SKKN hướng dẫn học sinh giải một số bài toỏn về đại số tổ hợp

Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

Phần 1. MỞ ĐẦU
1. MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIẾN

Đại số tổ hợp là một ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu hình kết hợp
các phần tử của một tập hữu hạn phần tử. Các cấu hình đó là các hoán vị, chỉnh
hợp, tổ hợp, ... các phần tử của một tập hợp. Nó có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác
của tốn học, như đại số, lí thuyết xác suất, lí thuyết ergod (ergodic theory) và hình
học, cũng như đến các ngành ứng dụng như khoa học máy tính và vật lí thống kê. Đại
số tổ hợp liên quan đến cả khía cạnh giải quyết vấn đề lẫn xây dựng cơ sở lí thuyết,
mặc dù nhiều phương pháp lí thuyết vững mạnh đã được xây dựng, tập trung vào cuối
thế kỉ 20. Một trong những mảng lâu đời nhất của đại số tổ hợp là lí thuyết đồ thị.
Trong khoa học máy tính, đại số tổ hợp được dùng nhiều để ước lượng số phần tử của
các tập hợp.

Trong chơng trình Đại số và Giải tích lớp 11, chủ đề Đại số
tổ hợp là nội dung quan trọng, có rất nhiều những thuật ngữ,
kí hiệu, khái niệm, dạng toán mới và khó. Trong các kì thi Tốt
nghiệp THPT và thi Tuyển sinh Đại học trớc đây, cũng nh trong
kì thi THPT Quốc gia hiện này, nội dung liên quan tới Đại số tổ
hợp đợc chú ý ở mức độ nhất định. Với các kì thi học sinh giỏi,
những nội dung này lại xuất hiện ở dạng những câu hỏi khã.
3


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

Thùc tÕ cho thấy không ít học sinh còn khó khăn trong việc
nhận diện đợc các khái niệm toán học, nhầm giữa một số khái
niệm, nh chỉnh hợp với tổ hợp, nhầm lẫn trong việc áp dụng

quy tắc cộng, quy tắc nhân ... Các học sinh trong các đội
tuyển học sinh giỏi cũng gặp những vớng mắc khi giải quyết
các bài toán thuộc chủ đề này. Nhằm giúp học sinh khắc phục
đợc những nhợc điểm nêu trên, từ đó đạt đợc kết quả cao khi
giải bài toán Đại số tổ hợp nói riêng và đạt kết quả cao trong
quá trình học tập nói chung, tôi chọn đề tài Hng dn hc
sinh gii một số bài tốn về đại số tổ hợp”.
2. TÍNH MỚI VÀ ƯU ĐIỂM NỔI BẬT CỦA SÁNG KIẾN

- Nêu rõ các khái niệm, tính chất, cơng thức tính ... trong Đại số tổ hợp được
trình bày trong SGK hiện hành, phân tích giúp học sinh tránh nhầm lẫn giữa các khái
niệm, giữa các công thức ...
- Phân loại các dạng tốn về Đại số tổ hợp trong chương trình THPT (cơ bản)
thành 8 dạng, nêu bật phương pháp giải cho từng dạng, có ví dụ minh họa cụ thể, giúp
học sinh nắm được phương pháp và biết cách vận dụng.
- Xây dựng hệ thống bài tập tổng hợp để học sinh ôn luyện nhằm củng cố kiến
thức và phương pháp.
4


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

3. ĐÓNG GểP CA SNG KIN

Đề tài nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến nội dung Đại
số tổ hợp đợc trình bày trong Chơng 2 - Tổ hợp và Xác suất, sỏch
giỏo khoa (SGK) Đại số và Giải tích 11, bậc Trung học Phổ thơng (THPT),
nh»m n©ng cao nghiƯp vơ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong
quá trình giảng dạy, đồng thời nghiên cứu chủ đề này để đề
xuất những vấn đề cơ bản thuộc về phơng pháp hớng dẫn học

sinh giải toán tổ hợp.
Đề tài đà góp phần:
- Trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản về Đại số tổ
hợp.
- Rèn luyện những kỹ năng khi làm các bài toán về Đại số tổ
hợp.
- Đóng góp một tài liệu tham khảo cho giáo viên trong quá
trình giảng dạy nội dung Đại số tổ hợp.

Phn 2. NI DUNG
Chng 1: KHÁI QUÁT THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
5


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

Qua tìm hiểu, tôi nhận thấy việc dạy và học nội dung Đại số tổ hợp hiện nay có
một số điều đáng bàn sau đây.

1) Giáo viên còn một số hạn chế về kiến thức toán cao cấp liên quan đại số đại
cương, do đó cái nhìn tổng quan cho chủ đề này chưa thực sự đầy đủ, điều đó dẫn tới việc
áp dụng các kiến thức Đại số tổ hợp vào giải tốn cũng có phần hạn chế, có lúc vẫn còn
thiếu đi sự linh hoạt, tinh tế.
2) Đây là chủ đề mà lượng kiến thức đưa vào bậc THPT chỉ dừng ở mức độ nhất
định (trong khi các dạng toán đơi khi lại địi hỏi một số phân tích phức tạp), dễ gây tâm lí
chủ quan đối với cả giáo viên lẫn học sinh. Chính tâm lí chủ quan có thể dẫn tới những
sai lầm đáng tiếc. Có nhiều nội dung rất dễ bị nhầm lẫn với nhau, như giữa hoán vị và
chỉnh hợp, giữa tổ hợp và chỉnh hợp, giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân, ... điều đó cũng
gây khó khăn cho học sinh trong q trình học tập. Bên cạnh những bài toán cơ bản, cũng
đã xuất hiện nhiều bài toán với lối tư duy và kĩ thuật phức tạp (chẳng hạn trong các kì thi

học sinh giỏi), khiến giáo viên cũng gặp khơng ít khó khăn trong giải quyết bài toán cũng
như trong giảng dạy, hướng dẫn
3) Việc hình thành kĩ năng áp dụng cho học sinh là công việc phải được tiến hành
thường xuyên, liên tục, tỉ mỉ, thận trọng. Tuy nhiên một số giáo viên chưa chú trọng việc
bồi dưỡng kĩ năng trình bày, bồi dưỡng mảng kiến thức liên quan tới các tập hợp số, liên
quan tới mệnh đề, thống kê ... ngay từ lớp 10, dẫn tới tạo ra độ ỳ lớn khi học sinh lên lớp
11 (và lớp 12).
6


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

4) Nhiều học sinh học tập một cách thụ động, trông chờ thầy cô cung cấp kiến
thức, chỉ làm bài theo mẫu sẵn, thiếu tính sáng tạo.

Chương 2: MỘT SỐ GIẢI PHÁP CHỦ YẾU
Trong chương này, tơi trình bày sơ lược cở sở lí thuyết của chuyên đề “Đại số tổ
hợp” dựa theo chương trình SGK hiện hành, phân chia các dạng toán cụ thể để giúp học
sinh hiểu và vận dụng tốt hơn các kiến thức này. Trong chương này, chúng tơi cũng đề
cập tới một số bài tốn liên quan tới đạo hàm, tích phân, số phức để giáo viên tham khảo.
Khi trình bày cho học sinh lớp 11, các nội dung này có thể tạm lược bớt.

1. LÍ THUYẾT CƠ BẢN
1. 1. Hai quy tắc đếm
Với mỗi tập A gồm hữu hạn phần tử, ta kí hiệu n( A) là số phần tử của A. Dễ thấy
n(�)  0 và nếu A �B thì 0 �n( A) �n( B ) ( A, B gồm hữu hạn phần tử).

Cho hai tập hợp A, B . Ta định nghĩa tích của A và B là tập A �B xác định bởi
A �B    a, b  a �A, b �B .

Nói chung, A �B �B �A. Nếu B  A thì A �A được kí hiệu là A2 . Chẳng hạn
�2    x, y  x ��, y �� .

1.1.1. Quy tắc cộng
7


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

Cho A và B là hai tập hợp có hữu hạn phần tử.
a) Quy tắc cộng

n( A �B )  n( A)  n( B), với A �B  �.

b) Quy tắc cộng mở rộng
n( A �B )  n( A)  n( B )  n( A �B ).

c) Chú ý
Quy tắc cộng cịn được phát biểu như sau: “Một cơng việc được hoàn thành bởi
một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n
cách thực hiện khơng trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì cơng việc đó
có m  n cách thực hiện.”
Quy tắc cộng và quy tắc cộng mở rộng có thể phát biểu cho trường hợp có nhiều
hơn 2 tập hợp hữu hạn phần tử. Chẳng hạn, với các tập A, B, C có hữu hạn phần tử, ta có
n( A �B �C )  n( A)  n( B)  n(C )  n( A �B)  n( A �C )  n( B �C )  n( A �B �C ).

1.1.2. Quy tắc nhân
Cho A và B là hai tập hợp có hữu hạn phần tử. Ta có
n( A �B)  n( B �A)  n( A).n( B ).

8


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

Quy tắc nhân cịn được phát biểu như sau: “Một cơng việc được hồn thành bởi
hai hành động. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có
n cách thực hiện hành động thứ hai thì cơng việc đó có m.n cách thực hiện.”
Tương tự như với quy tắc cơng, quy tắc nhân cũng có thể phát biểu cho nhiều hơn
2 tập hợp hữu hạn phần tử.
Tiếp theo, chúng ta trình bày các khái niệm hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp và các cơng
thức tính số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp. Giáo viên cần dành thời lượng phù hợp để
phân tích kĩ, giúp học sinh hiểu rõ và phân biệt được ba khái niệm trên, tránh nhầm lẫn
trong giải toán.

1.2. Hoán vị
1.2.1. Hoán vị thẳng
Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ��). Mỗi cách sắp xếp thứ tự của n phần tử
này được gọi là một hoán vị của n phần tử của tập A (hoặc hoán vị của tập A ).
Gọi Pn là số các hoán vị của một tập có n phần tử, ta có
Pn  n.(n  1)...2.1  1.2.3....n  n ! (quy ước 0!  1 ).
9


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

Với n người ( n ��), có n ! cách xếp n người đó thành một hàng ngang (hoặc một
hàng dọc).
1.2.2. Hốn vị vịng
Cho n phần tử ( n ��* ). Có (n  1)! cách xếp n phần tử này thành một vòng tròn.

1.3. Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ��). Mỗi cách lấy ra k phần tử từ A (
k  �, k

n ) và sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh

hợp chập k của n phần tử của tập A (hoặc chỉnh hợp chập k của tập A ).
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là Ank và được tính theo cơng
thức

Ank  n( n  1)(n  2)...(n  k  1) 

n!
(lưu ý An0  1 và Ann  Pn  n ! ).
(n  k )!

Như vậy, ta có thể coi một hốn vị của n phần tử chính là một chỉnh hợp chập n
của n phần tử.

1.4. Tổ hợp

10


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ��). Mỗi tập con gồm k ( k  �, k

n ) phần tử

của tập A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập A (hoặc tổ hợp chập k
của tập A ).
Số tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là Cnk và được tính theo cơng thức
Ank n(n  1)(n  2)...(n  k  1)
n!
C 


.
k!
1.2.3...k
k !(n  k )!
k
n

Ta nhận thấy rằng:
1) Cn0  Cnn  1, Cn1  n.
2) Cnn k  Cnk .
3) Cnk  Cnk1  Cnk11.
4) Ank  k !Cnk .
5) Các số Pn , Ank , Cnk (k , n  �; k

n) là các số nguyên dương.

1.5. Công thức nhị thức Niutơn

 a  b

n

 Cn0 a n  Cn1 a n1b  Cn2 a n 2b 2  ...  Cnk a n k b k  ...  Cnn 1ab n 1  Cnnb n
n

 �Cnk a n k b k (coi a 0  b 0  1).
k 0

Trong khai triển trên, số hạng tổng quát có dạng Tk 1  Cnk a n k b k .
11


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

Các hệ số trong khai triển này có thể được xác định theo tam giác Pascal sau đây.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
......................................

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
......................................

1.6. Phương pháp làm trội

Để tính tổng có dạng Sn 

Sn 

n

�uk , ta có thể phân tích uk  vk  vk 1, k  1, 2,..., n, và

k 1

n

�uk 

k 1

n

�(vk  vk 1)  v1  vn 1.

k 1

n

Để tính tích có dạng Sn  �uk �0, các ta có thể phân tích uk 
k 1

và
n
v
v
Sn  � k  1 .
v
vn 1
k 1 k 1

1.7. Tổng các hệ số của đa thức
Ta xét đa thức bậc n ( n ��* ) với hệ số thực

12

vk
, k  1, 2,..., n,
vk 1


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

f ( x)  an x n  ...  a1 x  a0 ( a0 , a1 ,..., an  �; an
n

n

k 0

k 0

k
Khi đó f (0)  a0 , f (1)  �ak , f (1)  �(1) ak , ak 

0 ).

f ( k ) (0)
.
k!

2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Việc phân chia các dạng toán như trong mục 2 này chỉ mang tính tương đối, có
những bài tốn có thể cùng được xếp vào dạng này và dạng kia, có những bài tốn phải
vận dụng tổng hợp và linh hoạt nhiều cơng thức. Ở một số nội dung, chúng tơi có đề cập
tới các kiến thức liên quan tới đạo hàm, tích phân, số phức, ... Do khuôn khổ không cho
phép, các kiến thức đó tơi khơng trình bày chi tiết mà chỉ nêu cách áp dụng.

2.1. Bài toán áp dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân
Ví dụ 1. Trên giá sách có 15 cuốn sách khác nhau, gồm 4 cuốn sách mơn Tốn, 5 cuốn
sách mơn Vật lí, 6 cuốn sách mơn Hóa học.
a) Có bao nhiêu cách lấy ra 1 cuốn sách từ 15 cuốn sách đó ?
b) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 cuốn sách thuộc 3 mơn khác nhau từ 15 cuốn sách đó ?
c) Có bao nhiêu cách lấy ra 2 cuốn sách khác môn từ 15 cuốn sách đó ?

13


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

Lời giải. a) Có 4 cách chọn 1 cuốn sách từ 4 cuốn sách Tốn. Có 5 cách chọn 1 cuốn sách
từ 5 cuốn sách Vật lí. Có 6 cách chọn 1 cuốn sách từ 6 cuốn sách Hóa học. Theo quy tắc

cộng, có 4  5  6  15 cách chọn 1 cuốn sách từ giá sách nói trên.
b) Cơng việc được chia làm 3 hành động liên tiếp.
- Hành động 1: Chọn 1 cuốn sách Toán từ 4 cuốn sách Tốn, có 4 cách thực hiện.
- Hành động 2: Chọn 1 cuốn sách Vật lí từ 5 cuốn sách Vật lí, có 5 cách thực hiện.
- Hành động 3: Chọn 1 cuốn sách Hóa học từ 6 cuốn sách Hóa học, có 6 cách thực hiện.
Vậy theo quy tắc nhân, có 4.5.6  120 cách chọn ra 3 quyển sách thuộc 3 mơn khác nhau
từ giá sách nói trên.
c) Công việc được chia thành 3 trường hợp.
- Trường hợp 1: Chọn 1 cuốn sách Toán và 1 cuốn sách Vật lí. Có 4 cách chọn 1 cuốn
sách từ 4 cuốn sách Tốn. Có 5 cách chọn 1 cuốn sách từ 5 cuốn sách Vật lí. Do đó, có
4.5  20 cách chọn ra 2 cuốn sách gồm 1 cuốn sách Tốn và 1 cuốn sách Vật lí.
- Trường hợp 2: Chọn 1 cuốn sách Vật lí và 1 cuốn sách Hóa học. Có 5 cách chọn 1 cuốn
sách từ 5 cuốn sách Vật lí. Có 6 cách chọn 1 cuốn sách từ 6 cuốn sách Hóa học. Do đó,
có 5.6  30 cách chọn ra 2 cuốn sách gồm 1 cuốn sách Vật lí và 1 cuốn sách Hóa học.
- Trường hợp 3: Chọn 1 cuốn sách Toán và 1 cuốn sách Hóa học. Có 4 cách chọn 1 cuốn
sách từ 4 cuốn sách Tốn. Có 6 cách chọn 1 cuốn sách từ 6 cuốn sách Hóa học. Do đó, có
4.6  24 cách chọn ra 2 cuốn sách gồm 1 cuốn sách Tốn và 1 cuốn sách Hóa học.
14


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

Theo quy tác cộng, có 20  30  24  74 cách lấy ra 3 cuốn sách thuộc 3 môn khác nhau
từ giá sách.
Ví dụ 2. a) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số ngun dương chẵn
có 3 chữ số đơi một phân biệt ?
b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số ngun dương có 3 chữ số
đơi một phân biệt và chẵn?
Lời giải. a) Gọi số nguyên dương cần lập là abc.
-

Nếu c  0 thì a � 1, 2,3, 4,5 nên có 5 cách chọn a, b � 1, 2,3, 4,5 \  a nên có 4
cách chọn b. Trường hợp này có 1.5.4  20 số.

-

Nếu c � 2, 4 c có 2 cách chọn, a � 1, 2,3, 4,5 \  c nên có 4 cách chọn a,
b � 0,1, 2,3, 4,5 \  a, c nên có 4 cách chọn b. Trường hợp này có 2.4.4  32 số.

Vậy, có 20  32  52 số ngun dương chẵn có 3 chữ số đơi một phân biệt được lập từ
các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5.
b) Lập luận tương tự như ý a, chỉ lưu ý lúc này a, b, c   0, 2,4 , a

0, và a, b, c đôi một

phân biệt. Ta thấy có 2 cách chọn a từ tập  2, 4 , có 2 cách chọn b từ tập  0, 2, 4 \  a ,
có 1 cách chọn c từ tập  0, 2,4 \  a, b . Vậy có 2.2.1  4 số tất cả.

15


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

Ví dụ 3. Có bao nhiêu cách cắm hết m bơng hoa khác nhau vào n lọ hoa khác nhau (
n, m ��* ) ?
Lời giải. Mỗi bơng hoa có n cách cắm vào 1 trong n lọ hoa. Vậy có n m cách cắm hết m
bông hoa khác nhau vào n lọ hoa khác nhau.
Ví dụ 4. Nhà trường tổ chức hoạt động thể thao gồm 3 nội dung: cầu lông, bóng bàn, đá
cầu. Một lớp có 45 học sinh, trong đó có 12 học sinh tham gia cầu lơng, 5 học sinh tham
gia bóng bàn, 8 học sinh tham gia đá cầu, có 3 học sinh vừa tham gia đá cầu vừa tham gia

bóng bàn, có 3 học sinh vừa tham gia cầu lơng vừa tham gia bóng bàn, 2 học sinh vừa
tham gia cầu lông vừa tham gia đá cầu, có 1 học sinh tham gia cả 3 nội dung. Hỏi lớp đó
có bao nhiêu học sinh khơng tham gia các hoạt động thể thao do nhà trường tổ chức ?
Lời giải. Gọi A, B, C lần lượt là tập hợp các học sinh của lớp đó tham gia các nội dung
cầu lơng, bóng bàn, đá cầu do nhà trường tổ chức. Ta có
n( A)  12, n( B )  5, n(C )  8, n( A �B)  3, n( A �C )  2, n( B �C )  3, n( A �B �C )  1.
Tập A �B �C là tập tất cả các học sinh của lớp đó tham gia ít nhất một nội dung thể
thao mà nhà trường tổ chức. Khi đó
n( A �B �C )  n( A)  n( B )  n(C )  n( A �B)  n( A �C )  n( B �C )  n( A �B �C )
12  5  8  3  2  3  1  18.
Vậy số học sinh của lớp đó khơng tham gia nội dung thể thao nào trong số 3 nội dung nhà
trường tổ chức là 45  18  27 (học sinh).
16


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

Nhận xét. Giáo viên cần phân tích kĩ cho học sinh hiểu khi nào áp dụng quy tắc cộng, khi
nào áp dụng quy tắc nhân, và lưu ý một số trường hợp phải phối hợp cả quy tắc cộng và
quy tắc nhân.

2.2. Một số bài tốn về hốn vị
Ví dụ 5. b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số
đơi một phân biệt? Tính tổng tất cả các số lập được.
b) Trong những số tự nhiên lập được ở câu a, có bao nhiêu số chẵn và bao nhiêu số lẻ,
bao nhiêu số chia hết cho 4 ?
c) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số mà chữ số
1 có mặt đúng 2 lần, chữ số 5 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần ?
Lời giải. a) Mỗi số có 5 chữ số phân biệt được lập từ A   1, 2,3, 4,5 chính là một hốn
vị của tập A . Vậy từ A có thể lập được 5!  120 số có 5 chữ số phân biệt.

Ta có thể tính tổng 120 số này theo hai cách sau đây.
Cách 1. Chia 120 số này thành 60 cặp, mỗi cập gồm 2 số có tổng bằng 66666 (lấy một
số tùy ý từ 120 số nói trên, luôn tồn tại duy nhất 1 số (cũng từ 120 số này) sao cho tổng 2
số đó bằng 66666 ). Vì thế tổng 120 số ở câu a bằng 60.66666  3999960.
Cách 2. Trong số 120 số ở câu a, sẽ có 24 số tận cùng là 1, có 24 số tận cùng là 2, ..., có
24 số tận cùng là 5. Do đó tổng các hàng đơn vị của 120 số này bằng
17


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

24.(1  2  3  4  5)  360 (đơn vị).
Hoàn toàn tương tự, tổng tất cả các chữ số hàng chục của 120 số này là
24.(1  2  3  4  5)  360 (chục).
Làm như vậy với các chữ số hàng trăm, hàng nghìn, hàng vạn. Vậy tổng của 120 số ở câu
a bằng 360.1  360.10  360.100  360.1000  360.10000  3999960.
b) Các số tự nhiên chẵn có dạng abcde , trong đó các chữ số đôi một phân biệt
a, b, c, d , e �A, và e chẵn.
- Vì e � 2, 4 nên e có 2 cách chọn.
- Vì abcd là một hoán vị của A \  e nên abcd có 4!  24 cách chọn.
Như vậy, có 2.24  48 số tự nhiên chẵn có 5 chữ số phân biệt được lập từ A. Số số tự
nhiên lẻ trong 120 số ở câu a là 120  48  72 (số).
Số abcde chia hết cho 4 khi và chỉ khi de chia hết cho 4.
�de � 12, 24,32,52 nên de có 4 cách chọn.
�abc là một hốn vị của A \  d , e nên abc có 3!  6 cách chọn.
Vậy có 4.6  24 số tự nhiên chia hết cho 4 và có 5 chữ số phân biệt được lập từ A.

18

Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

c) Hoán vị các kí tự 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5 có 8! cách, nhưng chỉ đổi chỗ các chữ số 1 cho
nhau, hoặc chỉ đổi chỗ các chữ số 5 cho nhau ta không thu được cách mới, nên thực chất

chỉ có

8!
40320

 3360 cách. Vậy có 3360 số tự nhiên có 8 chữ số được lập từ A
2!.3!
2.6

mà chữ số 1 có mặt đúng 2 lần, chữ số 5 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng
1 lần.
Ví dụ 6. Một tổ có 10 học sinh, gồm 5 học sinh nam, trong đó có bạn Minh, và 5 học sinh
nữ, trong đó có bạn Thanh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh đó
a) Thành một hàng ngang ?
b) Thành một hàng ngang sao cho Thanh và Minh luôn đứng cạnh nhau ?
c) Thành một hàng dọc sao cho tất cả các bạn nữa đứng cạnh nhau ?
d) Thành một hàng dọc sao cho nam và nữ đứng xen kẽ nhau ?
e) Thành một hàng dọc sao cho Thanh và Minh một bạn đứng đầu hàng, một bạn đứng
cuối hàng ?
f) Ngồi quanh một bàn tròn ?
g) Ngồi quanh một bàn tròn sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ nhưng Thanh và Minh khơng
ngồi cạnh nhau ?
Lời giải. a) Có 10!  3628800 cách xếp 10 học sinh thành một hang ngang.
19

Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

b) Cách 1. Tách riêng bạn Thanh ra khỏi tổ 10 bạn đó. Ta sẽ xếp 9 bạn (khơng có bạn
Thanh) theo một hang ngang, có 9! cách. Với mỗi cách xếp như thế, ta lại có 2 cách để
xếp bạn Thanh đứng cạnh bạn Minh. Vậy có 9!.2  725760 cách xếp 10 học sinh nói trên
thành một hang ngang mà Thanh và Minh luôn đứng cạnh nhau.
Cách 2. Đánh số các vị trí trong hang ngang từ 1 đến 10. Đầu tiên ta sẽ chọn 2 vị trí trong
hang để xếp Thanh và Minh. Để Thanh và Minh luôn đứng cạnh nhau thì hai bạn sẽ chọn
các cắp vị trí có thứ tự tương ứng (1, 2), (2,1), (2,3), (3, 2), (3, 4), (4,3), (4,5), (5, 4),
(5,6), (6,5), (6,7), (7,6), (7,8), (8, 7), (8,9), (9,8), (9,10), (10,9). Có 18 cách chọn vị
trí cho Thanh và Minh. Cịn lại 8 vị trí ta xếp 8 bạn cịn lại, có 8! cách. Vậy có
18.8!  725760 cách xếp 10 học sinh nói trên thành một hang ngang mà Thanh và Minh
luôn đứng cạnh nhau.
c) Công việc được chia làm 3 hành động liên tiếp.
- Hành động 1: Xếp 5 bạn nam thành một hang dọc, có 5! cách.
- Hành động 2: Giữa các bạn nam lúc này có 4 khoảng trống, cùng với khoảng trống đầu
hàng và cuối hàng, tất cả có 6 khoảng trống. Chọn 1 khoảng trống để xếp tất cả các bạn
nữ đứng vào đó, có 6 cách chọn.
- Hành động 3: Hoán vị 5 bạn nữ với nhau, có 5! cách.
Vậy có 5!.6.5!  86400 cách xếp 10 bạn thành một hàng dọc sao cho tất cả các bạn nữa
đứng cạnh nhau.
20


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

d) Đánh số các vị trí trong hang từ 1 đến 10. Có 2 khả năng xảy ra:
- Khả năng 1: Các bạn nam đứng vị trí lẻ, các bạn nữ đứng vị trí chẵn. Có 5!.5!  14400
cách xếp.

- Khả năng 2: Các bạn nam đứng vị trí chẵn, các bạn nữ đứng vị trí lẻ. Có 5!.5!  14400
cách xếp.
Vậy có tất cả 14400  14400  28800 cách xếp 10 bạn thành một hàng dọc sao cho nam
và nữ đứng xen kẽ nhau.
e) Có 2! cách xếp vị trí cho Thanh và Minh, có 8! cách xếp vị trí cho 8 học sinh cịn lại,
tất cả có 2!.8!  80640 cách xếp 10 học sinh thành một hàng dọc sao cho Thanh và Minh
một bạn đứng đầu hàng, một bạn đứng cuối hàng.
f) Có 9!  362880 cách xếp 10 học sinh ngồi quanh một bàn trịn.
g) Có 4! cách xếp 5 bạn nam ngồi quanh một bàn tròn. Lúc này giữa các bạn nam có 5
khoảng trống, trong đó có 2 khoảng trống liền kề bạn Minh và 3 khoảng trống khơng liền
kề bạn Minh.Có 3 cách xếp Thanh ngồi vào 1 trong 3 khoảng trống không liền kề Minh.
Còn lại 4 bạn nữ và 4 khoảng trống. Có 4! cách xếp 4 bạn nữ cịn lại vào 4 khoảng trống
đó. Vậy có tất cả 4!.3.4!  1728 cách xếp 10 học sinh ngồi quanh một bàn tròn sao cho
nam và nữ ngồi xen kẽ nhưng Thanh và Minh khơng ngồi cạnh nhau.
Chú ý. Ví dụ 6b có thể trình bày như sau. Coi Thanh và Minh là một phần tử, 8 học sinh
còn lại là 8 phần tử, xếp 9 phần tử này theo hang ngang, có có 9! cách. Với phần tử gồm
21


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

Thanh và Minh, ta có thể đổi chỗ 2 bạn này. Vậy sẽ có 9!.2!  725760 cách xếp 10 học
sinh nói trên thành một hang ngang mà Thanh và Minh luôn đứng cạnh nhau. Tương tự
như vậy, ví dụ 6c có thể trình bày như sau. Coi 5 bạn nữ là 1 phần tử, coi mỗi bạn nam là
một phần tử, ta có 6 phần tử. Hốn vị 6 phần tử này, có 6! cách. Giữa 5 bạn nữ lại có thể
tự hốn vị vị trí cho nhau, có 5! cách. Vậy có 6!.5!  86400 cách xếp 10 bạn thành một
hàng dọc sao cho tất cả các bạn nữa đứng cạnh nhau.

2.3. Một số bài tốn về chỉnh hợp
Ví dụ 7. Một lớp có 41 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh, trong đó 1 học

sinh làm lớp trưởng, 1 học sinh làm bí thư, 1 học sinh làm cờ đỏ ?
Lời giải. Mỗi cách chọn ra 3 học sinh để phân công nhiệm vụ như trên là một chỉnh hợp
3
 63960 (cách).
chập 3 của 41 phần tử. Vậy số cách thực hiện là A41

Ví dụ 8. Có 6 con tem khác nhau và 4 bì thư khác nhau. Có bao nhiêu cách lấy ra 4 con
tem từ 6 con tem đó và dán vào 4 bì thư sao cho mỗi bì thư dán 1 con tem ?
Lời giải. Số cách thực hiện là A64  360 (cách).
Ví dụ 9. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương chẵn
có 5 chữ số phân biệt ?
Lời giải. Số nguyên dương cần lập có dạng abcde.

22


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

- Trường hợp 1: e  0. Lúc này abcd là một chỉnh hợp chập 4 của  1, 2,3, 4,5,6 .
Trường hợp này có tất cả A64  360 số.
- Trường hợp 2: e � 2, 4,6 , e có 3 cách chọn. Lúc này
�a � 1, 2,3, 4,5,6 \  e , a có 5 cách chọn.
�bcd là một chỉnh hợp chập 3 của  0,1, 2,3, 4,5,6 \  a, e , có A53  60 cách chọn.
Do đó trường hợp 2 có tất cả 3.5.60  900 số.
Vậy lập được 360  900  1260 số theo yêu cầu của bài tốn.
Chú ý. Giáo viên cần phân tích kĩ để giúp học sinh thấy được khi nào áp dụng cơng thức
tính số hốn vị, khi nào áp dụng cơng thức tính số chỉnh hợp, khi nào áp dụng cơng thức
tính số tổ hợp.

2.4. Một số bài tốn về tổ hợp

Ví dụ 10. Cho hai đường thẳng song song d1 , d 2 . Trên d1 lấy 7 điểm phân biệt. Trên d 2
lấy 13 điểm phân biệt.
r
a) Lập được bao nhiêu vectơ (khác vectơ 0 ) mà điểm đầu và điểm cuối của chúng được
lấy từ 20 điểm nói trên ?
b) Lập được bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ 20 điểm nói trên ?
23


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

c) Lập được bao nhiêu hình thang mà bốn đỉnh của nó được lấy từ 20 điểm nói trên ?
Lời giải. a) Có A202  380 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Xảy ra 2 trường hợp sau đây.
- Trường hợp 1: Tam giác có 2 đỉnh nằm trên d1 và 1 đỉnh nằm trên d 2 . Có C72 .C131 tam
giác như thế.
1
2
- Trường hợp 2: Tam giác có 1 đỉnh nằm trên d1 và 2 đỉnh nằm trên d 2 . Có C7 .C13 tam

giác như thế.
Vậy có tất cả C72 .C131  C71 .C132  273  546  819 tam giác thỏa mãn u cầu bài tốn.
Ví dụ 11. Cắm 6 bông hoa khác nhau vào 3 lọ hoa khác nhau, sao cho 1 lọ có 1 bơng hoa,
1 lọ có 2 bơng hoa, và 1 lọ có 3 bơng hoa. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện ?
Lời giải. Chọn 3 bông hoa từ 6 bông hoa và chọn 1 lọ hoa từ 3 lọ hoa để cắm 3 bơng hoa
đó, có C63 .C31  60 cách. Chọn 2 bơng hoa từ 3 bơng hoa cịn lại và chọn 1 lọ hoa từ 2 lọ
hoa còn lại để cắm 2 bơng hoa đó, có C32 .C21  6 cách. Cắm bơng hoa cịn lại vào lọ hoa
cuối cùng, có C11.C11  1 cách. Vậy có tất cả 60.6.1  360 cách cắm hoa theo yên cầu của
bài tốn.
Ví dụ 12. Có bao nhiêu cách cắm hết 5 bông hoa khác nhau vào 3 lọ hoa khác nhau, sao

cho mỗi lọ có ít nhất 1 bơng hoa ?
24


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

Lời giải. Có 3 học sinh đề xuất lời giải ví dụ này như sau.
Học sinh 1
*TH1: Cắm 1 lọ có 1 bơng hoa, và 2 lọ cịn lại mỗi lọ 2 bông hoa.
- Chọn 1 bông hoa trong 5 bông hoa, và chọn 1 lọ hoa trong 3 lọ hoa để cắm hoa, có
5 �3  15 cách.
- Chọn 2 bơng hoa trong số 4 bơng hoa cịn lại và cắm vào 1 lọ trong 2 lọ cịn lại, có
C42 �2  12 cách.
- Cắm 2 bơng hoa cịn lại vào lọ hoa cuối cùng, có 1 cách chọn.
Trường hợp này có 15 �12 �1  180 cách thực hiện.
*TH2: Cắm 1 lọ 3 bơng hoa và 2 lọ cịn lại mỗi lọ 1 bông hoa.
- Lấy 3 bông hoa trong số 5 bông hoa và lấy 1 lọ trong số 3 lọ để cắm 3 bơng hoa đó, có
C53 �3  30 cách.
- Cắm 2 bơng hoa cịn lại vào 2 lọ cịn lại, mỗi lọ 1 bơng, có 2!  2 cách.
Trường hợp này có 30 �2  60 cách.
Vậy,có tất cả 180  60  240 cách cắm 5 bông hoa vào 3 lọ hoa sao cho mỗi lọ có ít nhất
1 bơng hoa.

25


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

Học sinh 2
Ta sẽ chia 5 bơng hoa thành 3 bó hoa, rồi cắm mỗi bó hoa vào một lọ hoa.

*TH1: Chia 5 bơng hoa thành 3 bó hoa, sao cho 2 bó mỗi bó 2 bơng và một bó cịn lại có
1 bơng.
2
- Chọn 2 bơng từ 5 bơng để bó thành bó hoa thứ nhất, có C5  10 cách chọn.

- Chọn 2 bơng hoa từ 3 bơng cịn lại bó thành bó hoa thứ 2, có C32  3 cách chọn.
- Một bơng hoa cịn lại bó thành bó thứ 3.
- Sau đó, cắm 3 bó hoa này vào 3 lọ hoa khác nhau, có 3!  6 cách.
Vậy trường hợp 1 có 10 �3 �6  180 cách thực hiện.
*TH2: Chia 5 bơng hoa thành 3 bó hoa, trong đó 2 bó mỗi bó 1 bơng, bó cịn lại có 3
bơng.
- Chọn 1 bơng hoa từ 5 bơng hoa để làm bó hoa thứ nhất, có 5 cách chọn.
- Chọn 1 bơng hoa từ 4 bơng cịn lại để làm bó hoa thứ hai, có 4 cách chọn.
- Chọn cả 3 bơng hoa cịn lại để làm bó hoa thứ ba, có 1 cách chọn.
- Sau đó cắm 3 bó hoa này vào 3 lọ hoa, có 3!  6 cách.
Trường hợp 2 có 5 �4 �6  120 cách thực hiện.

26


Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2

Vậy,có tất cả 180  120  300 cách cắm 5 bông hoa vào 3 lọ hoa sao cho mỗi lọ có ít nhất
1 bơng hoa.
Học sinh 3
*TH1: Cắm 1 lọ có 1 bơng hoa, và 2 lọ cịn lại mỗi lọ 2 bông hoa.
-Đầu tiên, lấy 3 bông hoa khác nhau từ 5 bông hoa khác nhau và cắm mỗi bông vào 1 lọ
trong 3 lọ khác nhau, có A53  60 cách.
2
- Cịn lại 2 bơng hoa, ta chọn ra 2 lọ từ 3 lọ rồi cắm thêm mỗi lọ đó 1 bơng, có A3  6

cách.
- Trong các lọ có 2 bơng hoa, ta đã tính thứ tự các bơng hoa đó. Vì thế trường hợp này sẽ

có

60 �6
 90 cách thực hiện.
2!�2!

*TH2: Cắm 1 lọ 3 bông hoa và 2 lọ cịn lại mỗi lọ 1 bơng hoa.
- Tương tự như trên, lấy 3 bông hoa khác nhau từ 5 bông hoa khác nhau và cắm mỗi bong
3
vào 1 lọ trong 3 lọ khác nhau, có A5  60 cách.

- Cắm 2 bơng hoa cịn lại vào 1 trong 3 lọ, có C31  3 cách. Tuy nhiên 3 bơng hoa trong lọ
có 3 bơng đã được tính thứ tự, do đó kết quả phải chia cho hốn vị của 3 phần tử, tức là
chia cho 3!.

27