«n häc sinh giái to¸n «n häc sinh giái to¸n phçn i ph©n sè c¸c bµi to¸n vò ph©n sè a nh÷ng kiõn thøc cçn ghi nhí i týnh chêt c¬ b¶n cña ph©n sè 1 nõu ta nh©n hay chia tö sè vµ méu sè cña 1 ph©n sè víi

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

ôn học sinh giỏi toán

<i>Phần I. </i>

phân số - các bài toán về phân số
A. Những kiến thức cần ghi nhớ.

I .Tính chất cơ bản của phân số.

1. Nu ta nhõn hay chia tử số và mẫu số của 1 phân số với cùng 1 số tự nhiên
khác 0 thì ta đợc một PS bằng PS đó.

* VD: 6
8 =

6 :2
8:2 =

3

4 ;
2
4 =

<i>2 x 3</i>
<i>4 x 3</i> =

6
12
2. Rót gọn phân số.

* Quy tắc.
* VD: 15

21 =
15 :3
21:3 =

5
7
Ta nãi PS 15

21 đợc rút gọn thnh PS
5
7 .

- Phân số tối giản là PS mà tử số và mẫu số không cùng chia hết cho 1 số nào
khác 1.

3. Quy ng mu số các phân số.
* Quy tắc.

* Chó ý.:

a. Trớc khi quy đồng mẫu số các PS ta rút gọn các PS ( nếu có thể rút gọn) thành
PS tối giản để mẫu số chung là nhỏ nhất.

* VD: Quy đồng mẫu số 2 PS : 6
15 và

2

8

b. Khi mẫu số của 1 trong 2 PS phải quy đồng chia hết cho mẫu số của PS kia,
ta tìm thơng của 2 mẫu số rồi cùng nhân với tử số và mẫu số của PS có mẫu số nhỏ
hơn.

* VD: Quy đồng mẫu số 2 PS: 5
18 và

1
3
Ta thÊy 18: 3 = 6 nªn 1

3 =
<i>1 x 6</i>
<i>3 x 6</i> =

6
18
c. Quy đồng mẫu số 2 PS : 5

6 vµ
3
4
Ta thÊy 12 : 6 = 2 ; 12 : 4 = 3

Do đó: 5
6 =

<i>5 x 2</i>

<i>6 x 2</i> =

10
12 ;

3
4 =

<i>3 x 3</i>
<i>4 x 3</i> =

9
12
d. Quy đồng tử số các PS.

* Quy t¾c.
* VD: 3

4 vµ
5
6
Ta cã 3

4 =
<i>3 x 5</i>
<i>4 x 5</i> =

15

20 ;

5
6 =

<i>5 x 3</i>
<i>6 x 3</i> =

15
18
II. So s¸nh phân số.

1. So sánh phân số với 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

- Ph©n sè b»ng 1 khi tư sè b»ng mÉu sè: 15
18 =

15
18
- Ph©n sè bÐ h¬n 1 khi tư sè bÐ h¬n mÉu sè: 3

4

- Số tự nhiên đợc coi là PS có tử số là số đó và mẫu số là 1.
6 = 6

1 ; 0 =
0
1
2. Hai PS cã mÉu sè b»ng nhau.

a. PS cã tö số lớn hơn là PS lớn hơn: 5

6 >

3
6 .
b. PS cã tö sè bÐ hơn là PS bé hơn: 15

18 <
17
18
c. 2 PS có tử số bằng nhau thì 2 PS đó bằng nhau: 9

12 =
9
12 .
3. Hai PS cã tö sè b»ng nhau.

a. PS có mẫu số lớn hơn là PS nhỏ hơn: 3
5 <

3
4 .
b. PS có mẫu số nhỏ hơn là PS lớn hơn: 4

9 >
4
11

c. Nếu mẫu số cũng bằng nhau thì 2 PS đó bằng nhau: 15
20 =

15
20 .
4. Hai PS cã mÉu sè và tử số khác nhau.

*a. Quy ng mu s 2 PS rồi so sánh.
*b. Quy đồng tử số 2 PS ri so sỏnh.

*c. So sánh với 1 ( Trờng hợp trong 2 PS cần so sánh có 1 PS < 1 và 1 PS > 1)
*d. So sánh qua 1 PS trung gian.

VD : So s¸nh 2 PS sau: 3
7 vµ

5
8
Ta cã: 1

2 =
3
6 mµ

3
6 >

3

7 ;
1
2 =

5

10 mµ
5
10 <

5
8
V× 3

7 <
1
2 <

5

8 nªn
3
7 <

5
8

*e. So sánh hai " Phần bù" với 1 của PS ( Trờng hợp 2 PS cần so sánh đều <
1). PS nào có phần bù lớn hơn thì PS đó nhỏ hơn và ngợc lại.

VD : So s¸nh 2 PS : 4
9 vµ

6

11
Ta cã: 1 - 4

9 =
5

9 ; 1 -
6

11 =
5
11
V× 5

9 >
5

11 nªn
4
9 <

6
11

*g. So sánh hai " Phần hơn" với 1 của mỗi PS ( Trờng hợp 2 PS cần so sánh
đều > 1. PS nào có phần hơn lớn hơn thì lớn hơn.

VD : So s¸nh 2 PS : 11
9 vµ

17
15
Ta cã: 11

9 - 1 =
2

9 ;
17

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

V× 2
9 >

2

15 nªn
11

9 >
17
15 .

*h. So sánh 2 PS bằng cách chuyển các PS đó thành hỗn số ( Trờng hợp 2 PS
cần so sánh đều > 1) rồi so sánh 2 hỗn số.

VD. So sánh 2 PS : 19

12 và
32
11

Ta cã : 19

12 = 1
7

12 ;
32
11 = 2

10
11
V× 1 7

12 < 2
10

11 nªn
19
12 <

32
11
III. Các phép tính về phân số.

1 Phép cộng .
a. Quy t¾c.
b. TÝnh chÊt.

* Tổng của 2 hay nhiều PS không thay đổi nếu ta thay đổi thứ tự của các phép
tính.( T/ c giao hốn).

VD:

*TÝnh chÊt kÕt hỵp.
VD:

*Tổng của 2 PS khơng thay đổi nếu ta thêm vào PS thứ nhất 1 số và bớt ở PS
thứ hai cùng số ấy và ngợc lại.

VD:

2. PhÐp trõ.
a. Quy t¾c
b. TÝnh chÊt.

*Hiệu của 2 PS khơng thay đổi nếu ta cùng thêm (hoặc cùng bớt) 1 số ở cả
PS bị trừ và PS trừ.

VD:

3.PhÐp nhân.
a. Quy tắc.
b. Tính chất.
* T/ c giáo hoán.
* T/ c kết hợp.

* Muốn nhân 1 PS với 2 STN ta lµm nh sau:

- Viết STN đó dới dạng PS rồi nhân 2 PS đó với nhau.
VD: 3 x 2

5 =
3
1 x

2
5 =

6
5

*Nh©n STN víi tư sè và giữ nguyên mẫu số.
VD: 3 x 2

5 =
<i>3 x 2</i>

5 =
6
5

*Nếu mẫu số của PS chia hết cho số nguyên đó, ta chia mẫu số cho số
nguyên đó và giữ nguyên tử số.

VD: 3 x 2
9 =

2
9:3 =

2
3
4. PhÐp chia.

a. Quy t¾c.
b. Chó ý.

* Chia 1 STN cho 1 PS.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

VD:

Hoặc :Lấy STN đó nhân với mẫu số thì đợc tử số, cịn tử số của PS ban đầu
chính là mẫu số.

VD: 4 : 2
5 =

<i>4 x 5</i>
2 =

20

2 = 10
*Chia 1 PS cho 1 STN.

-Viết STN đó dới dạng PS rồi chia 2 PS đó với nhau.
VD:

Hoặc: Tử số giữ ngun, cịn mẫu số nhân với STN đó thì đợc mẫu số.
VD: 2

5 : 4 =
2
<i>5 x 4</i> =

2
20 =

1
10

Hoặc: Lấy tử số chia cho STN đó thì đợc tử số, cịn mẫu số giữ ngun.
VD: 6

7 : 3 =
6 :3

7 =
2
7
B. Bµi tËp thùc hµnh.

Bµi 1. ViÕt 5 PS bằng PS 2
5
Bài 2. Rút gọn các PS sau: 4

10 ;
25

75 ;

6
36 ;

12

72 ;
30
42 ;

26
14
; 15

39 ;
45
117 ;

72
64 .

Bài 3. Quy đồng mẫu số các PS sau: 3
8 và

5

10 ;
1
7 vµ

4

9 ;

3
5 vµ
4

7

Bµi 4. > ; < ; =
4

13 ... 1 ;
7

7 ... 1 ;
25

12 ... 1 ;
12
72 ...

9

72 ;
17
42 ...

17
51 ;
9

10 ...
9
10

Bµi 5. Cho 2 PS 2
7 vµ

4

9 . Hãy so sánh 2 PS đó bằng 4 cách.
C1: Quy đồng MS

C2: Quy đồng TS.
C3 Tìm PS trung gian.
Ta có: 1

3 =
7
21 ;

2
7 =

6

21 mµ
6
21 <

7
21
1

3 =
3

9 mµ
4
9 >

3
9
VËy 2

7 <
1
3 <

4

9 nên
2
7 <

4
9
C4. Tìm phần bù của mỗi PS.

Bài 6.Đúng ghi Đ, sai ghi S.

a. 2

5 +
1
5 =

2+1

5 d.
3
8 x

4
5 =

<i>3 x 4</i>
<i>8 x 5</i>
b. 8

9 +
4
9 =

8+4

9+9 e.
9
13 :

3

13 =

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

c. 7
12 -

5
6 =

<i>7 − 5</i>

<i>12− 6</i> g.
1
8 :

3
5 =

<i>1 x 5</i>
<i>8 x 3</i>
Bµi 7. TÝnh.

4 x 3

7 ; 5 x
2

10 ; 8 :
3

4 ; 9 :

5

13 ;
4
15 : 2
Bµi 8. TÝnh nhanh.

a. <i>6 x 7 x 12 x 4</i>

<i>6 x 3 x 7 x 4</i> b.

<i>5 x 7 x 9 x 19</i>

<i>3 x 7 x 11 x 5</i> c.
5
7 +

7
13 +

19
13 +
6

5 +
2
7 +

9
5

d. 3

5 + (
9
18 +

4

10 ) e.
75
100 +

18
21 +

19
32 +

1
4 +
3

21 +
13
32
g. 4 2

5 + 5
6

9 + 2
3
4 +

3
5 +

1
3 +

1
4
Bài 9. Tìm X.

a. 1

3 + X +
5

3 b. X -
5
8 =

3
8

<i> </i>c. 8

9 x X =
4

7 d.
49

8 : X =
3
5
Bµi 10.

<i>PHÇN II .</i>

<b> các bài toán về hình học</b>

<i>* Cỏc cụng thc tớnh chu vi, diện tích, thể tích các hình.</i>

1. Hình chữ nhật.

P = ( a + b ) x 2

( P là chu vi; a là chiều dài; b là chiều rộng; a,b cùng đơn vị đo)
S = a x b

( S là diện tích; a là chiều dài; b là chiều rộng; a,b cùng đơn vị đo)
* Mở rộng: a = S : b

b = S : a
2. H ình vng.

P = a x 4
( P là chu vi ; a là độ dài cạnh)

* Mở rộng: a = P : 4
S = a x a
( S là diện tích; a là độ dài cạnh)
3.Hình tam giác.

P = a + b + c
( P là chu vi; a,b,c là dài các cạnh)
S = a x h : 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

*Mở rộng : h = S x 2 : a
a = S x 2 : h

4. Hình thang.

P = a + b + c + d
( P là chu vi; a,b,c,d là độ dài các cạnh)
S = ( a + b ) x h : 2

( S là diện tích, a là đáy lớn, b là đáy bé, h là chiều cao)
* Mở rộng: (a + b) : 2 = S : h

a + b = S x 2 : h
h = S x 2 : ( a + b )

5. Hình trịn.

C = d x 3,14 Hoặc C = r x 2 x 3,14
( C là chu vi; d là đường kính; r là bán kính)

* Mở rộng: d = C : 3,14 Hoặc r = C : 2 : 3,14

S = r x r x 3,14

( S là diện tích; r là bán kính)

* Mở rộng: r x r = S : 3,14
6. Hình bình hành.

P = ( a + b ) x 2
( P là chu vi; a ,b là độ dài các cạnh)
S = a x h

( S là diện tích; a là độ dài đáy; h là chiều cao)
* Mở rộng: a = S : h

h = S : a
7. Hình thoi.

P = a x 4
( P là chu vi; a là độ dài cạnh)

* Mở rộng: a = P : 4
S = (m x n) : 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7></div>

<!--links-->