Tài liệu Bài tập nâng cao ĐS 9

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
5 3 29 12 5A = − − −
b)
8 4
4 2
3 4
2
x x
B
x x
+ +
=
+ +
Bài 2: Cho phương trình
2
2( 1) 2 4 0.x m x m− − + − =
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 2
M x x= +
Bài 3: Chứng minh rằng:
a)
( )
2
2 2
2
x y
x y
+

+ ≥
b)
( )
4
4 4
8
x y
x y
+
+ ≥

c)
( )
4 4
1
8 5x y
xy
+ + ≥
với
, 0; 1x y x y> + =
Bài 4: Giải các phương trình:
a)
3 4 1 8 6 1 5x x x x+ + − + + − − =
b)
( ) ( ) ( ) ( )
4 1 12 1 3 2 1 4x x x x+ − + + =
c)
2
2
48 4

10
3 3
x x
x x
 
+ = −
 ÷
 
d)
2 3 2 5 2 2 5 2 2x x x x+ + − + − − − =
Bài 5: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 3 0
2 0
xy y x
y x y x

− + =


+ + =


Bài 6:
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
5 7
x

P
x x
=
− +
b) Tìm giá trị trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
1 4 4 4 12 9Q x x x x= + + + − +
Bài 7:
a) Chứng tỏ rằng:
3 3
70 4901 70 4901 5− + + =
b) Tìm các số nguyên x và y thoả mãn:
2 2
3 7 2002x y+ =
c) Tìm trên đường thẳng
1y x= +
các điểm có toạ độ thoả mãn
2
3 2 0y y x x− + =
Bài 8:
a) Tính
1 1 1 1
...
2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100
S = + + + +
+ + + +
b) Tìm m để hai phương trình sau có đúng một nghiệm chung
( )
2
2 3 6 0x m x− − + =

và
2
2 5 0x x m+ + − =
Bài 9:
a) Cho hai số dương x và y thoả mãn:
10x y+ =
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( ) ( )
4 4
1 1A x y= + +
c) Chứng tỏ rằng:
7 2 3 2 3 29
5 20
2 2 3 2 2 3
+ −
< + <
+ + − −
Bài 10:
a) Giải hệ phương trình:
2 2 2
0
0
( ) ( ) ( )
x y z
x y y z z x
x y z
x y y z z x

+ + =


− − −



+ + =

− − −

b) Cho phương trình:
2
2( 1) 4 0x m x m− + + − =
*) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt. Tìm m để phương
trình có hai nghiệm dương.
*) Gọi x
1
và x
2
là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
( ) ( )
2 2
1 2
1 2 2 1
1 1
x x
M
x x x x
+
=

− + −
Bài 11:
a) Giải phương trình:
( )
2 2
5 10 1 7 2x x x x+ + = − +
b) Giải hệ phương trình:
2
2 2
4 4 2
5
x xy x y
x y

− + + =


+ =


c) Cho ba số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
1x yz y zx z xy xy yz xz+ + + + + ≥ + + +
Bài 12:
a) Cho phương trình:
2
1 0x mx m− + − = có hai nghiệm x
1
và x
2
*) Tìm giá trị của biểu thức:

2 2
1 2
2 2
1 2 1 2
3 3 3x x
M
x x x x
+ −
=
+
*) Tìm m để
2 2
1 2
10x x+ =
.
b) Giải hệ phương trìmh:
2 2
2 2
2 3 9
2 2 2
x xy y
x xy y

+ + =


+ + =


c) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có:

1 4 2n n n+ + < +
Bài 13:
a) Chứng minh rằng:
( )
2 3 1 2 3n = + −
là số hữu tỉ
b) Rút gọn biểu thức:
2 1 2 1M x x x x= + − + − −
với
1x ≥
c) Cho
10a b+ =
. Chứng minh:
( ) ( )
4 4
1 1 101x y+ + ≤
Bài 14:
a) Cho phương trình:
( )
2
2 1 2 1 0m x mx− − + =
. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
x
1
và x
2
thoả mãn:
2 2
1 2
1x x− =

b) Giải các phương trình và hệ phương trình:
*)
2
7 5 12 38x x x x− + − = − +
*)
2 2
2 2
8
7
x y x y
x y xy

+ + + =


+ + =


*)
1 1
1 1
x y
x y

+ + =


+ + =



c) Cho
1; 1x y≥ ≥
. Chứng minh rằng:
2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
+ ≥
+ + +
Bài 15:
a) Rút gọn biểu thức:
2 2
1
1 1
x x x x
M x
x x x x
− +
= − + +
+ + − +
với
0 1x
≤ ≤
b) Giải phương trình:
3 3 3
1 1 5x x x+ + − =
c) Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
2 5 3x x x x x x− + − = +
d) Giải phương trình:
3 2

3
2 5 3x x− =
e) Giải phương trình:
3 2
1
3
x x x− − =
Bài 16:
a) Cho
2
1 1
2 1 1 2 1 1
x =
−
+ − + +
.
Tính giá trị của biểu thức:
( )
2009
4 3 2
2 1A x x x x= − − + −
b) Rút gọn biểu thức:
2 3 6 8 4
2 3 4
P
+ + + +
=
+ +
c) Cho
2 2

2 ; 0; 0x y xy y x y− = ≠ + ≠
. Tính giá trị của biêủ thức:
x y
Q
x y
−
=
+
d) Tìm hai số tự nhiên a và b biết
a
a b
b
− =
Bài 17:
a) Cho hai số dương có tổng bằng 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1
P
a b
= +
b) Cho hệ phương trình:
2 2
3 3 0
2 2 9 0
x y
x y x y
− − =


+ − − − =


có hai nghiệm
( )
1 1
;x y
và
( )
2 2
;x y
.
Tính giá trị của biểu thức: M=
( ) ( )
2 2
1 2 1 2
M x x y y= − + −
c) Giải phương trình:
( )
(
)
2
5 2 1 7 10 3x x x x+ − + + + + =
d) Giải hệ phương trình:
3 2
3 2
2 3 5
6 7
x x y
y xy

+ =



+ =



( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
x xy y x y 185
x xy y x y 65

+ + + =


− + + =


Bài 18:
a) Tìm các số nguyên x,y thoả mãn:
2 2 2
2 1 2y x x y x y xy+ + + = + +
b) Cho các số thực x,y,z thoả mãn:
6x y z xy yz xz+ + + + + =
. Chứng minh rằng:
2 2 2
3x y z+ + ≥
c) Tìm m để phương trình:
4 2
2 4 0x mx+ + =

có bốn nghiệm phân biệt
1 2 3 4
, , ,x x x x
thoả
mãn:
4 4 4 4
1 2 3 4
32x x x x+ + + =
d) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 5 2 0
4 0
x xy y x y
x y x y

+ − − + + =


+ + + − =








=++−
=−++

4106
4610
yx
yx
Bài 19:
a) Cho biểu thức:
( )
2
2 1
2
1 1
x
x x x x
P
x x x x
−
− +
= − +
+ + −
*) Rút gọn P. *) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
b) Giải phương trình và hệ phương trình:
*)
2
2 3 5 2 3 12 14x x x x− + − = − +
*)
1 4
7
x y
x y


+ + =


+ =


c) Xác định m để phương trình
2 2
2 2 2 0x mx m+ + − = có hai nghiệm. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
1 2 1 2
2 4A x x x x= + + −
Bài 20:
a) Cho biểu thức:
3 3 2 9
1 .
9
2 3 6
x x x x x
P
x
x x x x
   
− − − −
= − + −
   
−
− + + −
   
*) Rút gọn biểu thức P *) Tìm x để P=1.

b) Giải hệ phương trình:
2 2 2
6
1
14
x y z
xy yz xz
x y z

+ + =

+ − = −


+ + =


3 3
1
21
x y
x y
+ = −


+ = −

c) Tìm k để phương trình:
( ) ( )
2

12 5 4 1 0kx k x k− − − + =
có tổng bình phương các
nghiệm bằng 13.
Bài 21:
a) Chứng minh phương trình
( ) ( )
2 2 2 3 3 4 4
2 0a b x a b x a b− + − + − =
luôn có nghiệm với
mọi a và b.
b) Giải hệ phương trình:
( ) ( )
3 3
5
1 1 35
x y xy
x y
+ + =



+ + + =



2 2
4 4 2 2
7
21
x y xy

x y x y

+ + =


+ + =


c) Cho
2a b+ ≥
. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có
nghiệm:
2 2
2 0; 2 0x ax b x bx a+ + = + + =
Bài 22: Cho phương trình:
2
2 6 9 0x mx m− − − =
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn:
2 2
1 2
13x x+ =
Bài 23:
a) Giải các hệ phương trình:
2 2
11
30
x y xy
x y xy
+ + =



+ =


2 2
2 3 2
6
x y xy
x y

+ + = +


+ =



64
1 1 1
4
xy
x y
= −



− =



b) Giải các phương trình: *)
( ) ( ) ( )
2
6 7 3 4 1 6x x x+ + + =
*)
( ) ( ) ( ) ( )
2
4 5 6 10 12 3x x x x x+ + + + =
Bài 24:
a) Giải phương trình:
4 3 2x x− − =
b) Tìm m để phương trình:
( )
2
1 2 0x m x m− + + =
có hai nghiệm là độ dài hai cạnh
góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5.