cáo, thảo luận
- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời
cho các câu hỏi.
-HS quan sát các phương án trả lời của các
nhóm bạn.
- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu
hơn về câu trả lời.
+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:
Định nghĩa:
- Trên cơ sở câu trả lời của HS,GV kết luận:
y = f ( x)
Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô a) Cho hàm số
xác định trên khoảng
cực
(a; + ∞)
y = f ( x)
L
. Ta nói hàm số
có giới hạn số

khi

x → +∞

xn → +∞

-Củng cố

, ta có

f ( xn ) → L

lim f ( x) = L

Kí hiệu:

f ( x) =
VD2: Cho hàm số

nếu với dãy số

2x + 3
x −1

KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

x →+∞

b) Cho hàm số

10

hay

y = f ( x)

( xn )

bất kì,

xn > a

và

.

f ( x) → L

khi

x → +∞

xác định trên khoảng

NĂM HỌC: 2020-2021

.

(−∞; a)

lim f ( x) lim f ( x)

Tìm

x →+∞

,

x →−∞

y = f ( x)

. Ta nói hàm số

x → −∞

nếu với dãy số

xn → −∞

( xn )

f ( xn ) → L

, ta có

lim f ( x) = L

- Từ định nghĩa GV nêu các kết quả sau.

lim c = c

+)

Kí hiệu:

f ( x) =

c
= 0 (k ∈ ¢ + )
x →±∞ x k

+)
+) Định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số khi

x → x0

x → ±∞

vẫn đúng khi
-Củng cố

VD2: Cho hàm số
Tìm

Tập xác định:

( xn )

3)

3x + 1
x2 − 2

Ta có:

x →−∞ 3

4)

lim

x →+∞

(

x3 + 2 x − 2 x

x2 + x − x

f ( x) → L

2x + 3
x −1

khi

x → −∞

.

x →−∞

D = (−∞;1) ∪ (1; + ∞)

.

.

3
xn
limf ( xn ) = lim
=2
1
1−
⇒ lim f ( x) = 2
xn
x →+∞
lim f ( x) = 2

x →−∞

VD3: Tìm giới hạn

4 x 2 + x − 3x

lim

.

là một dãy số bất kỳ thỏa mãn

Tương tự ta có

x →−∞

và

2+

(5 x − 1)(4 − x) 4
lim
x →−∞
x.(2 x 2 − 2) 2

lim

xn < a

LG:

lim

5)

,

xn > 1, xn → +∞

3x 2 − 2 x
x →+∞ x 2 + 1

bất kì,

khi

lim f ( x ) lim f ( x)

x →+∞

Giả sử

VD3: Tìm giới hạn

2)

hay

x →±∞

lim

1)

x →−∞

L

có giới hạn số

)

KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

1)

2
3−
3x 2 − 2 x
x =3
lim
= lim
x →+∞ x 2 + 1
x →+∞
1
1+
x
4

2)

1 4 

x  5 − ÷.x 4 .  − 1÷
4
(5 x − 1)(4 − x)
x  x 
lim
= lim 

2
2
2
x →−∞
x
→−∞
x.(2 x − 2)
2
4 
x.x .  2 − 2 ÷
x 

4

1 4 

 5 − ÷. − 1÷ 5.(−1) 4 5
x x 
= lim 
=
=
2
x →−∞
22
4
2

2− 2 ÷
x 


11

NĂM HỌC: 2020-2021


3)

3 1
+ 2
3x + 1
x
x =0
lim
= lim
x →−∞ x 2 − 2
x →−∞
2
1− 2
x
4 x 2 + x − 3x

lim

x3 + 2 x − 2 x

x →−∞ 3

4)

1
1
− 3x
− 4+ −3
x
x
= lim
= lim
=5
x →−∞
x →−∞
2
2
3 1+
x. 3 1 + 2 − 2 x
−2
x
x2
− x. 4 +

lim

x →+∞

5)

= lim

(

x2 + x − x

)

( x 2 + x − x).( x 2 + x + x)
x2 + x + x

x →+∞

= lim

x2 + x − x2

x →+∞

x2 + x + x

x
1
1
= lim
=
x →+∞
x →+∞
2
1
1
x 1+ + x
1+ +1
x

x

= lim

2.5. Hinh thành kiến thức giới hạn vo cực của hàm số tại vô cực
2.5.1. Mục tiêu: Học sinh nắm được định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực, một vài giới
hạn đặc biêt và một vài quy tắc về giới hạn vô cực.
2.5.2. Nội dung: Học sinh trả lời các câu hỏi của giáo viên hồn thiện bài tốn tiếp cận định nghĩa.
học sinh nắm được hai quy tắc về giới hạn vơ cực (giới hạn của tích, giới hạn của thương)
2.5.3. Sản phẩm: Học sinh trả lời được các câu hỏi của giáo viên
2.5.4. Tổ chức các hoạt động dạy học
+∞
−∞
Các định nghĩa về giới hạn
( hoặc
) của hàm số được phát biểu tương tự các định nghĩa 1,2,3.
TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG CỦA GV, HS
DỰ KIẾN SẢN PHẨM
-Chuyển giao nhiệm vụ: học sinh nhắc lại định Định nghĩa 3:
nghĩa 3 trong SGK
y = f ( x)
+Thực hiện nhiệm vụ: Học sinh nêu lại định a) Cho hàm số
xác định trên khoảng
nghĩa 3 trong SGK
(a; + ∞)
y = f ( x)
L
+GV nhận xet chuẩn kiến thức: giáo viên
. Ta nói hàm số
có giới hạn số

chính xác hóa lại định nghĩa 3
( xn )
xn > a
x → +∞
khi
nếu với dãy số
bất kì,
và

xn → +∞

TIẾT
3
Kí hiệu:

, ta có

lim f ( x) = L

x →+∞

hay

b) Cho hàm số

(−∞; a)

-Gv chốt phương án nêu kiến thức mới: Trong
khi
KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

f ( xn ) → L

y = f ( x)

. Ta nói hàm số

x → −∞

f ( x) → L

khi

x → +∞

xác định trên khoảng

y = f ( x)

nếu với dãy số

12

.

( xn )

có giới hạn số
bất kì,

xn < a

NĂM HỌC: 2020-2021

L

và

.


Định nghĩa 3 ta thay hàm số
hạn số

L

khi

x → +∞

−∞

y = f ( x)

bằnghàm số

x → +∞

có giới hạn số
khi

nghĩa giới hạn vơ vực của hàm số

có giới

xn → −∞

y = f ( x)

, ta có

lim f ( x) = L

x →−∞

Kí hiệu:
ta cóđịnh

f ( xn ) → L
hay

.

f ( x) → L

x → −∞

khi

Định nghĩa 4:
Cho hàm số

y = f ( x)

xác định trên khoảng

(a; + ∞)

y = f ( x)
-Chuyển giao nhiệm vụ: Hãy nêu một vài giới
−∞
Ta nói hàm số
có giới hạn là
khi
hạn đặc biệt
(
x
)
x
>
a
+Thực hiện nhiệm vụ: Học sinh nêu một vài x → +∞
n
n
nếu với dãy số
bất kì,
và
giới hạn đặc biệt
+GV nhận xet chuẩn kiến thức: giáo viên xn → +∞
f ( xn ) → −∞
chính xác hóa lại.

, ta có
.
-Chuyển giao nhiệm vụ: Định lý về giới hạn
của tích và thương hai hàm số chỉáp dụng
được khi tất cả các hàm số được xét có giới
hạn hữu hạn. Học sinh hồn thiện hai bảng
theo nhóm.
- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả
lời cho các câu hỏi.
- Các nhóm viết kết quả dự đốn của nhóm
mình lên bảng phụ.
+ Báo cáo, thảo luận
- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời
cho các câu hỏi.
- Giáo viên nhận xét, kết luận

lim f ( x) = −∞

Kí hiệu:

x →+∞

x → +∞

.

hay

khi

lim f ( x) = +∞ ⇔ lim (− f ( x)) = −∞

x →+∞

Nhận xét:
2. Một vài giới hạn đặc biệt

lim x k = +∞

a)

f ( x) → −∞

x →+∞

với

lim x = −∞

k

x →+∞

nguyên dương.

k

b)

x →−∞

nếu

lim x = +∞

k

là số lẻ.

k

c)

x →−∞

k
nếu là số chẵn.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
f ( x ).g ( x )
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích

lim f ( x ) = L

Nếu
-Củng cố kiến thức

x → x0

và

x →1

2x − 3
x −1

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương

KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

−∞

) thì

được tính theo quy tắc trong bảng sau

x →−∞

lim+
VD2: Tìm

(hoặc

lim f ( x ).g ( x)

x → x0

lim ( x 3 − 2 x)

VD1: Tìm

lim f ( x) = +∞

x → x0

13

f ( x)
g ( x)

NĂM HỌC: 2020-2021

.

.


lim ( x 3 − 2 x)

VD1: Tìm
Lời giải:

x →−∞

( x 3 − 2 x) = x3 .(1 −
Ta có

lim (1 −

lim x 3 = −∞

Vì

x →−∞

x →−∞

x →−∞

và

lim x 3 (1 −

2
)
x2
2
) =1> 0
x2

2
) = −∞
x2
2
) = −∞
x2

lim ( x3 − 2 x) = lim x 3 (1 −

x →−∞

x →−∞

vậy

lim+
VD2: Tìm
Lời giải:

x →1

2x − 3
x −1

lim(
x − 1) = 0, x − 1 > 0
+

Ta có

nên

x →1

với mọi

x >1

lim(2
x − 3) = 2.1 − 3 = −1 < 0

+
x →1

lim+
Do đó

x →1

2x − 3
= −∞
x −1

và

.

3. HOẠT ĐỘNG 3: CỦNG CỐ KIẾN THỨC ( tiết 4)
3.1. Củng cố kiến thức về giới hạn hữu hạn của hàm số
3.1.1. Mục tiêu: Học sinh tínhđược giới hạn bằng định nghĩa, giới hạn hữu hạn tại một điểm và giới
hạn tại vô cực của hàm số và vận dụng được kiến thức giới hạn để làm bài tốn liên mơn.
TIẾT
3.1.2. Nội dung: Học sinh trả lời các câu hỏi của
giáo 4
viên và hoàn thiện các bài tập trong SGK
3.1.3. Sản phẩm: Học sinh trả lời được các câu hỏi của giáo viên
3.1.4. Tổ chức các hoạt động dạy học
TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG CỦA GV, HS
DỰ KIẾN SẢN PHẨM
Bài tập 1 (SGK). Dùng định nghĩa tìm các giới
hạn sau:

2
x +1
¡ \ ÷
f ( x) =
x +1
3
3x − 2
lim
x →4 3 x − 2
a) Hàm số
xác định trên
.
a)
;
( xn )
xn ≠ 4
2 − 5x2
Giả sử
là một dãy số bất kì, thỏa mãn
lim
x →+∞ x 2 + 3
xn → 4
n → +∞
b)
.
và
khi
.
-Chuyển giao nhiệm vụ
KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

14

NĂM HỌC: 2020-2021


+Yêu cầu HS chuẩn bị bài tập theo nhóm tại nhà.
+Gọi học sinh đại diện của 1 nhóm lên bảng trình
bày lời giải bài tập 1.
-Thực hiện nhiệm vụ
+HS đại diện nhóm lên bảng trình bày lời giải của
nhóm mình.
+HS các nhóm khác nhận xét lời giải.
-Gv chốt phương án nêu kiến thức mới
Đánh giá nhận xét lời giải của các nhóm, chỉnh sửa
hồn thiện (nếu cần) cho các nhóm.

Bài tập 3 (SGK). Tính các giới hạn sau:
x2 − 1
4 − x2
lim
lim
x →−3 x + 1
x →−2 x + 2
a)
;
b)
;
x+3 −3
2x − 6

lim
lim
x →6
x →+∞ 4 − x
x−6
c)
;
d)
;
2
−2 x + x − 1
17
lim
lim
x →+∞ x 2 + 1
x →+∞
3+ x
e)
;
f)
;
-Chuyển giao nhiệm vụ
+Yêu cầu HS chuẩn bị bài tập theo nhóm tại nhà.
+Gọi học sinh đại diện của 1 nhóm lên bảng trình
bày lời giải bài tập 3 ý a) và ý d).
+Gọi học sinh đại diện của 1 nhóm lên bảng trình
bày lời giải bài tập 3 ý b) và ý e).
+Gọi học sinh đại diện của 1 nhóm lên bảng trình
bày lời giải bài tập 3 ý c) và ý f).
-Thực hiện nhiệm vụ

+Lần lượt 2 HS đại diện 2 nhóm lên bảng trình bày
lời giải của nhóm mình.
+HS các nhóm khác nhận xét lời giải.
-Gv chốt phương án nêu kiến thức mới
Đánh giá nhận xét lời giải của các nhóm, chỉnh sửa
hồn thiện (nếu cần) cho các nhóm.

Ta có:

xn + 1
= 4 +1 = 1
3xn − 2 3.4 − 2 2

x +1 1
=
x→4 3x − 2
2

.

lim

Vậy

.
2 − 5x2
f ( x) = 2
x +3

¡

b)Hàm số
xác định trên .
( xn )
xn → +∞
Giả sử
là một dãy số bất kìvà
khi
n → +∞
.
2
−5
xn2
lim
=
2 − 5x2
3
lim 2 n =
1+ 2
lim f ( xn ) =
xn
xn + 3
−5
Ta có:
.
Nhóm 1
2
x 2 − 1 ( −3) − 1
lim
=
= −4

x →−3 x + 1
−3 + 1
a)
.
6
2−
x = −2
= lim
2 x − 6 x →+∞ 4
lim
−1
x →+∞ 4 − x
x
d)
.
Nhóm 2
( 2 − x) ( 2 + x)
4 − x2
lim
= lim
x →−2 x + 2
x →−2
x+2
b)
= lim ( 2 − x )
x →−2
= −4
.
17
lim

=0
x →+∞ x 2 + 1
e)
1 

x 2 1 + 2 ÷
lim ( x 2 + 1) = xlim
→+∞
 x  = +∞
x →+∞
Vì
.
Nhóm 3

c)

x + 3 − 3 = lim
x →6
lim
x →6
x−6

= lim
x →6

f)
KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

lim f ( xn ) =

lim

x−6

( x − 6) (

x+3 −3

( x − 6) (

)

x + 3 + 3 = lim
x →6

−2 x 2 + x − 1
lim
x →+∞
3+ x

15

(

= lim

x →+∞

)(

x+3 +3

x+3+3

)

1
1
=
x+3+3 6

1 1
−
x x2
3 1
+
x 2 x = −∞

−2 +

NĂM HỌC: 2020-2021

.

)

.


1 1 


 3 1
lim  −2 + − 2 ÷
lim  2 + ÷ = 0
x →+∞
x x  = −2 < 0 x →∞  x
x

Vì
;
3 1
+ > 0, ∀x > 0
x2 x
và
.

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố
I = lim
x →1

Câu 1.

x+ 2
x2 − 2

[ Mức độ 1]Giá trị của
1+ 2
−1 − 2
A.
.

B.
.
I = lim
x →1

Ta có:

bằng
C.
Lời giải

x + 2 1+ 2
=
= −1 − 2
x2 − 2
1− 2

1− 2

.

D.

−1 + 2

.

.

x + x +1

= a+b 2
x +1
2

lim
x →1

Câu 2.

[ Mức độ 1]Biết
2
A. .

lim
x →1

Ta có:
Do vậy

1
B. .

(với

a; b Ô

C.
Li gii

4

.

x + x2 + 1 1 + 2 1 1
1
=
= + × 2⇒a=b=
x +1
1+1
2 2
2

a +b =1

). Giá trị của

a+b

bằng
3
D. .

.

.
x2 − 9
x →−3 x + 3
lim

Câu 3.

[ Mức độ 1]Giới hạn
−3
A. .

bằng

B.6.

C.
Lời giải

−6

.

D.

+∞

.

x2 − 9
= lim ( x − 3)
x →−3 x + 3
x →−3
= −6
lim

Tacó:

.
2 x − 3x + 1
lim
x →1
1 − x2
2

Câu 4.

[ Mức độ 2]Giới hạn
1
2
A. .

Ta có:

B.

bằng
1
4

x →1

[ Mức độ 2]Tính
7
I=
8
A.

.

.

−

C. .
Lời giải
2
x
−
1
2
x
−
1
)(
) = lim 2 x − 1 = − 1
2 x − 3 x + 1 = lim (
lim
x →1 ( 1 − x ) ( 1 + x )
x →1 − ( x + 1)
2
2
x →1
1− x
I = lim

Câu 5.

1
−
4

2x − x + 3
x2 −1

B.

3
I=
2

D.

1
2

.

.

.
I=

.

KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

C.

Lời giải
16

3
8

I=

.

D.

3
4

.

NĂM HỌC: 2020-2021


(

)(
(

)
)

2x − x + 3 2x + x + 3
2x − x + 3

4x2 − x − 3
lim
= lim
= lim
x →1
x →1
x2 − 1
( x − 1) ( x + 1) 2 x + x + 3 x→1 ( x − 1) ( x + 1) 2 x + x + 3
Ta có:

( x − 1) ( 4 x + 3)
x →1
( x − 1) ( x + 1) ( 2 x + x + 3 )

= lim

x →4

[ Mức độ 2]Cho
22
A.
.
lim
x →4

Câu 7.

Câu 8.

B.

, với

.

x+3

)

7
8

.

a
b

2a + b
là phân số tối giản. Tính
?
−2
14
C.
.
D. .
Lời giải

(

3

3
=
3x + 4 + 4 8

)

C.
Lời giải

.
2020
lim
x →+∞ 3 x + 2021

B.

2020
2021

5
7

.

−

.

D.

4
7

.

bằng

.

2020
x
= lim
=0
x →+∞
2020
2021
lim
3+
x →+∞ 3 x + 2021
x

lim

x →−∞

[ Mức độ 2]Tính
A.

( x + 1) ( 2 x +

=

5
−4
5 − 4x
x
lim
= lim
= −2
x →−∞ 2 x + 7
x →−∞
7
2+
x

[ Mức độ 1] Kết quả

Có:

4x + 3

3( x − 4)
3x + 4 − 4
= lim
x →4
x−4
( x − 4 ) 3x + 4 + 4 = lim
x →4

0

A. .

Câu 9.

6

Có:
⇒a =3 b=8
;
.
2a + b = 6 + 8 = 14
Vậy
.
5 − 4x
lim
x →−∞ 2 x + 7
[ Mức độ 1]Tính
.
5
2
−2
A. .
B. .

Có:

x →1

3x + 4 − 4 a
=

x−4
b

lim

Câu 6.

= lim

(

−∞

.

x2 − 2x + 3 − x
2x −1

B.

0

C.
Lời giải

2020
3

.

D.

+∞

.

.

.

.

KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

C.
Lời giải

−1

−

.

17

D.

1
2

.

NĂM HỌC: 2020-2021

)


x − 2x + 3 − x
= lim
x →−∞
2x −1
2

lim

x →−∞

Có:

2 3
+
−x
x x2
2x −1

−x 1−

(do

x<0

nên

x2 = − x

)

2 3
− 1− + 2 −1
x x
= lim
x →−∞
1
2−
x
= −1

.
2x2 − x + 1
x →−∞
x+2
lim

Câu 10. [ Mức độ 2]Giới hạn
+∞
A.
.

Ta có:

−2
C.
.
Lời giải
1 1 

 
1 1
x2  2 − + 2 ÷
2− + 2


2x2 − x + 1
x x 
x x
lim
= lim 
= lim  x. 
x →−∞
x
→−∞
x
→−∞
x+2
 2
  1+ 2
x 1 + ÷
 
x
 x

lim x = −∞

(Vì

x →−∞

và

B.

−∞

bằng

1
D. .

.

1 1
2− + 2
x x = 2 >0
lim
x →−∞
2
1+
x



÷
÷ = −∞
÷
 

.

).
TIẾT
5

3. HOẠT ĐỘNG 3: CỦNG CỐ KIẾN THỨC
3.2.1. Mục tiêu: Học sinh tínhđược giới hạn một bên và giới hạn tại vô cực của hàm số và vận dụng
được kiến thức giới hạn để làm bài tốn liên mơn.
3.2.2. Nội dung: Học sinh trả lời các câu hỏi của giáo viên và hoàn thiện các bài tập trong SGK
3.2.3. Sản phẩm: Học sinh trả lời được các câu hỏi của giáo viên
3.2.4. Tổ chức các hoạt động dạy học
TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG CỦA GV, HS
DỰ KIẾN SẢN PHẨM
Bài tập 4 (SGK)
-Chuyển giao nhiệm vụ
lim ( 3 x − 5 ) = 1
+Yêu cầu HS chuẩn bị bài tập theo nhóm tại nhà.
 x→2
2

+Gọi học sinh đại diện của 1 nhóm lên bảng trình
x − 2) = 0
(
lim

x→2
3x − 5
bày lời giải bài tập 4.

lim
= +∞
2
2
-Thực hiện nhiệm vụ
x →2
( x − 2 ) > 0 khi x ≠ 2
( x − 2)
+HS đại diện nhóm lên bảng trình bày lời giải của
a)
vì
nhóm mình.
 lim− ( 2 x − 7 ) = −5
+HS các nhóm khác nhận xét lời giải.
 x→1
-Gv chốt phương án nêu kiến thức mới
( x − 1) = 0
 lim
Đánh giá nhận xét lời giải của các nhóm, chỉnh sửa
x →1−
2x − 7
hồn thiện (nếu cần) cho các nhóm.
lim−
= +∞ 
 x − 1 < 0 khi x < 1
x →1

x −1
-Củng cố kiến thức
b)
vì
GV yêu cầu học sinh nhắc lại quy tắc tìm giới hạn
 lim+ ( 2 x − 7 ) = −5
vô cực của một thương (GV chiếu lại quy tắc).
x →1

lim+
c)
KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

x →1

2x − 7
= −∞
x −1
18

vì


( x − 1) = 0
 lim
+
 x→1
 x − 1 > 0 khi x > 1

NĂM HỌC: 2020-2021

Bài tập 6 (SGK)
-Chuyển giao nhiệm vụ
+Yêu cầu HS chuẩn bị bài tập theo nhóm tại nhà.
+Gọi học sinh đại diện của 1 nhóm lên bảng trình
bày lời giải bài tập 6 ý a) và ý c).
+Gọi học sinh đại diện của 1 nhóm lên bảng trình
bày lời giải bài tập 6 ý b) và ý d).
-Thực hiện nhiệm vụ
+Lần lượt 2 HS đại diện 2 nhóm lên bảng trình bày
lời giải của nhóm mình.
+HS các nhóm khác nhận xét lời giải.
-Gv chốt phương án nêu kiến thức mới
Đánh giá nhận xét lời giải của các nhóm, chỉnh sửa
hồn thiện (nếu cần) cho các nhóm.
-Củng cố kiến thức
GV yêu cầu học sinh nhắc lại quy tắc tìm giới hạn
vơ cực của một tích (GV chiếu lại quy tắc).

Nhóm 1
a)

  1 1 1 
lim ( x 4 − x 2 + x − 1) = lim  x 4 1 − 2 + 3 − 4 ÷ = +∞
x →+∞
x →+∞
  x x x 

2 5 

lim x 2 − 2 x + 5 = lim  − x 1 − + 2 ÷ = +∞
x →−∞
x →−∞
x x 


c)
Nhóm 2
b)

 
1 5 
lim ( −2 x 3 + 3x 2 − 5) = lim  x 3  −2 + 3 − 3 ÷ = +∞
x →−∞
x →−∞
x x 
 

x +1 + x
= lim
x →+∞
5 − 2x
2

lim

x →+∞

d)
Bài tập 7 (SGK)

-Chuyển giao nhiệm vụ
+Yêu cầu HS chuẩn bị bài tập theo nhóm tại nhà.
+Gọi học sinh đại diện của 1 nhóm lên bảng trình
bày lời giải bài tập 7.
-Thực hiện nhiệm vụ
+HS đại diện nhóm lên bảng trình bày lời giải của
nhóm mình.
+HS các nhóm khác nhận xét lời giải.
-Gv chốt phương án nêu kiến thức mới
Đánh giá nhận xét lời giải của các nhóm, chỉnh sửa
hồn thiện (nếu cần) cho các nhóm.
-Củng cố kiến thức
GV nhắc lại quy tắc tìm giới hạn vơ cực của một
thương (GV chiếu lại quy tắc).

a) Ta có

1
+1
x2
= −1
5
−2
x

1+

1 1 1
df
+ = ⇔ d′ =

=ϕ( d)
d d′ f
d− f

lim+ ϕ ( d ) = lim+

d→ f

d→ f

b) +)

.

df
= +∞
d−f

 lim+ ( df ) = f 2 > 0
d → f

(d− f ) =0
 dlim
→f+

d − f > 0 khi d > f

vì
Giải thích ý nghĩa: Khi vật thật ở ngồi tiêu cự và
tiến dần đến vị trí tiêu điểm thì ảnh của vật là ảnh

thật ngược chiều với vật và nằm ở vô cực.

lim− ϕ ( d ) = lim−

d→ f

+)

d→ f

df
= −∞
d−f

 lim− ( df ) = f 2 > 0
d → f

(d − f ) =0
 dlim
−
 →f
d − f < 0 khi d < f

vì
Giải thích ý nghĩa: Khi vật thật ở trong tiêu cự và
tiến dần đếnvị trí tiêu điểm thì ảnh của vật là ảnh
ảo cùng chiều với vật và nằm ở vô cực.

lim ϕ ( d ) = lim

d →+∞

d →+∞

f
f
1−
d

= f

+)
.
Giải thích ý nghĩa: Khi vật thật được đặt ở xa vô
cùng sẽ cho ảnh ở tiêu điểm.
KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

19

NĂM HỌC: 2020-2021


Câu hỏi trắc nghiệm củng cố
x - 15
x- 2

lim

x® 2+

Câu 1.

Kết quả của giới hạn
A.

Vì

- ¥.

B.

-

+¥ .

C.
Lời giải

ìï lim ( x - 15) = - 13 < 0
ïï x® 2+
x − 15
í
= −∞
ïï lim ( x - 2) = 0 & x - 2 > 0, " x > 2 lim+
x 2 x 2
ùợ xđ 2+
lim

xđ 2+

Cõu 2.

l:

Kt quả của giới hạn
A.

- ¥.

x- 2

Câu 3.

Kết quả của giới hạn
A.

- ¥.

2

.

-

+¥ .

C.
Lời giải

15

.
2

x+2
= +∞
x−2

⇒ lim+
x →2

1
D. .

.

3x + 6

( x + 2)

B.

( x + 2) > 0

1.

là

ìï lim x + 2 = 2 > 0
ïï x® 2+
í

ïï lim x - 2 = 0 & x - 2 > 0, " x > 2
ùùợ xđ 2+

lim +

D.

x+2

B.

x đ( - 2)

15
.
2

2

l

3.

C.
Li giải

+¥ .

D.

−3

.

x >- 2,

Ta có

vớimọi
do đó :
3 ( x + 2)
3x + 6
3
lim
= lim
= lim
2
2
x ®( - 2) ( x + 2)
x ® ( - 2) ( x + 2 )
x®( - 2) x + 2
+

+

+

.
lim
3

=
3
>
0

 x →( −2) +

( x + 2 ) = 0, x + 2 > 0, ∀x > −2 ⇒ lim + 3 = +∞
 x →lim
+
−
2
(
)
x →( − 2 ) x + 2

lim ( x - x3 +1)

Cõu 4.

Giỏ tr ca gii hn
A.

xđ- Ơ

l

1.

B.

- ¥.

C.
Lời giải

ỉ1
1ư
lim ( x - x 3 +1) = lim x 3 ỗ
- 1+ 3 ữ
ữ
ỗ
2
ữ= +Ơ
ỗ
x đ- Ơ
xđ- Ơ
ốx
x ứ

vỡ

x - x +1 : ( - 1) x ắắ
đ+Ơ
3

3

Giinhanh:
lim

Cõu 5.

Giỏ tr ca gii hn
A.

4.

x đ+Ơ

.

(

khi
4 x2 + 7 x + 2 x

B.

0.

D.

+Ơ .

ỡù lim x3 = - Ơ
ùù xđ- Ơ
ùớ
.
ử

1
1ữ
ùù lim ổ
ỗ
1
+
=
1
<
0
ữ
ỗ
ùù xđ- Ơ ỗ
ốx 2
ứ
x3 ữ
ợ

xđ- Ơ .

)

- ¥.

KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

là:
C.
Lời giải

6.

20

D.

+¥

.

NĂM HỌC: 2020-2021


lim

x đ+Ơ

ổ
ử
7
ữ
ỗ
4 x 2 + 7 x + 2 x = lim x ỗ
4 + + 2ữ
= +Ơ
ữ
ỗ
ữ
xđ+Ơ
ỗ

x
ố
ứ

(

)

lim ( 4 x + x + 2 )
3

Câu 6.

Giá trị của
A.

0

vì

ìï lim x = +Ơ
ùù xđ+Ơ
ùớ
ổ
ử
.
7
ữ
ùù lim ỗ
ữ

ỗ
4
+
+
2
=
4
>
0
ữ
ùù xđ+Ơ ỗ
ữ
ỗ
x
ố
ứ
ùợ

2

x

bng

.

B.

C.
Li gii

1 2 

lim ( −4 x3 + x 2 + 2 ) = lim ( x3 ) .  −4 + + 3 ÷
x →−∞
x →−∞
x x 


.
1
2


 −4 + + 3 ÷ = −4
lim ( x3 ) = −∞ xlim
→−∞
x x 

x →−∞
Ta có:
và
.
3
2
lim ( −4 x + x + 2 ) = −∞. ( −4 ) = +∞
x →−∞
Vậy

.

lim

x →−∞

Câu 7.

Giới hạn
−∞
A.
.

x2 + 2 − 2
x−2

Chia cảtửvàmẫucho

lim

x →−∞

Câu 8.

.

bằng
1
B. .

C.
Lờigiải

x>0

+∞

.

D.

.

D.

ta được:
2 2
− 1+ 2 −
x2 + 2 − 2
x
x = − 1 + 0 − 0 = −1
= lim
x →−∞
2
x−2
1− 0
1−
x

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

3
lim x 2 − x + 1 + x − 2 = −
x →−∞
2
A.
.

(

lim

C.

+∞

x →+∞

(

)

)

x →( −1)

lim +

x 2 − x + 1 + x − 2 = +∞
.

.

−1

.

lim −

B.

2

x →( −1)

3x − 2
= −∞
x +1
3x − 2
= −∞
x +1

.

D.
.
Lời giải
lim ( x + 1) = 0; lim − ( 3 x − 2 ) = −5 < 0
x + 1 < 0, ∀x < −1
x →( −1)−
x →( −1)

Vì
và
3x − 2
lim −
= +∞.
x →( −1) x + 1
nên
x + 3 x3 + x + 1 a
a
lim
=
2
x →−∞
b
a ,b ∈¢ b ≠ 0
x − 4x +1
a−b
b
Câu 9: Cho
với
,
và là phân số tối giản. Tính
.
−3
2
1
−1
A.
.
B. .

C. .
D.
.
Lời giải

KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

21

NĂM HỌC: 2020-2021


lim

x →−∞

Có
Vậy

x + 3 x3 + x + 1
x − 4x +1
2

= lim

x →−∞

1
1
+ 3

2
x
x
1
2
1+ 4 + 2
=
x
3

1+ 3 1+

a=2 b=3
a − b = −1
,
nên
.

.

195
Câu 10. Nhu cầu mỗi tháng đối với một sản phẩm mới hiện nay là
tấn. Nhà quản lí của xí
x
nghiệp đưa ra một dự đốn rằng sau năm kể từ bây giờ nhu cầu hàng tháng cho sản phẩm
259 x 2 + 95
S ( x) =
x2 + 9
sẽ là
tấn. Hỏi nhu cầu đối với sản phẩm này hàng tháng sẽ đạt tới mức

giới hạn nào sau một khoảng thời gian thật dài?
354
295
95
259
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Dự đoán sau một khoảng thời gian thật dài, nhu cầu hàng tháng đối với sản phẩm trên sẽ đạt
tới mức giới hạn là giá trị của biểu thức
95
259 + 2
2
259 x + 95
x = 259
lim
= lim
x →+∞
x →+∞
9
x2 + 9
1+ 2
x

.
4. HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG (Bài toán thực tiễn)
4.1. Mục tiêu: Học sinh vận dụngkiến thức giới hạn của hàm số vào giải một số bài toán thực tế.
4.2. Nội dung: Học sinh trả lời các câu hỏi của giáo viên hoàn thiệnbài tập.
4.3. Sản phẩm: Học sinh trả lời được các câu hỏi của giáo viên.
4.4. Tổ chức các hoạt động dạy học
TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG CỦA GV, HS
DỰ KIẾN SẢN PHẨM
-Chuyển giao nhiệm vụ
Cho học sinh nghiên cứu bài tập sau theo cặp và làm
*Bài toán 1:
bài vào phiếu trả lời
236
138
+
*Bài toán 1:Theo dự đoán tỉ lệ tuổi thọ con người của
x = 69
lim T ( x ) = lim
một nước đang phát triển, sau x năm kể từ bây giờ là:
x →+∞
x →+∞
5

T ( x) =

138 x + 236
2x + 5

2+

x

năm. Hỏi tuổi thọ của con người
sẽ đạt được tới mức giới hạn là bao nhiêu?

Vậy tuổi thọ của con người sẽ đạt được tới
mức giới hạn là 69 tuổi.

*Bài tốn2: Lồi chim Ht ở Bắc Mĩ sinh sản vào
mùa xuân và mỗi tổ thường có từ 3 đến 5 quả trứng.
Chỉ 25% chim non sống sót trong năm đầu tiên. Biểu
đồ bên dưới minh họa kích thước quần thể P(t) của
đàn chim Hoét trong thời điểm 7 ngày đầu, trong đó t
là số ngày bắt đầu từ trưa ngày 0.

*Bài toán2:

t=2

a) Từ biểu đồ trên, ta thấy rằng tại
, cá
thể chim Hoét tăng thêm một (rất có thể là một
con chim con nở). Tại

t =3

, có thêm hai cá

t=4

t =5

thể chim non đã nở. Giữa
và
các
cá thể chim Hoét giảm xuống 4, do đó 4 cá thể
trong số chúng đã chết (có thể vì bị săn mồi);

lim P ( t ) = 26, lim− P ( t ) = 25

b) Ta có:

t → 2+

t →2

⇒ lim+ P ( t ) ≠ lim− P ( t )
t →2

KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

22

t →2

.

NĂM HỌC: 2020-2021

a) Điều gì xảy ra tại

t =5

t=2

? Tại

?

t =3

t=4

? Ở giữa

và

lim P ( t ) , lim− P ( t )

t → 2+

t →2

b) Tìm giá trị của các giới hạn
,
nhận xét gì về giá trị các giới hạn vừa tìm được.
-Thực hiện nhiệm vụ
+GV HD HS làm giải hai bài tốn trên.
+HS trình bày lời giải vào phiếu học tập

-Gv chốt phương án nêu kiến thức mới
Chiếu bài giải của một vài HS, đặt câu hỏi cho các HS
khác nhận xét, trả lời sau đó chỉnh sửa hồn thiện nếu
có.
-Củng cố kiến thức
GV củng cố lại kiến thức đã học thông qua một số câu
hỏi trắc nghiệm.
CÂU HỎI CỦNG CỐ TRẮC NGHIỆM TOÀN BÀI
I. MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
lim 2x2 − 3x + 12
Câu 1:
[Mức độ 1] Giá trị của giới hạn x→1
là
13
A. 12 .
B. .
C. 11 .
D. 14 .
Lời giải
2
lim 2x − 3x + 12
2
Ta có: x→1
= 2.1 − 3.1+ 12 = 11.
Câu 2:
[Mức độ 1] Giới hạn nào dưới đây có kết quả bằng 3?
3x2
3x
−3x
−3x

lim
lim
lim
lim
A. x→1 x − 2 .
B. x→1 2 − x .
C. x →1 x − 2 .
D. x →1 x − 2 .
Lời giải
lim ( −3 x ) −3
−3 x
lim
= x →1
=
=3
x →1 x − 2
lim ( −3 x ) = −3
lim ( x − 2 ) = −1
lim ( x − 2 ) −1
x →1
Ta có x→1
và x →1
nên
.
Câu 3:
[Mức độ 1] Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có giá trị bằng 5

(

(

)

(
A.
lim( 3x - 2)
C.

)

(

)

lim x2 + 3x + 7

x®- 2

)

xđ2

lim

B.

xđ- Ơ

D.

xđ3-

(

)

x2 + 10 - x

lim x - 3

Li gii
2

lim x2 + 3x + 7 = ( - 2) + 3.( - 2) + 7 = 4 - 6 + 7 = 5

x®- 2

Vì
KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

23

NĂM HỌC: 2020-2021


Câu 4:

[Mức độ 1] Giá trị của

2

A. .

Ta có

x2 − 2x − 3
lim
x →−1
x2 −1

0
C. .
Lời giải
2
x
−
3
x
+
1
(
)(
) = lim x − 3 = −4 = 2
x − 2x − 3
lim
= lim
2
x →−1
x
→−

1
x −1
( x − 1) ( x + 1) x →−1 x − 1 −2

1

B. .

lim
x →2

Câu 5:

[Mức độ 1] Giới hạn
1
A. .

Câu 7:

x+2 −2
x−2

0

B.

x + 2 − 2 = lim
x→2
lim
( x − 2)

x →2
x−2

Câu 6:

là

C.
Lời giải

1
2

.

1
1
=
x + 2 + 2 = lim
x →2
x+2 +2 4

(

)

x − 15
lim+
[Mức độ 1] Kết quả của giới hạn x →2 x − 2 là:
A. 0 .

B. 1 .
C. +∞ .
Lời giải
 lim+ ( x − 15 ) = −13 < 0
 x→ 2

 lim+ ( x − 2 ) = 0
Ta có  x→ 2
.

.

D.

1
4

.

.

D. −∞ .

+
Vì x → 2 nên x > 2 . Do đó x − 2 > 0 .
x − 15
lim+
= −∞
Vậy x →2 x − 2
.

ïì x 2 - 1 khi x ³ 1
f ( x) = ïí
ïïỵ 2 x +1 khi x <1
[Mức độ 1] Cho hàm số
.Mệnh đề nào sau đây là đúng?
lim- f ( x ) = 0
lim- f ( x ) = 3
lim- f ( x ) =- 1
lim f ( x) = 0

A.

x®1

B.

x®1

Do x ® 1 nên x <1 . Ta có:
Suy ra:Đáp án A, C sai.
+

x®1

C.
Lời giải
lim- f ( x) = lim- ( 2 x +1) = 2.1 +1 = 3

x ®1

x ®1

lim+ f ( x ) = lim+ ( x 2 - 1) = 12 - 1 = 0

x ®1
Do x ® 1 nên x > 1. Ta có: x ®1
lim f ( x ) ¹ lim+ f ( x) Þ lim f ( x)
x ®1
⇒ x ®1x ®1
khơng tồn tại.
Suy ra: Đáp án D sai.
Vậy đáp án đúng là B.

Câu 8:

−∞

bằng

.

x−2

D.

[Mức độ 1] Với k là số nguyên dương. Kết quả của giới hạn
A. +∞ .
B. −∞ .
C. 0 .
Lời giải

Ta có:

D.

x ®1

.

.

lim x k

x →+∞

là:
D. 1 .

lim x k = +∞

x →+∞

KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

24

NĂM HỌC: 2020-2021


Câu 9:

Tính

lim

x →+∞

1 − 3x
2x + 3 .
1
B. 2 .

A. −3 .

C.
Lời giải

−

3
2.

D. −∞ .

1
−3
3
= lim x
=−
1 − 3 x x →+∞
3

2
lim
2+
x →+∞ 2 x + 3
x
.

lim ( x 3 + 3 x + 1)

Câu 10:

x→−∞

Tính
+∞
A.
.

Ta có:
Câu 11:

1
B. .

2
C. .
Lời giải
3 1

lim ( x3 + 3x + 1) = lim x 3. 1 + 2 + 3 ÷ = −∞.( 1 + 0 + 0 ) = −∞

x→−∞
x→−∞
x 
 x

f ( x)

Cho hàm số
xác định trên
thiên như hình vẽ:

¡ \ { −1}

D.

A.

lim − y = −4

x →( −1)

.

B.

.

lim + y = +∞

x →( −1)

,
II. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU

Câu 1.

x →−∞

, liên tục trên các khoảng xác định và có bảng biến

x →−1

C.
Lời giải
lim y

nên không tồn tại

x →−1

lim y = −2
.

D.

x →2

.

.

x4 + 8x
lim
x →−2 x 3 + 2 x 2 + x + 2

[ Mức độ2] Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
là:
24
24
21
21
−
−
5
5
5
5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
4
x ( x + 2) ( x2 − 2x + 4)
x ( x2 − 2x + 4)
x + 8x
24

lim 3
= lim
= lim
=− .
2
2
2
x →−2 x + 2 x + x + 2
x→−2
x →−2
5
( x + 2 ) ( x + 1)
( x + 1)

f ( x ) = ( x + 2)
Câu 2.

.

.

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
lim y = +∞
lim y = 2
lim y = −4
x →+∞

−∞

[ Mức độ 2] Cho hàm số

0
A. .
tại.

B.

1
2

x −1
x + x2 + 1

lim f ( x )

4

. Chọn kết quả đúng của

1
C. .

.

x →+∞

D. Không tồn

Lời giải
KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

25

:

NĂM HỌC: 2020-2021