SKKN nêu được cơ sở lý luận của việc sử dụng phương pháp và kiến thức toán học vào chứng minh bất đẳng thức

Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức
Mục lục
Trang
Mục lục

1

Phần Mở đầu

2

Phần Nội dung

4

Các kiến thức cần lu ý

4

Một số phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức

6

Các bài tập nâng cao

21

ứng dụng của Bất đẳng thức

25

Tài liệu tham kảo

30

1


Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức

A Phần mở đầu
I Lý do chon đề tài
1. Cơ sở khoa học
- Giải toán Bất đẳng thức rèn cho học sinh phơng pháp t duy phân tích,
tổng hợp và có đợc sự linh hoạt về phơng pháp giải toán, rèn cho học sinh có trí tởng tợng cao, phát huy tính tích cực, chủ động trong t duy, có tính sáng tạo trong
khi giải toán.
- Giải toán Bất đẳng thức là một nội dung hay và khó, các kiến thức vận
dụng đòi hỏi phải có sự tinh tế, phải có cái nhìn khái quát, tổng hợp nhiều mặt,
phải có hớng mục đích. Nhng rõ ràng đây là một nội dung rất có ý nghĩa trong
việc rèn các kĩ năng Toán học cho học sinh.
- Qua giảng dạy và tìm hiểu về dạng toán này, tôi thấy đây là dạng toán
khó, khi làm bài học sinh phải linh hoạt và biết phân biệt dạng để đa về bài toán
quen thuộc để thực hiện bài giải đơn giản hơn.
- Khi đợc nghiên cứu sâu về dạng toán này, giáo viên sẽ nâng cao t duy và
năng lực chuyên môn, để từ đó truyền đạt cho các em những bài toán đợc dễ
hiểu hơn.
2. Cơ sở thực tiễn
- Khi học sinh cha đợc phân dạng về các bài toán chứng minh Bất đẳng
thứcthì các em thờng lúng túng, hay tìm mò hoặc khó tìm ra các lời giải nhanh

và đúng.

2


Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức
- Qua thực tế giảng dạy học sinh về dạng toán chứng minh Bất đẳng
thức, tôi đà phân rõ các phơng pháp giải bài toán khác nhau để các em nắm đợc cách phân dạng Toán; từ đó các em đa ra các cách làm cho phù hợp với mỗi bài
để có cách giải nhanh nhất.
- Với giáo viên khi nắm đợc các phơng pháp giải toán chứng minh Bất
đẳng thức thì sẽ nâng cao đợc năng lực t duy và năng lực chuyên môn.
II Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu về bài toán tôi đa ra đợc các phơng pháp giải bài tập khác nhau
để các em giải bài tập cụ thể một cách dễ ràng hơn. Khi đó học sinh sẽ có đợc
phơng pháp phân tích t duy tổng hợp toán học, nâng cao năng lực giải toán và có
nghị lực vợt khó để giải bài toán.
- Khi nghiên cứu về dạng toán chứng minh Bất đẳng thức tôi nâng cao
năng lực chuyên môn và làm t liệu dạy học sinh giỏi.
- Chọn lọc một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức.
III Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nêu đợc cơ sở lý luận của việc sử dụng phơng pháp và kiến thức Toán học
vào chứng minh Bất đẳng thức.
IV Phạm vi nghiên cứu
Chơng trình toán lớp 10, 11, 12 THPT và chơng trình thi Đại học môn toán.
V Đối tợng nghiên cứu


Các bài toán Bất đẳng thức.

VI Phơng pháp nghiên cứu
Phơng pháp tìm hiểu tài liệu.
Qua thực tế giảng dạy học sinh.

3


Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức
Tổng kết, đánh giá, so sánh qua một số bài toán cụ thể, từ đó rút ra đợc
kinh nghiệm cho từng dạng toán.

4


Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức

B phần nội dung
I.các kiến thức cần lu ý
1-Đinhnghĩa
A B A B �0
�
�A �B � A  B �0
2-tÝnh chÊt

+ A>B  B  A

+A>B

+ A>B vµ B >C  A  C

+ A > B

+ A>B  A+C >B + C



+ m > n > 0 vµ A > 1  A m >

D

An

+ A>B vµ C > 0  A.C > B.C

+ m > n > 0 vµ 0
+ A>B vµ C < 0  A.C < B.C
m

+ 0 < A < B, 0 < C A.C < B.D
An > Bn

n

3-mét sè h»ng bất đẳng thức

5

< An
+A < B và A.B > 0



A n > B n với n

chẵn

+ A>B và C > D  A+C > B +

+A>B>0

A n > B n víi n lỴ





1 1

A B

A


Nguyễn Văn Xá

Chứng minh Bất dẳng thức
+ A 2 0 víi  A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
+

An �0 víi  A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 )

+ A 0 víi

A (dÊu = x¶y ra khi A = 0 )

+ -A A  B �A  B

( dÊu = x¶y ra khi A.B > 0)

+ A B  A  B

( dÊu = x¶y ra khi A.B < 0)

+

4 Các hằng đẳng thức
( a+ b )( a2 - ab + b2 ) = a3 + b3

(a  b)2 =a2  2ab +b2

( a - b ) (a2 + ab +b2 ) = a3 - b3

( a  b)2 = a2  3a2b +3ab2  b2

(a  b)4 =a4a3 + 6a3 b3  4ab3 +b4

(a+b)(a-b) = a2 - b2

5 Một số Bất đẳng thức Lợng giác hay dùng
Ngoài kiến thức về các công thức Lợng giác, phơng trình Lợng giác, chúng ta
cần hết sức quan tâm tới các Bất đẳng thức Lợng giác sau đây. Những Bất
đẳng thức này coi nh là những kết quả đà biết, và sau nµy, trong tµi lƯu nµy,
mäi sù dÉn ra chóng đều không chú thích gì thêm (trừ trờng hợp cần thiết).
Chứng minh những Bất đẳng thức này là hiển nhiên hoặc có thể đợc tìm thấy
trong
(1)| sinx| 1 hay – 1  | sinx |  1 ,x .
(2)| cosx|  1 hay – 1  | cosx |  1 ,x .
(3)| tanx + cotx |  2, x k


, k  .
2

(4) a.sinx + b.cosx � a 2  b 2 ,x .
n

(5)

�sinx i
i=1

n

n

�sin(

�x
i=1

n

i

)

,xi  0;   , i = 1, n , n  *, dÊu “=” x¶y ra khi x 1 = x2 = …

= xn.

6


Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức
n

(6)

cosx i
i=1

n

n

cos(

x

i


;
,xi �
, i = 1, n , n  *, dÊu “=” x¶y ra khi x 1 = x2 =
)
�2 2�
�

i

��
0; �, i = 1, n , n  *, dÊu “=” x¶y ra khi x1 = x2 = …
,xi �
)
� 2�

i =1

n

… = xn .
n

(7)

�tanx i
i=1

n

n

�tan (

�x
i =1

n

= xn.
TÊt nhiên chúng ta cũng phải nhớ lại các kiến thức về Bất đẳng thức đà nêu
ở SGK lớp 10, và những Bất đẳng thức quen thuộc thờng sử dụng.

6 Mét sè lu ý khi vËn dơng kiÕn thøc vµo chứng minh Bất đẳng thức



;
Nếu x k (k > 0) thì ta có thể đặt x = k.sina (a  �
) hc x =
�2 2�
�

k.cosb (b   0;   ).

–

2
2
2
NÕu x + y = k thì ta có thể đặt x = k.sin , y = k.cos  ,    0; 2  .

–

NÕu x  k > 0 th× ta có thể đặt x =

k

,
0; , khi ®ã x2 – k2 =
cosβ
� 2�

2
2
k tan β vµ sin β > 0, tan β > 0. NÕu x  k > 0 thì ta có thể đặt x =

k
� � �
, β ��
0; ��� ;  �, khi ®ã sin β > 0.
cosβ
� 2 � �2 �

–

�  �
 ; �, khi ®ã x2 + k2 = k2 (1+ tan2
Với x ta có thể đặt x = tan  ,  ��
� 2 2�

)=

k2
vµ cos  > 0.
cosγ2

7


Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức
Nếu giả thiết cho a + b = c ta có thể đặt Èn phơ

� c
a  m
�
� 2
�
c
�
b  m
� 2

víi m tuú

ý.
– NÕu gi¶ thiÕt cho: x + y + z = k thì ta nên đặt:
k
x 3 m
�
� k
hay
�y   n
3
�
� k
�z  3  m  n
�
–

NÕu

cho

a 12

 a 32

 a 22

®iỊu

 a 24

k
a 3   x 3, ....
n
–

� k
�x  3  a
�
� k
�y   b
� 3
� k
�z  3  c
�
kiÖn

 ...  a 2n
an 

víi a +b +c = 0.

a 1  a 2  a 3  a 4  ...  a n k ,

lµ

CMR:

k
k

k2
 , ta cã thể đặt a 1 x 1, a 2   x 2 ,
n
n
n

k
 xn .
n

Víi ®iỊu kiƯn x + y = k vµ y  l (hay x n) thì đặt y = 1 + m với m 
0 (hay x = n - m víi m  0). Tõ ®ã suy ra x = k - l - m (hay y = k - n �x  k  l  m
�x  n  m
hay �
.
m) suy ra: �
�y  l  m
�y  k n m

Rồi thay các ẩn vào các vế bất

đẳng thức cần chứng minh.
x y u
x y u n
Nếu điếu kiện cho là:
ta nên đặt
với m,n 0
x v
x v m

từ ®ã

�y  m  v  u  n
�
�x  v  m
a  b �k
�
�a  b  k m
Nếu điếu kiện cho là:
ta đặt
với n,m 0
b �l
bln
�
�
a  k  m l  n
�
.
�
bln
�
8

tõ ®ã


Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức
ii. một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Phơng pháp 1 : dùng định nghĩa

Kiến thức : Để chứng minh A > B
Ta chøng minh A –B > 0
Lu ý dïng h»ng bÊt ®¼ng thøc M 2 �0 víi M
VÝ dơ 1  x, y, z chøng minh r»ng :
a) x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx
b) x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz
c) x 2 + y 2 + z 2 +3  2 (x + y + z)
Gi¶i:
a) Ta xÐt hiÖu
x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz - zx
1
= .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx)
2
=

1
( x  y ) 2  ( x  z ) 2  ( y  z ) 2 0 đúng với mọi x;y;z R
2





Vì (x-y)2 0 vớix ; y DÊu b»ng x¶y ra khi x=y
(x-z)2 �0 víix ; z DÊu b»ng x¶y ra khi x=z
(y-z)2 �0 víi z; y DÊu b»ng x¶y ra khi z=y
VËy x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx
DÊu b»ng x¶y ra khi x = y =z
b)Ta xÐt hiÖu
x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz )

= x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz
=( x – y + z) 2 0 ®óng víi mäi x;y;z �R
VËy x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z �R
9


Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xÐt hiÖu
x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z )
= x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1
= (x-1) 2 + (y-1) 2 +(z-1) 2  0
DÊu(=)x¶y ra khi x=y=z=1
VÝ dơ 2: chøng minh r»ng :
2

a2  b2  a  b 
a)

 ;b)
2
 2 

a2  b2  c2  a  b c


3
3

c) HÃy tổng quát bài toán
Gải
a2 b2  a  b 


2
 2 

a) Ta xÐt hiÖu



2



=

2 a 2  b 2 a 2  2ab  b 2

4
4

=

1
2a 2  2b 2  a 2  b 2  2ab
4

=

1
 a  b  2 0
4



a2  b2  a  b 
VËy


2
 2 



2

DÊu b»ng x¶y ra khi a=b
b)Ta xÐt hiƯu
a2  b2  c2  a  b  c 


3
3


=

2

1
 a  b  2   b  c  2   c  a  2 0
9



a2  b2  c2  a  b  c 
VËy


3
3





2

DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c
10

2


Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức

c)Tổng quát

a12 a 22  ....  a n2  a1  a 2 .... a n


n
n



2

* Tóm lại các bớc để chứng minh A B tho định nghĩa
Bớc 1: Ta xÐt hiƯu H = A - B
Bíc 2:BiÕn ®ỉi H=(C+D) 2 hc H=(C+D) 2 +….+(E+F) 2
Bíc 3:KÕt ln A B
Ví dụ3:(chuyên Nga- Pháp 98-99)
Chứng minh m,n,p,q ta đều cã
m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1)
Gi¶i:
 m2
  m2
  m2
  m2

 
 mn  n 2   
 mp  p 2   
 mq  q 2   
 m  1 0

 4
  4
  4
  4

2

2

2

2

m
 m
 m
 m 
   n     p     q 1 0 (luôn đúng)
2
2
2
2


m
 2
m
 
2
DÊu b»ng x¶y ra khi  m

 
 2
m
 2 

m

n2

m
p 0
m 2

p
 
2  
 n  p q 1

m
q 0
q


m 22
1 0

n 0

phơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng
Lu ý:

Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức
đúng hoặc bất đẳng thức đà đợc chứng minh là đúng.
Chú ý các hằng đẳng thức sau:
11


Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức

A B 2

 A 2  2 AB  B 2

 A  B  C  2  A 2  B 2  C 2  2 AB  2 AC  2 BC
 A  B  3  A3  3 A 2 B  3 AB 2  B 3
VÝ dơ 1:
Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng
a) a 2 

b2
ab
4

b) a 2  b 2  1 ab  a  b
c) a 2  b 2  c 2  d 2  e 2 a b  c  d  e 

Gi¶i:
a) a 2 

b2

ab
4

 4a 2  b 2 4ab  4a 2  4a  b 2 0
  2a  b  0
2

VËy a 2
b)

b2
ab
4

(bất đẳng thức này luôn đúng)
(dấu bằng xảy ra khi 2a=b)

a 2  b 2  1 ab  a  b

 2(a 2  b 2  1   2(ab  a  b)
 a 2  2ab  b 2  a 2  2a  1  b 2  2b  1 0
 (a  b) 2  (a  1) 2  (b  1) 2 0

Bất đẳng thức cuối đúng.

Vậy a 2 b 2  1 ab  a  b
DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=1
a 2  b 2  c 2  d 2  e 2 a b  c  d  e 

c)

 4 a 2  b 2  c 2  d 2  e 2



 

 4a  b  c  d  e 

 

 



 a 2  4ab  4b 2  a 2  4ac  4c 2  a 2  4ad  4d 2  a 2  4ac  4c 2 0
  a  2b  2   a  2c  2   a  2d  2   a  2c 2 0
Bất đẳng thức đúng vậy ta có ®iỊu ph¶i chøng minh
VÝ dơ 2:
12


Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức

Chứng minh rằng: a 10  b10 a 2  b 2  a 8  b 8 a 4  b 4



Gi¶i:

a

10



 

 a  b   a b b

 b10 a 2  b 2  a 8  b 8 a 4  b 4
 a 8b 2

2

2

2

8

2

 a2b2(a2-b2)(a6-b6)  0



 a 12  a 10 b 2  a 2 b10  b12 a 12  a 8 b 4  a 4 b 8  b12



 a 2 0

a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0

Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y
x2 y2
2 2
Chứng minh
x y
Giải:
x2 y2
2 2 vì :x y nên x- y 0
x y

 x2+y2  2 2 ( x-y)

 x2+y2- 2 2 x+ 2 2 y 0  x2+y2+2- 2 2 x+ 2 2 y -2 0
 x2+y2+( 2 )2- 2 2 x+ 2 2 y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y- 2 )2 0 Điều này luôn luôn ®óng . VËy ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh

VÝ dơ 4:
1)CM:
2)CM:

P(x,y)= 9 x 2 y 2  y 2  6 xy  2 y  1 0 x, y  R
a2  b2  c2  a  b c

(gợi ý :bình phơng 2 vế)

3)choba số thực khác kh«ng x, y, z tháa m·n:
x. y.z 1

1 1 1
    x yz
 x y z
Chøng minh r»ng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
(đề thi Lam Sơn 96-97)
Giải:
Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(

1 1 1
1 1 1
1 1 1
  )=x+y+z - (   )  0 (v×   < x+y+z
x y z
x y z
x y z

theo gt)

13


Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức
2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dơng.
Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc
phải xảy ra trờng hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1

Phơng pháp 3:

dùng bất đẳng thức quen thuộc

A/ một số bất đẳng thức hay dùng
1) Các bất đẳng thức phụ:
a) x 2 y 2 2 xy
2
2
b) x  y  xy

dÊu( = ) khi x = y = 0

c)  x  y  2 4 xy
d)

a b
2
b a

2)Bất đẳng thức Cô sy:

a1 a 2  a 3  ....  a n n
 a1 a 2 a3 ....a n
n

Víi ai  0

3)BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski

a

2
2



 a22  ....  an2 . x12  x22  .... 2n   a1 x1  a2 x2 .... an xn

2

4) Bất đẳng thøc Trª- b-sÐp:
 a b c
NÕu 
 A  B C



aA  bB  cC a  b  c A  B  C

.

3
3
3

 a b c
NÕu 
 A  B C



aA  bB  cC a  b  c A  B  C

.
3
3
3

 a b c
DÊu bằng xảy ra khi
A B C
b/ các ví dụ
ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng
(a+b)(b+c)(c+a) 8abc
Giải:
Cách 1:Dùng bất đẳng thøc phô:  x  y  2 4 xy
14


Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức

Tacó

a b  2 4ab ;  b  c  2 4bc

 c  a  2 4ac

;

  a  b  2  b  c  2  c  a  2  64a 2 b 2 c 2  8abc  2
 (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c
vÝ dơ 2(tù gi¶i): 1)Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=1
2)Cho x,y,z>0 vµ x+y+z=1

CMR:

1 1 1
  9
a b c

(403-1001)

CMR:x+2y+z 4(1  x)(1  y )(1  z )

3)Cho a>0 , b>0, c>0
CMR:

a
b
c

3



b c c a a b 2

4)Cho x 0 ,y 0 tháa m·n 2 x 
vÝ dơ 3:

y 1

;CMR:

x+y 

1
5

Cho a>b>c>0 vµ a 2  b 2  c 2 1 chøng minh r»ng

a3
b3
c3
1


�
bc ac ab 2

Giải:

Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b c




a 2 b 2 c 2
 a  b  c
 b  c a  c a  b

¸p dơng BĐT Trê- b-sép ta có
a
b
c
a 2 b2 c2  a
b
c  1 3 1
2
2
a .
b .
c .

.


= . =
bc
a c
a b
3

 b c a c a b 3 2 2
2

VËy

a3
b3
c3
1



b c a c a b 2

DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c=

vÝ dơ 4:
Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng :
a 2  b 2  c 2  d 2  a b  c   b c  d   d  c  a  10
Gi¶i:
Ta cã

a 2  b 2 2ab
15

1
3


Nguyễn Văn Xá

Chứng minh Bất dẳng thức
c 2 d 2 2cd
Do abcd =1 nªn cd =

1
1 1
(dïng x   )
ab
x 2

2
2
2
Ta cã a  b  c 2(ab cd ) 2( ab

Mặt khác:

1
) 4
ab

(1)

a b  c   b c  d   d  c  a 

=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
1  
1  
1


=  ab     ac     bc   2  2  2
ab  
ac  
bc 

VËy a 2  b 2  c 2  d 2  a  b  c   b c  d   d  c  a  10
vÝ dô 5:

Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng:
( a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2

Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski
tacã

ac+bd  a 2  b 2 . c 2  d 2

mµ  a  c  2   b  d  2 a 2  b 2  2 ac  bd   c 2  d 2





 a 2  b2  2 a2  b2 . c2  d 2  c2  d 2


(a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2

vÝ dô 6: Chøng minh r»ng
a 2  b 2  c 2 ab  bc ac
Giải:

Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski

Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã

1
3 a

2



2



 12  12 (a 2  b 2  c 2 ) 1.a  1.b  1.c 



 b 2  c 2 a 2  b 2  c 2  2 ab  bc  ac 

 a 2  b 2 c 2 ab bc ac
Phơng pháp 4:
Lu ý:

2

Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Sử dụng tính chất bắc cầu

A>B và b>c thì A>c
0< x <1 th× x 2 16


Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức
ví dụ 1:
Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a> c+d , b>c+d
Chøng minh r»ng

ab >ad+bc

Gi¶i:
a  c  d
Tacã 
b  c  d

a  c  d  0
 
b  d c 0



(a-c)(b-d) > cd

ab-ad-bc+cd >cd



ab> ad+bc

(điều phải chøng minh)

vÝ dô 2:
2

2

2

Cho a,b,c>0 tháa m·n a  b  c 
Chøng minh

5
3

1 1 1
1
  
a b c abc

Gi¶i:
Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)  0
 ac+bc-ab 

1
( a2+b2+c2)
2

5
1 1 1
 ac+bc-ab   1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta cã
  
6
a b c

1
abc

vÝ dô 3
Cho 0 < a,b,c,d <1 Chøng minh r»ng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
Gi¶i:
Ta cã (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
Do a>0 , b>0 nªn ab>0
 (1-a).(1-b) > 1-a-b

(1)

Do c <1 nªn 1- c >0 ta cã
 (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)
=1-a-b-c-d+ad+bd+cd
 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
(Điều phải chứng minh)
17

Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức
ví dụ 4
1- Cho 0 2a 3  2b 3  2c 3  3  a 2 b  b 2 c  c 2 a
Gi¶i :
Do a < 1



 a 2  1 vµ



Ta cã 1  a 2 .1  b   0

 1-b- a 2 + a 2 b > 0

 1+ a 2 b 2 > a 2 + b mµ 0< a,b <1 

a 2 > a 3 , b2 > b3

Tõ (1) vµ (2)  1+ a 2 b 2 > a 3 + b 3
VËy

a 3 + b 3 < 1+ a 2 b 2

T¬ng tù b 3 + c 3 1  b 2 c

c 3 + a3  1 c 2a
Cộng các bất đẳng thức ta có :
2a 3  2b 3  2c 3 3  a 2 b  b 2 c  c 2 a
b)Chøng minh r»ng : NÕu a 2  b 2 c 2 d 2 1998 thì ac+bd =1998
(Chuyên Anh –98 – 99)
Gi¶i:
Ta cã (ac + bd) 2 + (ad – bc ) 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2  2abcd  a 2 d

2

 b 2 c 2 - 2abcd =

= a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982
rá rµng (ac+bd)2   ac  bd  2   ad  bc  2 1998 2
ac bd 1998
2-Bài tập : 1, Cho các sè thùc : a 1; a2;a3 ….;a2003

tháa m·n : a1+ a2+a3 + ….

+a2003 =1
2
2
2
c høng minh r»ng : a 12 + a 2  a3  ....  a 2003



2003- 2004Thanh hãa )
2,Cho a;b;c 0 tháa m·n :a+b+c=1(?)
Chøng minh r»ng: (

Phơng pháp 5:

1
1
1
1).( 1).( 1) 8 .
a
b
c
dùng tính chấtcủa tỷ số
18

1
( đề thi vào chuyên nga pháp
2003


Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức
Kiến thức
1) Cho a, b ,c là các số dơng thì
a Nếu
b NÕu

a
a ac
 1 th× 
b
b b c

a
b

 1 th×

a a c

b b c

2)NÕu b,d >0 th× tõ
a c
a a c c
  

b d
b bd d
`
vÝ dô 1 :
Cho a,b,c,d > 0 .Chøng minh r»ng
1

a
b
c
d



2
a b c b c d c d a d a b

Gi¶i :
Theo tÝnh chÊt cđa tØ lÖ thøc ta cã
a
a
ad
1

a b c
a b c a b c d
Mặt khác :

(1)

a
a

a bc a bc d

(2)

Từ (1) vµ (2) ta cã
a
a
ad
<
<
a b c d
a bc a bc d

(3)

T¬ng tù ta cã
b
b
ba


a b c d b c d a b c  d

(4)

c
c
b c


a b c d c d a a b c d

(5)

d
d
d c


a b c d d a b a b c d

(6)

céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã
19


Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức
a
b
c
d
1



2 điều phải chøng minh
a b c b c d c d a d a b
vÝ dô 2 :
a c
a ab  cd c

Cho: < vµ b,d > 0 .Chøng minh r»ng
<
b d
b b2  d 2 d
a c
ab cd
<  2  2
b d
b
d

Gi¶i:

Tõ

VËy

a ab  cd c

<
b b2  d 2 d



ab ab  cd cd c



b2 b2  d 2 d 2 d

điều phải chứng minh

ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dơng thỏa mÃn : a+b = c+d =1000
tìm giá trị lớn nhất của

a b

c d

giải : Không mất tính tổng quát ta giả sử :

a
b
a
b

Từ : 
c
d
c
d



a a b b


c cd d

a
1 v× a+b = c+d
c
a, NÕu :b 998 th×

b
a b
  999
998 
d
c d

b, NÕu: b=998 thì a=1
Vậy giá trị lớn nhất của

a b 1 999
=
Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999
c d c
d

a b
1
=999+
khi a=d=1; c=b=999
c d
999

Phơng pháp 6: Phơng pháplàm trội
Lu ý:
Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính
đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
(*) Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn :
S = u1 u 2 .... un
Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k về hiệu của hai số hạng liên tiếp
nhau:
u k ak ak 1
20


Nguyễn Văn Xá

Chứng minh Bất dẳng thức
Khi đó :
S =  a1  a2    a2  a3   ....   an  an 1  a1 an 1
(*) Phơng pháp chung về tính tích hữu hạn
P = u1u2 ....un
Biến đổi các số hạng u k về thơng của hai số hạng liên tiếp nhau:
uk =

ak
ak 1

Khi ®ã P =

a1 a2
a
a
. ..... n  1
a 2 a3
an 1 an 1

VÝ dơ 1 :
Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng
1
1
1
1
3


 .... 


2 n 1 n  2
nn 4
Gi¶i:
1
1
1


n  k n  n 2n

Ta cã

víi k = 1,2,3,…,n-1

Do ®ã:
1
1
1
1
1
n 1

 ... 

 ... 
 
n 1 n  2
2n 2 n
2n 2n 2

VÝ dô 2 :
Chøng minh r»ng:
1

1
1
1

 .... 
 2 n 1 1
2
3
n





Với n là số nguyên

Giải :
Ta có

1
2
2


2 k 1 
k 2 k

k  k 1



Khi cho k ch¹y tõ 1 ®Õn n ta cã

1>2





21

21

k




Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức
1
2 3 2
2

1
2 n 1
n



n



Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta cã
1
1
1

 .... 
 2 n 1  1
2
3
n



1



VÝ dô 3 :

n

Chøng minh r»ng

1

k
k 1

2

2

n  Z

Gi¶i:
1
1
1
1



2
k
k  k  1 k  1 k

Ta cã

Cho k ch¹y tõ 2 ®Õn n ta cã

1
1
1
2
2
2
1 1 1
 
32 2 3
.................
1
1
1


2
n
n 1 n
1 1
1
 2  2  ....  2  1
2 3
n
n

Vậy

1

k

k 1

2

2

Phơng pháp 7: Dùng bất đẳng thức trong tam giác
Lu ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0
Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c

; |a-b| < c < b+a

Ví dụ1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam gi¸c chøng minh r»ng

a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
22


Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
Giải
a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta cã
0  a  b  c

0  b  a  c
0  c  a b


 a 2  a (b  c)

 2
 b  b( a  c )
 c 2  c ( a  b)




Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có
a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b) Ta cã

a > b-c 

 a 2  a 2  (b  c) 2 > 0

b > a-c 

 b 2  b 2  (c  a ) 2 > 0

c > a-b 

 c 2  c 2  ( a  b) 2  0

Nh©n vế các bất đẳng thức ta đợc

a 2b 2 c 2  a 2   b  c  b 2   c  a  c 2   a  b 
2

2

 a 2b 2 c 2   a  b  c   b  c  a   c  a  b 
 abc   a  b  c . b  c  a . c  a  b 
2

2

2



2

VÝ dô2: (404 – 1001)

1) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác
ab bc  ca  a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca)

Chøng minh r»ng

2) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2
Chứng minh rằng
Phơng pháp 8:

a 2  b 2  c 2  2abc  2 .

®ỉi biÕn sè

VÝ dơ1:

Cho a,b,c > 0 Chøng minh r»ng

a
b
c
3


 (1)
b c c a a b 2

Giải :
Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a=
ta cã (1) 

yz x
zx y
x y z
; b=
;c=
2
2
2

yz x zx y xy z

3



2x
2y
2z
2
23


Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức
y z
x z
x y
 1    1    1 3

x x
y y
z z
(

y x
z x
z y
 )  (  )  (  ) 6
x y
x z
y z

BÊt đẳng thức cuối cùng đúng vì

(

y x
2;
x y

z x
2 ;
x z

điều phải chứng minh
Ví dụ2:

Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c <1
Chøng minh r»ng
1
1
1
 2
 2
9
a  2bc b 2ac c 2ab

(1)

2

Giải:
Đặt x = a 2 2bc ; y = b 2  2ac ; z = c 2  2ab
Ta cã

x  y  z  a  b  c   1
2

(1) 

1 1 1
  9
x y z

Víi x+y+z < 1 vµ x ,y,z > 0

Theo bất đẳng thức Côsi ta có
x  y  z 3. 3 xyz
1 1 1
1
  3. . 3
x y z
xyz



 x  y  z . 1  1  1  9
x

y

z

Mµ x+y+z < 1
VËy

1 1 1
  9
x y z

(®pcm)

VÝ dơ3:

Cho x 0 , y 0 tháa m·n 2 x 

y 1 CMR x  y 

24

1
5

z y
 2 nªn ta cã
y z


Nguyễn Văn Xá
Chứng minh Bất dẳng thức
Gợi ý:

Đặt

x u ,

y v

 2u-v =1 vµ S = x+y = u 2  v 2  v = 2u-1 thay vµo tÝnh S

min
Bµi tËp
1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0

CMR:

25a 16b
c


8
b c c  a a b

2)Tỉng qu¸t m, n, p, q, a, b >0
CMR
ma
nb
pc
1




b c c a a b 2
Phơng pháp 9





2

m n  p   m  n  p

dïng tam thøc bËc hai

Lu ý :
Cho tam thøc bËc hai f  x  ax 2  bx  c
NÕu   0 th× a. f  x   0

x  R

NÕu  0 th× a. f  x   0

x 

NÕu   0 th× a. f  x   0
a. f  x   0

b
a

víi x  x1 hc x  x2

víi x1  x  x2

VÝ dô1:

Chøng minh r»ng
f  x, y   x 2  5 y 2  4 xy  2 x  6 y  3  0
Gi¶i:
Ta cã (1) 

x 2  2 x 2 y  1  5 y 2  6 y  3  0

 2 y  1  5 y 2  6 y  3
2

25

(1)

( x2  x1 )