SKKN một số bài toán về phương trènh tiếp tuyến của đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC NINH
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2
----------------------------------

SÁNG KIẾN ĐỀ NGHỊ THẨM ĐỊNH , ĐÁNH GIÁ Ở CẤP: Ngành
TÊN SÁNG KIẾN :
“ MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ”

Tác giả sáng kiến : NGUYỄN SỸ AN
Chức vụ

: Giáo viên

Đơn vị công tác

: THPT Yên Phong số 2

Bộ môn ( Chuyên ngành) : Toán

YÊN PHONG,THÁNG 10 NĂM 2015

1


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

--------------------------

ĐƠN U CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN

Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến ngành Giáo dục và Đào tạo Bắc Ninh.

Tôi ghi tên dưới đây:

Số

Họ và tên

Ngày sinh

Nơi cơng tác

TT

01

Nguyễn Sỹ An

06.01.1982

Trường
THPT

Chức

Trình độ Tỷ lệ (%)

danh

chun

đóng góp

mơn

vào sáng

ĐHSP

kiến
100%

GV
n

Phong số 2
Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: một số bài tốn về phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số.
- Chủ đầu tư sáng kiến: Sáng kiến này do cá nhân tôi tự thực hiện.

- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục.
2


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

- Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 05-10-2013.

- Mô tả bản chất của sáng kiến: Trong sáng kiến này, tơi trình bày các nội dung cơ
bản về viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
- Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Giáo viên và học sinhcần trang bị các
kiến thức về định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng và phương trình tiếp tuyến.
- Đánh giá lợi ích thu được từ sáng kiến theo ý kiến của tác giả: Sáng kiến góp phần
nâng cao chất lượng giáo dục mơn tốn . Đặc biệt đó cịn là một tài liệu bổ ích, thiết
thực cho các em học sinh ơn thi THPT quốc gia .
Tôi xin cam đoan mọi thông tin trên là trung thực và hoàn toàn chịu trách
nhiệm trước pháp luật.

Yên Phong, ngày 22 tháng 10 năm 2015
Người nộp đơn

Nguyễn Sỹ An

MỤC LỤC
Phần

Nội dung
3

Trang


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

PHẦN I . MỞ ĐẦU

I
I.Mục đích

5

II .Đóng góp.

6

PHẦN II .NỘI DUNG
Chương 1 : THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

7

Chương 2 : CÁC GIẢI PHÁP
I. Một số kiến thức cơ bản:
II

1.Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng.

8- 10

2.Phương trình tiếp tuyến.
3.Ý nghĩa hình học của đạo hàm.
4.Điều kiện tiếp xúc.
II.Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

10- 20
1. Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại một điểm.
2. Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số
góc cho trước.

21 – 27

4


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

3. Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp 27 – 29
tuyến đi qua một điểm cho trước.
III.Một số bài toán tổng hợp về tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
IV. Bài tập tự luyện:
Chương 3 : KIỂM CHỨNG CÁC GIẢI PHÁP

III

30

PHẦN III . KẾT LUẬN
I.Những vấn đề quan trọng nhất được đề cập.
II.Hiệu quả thiết thực.

31

III. Kiến nghị ,đề xuất.
IV

PHẦN IV. PHỤ LỤC

5

32


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

PHẦN I. MỞ ĐẦU

I.Mục đích :
Qua q trình cơng tác giảng dạy ở trường THPT , tơi thấy bài tốn viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những nội dung quan trọng
và thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh vào CĐ – ĐH trong
những năm gần đây, nhưng rất nhiều học sinh cịn mơ hồ và lúng túng khơng biết
giải bài tốn này. Bài tốn viết phương trình tiếp tuyến có nhiều dạng khác nhau, học
sinh thường mắc sai lầm giữa bài tốn viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm
và viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm; một dạng nữa là viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến, chứng minh tính chất của tiếp
tuyến…đối với học sinh lại càng khó. Học sinh khơng có phương pháp làm bài tập
viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số vì các em mới chỉ được biết sơ qua ở
chương trình lớp 11 lại được luyện tập rất ít ,chưa hiểu sâu về lí thuyết; chưa được
rèn luyện nhiều về kĩ năng. Chính vì vậy tơi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm về

6


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

“ Một số bài tốn về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số’’ với mong muốn
giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán này và được rèn kĩ năng nhiều hơn, vận dụng
vào giải toán thành thạo hơn.
Đề tài “Một số bài tốn về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số’’ được
hoàn thiện nhằm đáp ứng được nhu cầu của đa số học sinh .Kỹ năng trình bày rất dễ
hiểu . Mỗi bài tốn về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đều có các ví dụ
minh họa , phân tích và có hướng dẫn giải cụ thể.Từ đó cịn rèn cho học sinh trong
việc giải một số dạng tốn phức tạp có mức độ tư duy cao.
Điểm mới trong nghiên cứu : Cái mới ở đây chính là sự phân loại có tính chất
xuyên suốt chương trình nhưng vẫn bám vào các kiến thức cơ bản, phù hợp với tư
duy của học sinh.

II.Đóng góp :

1. Sáng kiến là một tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh ơn thi trung học
phổ thong quốc gia.
2. Sáng kiến là một tài liệu tham khảo hữu ích cho q thầy cơ và các em học
sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi.
3. Sáng kiến còn thúc đẩy học sinh trong việc tìm tịi, sáng tạo ra các dạng toán
mới.
7

Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

4. Sáng kiến cịn là cơng cụ để giải các dạng tốn khác trong chương trình phổ
thơng
Với những đóng góp như vậy tơi tin bản sáng kiến “Một số bài tốn về
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số’’sẽ là một tài liệu tham khảo hữu
ích và hiệu quả cho quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh.

PHẦN II . NỘI DUNG
8


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

Chương 1:THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là mảng kiến thức quan trọng trong
chương trình tốn học phổ thơng, nó thường gặp trong các kì tốt nghiệp; tuyển sinh
đại học, cao đẳng; thi học sinh giỏi. Mặc dù học sinh được cọ sát phần này khá nhiều
song phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình tìm ra cách giải. Nguyên
nhân là vì :
Thứ nhất, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là mảng kiến thức phong
phú, đòi hỏi người học phải có tư duy, có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khác
nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện.
Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần này khá đơn giản, các tài liệu tham
khảo đề cập đến phần này khá nhiều song sự phân loại chưa dựa trên cái gốc của bài

toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình và chưa có cái nhìn tổng
quát .
Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng
quát bài tốn và tìm ra bài tốn xuất phát, chưa biết được bài tốn trong các đề thi do
đâu mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho các
em.Ngồi ra thời gian các em luyện tập trên lớp cũng chưa nhiều.

9


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

Để giúp học sinh giảm bớt khó khăn khi làm về dạng tốn này tơi có mạnh dạn
đưa ra đề tài “Một số bài tốn về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số’’ với
hi vọng nhằm giúp học sinh phần nào tháo gỡ những khó khăn đó.
Trong q trình biên soạn đề tài này chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu
sót. Mong nhận được sự góp ý chân thành của quý thầy cô , các bạn đồng nghiệp và
Hội đồng chuyên môn của nhà trường để các đề tài sau của tôi được tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !.

Chương 2 : CÁC GIẢI PHÁP
I.Một số kiến thức cơ bản :
1.Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng:
Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C) giả sử (C) là đồ thị của hàm số y
= f(x) và M 0 (x 0 ; f (x 0 )) ∈ (C ) kí hiệu M(x; f(x)) là điểm di chuyển trên ( C)

10

Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

Đường thẳng M 0 M là một cát tuyến của ( C). Khi x →x 0 thì M(x; f(x)) di chuyển
trên ( C) tới M 0 (x 0 ; f (x 0 )) và ngược lại.Giả sử cát tuyến M 0 M có vị trí giới hạn, kí
hiệu là M 0T thì M 0T được gọi là tiếp tuyến của ( C) tại M 0 . Điểm M 0 được gọi là
tiếp điểm.
2.Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó
tại điểm M 0 (x 0 ; f (x 0 )).
3. Phương trình tiếp tuyến
Phương trình tuyến của đồ thị (C) hàm số y = f(x) tại điểm M 0 (x 0 ; f (x 0 )) là
y − y 0 = f '(x 0 )(x − x 0 ) trong đó y0 = f ( x 0 ) .
4. Điều kiện tiếp xúc
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = kx + b. Đường thẳng d

tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

 f ( x) = kx + b

 f '( x ) = k

Khi đó nghiệm x của hệ phương trình chính là hồnh độ tiếp điểm
II. Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
1. Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm:
11

Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) . Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C )
1.1. Phương pháp giải:
- Tính f ' ( x) .
- Tính hệ số góc của tiếp tuyến k = f ' ( xo ) .
- Phương trình tiếp tuyến với độ thì (C) tại điểm M o ( xo ; yo ) là:
y − yo = f ' ( xo )( x − xo )

1.2. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 − 3x + 1 (C).Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
trong các trường hợp sau :
a) Tại điểm M (2; 3).
b) Tại điểm có hồnh độ x = -2.
c) Tại điểm có tung độ y = 1.
Giải:
a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) có dạng:
y − y0 = f '( x0 )( x − x0 )
2
Ta có y ' = 3 x − 3 ⇒ y '(2) = 9 .

Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) là: y = 9 x − 15
12


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

b) Từ x = −2 ⇒ y = −1 .
y’(- 2) = 9. Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ x = - 2 là:
y = 9 x + 17

x = 0

3
3
c) Ta có: y = 1 ⇔ x − 3x + 1 = 1 ⇔ x − 3x = 0 ⇔  x = − 3
x = 3


+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (0; 1).
Ta có y’(0) = -3. Do đó phương trình tiếp tuyến là: y = -3x + 1.
+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (− 3;1) .
y '(− 3) = 3( − 3) 2 − 3 = 6

Do đó phương trình tiếp tuyến là: y = 6 x + 6 3 + 1 .
+) Tương tự phương trình tiếp tuyến của (C) tại (− 3;1) là: y = 6 x − 6 3 + 1 .
Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số y = x 3 + 3x 2 − 4 .
a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hồnh.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0.
Giải:

13

Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

Ta có y ' = 3 x 2 + 6 x . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm thì tiếp tuyến có phương trình:
y − y0 = y '( x0 )( x − x0 ) ⇔ y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0

(1)

a) Khi M = (C ) I Ox thì y0 = 0 và x0 là nghiệm phương trình:

 x =1
x3 + 3x 2 − 4 = 0 ⇔ 
 x = −2
Với x = 1 ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x − 9
Với x = - 2 ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 0
b) Khi M = (C ) I Oy thì x0 = 0 ⇒ y0 = y (0) = −4 và y '( x0 ) = y '(0) = 0 , ta được
phương trình tiếp tuyến: y = −4 .
c) Khi x0 là nghiệm phương trình y”= 0. Ta có: y” = 6x + 6.
y” = 0 ⇔ 6 x + 6 = 0 ⇔ x = −1 = x0 ⇒ y0 = −2 ; y '( x0 ) = y ' ( −1) = −3
ta được phương trình tiếp tuyến: y = −3x − 5

Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y =

x+2
tại các giao điểm của
x +1

1
2

(C) với đường thẳng (d): y = − x + 2 .

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
x+2
1
= − x + 2 ⇔ 2( x + 2) = ( − x + 4)( x + 1) (ĐK :
x +1
2

14

x ≠1

)


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

3
⇔ x 2 − x = 0 ⇔ x = 0 ( y = 2) ∨ x = 1 ( y = )
2

Vậy có hai giao điểm là: M1(0; 2) và M2(1;

+ Ta có: y ' =

3

)
2

−1
.
( x + 1) 2

+ Tại tiếp điểm M1(0; 2) thì y’(0) = -1 nên tiếp tuyến có phương trình: y = − x − 2

+ Tại tiếp điểm M2(1;

3
1
1
) thì y’(1) = − nên tiếp tuyến có phương trình: y = − x + 2
2
2
2

(loại). Tóm lại tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài tốn là: y = − x − 2
1
3

Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 −

m 2 1
x + (Cm).Gọi M là điểm thuộc đồ thị (Cm) có
2
3

hồnh độ bằng( -1). Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại M song song với đường thẳng
d: 5x- y =0

Giải : Ta có y ' = x 2 − mx
Đường thẳng d: 5x- y =0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến tại M song song với
đường thẳng d trước hết ta cần có y ' (−1) = 5 ⇔ m + 1 = 5 ⇔ m = 4
1
3

Khi m = 4 ta có hàm số y = x3 − 2 x 2 +

1
ta có x0 = −1 thì y0 = −2
3

Phương trình tiếp tuyến có dạng y = y ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇒ y = 5( x + 1) − 2 ⇔ y = 5 x + 3
15


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d
Vậy m = 4 là giá trị cần tìm.
1
3

Ví dụ 5: Cho hàm số y = x3 − 2 x 2 + 3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ
''

thị (C) tại điểm có hồnh độ x0 thỏa mãn y ( x0 ) = 0 và chứng minh d là tiếp tuyến

của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Giải
Ta có y ' = x 2 − 4 x + 3 ⇒ y '' = 2 x − 4
2
y ''( x0 ) = 0 ⇔ 2 x0 − 4 = 0 ⇔ x0 = 2 ⇒ M (2; )
3

Khi đó tiếp tuyến tại M có hệ số góc k0 = y ' ( x0 ) = y ' (2) = −1


2

Vậy tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M  2; ÷ có phương trình
 3

y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) suy ra y −

2
8
= −1( x − 2 ) hay y = − x +
3
3

Tiếp tuyến d có hệ số góc k0 = -1
Mặt khác tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm bấy kỳ trên (C) có hệ số góc
k = y ' ( x) = x 2 − 4 x + 3 = ( x − 2 ) − 1 ≥ −1 = k0
2



2

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 1 nên tọa độ tiếp điểm trùng với M  2; ÷
 3
16


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016




2

Vậy tiếp tuyến d của (C) tại điểm M  2; ÷ có hệ số góc nhỏ nhất.
3


2. Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước
Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số k ∈ ¡ . Viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thị (C) có hệ số góc k.
2.1. Phương pháp giải:
- Tính f ' ( x) .
- Gọi M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) tại đó tiếp tuyến có hệ số góc k.
⇒ xo là nghiệm phương trình f ' ( xo ) = k .
- Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng: y − y o = k(x − x o ) .

(*)Chú ý: Giả sử đường thẳng d1 có hệ số góc là k1.
đường thẳng d2 có hệ số góc là k2.
Khi đó :

+ d1 // d2 ⇔ k1 = k2.
+ d1 ⊥ d2 ⇔ k1 . k2 = - 1
k −k
·
+ ( d1 , d 2 ) = α ⇒ tan α = 1 2
1 + k1.k 2

2.2. Các ví dụ minh họa :

17


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
biết hệ số góc của tiếp tuyến k = 9.
Giải: Ta có: y ' = 3 x 2 − 6 x
'
2
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k = f ( x0 ) = 3 x0 − 6 x0

Theo giả thiết, hệ số góc của tiếp tuyến k = 9 nên:
 x = −1
3 x02 − 6 x0 = 9 ⇔ x02 − 2 x0 − 3 = 0 ⇔  0

 x0 = 3

Với x = - 1 ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x + 5
Với x = 3 ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x − 27

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

x+2
(C). Biết tiếp
x −1

tuyến đó song song với đường thẳng y = -3x + 2016.

Giải: Ta có: y ' =

−3

( x − 1)

2

'
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k = f ( x0 ) =

−3

( x0 − 1)

2

Theo giả thiết, tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -3x + 2016. ⇒ tiếp

tuyến có hệ số góc k = -3 ⇒

−3

( x0 − 1)

2

 x0 = 0 ⇒ M (0; −2)
= −3 ⇔ x02 − 2 x0 = 0 ⇔ 
 x0 = 2 ⇒ M (4;1)

18


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(0;-2) là: y = −3x − 2
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(4;1) là: y = −3 x + 13
1
4

Ví dụ 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: y = x 4 + 2 x 2 , biết
tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): x + 5 y + 2015 = 0 .
1
5

1
5

Giải: (d) có phương trình: y = − x + 403 nên (d) có hệ số góc là (- ).

1
5

Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k thì − .k = −1 ⇔ k = 5 (do ∆ ⊥ (d )) .

Ta có: y ' = x 3 + 4 x nên hồnh độ tiếp điểm là nghiệm phương trình: x 3 + 4 x = 5
⇔ x3 + 4 x − 5 = 0 ⇔ ( x − 1)( x 2 + x + 5) = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y =

9
4

Tiếp tuyến có phương trình: y − = 5( x − 1) ⇔ y = 5 x −

Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y = 5 x −

Ví dụ 4: Cho hàm số y =

9
4

11
4

11

.
4

x+2
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng
2x + 3

tiếp tuyến cắt trục hoành tại A, trục tung tại B sao cho tam giác OAB vuông cân tại
O, ở đây O là gốc tọa độ.
Giải
'
Ta có: y =

−1
(2 x + 3) 2

19


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vng cân nên hệ số góc của tiếp
tuyến là: k = ±1
Khi đó gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có y ' ( x0 ) = ±1

⇔

 x0 = −2

−1
= ±1 ⇔ 
2
(2 x0 + 3)
 x0 = −1

Với x0 = −1 thì y0 = 1 lúc đó tiếp tuyến có dạng y = − x (trường hợp này loại vì tiếp
tuyến đi qua góc tọa độ, nên không tạo thành tam giác OAB)
Với x0 = −2 thì y0 = −4 lúc đó tiếp tuyến có dạng y = − x − 2
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = − x − 2

Ví dụ 5: Cho hàm số y =

2x −1
có đồ thị (C).
x −1

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox,
Oy lần lượt tại các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB.
Giải
Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho
OA = 4OB .

Do ∆OAB vuông tại O nên tan A =

OB 1
1
1
= ⇒ Hệ số góc của d bằng hoặc − .
OA 4

4
4

20


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

3

x
=
−
1
(
y
=
)
0
0

1
1
1
2
<0⇒ −
=− ⇔
Hệ số góc của d là y ′( x0 ) = −

( x0 − 1) 2
( x0 − 1) 2
4
x = 3 ( y = 5)
0
 0
2
1
3
1
5


 y = − 4 ( x + 1) + 2
y = − 4 x + 4
⇔
Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: 
.
 y = − 1 ( x − 3) + 5
 y = − 1 x + 13


4
2
4
4

3. Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một
điểm cho trước
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng

tiếp tuyến đó đi qua một điểm A ( x A ; y A ) cho trước.
3.1 .Phương pháp giải:
3.1.1. Cách 1:
- Gọi d là tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k và đi qua A.
⇒ d có phương trình: y = k ( x − x A ) + y A (1)
- Hoành độ tiếp điểm xo và hệ số góc k của tiếp tuyến là nghiệm của hệ

 f ( x) = k ( x − x A ) + y A
 f ' ( x) = k

phương trình: 

Giải hệ phương trình tìm k ⇒ thay vào (1) ra phương trình tiếp tuyến.
3.1.2. Cách 2:
21


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

- Giả sử có tiếp tuyến (d) đi qua A, tiếp xúc với (C) tại tiếp điểm M o ( xo ; yo ) ⇒
d có phương trình: y − yo = f ' ( xo )( x − xo ) .
- Vì A (xA; yA) ∈ d ⇒ y A − f ( xo ) = f ' ( xo )( x A − xo )

(2)

 yo = f ( x0 )
.
 f ' ( xo )

- Giải phương trình (2) tìm xo ⇒ 

- Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y − yo = f ' ( x0 )( x − xo )
3.2. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: Cho đồ thị (C): y = x 3 − 3x + 1 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp
tuyến đi qua điểm A(-2; -1).
Giải:
Ta có: y ' = 3 x 2 − 3
3
Gọi M ( x0 ; x0 − 3 x0 + 1) là tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến là y '( x0 ) = 3x02 − 3 .

3
2
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là ∆ : y − ( x0 − 3x0 + 1) = (3x0 − 3)( x − x0 )

3
2
∆ qua A(-2;-1) nên ta có: −1 − ( x0 − 3 x0 + 1) = (3 x0 − 3)(−2 − x0 ) ⇔ x03 + 3 x02 − 4 = 0

 x0 = 1 ⇒ y0 = −1
⇔ ( x0 − 1)( x02 + 4 x0 + 4) = 0 ⇔ 
 x0 = −2 ⇒ y0 = −1

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: ∆ : y = −1; ∆ : y = 9 x + 17
Ví dụ 2: Cho đồ thị (C): y = 4 x 3 − 6 x 2 + 1 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết
22


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

tiếp tuyến đi qua điểm M(-1; - 9).
Giải: Đường thẳng d đi qua điểm M(-1; - 9) với hệ số góc k có dạng y = kx + k – 9
d là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
 4x 3 − 6x 2 + 1 = kx + k − 9(1)

12x 2 − 12x = k(2)


 x = −1
Thay k từ (2)vào (1) ta được ( x + 1) ( 4x − 5 ) = 0 ⇔ 
5
x =

4
2

Với x = -1 ⇒ k = 24 , phương trình tiếp tuyến là : y = 24x + 15

Với x =

15
5
15
21
⇒ k = , phương trình tiếp tuyến là : y =
x4
4

4
4

Ví dụ 3: Cho đồ thị (C): y =

x+2
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp
x−2

tuyến đi qua điểm A(- 6; 5).
Giải:
Đường thẳng d đi qua điểm A(- 6; 5) với hệ số góc k có dạng y = kx + 6 k + 5
d là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
x + 2
2
 x = 0; k = −1
 x − 2 = kx + 6k + 5  4x − 24x = 0


⇔
4
⇔

1
4
−
=
k

x

=
6;
k
=
−
2
 −
 ( x − 2)
=k
2

4


( x − 2)

Với x = 0 ⇒ k = −1 , phương trình tiếp tuyến là : y = - x - 1
23


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

1
7
1
Với x = 6 ⇒ k = − , phương trình tiếp tuyến là : y = y = − x +
4
4

2

Ví dụ 4: Cho đồ thị (C): y =

x4
− 2 x 2 + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết
2

tiếp tuyến đi qua điểm I( 0 ; 2).
Giải: Đường thẳng d đi qua điểm I( 0 ; 2) với hệ số góc k có dạng y = kx + 2
d là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
x = 0; k = 0

 x4
3x 4 − 8x 2 = 0
 − 2x 2 + 2 = kx + 2

⇔ 3
⇔
2
x = ± 8 ; k = ± 8 2
2x − 4x = k
3


2x − 4x = k

3
3 3


Do đó ta có các phương trình tiếp tuyến là y = 2; y =

Ví dụ 5: Cho đồ thị (C): y =

8 2
8 2
x + 2; y = −
x+2
3 3
3 3

x+2
. Tìm tất cả các điểm nằm trên trục Oy sao cho từ
x −1

đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C ) mà hai tiếp điểm nằm về hai phía
của trục Ox.
Giải: Đường thẳng d đi qua điểm A( 0 ; a) ∈ Oy với hệ số góc k có dạng y = kx + a
d là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
x + 2
( 1 − a ) x 2 + 2 ( a + 2 ) x − a − 2 = 0(*)
 x − 1 = kx + a


⇔
3

3
−

=k
2
−

=k
2
x
−
1
(
)

 ( x − 1)

24


Trường THPT Yên Phong số 2

Năm học 2015 – 2016

Theo bài ra qua A(0; a) có hai tiếp tuyến với (C ) thì phương trình (*) có 2 nghiệm
phân biệt khác 1.
a ≠1

 a ≠1
 '
⇔
ĐK : ∆ = 3a + 6 > 0
(1)

a > −2
 1− a + 2 a + 2 − a − 2 ≠ 0
) (
)
(


Gọi M1  x1 ;



x1 + 2 
x2 + 2 
÷; M 2  x 2 ;
÷ là các tiếp điểm của d và (C ).
x1 − 1 
x2 −1 


2 ( a + 2)

 x1 + x 2 =
a −1
Khi đó ta có theo Vi –ét 
 x .x = a + 2
1 2
a −1


Để các tiếp điểm M1; M 2 nằm về hai phía trục Ox thì

x1.x 2 + 2 ( x1 + x 2 ) + 4
 x + 2   x2 + 2 
y1.y 2 < 0 ⇔  1
<
0
⇔
< 0(**)
÷
÷
x
−
1
x
−
1
x
.x
−
x
+
x
+
1
(
)
 1
 2

1 2
1

2

2
Giải (**) ta được a > − (2) .Từ (1) và (2) ta có
3

 a ≠1

2

a>−

3


III. Một số bài tốn tổng hợp về tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

25