BAI TAP NANG CAO HINH HOC 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i>Bài tập Nâng cao Chương 1 </i>

<b>Bài 1: a) Tìm x và y trong mỗi hình bên</b>

(a) (b)

b) Tìm x, y, z trong hình c

<b>(c) </b>

<b>Bài 2: a) Cho tam giác ABC vng tại A. Vẽ hình và thiết lập các hệ thức tính các tỉ số lượng giác của </b>
góc B. từ đó suy ra các hệ thức tính các tỉ số lượng giác của góc C.

b) Khơng dùng bảng và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau đây theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
sin240_{; cos35}0_{; sin54}0_{; cos70}0_{; sin78}0_.

c) Không dùng bảng số và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
cotg250_{; tg32}0_{; cotg18}0_{; tg44}0_{; cotg62}0_.

<b>Bài 3: a) Dựng góc nhọn </b><i>a</i>, biết rằng

4

tg

5

<i>a =</i>

.
b) Dựng góc nhọn <i>a</i>, biết rằng

1

cot g

2

<i>a =</i>

.
c) Dựng góc nhọn <i>a</i>, biết

3

sin

5

<i>a =</i>

<b>Bài 4:</b>

<b>1. Cho tam giác DEF có ED = 7 cm, </b>Dµ =40 , F0 $=580. Kẻ đường cao EI của tam giác đó. Hãy tính:
a) Đường cao EI.

b) Cạnh EF.

<b>2. Giải tam giác vuông ABC, biết rằng </b>

A

µ

=

90

0, AB = 5, BC = 7.

<b>3. Hãy tính các góc nhọn của một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 13 : 21. </b>

<b>Bài 5: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trên cạnh BD lấy điểm C sao cho BC = 3 </b>
cm. Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E.

a) Tính AD.

b) Tính các góc BAD, BAC. Từ các kết quả đó, có thể kết luận rằng Ac là tia phân giác của góc BAD

khơng ?.

c) Chứng minh tam giác ADE cân tại D.

d) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD.

<b>Bài 6: Cho hình vng ABCD, cạnh AB = 1 đơn vị độ dài. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, AD.</b>
a) Tính diện tích hình cánh diều AICJ bằng các cách khác nhau.

b) Tính sinICJ.

<b>Bài 7: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) đường cao AH, AB = 8 cm, CD = 12 cm, AD = 10 cm.</b>
a) Tính AH.

b) Tính số đo góc ADC, suy ra số đo góc ABC.

c) Tính AC. Vì sao ta khơng có hệ thức 2 2 2

1

1

1

?

AD

+

AC

=

AH

<b>Bài 8. Cho hình thang ABCD vuông tại B và C, AC  AD. Biết </b>àD= 580_{, AC = 8.}
a) Tính độ dài các cạnh AD, BC

b) Chøng minh AC2_{= AB.DC}

<b>Bài 9: Cho ABC có </b>

A

µ

=

60

0. Kẻ BH  AC và CK  AB.

a) chứng minh KH = BC.CosA

b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều

5
4

z
y
x
25

9
x

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Bài 10: Cho ABC có </b>µA là góc nhọn. Chứng minh diện tích của tam giác đó là S=

1

2

_{AB.AC.sinA. p}
dụng: a) Tính

S

(ABC)_{biết AB = 4 cm, AC = 7 cm và}

A

µ

=

60

0

b) Biết

S

(ABC)₌5 2_(cm2_{), AB = 4 cm, AC = 5 cm. Tính số đo của}µA
<b>Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có </b>µA < 900_{. Chứng minh diện tích của hình đó là}
S =AB.AD.sinA. p dụng: Biết (ABCD)

27 3

S

2

=

(cm2_{) , AB = 4,5 cm, AD = 6 cm. Tính số đo các góc}
của hình bình hành ABCD.

<b>Bài 12: Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O, tạo thành góc nhọn AOD. Chứng minh:</b>

·

(ABCD)

1

S

AC.BD.sin AOD

2

=

. p dụng: Cho hình vng ABCD (

A

µ

= =

D

µ

90

0 ), AB = 12 cm, AD = 9
cm, DC = 18 cm. Hai đường chéo cắt nhau tại O. Tính

sin AOD

·

.

<b>Bài 13: Cho ABC (</b>µA< 900_{). Trên cạnh AB lấy điểm B’, trên cạnh AC lấy điểm C’. Chứng minh:}
(ABC)

(AB'C')

S

_AB.AC

S

=

AB'.AC '

_.

<b>Bài 14: Cho ABC có 3 góc nhọn, các cạnh đối diện với các góc </b>A , B,Cµ µ µ theo thứ tự là a, b, c. Chứng
minh:

a

b

c

sin A

=

sin B

=

sin C

_.

<b>Bài 15: Tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 6 cm, </b>µA= 1200_{. Kẻ đường phân giác AD của}µA_{. Tính độ dài}
của AD.

<b>Bài 16: Cho ABC có </b>µA= 700_{, AB = 10 cm. Số đo của các góc B và C tỉ lệ với 4 và 3. Tính độ dài của các}
cạnh CA, CB và S(ABC).

<b>Bài 17: Cho ABC có </b>

C

µ

=

45

0, AB.AC =

32 6

, AB:AC =

6 : 3

. Tính số đo cạnh BC; µBvà S(ABC)
<b>Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Biết đường chéo AC = 14 cm,</b>

·

sin AOD=0,6_{. Tính}tgADB· _{và độ dài các cạnh hình chữ nhật.}

<b>Bài 19: Cho tam vuông ABC (</b>µA= 900_{), cạnh AB = 3 cm. Kẻ trung tuyến AM. Biết}sin AMB· =0,8
Tính tgB và S(ABC).

<b>Bài 20: Cho hình bình hành ABCD ( </b>

ACD 90

·

<

0).

a) Chứng minh :

AD

2

=

CD

2

+

CA

2

-

2CD.CA.cos ACD

·

.
b) Nếu CD = 6 cm, CA = 4 cm,

·

1

cos ACD

3

=

thì tứ giác ABCD là hình gì?. Tính diện tích của tứ
giác đó.

<b>Bài 21: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC; </b>µA< 900_{). Kẻ BK  AC.}
a) Chứng minh :

A

µ

=

2.KBC

·

.

b) Chứng minh :

A

A

sin A

2.sin

.cos

2

2

=

.
c) Biết

·

2

sin KBC

3

=

, tính sinA.

<b>Bài 22: Cho tam giác vng ABC ( </b>µB= 900_{). Lấy điểm M trên cạnh AC. Kẻ AH  BM, CK  BM.}
a) Chứng minh : CK=BH.tgBAC· .

b) Chứng minh :

·

2

MC

BH.tg BAC

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 23: Cho ABC có </b>µA= 600_{. Kẻ BH  AC và CK  AB.}
a) Chứng minh : KH = BC.cosA.

b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều.

<b>Bài 24: Cho tam giác ABC có BC = a. </b>

ACB

·

=

45

0_{. Về phía ngồi của ABC, vẽ các hình vng ABDE}
và ACFG. Giao điểm các đường chéo của hai hình vng là Q và N. Trung điểm của BC và EG là M và
P.

a) Chứng minh AEC = ABG.

b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vng.

c) Biết

<i>·BGC a</i>

=

. Tính diện tích hình vuông MNPQ theo a và <i>a</i>.

<b>Bài 25: Cho hình chữ nhật MNPQ có 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh của hình thoi ABCD ( M  AB, N  BC, P  </b>
CD, Q  DA ). Các cạnh hình chữ nhật song song với các đường chéo của hình thoi. Biết AB = 7 cm.

·

tgBAC=0, 75_.

a) Tính diện tích hình thoi ABCD.

b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích hình chữ nhật MNPQ đạt giá trị lớn
nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

<b>Bài 26: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD. Kẻ CH  AD và CK  AB.</b>
a) Chứng minh CKH ~ BCA.

b) Chứng minh

HK

=

AC.sin BAD

·

.

c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết

BAD

·

=

60

0, AB = 4 cm và AD = 5 cm.
<b>Bài 27: Cho ABC (</b>µA= 900_{). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF  BC. Nối AF và BE.}

a) Chứng minh AF = BE.cosC.

b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính

sin AOB

·

.

<b>Bài 28: Cho hình vng ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4 cm. Trung điểm của AB và BC theo thứ tự là </b>
M và N. Nối CM và DN cắt nhau tại P.

a) Chứng minh CM  DN.

b) Nối MN, tính các tỉ số lượng giác của góc

·CMN

.

c) Nối MD, tính các tỉ số lượng giác của góc

·MDN

và diện tích tam giác MDN.
<b>Bài 29: Cho hình chữ nhật ABCD; </b>

sin DAC

·

= 0,8 ; AD = 42 mm, kẻ CE  BD và DF  AC.

a) AC cắt BD ở O, tính

sin AOD

·

.

b) Chứng minh tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích của nó.

c) Kẻ AG  BD và BH  AC, chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật và tính diện tích của nó.
<b>Bài 30: Cho đoạn thẳng MN = 6 cm. Vẽ đường tròn tâm M bán kính 3,6 cm. Vẽ đường trịn tâm N bán </b>
kính 4,8 cm, chúng cắt nhau tại A và B.

a) Chứng minh : 2 2 2

4

1

1

MB

=

AM

+

AN

b) Tính số đo các góc của MAB.

<b>Bài 31: Cho tam giác vng ABC ( </b>µA = 900_{). Kẻ đường thẳng song song với cạnh BC cắt các cạnh góc}
vng AB và AC tại M và N. Biết MB = 12 cm và NC = 9 cm, trung điểm của MN và BC là E

vaø F .

a) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng.

b) Trung điểm của BN là G. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của EFG.
c) Chứng minh EFG ~ ABC.

<b>Bài 32: Cho ABC, kẻ AH  BC, bieát BH = 9 cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75. Trên AH lấy điểm O sao cho </b>
OH = 2 cm.

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

AM

OP

ON

2

AB

=

OB

=

OC

=

5

_{. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của MPN.}

<i>Bài tập Nâng cao Chương 2</i>

<i>1. Định nghĩa và sự xác định đường tròn</i>

<i>Bài1: Cho đường tròn (O; R) và 1 điểm M nằm trên (O; R). dựng điểm N sao cho MN vng góc với OM </i>
đồng thời MN có độ dài bằng a cho trước.

a) Tìm tập hợp điểm N.

b) Tìm tập hợp chân đường vng góc hạ từ M xuống ON.

c) Tìm hệ thức giữa a và R để cho đường tròn (O; R) là tập hợp trọng tâm của MON.

<i>Bài 2: Cho 1 đoạn thẳng cố định AB có độ dài bằng 2a. Gọi I là trung điểm của AB. K là trung điểm của </i>
IB Trên tia Kx kẻ tuỳ ý, lấy 1 điểm M sao cho

KMB

¼

=

MAB

¼

.

a) So sánh hai tam giác KMB và MAB.
b) Tìm tập hợp điểm M.

c) Dựng điểm M với a = 3 cm.

BKx 120

¼

=

0 (khơng dùng thước đo góc).

<i>Bài 3: Cho một hình vng ABCD, cạnh bằng a. Một đoạn thẳng MN có độ dài thay đổi, M chạy trên AB,</i>
N chạy trên CD sao cho chu vi tam giác AMN luôn luôn không đổi và bằng 2a. Gọi H là chân đường
vng góc hạ từ C xuống MN. Chứng minh rằng H luôn nằm trên một đường tròn cố định.

<i>Bài 4: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên cùng một đường thẳng theo thứ tự đó.</i>
a) Hãy dựng đường trịn (O), (O1), (O2), (O3) có đường kính là AD, AB, BC, CD.

b) CMR mọi điểm nằm trên (O1), (O2), (O3) không kể hai điểm A và D đều nằm trong (O).
c) CMR mọi điểm nằm trên (O2) không kể hai điểm B và C đều nằm ngoài (O1) và (O3)

<i>Bài 5: Cho hai điểm A và B cố định. Một đ.thẳng d đi qua A. Gọi P là điểm đối xứng của B qua d.</i>
a) Tìm quĩ tích các điểm P khi d quay xung quanh điểm A.

b) Xác định vị trí của d để BP có độ dài lớn nhất, có độ dài bé nhất.
<i>Bài</i>

<i> 6 : Cho hình thang cân ABCD (AD // BC); </i>

1

BC

CD

AD

a

2

=

=

=

.

a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên cùng một đường tròn. Hãy xác định tâm O và bán kính của đường trịn
này.

b) Chứng minh AC  OB.

<i>Bài 7: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác, N, P, Q lần lượt là trung điểm</i>
của AH, AB, AC. Chứng minh OPNQ là hình bình hành.

<i>Bài 8: Cho ABC, các góc đều nhọn. Vẽ đường trịn tấm đường kính AB, vẽ đường trịn tâm O đường kính</i>
AC. Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) tại D và E, cắt đường tròn (O) tại H và K (các điểm xếp đặt theo
thứ tự D, H, E, K).

a) Chứng minh BD, BE là những đường phân giác của góc

·ABC

; CK, CH là những đường phân giác của
góc

·ACB

.

b) Chứng minh BDAE, AHCK là những hình chữ nhật.

<i>Bài 9: Cho đường trịn (O) dường kính AB. Vẽ bán kính OC vng góc với AB tại O. Lấy điểm M trên</i>
cung AC. Hạ MH  OA. Trên bán kính OM lấy điểm P sao cho OP = MH.

a) Tìm q tích các điểm P khi M chạy trên cung AC..

b) Tìm quĩ tích các điểm P lấy trên bán kính OM sao cho OP bằng khoảng cách từ M đến AB khi M chạy
khắp đường tròn (O).

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i>Bài 1: Cho hai đường tròn bằng nhau (O ; R) và (O’; R) và hai dây AB, CD bằng nhau theo thứ tự thuộc </i>
hai đường tròn ấy sao cho B và C nằm giữa A và D và AB < 2R.

a) Chứng minh rằng AD // OO’.
b) Chứng minh rằng AC = OO’ = BD.

c) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ rằng điểm I nằm trên một đường cố định khi các dây AB, CD
thay đổi vị trí sao cho AB, CD ln ln bằng nhau và B, C luôn nằm giữa A, D.

<i>Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên một đường trịn (O) sao cho AB là đường kính. Gọi I, K lần lượt </i>
là chân các đường vuông góc hạ từ A và B xuống đường thẳng CD. Chứng minh CI = DK.

<i>Bài 3: Cho đường tròn (O ; R) và đường kính CD vng góc với dây AB tại điểm I.</i>

a) Tìm cơng thức tính R theo AI, CI.

b) Miệng của một tháp nước hình vành khăn bị vỡ gần hết, chỉ cịn sót lại một mảng cung trịn. Hãy tìm
cách đo đạc trên mảng cịn lại đó để tính đường kính của miệng tháp ấy.

<i>Bài 4: Cho đường tròn (O ; R) và hai điểm A, B với AB < 2R. Dựng qua A, B hai đường thẳng song song </i>
sao cho chúng tạo thành với đường tròn (O ; R) hai dây bằng nhau.

<i>Bài 5: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) và giao điểm I của hai đường chéo. Chứng minh rằng I là </i>
điểm chung duy nhất của đường tròn (O ; R) đi qua ba điểm I, A, D với đường tròn (O’ ; R’) đi qua I, B, C.
<i>Bài 6: Cho ABC cân tại A có ba đỉnh nằm trên đường tròn (O ; R). Các đường phân giác trong của góc B</i>
và góc C cắt nhau tại E và lần lượt cắt đường tròn tại D và F. Chứng minh ADEF là hình thoi.

<i>Bài 7: Cho góc </i>xOy· =600. Lấy điểm I cố định trên tia phân giác Ot của góc xOy làm tâm vẽ đường trịn
sao cho nó cắt Ox tại A, Oy tại B (A và B không đối xứng nhau qua Ot). Hạ ID  Ox, IE  Oy.

a) Chứng minh DA = EB.

b) Gọi T là tâm đường tròn qua A, I, B. Chứng minh TAI, TBI là các tam giác đều. Xác định vị trí của T
một cách nhanh nhất.

c) Tìm quĩ tích điểm T khi đường trịn tâm I có độ lớn bán kính thay đổi (nhưng vẫn cắt Ox, Oy).
d) Tìm quĩ tích điểm H, trực tâm của AIB (theo điều kiện câu c).

<i>Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K rồi dựng</i>
hình chữ nhật AHKO. Lấy O làm tâm, vẽ đường trịn bán kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt
cạnh AC tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường trịn (O) với đường thẳng AB. Chứng minh:

a) AEF là tam giác cân.
b) DO  OE.

c) D, A, O, E nằm trên cùng một đường tròn.

<i>Bài 9: Cho hai điểm A, B ở ngồi đường trịn tâm O. Hãy dựng một đường kính CD sao cho </i>
CA = DB.

<i>3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường trịn</i>
<i>Tiếp tuyến của đường trịn</i>

<i>Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau</i>

<i>Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’). Một tiếp tuyến chung ngoài MM’, một tiếp tuyến chung trong NN’ </i>
(M, N nằm trên (O) ; M’, N’ nằm trên (O’)). Các đường thẳng MM’ , NN’ cắt nhau tại tiếp điểm P và các
dây MN, M’N’ cắt PO, PO’ tương ứng tại các điểm Q, Q’.

a) Chứng minh rằng các tam giác MPO, M’O’P đồng dạng, suy ra

M 'O '

MP

M 'P

=

MO

_.
b) Chứng minh rằng

O 'Q '

PQ

Q 'P

=

QO

_.

c) Kéo dài MQ, M’Q’ cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng ba điểm O, I, O’ thẳng hàng.

<i>Bài 2: Cho điểm M nằm ngồi đường trịn (O ; R). Kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC đi qua O.</i>
a) Chứng minh rằng các tam giác MAB, MCA đồng dạng. Suy ra: MA2_{= MB.MC.}

bính R, biết MA = 20 cm ; MB = 8 cm.

<i>Bài 3: Cho điểm M nằm ngồi đường trịn (O ; R). Các tiếp tuyến MA, MB có độ dài bằng a và tạo với </i>
nhau một góc <i>a</i>.

a) Tính bán kính R theo a vaø <i>a</i>.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i>Bài 4: Cho góc xAy và một điểm M nằm trong góc ấy. Tìm trên Ax một điểm I sao cho khoảng cách từ I </i>
đến Ay bằng IM.

<i>Bài 5: Cho tam giác cân OAB trong đó OA = OB và </i>

<i>·AOB a</i>

=

, một đường tròn (O ; R) với R < OA. Hạ
đường cao OH của tam giác OAB và kẻ từ A, B các tiếp tuyến AM, BN với đường trịn (O ; R) sao cho
chúng khơng đối xứng với nhau qua OH. Gọi giao điểm của các đường thẳng AM với BN là I. Chứng
minh rằng độ lớn góc AIB khơng phụ thuộc vào R.

<i>Bài 6: Cho tam giác cân có cạnh đáy bằng 10 cm, các cạnh bên bằng 13 cm. Tính bán kính đường trịn nội</i>
tiếp tam giác.

<i>Bài 7: Tìm cạnh đáy của một tam giác cân, nếu tâm đường tròn nội tiếp chia đường cao thành hai đoạn từ </i>

tâm dến chân đường cao và từ tâm đến đỉnh theo tỉ số

3

12

_.

<i>Bài 8: Tìm đường kính của đường trịn nội tiếp một tam giác vuông nếu cạnh huyền bằng c và tổng các </i>
cạnh góc vng bằng m.

<i>Bài 9: Cho góc </i>xOy· =600. Một đường trịn tâm I bán kính R = 5 cm, tiếp xúc với Ox tại A, tiếp xúc với
Oy tại B. Từ M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, nó cắt Ox tại E, cắt Oy tại F.

a) Tính chu vi OEF. Chứng tỏ rằng chu vi đó có giá trị khơng đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB.
b) Chứng minh ·EIF có số đo không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB.

<i>Bài 10: Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R và một dây AC tạo với AB góc 30</i>0_{. Tiếp tuyến của}
đường tròn tại C cắt đường thẳng AB tại D. Chứng minh rằng:

a) OAC ~ CAD.
b) DB.DA = DC2_{= 3R}2_.

<i>Bài 11: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường trịn tâm I đường kính BH cắt AB tại E, đường trịn</i>
tâm J đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh rằng:

a) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H.
b) EF là tiếp tuyến của (I) tại E, tiếp tuyến của (J) tại F.

<i>Bài 12: Cho ABC cân tại A. Đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:</i>
a) Đường trịn đường kính AI đi qua K.

b) HK là tiếp tuyến của đường trịn đường kính AI.

<i>Bài 13: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB. Lấy điểm D trên bán kính OB. Gọi H là trung điểm</i>
của AD. Đường vng góc tại H với AB cắt nửa đường tròn tại C. Đường tròn tâm I đường kính DB cắt
CB tại E.

a) Tứ giác ACED là hình gì ?
b) Chứng minh HCE cân tại H.

c) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.

<i>Bài 14: Cho nửa đường trịn đường kính AB. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy</i>

M là một điểm tùy ý trên nửa đường trịn, vẽ đường tiếp tuyến, nó cắt Ax tại C, cắt By tại D. Gọi A’ là
giao điểm của BM với Ax, B’ là giao điểm của BM với By. Chứng minh rằng:

a) A’AB ~ ABB’ , suy ra AA’.BB’ = AB2_.
b) CA = CA’ ; DB = DB’.

c) Ba đường thẳng B’A’, DC, AB đồng qui.

<i>Bài 15: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến Ax tại điểm A của đường tròn. Trên Ax chọn hai điểm B, C tùy</i>
ý (C nằm giữa A và B) vẽ hai tiếp tuyến BD, CE với đường tròn đã cho.

a) Chứng minh:

BOC

·

=

DAE

·

.

b) Giả sử B, C ở về hai phía đối với điểm A, chứng minh rằng trong trường hợp này

BOC DAE

·

+

·

=1800_.

<i>4. Vị trí tương đối của hai đường tròn</i>

<i>Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; 4 cm) và (O’ ; 3 cm) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B. biết </i>
OO’ = 5 cm. Từ B vẽ 2 đường kính BOC và BO’D.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

d) Tính độ dài các đoạn AB, CA, AD.

<i>Bài 2: Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại điểm A. Đường thẳng OO’ cắt hai đường tròn (O) và </i>
(O’) lần lượt ở B và C (khác điểm A). DE là một tiếp tuyến chung ngồi của hai đường trịn, D  (O) ; E
 (O’). Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng BD và CE. Chứng minh rằng:

a)

DME

·

=

90

0;

b) MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’);
c) MD.MB = ME.MC.

<i>Bài 3: Cho đường tròn (O ; R), một điểm A nằm trên đường trịn và một điểm B khơng nằm trên đường </i>
tròn ấy.

a) Hãy nêu cách dựng qua B một đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn đã cho tại A.

b) Không cần dựng, hãy căn cứ vào các dữ kiện sau đây để xác định xem trường hợp nào dựng được,
trường hợp nào không dựng được đường tròn (O’) đi qua B tiếp xúc trong với (O) (hoặc tiếp xúc ngoài
(O)) tại A.

 R = 2 cm ; AB = 4 cm ; BO = 4,5 cm.
 R = 5 cm ; AB = 12 cm ; BO = 13 cm.
 R = 3 cm ; AB = 4 cm ; BO = 3,5 cm.

<i>Bài 4: Cho một đường tròn (O ; R), một đường tròn (O</i>1 ; r1) tiếp xúc trong với (O ; R) và một đường tròn
(O2 ; r2) vừa tiếp xúc trong với (O ; R) vừa tiếp xúc ngồi với (O1 ; r1).

a) Tính chu vi tam giác OO1O2 theo R.

b) Dựng hai đường trịn (O1 ; r1) và (O2 ; r2) biết R = 3 cm ; r1 = 1 cm.

<i>Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d và điểm A nằm trên d. Dựng đường tròn tiếp xúc với (O ; R)</i>
đồng thời tiếp xúc với d tại A.

<i>Bài 6: Cho hình vng ABCD, đường trịn tâm A, bán kính AB cắt đường trịn đường kính CD tại điểm M </i>
(M ≠ D). Chứng minh rằng đường thẳng DM đi qua trung điểm I của BC.

<i>Bài 7: Cho đường tròn (O ; R) tiếp xúc trong đường tròn (O’ ; R’) , R’ > R, tại điểm A. Đường thẳng OO’ </i>
cắt hai đường tròn ấy lần lượt tại điểm thứ hai B, B’. Chứng minh rằng tiếp tuyến chung ngoài của các
đường trịn đường kính OO’, BB’ đi qua A.

<i>Bài 8: Cho hai đường trịn có bán kính bằng nhau cắt nhau tại A và B. Trong cùng nửa mặt phẳng bờ OO’,</i>
vẽ hai bán kính OC và O’D song song với nhau. Gọi D’ là điểm đối xứng của D qua O’.

a) Chứng minh AB, OO’, CD’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
b) Chứng minh A là trực tâm của tam giác BCD.

<i>Bài 9: Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Lấy A làm tâm vẽ đường trịn bán kính AD, nó cắt AB tại</i>
E. Lấy B làm tâm vẽ đường trịn bán kính BE, nó cắt tiếp đường thẳng DE tại F.

a) Chứng minh hai đường tròn (A ; AD) và (B ; BE) tiếp xúc nhau.
b) Chứng minh F, B, C thẳng hàng.

<i>Bài 10: Cho đường tròn tâm O và điểm A cố định thuộc đường tròn (O). Cho đường thẳng d ở ngồi đường</i>
trịn. Hãy dựng đường trịn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d đồng thời tiếp xúc với (O) tại A.

<i>Bài 11: Cho hai đường tròn (O) và (O’) bán kính lần lượt là 3R và R tiếp xúc ngoài nhau tại A. Đường</i>
thẳng d1 qua A cắt (O) tại B, cắt (O’) tại B’. Đường thẳng d2 vuông góc với d1 tại A cắt (O) tại C, cắt (O’)
tại C’.

a) Chứng minh BC’, CB’ và OO’ đồng qui tại một điểm M cố định.
b) Chứng minh các tiếp tuyến chung ngoài PP’ và TT’ cắt nhau tại M.

c) Gọi I là chân đường vng góc hạ từ A xuống BC’. Tìm quĩ tích điểm I khi d1 và d2 thay đổi vị trí (vẫn
qua A và vng góc với nhau).

<i>Bài 12: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A. Góc vng xAy quay xung quanh điểm A, Ax</i>
cắt (O) tại B, Ay cắt (O’) tại C.

a) Chứng minh OB // O’C.

b) Gọi C’ là điểm đối xứng của C qua O’. Chứng minh B, A, C’ thẳng hàng.

c) Qua O vẽ d  AB, nó cắt BC tại M. Tìm quĩ tích điểm M khi các dây AB, AC thay đổi vị trí nhưng vẫn
vng góc với nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i>Bài 14: Cho tam nhọn ABC, phân giác CD. Lấy D làm tâm vẽ nửa đường trịn bán kính R tiếp xúc với AC</i>
tại E, tiếp xúc với CB tại F. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với nửa đường tròn (D) tại K, và tiếp xúc với
hai cạnh AC và BC của ABC.

a) Chứng minh C, O, D thẳng hàng.

b) Tính bán kính đường trịn tâm O biết AC = b, BC = a,

<i>·ACB a</i>

=

.

<i>5. ôân tập chương II</i>

<i>Bài 1: Cho đờng trịn (O) và (O’) tiếp xúc ngồi nhau tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O’); </i>
B, C là hai tiếp điểm. Tiếp tuyến chung trong của hai đtròn tại A cắt BC tại M.

a) Chứng minh rằng A, B, C thuộc đờng trịn ( M ; BC/2 )
b) Đờng thẳng OO’ có vị trí gì đối với đờng trịn ( M ; BC/2 )
c) Xác định tâm của đờng tròn đi qua 3 điểm O, O’, M.

d) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua 3 điểm O, O’, M.

<i>Bài 2: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của AB. Trên một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia Ax, By vng </i>
góc với AB. Một góc vng có đỉnh là O có hai cạnh cắt Ax và By tại C và D. Gọi C’ là giao điểm của tia CO
với tia đối của tia By. Chng minh:

a) Tam giác CDC là tam giác cân.

b) Đờng thẳng CD là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính AB.

c) Đờng trịn ngoại tiếp COD ln tiếp xúc với một đờng thẳng cố định khi góc vng tại O thay đổi
<i>Bài 3: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) ngoài nhau. Các tiếp tuyến chung ngoài MN, PQ ( M,P nằm trên (O); N, </i>
Q nằm trên (O’) ).

a) CMR: MN đối xứng với PQ qua đờng thẳng OO’.
b) CMR: 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một đờng tròn.

c) Nối MQ cắt (O), (O’) tơng ứng tại các điểm thứ hai A, B. Chứng minh MA = QB.
<i>Bài 4: Cho đờng tròn (O) và tiếp tuyến xy tại tiếp điểm C nằm trên (O).</i>

a) CMR nÕu dây AB song song với xy thì CA = CB.

b) CMR nếu một đờng thẳng d song song với xy đồng thời tiếp xúc với (O) tại một điểm D thì 3 điểm
C, O, D thẳng hàng.

c) Cho hai đờng thẳng song song d1 , d2 cách nhau một khoảng bằng 3 cm, một điểm M nằm giữa hai
đờng thẳng d1 , d2 và cách d1 một khoảng bằng 1 cm. Hãy dựng một đờng tròn đi qua M và tiếp
xúc d1 , d2.

<i>Bài 5: Cho 2 đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A. Qua A kẻ đờng thẳng a cắt (O) tại C, cắt (O’) tại C’</i>
và đờng thẳng b cắt (O) tại B, cắt (O’) tại B’. Chứng minh BC // B’C’.

<i>Bài tập Nâng cao Chương 3</i>
<i> (Góc với đường trịn)</i>

<b>§1.</b><i>Góc ở tâm - Số đo của cung - Liên hệ giữa cung và dây</i>

<i>Bài 1: Trên đường tròn (O ; R) có 5 điểm A, B, C, D, E trong đó AB là đường kính; C là điểm chính giữa</i>
của cung AB; Tia OE nằm giữa các tia OA, OC và dây CD bằng R. Ngồi ra, D và E khơng thuộc cùng
một nửa mặt phẳng bờ AB và

DOE

·

=

90

0. Tính độ lớn của tất cả các góc ở tâm nhỏ hơn 3600_{có chứa}
OC.

<i>Bài 2: Gọi điểm chính giữa của một cung của một đường tròn (O ; R) là I, trung điểm của dây trương cung</i>
ấy là K. Chứng minh rằng đường thẳng IK đi qua O.

<i>Bài 3: Chứng minh rằng trong một đường tròn với hai cung nhỏ hơn 180</i>0_{, cung nào lớn hơn thì có khoảng}
cách giữa điểm chính giữa của cung với trung điểm của dây lớn hơn, và đảo lại.

<i>Bài 4: Cho đường tròn (O ; r). Tìm hai cung khơng lớn hơn nửa đường tròn, biết rằng cung này lớn gấp ba</i>
lần cung kia đồng thời có dây trương cung lớn gấp đơi dây trương cung nhỏ.

<i>Bài 5: Cho đường tròn (O). Hai dây cung AB và CD vng góc với nhau tại I. Trung điểm của các dây</i>

cung BC và AD theo thứ tự là M, N. Chứng minh rằng

1

1

OM

AD ; ON

BC

2

2

=

=

.

<i>Bài 6: Trên nửa đường trịn đường kính EF, tâm O, người ta lấy ba điểm A, B, C theo thứ tự E, A, B, C, F.</i>
Gọi M là điểm thuộc cung BC mà

BM

¼

=

MC

¼

.

a) Chứng minh

¼

1

(

»

»

)

AM

AB AC

2

=

+

.
b) Chứng minh

·

1

(

·

·

)

AOM

AOB AOC

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i>Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâm I, đường kính AB, và đường trịn tâm K đường kính AC</i>
cắt nhau tại H (AB < AC).

a) Chứng minh điểm H nằm trên cạnh BC.

b) Một cát tuyến d qua A cắt đường tròn (I) tại E, cắt đường tròn (K) tại F (A nằm giữa E và F). Hãy nêu
đặc điểm của tứ giác BCEF.

c) d ở vị trí nào thì A là trung điểm của EF ?

<i>Bài 8: Cho hai đường tròn đồng tâm (O ; r) và (O ; R). Tìm quĩ tích những điểm M sao cho từ đó vẽ các</i>
tiếp tuyến MP với (O ; R) và MQ với (O ; r) thì MP  MQ.

<i>Bài 9: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa đường trịn đường kính AB lấy hai điểm C, D</i>
(không điểm trùng với A, B). Từ C kẻ CH  AB, nó cắt tiếp đường trịn tại E. Từ A kẻ AK  DC, nó cắt
tiếp đường tròn tại F. Chứng minh DE = BF.

<i>Bài 10: Cho ABC, trên tia đối của tia BC, lấy điểm D sao cho BD = BA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm</i>
E sao cho CE = CA.

a) Chứng minh điểm I, tâm đường tròn ngoại tiếp ADE, nằm trên phân giác của góc

·BAC

.
b) Điểm I có vai trị gì đối với ABC ?

<i>Bài 11: Cho ABC vng tại A. Đường trịn tâm I đường kính AB và đường trịn tâm K đường kính AC cắt</i>
nhau tại H. Một đường thẳng d đi qua A, thuộc miền ngoài của tam giác cắt đường tròn (I) tại E, cắt đường
trịn (K) tại F.

a) Tìm quĩ tích trung điểm M của EF khi d thay đổi vị trí.
b) Xác định vị trí của d để BCFE có chu vi nhỏ nhất.

<b>§2.</b><i>Góc nội tiếp – Góc giữa tiếp tuyến và một dây</i>

<i>Bài 1: Cho ABC cân tại A. Các đường trịn đường trịn đường kính AC, AB cắt AB tại H, cắt AC tại K.</i>
Một đường thẳng xy qua A sẽ cắt đường tròn thứ nhất ở D, đường tròn thứ hai ở E.

a) Chứng minh BK, CH, AN đồng qui (N là giao điểm thứ hai của hai đường trịn).
b) Chứng minh D và E là hình chiếu vng góc của B và C trên xy.

c) Chứng minh NDE cân.

<i>Bài 2: Từ điểm B bất kì trên đường trịn (O) kẻ đường vng góc BH với tiếp tuyến của đường tròn tại</i>
điểm A cho trước. Gọi I là giao điểm thứ hai của BH với đường tròn (O), gọi B’ là điểm đối xứng của
điểm B qua tâm O.

a) Chứng minh rằng

IA

º

=

AB'

¼

_.

b) Chứng minh rằng BA là phân giác của góc OBH.

c) Khi B di động trên đường trịn, chứng minh rằng đường phân giác ngồi của góc OBH đi qua một điểm
cố định.

d) Gọi M là giao điểm của BH với đường phân giác của góc AOB, khi B di động M chạy trên đường nào ?
<i>Bài 3: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), </i>

BAC

·

=

45

0, điểm C nằm trên cung AB lớn. Người ta kẻ dây
BM vng góc với AC và dây CN vng góc với AB. Gọi P, Q theo thứ tự là giao điểm của các cặp
đường thẳng BM và CN, BN và CM.

a) Chứng minh rằng MN là một đường kính của (O).
b) Tứ giác ABQC là hình gì ?

c) Hãy xét vị trí tương đối của hai đường thẳng AO và PQ.

<i>Bài 4: Cho đường trịn (O) đường kính AB, C là điểm chính giữa của cung AB, M là một điểm chạy trên</i>
cung CB. Gọi N là chân đường vng góc hạ từ C xuống AM.

a) Chứng minh rằng NCM vuông cân.

b) Chứng minh rằng độ lớn của góc ONM khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cung CB.
c) Xác định vị trí của M sao cho MC // NB.

<i>Bài 5: Cho đường tròn (O) và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB và C là điểm bất kì nằm</i>

giữa A, B. Tia MC cắt đường tròn (O) tại D.

a) Chứng minh MC.MD = MA2_.
b) Chứng minh MBC ~ MDB.

c) Chứng minh MB là tiếp tuyến với đường tròn (O1) đi qua ba điểm B, C, D tại B.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<i>Bài 6: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R). Các đường cao AD, BE và CI cắt nhau tại H và cắt</i>
đường tròn (O) theo thứ tự tại D’, E’ và I’.

a) Chứng minh DD’ = DH ; EE’ = EH.

b) Chứng minh rằng đường tròn đi qua H và hai trong ba đỉnh A, B, C đều bằng đường tròn (O).
c) Chứng minh H là tâm đường trịn nội tiếp D’E’I’.

d) Hãy dựng ABC có ba đỉnh nằm trên đường tròn O cho trước, điểm A cho trước và trực tâm H cho trước
nằm trong đường tròn.

<i>Bài 7: Cho hai đường tròn đồng tâm và một điểm M cố định trên đường tròn nhỏ. Qua M kẻ hai đường</i>
thẳng vng góc với nhau, một đường cắt đường tròn nhỏ ở A khác M, đường kia cắt đường tròn lớn ở B
và C. Khi hai đường thẳng này quay quanh điểm M mà vẫn vng góc với nhau. C/m:

a) Tổng MA2_{+ MB}2_{+ MC}2_{không đổi.}
b) Trọng tâm tam giác ABC là điểm cố định.

<i>Bài 8: Trên dây AB của đường tròn tâm O lấy điểm M tùy ý khác A và B. Vẽ đường tròn qua A, M, O.</i>
Gọi C là giao điểm thứ hai của đường trịn.

a) So sánh các góc AMC và ABC· · .
b) So sánh MB và MC.

<i>Bài 9: Cho đường trịn tâm O đường kính AB. Dây CD  AB tại H. Lấy điểm M tùy ý trên đường tròn. Hai</i>
đường thẳng CM và AB cắt nhau tại F, hai đường thẳng DM và AB cắt nhau tại E.

a) Chứng minh EMB ~ EAD ; EMB ~ EAC.
b) Chứng minh

EB

FB

EA

=

FA

_.

<i>Bài 10: Hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại M và N. Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B, C.</i>
Các đường thẳng MA, MB, MC cắt tiếp đường tròn (O’) tại A’, B’, C’.

a) So saùnh caùc tam giaùc NAA’, NBB’, NCC’. Tính tỉ số

NA

NA '

_{theo các bán kính R, R’.}
b) Chứng minh NAB ~ NA’B’ ; ABC ~ A’B’C’.

<i>Bài 11: Cho đường tròn tâm O và điểm P ở ngồi (O). Vẽ đường trịn (P ; PO). Hai đường tròn (O) và (P)</i>
cắt nhau tại A và B. Đường thẳng OP cắt đường tròn (P) tại điểm thứ hai C.

a) Chứng minh CA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Lấy điểm D thuộc cung BA của đường trịn (P) (cung có chứa điểm C). Chứng minh DO là tia phân giác
của góc ·ADB.

c) Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng OD với đường tròn (O). C/m: AI là tia phân giác của góc ·BAD
<i>Bài 12: Cho đường trịn đường kính AB. Lấy M trên đường trịn (khác A, B) sao cho MA < MB. Lấy MA</i>

làm cạnh vẽ hình vng MADE (E thuộc đoạn thẳng MB). Gọi F là giao điểm của DE và AB.

a) Chứng minh ADF ~ BMA.

b) Lấy C là điểm chính giữa cung AB (không chứa M). Chứng minh CA = CE = CB.

c) Trên đoạn thẳng MC lấy điểm I sao cho CI = CA. C/m I là tâm đường tròn nội tiếp AMB.
<i>Bài 13: Từ điểm C ở bên ngoài đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến CA, CB.</i>

a) Trình bày cách dựng đường tròn tâm K, qua C và tiếp xúc với đường thẳng AB tại B.

b) Đường tròn (O) và (K) cắt nhau tại B và M. C/m đường thẳng AM đi qua trung điểm I của BC.
c) Chứng minh rKCB ~ rOAB.

<i>Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính AB, dây AC và tia tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn (Bx trong</i>
cùng nửa mặt phẳng bờ AB với nửa đường trịn). Tia phân giác của góc CAB cắt dây BC tại F, cắt nửa
đường tròn tại H, cắt Bx tại D.

a) Chứng minh FB = BD ; HF = HD.
b) Chứng minh rHBD ~ rCAF.
c) Chứng minh DB2_{= DH.DA.}

d) Gọi M là giao điểm của AC với Bx. Chứng minh MB2_{= MC.MA}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<i>Bài 16: Cho hai đường tròn tiếp xúc trong nhau tại A. Vẽ đường kính AB của đường trịn lớn, nó cắt đường</i>
trịn nhỏ tại điểm thứ hai C. Từ B vẽ tiếp tuyến BP với đường trịn nhỏ, nó cắt đường tròn lớn tại Q.
Chứng minh AP là phân giác của góc ·QAB.

<i>Bài 17: Lấy điểm M là trung điểm của cung AB thuộc đường tròn (O). Qua M vẽ hai dây MD, ME, chúng</i>
lần lượt cắt AB tại C và F.

a) Chứng minh AFM· =MDE· . b) Chứng minh MC.MD = ME.MF .

c) Chứng minh đường thẳng MA tiếp xúc với đường tròn qua A, D, C (tại A).

<i>Bài 18: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB cố định và tia tiếp tuyến Ax trong cùng nửa mặt phẳng bờ</i>
AB với nửa đường tròn.. Lấy M tùy ý trên nửa đường tròn. Vẽ tia phân giác của góc MAx, nó cắt đường
thẳng BM tại I.

a) Chứng minh rABI cân tại B.

b) Tìm quĩ tích các điểm I khi M chạy trên nửa đường tròn đã cho.

<i>Bài 19: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ tiếp tuyến Ax với đường trịn (O)</i>
nó cắt đường trịn (O’) tại E. Qua A vẽ tiếp tuyến Ay với đường trịn (O’) nó cắt đường tròn (O) tại D.
a) Chứng minh rABD ~ rEBA.

b) Chng minh
2

AE

EB

AD

BD

ổ ử

_ữ

ỗ

_ữ

₌

ỗ

_ữ

ỗố

ứ

_.

<b>§3. Góc có đỉnh bên trong hay bên ngồi đường trịn</b>

<i>Bài 1: Cho đường trịn (O). Đường kính AB chia đường tròn thành hai nửa đường tròn và các điểm C, D</i>
nằm trên hai nửa đường tròn ấy. Gọi M, N theo thứ tự là các điểm chính giữa của các cung AC, AD. Các
giao điểm của MN với AC, AD tương ứng là E, F.

a) Chứng minh AEF cân.

b) Gọi giao điểm của CN và DM là P. xác định các giao điểm của hai đ.tròn (M ; MA) và (N ; NA).
c) Giả sử các cung AC, AD không bằng nhau. Các đường thẳng MN, CD cắt nhau tại điểm H và cắt tiếp
tuyến tại A của đường tròn (O) theo thứ tự tại I, K. HIK là tam giác gì ?

<i>Bài 2: Cho đường trịn (O ; R) với ba dây liên tiếp AB, BC, CD bằng nhau và cùng nhỏ hơn R. Các đường</i>
thẳng AB, CD cắt nhau tại điểm I, các tiếp tuyến của đường trịn tại B, D cắt nhau tại K.

a) So sánh các góc BIC và BKD.

b) Chứng minh ràng BC nằm trên tia phân giác của góc KBD.
c) Chứng minh rằng rIBC ~ rKBD và rCBD ~ rIBK.

d) Chứng minh rằng IK // BC.

<i>Bài 3: Cho rABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O ; R) và một điểm M bất kì trên cung nhỏ AC. Tai Bx </i>
AM cắt tai CM tại D.

a) Chứng minh

AMD

·

=

ABC

·

.
b) Chứng minh rBMD cân.

c) Chứng minh rằng khi M di động thì D chạy trên một đường trịn cố định.

d) Xác định vị trí của M để tứ giác ABMD là hình thoi. Tính AM ở vị trí đó biết

<i>·BAC a</i>

=

<i>Bài 4: Từ điểm S nằm ngồi đường trịn (O) người ta kẻ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC với đường tròn</i>
sao cho

BAC 90

·

<

0. Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại điểm D và cắt đường tròn (O) tại điểm
thứ hai E. Các tiếp tuyến của(O) tại C, E cắt nhau tại điểm N. Gọi P, Q theo thứ tự là giao điểm của các
cặp đường thẳng AB và CE; AE và CN.

a) Chứng minh SA = SD.
b) Chứng minh EN // BC.

c) So sánh hai tam giác QBC và PCE.
d) Chứng minh hệ thức:

1

1

1

CN

=

CD

+

CP

_.

<i>Bài 5: Một đường tròn (O) đi qua đỉnh A của góc xAy cắt Ax, Ay lần lượt tại các điểm B, C sao cho AC ></i>
AB. Đường trung trực của BC cắt cung BAC tại điểm D. Lấy các điểm M, N tương ứng trên các tia Bx, Cy
sao cho BM = CN.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

b) Chứng minh rằng bốn điểm D, A, M, N nằm trên một đường tròn.
c) Bốn điểm B, C, M, N có nằm trên một đường trịn khơng ? Tại sao ?

<i>Bài 6: Cho bốn điểm M, N, P, Q nằm trên một đường thẳng theo thứ tự đó. Hãy dựng hình vng ABCD</i>
sao cho các đường thẳng AB, CD, AD, BC lần lượt đi qua các điểm M, N, P, Q.

<i>Bài 7: Cho hình thang ABCD (AD // BC) và I là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng đường</i>

tròn (O) đi qua I, A, D tiếp xúc với đường tròn (O’) đi qua I, B, C.

<i>Bài 8: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) và I là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng</i>
đường vng góc hạ từ I xuống đường thẳng AB là trục đối xứng của đường tròn đi qua I, C, D.

<i>Bài 9: Cho hai điểm A, B cố định. Tìm tập hợp các điểm C sao cho rABC có các góc nhọn, trong đó A là</i>
góc nhỏ nhất và C là góc lớn nhất.

<i>Bài 10: Trong đường trịn (O), cho góc nội tiếp </i>

·BAC

; tâm O thuộc miền trong của góc. Gọi M, N lần lượt
là điểm chính giữa của các cung nhỏ

BA , AC

»

»

. Dây MN lần lượt cắt AB, AC tại D, E. Chứng minh rADE
là tam giác cân tại A.

<i>Bài 11: Cho nửa đường trịn đường kính AB, dây AC. Gọi D là điểm chính giữa của cung AC. Từ D hạ DE</i>
 AB. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của AC với DE, BD.

a) So sánh DAB với DQA· · .

b) Chứng minh P là tâm đường tròn ngoại tiếp rADQ.

<i>Bài 12: Cho rABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường trịn</i>
bàng tiếp trong góc A. Gọi P là điểm chính giữa của cung

»BC

.

a) Chứng minh A, I, P, K thẳng hàng.
b) Chứng minh PI = PK = PB = PC.

<i>Bài 13: Cho rABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường phân giác trong của các góc A, B, C cắt nhau</i>
tại I và lần lượt cắt đường tròn tại D, E, F.

a) Chứng minh BDI là tam giác cân.

b) Gọi P là giao điểm của AB và DF; Q là giao điểm của AC và DE. Chứng minh P, I, Q thẳng hàng
c) Gọi K là giao điểm của AD và BC. Chứng minh

AI

AD

IK

=

BD

_.
<b>§4.</b><i>Cung chứa góc</i>

<i>Bài 1: Bên trong góc ABC của tam giác đều ABC dựng điểm M sao cho:</i>

· 0 · 0 · ·

BMC=30 ; BMA 17 .Tính góc BAM vaø BCM= _.

<i>Bài 2: Cho ABC, BC = a, </i>

<i>·BAC a</i>

=

. Hai tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để chu vi của nó đạt
giá trị lớn nhất ?

<i>Bài 3: Cho đường tròn (O ; R) và tam giác cân ABC (AB = AC > R) có ba đỉnh nằm trên đường trịn đó.</i>
Kẻ đường kính AI. Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC. Mx là tia đối của tia MC. Trên tia đối của
tia MB lấy một điểm D sao cho MD = MC.

a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của góc BMx.

b) Gọi K là giao điểm thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn (O). Tứ giác MIKD là hình gì ? Tại
sao ?

c) Tìm quĩ tích của điểm D khi M di động trên cung nhỏ AC.

<i>Bài 4: Xét đoạn thẳng AB. Trên một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax và By song song với nhau. Một</i>
đường tròn tâm M tiếp xúc với AB, Ax, By theo thứ tự tại C, D, E.

a) Nêu cách dựng đường tròn (M).

b) Chứng minh rằng AD + BE khơng phụ thuộc vào vị trí Ax, By. Chứng minh D, M, E thẳng hàng.
c) Chứng minh AM  BM.

d) Tìm tập hợp điểm M.

<i>Bài 5: Một điểm M nằm trên nửa đường trịn có đường kính AB cố định. Trên tia đối của tia MA lấy một</i>
điểm H sao cho MH = MB.

a) Chứng minh rằng góc MHB có độ lớn khơng đổi. Tìm tập hợp điểm H.
b) Xác định điểm M sao cho chu vi tam giác MAB bằng 2,25 lần AB.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<i>Bài 6: Trên đường tròn (O), đặt cung </i>

»AB

cố định. Điểm C chạy trên cung này. Tìm quĩ tích tâm đường
trịn nội tiếp rABC.

<i>Bài 7: Cho nửa đ.trịn đường kính AB cố định. Trên dây AC kéo dài, lấy điểm D sao cho CD = CB.</i>
a) Tìm quĩ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn.

b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB. Tìm quĩ tích các điểm E khi C chạy trên nửa đ.trịn.
c) Giải bài tốn khi thay đường kính AB là dây PQ và C chỉ chạy trên cung nhỏ

»PQ

.

<i>Bài 8: Cho đường tròn (O), dây AB cố định (AB < 2R). Điểm C chạy trên cung lớn AB. Tìm quĩ tích trực</i>
tâm H của tam giác ABC.

<i>Bài 9: Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB. Vẽ dây AC. Trên tia AC lấy điểm D sao cho </i>
AD = CB. Đường vng góc với AC tại D cắt tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn tại E.

a) Chứng minh ADE = BCA.

b) Tìm quĩ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.

<i>Bài 10: Cho nửa đường trịn đường kính AB. Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách</i>
CH từ C đến AB. Tìm quĩ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.

<i>Bài 11: Cho ABC với </i>Aµ =72 ; B 840 µ = 0. Điểm M thuộc miền trong ABC thỏa mãn:

AMB 102

·

=

0 ;

·

0

BMC 126

=

_{. Tính số đo góc}·MBA_.

<b>§5. Tứ giác nội tiếp – Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp</b>

<i>Bài 1: Cho tam giác ABC (</i>

ACB 90

·

>

0) nội tiếp một đường tròn (O) và một điểm M di động trên cung
lớn AB. Gọi I là giao điểm của MC với AB và D là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại
các điểm B và C.

a) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của IM, IA. Chứng minh rằng tứ giác BCQP nội tiếp được.
b) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác BICD nội tiếp được.

c) Xác định vị trí của M để cho tứ giác AMPQ nội tiếp được.

d) Trong trường hợp tứ giác BICD và AMPQ đều nội tiếp được thì ABC là tam giác gì ?

<i>Bài 2: Cho đường tròn (O) với dây AB, S là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Từ S kẻ các dây SM, SN</i>
lần lượt cắt AB tại các điểm P, Q.

a) Chứng minh rằng tứ giác MPQN nội tiếp được.
b) So sánh các tam giác SAM và SPA.

c) Xét vị trí tương đối của đường trịn ngoại tiếp MAP với đường thẳng Á.

<i>Bài 3: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm M nằm trên nửa đường trịn đó. Người ta kẻ</i>
trên nửa mặt phẳng, bờ AB, có chứa điểm M các tia Ax, By vng góc với AB. Một đường trịn (O’) đi
qua A, M cắt đoạn thẳng AB và tia Ax lần lượt tại các điểm C, P; đường thẳng PM cắt By tại một điểm Q.
a) Chứng minh tứ giác BCMQ nội tiếp được.

b) Chứng minh góc PCQ vng.

c) Nêu nhận xét và giải thích về vị trí tương đối của đường thẳng QC và đường tròn (O’).

<i>Bài 4: Chứng minh định lý: “Trong một tứ giác lồi nội tiếp được, tích hai đường chéo bằng tổng các tích</i>
của các cạnh đối”.

<i>Bài 5: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) với AC > AB. Hạ đường cao AH và đường kính AD.</i>
a) Chứng minh:

BAH

·

=

CAD

·

.

b) Chứng minh rằng tia phân giác của góc BAC cũng là tia phân giác của góc HAO.
c) Chứng minh:

ABC ACB

·

-

·

=

HAO

·

.

<i>Bài 6: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H, G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của ABC và I là</i>
trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh: HA = 2OI.

b) Chứng minh rằng H, G, O thẳng hàng.

c) Dựng ABC, biết đường cao AD = 2 cm, trung tuyến AG = 3 cm và trực tâm H là trung điểm của AD.
<i>Bài 7: Cho ABC ngoại tiếp đường tròn (O ; r).</i>

a) Chứng minh rằng mỗi tiếp điểm thuộc một cạnh chia cạnh ấy thành hai đoạn sao cho tổng của mỗi
đoạn đó với cạnh khơng kề với nó bằng nửa chu vi ABC. Chứng minh S = pr, trong đó S, p lần lượt là
diện tích và nửa chu vi ABC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

c) Cho một ABC, các trung tuyến AM, BN cắt nhau tại điểm G và tứ giác CMGN ngoại tiếp một đường
tròn. Chứng minh rằng ABC cân.

<i>Bài 8: Cho ABC có ba góc đều nhọn và một điểm M nằm giữa B, C. Qua M dựng đường tròn (O) tiếp xúc</i>
với AB tại B và đường tròn (O’) tiếp xúc với AC tại C; gọi giao điểm thứ hai của chúng là N. Chứng minh
rằng:

a) tứ giác ABNC nội tiếp được.

b) đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên cạnh BC.

c) Giả sử đường thẳng MN cắt tia AB, AC lần lượt tại các điểm Q, R. Qua R kẻ đường thẳng tiếp xúc với
(O) cắt tia AB tại điểm S; qua Q kẻ đường thẳng tiếp xúc với (O’) cắt tia AC tại điểm T. Chứng minh rằng
tứ giác QSRT ngoại tiếp được.

<i>Bài 9: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) và một điểm M nằm trên (O). Gọi H, I, K theo thứ tự là chân các</i>
đường vng góc hạ từ M xuống các đường thẳng AB, BC, CA. Chứng minh rằng H, I, K thẳng hàng.
<i>Bài 10: Cho ABC cân tại A ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi các tiếp điểm của (O) với AB, BC, CA lần lượt</i>
là D, E, F.

a) Chứng minh: DE // BF và AF  BC.

b) Chứng minh rằng đường tròn (O’) đi qua ba điểm B, O, C tiếp xúc với các cạnh AB, AC.

c) Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng BE với đường tròn (O) là M; giao điểm của các đường thẳng

BC, DM là N. Chứng minh BN = NF.

<i>Bài 11: Cho tứ giác ABCD và I là giao điểm của các đường chéo. Chứng minh rằng nếu bán kính các</i>
đường tròn nội tiếp các tam giác IAB, IBC, ICD mà bằng nhau thì ABCD là hình thoi.

<i>Bài 12: Từ điểm A ngồi đường trịn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm).</i>
Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của DO và AC. Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với
đường tròn (O), tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB ở K. Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một
một đường tròn.

<i>Bài 13: Cho rABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm, I là trung điểm của BC.</i>
a) Tính tỉ số các đoạn thẳng của OH bị trung tuyến AI chia ra.

b) Tính tỉ số các đoạn thẳng của AI bị đoạn OH chia ra.

c) Gọi G là trọng tâm của rABC. C/m O, G, H thẳng hàng và OG = 1/2GH (đường thẳng qua O, G, H được
gọi là đường thẳng Euler).

<i>Bài 14: Cho rABC nhọn. Tìm tập hợp các điểm M thuộc miền trong tam giác thỏa mãn điều kiện</i>

· · · ·

BAM=BCM ; CAM=CBM_.

<i>Bài 15: Cho hai đường tròn cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng qua A cắt hai đường tròn tại C và D.</i>
Tìm quĩ tích tâm đường trịnngoaij tiếp tam giác BCD.

<i>Bài 16: Cho rABC cân tại A, </i>

A

µ

=

45

0, nội tiếp đường trịn (O). Đường trịn đường kính BC cắt AB tại M,
cắt AC tại N.

a) Chứng minh O thuộc đường trịn đường kính BC.

b) Chứng minh: rAMC ; rANB là những tam giác vuông cân.
c) Chứng minh MONB là hình thang cân. Suy ra

2

MN

BC.

2

=

.

<i>Bài 17: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). Từ D kẻ dây DE // AC. Gọi K là giao điểm của</i>
BE và AC (giả sử K và C ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ BD). Chứng minh:

a) rABK ~ rDBC.

b) BC.AD + AB.CD = AC.BD.

<i>Bài 18: Trên đường kính AB của đường trịn (O) lấy hai điểm T, S đối xứng nhau qua O. Lấy điểm M trên</i>
đường tròn sao cho MA < MB. Các đường thẳng MT, MO, MS cắt tiếp đường tròn lần lượt tại C, E, D.
Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại điểm F. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, nó cắt ME tại
L, cắt MC tại N.

a) Chứng minh LN = LD.

b) Hạ OH  CD. Chứng minh HLDE là tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh FE là tiếp tuyến của đường trịn (O).

<i>Bài 19: Cho rABC vng tại A. Dựng ở miền ngồi tam giác các hình vuông ABHK, ACDE.</i>
a) Chứng minh H, A, D thẳng hàng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

c) Giả sử

ABC

·

>

45

0. Gọi M là giao điểm của BF và ED. Chứng minh năm điểm B, K, E, M, C cùng
nằm trên một đường tròn.

d) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp rABC.

<i>Bài 20: Cho rABC nhọn. Các đường cao AH, BK, CL cắt nhau tại I. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của</i>
BC, CA, AB. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của IA, IB, IC. Chứng minh:

a) FQRE là hình chữ nhật.

b) PEDQ, PRDF là hình chữ nhật.

c) PD, QE, RF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó.

d) 9 điểm H, K, L, D, E, F, P, Q, R nằm trên một đường tròn (đường tròn Euler).

<i>Bài 21: Cho rABC nhọn, đường cao CH và phân giác AM cắt nhau tại I. Từ B kẻ đường thẳng vng góc</i>
với AB nó cắt đường thẳng AC tại D. Gọi F là hình chiếu của AD trên đường thẳng AM. Đường tròn ngoại
tiếp tam giác AIC cắt BI tại điểm thứ hai E. Chứng minh:

a) A, B, F, D, E thuộc cùng một đường tròn.
b) E, C, F thẳng hàng.

<i>Bài 22: Cho đường tròn (O) và dây AB cố định. Lấy một điểm P tùy ý trên đoạn thẳng AB. Qua A, P vẽ</i>
đường tròn tâm C tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Qua B, P vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với đường
tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại điểm thứ hai N. Chứng minh:

a) OCPD là hình bình hành.
b)

PNO

·

=

90

0

c) rANB ~ rCPD. Khi P chạy trên đoạn thẳng AB thì N chạy trên đường nào ?
d) NP luôn đi qua một điểm cố định.

<b>§6. Độ dài đường trịn – Diện tích đường trịn</b>

<i>Bài 1: Người ta chia một đường tròn thành 6 phần bằng nhau. Lấy các điểm chia ấy làm tâm vẽ các cung</i>
trịn bán kính R. Tính chu vi của đường riềm 6 cánh.

<i>Bài 2: Từ các đỉnh của một hình vng, vẽ ở miền trong hình vng những cung trịn. Tính chu vi của</i>
đường riềm 4 cánh.

<i>Bài 3: Cho 4 điểm A, B, C, D sắp theo thứ tự trên một đường thẳng sao cho AC = DB = 2a, CD = 2b. Vẽ</i>
về cùng một phía đối với đường thẳng AB ba nửa đường trịn có đường kính AB, AC, DB. Vẽ về phía kia
nửa đường trịn có đường kính CD. Chứng minh rằng diện tích của hình giới hạn bởi 4 nửa đường trịn trên
bằng diện tích của hình trịn có đường kính DA.

<i>Bài 4: Cho hình vng ABCD có cạnh a, vẽ về phía trong hình vng 4 nửa đường trịn đường kính AB,</i>
BC, CD, DA. Hãy tính theo a diện tích của hình giới hạn bởi 4 nửa đường trịn đó.

<i>Bài 5: Cho rABC vng tại A. Vẽ nửa đường trịn qua A, B, C và bên trong tam giác vẽ hai nửa đường</i>
trịn khác có đường kính AB, AC. Chứng minh rằng tổng diện tích của hai hình trăng khuyết giới hạn bởi
nửa đường trịn đường kính BC và hai nửa đường trịn kia bàng diện tích rABC.

<i>Bài 6: Cho hai đường tròn (C) và (S) cùng tâm o, bán kính R và 2R. Tiếp tuyến tại M trên đường tròn (C)</i>
cắt đường tròn (S) tại A và B. Gọi C là giao điểm của tia OM với đường tròn (S).

a) Chứng minh OAC và OBC là những tam giác đều.
b) Tính diện tích P hình viên phân ACB.

c) Tính diện tích P’ của hình giới hạn bởi hai tiếp tuyến AM, AN với đường trịn (C).
d) Tính P + P’.

<b>……… r ………</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>§2. Tính chất đối xứng</b>

<i><b>Bài 7: a) Ta chứng minh được AA’ = BB’; suy ra AD = BE</b></i>

<b>b) Vì </b>xOy· =600 nên dễ dàng chứng minh

·

·

0

AIB

=

DIE 120

=

Ta chứng minh được ATI = BTI

Nên

ATI

·

=

BTI

·

=

60

0. Suy ra đó là những tam giác đều.

Lấy A (hoặc B) làm tâm vẽ cung tròn (A ; AI) nó cắt cung nhỏ AB tại T, đó chính là tâm đường tròn qua
A, I, B.

<i><b>c) Ta chứng minh được rằng đường trịn tâm T bán kính TI đi qua O. Thật vậy, giả sử (T) cắt IO tại O’ và </b></i>
cắt O’T tại T’.

Ta có

ITT '

·

=

2IO 'T '

·

. Nhưng

BTT '

·

=

2BO 'T '

·

. Suy ra

ITB

·

=

2IO 'B

·

, do đó

IO 'B

·

=

30

0.

Ta có

IOB

·

=

30

0. Nếu O’B và OB là hai đường thẳng phân biệt thì IO 'B và IOB· · có một góc ở vị trí

góc ngồi cịn góc kia là góc trong của BOO’, như vậy chúng khơng thể bằng nhau được. Do đó BO và
BO’ trùng nhau, O’ trùng với O.

PHẦN THUẬN: Ta có TI = TO  T thuộc trung trực của OI cố định. Để đường tròn tâm T cắt các tia
Ox, Oy thì TOx ; TOy· · là các góc nhọn. Do đó T nằm ở miền trong góc

·uOv

xác định bởi Ou  Ox, Ov
 Oy. Do đó T thuộc đoạn thẳng T1T2 vừa thuộc trung trực của OI, vừa thuộc miền trong của góc uOx (để
A, B phân biệt).

PHẦN ĐẢO: Lấy T’ thuộc đoạn T1T2 vẽ đường trịn bán kính TI, nó cắt Ox tại A’, cắt Oy tại B, ta phải
chứng minh đường tròn (I ; IA’) qua B. (Chứng minh IDA’ = IEB’  IA’ = IB’).

KẾT LUẬN: Quĩ tích T là đoạn thẳng T1T2, khơng kể T1, T2.

d) AIBT là hình thoi nên trực tâm H của AIB nằm trên đường thẳng TI, Bz  AI, ta chứng minh
được Bz  BT.

Ta chứng minh được H thuộc (I) và H đối xứng với T qua I.

Quĩ tích các trực tâm H là đoạn thẳng H1H2 đối xứng của T1T2 qua I không kể H1, H2.

<i><b>Baøi 8: </b></i>

<b>a) Ta c/m được AO là phân giác của góc FAE nên AO là trục đối xứng</b>
của góc FAE. AO là đường thẳng chứa đường kính của (O) nên AO là
trục đối xứng của đường trịn (O). F là giao điểm của AB với (O).
Hình đối xứng của F là giao điểm của AC với (O), đó chính là điểm E.
F và E đối xứng nhau qua AO. Vậy AEF là tam giác cân.

<b>b) Ta c/m được: </b>DOI· =2DFO , EOI· · =2EFO· .
Suy ra

DOE

·

=

2DFE

·

=

90

0 hay DO  OE.

<b>c) Lấy I là trung điểm của DE, ta có ID = IA = IE = IO. Vậy D, A, O, E nằm trên một đường trịn tâm I </b>
bán kính DE/2.

D' D

B

B'
O

C
A

<i><b>Bài 9:</b></i>

A

F
O

E
I

D

C
K
H
B

A'

I

B
E
T
D

B'
A
O

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Ta có C và D đối xứng qua O.

Lấy B’ đối xứng của A qua O thì B’ cố định. CA có hình đối xứng qua O
Là DB’ nên CA = DB’, do đó DB = DB’.

Suy ra D nằm trên trung trực d của BB’….

<b>§3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường trịn – Tiếp tuyến</b>

<i><b>Baøi 9: </b></i>

<b>a) EM = EA ; FM = FB. Suy ra OE + EF + OF = OA + OB.</b>
 OIB có

IOB

·

=

30

0; ta tính được

OB

=

R 3

; do đó:
OE + EF + OF = 2R

3

.

 Giá trị 2R

3

khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M.

<b>b) Ta tính được </b>

·

0

·

1

·

·

1

·

AIB 120 ; EIM

AIM ; MIF

MIB

2

2

=

=

=

.
Suy ra

·

1

·

·

0

EIF

AIB hay EIF

60

2

=

=

. Vậy ·EIF có số đo khơng đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB.

<i><b>Bài 10:</b></i>

<b>a) Tính số đo các góc, ta được </b>

CAO

·

=

30

0.

Hai tam giác OAC và CAD có CAO· =30 (chung); ACO0 · =ADC· =300
Vậy OAC ~ CAD.

<b>b) Tam giác COB là tam giác đều, </b>

OCA

·

=

30

0 (có nhiều cách chứng minh),

·

0

CBD 120

=

_{. Dễõ dàng chứng minh được OAC ~ BCD. Suy ra BD = R.}
DCB ~ DAC 

DC

DB

DA

=

DC

_{. Do đó DA.DB = DC}2_{mà DB = R , DA = 3R.}
Vậy DA.DB = DC2_{= 3R}2_.

<i><b>Baøi 11: </b></i>

<b>a) Gọi I là trung điểm của BH thì I là tâm đường trịn đường</b>
kính BH. Gọi J là trung điểm của HC thì J là tâm đường trịn
đường kính BH.

Ta có IH  AH suy ra AH là tiếp tuyến của đường trịn đường kính HC.
Vậy AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I), (J).

<b>b) Chứng minh khơng khó khăn AFHE là hình chữ nhật. Gọi P là giao điểm AH và EF.</b>
Ta có PE = PF = PH = PA.

Chứng minh PEI ~ PHI (c.c.c), suy ra

IEP

·

=

IHP

·

=

90

0. Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn (I).
Chứng minh PFJ ~ PHJ (c.c.c), suy ra

PFJ

·

=

PHJ

·

=

90

0. Vậy EF là tiếp tuyến của đường trịn (J)

<i><b>Bài 12:</b></i>

B

I

A

F
M

E

O

30
30

30
O

C

D
B
A

J

I H

C
B

P F

E
A

K
I

H C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>a) Gọi O là trung điểm của AI ta có OA = OI = OK. Vậy đường trịn tâm O </b>
đường kính AI đi qua K.

<b>b) Ta có AOK cân  </b>

AKO

·

=

OAK

·

(góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc).
Ta lại có HK = HB nên HBK· =HKB· _{. Từ đó ta c/m được OK  HK.}

Vậy HK là tiếp tuyến của đường trịn O.

<i><b>Bài 13:</b></i>

<b>a) ACED là hình thang vuông</b>

<b>b) Đặt AB = 2R, AD = 2x, DB = 2y thì HA = HD = x.</b>
Ta có các hệ thức sau: x + y =R hay HI = R

OH = OA – AH = (x + y) – x = y hay OH = y

Hai tam giác OHC và IEH coù: OH = IE = y ; OC = IH = R ;

COH

·

=

HIE

·

(ñv)

Suy ra OHC = IEH (c.g.c).

Do đó HC = EH hay HCE là tam giác cân tại H.

<b>c) Do OHC = IEH nên </b>

H

µ

= =

E

µ

90

0, tức là HE  IE. Vậy HE là tiếp tuyến của đường trịn tâm I

<i><b>Bài 14:</b></i>

<b>a) Tự giải.</b>

<b>b) CA = CM (hai tiếp tuyến cắt nhau tại C)</b>

Lấy I là trung điểm của AM, CI là đường trung bình của AA’M.
Vậy CA = CA’. Tương tự DB = DB’.

<b>c) Ta có AA’ // BB’.</b>
Lại có

AC

DB

1

CA '

=

DB'

=

Vậy B’A’, DC, AB đồng qui.

<i><b>Baøi 15:</b></i>

<b>a) CO  AE tại P, BO  AD tại Q.</b>
Gọi I là giao điểm của OP và AQ.
Hai tam giác PAI và QOI có:

µ 0 · ·

P= =Q 90 ; PIA=QIO
$

Suy ra

BOC

·

=

DAE

·

.

<b>b) Tứ giác AQOP’ có </b>P$= =Qµ 90 hay P Q 1800 $+ =µ 0
mà tổng các góc trong tứ giác lồi là 3600_{, suy ra}

BOC ' DAE ' 180

·

+

·

=

0

<b>§4. Vị trí tương đối của hai đường trịn</b>

<i><b>Bài 8:</b></i>

<b>a) AOBO’ là hình thoi (AO = OB = BO’ = O’A) nên AB và OO’</b>
cắt nhau tại I, trung điểm chung của AB và OO’. D’ đối xứng của
D qua O nên D’ thuộc O’.

E
I
D
O

H B

C

A

O
I
K

C
A'

M
x

B'

D

B
A

P'

I Q

O
E'

C

C E

D
A

B

D'
I

B
D
A

O'
O

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

OCO’D’ là hình bình hành (OC // O’D’ ; OC = O’D’).

AB và CD’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Nhưng trung
điểm của AB là I, nên CD’ đi qua I.

Vậy AB, OO’, CD’ cắt nhau tại I, trung điểm của mỗi đoạn thẳng.

<b>b) Tứ giác OCDO’ là hình bình hành nên OO’ // CD. Vì BA  OO’ nên BA  CD.</b>
Tứ giác ACBD’ có IA = IB, IC = ID nên ACBD’ là hình bình hành do đó AD’ // CB.
Vì DA  AD’ (DD’ là đường kính) suy ra DA  CB. Vậy A là trực tâm của BCD.

<i><b>Baøi 9:</b></i>

<b>a) B, A, E thẳng hàng, suy ra hai đường tròn (A ; DA), (B ; BE) </b>
tiếp xúc nhau tại E.

<b>b) Ta c/m được </b>ADF· =AED· =FEB· =DFB·

· ·

ADF=DFBÞ _{BF // AD (*)}

Vì ABCD là hình bình hành BC // AD (**)
Từ (*) và (**) ta suy ra C, B, F thẳng hàng

<i><b>Bài 10:</b></i>

Tâm đường trịn tiếp xúc với (O) tại A nằm trên đường thẳng OA
 Giả sử đường tròn (I) thỏa mãn yêu cầu đề bài, tiếp xúc với
D tại B. Tại A vẽ tiếp tuyến chung nó cắt d tại P, thì PB = PA.
 Từ đó ta suy ra cách dựng

<i><b>Bài 11:</b></i>

<b>a) </b>A 'BA· =BAC· =900 Þ A’B // AC
Ta có

·

·

·

·

·

OA 'B

O 'AC '

OBA '

O 'C'A (OA 'B)

=

=

=

Do đó OA’B ~ O’AC’

Ta có BOC là đường kính của đường trịn (O),
B’O’C’ là đường kính của đường trịn (O’)
Ta có BC // B’C’ và

O 'C '

O 'B'

1

OB

=

OC

=

3

_{nên OO’ , BC’ , B’C đồng qui tại M.}
Ta lại có

MO '

O 'C

1

MO

=

OB

=

3

_{. Suy ra M là điểm cố định.}
<b>b) Giả sử PP’ cắt OO’ tại M</b>1, ta chứng minh được

1

M P

MO '

1

MP

=

MO

=

3

_{. Suy ra M}₁_{trùng với M.}

<i><b>c) Phần thuận: </b></i>

AIM

·

=

90

0 (A, I cố định), đồng thời I khơng ở miền ngồi của góc PMT. Do đó I nằm
trên cung trịn đường kính AM, giới hạn bởi hai tiếp tuyến MP, MT, đó là cung I1I2 (khi B ở vị trí P thì C’
ở vị trí P’)

<i>Phần đảo: Lấy I’ trên cung I</i>1I2. Đường thẳng MI’ cắt (O) tại B1, cắt (O’) tại C’1, ta phải chứng minh

·

1 1

B AC '

=

1v

_{vaø AI’  B}

1C*1 (có thể sử dụng định lí đảo của định lí Thales)
<i>Kết luận: Quĩ tích điểm I là cung </i>

I I

»

1 2_.

C
D

F

E _B

A

I'

B'
A

O

P
B
I

T

C I''

T'
C'

B'
P'
I'
I
P
B

d2
d1

M
O'

A
O

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<i><b>Bài 13:</b></i>

Ta tính được B Cµ + =µ 2A ; A B C 180µ µ + + =µ µ 0 suy ra

A

µ

=

60

0.
Ta cũng tính được BC = R

3

. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp,
Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (I) với AB, BC, CD.
Trong tam giác IAD vuông tại D ta thấy

IAD

·

=

IAF

·

=

30

0,
ID = IF = r, do đó AD = AF = r

3

.

Ta coù: SABC = p.r =

1

2

_{(AB + BC + CA).r}
=

1

2

_{(AD + AF + DB + CF + CE + EB).r}
Trong đó DB + CF = BE + EC = R

3

.

Thay các giá trị đã biết và thu gọn ta được SABC = r.(R + r).

3

<i><b>Bài 14: Ta chứng minh được</b></i>

DE = DF = R ; SACD =

1

2

_{b.R ; S}_BCD₌

1

2

_{a.R ; S}_ABC₌

1

a.b.sin

2

<i>a</i>

_.

Ta rút ra được

ab.sin

R

a b

<i>a</i>

=

+

_.

Ta tính được

·

·

180

0

EDC

FDC

2

<i>a</i>

-=

=

.

Gọi M, N là giao điểm của tiếp tuyến chung tại K với AC và BC thì

·

180

0

KDN

4

<i>a</i>

-=

. Ta chứng minh được CMN cân tại C nên:

0

ab

0

MK

KN

R.tg 45

tg 45

.sin

4

a b

4

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>_a</i>

ổ

ử

_ữ

ổ

ử

_ữ

ỗ

ỗ

=

=

ỗ

_ố

_ỗ

-

_ứ

_ữ

ữ

=

₊

ỗ

_ỗ

_ố

-

ữ

_ữ

_ứ

. Do ú OK= =r KN.tgKNO· ,

·

180

0 0

ab

2 0

KNO

45

. Suy ra r

.sin .tg 45

4

4

a b

4

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>_a</i>

ổ

<i>a</i>

ử

-

_ỗ

_ữ

=

=

-

=

₊

ỗ

_ỗố

-

ữ

_ữ

_ứ

I
O
D
F

E
C

B
A

F
E

D
K

N
M

C

</div>

<!--links-->